ALGEBRE GENERALE ENSPY

Cours d’Algèbre Générale de l’Ecole Nationale
Supérieure Polytechnique de Yaoundé
BOUETOU BOUETOU Thomas
16 septembre 2022

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Objectifs :
Ce cours d’algèbre générale vise à donner les capacités de raisonnement et, de
développer une base théorique qui est nécessaire pour le renforcement des aptitudes
de conception utiles aux jeunes ingénieurs.
Who is great in calculus is a great man.
Tout comme la lumière éloigne les tenebres de l’obscurité alors, les ma-
thématiques éloignent l’ignorance de la connaissance.
L’algèbre de manière particulière, tout comme La mathématque dans
son entitée est le langage de la science.
Among mathematicians in general, three main categories may be distinguished ;
and perhaps the names logicians, formalists, and intuitionist may serve to characte-
rize them,
1. (1) The word logician is here used, of course, without reference to the ma-
thematical logic of Boole, Peirce, etc. ; it is only intended to indicate that
the main strength of the men belonging to this class lies in their logical and
critical power, in their ability to give strict definitions, and to derive rigid de-
ductions therefrom. The great and wholesome influence exerted for example
in Germany is by Weierstrass in this direction is well known.
2. (2) The formalists among the mathematicians excel mainly in the skilful for-
mal treatment of a given question, in devising for it an "algorithm." Gordan,
or let us say Cayley and Sylvester, must be ranged in this group.
3. (3) To the intuitionists, finally, belong those who lay particular stress on
geometrical intuition (Anschatmng), not in pure geometry only, but in all
branches of mathematics. What Benjamin Peirce has called "geometrizing a
mathematical question " seems to express the same idea. Lord Kelvin and
von Standi may be mentioned as types of this category. Clebsch must be said
to belong both to the second and third of these categories, and Felix Klein
can classed with himself to the third, and also the first.
4. (4) Conjecture de Poincaré ou Théorème de Perelman : Toute variété com-
pacte Simplement connexe sans bord à 3-dimension est homéomorphe à la 3 ?
sphère.
Classification of mathematical mind made by Felix Klein at the collo-
quium on mathematics from August 28th till September 9th prior After
the adjournment of the International Congress of Mathematics in Chicago
August, 1893.

Table des matières
1 AVANT PROPOS 7
2 THEORIE DES ENSEMBLES 11
2.1 ELEMENTS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE ET APPLICATIONS 11
2.1.1 EnoncéLogique ......................... 11
2.1.2 Combinaison des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Tablesdevérité ......................... 12
2.1.4 Equivalence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.5 Conjonction et disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.6 Négation ............................. 14
2.1.7 Implication et Bi-Implication (équivalence) de propositions . . 15
2.1.8 Tautologies et Contradictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.9 Arguments ............................ 18
2.2 Notion d’ensemble et opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Définitions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Opérations sur les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Produit cartésien de deux ensembles. . . . . . . . . . . . . . . 23
3 APPLICATIONS ET FONCTIONS 25
3.1 Applications et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 EQUIVALENCE ENTRE LES ENSEMBLES 31
4.1 Ensembles finis et infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Ensembles denombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.1 Exemples ............................. 32
4.3 Equivalence entre ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.1 exemples.............................. 34
4.3.2 Non dénombrabilité de l’ensemble des nombres réels . . . . . 35
4.3.3 Notion de puissance d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Ensembles Ordonnés : Nombres transfinites . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4.1 Ensembles partiellement ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4.2 Applications ou fonctions conservant l’ordre . . . . . . . . . . 38
4.4.3 Type d’ordre ou ordinal et ensemble ordonné . . . . . . . . . . 38
4.4.4 Somme ordonnée des ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . 39
4.4.5 Ensemble totalement ordonné :nombres transfinites . . . . . . 39
4.4.6 Comparaison des nombres ordinaux . . . . . . . . . . . . . . . 40
3

4TABLE DES MATIÈRES
4.4.7 Axiome du choix : Théorème de Zermelo et autres propositions
équivalentes............................ 41
4.4.8 Induction transfinite (ou ordinal) . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.9 Système d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Relations d’équivalence 45
5.1 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Factorisation d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Analyse combinatoire 49
6.1 Permutations, arrangements et combinaisons . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Exemples de problèmes d’analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1 Arrangements .......................... 50
6.2.2 Permutations ........................... 51
6.2.3 Combinaisons........................... 52
6.2.4 BinômedeNewton........................ 53
6.3 Permutations, arrangements et combinaisons avec repétitons . . . . . 53
6.3.1 Permutations avec repétitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3.2 Arrangements avec repétitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3.3 Combinaisons avec repétitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Lois de composition 57
7.1 Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.1 Définition ............................. 57
7.1.2 Propriétés d’une loi de composition interne . . . . . . . . . . . 57
7.2 Lois de composition externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2.1 Définition ............................. 60
7.2.2 Parties fermées de E....................... 60
7.3 Homomorphismes et isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3.1 Définition d’un homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3.2 Définition d’un isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8 Semi-groupe et Groupes 63
8.1 Quasigroupes et Semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.2 Groupes .................................. 65
8.2.1 Sous groupe engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2.2 Relation déquivalence induite dans un groupe par un sous groupe 68
8.2.3 Générateurs d’un groupe monogène . . . . . . . . . . . . . . . 77
9 Anneaux, Corps et espaces vectoriels 89
9.1 AnneauxetCorps............................. 89
9.1.1 Anneaux.............................. 89
9.1.2 CorpsetChamps......................... 92
9.1.3 Anneaux de Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.1.4 Recherche des zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.1.5 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.2 EspacesVectoriels.............................105

TABLE DES MATIÈRES 5
9.2.1 Espaces Vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2.2 Sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108