Version du 12/09/13, RL, CS Modélisation et commande dʼun système mécatronique Organisation des modules pratiques Objectifs A la fin des travaux pratiques dʼautomatique (TPs), lʼétudiant maîtrisera le cycle analyse-synthèse-réalisation-validation nécessaire à la mise en œuvre d’un algorithme de commande numérique de type PID (fig. 1, voir pages 27-28 de [1]). Ces TPs sont structurés en trois modules brièvement décrits ci-dessous. Module 1 “Modélisation du système à commander” L’objectif du premier module est l’établissement d’un modèle du système à commander. Vu la relative simplicité de ce dernier, les modèles de commande et de simulation sont les mêmes. Une modélisation fondée sur un essai temporel est tout d’abord effectuée. Une modélisation se basant sur un test fréquentiel est ensuite menée. Les résultats des deux approches sont finalement comparés afin de disposer d’un modèle fiable. Fig. 1 Cycle analyse-synthèse-réalisation-validation. 1 Module 2 “Commande, synthèse par numérisation” Le processus mécatronique est tout d’abord considéré en vitesse. Un régulateur analogique est synthétisé en imposant un modèle à pousuivre. Le régulateur ainsi dimensionné est ensuite numérisé et directement implanté, sans phase d’analyse avec le modèle identifé dans le premier module. L’analyse est menée directement sur le processus réel. Une démarche similaire, par numérisation, est ensuite appliquée au processus étudié en position, mais en mettant à profit la première méthode de Ziegler-Nichols et la “règle des deux”. Module 3 “Commande en position, synthèse directe” Le modèle du processus en position établi dans le premier module est ici exploité dans le cadre d’une synthèse par calibrage de la boucle. L’analyse de l’algorithme de commande se fonde sur ce modèle avant de le réaliser et de le valider sur le système réel. Forme Les TPs sont effectués par groupes de deux étudiants encadrés par un assistant. Les trois modules doivent être réalisés lors de séances organisées toutes les quatre semaines. Préparation Avant chaque séance de TPs, chaque groupe propose un protocole dʼexpérimentation pour le module à réaliser et en discute avec son assistant lors dʼune heure de contact à fixer au préalable. Le protocole comporte au minimum les points suivants : spécification et planification des étapes, et sélection des méthodes et outils à exploiter. 2 Expérimentation Durant les séances de TPs, chaque assistant est à la disposition des ses groupes pour fournir lʼencadrement nécessaire. La présence de lʼassistant a pour but principal de susciter et de soutenir la réflexion. Durant ces séances, les étudiants doivent confronter et valider les résultats expérimentaux avec les éléments attendus et, le cas échéant, adapter les méthodes et les outils à la lumière des divergences constatées. Evaluation Des questions écrites sur les modules pratiques sont intégrées à lʼexamen écrit du cours Automatique II+TP. Elles comptent pour un point. Par ailleurs, lʼun des quatre problèmes de lʼexamen est directement lié aux TPs. Documents Dans le présent document, quelques suggestions non exhaustives apparaissent en italique entre parenthèses. Ces recommandations doivent être dûment justifiées et approfondies. Il est souhaité que des solutions alternatives soient explorées. Par ailleurs, les numéros des exemples se réfèrent au livre [1] servant de support au cours dʼautomatique. Les applications interactives du CD-ROM intégré dans [1], voire Matlab, se révèlent particulièrement utiles. Un guide dʼutilisation succinct de ces applications fait lʼobjet de lʼannexe III de [1]. Les plus utilisées (ex_9_8 et ex_9_12) sont disponibles sur le site des TPs. Référence [1] LONGCHAMP R., Commande numérique de systèmes dynamiques - Cours dʼautomatique: Volume1, Méthodes de base, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 2010. 3 Description du système à commander Modélisation Le système mécatronique (fig. 2) exploré dans les modules pratiques est un entraînement électrique permettant d’asservir la vitesse ou la position angulaire d’une charge par l’intermédiaire d’un moteur à courant continu et à excitation séparée. Le moteur entraîne d’une part une charge inertielle via un réducteur et d’autre part une génératrice à courant continu engendrant un couple résistant. Cette génératrice est connectée à un ensemble de quatre résistances commutables permettant de varier le couple résistant. Le moteur est alimenté par un amplificateur qui fournit la puissance électrique au moteur. Un disque rotatif de visualisation est également entraîné par le moteur au travers d’un réducteur. La position angulaire ! (t) [rad] de la charge est mesurée à l’aide d’un encodeur et sa vitesse angulaire ! (t) [rad/s] est donnée par la génératrice. Ces mesures sont par la suite dénotées y! (t) [V] et y! (t) [V], respectivement. ! (t) Moteur à courant continu et à excitation séparée ! (t) Couple résistant u(t) Frottement Charge Fig. 2 Entraînement électrique. L’équation différentielle liant la tension u(t) [V] à l’entrée du moteur et la mesure y! (t) [V] de la vitesse angulaire s’écrit (ex. 1.14 pages 24-27) : ! dy" (t) + y" (t) = # " u(t) dt ! : constante de temps # " : gain statique (1) 4 De même, l’équation différentielle liant la tension u(t) [V] à l’entrée du moteur et la mesure y! (t) [V] de la position angulaire est : ! d2y" dt 2 (t) + dy" (t) = #" u(t) dt ! : constante de temps #" : gain permanent Commande a priori Le système mécatronique réel renferme des non-linéarités, dues entre autres à des frottements secs. Afin de se placer dans une plage de travail linéaire, il sʼagit dʼimposer un point de fonctionnement et dʼintroduire de nouvelles variables représentant les écarts des variables physiques par rapport à ce point de fonctionnement. Soit u la tension dʼalimentation provoquant la vitesse de rotation y! , fixant ainsi le point de fonctionnement souhaité. Si y! est donné, on peut déterminer u expérimentalement, directement sur le processus physique. Quand les non-linéarités ne sont pas trop sévères, le modèle (1) reflète la réalité et le point de fonctionnement satisfait par définition le modèle : ! dy" + y" = # " u dt (2) Et comme la quantité y! est constante : u= 1 y" !" La tension u sʼappelle commande a priori. Soient !u(t) = u(t) " u et !y# (t) = y# (t) " y# les écarts par rapport au point de fonctionnement. En soustrayant (2) de (1), on trouve quʼils vérifient : ! d"y# + "y# = $ # "u dt Il en résulte la fonction de transfert : 5 G! (s) = "Y! (s) # = ! "U(s) $ s + 1 Pour lʼentraînement en position, la commande a priori est nulle et : G! (s) = Y! (s) "! = U(s) s(# s + 1) Description de lʼenvironnement dʼexpérimentation Algorithme de commande Lʼalgorithme de commande standard implanté est le régulateur PID non filtré mixte décrit par la fonction de transfert (8.14) de [1] ou, de manière équivalente, par les équations (8.11) à (8.13) de [1] dans lesquelles la constante de temps Td/N du filtre incorporé dans le terme dérivé est nulle. En outre, une mesure anti-emballement (ARW) du terme intégrateur, consistant à geler le terme intégral ui(kh) dès que la grandeur de commande u(kh) est en saturation, est disponible (voir page 363 de [1]). Il importe de prendre garde au fait que les méthodes de synthèse des régulateurs PID par calibrage de la boucle conduisent à une structure série alors qu’une structure mixte est en fait programmée. Quand les termes proportionnel, intégral et dérivé du régulateur sont tous requis, il faut convertir les paramètres obtenus lors de la synthèse en suivant les indications figurant à la page 360 de [1]. Outils de mesure, temporel et fréquentiel La page dʼentrée aux TPs, donnant accès aux outils de mesure, temporel et fréquentiel, ainsi quʼaux applications essentielles du CD-ROM inclus dans [1], est : la.epfl.ch/TP 6 Page dʼaccès http://la.epfl.ch/tp Outil de mesure Outils temporel et fréquentiel Application CD-ROM 7 1 Module 1 “Modélisation du système à commander” 1.1 Identifier les paramètres ! " et ! apparaissant dans la fonction de transfert analogique G! (s) à partir de la réponse à une entrée échelon. La plage linéaire de lʼentraînement est limitée d’une part par les saturations ( ± 5 V) et d’autre part par les frottements secs (environ ±1 V). Il faut donc prendre garde à se trouver dans l’intervalle [1, 5] (ou [-5, -1]) pour l’entrée échelon (voir ex.1.14 pages 24-27, utiliser lʼoutil de mesure puis lʼoutil temporel mis à disposition). 1.2 Mesurer la fonction de transfert harmonique échantillonnée H! (e j!h ) du système à commander avec h = 40 ms en injectant lʼentrée SBPA (signal binaire pseudo-aléatoire) générée par lʼoutil de mesure. Visualiser les résultats dans lʼoutil fréquentiel. 1.3 Déterminer expérimentalement quelques points de H! (e j!h ) (relever au moins 2 points dans la zone 0 dB/décade et au moins 2 points dans la zone -20 dB/décade). 1.4 Valider les résultats obtenus sous § 1.1, § 1.2 et § 1.3 (lʼoutil fréquentiel mis à disposition échantillonne la fonction de transfert G! (s) avec h = 40 ms, et ! " et ! obtenus sous § 1.1, puis trace les diagrammes de Bode de H! (e j!h ) . Comparer ces résultats avec ceux mesurés sous § 1.2, vérifier les positions des points déterminés sous § 1.3). 8 2 Module 2 “Commande, synthèse par numérisation” 2.1 Commande en vitesse 2.1.1 Choisir le point de fonctionnement y! = 2 V situé dans la plage linéaire de lʼentraînement et déterminer expérimentalement la commande a priori u correspondante. 2.1.2 Synthétiser un régulateur par imposition dʼun modèle à poursuivre avec ! m = 0,1s (prendre G! (s), régulateur PI analogique, voir ex. 1.36 pages 75-76, numérisation par le logiciel de commande). 2.1.3 Valider le système de commande (réponses (tensions moteur et vitesse) à un échelon de 0,5 V en boucle fermée, effet commande a priori, pas de statisme mais traînée, effet ARW). 2.2 Commande en position 2.2.1 Synthétiser par la première méthode de Ziegler-Nichols un régulateur permettant le suivi dʼune rampe sans traînée et le rejet d’un couple résistant constant (mesurer a = !" et L = ! dans la réponse à un échelon, par exemple de 0,7 V à 2,7 V afin d’être dans la plage linéaire de l’entraînement, utiliser l’outil temporel mis à disposition, synthétiser un régulateur PID, voir ex. 1.32 pages 65-66 et ex. 1.34 pages 69-70, numérisation par le logiciel de commande). 2.2.2 Synthétiser un régulateur en tirant profit de la “règle des deux” (voir page 72 de [1]) pour le régulateur PID dimensionné dans § 2.2.1 (voir ex. 1.32 pages 65-66). 2.2.3 Valider les systèmes de commande (réponses (tensions moteur et position) à un échelon et à une rampe en boucle fermée, pas de statisme, pas de traînée, rejet d’un couple résistant constant). 9 3 Module 3 “Commande en position, synthèse directe” 3.1 Synthétiser un régulateur par calibrage de la boucle en imposant les spécifications suivantes : traînée nulle, marge de phase supérieure ou égale à 600, ! b = 5 rad/s (prendre H! (e j"h ) , régulateur PID numérique série (à transformer sous forme mixte), !e = 2" / h = 2" / 0,04 =157 = 31,4 ! b , utiliser le CD-ROM, voir ex. 9.12 pages 448-449). 3.2 Valider le système de commande (réponses (tensions moteur et position) à un échelon et à une rampe en boucle fermée, pas de statisme, pas de traînée, rejet dʼun couple résistant). 3.3 Analyser la robustesse du système de commande (évaluer avec le CD-ROM les marges de gain, de phase et de retard, déterminer la marge de module en traçant la fonction de sensibilité). 10
