Cours de mathématique

Cours de mathématique
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Table des matières
Première partie. Analyse complexe 7
Chapitre 1. Fonctions d’une variable complexe 9
1. Introduction 9
2. Continuité 9
3. Différentiabilité 10
3.1. Conditions de Cauchy-Riemann 10
3.2. Dérivées complexes 10
4. Potentiel et fonction de courant en physique 11
5. La différentiation complexe et l’idée des transformations conformes 12
6. Le théorème de l’application conforme de Riemann 14
7. L’idée des transformations conformes 15
8. L’exemple de la sphère de Riemann 16
Chapitre 2. Intégration 19
1. Intégrales 19
2. Intégrale sur des chemins 20
3. Intégrale de Cauchy 21
4. Conséquences 23
5. Formule intégrale de Cauchy 24
6. Le logarithme 25
7. Réponse linéaire 26
8. Series et développement en série des fonctions analytiques 28
8.1. Domaine de convergence 28
8.2. Convergence uniforme 28
Chapitre 3. Fonctions analytiques 29
1. Fonctions analytiques 29
1.1. Définitions 29
2. Prolongement analytique 29
2.1. Prolongement par la méthode des séries 29
3. Autres théorèmes 31
4. Exemples de fonctions analytiques 35
4.1. Fonctions trigonométriques 35
4.2. Fonction logarithmique 35
4.3. L’idée des coupures et des surfaces de Riemann 36
5. Fonction puissance 37
6. Singularités 37
6.1. Classification des singularités 37
6.2. Théorème du prolongement de Riemann 37
7. Séries de Laurent 38
Chapitre 4. Transformations intégrales 43
1. Séries de Fourier 43
2. Transformée de Fourier 44
3. Transformée de Laplace 45
3

4 TABLE DES MATIÈRES
4. Application : Description hydrodynamique des péhnomènes en matière condensée 46
5. Méthodes du col et de la phase stationnaire 48
5.1. Développement asymptotique 48
5.2. Un exemple 48
5.3. Méthode du col 49
5.4. Méthode de la phase stationnaire 50
Chapitre 5. Résidus 51
1. Calcul des résidus 51
2. Évaluation d’intégrales définies 54
3. Intégrale du type R+∞
−∞ f(x)dx 54
3.1. Index d’une courbe 54
4. Produits infinis 54
5. Fonction Gamma 55
6. Fonction Zeta de Riemann 56
7. Problèmes 58
Deuxième partie. Fonctions de Green 61
Chapitre 1. Introduction 63
1. Introduction 63
2. L’espace L264
Chapitre 2. Distributions 67
1. Solutions élémentaires 69
2. Equations aux dérivées partielles du 1er ordre: Méthode des caractéristiques 69
Chapitre 3. Le problème de Sturm-Liouville 71
1. Existence des fonctions propres (vecteurs propres) 75
1.1. Fonctions de Green 75
1.2. Construction de la fonction de Green 76
1.3. Un problème équivalent 76
2. Fonctions de Green et développement sur une base propre 77
Chapitre 4. Applications des fonctions de Green 79
1. Fonctions de Green pour le problème de Poisson 79
2. Fonctions de Green sur R2et R380
2.1. Si D=R280
2.2. Si D=R380
3. Fonctions de Green pour des problèmes dépendants du temps 80
Chapitre 5. Polynômes orthogonaux et fonctions de Bessel 81
1. Généralité sur les polynômes orthogonaux 81
2. Polynômes de Legendre 83
3. Polynômes d’Hermite et de Laguerre 84
3.1. Polynômes d’Hermite 84
3.2. Polynômes de Laguerre 84
4. Applications physiques 84
4.1. Équation de Laplace en coordonnées sphériques 84
4.2. Oscillateur harmonique en mécanique quantique 85
5. Fonctions de Bessel 85
5.1. Introduction 85
5.2. Forme intégrale des solutions 86
5.3. La fonction Jν(x)87
6. Fonction génératrice des fonctions de Bessel 88

TABLE DES MATIÈRES 5
7. Diffraction de Fraunhofer 89
8. Épilogue 1 90
9. Fonctions de Bessel modifiées 90
10. Épilogue 2 91
Annexe A. Rappels de topologie sur un espace métrique 93
1. Ouverts, fermés, compacts 93
1.1. Espaces métriques 93
1.2. Ouverts, fermés 93
1.3. Adhérence d’un ensemble 93
1.4. Compacts 94