M.ka-TS1

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Rédigé par :
Mouhamadou KA
Professeur au Lycée Cheikh Oumar Foutiyou TALL de Saint-Louis
Saint-Louis, Septembre 2008

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1. METHODE DE RAISONNEMENT PAR RECURRENCE
Exemple 1 :
Soit à démontrer la propriété : (1) 1² + 2² + 3² + …..+ n² = n(n + 1) (2n + 1)
6 ∀ n ∈ ℕ*,
a) Remarquons d’abord que cette propriété est vraie pour n = 1, car alors le membre de
gauche est égal à 1² = 1 et celui de droite à 1 × 2 × 3
6 = 1 .
b) Supposons que la propriété est vraie pour un entier k, c’est-à-dire que :
(2) 1² + 2² + 3² + …..+ k² = k(k + 1) (2k + 1)
6 .
Montrons alors qu’elle est vraie pour n = k + 1. En effet, d’après (2) :
1² + 2² + 3² + …..+ k² + (k + 1)² = k(k + 1) (2k + 1)
6 + (k + 1)²
= (k + 1) 
k (2k + 1)
6 + (k + 1) = (k + 1) 
2k² + 7k + 6
6 = (k + 1)(k + 2) (2k + 3) 6 (3) .
(3) est identique à (1) avec n = k + 1.
Ainsi, on a démontré que:
(3) Si la propriété est vraie pour n = k, alors elle est vraie pour n = k + 1.
c) Or (1) est vraie pour n = 1, donc d’après (3) avec n = 1 , elle est vraie pour n = 2.
Donc, d’après (3) avec n = 2, elle est vraie pour n = 3.
Donc, d’après (3) avec n = 3, elle est vraie pour n = 4…...
En continuant ce raisonnement, on voit que la propriété (1) est vraie pour tout entier naturel n.
De manière générale, nous admettrons le principe suivant, appelé principe de récurrence :
Soit à démontrer une propriété (Pn) dépendant de l’entier naturel n.
(a) Si on démontre qu’elle est vraie pour une certaine valeur n = n0 ,
(b) Et si on démontre que dès qu’elle est vraie pour n = k, alors elle est
vraie pour n = k + 1
(c) Alors, on peut conclure qu’elle est vraie pour n ≥ n0.
Exemple 2 : Démontrer que : ∀ n ≥ 1 , 7 divise 2n + 1 + 32n ― 1.
N.B. On dit que l’entier k divise l’entier n (notation : k | n) si et seulement si :
il existe un entier p tel que : n = k × p.
(a) pour n = 1, 22 + 31 = 7 = 7 × 1 et 7 | 7 , donc la propriété est vraie.
(b) Supposons qu’elle est vraie pour n = k, c’est-à-dire que : 7 | 2k + 1 + 32k ― 1.
Il existe donc un entier p tel que 2k + 1 + 32k ― 1 = 7p (∗).
Alors, 2k + 2 + 32k + 1 = 2(2k + 1) + 9 × 32k ― 1. D’après (∗), ceci est égal à :
2(7p ― 32k ― 1) + 9 × 32k ― 1 = 14p + 7 × 32k ― 1 = 7 (2p + 32k ― 1).
Donc, 2k + 2 + 32k + 1 est aussi un multiple de 7.
On en conclut que : ∀ n ≥ 1 , 7 divise 2n + 1 + 32n ― 1 .

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Exercices : 1. Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :
a) 13 + 23 + … + n3 = n²(n + 1)²
4 b)
1
(2 1)(7 1)
, ² 6
k n
k
n n n
n n k
c) ∀ n ≥ 5 : 2n ≥ n² d) 1
, ! ( 1)! 1.
p n
p
n p p n
e) 3 2 2
0
, (2 1) ( 1) (2 4 1).
p n
p
n p n n n  f) 1
( 1)( 2)
, ( 1) .
3
p n
p
n n n
n p p
g)
0
cos ( 1) sin( )
1
, sin² .
2 sin
k n
k
n n
n k n  h) ∀ n ∈ ℕ, 11 divise 32n + 2 + 36n + 1.
i) 25 divise 72n + 23n ─ 3 × 3n ─ 1 j) (x ─ y) divise (xn ─ yn) k)
n
d
x
dx
= nxn ─ 1.
2. Démontrer que, si 10n + 1 est divisible par 9, alors (10n + 1 + 1) est divisible par 9. Peut-on en conclure que,
pour tout n de ℕ, 10n + 1 est divisible par 9 ?
2. GENERALITES SUR LES SUITES
2.1 Définition : Une suite numérique est une application u d’une partie A de ℕ vers R.
u : A → R (A ⊂ ℕ).
L’image u(n) d’un entier n ∈ A par u est notée un (notation indicielle).
La suite elle-même est notée (un) n
∈
A .
Remarque :
 Ne pas confondre :
─ la suite (un) qui est une application ;
─ le terme de rang n, un qui est un réel ;
─ {un , n ∈ ℕ}, ensemble des valeurs de la suite.
 Certaines suites ne sont définies qu'à partir d'un certain rang, comme par exemple :
un 1
n définie pour n ℕ*. vn  n 3 définie pour n ≥ 3.
Notons que le domaine de définition est nécessairement du type  n0,  = ensemble des
entiers n tels que n ≥ n0,où n0 ℕ.
2.2 Modes de définition d’une suite
Une suite peut être définie de deux manières :
∙ Suite définie en fonction du rang n (définition explicite) :
Exemple : un = (─ 1)n
n , pour n ≥ 1. On obtient : u1 = ─ 1 ; u2 = 1 2 ; u3 = ─ 1 3 etc …
Exercice : 3. Calculer les six premiers termes de la suite (un) dans chacun des cas suivants :
a) un = 2n ─ 3n ─ 1 ; b) un = (─ 1)n
n ; c) un = n n + 1 d) un = (─1)n cos nπ 3 .

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∙ Suite définie par une relation de récurrence :
Exemple 1 :
1
2
0
(1 )
n
n n
u
u u u
On obtient : u1 = u0 (1 ─ u0) = ─ 2 ; u2 = ─ 6 ; u3 = ─ 42 etc….
Exemple 2 : 1
0
1 2
2
1 1
nn n n
u u
u u u
 (Suite de FIBONACCI)
On obtient : u2 = 1 + 1 = 2 ; u3 = 2 + 1 = 3 ; u4 = 3 + 2 = 5 ; u5 = 5 + 3 = 8 etc….
(Chaque terme est la somme des deux précédents).
Exercices :
4. Calculer les six premiers termes de la suite (un) dans chacun des cas suivants :
a) u0 = 9 ; un+1 = f(un), avec f(x) = 2x ─ 5
x + 1 b) Pour tout n de ℕ*, un+1 = 2un + 1 un ─ 1 , avec u0 = 1 et u1 = 1.
5. Soit (un) la suite définie par : u0 1 ; u1 2 et un2 5un1 6un pour tout n ≥ 0.
Démontrer que un 2n pour tout entier n.
2.3. Sens de variation d’une suite
2.3.1 Définition
Soit un) n
∈
A une suite de nombres réels. On dit que :
La suite (un) est croissante (à partir du rang n0) lorsque un ≤ un + 1 pour tout entier n ≥ n0.
La suite (un) est décroissante (à partir du rang n0) lorsque un ≥ un + 1 pour tout entier n ≥ n0.
La suite (un) est monotone (à partir du rang n0) si elle est croissante ou décroissante (à partir
du rang n0).
La suite (un) est stationnaire lorsque un = un + 1pour tout n ≥ n0. (Constante si (un) est définie
à partir du rang n0).
N.B. On définit la stricte croissance (ou décroissance) à l'aide de l'inégalité stricte un < un + 1
(un > un + 1).
2.3.2 Méthodes
Pour vérifier qu'une suite est croissante (ou décroissante), on peut :
a) calculer, pour tout indice n, la différence de deux termes consécutifs un + 1 ─ un. Si on
obtient une quantité positive, alors la suite (un) est croissante. Si on obtient une quantité
négative, alors la suite (un) est décroissante.
Si on obtient une quantité de signe variable alors la suite n'est ni croissante, ni décroissante.
Exemple : un 2n sin n.
Étudions, pour tout entier n, le signe de la différence de deux termes consécutifs :
un + 1 ─ un2(n 1) sin(n 1) 2n sin n 2 sin(n 1) sin n
Or 1 ≤ sin(n + 1) ≤ 1 et 1 ≤ sin n ≤ 1, donc 2 ≤ sin(n 1) sin n ≤ 2,
par conséquent : un + 1 ─ un ≥ 0 : la suite (un) est donc croissante.
b) Si on sait que la suite (un) est à termes strictement positifs, et seulement dans ce cas, on
peut comparer le quotient de deux termes consécutifs un+1
un à 1. Si un+1 un est supérieur ou égal à

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1, pour n ≥ n0, alors la suite (un) est croissante à à partir du rang n0. Si un+1
un est inférieur ou
égal à 1, pour n ≥ n0, alors la suite (un) est décroissante à à partir du rang n0.
Exemple : un 2n
n² . On a : un+1 un = 2n (n + 1)² × n² 2n = 2 ×
2
1
n
n
.
Cherchons s’il existe des valeurs de l’entier n pour lesquelles ce quotient est supérieur à 1 :
un+1
un ≥ 1 ⇔
2
1
n
n
≥ 1
2 ⇔
1
n
n
≥ 1
2 ⇔ 2 n ≥ n + 1 ≥ ( 2 ─ 1)n ≥ 1, et puisque
2 ─ 1 est un réel positif, ceci équivaut à : n ≥ 1
2 ─ 1 ⇔ n ≥ 2 + 1 . Or, n est un entier ;
cette dernière condition signifie que n ≥ 3
Ainsi : le quotient un+1
un est supérieur ou égal à 1 si et seulement si n est supérieur ou égal à 3.
Comme le suite (un) est à termes positifs, il vient un+1 ≥ un pour n ≥ 3.
La suite (un) est donc croissante à partir du rang n = 3
2.3.3 Cas des suites du type un (n) :
Théorème : Où l'on utilise une fonction associée
Soit (un) la suite définie par un (n) où est une fonction définie sur un intervalle du type
[a ; + [ où a R+.
Si la fonction est monotone sur [a ; [ alors la suite (un) est monotone sur  E(a) 1; 
et possède le même sens de variation que .
Démonstration :
Supposons croissante sur [a ; [. (Les autres cas se prouvent de manière analogue).
Pour tout n [E(a) 1 ; [, on a alors : un + 1 ─ un (n 1) (n) > 0
Donc (un) est croissante sur [E(a) 1 ; [.
Exercice : 6. Etudier le sens de variation de la suite (un) dans chacun des cas suivants :
a) un = ─ 3n² + 20n + 100 b) un = ─ 3n + 4
n + 2 c) un = (1,1)n n7 .
d) un+1 = 3un ─ 2 un ─ 1 , u0 = 1, u1 = 2. e) 2un+1 = un + un ─ 1 , u0 = 0, u1 = ─ 3.
2.4 Suites bornées
Définition :
On dit que la suite (un) n
∈
A est :
majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout n de A, un ≤ M.
minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout n de A, un ≥ M
bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.
Remarque : La suite (un) n ∈ A est bornée s’il existe un couple (m, M) de réels tel que, pour
tout n de A, on a : m ≤ un ≤ M.
Exemples : 1°) Soit (un) la suite définie par : un = (─ 1)n + sin n
n² . On a ─ 2 ≤ (─ 1)n + sin n ≤ 2
et