Oscillateurs

Olivier GRANIER
(O.Granier)
Oscillateurs mécaniques
(mécanique du point matériel)
A – Etude en régime libre

Olivier GRANIER
1 - Un 1
er
exemple simple : système {masse - ressort horizontal} :
* En l’absence de frottements : le PFD ou une étude énergétique conduisent à :
T
r
x
u
r
l
x
O
x
M(m)
0
2
0
=+=+ xxx
m
k
x ω
&&&&
k
m
T π
ω
π
2
2
0
0
==
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
)cos(sincos 000
ϕ
ω
ω
ω
−
=
+
=
tCtBtAx
Simulation Java

Olivier GRANIER
Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} :
* En présence de frottement fluide en :
Le PFD s’écrit alors, en projection sur l’axe (Ox) :
vhm
r
−
0=++−−= x
m
k
xhxsoitxhmkxxm &&&&&&
On pose :
Q
h
m
k
0
00
22;
ω
σωλω
====
σ
σσ
σest le facteur d’amortissement de l’oscillateur et Q le facteur de qualité.
Alors :
022
2
0
0
2
00
2
0
=++=++=++ xx
Q
xxxxxxx ω
ω
ωσωωλ
&&&&&&&&&
Différents régimes, selon les valeurs prises par σ
σσ
σ(ou Q = 1/2σ
σσ
σ) : régime
pseudo-périodique, régime apériodique ou régime apériodique.
Simulation Cabri

Olivier GRANIER
2 - Méthode de résolution de l’équation différentielle :
022
2
0
0
2
00
2
0
=++=++=++ xx
Q
xxxxxxx ω
ω
ωσωωλ
&&&&&&&&&
On recherche des solutions de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au
corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :
02
2
00
2
=++ ωσω rr
Dont le discriminant est :
)1(4
22
0
−=∆ σω
),(:10
),(:10
),(:10
0
21
21
ωσ
σ
σ
−===∆
∈>>∆
∈
−
<
<
∆
runiqueracinecritiqueeapériodiqurégimesoit
Rrreapériodiqurégimesoit
Crrpériodiquepseudorégimesoit

Olivier GRANIER
ω
σω
ϕ
ω
σω
ϕω
ω
ω
σω
ω
σω
σω
0
2
0
0
0
0
tan;1
)cos()(
)sin()cos()(
0
0
= +=
−=
+=
−
−
xC
tCetx
ttextx
t
t
Régime pseudo-périodique :
)(
)1( 2
0
pulsationPseudo
avec
−
−= σωω
)1(
<
σ
(CI : x(0)=x
0
et vitesse initiale nulle)
Simulation Regressi
Simulation Maple