Oscillateurs

(O.Granier)
Oscillateurs mécaniques
(mécanique du point matériel)
A – Etude en régime libre
Olivier GRANIER
1 - Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} :
* En l’absence de frottements : le PFD ou une étude énergétique conduisent à :
r
T
r
ux
l
&x& +
M(m)
x
O
x
k
x = &x& + ω 02 x = 0
m
2π
m
T0 =
= 2π
ω0
k
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
x = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t = C cos(ω 0 t − ϕ )
Simulation Java
Olivier GRANIER
Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} :
* En présence de frottement fluide en
r
− hmv :
Le PFD s’écrit alors, en projection sur l’axe (Ox) :
m&x& = − kx − hmx&
On pose :
ω0 =
k
m
;
soit
&x& + hx& +
h = 2λ = 2σω0 =
k
x=0
m
ω0
Q
σ est le facteur d’amortissement de l’oscillateur et Q le facteur de qualité.
Alors :
&x& + 2λx& + ω 02 x = &x& + 2σω0 x& + ω 02 x = &x& +
ω0
Q
x& + ω 02 x = 0
Différents régimes, selon les valeurs prises par σ (ou Q = 1/2σ
σ) : régime
pseudo-périodique, régime apériodique ou régime apériodique.
Simulation Cabri
Olivier GRANIER
2 - Méthode de résolution de l’équation différentielle :
&x& + 2λx& + ω02 x = &x& + 2σω0 x& + ω02 x = &x& +
ω0
Q
x& + ω02 x = 0
On recherche des solutions de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au
corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :
r 2 + 2σω0 r + ω02 = 0
Dont le discriminant est :
∆ = 4ω 02 (σ 2 − 1)
∆ < 0 soit σ < 1 : régime pseudo − périodique (r1 , r2 ∈ C )
∆ > 0 soit σ > 1 : régime apériodique (r1 , r2 ∈ R)
∆ = 0 soit σ = 1 : régime apériodique critique (racine unique, r = −ω0 )
Olivier GRANIER
Régime pseudo-périodique : (σ < 1)
(CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle)
σω 0


x(t ) = x0 e −σω0t  cos(ωt ) +
sin(ωt ) 
ω


x(t ) = Ce −σω0t cos(ωt − ϕ )
C = x0
 σω 
1+  0 
 ω 
2
; tan ϕ =
σω 0
ω
(avec ω = ω0 1 − σ 2 )
( Pseudo − pulsation)
Simulation Maple
Simulation Regressi
Olivier GRANIER
Régime apériodique : (σ > 1)
(CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle)
r1 = −σω0 + ω0 σ 2 − 1 ; r2 = −σω0 − ω0 σ 2 − 1
ω = ω0 σ 2 − 1
σω0


x(t ) = x0 e −σω0t  ch(ωt ) +
sh(ωt ) 
ω


  σω0  −ωt  σω0  ωt 
x
x(t ) = 0 e −σω0t  1 −
e + 1 +
e 
2
ω
ω


 

Simulation Maple
Simulation Regressi
Olivier GRANIER
Régime apériodique critique :
(σ = 1) (CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle)
x(t ) = x0 (1 + ω0t )e −ω0t
Simulation Maple
Simulation Regressi
Olivier GRANIER
3 - Autres exemples d’oscillateurs :
l0
A vide
A l’équilibre
k
r
Téq
l éq
O
r
ux
r
mg
Le ressort vertical
En mouvement
r
T
l = l éq + x
x
x
r
r
r
r
Téq = − k (l éq − l 0 )u x ; T = −k (l éq + x − l 0 )u x
r
mg
Olivier GRANIER
En l’absence de frottements :
A l’équilibre :
En mouvement :
r
r
r r
r
r
mg
mg + Téq = 0 ; − k (l éq − l 0 )u x + mgu x = 0 ; l éq = l 0 +
k
r r
r
r
r
r
mg + T = ma ; − k (l éq + x − l 0 )u x + mgu x = m&x& u x
En tenant compte de la relation obtenue à l’équilibre :
&x& +
k
x = &x& + ω02 x = 0
m
( Avec ω0 =
k
)
m
En présence de frottements fluides :
Par un raisonnement similaire, on obtient :
r r
r
r
r
r
r
r
mg + T − hmv = ma ; − k (l éq + x − l 0 )u x + mgu x − hmx&u x = m&x& u x
&x& + hx& +
k
x = &x& + 2σω0 x& + ω02 x = 0
m
( Avec ω0 =
k
et 2σω0 = h)
m
Olivier GRANIER
Ressort sur un plan incliné :
l éq
A
rO ur
x
T
r
N
r
f
r
mg
α
&x& + hx& +
− k (l éq
x
r
r
r
− l 0 )u x + mg sin α u x = 0
d ' où : l éq = l 0 +
x
r
v
mg sin α
k
En présence d’une force de
r
frottement fluide de la forme −hmv,
l’équation différentielle vérifiée par
la variable x peut encore s’écrire
sous la forme canonique :
ω
k
x = &x& + 2σω0 x& + ω 02 x = &x& + 0 x& + ω02 x = 0
m
Q
Olivier GRANIER
Oscillateurs couplés :
Enoncé du problème : (fichier au format pdf)
Simulation Regressi
pdf
Simulation Java
(oscillateurs couplés)
Simulation Maple
Olivier GRANIER
O
Le pendule simple :
r
En présence d’une force de frottement fluide − hmv :
r
uθ
PFD sur
:
mlθ&& = −mg sin θ − hm(lθ&)
g
2
Soit : θ&& + hθ& + sinθ = θ&& + 2σω0θ& + ω0 sinθ = 0
l
Si l’angle θ reste « petit », alors on retrouve
l’équation habituelle :
r
uz
l
θ
r
r
f = −hmv
r
mg
g
l
θ&& + hθ& + θ = θ&& + 2σω0θ& + ω02θ = 0
Simulation Regressi
Simulation Java
(pendule amorti)
Simulation Maple
Simulation Java
(pendule chaotique)
r vr = lθ& u
θ
Tr
uθ
M
r (m)
u
r
z
Olivier GRANIER
4 - Notion d’espace des phases :
Cet espace est le produit de l'espace ordinaire par l'espace des
vitesses. En d'autres termes, un point matériel M est repéré dans cet
espace par les coordonnées (x,y,z) de son vecteur position ainsi que par
celles de son vecteur vitesse, notées (vx,vy,vz).
On se limite aux cas où un point matériel M est animé, dans l'espace
ordinaire, d'un mouvement à une dimension, le long de l'axe (Ox).
Dans l'espace des phases, le point représentatif de l'état de M se
déplace alors dans une région à deux dimensions.
Ce point, de coordonnées (x,v), décrit lors du mouvement de M une
courbe appelée "courbe des phases". Cette "trajectoire" de M dans
l'espace des phases a pour origine le point M0(x0,v0) correspondant à
l'état initial de M.
Olivier GRANIER
La position du point matériel est complètement déterminée par la donnée
des conditions initiales et par la connaissance des équations du mouvement.
Comme l'évolution de la particule est univoque, deux trajectoires dans
l'espace des phases ne peuvent pas se croiser. Si cela était possible, en
prenant ce point d'intersection comme conditions initiales, on pourrait
obtenir deux solutions distinctes des équations du mouvement, ce qui est
interdit pour des raisons mathématiques.
Exemples de courbes des phases :
*** initialement en mouvement, M n'est soumis à aucune force.
*** initialement immobile, M est soumis à une force constante F.
*** initialement en mouvement, M est soumis à une force de frottement
proportionnelle à sa vitesse : F = -hmv (a : constante positive).
Olivier GRANIER
*** initialement immobile hors d'équilibre, M est soumis à une force de
rappel proportionnelle à son élongation : F=-kxi (k : constante positive).
La courbe des phases peut se retrouver en écrivant l’intégrale
mouvement.
1ère
du
Quelle est l'équation de la courbe des phases dans le plan (x,v/ω
ω0) ?
*** Déterminer, par la même loi de conservation, la courbe de phase pour
un pendule simple (masse m et longueur L).
Quelle est l'équation de la courbe des phases dans le plan (θ
θ, θ& / ω 0 ) ?
Olivier GRANIER
5 - Portrait de phase d’un oscillateur :
Lecture de portrait de phase (ex 5) : on considère
le portrait de phase d’un oscillateur harmonique
amorti composé d’une masse m = 500 g soumise à
une force de rappel élastique (ressort de raideur k)
r r
et à une force de frottement fluide ( −λv , v étant
la vitesse de la masse m et on note x l’écart à la
position d’équilibre). L’étude est réalisée dans le
référentiel galiléen du laboratoire.
a) Déterminer la nature du régime de l’oscillateur.
(cm)
b) Déterminer, par lecture graphique :
* La valeur initiale de la position x0.
* La valeur finale de la position xf.
* La pseudo période Ta.
* Le décrément logarithmique δ.
c) En déduire la pulsation propre ω0, le facteur de
qualité Q de l’oscillateur, la raideur k du ressort et
le coefficient de frottement fluide λ.
Olivier GRANIER
(cm)
Olivier GRANIER
a) Régime pseudo-périodique : présence de frottements, la courbe
de phase n’est pas fermée. Elle se termine en un point d’équilibre
stable (ici le point O), appelé attracteur.
b) x0 = 3 cm ; xf = 0 cm (attracteur) ; Ta = 315 ms ;
x
δ = ln 0
 x1
 3.10 −2

 = ln
 1,6.10 − 2



 = 0,628


;
c) Q = 5 ; ω 0 = 20,05 rad .s −1 ; σ =
k = mω02 = 201 N .m −1 ; λ = m
ω0
Q
x(t + Ta ) = e −δ x(t ) = e −σω0Ta x(t )
1
= 0,1
2Q
= 2 Nm −1.s
Olivier GRANIER
Portrait de phase d’un pendule simple :
Fichier Maple
(Pendule simple)
Simulation Java
(pendule chaotique)
Olivier GRANIER
Trampoline (ex n°2) :
On considère la modélisation d’un trampoline à l’aide de deux ressorts de longueur à vide l0
et de raideur k. Un homme, assimilé à un point matériel M de masse m monte sur le trampoline
qui s’enfonce ; son mouvement est vertical le long de l’axe (Ox).
Données :
k = 3 300 N .m −1 ; l 0 = 1 m ; m = 80 kg ; d = 5 m
Dans les deux premières questions, on suppose que
l’homme reste en contact avec le trampoline : il est
solidaire du trampoline.
a) Déterminer la distance d’enfoncement xéq à
l’équilibre lorsque l’homme monte sur le trampoline. En
déduire l’allongement des ressorts.
A
B
d
A
B
O
b) L’oscillateur obtenu est-t-il harmonique ?
r
ux
M(m)
r
uy
x
Olivier GRANIER
r
a) Bilan des forces à l’équilibre : Le poids : mg u x
r
La tension du ressort de droite : Td = k ( MB − l 0 )
r
r
d 
MB = − x u x + (d / 2) u y ; MB = x 2 +  
2
De même :
MB
MB
2
, d’où :

r

Td = k 




d


2

r
r 
−x
d 

2
x 2 +   − l 0 
ux +
uy 
2
2

2

d
d




2
2
 x + 
+
x




2
2



r

Tg = k 




d


2

r
r 
−x
d

2
x 2 +   − l 0 
ux −
uy 
2
2

2

d
d




2
2
 x + 
x
+




2
2


(tension du ressort
de gauche)
Olivier GRANIER
r r r
r
A l’équilibre : mg u x + Td + Tg = 0
En projection sur l’axe (Ox) :



l0
mg − 2kxéq 1 −
2

2 d 

xéq +  

2




=0




Une résolution numérique conduit à xéq = 19,8 cm. L’allongement des ressorts est alors :
2
xéq
2
d 
+   − l 0 = 1,5 m
2
Olivier GRANIER
En mouvement, le PFD appliqué à la masse m donne, en projection sur (Ox) :



l0
m&x& = −2kx1 −
2

d

2

x + 

2




 + mg




Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre non linéaire : l’oscillateur n’est pas
harmonique.
Olivier GRANIER
PCSI 1 (O.Granier)
Lycée
Clemenceau
Année scolaire 2003 - 2004
Oscillateurs mécaniques
(mécanique du point matériel)
B – Etude en régime sinusoïdal forcé
Olivier GRANIER
1 - Intérêt de l’étude :
Contraintes
extérieures
Système linéaire électrique
ou mécanique
(réseaux électriques,
suspensions de voitures, atomes
excités par des ondes
lumineuses, …
Réponse du
système
L’analyse harmonique (ou fréquentielle) d’un système est son étude au moyen de sa
réponse harmonique s(t), c’est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal
lorsqu’il est soumis à une entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation ω.
e(t)=Emcosω
ωt
« Filtres »
mécaniques ou
électriques
s(t)=Smcos(ω
ωt+ϕ
ϕ)
Olivier GRANIER
Une 1ère étude a été faîte en cours de SI et les notions suivantes ont
été abordées :
Fonction de transfert complexe – Gain – phase – Diagramme de Bode –
dB – Filtre du 1er ordre – Filtre du 2ème ordre – Pulsation de coupure –
Asymptotes – Coefficient d’amortissement ξ (= σ !) – Pulsation propre –
Résonance – Bande passante.
Le pont de Tacoma
Oscillations forcées
Simulation Regressi
(mise en évidence du
régime transitoire)
(Ressort vertical)
Olivier GRANIER
2 - Description et équation de l’oscillateur étudié :
Dans le référentiel terrestre galiléen :
A l’équilibre
A
m&x& = mg − hmx& − k (l éq + x − x A − l 0 )
En utilisant la condition d’équilibre :
l éq
k
k
&x& + hx& + x = x A
m
m
r
Téq
En mouvement
O
r
ux
A
xA
l = l éq + x − x A
r
T
Soit, avec :
h = 2σω0 =
ω0
Q
= 2λ et
ω02
k
=
m
&x& + 2σω0 x& + ω02 x = ω02 x A
r
mg
x
r
mg
x A = X A,m cos(ωt )
Olivier GRANIER
Cette équation est formellement identique à celle vérifiée par la tension
aux bornes d’un condensateur dans un circuit série (RLC) alimenté par un
GBF (voir cours d’électricité) :
1
Lq&& + Rq& + q = e(t ), soit , avec q = CuC :
C
u&&C +
R
1
1
uC +
uC =
e(t )
L
LC
LC
Méthode de résolution choisie : la même qu’en électricité !
x A = X A, m e i ω t
;
x& = iω x
et
x = X m e i (ωt +ϕ ) ( x = X m cos(ωt + ϕ ))
&x& = iω x& = (iω ) 2 x = −ω 2 x
Olivier GRANIER
3 - Détermination de la réponse en amplitude x(t) :
&x& + 2σω0 x& + ω02 x = ω02 x A
− ω 2 x + 2σω0 (iω x) + ω02 x = ω 02 x A
[(ω
2
0
]
− ω 2 ) + 2iσω0ω x = ω 02 x A
Soit :
x=
Ou encore :
ω02
(ω 02
X m e iϕ =
2
− ω ) + 2iσω0ω
xA
ω02
(ω02
2
− ω ) + 2iσω0ω
X A, m
Olivier GRANIER
Etude de l’amplitude maximale Xm(ω
ω) :
En prenant le module de l’expression précédente :
Xm =
Etude mathématique :
On note :
ω02
(ω02
2 2
− ω ) + 4σ
lim X m = X A,m
ω →0
2
ω02ω 2
X A, m
lim X m = 0
;
ω →∞
D(ω ) = (ω02 − ω 2 ) 2 + 4σ 2ω 02ω 2
Alors Xm(ω
ω) sera extrémale si D(ω
ω) l’est aussi. On calcule ainsi une dérivée plus
simple :
dD(ω )
= −4ω (ω02 − ω 2 ) + 8σ 2ω02ω = 4ω − (ω02 − ω 2 ) + 2σ 2ω02 = 0
dω
(
)
Olivier GRANIER
ω=0
On obtient ainsi :
ou
− (ω02 − ω 2 ) + 2σ 2ω02 = 0
Soit, en oubliant la solution non harmonique (correspondant à ω = 0) :
ω r2 = ω02 (1 − 2σ 2 )
Cette pulsation de « résonance d’amplitude » (c’est à dire correspondant à une
réponse harmonique en amplitude maximale) n’existe que si :
1 − 2σ 2 > 0
Elle vaut alors :
soit
σ<
1
2
ω r = ω0 1 − 2σ 2
Et l’amplitude maximale à la « résonance d’amplitude » est :
X m (ω r ) =
1
2σ 1 − σ 2
X A,m
Olivier GRANIER
Les formules précédentes deviennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la
place du coefficient d’amortissement σ (Q = 1/2σ
σ, et noter que σ s’identifie au
coefficient ξ utilisé en SI) :
ω r = ω0 1 −
1
avec
2Q 2
Q>
1
2
Q
X m (ω r ) =
1−
1
4Q 2
X A,m
Remarque : pour de faibles amortissements (σ
σ «faible» et Q «grand»), alors :
ω r ≈ ω0
et
X m (ω r ) ≈ QX A, m
Ainsi, si Q=10, l’amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l’excitation :
la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant.
Olivier GRANIER
Tracés des courbes Xm(ω
ω) pour différentes valeurs de σ (ou Q) :
Xm
* On a choisi : XA,m = 1
Cliquer sur l’image pour
ouvrir le fichier MAPLE
* u = ω/ω
ω0 désigne la pulsation
réduite
* On vérifie bien que, pour σ
faible, la résonance est obtenue
pour u ~ 1 (soit ω ∼ ω0).
* L’oscillateur constitue un filtre
passe-bas
* Bande passante du filtre
Avec Regressi
u
Olivier GRANIER
Etude du déphasage ϕ(ω
ω) :
La réponse complexe est :
X me
iϕ
=
ω 02
(ω 02
2
− ω ) + 2iσω0ω
X A, m
2
2
Le déphasage ϕ est l’opposé de l’argument θ du complexe (ω 0 − ω ) + 2iσω 0ω.
Par conséquent :
tan ϕ = − tan θ = −
sin ϕ = − sin θ < 0
2σω0ω
ω 02 − ω 2
→ donc ϕ ∈ [− π ,0]
( signe de − 2σωω 0 )
Tracé des courbes ϕ(ω
ω) :
Cliquer sur l’image pour
ouvrir le fichier MAPLE
Avec Regressi
Olivier GRANIER
Fonction de transfert complexe en amplitude :
La fonction de transfert complexe en amplitude est définie par :
H x (iω ) =
Soit :
G x (ω ) =
x(t )
x A (t )
ω02
X m iϕ
H x (iω ) =
e = 2
X A, m
(ω0 − ω 2 ) + 2iσω0ω
Xm
est le gain (réel) en amplitude.
X A, m
Diagramme de Bode : c’est l’ensemble des deux courbes G x , dB = 20 log(G x ) et ϕ en
fonction de la pulsation ω, tracées en échelle semi-logarithmique (voir cours de SI
et l’étude des filtres en électricité).
Olivier GRANIER
4 - Détermination de la réponse en vitesse v(t) :
En notation réelle :
v(t ) = Vm cos(ωt + ψ )
En notation complexe :
v(t ) = Vm e i (ωt +ψ )
La vitesse complexe v s’obtient à partir de l’amplitude complexe x en remarquant
que v = x& = iωx . Par conséquent :
2


ω
ω0
0

=
v = iω
x
 (ω 2 − ω 2 ) + 2iσω ω A   ω ω
0
0
 0
 i
−
ω
 0 ω
Ou encore :
Vm e
iψ
=
ω0
 ω ω0 

2σ + i
−
 ω0 ω 

 + 2σ

xA
X A, m
Olivier GRANIER
Etude de l’amplitude maximale Vm(ω
ω) de la vitesse :
En prenant le module de l’expression précédente :
ω0
Vm (ω ) =
 ω ω0 

4σ 2 + 
−
 ω0 ω 
Etude mathématique :
lim Vm = 0
ω →0
;
2
X A,m
lim Vm = 0
ω →∞
Vm(ω
ω) sera maximale (on parle alors de résonance de vitesse, si le dénominateur
est minimal, c’est à dire pour une pulsation telle que :
ω ω0
−
=0
ω0 ω
soit
L’amplitude de la vitesse valant alors : Vm (ω0 ) =
ω = ω0
ω0
X A, m = Qω0 X A,m
2σ
Olivier GRANIER
Tracés des courbes Vm(ω
ω) pour différentes valeurs de σ (ou Q) :
Xm
* On a choisi :
Cliquer sur l’image pour
ouvrir le fichier MAPLE
XA,m = 1 et ω0=1 rad.s
– 1.
* u = ω/ω
ω0 désigne la pulsation
réduite
* Pour σ faible (ou Q grand), la
résonance est très aiguë.
* L’oscillateur constitue un filtre
passe-bande.
* Bande passante du filtre
Avec Regressi
u
Olivier GRANIER
Fonction de transfert complexe en vitesse et bande passante :
La fonction de transfert complexe en vitesse est définie par :
H v (iω ) =
Soit :
Gv (ω ) =
H v (iω ) =
V m iψ
e =
X A, m
v(t )
x A (t )
ω0
 ω ω0 

2σ + i
−
 ω0 ω 
Vm
est le gain (réel) en vitesse. Il est maximal pour ω = ω0 et vaut :
X A, m
ω
Gv (ω0 ) = 0 = Qω0
2σ
Olivier GRANIER
Bande passante du filtre passe-bande : c’est l’ensemble des pulsations ω
pour lesquelles le gain en vitesse reste, par convention, supérieur au gain
maximal (obtenu pour ω0) divisé par 2 .
Gv (ω ) ≥
1
2
Gv (ω0 ) =
1 ω0
2 2σ
pour
[
ω ∈ ω c1 , ωc2
]
Les pulsations ωc1 et ωc2 sont appelées pulsations de coupure. Elles vérifient :
Gv (ωc1 ) = Gv (ωc2 ) =
1 ω0
2 2σ
(Les placer sur les courbes fournies)
Ces pulsations de coupure vérifient ainsi l’équation :
ω0
 ω ω0 

−
4σ 2 + 
ω
ω
 0

2
=
1 ω0
2 2σ
Olivier GRANIER
En élevant au carré et en prenant l’inverse :
2
 ω ω0 
 = 8σ 2
4σ 2 + 
−

 ω0 ω 
ω ω0
−
= 2σ
ω0 ω
2
soit
 ω ω0 

 = 4σ 2
−
ω

 0 ω 
ou
La 1ère équation conduit à : ω 2 − 2σω0ω − ω 02 = 0
ω ω0
−
= −2σ
ω0 ω
2
Dont la seule racine positive est : ω c2 = σω0 + ω 0 1 + σ
La 2ème équation conduit à : ω 2 + 2σω0ω − ω02 = 0
2
Dont la seule racine positive est : ω c1 = −σω0 + ω 0 1 + σ
La largeur de la bande passante est : ∆ω = ω c2 − ω c1 = 2σω 0 =
ω0
Q
Elle est d’autant plus faible (résonance aiguë) que l’amortissement est faible
(et le facteur de qualité grand).
Olivier GRANIER
Etude du déphasage ϕ(ω
ω) :
La réponse complexe est :
tanψ = −
cosψ > 0
Remarque :
1
2σ
Vm e i ψ =
 ω ω0 


ω − ω 
 0

( signe de 2σ )
ψ =ϕ +
ω0
 ω ω0 

2σ + i
−
 ω0 ω 
X A, m
 π π
→ donc ψ ∈ − , 
 2 2
Avec
Regressi
π
2
Tracé des courbes ϕ(ω
ω) :
Cliquer sur l’image pour
ouvrir le fichier MAPLE
Olivier GRANIER
5 - Bilan énergétique, réponse en puissance :
En multipliant par v l’équation différentielle du mouvement :
m&x& + hmx& + kx = kx A
On fait apparaître différents termes énergétiques :
mv&x& + hmvx& + kvx = kvx A
D’où :
Soit :
soit
mx&&x& + kx&x = kvx A − hmvv
d 1 2
d 1
( x& ) + k ( x 2 ) = kvx A − hmv 2
dt 2
dt 2
d 1 2 1 2
( mv + kx ) = kvx A − hmv 2
dt 2
2
m
Le 1er membre est la dérivée temporelle de l’énergie mécanique de l’oscillateur :
Em =
1 2 1 2
mv + kx
2
2
Olivier GRANIER
Le 2nd membre est la somme de la puissance Pd dissipée par les forces de
frottement et la puissance Pf fournie par l’excitation :
Pd = −hmv 2
Pf = kx A v
et
On note P la puissance instantanée totale reçue par l’oscillateur :
P = Pd + Pf
De la même manière qu’en électricité, déterminons la puissance moyenne sur une
période :
P = Pd + Pf
Avec :
Pd = − hmv 2
Pf
1
= − hm
T
1
= kx A v = k
T
∫
T
0
1
v 2 dt = − hm
T
T
∫X
0
A, mVm
∫
T
0
2
hmV
m
Vm2 cos 2 (ωt + ψ )dt = −
2
cos ωt cos(ωt + ψ )dt
Olivier GRANIER
Pf
X A, mVm 
=k
2T 
∫
cos(2ωt + ψ ) dt +
0
Vm e i ψ =
Or, avec :
T
ω0
 ω ω0 

2σ + i
−
 ω0 ω 
2σ
cosψ =
 ω ω0 

4σ + 
−
 ω0 ω 
2
X A, mVm

cosψdt  = k
cosψ
0
2

∫
T
X A, m
et
X A, m =
2
Vm
ω0
 ω ω0 

4σ 2 + 
−

 ω0 ω 
2
Finalement :
Pf
Vm
1
1
2  h
= k 2σ
Vm = (mω0 )
2
ω0
2
 ω0
 Vm2 1
2

=
hmV
= − Pd
m
ω
 0 2
Olivier GRANIER
En définitive :
P = Pf + Pd = 0
En régime forcé, la puissance moyenne fournie par l’excitation est égale à
la puissance moyenne dissipée en chaleur par l’oscillateur.
Olivier GRANIER
6 - Autres oscillateurs :
Exercice n°1 : modélisation d’un haut parleur
Exercice n°2 : étude d’un sismographe
Exercice n°3 : pourquoi le ciel est-il bleu par beau temps ?
Olivier GRANIER