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UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
Année universitaire 2021-2022
Parcours : Mathématiques Grade : Licence Semestre : S2
TD MECANIQUE GENERALE
VECTEURS, TORSEURS ET CINEMATIQUE DU SOLIDE
Exercice 1 :
L’espace est rapporté au repère )z ,y ,x (O, R .
Soient le vecteur
a
= (1, 3, -1)/Ret l’opérateur vectoriel (A)
a
.
a) Déterminer dans la base du repère R les matrices des opérateurs vectoriels suivants : (A), (A)² et (A)3.
b) Pour
b
= (-1, 3, 5)/R , calculer de deux façons différentes (A)
b
; -(A)²
b
; -
b
(A)²
b
Exercice 2 :
Pour
A
et
B
deux vecteurs donnés et
X
vecteur inconnu, résoudre l’équation :
A
X
B
X
Exercice 3 :
L’espace est rapporté au repère )z ,y ,x (O, R . On considère le point P tel que z)/Ry,(x, OP et
le champ vectoriel
/ R
( ) (X,Y,Z)
H P
où :
X= 1 +3y - tz , Y= - 3x + 2tz et Z=2 + tx – t2y ; t étant un réel fixé.
Déterminer le réel t pour que ce champ vectoriel définisse un torseur [T] dont on donnera le vecteur et
la nature. Déterminer de deux façons différentes son axe central (T).
Exercice 4 :
Le torseur [T] est défini par les relations de correspondances suivantes dans )z ,y ,x (O, R :
M1 (1, 0, 0)/R →
1
(1, 0, -1)/R ; M2 (0, 1, 0)/R →
2
(1, 2, 2)/R ; M3 (0, 0, 1)/R →
3
(λ, μ , ν)/R
Déterminer (λ, μ , ν) pour que [T] soit un couple et trouver son moment.
Quelle relation doit lier (λ, μ , ν) pour que [T] soit un glisseur et déterminer μ et ν en fonction de λ pour
que son support passe par le point A(1/3, 1, 4/3)/R
Dans le cas où (λ, μ , ν) = (-2, 0, -1)/R, préciser les caractéristiques du torseur [T].
Exercice 5 :
Dans )z ,y ,x (O, R on donne deux glisseurs [G1] et [G2] de vecteurs respectifs yS
1 et xaS
2
a et des constantes non nulles, et de supports respectifs D1= (x = 0, z = 1)/R et D2= (y = 0, z = -1)/R.
On définit le torseur [T] par ses éléments de réduction au point P(x, y, z)/R : 21
)( SSTS
et
21
)( SPBSPATm
où A et B sontles intersections respectives de (D1) et (D2) avec l’axe
(O,
z
).
Calculer les composantes de
( )
P
m T
.
Déterminer l’axe (T) et préciser sa position par rapport à
(O,z)
.
On appelle point
Q
=(T) (O,
z
) et on pose )(TmQR Q
. Calculer les coordonnées de R. Trouver
l’ensemble des points R’, projection orthogonale de R sur le plan )y ,x (O, lorsque varie.
2
Exercice 6 : Changement de repères, les angles d’Euler
1) Dans la base )z ,y ,(x e orthonormé directe, on donne deux vecteurs
X
et
Y
d’expressions
respectives : )(
3
1zyxX
et )(
2
1zxY
Vérifier qu’ils sont unitaires et orthogonaux.
Calculer
Calculer z ,y ,x en fonction de Z ,Y ,X .
On donne dans les deux bases le vecteur Z ZYYXXzz yyxxW
Calculer x, y, z en fonction de X, Y, Z et X, Y, Z en fonction de x, y, z
En déduire l’expression de = y2 + xy – xz – yz en fonction de X, Y, Z.
2) Déterminer les angles d’Euler (, , ) relatifs à ce changement de repère ainsi que les deux repères
intermédiaires et en déduire les tableaux de changement de base de chaque rotation successive.
Exercice 7 :
Un solide (S) est en mouvement par rapport au repère fixe
o o o o o
R (O , x , y , z )
. On note
S (O, x, y, z)
le repère lié au solide. Soient trois points A, B et C du solide (S) tels que
OA x
,
OB y
et
OC z
. On suppose qu’à l’instant t :
( ) 2
Ro
V A S ux g y g z
( )
Ro
V B S g x vy
où g et des constantes positives données
( )
Ro
V C S g x g y wz
1) En utilisant l’équiprojectivité du champ de vitesses du torseur cinématique
,
montrer que
u g
,
2
v g
et
w g
.
2) a) Soit 0
/S R
px qy rz
le vecteur rotation du torseur cinématique
. En écrivant les
relations d’antisymétrie entre les vitesses des points A, B et C, déterminer p, q et r.
b) Déterminer l’axe instantané de rotation
( )
(axe central) du torseur cinématique
.
3) Déterminer la vitesse
( )
Ro
V O S
et l’accélération
( )
Ro
O S
.
Exercice 8 :
L’espace est rapporté au repère galiléen ),, oooo z y x (O, R , l’axe ), o
z (O étant vertical ascendant.
On étudiera, par rapport au repère ),, oooo z y x (O, R le mouvement d’un solide (S), qui est une tige
filiforme AB homogène de masse m, de centre de masse G. Le solide (S) est lié au repère ),, z y x (A, S
tel que
AB
=
z
et
2
1
AG
z
où est la longueur de la tige.
Le mouvement du solide (S) par rapport à R0 s’effectue de la façon suivante : l’extrémité A se déplace sur
le plan ), ooo y x (O, P tel que OA = a v
, et l’extrémité B parcourt l’axe ), o
z (O tel que OB = b o
z
. On
repère la position de la tige à tout instant t par les angles d’Euler (,) tels que ),), v y (x x ( oo ,
mesuré autour de l’axe ), o
z (O et ),), y v (z z ( o
, mesuré autour de l’axe ), x (O ; puis on
prend le repère ),, o
1z v x (O, R comme repère de projection.
Dans tout le problème, on écrira les résultats en fonction des angles d’Euler (, ) et de leurs dérivées.
1) a) Exprimer a et b en fonction de .
3
b) Montrer que l’axe ), x (O est l’axe des nœuds et paramétrer le mouvement du solide (S) par
rapport au repère R0.
c) Calculer les vitesses Ro
V
(A), Ro
V
(B), Ro
V
(G), puis les accélérations
Ro
(A) et
Ro
(B) puis
Ro
(G)
2) Retrouver Ro
V
(G), et
Ro
(G) par composition de mouvement en prenant :
a) ),, o
1z v x (O, R comme repère relatif
b) ),, z y x (A, S comme repère relatif.
3) Soit un point P mobile sur la tige telle que
BP
(t)
z
.
a) Calculer S
V
(P), 1
R
V
(P) et Ro
V
(P).
b) Utiliser la composition de mouvement pour R1 relatif pour trouver Ro
V
(P).
Exercice 9 :
On considère deux plans
1
et
2
qui restent en coïncidence (globale) quel que soit t. On désigne par
R (O , x , )
i i i i
y
un repère orthonormé direct lié à
i
. Soit (C1) le cercle situé dans
1
, de centre O1 et de
rayon R. On suppose que le point O2 de
2
reste constamment sur la partie x1 ≥ R de l’axe
1 1
(O , x )
et que
l’axe
2 2
(O , )
y
reste constamment tangent à (C1) en un point P variable sur (C1) et sur
2 2
(O , )
y
, de telle
sorte que 1 2
( )=( x , x ) 0,
2
t
, mesuré autour de
1 1 1
z x
y
. On étudie le mouvement de
2
1
(supposé tel que
d
dt
ne s’annule jamais).
1) Caractériser géométriquement la position du C.I.R. I à l’instant t et retrouver le résultat par calcul;
montrer que cette position ne dépend pas de
d
dt
.
2) Déterminer la base 1 et la roulante 2 dans le mouvement considéré (on déterminera 1 et 2 par
des équations paramétriques). Quelle est la nature géométrique de 2 ?
3) Soit M2 un point quelconque lié à
2
; exprimer l’accélération
2
( )
M
par ses composantes dans R1.
4
4) Dans le cas où
d
dt
est constant, en déduire qu’il existe un point M2 unique dont l’accélération est
nulle à l’instant t. Quel est à l’instant t l’ensemble des positions dans
1
des points liés à
2
dont
l’accélération est colinéaire à la vitesse ?
1
/
4
100%
