Correction TD Rappel Statique Et Torseur de cohésion Olfa TORJEMAN Olfa TORJEMAN 1 Rappel Statique 3D : . Tout solide dans l’espace possède: 6 degrés de liberté: 3 translations suivant X, Y, et Z 3 rotation autour de X, Y, et Z . 2D : En RDM , les problèmes sont bidimensionnels: 3 degrés de liberté: 2 translations suivant X et Y. 1 rotation autour de l’axe Z . Rappel Statique Un appui simple : . Ce type d’appui laisse à la structure toute liberté de pivoter autour de O et de se déplacer perpendiculairement à la droite joignant les points de contact Ux 0 Fx = 0 Uy = 0 Fy 0 Uz 0 MZ = 0 Cinématique Statique Fy = Ry Rappel Statique Un appui double : . extrémité de la poutre ou des Cet appui autorise les rotations d’une éléments constituants la structure Ux = 0 Fx 0 Uy = 0 Fy 0 Uz 0 FZ = 0 Fy = Ry Fx = Rx Cinématique Statique Rappel Statique Un encastrement : . Cet appui interdit tout déplacement de la section droite de l’appui Ux = 0 Fx 0 Uy = 0 Fy 0 Uz = 0 Fy = Ry MZ 0 Mz Cinématique Statique Fx = Rx 𝑍 Notions des efforts internes Définition des composantes des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs : 𝑦 𝑂 . 𝑋 𝜏𝐶𝑜ℎ 𝑁 𝑀𝑡 = 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑍 𝑁 Effort normal selon l’axe 𝑋 𝑇𝑦 Effort tranchant selon l’axe 𝑦 𝑇𝑧 Effort tranchant selon l’axe 𝑍 Avec : G 𝑀𝑡 Moment de torsion par rapport à l’axe 𝑋 𝑀𝑓𝑦 Moment fléchissant par rapport à l’axe 𝑦 𝑀𝑓𝑧 Moment fléchissant par rapport à l’axe 𝑍 Notions des efforts internes Lors de la détermination des composantes du torseur de cohésion, on peut être amené à considérer plusieurs coupures pour une même poutre en particulier lorsqu’on rencontre : . Une discontinuité d’ordre géométrique (chargement de direction de la ligne moyenne) Une discontinuité liée à des efforts concentrés ou à une liaison. Correction Soit les poutres suivantes : 1. Calculer la réaction aux appuis. . 2. Déterminer le torseur de cohésion. 3. Tracer les diagrammes des efforts de cohésion tout le long de ces poutres Application 1 : Olfa TORJEMAN 8 Correction . Application 2 : a a Application 3 : Olfa TORJEMAN 9 Correction Application 4 : . Application 5 : Olfa TORJEMAN 10 Correction Application 6 : . Application 7 : Olfa TORJEMAN 11 Correction Application 8 : Olfa TORJEMAN . 12 Correction Solution de l’application 1: . Ay = Ray By = Rby Bx = Rbx 1. Détermination des réactions aux appuis ( Ay , By et Bx) . (en 2D) On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ Bx = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +By - F = 0 (2) 13 Correction Solution de l’application 1: . L’équation des moments au point A , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐴 (𝐹𝑖 ) = 0 By. L – Fa = 0 (3) 𝑭𝒂 By = Ay = Ray By = Rby Bx = Rbx 𝑳 𝑖=1 (2) Ay +By - F = 0 Ay = F – By 𝑭𝒂 =F= = = Olfa TORJEMAN 𝑳 𝑳 𝑭𝒂 F 𝑳 𝑳 𝑭(𝑳 −𝒂) 𝑳 𝑭𝒃 𝑳 Ay = 𝑭𝒃 𝑳 14 Correction Solution de l’application 1 : . Détermination du torseur de cohésion (2 coupures).2D 1ére coupure : 0 < x < a Ay = 𝑭𝒃 𝑳 𝜏𝐶𝑜ℎ 𝑻𝒚 G Ay = 𝑭𝒃 𝑳 By = 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝑵 𝑴𝒇𝒛 On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +Ty = 0 (2) Ty = - Ay Ty = - 𝑭𝒃 𝑳 15 𝑭𝒂 𝑳 Correction Solution de l’application 1 : Ay = 𝑭𝒃 𝑳 𝑻𝒚 . L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 Mfz - Ay. x = 0 (3) Mfz = Ay.x 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑵 G 𝑖=1 Mfz = 𝑴𝒇𝒛 0<x<a 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 0 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 0 𝜏𝐶𝑜ℎ = − 𝑭𝒃 0 0 𝑳 𝑭𝒃 0 𝑭𝒃 .x 𝑳 𝑳 .x 16 Correction Solution de l’application 1: . Détermination du torseur de cohésion (2 coupures).2D Ay = 2éme coupure : a < x < L 𝑭𝒃 𝑻𝒚 𝑳 G 𝜏𝐶𝑜ℎ Ay = 𝑭𝒃 𝑳 By = 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝑵 𝑴𝒇𝒛 On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +Ty -F = 0 (2) Ty = F - Ay 𝑳 𝑭𝒃 𝑳 𝑳 𝑭𝒂 𝑳 Ty = F Olfa TORJEMAN Ty = 17 𝑭𝒂 𝑳 Correction Solution de l’application 1: 𝑭𝒃 Ay = 𝑳 . L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑻𝒚 𝑛 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑖=1 𝑵 Mfz = 𝑴𝒇𝒛 Mfz = Olfa TORJEMAN 𝑭𝒃 .x 𝑳 𝑭𝒃 .x 𝑳 - F(x – a) - Fx + Fa 𝒃 𝑳 𝒃 𝑳 =F.x ( - ) 𝑳 𝑳 𝑭𝒂 = − 𝒙 𝑳 Mfz =F.x ( -1) + Fa a<x<L 𝜏𝐶𝑜ℎ Mfz - Ay. x + F(x – a) = 0 (3) Mfz = Ay.x - F(x – a) 0 0 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 Mfz 𝜏𝐶𝑜ℎ 0 𝑭𝒂 0 𝑭𝒂 𝑳 − 𝒙 + Fa 0 𝑳 0 = Ty = Mfz + Fa + Fa 18 Correction Solution de l’application 1: 0<x<a 𝜏𝐶𝑜ℎ = 0 − 𝑭𝒃 0 0 𝑳 𝑭𝒃 0 . 𝑳 .x a<x<L 𝜏𝐶𝑜ℎ 0 𝑭𝒂 0 𝑭𝒂 𝑳 − 𝒙 + Fa 0 𝑳 0 = Ty = Olfa TORJEMAN 19 Correction Solution de l’application 2 : a . Ay = Ray a By = Rby Bx = Rbx 1. Détermination des réactions aux appuis ( Ay , By et Bx) . (en 2D) On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ Bx = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +By - F = 0 (2) 20 Correction Solution de l’application 2 : . L’équation des moments au point A , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐴 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑖=1 (2) Ay +By - F = 0 By. L – Fa = 0 (3) 𝑭𝒂 𝑭𝑳 𝑭 By = = = 𝑳 Ay = F – By 𝑭𝒂 =F= = = Olfa TORJEMAN 𝑳 𝑳 𝑭𝒂 F 𝑳 𝑳 𝑭(𝑳 −𝒂) 𝑳 𝑭𝒂 𝑭 = 𝑳 𝟐 𝑳𝟐 Ay = Ray By = Rby Bx = Rbx 𝟐 𝑭 𝟐 Ay = 21 Correction Solution de l’application 8 : . 𝒒𝟎 𝑳 Q= 𝟐 Ay = Ray By = Rby 2𝐿 3 1. Détermination de charge équivalente Q : q(x) = y = a x 𝑞0 q(x) = .x 𝐿 q0 Q= = 𝐿 𝑞(𝑥) dx 0 𝑞0 𝐿2 𝐿 2 = 𝐿 𝑞0 0 𝐿 𝑞0 𝑥 2 .x dx = 𝐿 2 𝑞0 𝐿 = 2 L La charge équivalente s’applique dans le centre de gravité du triangle , c’est-àOlfa TORJEMAN dire au point correspondant à 2𝐿 3 22 Correction Solution de l’application 8 : . 𝒒𝟎 𝑳 Q= 𝟐 Ay = Ray By = Rby 1. Détermination des réactions aux appuis ( Ay et By) . (en 2D) On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ 0 = 0 (1) 𝒒 𝑳 En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +By - 𝟎 = 0 (2) 𝐹𝑖 = 0 𝟐 2𝐿 3 𝑖=1 L’équation des moments au point A , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐴 (𝐹𝑖 ) = 0 By = 𝑖=1 (2) Ay +By Olfa TORJEMAN 𝒒𝟎 𝑳 2𝐿 . = 0 (3) 𝟐 3 𝟏 𝒒𝟎 𝑳 2𝐿 𝒒𝟎 𝑳 . . = 𝑳 𝟐 3 𝟑 By. L – 𝒒𝟎 𝑳 𝟐 =0 Ay = - By + 𝒒𝟎 𝑳 𝟐 𝒒𝟎 𝑳 𝟔 Ay = 23 Correction Solution de l’application 2: a . Ay = Ray a By = Rby Bx = Rbx 1. Détermination des réactions aux appuis ( Ay , By et Bx) . (en 2D) On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ Bx = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +By - F = 0 (2) 24 Correction Solution de l’application 2 : . L’équation des moments au point A , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐴 (𝐹𝑖 ) = 0 By. L – Fa = 0 (3) 𝑭𝒂 𝑭𝑳 𝑭 By = = = 𝑳 𝑖=1 (2) Ay +By - F = 0 Ay = F – By 𝑭𝒂 =F= = = Olfa TORJEMAN 𝑳 𝑳 𝑭𝒂 F 𝑳 𝑳 𝑭(𝑳 −𝒂) 𝑳 𝑭𝒂 𝑭 = 𝑳 𝟐 𝑳𝟐 Ay = Ray By = Rby Bx = Rbx 𝟐 𝑭 𝟐 Ay = 25 Correction Solution de l’application 2 : . Détermination du torseur de cohésion (2 coupures).2D 1ére coupure : 0 < x < a Ay = 𝑭 𝟐 𝜏𝐶𝑜ℎ 𝑻𝒚 G Ay = F/2 By = F/2 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝑵 𝑴𝒇𝒛 On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +Ty = 0 (2) Ty = - Ay 𝑭 Ty = 𝟐 26 Correction Solution de l’application 2 : Ay = 𝑭 𝟐 𝑻𝒚 . L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 Mfz - Ay. x = 0 (3) Mfz = Ay.x 𝑭 Mfz = .x 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑵 G 𝑖=1 𝑴𝒇𝒛 𝟐 0<x<a 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 0 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 0 𝜏𝐶𝑜ℎ = − 0 𝑭 0 0 𝟐𝑭 𝟐 .x 27 Correction Solution de l’application 2 : . Détermination du torseur de cohésion (2 coupures).2D 2éme coupure : a < x < L 𝑭 𝑻𝒚 Ay = 𝟐 G 𝜏𝐶𝑜ℎ Ay = 𝑭𝒃 𝑳 By = 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝑵 𝑴𝒇𝒛 On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +Ty -F = 0 (2) Ty = F - Ay 𝑭 Ty = F Ty = 𝑭 𝟐 𝟐 28 𝑭𝒂 𝑳 Correction Solution de l’application 2 : 𝑭 Ay = 𝟐 . L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑻𝒚 𝑛 Mfz - Ay. x + F(x – a) = 0 (3) Mfz = Ay.x - F(x – a) 𝑭 Mfz = .x - F(x – a) 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑖=1 𝑵 𝟐 𝑭 𝑳 Mfz = .x - Fx + F 𝟐 𝟐 −𝑭 𝑳 Mfz = .x + F 𝟐 𝟐 𝑭 𝑳 Mfz = − 𝒙 + F 𝟐 𝟐 𝑴𝒇𝒛 a<x<L 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 0 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝜏𝐶𝑜ℎ 0 = Ty = 0 𝑭 𝟐 0 0 − 𝑭 𝟐 𝒙 +F 𝑳 𝟐 29 Correction Solution de l’application 2: a a . 0<x<a 𝜏𝐶𝑜ℎ = 0 0 𝑭 − 0 𝐅 𝟐 𝟐𝑭 0 𝟐 .x −𝐅 𝟐 a<x<L 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 = Ty = 0 𝑭 𝟐 − 0 0 𝑭 𝟐 𝒙 +F 𝑳 𝟐 L 𝐅𝐋 𝟒 L 30 Correction Solution d’application 3: . By = Rb Ay = Ray Bx = Rbx 1. Détermination des réactions aux appuis ( Ay , By et Bx) . (en 2D) On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ Bx = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +By - 2F = 0 (2) 31 Correction Solution d’application 3: . L’équation des moments au point A , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐴 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑖=1 (2) Ay +By - 2F = 0 Olfa TORJEMAN By. 3L – FL –2LF = 0 (3) 𝟑𝑳𝑭 By = =F By = Rb Ay = Ray Bx = Rbx 𝟑𝑳 Ay = 2F – By = 2F - F =F Ay = F 32 Correction Solution de l’application 3 : . Détermination du torseur de cohésion (3 coupures).2D 1ére coupure : 0 < x < L Ay = F 𝜏𝐶𝑜ℎ 𝑻𝒚 G By = F Ay = F 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝑵 𝑴𝒇𝒛 On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +Ty = 0 (2) Ty = - Ay Ty = -F 33 Correction Solution de l’application 3 : Ay = F 𝑻𝒚 . L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑵 G 𝑖=1 𝑴𝒇𝒛 0<x<L 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 0 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 Mfz - Ay. x = 0 (3) Mfz = Ay.x Mfz = F .x 0 𝜏𝐶𝑜ℎ = 0 − 𝑭0 0 F.x 34 Correction Solution de l’application 3 : . Détermination du torseur de cohésion (3 coupures).2D 2éme coupure : L < x < 2L Ay = F 𝜏𝐶𝑜ℎ 𝑻𝒚 G By = F Ay = F 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝑵 𝑴𝒇𝒛 On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +Ty - F = 0 (2) Ty = F - Ay Ty = F - F Ty = 0 35 Correction Solution de l’application 3: Ay = F . L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑻𝒚 𝑛 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑖=1 𝑵 𝑴𝒇𝒛 Mfz - Ay. x + F(x – L) = 0 (3) Mfz = Ay.x - F(x – L ) Mfz = F.x - F(x – L) Mfz =F.x - Fx + FL Mfz = FL L < x < 2L 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 0 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝜏𝐶𝑜ℎ 0 0 = 0 0 0 FL 36 Correction Solution de l’application 3 : . Détermination du torseur de cohésion (3 coupures).2D 3éme coupure : 2L < x <3 L 𝑻𝒚 𝜏𝐶𝑜ℎ G Ay = F By = F Ay = F 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝑵 𝑴𝒇𝒛 On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +Ty – F – F = 0 (2) Ty = 2F - F Ty = F 37 Correction Solution de l’application 3: . L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑻𝒚 𝑛 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 G Ay = F 𝑵 𝑖=1 𝑴𝒇𝒛 Mfz - Ay. x + F(x – L) + F(x –2 L) = 0 (3) Mfz = - F(x – 2L ) + Ay.x - F(x – L ) Mfz =- F(x –2 L) + F.x - F(x – L) Mfz = - Fx + 2FL + Fx– F.x +FL Mfz = F ( 3L – x) 2L < x <3 L 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 0 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝜏𝐶𝑜ℎ 0 0 0 = F 0F ( 3L – x) 38 Correction Solution de l’application 3: 0<x<L 0 𝜏𝐶𝑜ℎ = L < x < 2L 𝜏𝐶𝑜ℎ 2L < x < 3L 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN . 0 − 𝑭0 0 F.x 0 0 = 0 0 0 FL 0 0 0 = F 0F ( 3L – x) 39 Correction Solution d’application 4: . Ay = Ray = L/2 p.L By = Rb = L/2 Bx = Rbx 1. Détermination des réactions aux appuis ( Ay , By et Bx) . (en 2D) On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ Bx = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +By - pL = 0 (2) 40 Correction Solution d’application 4 : . L’équation des moments au point A , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐴 (𝐹𝑖 ) = 0 By. L – pL.(L/2) = 0 (3) 𝒑𝑳.𝑳 𝒑.𝑳 By = = 𝟐𝑳 𝑖=1 (2) Ay +By - pL = 0 𝟐 Ay = Ray = L/2 p.L By = Rby = L/2 Bx = Rbx Ay = pL – By 𝒑.𝑳 Ay = 𝟐 Olfa TORJEMAN 41 Correction Solution de l’application 4 : . Détermination du torseur de cohésion (1 coupure).2D 1ére coupure : 0 < x < L 𝒑𝑳 Ay = 𝟐 pX Ay = 𝒑𝑳 𝟐 By = 𝑻𝒚 G X/2 𝑵 𝑴𝒇𝒛 𝜏𝐶𝑜ℎ 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +Ty - px = 0 (2) Ty = - Ay+ px 𝒑𝑳 𝑳 Ty = + 𝒑𝒙 = 𝒑 (𝒙 − ) 𝟐 𝟐 42 𝒑𝑳 𝟐 Correction Solution de l’application 4 : Ay = 𝒑𝑳 𝟐 . L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑻𝒚 pX 𝑛 G Mfz - Ay. x + px .x/2 = 0 (3) 𝒙 Mfz = Ay.x – px. 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑖=1 X/2 Mfz = 𝑴𝒇𝒛 𝒑𝑳 .x 𝟐 - 𝟐 𝒑 𝟐 𝒙 𝟐 0<x<L 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 0 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝜏𝐶𝑜ℎ 0 𝑳 = 𝒑 (𝒙 − ) 𝟐 𝒑𝑳 0 𝟐 0 0 𝒑 .x − 𝟐 𝒙𝟐 43 Correction Solution de l’application 4 : . 0<x< L 𝜏𝐶𝑜ℎ 0 0 𝑳 0 = 𝒑 (𝒙 − ) 𝟐 𝒑𝑳 𝒑 𝟐 .x − 𝒙 0 𝟐 𝟐 L Olfa TORJEMAN 44 Correction Solution de l’application 5: . Ay = Ray MAz Ax = Rbx 1. Détermination des réactions aux appuis ( Ay , Ax et Maz) . (en 2D) On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ Ax = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay - F = 0 (2) Ay = F 45 Correction Solution de l’application 5: . L’équation des moments au point A , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐴 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN Ay = Ray MAz – FL = 0 (3) MAz = FL MAz 46 Correction Solution de l’application 5 : . Détermination du torseur de cohésion (1 coupure).2D Ay = Ray 1ére coupure : 0 < x < a Ay = F 𝜏𝐶𝑜ℎ 𝑻𝒚 G 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 MAz Maz = FL 𝑵 𝑴𝒇𝒛 On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +Ty = 0 (2) Ty = - Ay Ty = -F 47 Correction Solution de l’application 5 : Ay = F 𝑻𝒚 . L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑵 Maz = FL G 𝑖=1 𝑴𝒇𝒛 0<x< L 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 0 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 0 𝜏𝐶𝑜ℎ = −F 0 Mfz - Ay. x + MAz = 0 (3) Mfz = Ay.x - FL Mfz = F.x – F.L 0 0 F.x – F.L 48 Correction Solution de l’application 5: . 0<x<L 0 𝜏𝐶𝑜ℎ = −F 0 Olfa TORJEMAN 0 0 F.x – F.L 49 Correction Solution de l’application 6: . Ay = Ray MAz pL Ax = Rbx 1. Détermination des réactions aux appuis ( Ay , Ax et Maz) . (en 2D) On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ Ax = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay - pL = 0 (2) Ay = pL 50 Correction Solution de l’application 6 : . L’équation des moments au point A , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐴 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑖=1 MAz – pL. MAz = 𝑳 𝟐 Ay = Ray = 0 (3) 𝒑𝑳𝟐 𝟐 MAz Olfa TORJEMAN pL Ax = Rbx 51 Correction Solution de l’application 6 : . Détermination du torseur de cohésion (1 coupure).2D Ay = Ray 1ére coupure : 0 < x < a Ay = pL 𝑻𝒚 𝜏 𝐶𝑜ℎ G 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 MAz Maz = 𝒑𝑳𝟐 𝟐 x/2 𝑵 𝑴𝒇𝒛 On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N = 0 (1) En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay +Ty - px = 0 (2) Ty = - Ay + px Ty = p( x – L) 52 Correction Solution de l’application 6 : Ay = pL 𝑻𝒚 . L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 G Maz = 𝒑𝑳𝟐 𝟐 Mfz = Ay.x – 𝑖=1 x/2 𝑵 Mfz = pL.x - 𝑴𝒇𝒛 0<x< L 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 0 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 p( x – L) 0 𝒑𝒙𝟐 𝟐 𝒑𝒙𝟐 𝟐 - 𝒑𝑳𝟐 𝟐 𝒑𝑳𝟐 𝟐 0 0 0 𝜏𝐶𝑜ℎ = 𝒙 𝟐 Mfz - Ay. x + px. + MAz = 0 (3) pL.x - 𝒑𝒙𝟐 𝟐 − 𝒑𝑳𝟐 𝟐 53 Correction Solution de l’application 6: . 0<x<L 0 0 0 𝜏𝐶𝑜ℎ = p( x – L) 0 Olfa TORJEMAN pL.x - 𝒑𝒙𝟐 𝟐 − 𝒑𝑳𝟐 𝟐 54 Correction Solution de l’application 7: . Ay = Ray Ax = Rax Maz 1. Détermination des réactions aux appuis ( Ay , By et Bx) . (en 3D) On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ Ax + F = 0 (1) Ax = - F En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ay + G = 0 (2) Ay = - G 55 Correction Solution de l’application 7: . L’équation des moments au point A , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐴 (𝐹𝑖 ) = 0 𝑖=1 Ma - F. L + GD = 0 (3) Ma = FL - GD Ay = Ray Ax = Rax Ma Olfa TORJEMAN 56 Solution de l’application 7 : Détermination du torseur de cohésion (2 coupures).3D 1ére coupure : 0 < x < L 𝑴𝒇𝒛 𝑵 𝑻𝒚 G x 𝑥 𝑦 𝜏𝐶𝑜ℎ 𝑁 𝑀𝑇 = 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑍 Ay = - G Ax = - F Ay = - G Ax = - F Repère local : Ma= FL - GD Ma= FL - GD On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N – G = 0 (1) N=G En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ty + F = 0 (2) Ty = - F 57 Correction Solution de l’application 7 : 𝑥 𝑻𝒚 𝑵 𝑴𝒇𝒛 𝑦 G L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 Ay = - G Ax = - F X . 𝑖=1 Mfz + Ma + Fx = 0 (3) Mfz = - Fx – Ma Mfz = - F.x - FL + GD Ma= FL - GD 0<x< L 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝜏𝐶𝑜ℎ = 𝐺 0 −F 0 0 -F.x − FL + GD 58 Correction Solution de l’application 7 : . Détermination du torseur de cohésion (2 coupures).3D 2éme coupure : 0 < x < D 𝜏𝐶𝑜ℎ Isolement de la poutre [BC] : 𝑁 𝑀𝑇 = 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑍 Ay = - G Ax = - F 𝑭 𝑮 Ma= FL - GD 𝑻𝒚 G 𝑭 𝑮 Olfa TORJEMAN X 𝑵 𝑴𝒇𝒛 59 Correction Solution de l’application 7 : Détermination du torseur de cohésion (2 coupures).3D . 𝑭 2éme coupure : 0 < x < D 𝑻𝒚 G 𝑵 𝑴𝒇𝒛 𝑮 On applique Le principe fondamental de la statique ( PFS ) : 𝑛 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1 Olfa TORJEMAN En projetant par rapport à l’axe 𝑥 ∶ N – F = 0 (1) N=F En projetant par rapport à l’axe 𝑦 ∶ Ty - G = 0 (2) Ty = G 60 Correction Solution de l’application 7 : 𝑻𝒚 G 𝑭 X 𝑵 𝑴𝒇𝒛 . L’équation des moments au point G , en projetant par rapport à l’axe 𝑧. 𝑛 𝑀𝐺 (𝐹𝑖 ) = 0 Mfz + Gx = 0 (3) Mfz = - Gx 𝑖=1 𝑮 0<x< L 𝜏𝐶𝑜ℎ Olfa TORJEMAN 0 𝑁 = 𝑇𝑦 0 0 𝑀𝑓𝑍 𝜏𝐶𝑜ℎ = 𝐹 0 G 0 0 − Gx 61 A Retenir cohésion N 0 0 0 0 0 cohésion N>0 : Traction N< 0 : Compression cohésion Torsion Simple Olfa TORJEMAN où cohésion 0 0 0 0 T 0 Z Cisaillement Simple Traction /Compression Simple 0M T 0 0 0 0 0 0 Ty 0 0 0 . cohésion 0 0 0 M fy T 0 Z où cohésion 0 0 TY 0 0M fz Flexion Simple cohésion 0 0 0 0 0M fz Flexion Pure Flexion 62
