Cours asservissement

Chapitre 3
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Etude des syst ` emes par ´ equations d’ ´ etat
Jusqu’` a pr´ esent, on a mod´ elis´ e le comportement des syst` emes ` a l’aide de fonctions de
transfert, en utilisant la transform´ ee de Laplace.
Principalement, le d´ esavantage de cette m´ ethode est qu’elle n’est valide que pour des
syst` emes lin´ eaires invariables. Un avantage majeur, par contre, est que ces fonctions de
transfert donnent rapidement de l’information sur la stabilit´ e et la r´ eponse transitoire.
Avec le d´ eveloppement de syst` emes plus complexes, les approximations de syst` emes
lin´ eaires ne sont plus valides. Il faut une m´ ethode plus robuste pour faire l’analyse. On
doit aussi avoir une m´ ethode qui peut facilement analyser plusieurs entr´ ees et plusieurs
sorties.
4.1 D ´ efinition
On va d´ emontrer, ` a l’aide d’un exemple de circuit ´ electrique, que pour un syst` eme ` a
plusieurs variables, des ´ equations diff´ erentielles ne sont n´ ecessaires que pour r´ esoudre un
sous-ensemble des variables du syst` eme.
Les autres variables peuvent alors ˆ etre calcul´ ee ` a partir de ce sous-ensemble.
On a donc la proc´ edure suivante :
1. Choisir un sous-ensemble de toutes les variables possibles du syst` eme. On appelle
ce sous-ensemble les variables d’´ etat.
2. Pour un syst` eme d’ordre n, on ´ ecrit n´ equations diff´ erentielles de premier ordre. On
appelle ce groupe d’´ equations les ´ equations d’´ etat.
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ETUDE DES SYST ` EMES PAR ´ EQUATIONS D’ ´ ETAT
3. Si on connaˆ ıt les conditions initiales de toutes les variables d’´ etat ` at0, et l’entr´ ee du
syst` eme pour t≥t0, on peut solutionner les ´ equations d’´ etat.
4. On combine les variables d’´ etat avec l’entr´ ee au syst` eme pour trouver toutes les autre
variables.
5. Les ´ equations d’´ etat et les ´ equations de sortie forment une repr´ esentation valide du
syst` eme. On appelle cette repr´ esentation l’espace d’´ etat (”state-space”).
Exemple 1
Soit le circuit suivant :
+
−
v(t)
R
L
Figure 10.1 – Circuit RL
Le courant initial est i(0). Analyser le circuit.
1. On choisit le courant i(t) comme variable ` a trouver.
2. L’´ equation est :
Ldi
dt +Ri =v(t) (10.1)
3. On prend la transform´ ee de Laplace :
L[sI(s)−i(0)] + RI(s) = V(s) (10.2)
Si l’entr´ ee est un ´ echelon unitaire, V(s)=1/s, et on isole pour I(s) :
I(s) = 1
R
1
s−1
s+R
L
+i(0)
s+R
L
(10.3)
et donc
i(t) = 1
R1−e−(R/L)t+i(0)e−(R/L)t(10.4)
⇒i(t) est un sous-ensemble de toutes les variables possibles du circuit, et donc si on
connaˆ ıt i(0) et v(t), on peut trouver les autres variables. i(t) est une variable d’´ etat, et
l’´ equation 10.1 est une ´ equation d’´ etat.
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ETUDE DES SYST ` EMES PAR ´ EQUATIONS D’ ´ ETAT
4. On peut trouver le reste des variables en fonction de i(t) et v(t). Soit :
vR(t) = Ri(t)
vL(t) = v(t)−vR(t) = v(t)−Ri(t)
di
dt =1
L[v(t)−Ri(t)] 
´
Equations de sortie (10.5)
L’´ equation 10.1 et les ´ equations de sortie forment l’espace d’´ etat.
Exemple 2
Soit le circuit suivant :
+
−
v(t)
RL
C
i(t)
Figure 10.2 – Circuit RLC
Le courant initial est i(0). Analyser le circuit.
1. Le syst` eme est de deuxi` eme ordre : il faut 2 ´ equations diff´ erentielles pour trouver
les deux variables d’´ etat. On choisit i(t) et q(t), la charge au condensateur.
2. Les ´ equations sont :
Ldi
dt +Ri +1 CZidt =v(t) (10.6)
ou, puisque i(t) = dq(t)
dt ,
Ld2q(t)
dt2+Rdq(t)
dt +1 Cq(t) = v(t) (10.7)
On peut convertir l’´ equation 10.7 en deux ´ equations diff´ erentielles de premier ordre
en fonction de i(t) et q(t) :
dq
dt =i(10.8)
di
dt =−1 LC q−R Li+1 Lv(t) (10.9)
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ETUDE DES SYST ` EMES PAR ´ EQUATIONS D’ ´ ETAT
3. On peut r´ esoudre ces ´ equations en utilisant la transform´ ee de Laplace, si on connaˆ ıt
les conditions initiales et l’entr´ ee.
4. Avec i(t) et q(t), on peut trouver toutes les autre variables. Par exemple,
vL(t) = −1
Cq(t)−Ri(t) + v(t) (10.10)
L’´ equation vL(t) est une ´ equation de sortie, et est une combinaison lin´ eaire des variables
d’´ etat.
On aurait aussi pu choisir vR(t) et vC(t) comme variables d’´ etat.
Y a-t-il des restrictions quand au choix des variables d’´ etat ?
→Oui. Aucune variable d’´ etat ne peut ˆ etre une combinaison lin´ eaire des autres va-
riables d’´ etat. Ex : Si vR(t) est choisie comme variable d’´ etat, on ne peut pas choisir iR(t),
puisque vR(t) = Rir(t).
On peut ´ ecrire les ´ equations d’´ etat et de sortie sous forme matricielle.
˙
x=Ax +Bu(´ equation d’´ etat) (10.11)
o` u
˙
x=
dq
dt
di
dt
A="0 1
−1
LC −R
L#x="q
i#B="0
1
L#u=v(t) (10.12)
et
y=Cx +Du(´ equation de sortie) (10.13)
o` u
y=vL(t)C="−1
C
−R#T
x="q
i#D=h1iu=v(t) (10.14)
Les ´ equations 10.11 et 10.13 forment l’espace d’´ etat.
4.2 Application de la m ´ ethode
Pour repr´ esenter un syst` eme par des ´ equations d’´ etat, il faut savoir :
1. Le nombre minimum de variables d’´ etat n´ ecessaire.
2. Les variables d’´ etat doivent ˆ etre lin´ eairement ind´ ependantes.
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ETUDE DES SYST ` EMES PAR ´ EQUATIONS D’ ´ ETAT
Nombre minimum de variables d’´ etat
Typiquement, le nombre minimum est l’ordre de l’´ equation diff´ erentielle qui d´ ecrit le
syst` eme. Du point de vue d’une fonction de transfert, c’est l’ordre du d´ enominateur. On
peut aussi compter le nombre d’´ el´ ements ind´ ependants qui emmagasinent de l’´ energie.
Lin´ eairement ind´ ependantes
Il ne faut pas qu’une variable d’´ etat soit une combinaison lin´ eaire de d’autre variables
d’´ etat. Ex : Si on choisit 3 variables x1,x2et x3, mais si x3= 2x1+ 5x2, alors x3n’est pas
ind´ ependante de x1et x2, puisque si on connaˆ ıt la valeur de x1et x2, on peut trouver x3.
Par contre, si x3= 5dx1
dt ,x3est alors lin´
eairement ind´ ependante.
4.3 Conversion de fonction de transfert ` a espace d’ ´ etat
Une m´ ethode pour convertir une fonction de transfert ` a un espace d’´ etat : la m´ ethode
des variables de phase.
Soit une ´ equation diff´ erentielle :
sn+an−1sn−1+···+a1s+a0=b0u(10.15)
ou, sous forme diff´ erentielle,
dny
dtn+an−1
dn−1y
dtn−1+···+a1
dy
dt +a0=b0u(10.16)
On choisit la sortie y(t) et les (n−1) d´ eriv´ ees comme variables d’´ etat. Donc :
x1=y
x2=dy
dt
.
.
.
xn=dn−1y
dtn−1
(10.17)
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