TD de systèmes asservis n◦11 Ce TD est noté, à rédiger en équipe de 4 ± 1 et à rendre pour le 9 décembre 23 Novembre 2005 On considère le même système qu’au TD 9, constitué d’une bille en roulement sur deux rails dont on peut modifier l’inclinaison par l’intermédiaire d’un ensemble moteur/réducteur. On souhaite stabiliser la position de la bille à une position de consigne souhaitée. Figure 1: la bille roule sur un rail incliné par un moteur 1 Hypothèses et données • On modélise la fonction de transfert qui lie vitesse de rotation du moteur à la tension appliquée à ce moteur par une transmittance du 1er ordre de gain Km et de constante de temps τm . • Le réducteur a pour rapport de réduction r. • On modélise la dynamique de l’évolution de l’abscisse de bille par rapport à la position angulaire par un double intégrateur de gain Kb . • On ne tiendra pas compte dans ce sujet des 2 capteurs de position délivrant les tensions images des positions angulaire de la barre et linéaire de la bille. 1 • On prendra Km = 500tr.mn−1 .V −1 Kb = 0, 2m.rad−1 r = 1/300 2 τm = 60ms Représentation d’état du système 1. A partir des fonctions de transfert, donner une représentation d’état du système en utilisant les variables physiques. On choisira dans l’ordre : position de la bille, sa vitesse, angle du rail, sa vitesse angulaire. La sortie du système est la position de la bille. 2. La représentation d’état trouvée précédemment est presque sous forme compagne (variables de phase). Proposer un changement de variable simple pour avoir une représentation d’état sous forme compagne. 3 Commande par retour d’état 1. Lors du TD9, un double retour a été mis en place : un asservissement sur l’angle d’une part et un asservissement de la position de la bille d’autre part. Ce dernier asservissement ne pouvait être stable si l’on ne mettait qu’un correcteur proportionnel. Il correspond à un retour sur deux variables d’état. Lesquelles ? 2. Maintenant qu’on a une représentation d’état avec des variables de phase, il est possible de choisir la fonction de transfert que l’on souhaite obtenir en BF. Calculer le correcteur pour avoir l’équivalent d’un système avec deux pôles réels (constantes de temps de 1s) et un second ordre d’amortissement 0,7 et de pulsation naturelle ωn = 0, 2 c’est à dire numerateur H(p) = 2 (1 + p)(1 + p)(1 + ω2zn p + ωp2 ) n 3. Ajouter un gain approprié pour que le gain de la BF soit de 1. 4. Réaliser sur Simulink une comparaison entre le correcteur du TD9 et celui qui vient d’être calculé. On pourra s’intéresser à la commande envoyée au moteur. 2
