MdeAB fiche

Matrices du type M(a, b) = aIn+bX
i6=j
Ei,j
Pour n>2et (a, b)∈C2, on pose
M(a, b) = aIn+bX
i6=j
Ei,j =
a b . . . b
b.......
.
.
.
.
.......b
b . . . b a
∈Mn(C).
1) La matrice M(1, 1).
On pose Jn=M(1, 1). On observe que J2
n=M(n, n) = nJn. Montrons alors par récurrence que pour tout p∈N∗,
Jp
n=np−1Jn.
•J1
n=Jn=n0Jn. Donc, l’égalité est vraie quand p=1.
• Soit p>1. Supposons que Jp
n=np−1Jn. Alors, Jp+1 n=Jn×Jp
n=J×np−1Jn=np−1J2
n=np−1.nJn=npJn.
Le résultat est démontré par récurrence. On note que le résultat est faux quand p=0car In6=1
nJn.
2) Structure de M(a, b),(a, b)∈C2.
a) Structure d’espace vectoriel.
Soit E=M(a, b),(a, b)∈C2. Soit Kn=M(0, 1) = X
i6=j
Ei,j. Alors,
E=aIn+bKn,(a, b)∈C2=Vect (In, Kn).
Donc, Eest un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel (Mn(C),+, .), de dimension inférieure ou égale à 2. De plus, la
matrice Knn’est pas une matrice scalaire et donc la famille (In, Kn)est libre. Finalement,
Eest un sous-espace vectoriel de (Mn(C),+, .)de dimension 2.
(In, Jn)est une autre famille libre de E(car Jnn’est pas une matrice scalaire), de cardinal 2. Donc,
Une base de Eest (In, Jn).
On note que Kn=Jn−Inet donc, pour tout (a, b)∈C2,M(a, b) = aIn+bKn=aIn+b(Jn−In) = (a−b)In+bJn.
∀(a, b)∈C2,M(a, b) = (a−b)In+bJn.
b) Structure d’algèbre.
Vérifions que Eest stable pour le produit matriciel. Tout d’abord, Kn=Jn−In(ou encore Jn=In+Kn) puis, puisque
les matrices Jnet −Incommutent, la formule du binôme de Newton fournit
K2
n= (Jn−In)2=J2 n−2Jn+In= (n−2)Jn+In= (n−2) (In+Kn) + In= (n−1)In+ (n−2)Kn.
Soit (a, b, a′, b′)∈C4.
M(a, b)×M(a′, b′) = (aIn+bKn) (a′In+b′Kn) = aa′In+ (ab′+ba′)Kn+bb′K2
n
=aa′In+ (ab′+ba′)Kn+bb′((n−1)In+ (n−2)Kn)
= (aa′+ (n−1)bb′)In+ (ab′+ba′+ (n−2)bb′)Kn
=M(aa′+ (n−1)bb′, ab′+ba′+ (n−2)bb′)∈E.
Donc, Eest stable pour le produit matriciel. En tenant compte de In=M(1, 0)∈E, on a montré que
Eest une sous-algèbre de (Mn(C),+, ., ×).
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4) Inversibilité et inverse.
a) Déterminant de M(a, b).
Soit (a, b)∈C2.
det(M(a, b)) =
a b . . . . . . b
b a ....
.
.
.
.
.b.......
.
.
.
.
.......b
b . . . . . . b a
=
a+ (n−1)b b . . . . . . b
a+ (n−1)b a ....
.
.
.
.
.b.......
.
.
.
.
.......b
a+ (n−1)b b . . . b a
(C1←C1+C2+...+Cn)
= (a+ (n−1)b)
1 b . . . . . . b
1 a ....
.
.
.
.
.b.......
.
.
.
.
.......b
1 b . . . b a
(par linéarité par rapport à la première colonne)
= (a+ (n−1)b)
1×... ... ×
0 a −b....
.
.
.
.
.0.......
.
.
.
.
.......×
0 0 . . . 0 a −b
(∀i∈J2, nK, Li←Li−L1)
= (a+ (n−1)b)(a−b)n−1(déterminant triangulaire).
∀(a, b)∈C2, det(M(a, b)) = (a+ (n−1)b)(a−b)n−1.
b) Inversibilité et inverse de M(a, b).
Soit (a, b)∈C2.
M(a, b)/∈GLn(C)⇔det(M(a, b)) = 0⇔(a+ (n−1)b)(a−b)n−1=0⇔a=bou a= −(n−1)b.
Donc,
∀(a, b)∈C2,M(a, b)∈GLn(C)⇔a6=bet a6= −(n−1)b.
Pour déterminer l’inverse de M(a, b), on détermine un polynôme annulateur de M(a, b)dont le coefficient constant n’est
pas nul. On profite des égalités J2
n=nJnet M(a, b) = (a−b)In+bJnde sorte que bJn=M(a, b) − (a−b)In. Puisque
les matrices (a−b)Inet bJncommutent, la formule du binôme de Newton fournit
(M(a, b))2= ((a−b)In+bJn)2= (a−b)2In+2b(a−b)Jn+b2J2
n= (a−b)2In+2b(a−b)Jn+nb2Jn
= (a−b)2In+ (2(a−b) + nb)bJn= (a−b)2In+ (2a − (n−2)b) (M(a, b) − (a−b)In)
= (2a − (n−2)b)M(a, b) − (a−b)(a+ (n−1)b)In
et donc
∀(a, b)∈C2,(M(a, b))2− (2a − (n−2)b)M(a, b) + (a−b)(a+ (n−1)b)In=0n.
On suppose de plus a6=bet a6= −(n−1)b. Dans ce cas, (a−b)(a+ (n−1)b)6=0(et M(a, b)∈GLn(C)d’après le
paragraphe précédent) puis
In=1
(a−b)(a+ (n−1)b)−(M(a, b))2+ (2a − (n−2)b)M(a, b)
=1
(a−b)(a+ (n−1)b)(−M(a, b) + (2a − (n−2)b)In)×M(a, b).
Donc, pour (a, b)∈C2tel que a6=bet a6= −(n−1)b,
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(M(a, b))−1=1
(a−b)(a+ (n−1)b)(−M(a, b) + (2a − (n−2)b)In).
Plus explicitement, (M(a, b))−1=1
(a−b)(a+ (n−1)b)
a− (n−2)b 2a − (n−1)b . . . 2a − (n−1)b
2a − (n−1)b.......
.
.
.
.
.......2a − (n−1)b
2a − (n−1)b . . . 2a − (n−1)b a − (n−2)b
4) Valeurs propres et sous-espaces propres de M(a, b)
Dans le cas où (a, b)∈R2, la matrice M(a, b)est symétrique réelle et donc diagonalisable dans Mn(R)d’après le théorème
spectral. Dans le cas où (a, b)/∈R2, on ne dispose d’un tel résultat préliminaire.
rg (M(a, b) − (a−b)In) = rg (bJn) = 1si b6=0
0si b=0. D’après le théorème du rang, dim (Ker (M(a, b) − (a−b)In)) =
n−1si b6=0
nsi b=0. Dans tous les cas, Ker (M(a, b) − (a−b)In)n’est pas réduit à {0}(puisque n>2) et donc a−best
valeur propre de M(a, b). L’ordre de multiplicité de a−best supérieur ou égal à la dimension du sous-espace propre
associé, elle-même supérieure ou égale à n−1. Donc, dans tous les cas, a−best valeur propre d’ordre n−1au moins.
Il manque une valeur propre λ. Celle-ci est fournie par la trace :
λ+ (n−1)(a−b) = Tr(M(a, b)) = na
et donc λ=a+ (n−1)b. Dans tous les cas,
Sp(M(a, b)) = (a−b, . . . , a −b
| {z }
n−1
, a + (n−1)b).
Plus précisément, a−b=a+ (n−1)b⇔nb =0⇔b=0. Donc,
Si b6=0,M(a, b)admet a−bpour valeur propre d’ordre n−1et a+ (n−1)bpour valeur propre d’ordre 1
et si b=0,M(a, b)admet apour valeur propre d’ordre n.
On note que dans tous les cas, l’ordre de multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension du sous-espace
propre correspondant et donc
∀(a, b)∈C2,M(a, b)est diagonalisable dans Mn(C).
Déterminons enfin les sous-espaces propres de M(a, b). Si b=0,M(a, b) = aInet donc M(a, b)admet apour unique
valeur propre d’ordre net le sous-espace propre associé est Mn,1(C). Dorénavant, b6=0de sorte que M(a, b)admet a−b
pour valeur propre d’ordre n−1et a+ (n−1)bpour valeur propre simple.
Soit U=
1
.
.
.
1
.M(a, b)U= (a+ (n−1)b)Uet donc, puisque U6=0,Uest (pour tout choix de (a, b)) un vecteur propre
de M(a, b)associé à la valeur propre a+ (n−1)b. Puisque le sous-espace propre correspondant est une droite vectorielle,
on a donc Ea+(n−1)b(M(a, b)) = Vect(U).
Si aet bsont réels, on sait que les sous-espaces propres de M(a, b)sont orthogonaux pour le produit scalaire canonique
de Mn,1(R). Donc, Ea−b(M(a, b)) est l’hyperplan de vecteur normal Uou encore l’hyperplan d’équation x1+...+xn=0
(dans la base canonique de Mn,1(R). Dans le cas général, on est obligé de faire explicitement le calcul.
Soit X= (xi)16i6n∈Mn,1(C).
(M(a, b) − (a−b)In)X=0⇔bJnX=0⇔JnX=0⇔x1+...+xn=0.
Si b6=0,Ea+(n−1)b(M(a, b)) = Vect(U)où U= (1)16i6net Ea−b(M(a, b)) = (xi)16i6n/ x1+...+xn=0.
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