Courbes rationnelles et hypersurfaces de l`espace projectif

Th`ese de doctorat de l’Universit´e Louis Pasteur
Courbes rationnelles et hypersurfaces
de l’espace projectif
Pr´esent´ee par Denis Conduch´e
Soutenue le 30 novembre 2006
Composition du jury :
M. Olivier Debarre (Universit´e Louis Pasteur), Directeur de th`ese
M. Jean-Fran¸cois Boutot (Universit´e Louis Pasteur), Rapporteur interne
M. Jean-Louis Colliot-Th´ el` ene (Universit´e Paris XI), Rapporteur externe
M. Yves Laszlo (´ Ecole Polytechnique), Rapporteur externe

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Table des mati`eres
Introduction 7
1 Principales notations et d´efinitions 11
1.1 Notations ............................. 11
1.2 Vari´et´es k-rationnelles, k-unirationnelles, k-s´eparablement uni-
rationnelles ............................ 11
1.3 Espaces de modules de courbes rationnelles . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 D´efinitions......................... 13
1.3.2 ´ Etudelocale........................ 14
1.3.3 Le cas des droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Courbes rationnelles libres et tr`es libres . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Vari´et´es unir´egl´ees, s´eparablement unir´egl´ees . . . . . . . . . . 16
1.6 Vari´et´es rationnellement connexes, s´eparablement rationnelle-
mentconnexes........................... 19
2 Unirationalit´e s´eparable 21
2.1 Unirationalit´e s´eparable en tr`es petit degr´e . . . . . . . . . . . 21
2.2 Cubiques contenant une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Cubiques contenant un point rationnel . . . . . . . . . . . . . 35
3 Les hypersurfaces de Fermat 45
3.1 Droites standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Les Fermat de degr´e divisant pr+1............... 49
3.2.1 Cas des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Description de F(Xpr+1
N)................. 51
3.2.3 Unirationalit´e de Xd
Npour d|pr+1 .......... 53
3.3 Courbes rationnelles sur les Fermat . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Courbes rationnelles sur Xpr+1
N............. 59
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4Table des mati`eres
3.3.2 Courbes rationnelles (tr`es) libres sur Xpr+1
N....... 63
4 Annexe : s´eparabilit´e 73
4.1 Applications dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Sch´emas et applications s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.1 Sch´emas et morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.2 Applications rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.3 S´eparabilit´e et lissit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
R´ef´erences................................ 79

Remerciements
Je tiens tout d’abord `a remercier grandement mon directeur de th`ese,
Olivier Debarre, sans qui rien n’aurait ´et´e possible. Je le remercie pour sa tr`es
grande patience, sa gentillesse, sa disponibilit´e et ses explications toujours
lumineuses.
Je suis tr`es heureux et tr`es honor´e que Jean-Fran¸cois Boutot, Jean-Louis
Colliot-Th´el`ene et Yves Laszlo aient accept´e de rapporter ma th`ese, et je les
en remercie.
Ma gratitude va aussi `a mes camarades de bureau, pour leurs encoura-
gements chaleureux et salutaires pendant ces ann´ees de th`ese. Je remercie
´egalement les diff´erents relecteurs de ce manuscrit de leur d´evouement, et les
contributeurs du forum des ´el`eves de l’ENS pour leur aide pr´ecieuse, tant en
math´ematiques qu’en informatique.
Je souhaite enfin saluer ici tous ceux, amis et coll`egues, avec qui j’ai pass´e
d’excellents moments `a Strasbourg.
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