ENSET MOHAMMEDIA: GECSI-1 & SEER-1 REPRÉSENTATION D’ÉTAT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS CHAPITRE1: INTRODUCTION M. BAHATTI Représentation d’état PLAN GÉNÉRAL Chapitre 1: Introduction à la représentation d’état Chapitre 2: Réponse temporelle (Résolution de l’équation d’état) Chapitre 3: Liens entre fonction de transfert et Représentations d’état Chapitre 4: Commande par retour d’état Chapitre1: Introduction à la Représentation d’état Plan : Introduction à la représentation d’état. Rappel: Fonction de transfert Représentation d’état (interne) Exemple: circuit RC Principes et avantages de la représentation d’état Représentation d'état d'un système Généralisation à un système multi-entrée, multi-sortie Représentation schématique Exemple : Circuit RLC Exemple : Circuit RLC (Autre modèle d’état) Application:(Exemple 2) Choix des variables d'état Liens entre les différentes descriptions d'un système Introduction à la représentation d’état Rappel: Fonction de transfert : Représentation externe Aucune information sur le comportement interne : ( saturations, non linéarités, etc.) Représentation valable pour un Système mono-entrée sortie Représentation d’état (interne) La représentation d'état repose sur la notion d'énergie. Le processus est décrit par ses variables d'état. Ces variables d'état donnent une description interne complète de l'évolution du système. La représentation est de premier ordre matricielle La représentation est temporelle L'évolution d'un processus à partir d’un instant t0 donné dépend : - de son état initial, des sollicitations extérieures (commandes et perturbations ). Introduction à la représentation d’état Exemple: circuit RC Modélisation du circuit x(t) est appelé l'état du circuit électrique Introduction à la représentation d’état Principes et avantages de la représentation d’état L'état d’un système, représenté par x(t) , constitue la mémoire minimale du passé nécessaire à la détermination du futur Par rapport à la fonction de transfert, le modèle d'état donne des informations supplémentaires sur le comportement interne du système qui n'apparaissent pas clairement dans la fonction de transfert Tout système d'ordre n est converti dans la représentation d'état en : • • Une équation différentielle matricielle d'ordre 1, et Une équation statique matricielle Représentation d'état d'un système Généralisation à un système multi-entrée, multi-sortie Variables et Matrices Remarques: Tout le comportement dynamique interne du système est résumé dans l'équation d'état, notamment dans la matrice carrée A. Représentation d'état d'un système Représentation schématique Interprétation du schéma Equation d'état = vue interne du système X(t): Vecteur des variables énergétiques A représente les interactions dynamiques entre les différents éléments internes du système B représente l'action des entrées sur l'évolution dynamique du système C indique les capteurs permettent d'obtenir les sorties D traduit le couplage direct entre les entrées et les sorties Représentation d'état d'un système Exemple : Circuit RLC Equations du circuit Variables Représentation d'état d'un système Equations du circuits (suite) Représentation d’état Remarques En pratique, pour avoir les sorties du système à partir des états, il faut disposer de capteurs permettant de mesurer le flux et la charge. Sinon on change les variables d’état Représentations d'état d'un système Exemple : Circuit RLC (Autre modèle d’état) Nouveau vecteur d’état : Equations : Nouveau modèle d'état Conclusion La représentation d’état n’est pas unique Représentation d'état d'un système: Application:(Exemple 2) Schéma : Représentation d’état Equations électriques Représentation d'état d'un système: Choix des variables d'état Pour les variables d'états, on choisit souvent des éléments du système susceptibles d'être des réservoirs d'énergie Elément Energie Etat Inductance 1 2 𝐿𝑖 2 i(t) Condensateur 1 𝐶𝑈 2 2 U(t) Masse m 1 𝑚𝑣 2 2 Ressort k 1 2 𝑘𝑥 2 Moment J 1 2 𝐽 2 x(t) 𝑣 𝑡 = 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 x(t) θ(t) ω 𝑡 = 𝑑θ(𝑡) 𝑑𝑡 Liens entre les différentes descriptions d'un système Rappel: Descriptions d'un système Equation différentielle Réponse impulsionnelle Fonction (ou matrice) de transfert H(p) Représentations d'état (A, B, C, D) Liens entre les descriptions Exercices Exercice 1 Un moteur à courant continu, commandé par sa tension d’alimentation u(t), est décrit par les équations classiques suivantes : 𝑑𝑖(𝑡) 𝑢 𝑡 = 𝐾. Ω 𝑡 + 𝑅𝑖 𝑡 + 𝐿 𝑑𝑡 𝐾𝑖 𝑡 = 𝐽 𝑑Ω 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑓Ω 𝑡 Donner une représentation d’état du système dans chacun des cas suivants : La sortie est représentée par la vitesse La sortie est représentée par le courant La sortie est représentée par la vitesse et le courant Exercices Exercice 2 Soit le schéma de la figure 1 suivante : Figure N°1. Circuit électrique Donner une représentation d’état du circuit sachant que l’entrée et la sortie du système sont respectivement u(t) et v(t)
