USTHB Faculté de Physique L3-S6 2019/2020 Module d’Optique Physique Ce cours est proposé par Mr HASNAOUI responsable de la section A et la correction des exercices de TD par Mme S. BOUFAS Adresses mail : [email protected] [email protected] Le contenu de ce document représente la suite du cours dispensé avant le confinement. Dans la première partie du cours sur l’optique physique nous avons étudié les phénomènes d’interférence dans le cas général et ensuite le cas des interférences obtenues par division du front d’onde. Ce qui suit présente une étude des phénomènes d’interférences obtenus à partir de la division d’amplitude d’une onde incidente. Nous présentons l’étude d’une lame à faces parallèles, d’une lame d’air et d’un coin d’air puisque l’étude de la plupart des interféromètres se ramène à l’un de ces trois cas. Nous présentons comme applications une étude de l’interféromètre de Fabry – Perrot, de l’interféromètre de Michelson et du dispositif des anneaux de Newton NB : Dans quelques jours il sera mis sur le même site WEB un document sur les TD et un autre sur les TP N’hésitez pas à nous contacter pout toute autre information 1 I. Etude d’une lame transparente d’indice n et à faces parallèles A. Observation du phénomène d’interférences F2(R’,T’) F1(R,T) n0=1 i i (3) (f) n0=1 r r i (1) (5) n=1 i Rayons impairs // : interférences L ,f à l’infini non localisées i r M (2) i (4) e Rayons pairs // : interférences à l’infini non L’ ,f’ localisées (E) Observation par réflexion à travers une lentille (L,f) i (f’) (E’) Observation par transmission à travers une lentille (L’,f’) Fig :1 La lame d’indice n est transparente c'est-à-dire qu’il n’y a pas de pertes ou bien que R et R’ sont très faibles. R+T=1 (sur la face 1) (R’+T’=1(sur la face 2) I1=RI0 I2=TT’I0 I3=T2R’I0 I 4=TR’RT’I0 I5=T2RR’2I0 Observation en réflexion: I t I 1 I 3 I 5 ..... I 1 I 3 ; car Observation en transmission: I t I 2 I 4 ... I 2 ; car Le phénomène d’interférence en transmission aura un facteur de visibilité très faible à cause de la différence d’intensité qui existe entre les rayons qui interférent (I2 et I4) 2 B. Etude du phénomène d’interférence en réflexion : L’intensité en un point M de l’écran s’écrit : I I 1 I 3 2 I 1 I 3 Cos 2 où δ représente la différence de marche entre les faisceaux (1)et F1 F2 (3 ) : 2ne cos r ( ) , est introduit par la 2 2 n0=1 n n0=1 réflexion sur la face de sortie (F2) au point P, i réflexion d’un milieu plus réfringent sur un milieu P i moins réfringent. i Des rayons incidents ayant le même angle d’incidence i sur la face d’entrée (F1), produisent la Fig :2 même figure d’interférence, la source peut être étendue. Les franges d’interférences observées dans le plan focal d’une lentille sont par conséquent des cercles concentriques centrés sur le foyer image de la lentille. On les appelle « franges d’égales inclinaison » ou « Anneaux d’Haidenger »parce qu’elles correspondent à des rayons de même inclinaison i sur la lame. C. Caractéristiques des anneaux d’égales inclinaisons 2ne cos r 1 a) Différence de marche: Ordre d’interférence : P 2 2 L’ordre d’interférence est maximal au centre (i = r = 0), P=P0 , il décroît à mesure que l’on s’éloigne du centre. Si P0 est entier le centre est brillant Si P0 est demi-entier le centre est obscur b) Rayon du Kième anneau d’interférence de même intensité que le centre L’ordre d’interférence du Kième anneau : Pk=P0-k 2ne 2ne 1 Pk cos rk 1 P0 2 2 ne 2 Pk P0 k k P0 Pk rk En utilisant la loi de Descartes pour la réfraction et pour les angles faibles: i = nr n n k k f P0 P e e ième k étant le rayon du k anneau calculé sur (E) placé dans le plan focal de la lentille L ik2 Cas d’une lame d’air (n=1): k D * i k D P0 P k f * i k f P0 P e e D= Distance écran-Lame Dans le plan focal d’une lentille (L,f) 3 L’ordre d’interférence est le plus élevé au centre et il diminue à mesure que l’on s’éloigne du centre. . P=m-3/2 P=m-1/2 P=m-2 P=m-1 P=m+1/2 P=m Figure 3 : Allure de la figure d’interférences : elle est formée d’anneaux concentriques alternativement brillants et sombres localisés à l’infini. On les appelle « Anneaux d’interférences d’égales inclinaison » Remarque : L’observation par transmission complémentaire de celui obtenu par réflexion II. donnera un système Etude d’une lame d’air par transmission R1 R2 R3 R4 E0 i n I1 t,r e t’,r’ I2 r n0=1 J1 J2 H i Et1 Fig. 4 I3 J3 n Et2 T1 T2 Et3 T3 a) Différence de marche entre deux rayons transmis successifs (T1,T2) : 4 d’interférences J 1 I 2 I 2 J 2 nJ 1 H avec 2e cos r J1I 2 I 2 J 2 et e cos r et J 1 H 2etgr sin i 4e cos i En incidence normale nous avons i = r très faible (C’est le cas de l’interféromètre de FabryPerrot) b) Calcul du rayon des anneaux dans ce cas Pk k 2e 2e i 2 cos ik 1 k 2 En posant P0 2e Avec : k P0 Pk on obtient alors i k2 2 P0 Pk ce qui nous permet d’écrire : 2e ik k k D ( f )ik D( f ) k e e ρk représente le rayon de l’anneau d’ordre k et il dépend de D distance de l’écran d’observation au système interférentiel ou de la distance focale f de la lentille de projection c) Calcul de l’intensité I dans la direction i Le champ global transmis dans la direction i est : E t E t(1) E t( 2) E t(3) ......E t( k ) E t( k ) k 1 On défini par r et r’ les coefficients de réflexion en amplitude et par t et t’ les coefficients de transmission en amplitude des lames E t(1) tt ' E 0 E t( 2 ) r 2 tt ' E 0 r 2 E1(1) e j E t(3) r 4 E1(1) e 2 j E t( k 1) r 2 k E1(1) e kj E t r 2 k tt ' E 0 e jk en posant tt’=T E t r 2k T E 0 e jk k 0 k 0 Ce qui représente une suite géométrique de raison r 2 e j d’où : Et avec R=r2 le coefficient de réflexion en intensité et Sachant que I EE * on a alors : 5 4e cos i TE0 1 Re j I I0 1 M sin 2 avec M 2 4R T2 d) Etude de l’intensité : I = Imax = I0 pour φ = 2kπ Largeur à mi-hauteur : La demi-largeur d’une frange brillante sera alors à mi-hauteur I=I0/2 I0 I0 I (2k ) 2 1 M sin 2 k 1 M sin 2 2 T 2 M sin 2 1 sin 1 M 2 arcsin 1 M 2 arcsin 2 2 2 R *** / 2 représente la demi - largeur à mi-hauteur d’une frange brillante R=0.1 1,2 1,1 R=0.1 non défini 1,0 0,9 0,8 I/I0 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 2 4 6 8 10 12 6 14 16 18 20 R=0.5 R = 0 .5 1 ,0 rd 0 ,8 I/I0 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 ,0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 R=0.9 1,0 R=0.9 rd 0,9 0,8 0,7 I/I0 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 2 4 6 8 10 Figure 5 : Représentation de l’intensité lumineuse en fonction du déphasage φ et pour différentes valeurs du coefficient de réflexion R. 7 III. Franges de coin d’air ou franges d’égale épaisseur α α étant l’angle formé par deux lames L1 et L2 . α très petit. La différence de marche 2e( x ) . L2 e(x) α e( X ) X e( X ) * X tg O x L1 P(x) Figure 6 : Frange de coin d’air 2X Les franges d’interférences sont des segments X = cste , c'est-à-dire des segments parallèles à l’arête du coin d’air. Les franges d’interférence seront donc des franges rectilignes localisées sur un plan parallèle à l’arête du coin d’air. Ces franges sont appelées « franges d’égale épaisseur » L’intensité au point P s’écrit : I I 1 I 2 2 I 1 I 2 cos étant le déphasage entre les rayons qui interférent au point P : L’intensité est maximale pour : k 2X max et l’interfrange i X m1 X m 2 IV. X max k 2 2 2 Applications : A. Etude de l’interféromètre de Michelson L’interféromètre de Michelson est constitué de 2 bras M1 et M2 (miroirs complètement réfléchissant) placés perpendiculairement l’un à l’autre comme le montre la figure 7. L’un des miroir est fixe, M1 par exemple. L’autre, M2 par exemple peut se déplacer le long d’un rail tout en restant parallèle à son plan de référence. Il est aussi constitué d’une lame séparatrice (S) à faces parallèles d’indice n et traitée à 50% sur une face, elle joue le rôle « d’une lame semi-réfléchissante». Elle permet de diviser le faisceau initial en deux faisceaux (1) et (2). On interpose sur le trajet du faisceau (1) une lame de même épaisseur e et de même indice de réfraction n que la lame semi-transparente (S), elle est appelée « lame 8 compensatrice (C) ». Elle permet de compenser le chemin optique supplémentaire introduit par la séparatrice (S),de cette manière on crée pour les deux faisceaux des conditions de propagation équivalentes ; le schéma montre en effet que le faisceau (2) doit traverser trois fois de suite la lame séparatrice, tandis que le faisceau (1) ne la traverse qu’une seule fois. En interposant sur le trajet du rayon (1) la lame (C), à condition que les deux bras de l’interféromètre soient égaux, la longueur du chemin optique des rayons (1) et (2) sera la même et la différence de marche δ nulle. M1 C (1) S (2) (1,2) M2 Figure 7 : Schéma de principe de l’interféromètre de Michelson. La couche réfléchissante de la lame semi-réfléchissante (S) est indiquée par un tracé accentué. Lorsqu’on déplace le miroir M 2 dans une position M 2' , on introduit une différence de marche δ égale au double de la distance entre les positions M 2 et M 2' . Deux cas peuvent se présenter : **Si le miroir M 1 reste rigoureusement parallèle à l’image du miroir M 2 , on verra apparaître à la sortie de l’appareil des anneaux d’égale in1clinaison. **Si la couche d’air comprise entre les lames M 1 et M 2' a la forme d’un coin, on verra apparaître des franges d’égale épaisseur. Dans les deux cas, on peut projeter les franges sur un écran et étudier le système stationnaire des franges d’interférence. 9 M1 M’2 C M’2 (1) S (2) (1,2) M2 Figure 8 : schéma montrant les deux possibilités de fonctionnement de l’interféromètre de Michelson Localisation des franges d’interférence a) Lorsque l’interféromètre de Michelson est éclairé par une source ponctuelle (telle qu’un faisceau laser He-Ne), les interférences seront visibles dans toute la zone de recouvrement. On parle alors d’interférences non localisées et l’observation se fera sans l’aide d’aucun système optique extérieur. b) Si l’interféromètre de Michelson est éclairé par une source de lumière étendue et en coin d’air, les interférences seront alors localisées au voisinage du coin d’air. Les interférences seront visibles directement à l’œil nu ou par projection à l’aide d’une lentille convergente. c) Si l’interféromètre de Michelson est éclairé par une source de lumière étendue en lame d’air, on obtiendrait alors des interférences localisées à l’infini. L’observation se fera à l’œil nu sans accommoder ou bien à dans le plan focal d’une lentille convergente. Utilisation Cet interféromètre a été utilisé pour la première fois dans l’expérience de MichelsonMorley qui a permis de montrer: a) Que la vitesse de la lumière dans le vide ne dépend pas du référentiel où on la calcule (on parle d’invariance de la vitesse de la lumière) b) Que l’Ether n’existe pas 10 En configuration en lame d’air, on utilise l’interféromètre de Michelson pour tester la planéité et la qualité des miroirs ou autres surfaces. TOMOG APHIE : imagerie médicale, en géophysique et astrophysique. Cette technique permet de reconstituer le volume d’un objet à partir d’une série de mesures effectuées par tranche depuis l’extérieur de cet objet. B. Dispositif d’une lame d’épaisseur variable ; cas des franges d’égale épaisseur : Anneaux de Newton Le système qui permet d’obtenir des anneaux de Newton est formé de deux (2) lames: l’une est une lame à faces parallèles et l’autre une lame semi-cylindrique de très grand rayon de courbure accolée à la première comme le montre la figure 9. Σ1 Σ2 n n Figure 9 : Dispositif d’une lame d’épaisseur variable Un rayon incident sur la surface plane de la lame semi-cylindrique donne naissance à deux rayons réfléchis l’un sur la surface Σ1 et l’autre sur la surface Σ2. La différence de marche entre ces deux rayons δ dépend de l’épaisseur de la lame d’air e comprise entre ces deux surfaces. O R Σ1 Σ2 n n ρk O’ Figure 10 11 P ex x x Un rayon incident donne naissance à deux rayons réfléchis dont la différence de marche δ est conditionnée par le trajet dans la lame : ou 2ne 2ne 2 On ajoute à δ si l’une des réflexions correspond à une réflexion d’un milieu moins 2 réfringent sur un milieu plus réfringent : une telle réflexion introduit en effet une différence de marche supplémentaire de . 2 La différence de marche δ ne dépend que de l’épaisseur e, de sorte que les franges obtenues suivent les courbes e = cte , ces franges sont dites franges d’égale épaisseur. Elles auront la forme d’anneaux concentriques et seront localisées sus le coin d’air. Si nous travaillons en incidence normale i r 0 l’ordre d’interférence sera minimal au centre (e = 0). Ce centre sera noir si la lentille plan-convexe est posée sur la lame Calcul du rayon du kième anneau de même intensité que le centre Sachant que Pk P0 k 2ne x k2 k e x 2 R 2n k k Dans le cas des anneaux de Newton (n=1) R n k k R La figure d’interférence sera représentée par un système d’anneaux concentriques, comme représentés sur la figure 3, alternativement brillant et sombre entourant une tache centrale brillante ou sombre selon le cas où on est en réflexion ou en transmission. 12
