Equation et inéquation détaillé

ÉQUATION ET INÉQUATION 4 ème
I) Tester une égalité : Rappel : vérifier qu'un nombre est ou non solution d'une
équation
On considère l’équation : 5x – 22 = 34 – 3x
5 est-il une solution de cette équation ?
D'une part : 5x – 22 = 5 x 5 – 22 = 25 – 22 = 3
D'autre part : 34 – 3x = 34 – 3 x 5 = 34 – 15 = 19
5x - 22 ≠ 34 - 3x donc 5 n'est donc pas une solution de l'équation
On considère l’équation : (x + 2)² = 4 + x
a. - 3 est-il une solution de cette
équation ?
b. 1 est-il solution de cette équation
a. D'une part : (x + 2)² = ………………………..
D'autre part : 4 + x = …………………………..
……………………………………………………….
b. D'une part : (x + 2)² = ………………………..
D'autre part : 4 + x = …………………………..
……………………………………………………….
II. Équations.
Définition : Rappel
1 Une équation est une égalité de....................................................(avec une ou plusieurs lettres)
appelés les .................................... de l’équation (expressions ...................................du signe « = »), la ou
les lettre(s) étant appelées la ou les ....................................................
2 Résoudre une équation signifie ...................... la ou les valeurs de(s) ............................. pour que
...................................................soit vraie
Activité 2 p 79
Propriété : On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser ...................... membre d'une égalité par
un .................................................................. sans rien changer à l'égalité
Exemple : Résolution de 5x – 6 = 4x + 3
1) On ............................. dans chaque membre
On va ainsi regrouper les nombres dans un seul membre : 5x – 6 ......... = 4 + 3x ..........
5x = 3x + .........
2) On ............................. dans chaque membre
On va ainsi regrouper l'inconnue dans l’autre membre : 5x ......... = 3x + 10 .........
......... = .........
3) On .......................................chaque membre
On divise par « le nombre de x » pour n'en avoir plus qu'un: ......... = .........
......... = ......... ou ..........= ............
Phrase réponse obligatoire La solution de l’équation est .........
TOUT MELANGE
Exemple: 5a – 3(2a – 3) = 2a + 8 Il faut :
1) Développer Revoir le Chapitre 3
2) Réduire
3) Résoudre comme précédemment 1/3

CAS PARTICULIERS :
1) Equation se ramenant à 0x = 0 -------> Tous les nombres sont solutions de l'équation
Exemple : 2x + 7 – 3 = 2x + 4
...................... = ......................
...................... =......................
...................... = ......................
On peut remplacer x par .............................. nombre l'égalité sera ............... donc ..............................
conviennent
Réponse : ..............................................................................................................
2) Equation se ramenant à 0x = a -------> L'équation n'admet pas de solution
Exemple : 2x + 5 – 3 = 2x + 4
...................... = ......................
...................... = ......................
......................= ......................
On peut remplacer x par ...................... nombre l'égalité sera ............... donc .............................. convient
Réponse :........................................................................................
III Mise en équation.
Quatre (ou cinq )étapes permettent de bien organiser la résolution d'un problème à l'aide d'une équation.
1) Choix ..................................................................
En général soit elle vous est indiquée soit vous la trouvez dans la question
2) .............................................du problème
3) Résolution.....................................................
4) Réponse................................................
5) ............................................recommandée
Activité 6 p 80 : Pensez à faire un schéma
IV Ordre et comparaisons.
1) Encadrements (exemples) :
Rappel :
1. ≤ se lit ................................................
< se lit ..............................................
≥................................................
> ................................................
3,5 ≤ x ≤ 3,6 signifie que x est compris entre 3,5 et 3,6 inclus.
3,5 et 3,6 sont les bornes de l’encadrement
3,6 – 3,5 = 0,1 0,1 est l'amplitude de l’encadrement
Comparaison : Avec des nombres relatifs pas de problème mais avec des lettres ??
Remarque : Comparer deux nombres revient à étudier le signe leur différence.
Ð« a – b > 0 » signifie que « ......................... »
€« a – b = 0 » signifie que « ......................... »
€« a – b < 0 » signifie que « ......................... »
Exemple : Comparer 3x et 2x ? Difficile si on ne connait pas la valeur de x
Si on fait la différence : On obtient ......................... = .........................
Il suffit alors de connaitre le signe de x : Si x est ......................... alors 3x – 2x ......... soit .............
Si x est ......................... alors 3x – 2x ......... soit .............
2/3

2) Opérations :
a ) Additions et soustractions
Démonstration : On considère 2 nombres a et b tels que a < b.
On ajoute le même nombre c à a et b ,
On compare a + c et b + c en étudiant le signe de la différence (a + c) – (b + c) .
(a + c) – (b + c) = ...................................... comme a est ............................................................... à b alors
a – b est .......................... soit (a + c) – (b + c) ................... c'est à dire (a + c) est .....................................
.......................................................... (à (b + c)
Il suffit d'utiliser la même méthode pour la différence
Propriété 1: On peut ajouter ou soustraire à .............................. membre d'une inégalité un ..................
nombre ........................................... le sens de l'inégalité
Exemples : résoudre l'inéquation
x > 3 x + 6 < -7
x + 7 > 3 + 7 x + 6....... < -7 ..........
x + 7 > 10 x < ..........
les solutions de l'inéquation sont .........................................
...................... à ......................
b ) Multiplications ou divisions
i) Par un nombre strictement positif
Propriété 2 : On peut multiplier (diviser) .............................membre d'une inégalité par ............................
nombre ...........................................................................................................................le sens de l'inégalité
Exemples : résoudre l'inéquation
a > 3 3a ≤ -7
2 × a > 2 × 3
1
3
× 3a ≤
1
3
× (-7) Le sens de l'inégalité ne change pas
2a > 6 1 a ≤
−7
3
les solutions de l'inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à -7/3
ii) Par un nombre strictement négatif
Propriété 3 : On peut multiplier (diviser) .............................membre d'une inégalité par ............................
nombre ...........................................................................................................................le sens de l'inégalité
Exemples : résoudre l'inéquation
- x ≥ 3 -3a < -7
(-1) × (- x) ≤ (-1) × 3 -
3
1
× a > -
3
1
× (-7) Ne pas oublier de CHANGER le sens de l'inégalité
x ≤ -3 a > 7/3
les solutions de l'inéquation sont tous les nombres ........................................

EXERCICES inéquations 4 ème
EXERCICE 1
a. Compléter les pointillés :
x > 6
x + 1 > .....
x + 1 > .....
x > 6
x + 7 > .....
x + 7 > .....
x > 6
x – 4 > .....
x – 4 > .....
b. Compléter les pointillés :
x < 2
x + 1 < .....
x + 1 < .....
x < 2
x + 7 < .....
x + 7 < .....
x < 2
x – 4 < .....
x – 4 < .....
c. Compléter les pointillés :
x ≥ -4
x + 1 ……..
x + 1 ……..
x ≥ -4
x + 7 ……..
x + 7 ……..
x ≥ -4
x – 4 ……..
x – 4 ……..
Exercice 2
Compléter les pointillés par > 0 ou < 0 :
a. x > y donc x – y .............
b. x < y donc x – y .............
c. y > x donc x – y .............
d. y < x donc x – y .............
e. x > y donc y – x .............
f.y > x donc y – x .............
EXERCICE 3
a. Compléter les pointillés :
x > 5
2x > .....
2x > .....
x > 8
½ x > .....
½ x > .....
x > -12
¾ x > …..
¾ x > …..
b. Compléter les pointillés :
x < -4
2x ……..
2x ……..
x < -4
½ x ……..
½ x ……..
x < - 4
¾ x ……..
¾ x ……..
c. Compléter les pointillés :
x ≤ -9
2x ……..
2x ……..
x ≤ -9
½ x ……..
½ x ……..
x ≤ -9
¾ x ……..
¾ x ……..
EXERCICE 4
Résoudre ces inéquations :
a) x + 3 > 5 b) x - 2 > 6
c) x + 4 < -7 d) – 7 + x < -1
e) 3x > 12 f) 5x < 30
g) 4x > -11 g) ¼ x < 6
Exercice 5
Résoudre ces inéquations :
a. 7x + 5 < -3 b. 8x + 3 ≤ 6
c. 7x + 2 > x + 6 d. 5x + 9 < 3 – 4x
EXERCICE 6
a. Sachant que –2 < x < 3, encadrer les expressions suivantes :
x + 8 3x 6x – 7
b. Sachant que 1 < 2x – 5 < 3, encadrer x.
c. Sachant que -3 < 2 + 5x < 7, encadrer x.
EXERCICE 7 (PROBLÈME DE BREVET)
La société ALO propose un abonnement téléphonique de 98 F par mois et 1,30 F la minute de
communication.
La société LAO propose un abonnement téléphonique de 95 F par mois et 1,45 F la minute de
communication.
On désigne par x le nombre de minutes de communication par mois.
1. Exprimer en fonction de x le montant d’une facture de ALO, puis le montant d’une facture de LAO.
2. Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir ALO ?