examen 1 Traitement du signal

Licence : Traitement de l'information et systèmes électroniques (TISE)- Examen S6
Y.Kabir
Université SAAD DAHLEB de Blida
Dé
p
artement d’électroni
q
ue
Année universitaire : 2013-2014
Licence : Traitement de l'information et systèmes électroniques (TISE)-S6
Unité d’enseignement Fondamentale (UEF) : Elec13 (Introduction au traitement du signal et applications)
Enseignant : Y.Kabir
Date : 04/06/2014
Examen S6
Exercice 1 (Questions de cours) (5 pts)
1. Répondre par vrai ou faux et dire pourquoi ? (1.5 pts)
a. L'échantillonnage ne modifie pas le spectre du signal
b. Le filtre anti-recouvrement permet de négliger toutes les fréquences inférieures à la fréquence
maximale.
c. Le filtre anti-recouvrement est un filtre passe-haut
2. Un signal audio analogique est numérisé avec une fréquence d'échantillonnage de 22 KHz, chaque
échantillon est codé sur 8 bits. Pour 1 minute de son, quel est le volume correspondant en bits ? (1.5)
3. Démontrer la propriété :
0
0
() st TL f t t e F s   (2 pts)
Exercice 2 : (5 pts)
Résoudre l’équation 430yy
  , ou y est une fonction du temps t si y(0)=y’(0)=0
Exercice 3 : ( 5 pts)
Soit le circuit RLC série (conditions initiales nulles) de la figure ci contre.
- Calculer la fonction de transfert H(s)=Y(s)/X(S). (1.5 pts )
- Trouver la réponse impusionnelle h(t) du système, pour LC=1 et R/L=1/2. (1.5 pts)
- Quelle est la réponse du système pour un signal d’entrée x(t) =u(t) ? (1 pt)
Exercice 4 : (4 pts)
Trouver la transformée de Laplace inverse de :
129
() 613
s
Fs ss  (2 pts), , 2251 () 12
s
Fs ss
(2 pts),
Exercice Bonus ( 3 pts ):
La sortie d’un filtre est () 10 cos(4) ()
t
yt e tut  quand l’entée est () ()
t
x
teut , quelle est la fonction de
transfer H(s) du filtre et déduire la réponse impulsionnelle h(t).
Bon courage
x(t) y(t)
R L
C
i

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Correction
Exercice 1 :
1.
a. Faux car le spectre est périodisée
b. Faux c’est l’inverse qui est vrai
c. Faux , c’est un filtre passe bas.
2. 1 minute = 60 secondes . Par seconde, on effectue 22 000 mesures codées chacune sur 8 bits. On a
donc un volume de 60 x 22 000 x 8 = 10 560 000 bits.
3.
0
0
00
0
st
st
t
Fs Lft ft e dt
Lftt F s ftt e dt
Changement de variable
on pose 00
tt t t
0
0tt
t
0
0
0
00
0
0
0
0 0
0 0
0
0
00()0
st
tt
st st
t
st
t
st st
s
tt
Fs f e d
fe d fe d
or
fe d carft
Fs e f e d Fs e Fs
0
0
() st Lft t e Fs
Exercice 2 :
1. On prend la TL de l’équation différentiel
43 0TL y y TL
430TL y TL y TL TL
2
s
(0) (0)TL y sy y  + 4
TL y  3
s
= 0
24s
TL y = 3
s
puisque (0) 0; (0) 0yy
TL y =
222
33
42ss ss

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En décomposant TL(y) en éléments simples
22 22
3
22
A
Bs C
s
ss s
22
22 22
2
3
22
As Bs Cs
ss ss
Par comparaison :
22
34As A Bs Cs
D’où ,
0; 4 3; 0AB A C  
33
;
44
AB
22
33
() 442
s
Ys ss
2. En utilisant la table des transformations de laplace
33 3
() (1) cos2 () 1 cos2 ()
44 4
yt t ut tut
Exercice 3 :
En appliquant la loi de Kirchhoff sur le circuit nous obtenons
()
() () ()
di t
x
tRitL yt
dt
i(t) est le courant traversant la résistance, l’inductance et le condensateur, la tension au bornes su
condensateur est donnée par
0
1
() () (0)
t
y
tidy
C
y(0) est la tension initiale au bornes du condensateur, afin d’obtenir une équation différentiel en fonctions
de x(t) et y(t) seulement.
() 1 () dy t it
dt C
  () () dy t it C dt
Et 2
2
() 1 ()dyt dit
dt C dt
 2
2
() ()di t d y t
LLC
dt dt
nous obtenons ainsi : 2
2
() ()
() ()
dyt dyt
x
tLC RC yt
dt dt
C’est une équation différentielle du deuxième ordre avec des conditions initiales y(0) =y’(0)=y’’(0)=0
la transformation de Laplace de l’équation différentielle donne :
2
() 1 ()
X
sLCsRCsYs
La réponse impulsionnelle du système est la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert :
x(t) y(t)
R L
C
i

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2
() 1/
() () ( / ) 1/
Ys LC
Hs
X
ssRLs LC
Si LC =1 et R/L=1/2 22 22
11
() (1/ 2) 1 2(1/ 4) (1/ 4) (1/ 4) 1 Hs sss s
2
1
() 115
()
416
Hs s
=2
2
15
44
15 115
()
44
s
D’où
1
4
415
() sin( ) ()
4
15
t
ht e t ut
1. Pour x(t) = u(t) X(s)=1/s ;
Y(S)=X(s) . H(s) = 211
.
(1/ 2) 1sss
On décompose en éléments simples :
2
() 11
2
ABsC
Ys sss
2
00
1
.() 1
(1/ 2) 1
ss
AsYs ss
Pour B on calcule :
2
2
.() 1 1
11
2
s
s
Bs Cs
sY s B
ss
D’autres parts : s.Y(s)=210
(1/ 2) 1 s
ss  d’où B =-1
Pour trouver C, il suffit de calculer Y(s) pour une valeur particulière
11 2
(1) 1 ( 1).
1
15
11
2
C
YC = 21
112
.
(1/ 2) 1 5
s
sss
Il vient que : 22
1( 1).
55
C  ; 51 2, => C=-
22
C
Donc : 2
1
12
() 11
2
s
Ys sss =22
11
() 11
2
11
22
s
Ys sss ss
22
22
111
() 2
15 1 15
(1/4) ( )
444
s
Ys sss

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22
22
111
1442
() 115 115
() ()
44 44
s
Ys sss
22
22
1
111
4
() 4
115 115
() ()
44 44
s
Ys sss
22
22
115
11
44
() 15
115 115
() ()
44 44
s
Ys sss
22
22
115
11
44
() 15
115 115
() ()
44 44
s
Ys sss
11
44
15 1 15
() 1 cos sin .()
44
15
tt
y
te t e tut
Exercice 4 :
122 2 2
222 2
36 3
99 2
() 3
613 34 32 32 32
ss
ss
Fs ss ss s s
11 1
22 2
22 2
36 3 2
3
32 32 32
ss
LL L
ss s
En utilisant la table des transformées de Laplace :
13
22
36 cos2 3sin 2 ( )
32
t
s
Lettut
s
2. on factorise le dénominateur:
251 51
12 ( 4)( 3)
ss
ss s s
   .
Nous décomposons F2(s) en fractions simples:
51 (3) (4)
(4)(3)(4)(3) (4)(3)
51 (3) (4) 3 4
5( ) 5
13 4
sABAsBs
ss s s ss
sAs Bs AsABsB
sABs AB
AB
Nous obtenons deux équations et deux inconnus: