ENSAM-R
2API
Exam blanc
2022-23
Exercice :
z
Soit un corps S composé de:
S1
S2
*) une surface rectangulaire S1 de masse m1, de hauteur h
et de largeur 2R suivant l’axe x.
*) une autre surface rectangulaire S2 de masse m2, de hauteur h
et de largeur R, suivant y.
O
*) un point matériel S3 de masse m3.
α
x
u
1) Déterminer la matrice d'inertie de S en O
(D)
Préciser les produits d’inerties qui sont nuls du corps S
2) Déterminer le moment d'inertie de S par rapport à la droite (D)
h
S3 y
Problème : Etude du ROBOT ROBY
Le système représente le robot ROBY qui effectue les tâches de ponçage, de peinture
et d’autres tâches d’entretien. On distingue 2 phases du fonctionnement du robot,
Phase de déploiement pour la préparation de l’environnement de travail et la phase
de travail.
On considère que le manipulateur est en cours de déploiement, tel que le chariot et la
plate-forme élévatrice sont à l’arrêt. Tenant compte des constituants du manipulateur,
On adopte le schéma cinématique simplifié de la figure 2 page 3 en considérant que le
ROBOT ROBY est constitué des solides indéformables suivants :
(S1)={Chariot} ; (S2) ={Embase + Plate-forme élévatrice} ;
(S3)={Colonne de rotation + Epaule } ;
(S4) ={Bras + Poignet + Outil de travail}.
Données et Paramétrage :
Sol
(S0)
Supposé parfaitement horizontal, repère lié R 0 (O0 , x0 , y 0 , z0 ) supposé Galiléen, L’accélération
de pesanteur est g g z0 .
(S1)
Fixe par rapport au sol (S0),Li(S1/S0):ponctuelle
avec frottement de normale (Ii ,z0 ) (i=1,2,3)
I1I2 c1 x0 d1 y0 , I1I3 c1 x0 d1 y 0 ,
(c1 , d1 constantes), u vecteur unitaire orientant la
Masse m1 ,centre d’inertie G1 tel que
I1G1 a1 x0 b1 z0 (a1 , b1 constantes)
I1 O0 ,
droite (I1I3), 0 (x0 , u) avec α0 angle constant.
(S2)
Fixe par rapport au chariot (S1).
Masse m2 ,centre d’inertie G2 tel que
L(S2/S1) : glissière bloquée, I1O2 L1 x0 z1 z0
(L1 , z1 constantes).
O2G2 a2 x0 b2 z0 (a2 , b2 constantes)
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(S3)
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L(S3/S2) : pivot parfaite d’axe (O3 , z0 ) ,
repère lié R3(O3 , x3 , y 3 , z0 ) ,
Masse m3 ,centre d’inertie G3 tel que
(x0 , x3 ) (y 0 , y 3 )
A3 F3 E3
IO3(S3 ) F3 B3 D3
E D
C3 (x ,y ,z )
3
3
3
3 0
O3G3 L3 x3 (L3 constante), matrice d’inertie
O2O3 c2 x0 d2z0 (c2 , d2 constantes)
(S4)
L(S4/S3) : pivot 2 parfait d’axe (A , y 3 ) ,
repère lié R 4 (A , x 4 y 3 ,z4 ) ,
Masse m4 , centre d’inertie G4 tel que
(x3 , x 4 ) (z0 , z4 )
A4 0 0
IA (S4 ) 0 B4 0
0 0 C
4 (x ,y ,z )
4
3 4
AG4 L4 x4 (L4constante) , matrice d’inertie
O3 A a3 x3 (a3 constante)
Un moteur (M23) est monté entre (S2) et (S3), (M23) applique sur (S3) une action mécanique
représentée par un torseur couple de moment Cm23 z0 .Un moteur (M34) monté entre (S3) et (S4),
applique sur (S4) une action mécanique représentée par un torseur couple de moment Cm34 y 3 .
Les données de masse et d’inertie de (M23) sont inclues dans ceux des solides (S2) et (S3) de même
pour (M34) dans ceux des solides (S 3) et (S4).
Question 1 :
a) Sachant que
(O3 , x3 , z0 )
est un plan de symétrie matérielle du solide (S3),
simplifier la forme de sa matrice d’inertie
IO3(S3 ) .
b) Déterminer le moment cinétique au point O3 du solide (S3) dans son mouvement
par rapport à (S0) :
c) Déterminer le moment cinétique au point A du solide (S4) dans son mouvement
par rapport à (S0) : σ A (S4 /S0 )
Question 2 :
d) Déterminer le moment dynamique au point A du solide (S4) dans son mouvement
par rapport à (S0) en projection sur l’axe y3 :
e) Déterminer les moments des efforts appliques sur S4 au point A du solide (S4) en
projection sur y3 :
Question 3 :
f) Déterminer le moment dynamique au point O3 des solides (S3+S4) dans le
mouvement par rapport à (S0) en projection sur l’axe zo.
Question 4 :
g) Appliquer le théorème du moment dynamique à (S3+S4) sur l’axe zo.
Question 5 :
h) Déterminer l’énergie cinétique de S2+S3+S4 par rapport à (S0)
Le corps S4 est représenté par la géométrie de la figure 3:
Un tube cylindrique S41 d’axe de révolution y4 = y3, de rayon intérieur Ri, de rayon
extérieur Re, de hauteur H, de masse m41, de centre d’inertie G41 = A.
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Un parallélépipède S42, de hauteur aussi H suivant l’axe y4, de longueur L, suivant l’axe
x4, de largeur d, suivant l’axe z4, de masse m42, de centre d’inertie G42.
Question 6 :
h) Déterminer La position du centre d’inertie G4 du corps S4.
i) Déterminer la matrice d’inertie du corps S4 en A.
(S2)
(S3)
O
A
3
G
3
G
2
(S1)
O
2
G
d1
4
G1
I1=O
d1
(S4)
I2
0
α0
Sol(S0)
Figure 2
I3
M3
S4
Pivot
L1 : Ponctuelle
M2
S3
Pivot
S2
Glissière
bloquée
A
S1
L2 : Ponctuelle
L3 : Ponctuelle
Pesanteu
r
x4
Figure 3
3/3
S0
