TP Volume Finis COMPTE RENDU TRAVAUX PRATIQUES : Volume finis 4ème année génie des procédés, énergie et environnement Année universitaire : 2015/2016 Réalisé par : DJOHAR Ali ENNADRAOUI Yassine EZZAAMARI Oumaima HANOUAR Imad Encadré par : Pr. EL HAMMAMI Page 1 TP Volume Finis INTRODUTION : En analyse numérique, la méthode des volumes finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles, comme la méthode des différences finies et celle des éléments finis. Contrairement à la méthode des différences finies, qu’on vient d’étudier en 3ème années génie des procédés de l’énergie et de l’environnement, qui met en jeu des approximations des dérivées, les méthodes des volumes finis et des éléments finis exploitent des approximations d'intégrales. Toutefois, la méthode des volumes finis se base directement sur la forme dite forte de l'équation à résoudre, alors que la méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variation elle de l'équation (on parle aussi de formulation faible) Les domaines d’applications de la modélisation et la simulation numérique sont innombrables Quelques exemples: • Sciences de l’ingénieur: aérodynamique, calcul des structures électromagnétisme, énergie, automatique, signal... • Autres sciences: physique, optique, chimie, biologie, économie... • Météorologie, environnement, finance... Le Principe des méthodes de résolution numérique des EDP consiste à « Obtenir des valeurs numériques discrètes (c.à.d. en nombre fini) qui « approchent » en un sens convenable la solution exacte »Donc dans ce cas on a les propriétés suivantes : • On calcule des solutions approchées • On discrétise le problème (On passe du continue au discret): remplacement des fonctions par un nombre fini de valeurs. Il y a plusieurs méthodes de résolution numériques mais les deux principales méthodes sont : •Méthode des Différences finies •Méthode des Volumes finis •Méthode des Eléments finis Page 2 TP Volume Finis •Méthode spectral Les méthodes aux volumes finis ont supplanté les méthodes classiques basées sur les différences finies dans le traitement des problèmes complexes notamment tridimensionnels. La technique comprend deux étapes importantes : - le maillage : il consiste à diviser le domaine en plusieurs intervalles réguliers appelés volumes de contrôle. - La discrétisation : lors de cette étape les équations sont intégrées dans les volumes de contrôle. Ce rapport présente l’étude du phénomène du transfert de la chaleur par la méthode des volumes finis et ceci dans en monodimensionnel avec une température imposée et avec un flux imposé ainsi qu’en bidimensionnel. Page 3 TP Volume Finis TP N°1 : On considère une barre cylindrique, sans source de chaleur, ayant l’aire transversale A =102 m2 et la longueur L = 0.5 m. Les extrémités, A et B de la barre sont maintenues aux températures constantes de 100°C et de 500°C respectivement. On connaît la conductivité thermique 401 W/mK . On considère 16 points le long de la barre. Après intégration, on obtient : On pose : , , Donc d’après la méthode de volume finis : 3) Page 4 TP Volume Finis Page 5 TP Volume Finis 5) 600 500 400 numerique 300 methode de volume finis 200 100 0 0 0,2 0,4 0,6 Comparaison des résultats numériques avec la solution analytique Interprétation générale : On constate que les deux résultats sont confondus donc la méthode de volume dans ce cas nous donne une meilleure approximation Page 6 TP Volume Finis TP N° 2 : On considère une plaque très longue d’épaisseur L 20 mm, ayant la conductivité thermique constante 0.5 W/m/K et une source de chaleur uniforme, S 1000 kW/m3. Les faces de la plaque se trouvent à la température constante de 100 C et 200 C respectivement. En supposant que les dimensions de la plaque dans les directions “y” et “z” soient très grandes et donc le gradient de la température est significatif dans la direction “x” seulement. On considère 16 points le long de la barre on trouve x 0.1 m. Avec : S = Sc+SpTp = 106 et : Discrétisation : Après integration, on obtient: On pose: , , , Donc : Page 7 TP Volume Finis Page 8 TP Volume Finis 5) 300 250 200 Série1 150 Série2 100 50 0 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 Comparaison des résultats numériques avec la solution analytique Interprétation générale : On constate que les deux résultats sont confondus même dans le cas de flux impose donc la méthode de volume dans ce cas nous donne une meilleure approximation dans n’apporte quelle condition au limite impose. Page 9 TP Volume Finis TP N° 3 : On considère une barre cylindrique (fig. 4.12) de l’aire A avec une extrémité maintenue à la température constante de 100 °C (TB ) et l’autre extrémité est isolée (le flux de chaleur est nul). Sur le long de la barre il y a un échange de chaleur par convection dépendante de la température. La température du milieu extérieur est de 20 °C. On connaît : L =1 m , hP /( A) =25 m-2 . L’équation différentielle qui gouverne le transfert thermique dans ce cas est : Avec : et : S = Sc+SpTp = h∞(T∞-T) Discrétisation : Après integration, on obtient : On pose: , h∞ T∞ , et , h∞ Donc : 3) Page 10 TP Volume Finis Page 11 TP Volume Finis Cas 1 : 6 nœud Cas 1 : 30 nœud Interprétation générale : La méthode de volume a une grande utilité puisque il nous donne une meilleure approximation des cas réel d’étude qui sont complique a l’étudie avec résolution numérique dans n’apporte quelle condition au limite impose. Page 12 TP Volume Finis Conclusion générale : En gros, on remarque que la méthode des volumes finis est de très grande importance dans la résolution des EDP dans plusieurs domaines ; même si ici on n’avait consacré nos travaux pratiques que sur le transfert thermique mais en opérant de la même façon, on pourrait faire adapter ces programmes de résolution à n’importe quel problème. Cette méthode est un vrai rajout aux connaissances de l’ingénieur d’état voir même ce qui le caractérise et différencie des autre Page 13 TP Volume Finis Page 14
