Sequence-2-Elements-Geometrie-14-Triangles-Egaux-Cours

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Séquence :Transformations d’un triangle de même forme
I- Triangles égaux :
- Définitions :
- Deux triangles sont égaux ou superposables si et seulement si leurs côtés sont deux à
deux de même mesure.
- Deux triangles sont superposables ou égaux si et seulement si l’on peut passer de l’un à
l’autre par rotation ou par glissement ou par glissement et rotation.
- Conséquence :
Deux triangles égaux ou superposables ont leurs angles qui sont deux à deux de même
mesure.
- Vocabulaire :Dans deux triangles égaux :
- Deux angles homologuessont deux angles superposables.
C’est-à-dire deux angles de même mesure.
- Deux sommets homologuessont deux sommets superposables.
- Deux côtés homologuessont deux côtés superposables.
C’est-à-dire deux côtés de même mesure.
- Exemple :Les trois triangles ci-dessous sont superposables.
- Propriété 1 :
Deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même
mesure si et seulement si ces deux triangles sont égaux.

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- Exemple :
- Exemple de démonstration :
Comme : Dans les triangles ABC et MNP, on a :
-
5 BC MN cm
-
50mes ABC mes PMN  
-
30mes ACB mes PNM  
Alors : Les triangles ABC et MNP ont un côté de même longueur compris entre
deux angles de même mesure.
Donc : Les triangles ABC et MNP sont égaux (superposables).
- Propriété 2 :
Deux triangles ont un angle de même mesure des côtés deux à deux de même longueur
si et seulement si ces deux triangles sont égaux.
- Exemple :

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- Exemple de démonstration :
Comme : Dans les triangles AEF et RSG, on a :
-
40mes EAF mes GRS  
-
3 AE RG cm
-
5 AF RS cm
Alors : Les triangles AEF et RSG ont un angle de même longueur compris entre des
côtés deux à deux de même longueur.
Donc : Les triangles AEF et RSG sont égaux (superposables).
- Propriété 3 :
Deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur si et seulement si ces deux
triangles sont égaux.
- Exemple :
- Exemple de démonstration :
Comme : Dans les triangles ABC et EDF, on a :
-
AB DF
-
AC ED
-
BC EF
Alors : Les triangles ABC et EDF ont leurs côtés deux à deux de même longueur.
Donc : Les triangles ABC et EDF sont égaux (superposables).
II- Triangles semblables:
- Définitions :
- Deux triangles sont semblables si et seulement si leurs angles sont deux à deux de
même mesure.
- Deux triangles sont semblables si et seulement si l’un est un agrandissement de l’autre
ou l’un est une réduction de l’autre.

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- Conséquences :
- Deux triangles égaux ou superposables sont semblables.
- Deux triangles semblables ne sont pas nécessairement égaux.
- Deux triangles qui ont respectivement deux angles deux à deux de même mesure
sont semblables
- Vocabulaire :Dans deux triangles semblables :
- Deux angles homologuessont deux angles superposables.
C’est-à-dire deux angles de même mesure.
- Deux sommets homologuessont deux sommets qui se correspondent.
- Deux côtés homologues sont deux côtés qui se correspondent. (Ils ne sont pas
nécessairement de même longueur)
- Exemple :Les triangles ABC et EDR ci-dessous sont semblables.
- Propriété:
Deux triangles ont leurs côtés homologues proportionnels si et seulement si ces deux
triangles sont semblables.
- Exemple :Sur la figure précédente, les côtés homologues sont :
-  et 
-  et 
- et . - Exemple de démonstration :
Comme : Dans les triangles ABC et ERD, on a :
-
50mes ABC mes EDR  
-
30mes BAC mes RED  
Alors : Les triangles ABC et ERD ont respectivement deux angles de même mesure.
Donc : Les triangles ABC et ERD sont semblables.