ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa Antenne de Bretagne Filtrage analogique : généralités Ce document rassemble des notes de cours destinées aux élèves de préparation à l’Agrégation de Génie Electrique. Toutes les remarques qui pourraient contribuer à son amélioration sont les bienvenues. Certaines informations sont tirées d’ouvrages dont les références sont données en fin de document. Si certaines d’entre elles venaient à manquer, je m’en excuse par avance auprès de leurs auteurs et les invite à m’en faire part. Mon adresse est la suivante : [email protected] 1 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa FILTRAGE ANALOGIQUE 1. Rôle du filtrage Séparation des signaux utiles des signaux indésirables Exemples d’applications : - Optimisation du SNR en privilégiant les fréquences constituant le signal utile et en éliminant les autres (bruit électronique, harmoniques d’un oscillateur…) Filtre de boucle d’un asservissement (ex : PLL) Association à des CAN et CNA pour éviter les problèmes de repliement de spectre 27 MHz 27 MHz 6800 Hz FREC Amplification Amplification Démodulation Filtrage Mélangeur FREC Filtre FI Oscillateur local FOL FOL-FREC FOL+FREC Figure 1 - Nécessité du filtrage dans une chaîne de transmission Exemple illustré Figure 1: ⇒ Transmission d’un message radio de qualité téléphonique (300 Hz-3400 Hz) par voie hertzienne sur une porteuse à 27 MHz en modulation d’amplitude. Le signal modulé occupe une bande de 6800 Hz autour de la fréquence porteuse. A la réception : - Sélection de la bande de fréquences pour laquelle le récepteur est conçu ⇒ filtrage passebande 2 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa - Transposition en fréquence effectuée à l’aide d’un mélangeur et d’un oscillateur local. En sortie du mélangeur, on retrouve FOL+FREC et FOL-FREC. FOL-FREC : fréquence intermédiaire (455 KHz) FOL+FREC : fréquence située au voisinage de 54 MHz et éliminée par filtrage passe-bande. La porteuse à la fréquence intermédiaire est démodulée et on récupère le signal audio transmis. Un 3ème filtre passe-bande permet l’élimination d’éventuelles composantes BF à 50 Hz et 100 Hz pouvant provenir des alimentations et du bruit au-delà de 3400 Hz. Dans la pratique : Filtre passe-bande d’entrée : filtre LC passif Filtre à la fréquence intermédiaire : filtre céramique (composant) Filtre 300 Hz-3400 Hz : filtre actif 2. Filtre idéal /Filtre réel: Un filtre idéal transmettrait toutes les composantes utiles sans atténuation ni déphasage (donc sans retard) tout en éliminant complètement les signaux indésirables. En pratique, la synthèse du filtre idéal est impossible. L’atténuation nulle dans la bande passante, l’atténuation infinie dans la bande atténuée et des transitions verticales donnent une caractéristique de réponse irréaliste. Nous sommes amenés à définir un gabarit, précisant : • • • • Amax : Atténuation maximum tolérée en bande passante Amin : Atténuation minimum en bande coupée fp : fréquence de coupure fa : fréquence de frontière 21. Filtre passe-bas : Atténuation (dB) Amin Bande de transition Bande passante Bande coupée Amax fp fa f Figure 2 - Gabarit d'un filtre passe-bas Remarque : Dans certains filtres, l’atténuation à la fréquence fp est inférieure à 3dB. Aussi, la fréquence de coupure peut être différente de celle pour laquelle l’atténuation est égale à 3dB. fp Pour un passe-bas, la notion de sélectivité est définie par : k = fa k<1 dans le cas d’un filtre réel 3 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa k=1 dans le cas du filtre idéal k donne une indication de la largeur de la bande de transition. Plus k est grand, plus le filtre est sélectif. 22. Filtre passe-haut : Atténuation (dB) Amin BP BC Amax fa f fp Figure 3 - Gabarit d'un filtre passe-haut f k = a fp 23. Filtre passe-bande : Atténuation (dB) Amin BP BC BC Amax fa- fp- fp+ fa+ f Figure 4 - Gabarit d'un filtre passe-bande • • + − fp − f p = Sélectivité : k = ∆fa + − f a − fa + − Fréquence centrale : f0 = fp × f p (moyenne géométrique des deux fréquences de ∆fp coupure) + − • Largeur de bande : ∆fp = f p − f p • Largeur de bande relative : B = ∆fp f0 4 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa Lors du calcul du filtre, il faut disposer d’un gabarit symétrique. Un passe-bande est symétrique si : + − + − 2 fa × fa = f p × f p = f0 + − + − Méthode pour symétriser le gabarit : On calcule le produit fp × fp . Si le produit fa × fa est inférieur, alors on augmente fa-. Dans le cas où il est supérieur, on diminue fa+. On adopte un gabarit plus contraignant que celui prévu au départ. De même, si une atténuation min a été définie pour chaque bande coupée, on fixe : A min = max ( Amin1 , Amin2 ) 24. Filtre coupe-bande : Atténuation (dB) Amin BP BP BC Amax fp- fa- fa+ fp+ f Figure 5 - Gabarit d'un filtre coupe-bande • + − fa − f ∆fa a = Sélectivité : k = + − ∆fp fp − f p • Fréquence centrale : f0 = fp × fp • Largeur de bande relative : B= + − ∆fp f0 25. Filtre passe-tout Un filtre passe-tout idéal possède une bande passante et aucune bande atténuée. Il passe toutes les fréquences comprises entre la fréquence nulle et la fréquence infinie. Le filtre passetout est employé pour produire un certain déphasage sur le signal filtré sans changer son amplitude. 5 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa 3. Passage au passe-bas prototype Les transformations du gabarit ont pour but de ramener tous les gabarits précédemment énoncés à un passe-bas appelé prototype, indépendant de la fréquence, et défini par seulement 3 paramètres : • A min • A max • k 31. Normalisation de la fréquence : Elle consiste à choisir comme unité de fréquence non pas le hertz, mais une fréquence f n associée au gabarit et qui est : Pour le passe-bas et le passe-haut : f n = f p Pour le passe-bande et le coupe-bande : f n = f 0 F = f = ω = Ω fn ωn On introduit la variable complexe normalisée P = j Ω = j ω = j f = j F ωn fn La valeur normalisée de la fréquence est : Attention ! P ≠ j 2 π F 32. Transformations 321. Transposition passe-bas / passe-haut Pour transformer un filtre passe-bas en un filtre passe-haut (et réciproquement), on fait subir à la variable complexe normalisée P la transformation suivante : P ⇔ 1 P Cette transformation s’applique à la fois aux gabarits et aux fonctions de transfert. Transformation du gabarit : Atténuation (dB) Atténuation (dB) Amin Amin BP BP BC BC Amax Amax k 1 Passe-haut F 1 Fa=1/k F Passe-bas Figure 6 - Transformation du gabarit passe-haut vers un gabarit passe-bas 6 Notes de cours 2003 (version2) ENS Cachan – Antenne de Bretagne Marie Frénéa Transformation de la fonction de transfert : ( ) L’ordre du filtre passe-bas est préservé pour le filtre passe-haut. H PH (P) = HPB 1 P 322. Transposition passe-bas / passe-bande ( On applique la relation de transformation : P ⇔ 1 P + 1 B P ) Attention, cette transformation impose la symétrie du gabarit ! Atténuation (dB) Atténuation (dB) Amin BP Amin BP BC BC BC Amax Amax Fa- Fp- 1 Fp+ Fa+ F Passe-bande 1 Fa=1/k F Passe-bas Figure 7 - Transformation du gabarit passe-bande vers un gabarit passe-bas + − B = Fp − Fp Fa+ − Fa− Fa = B + − Fa . Fa = 1 + − Fp . Fp = 1 Transformation de la fonction de transfert : 2 H PasseBande (P) = H PasseBas P + 1 B. P L’ordre du filtre passe-bande est doublé par rapport au filtre passe-bas. 323. Transposition passe-bas / coupe-bande La transformation d’un filtre passe-bas en un filtre coupe-bande est très similaire à celle de la transformation passe-bas → passe-bande. 7 Notes de cours 2003 (version2) ENS Cachan – Antenne de Bretagne Marie Frénéa On fait subir à la variable complexe normalisée : P ⇔ B P + 1 P Atténuation (dB) Atténuation (dB) Amin BP BP Amin BP BC BC Amax Amax Fp- Fa- 1 Fa+ Fp+ Coupe-bande F 1 Fa=1/k F Passe-bas Figure 8 - Transformation du gabarit coupe-bande vers un gabarit passe-bas + − B = Fp − Fp Fa = + B − Fa − Fa + − Fa . Fa = 1 + − Fp . Fp = 1 Transformation de la fonction de transfert : HCoupeBande (P) = HPasseBas B . P 2 P + 1 L’ordre du filtre coupe-bande est doublé par rapport au filtre passe-bas. Tous les cas que nous venons de traiter montrent que l’on peut généralement ramener la réalisation d’un filtre quelconque à celle de son prototype, c’est-à-dire du filtre passe-bas possédant les trois mêmes paramètres fondamentaux : A min , A max , et k. Une fois le schéma du prototype obtenu, il suffit d’appliquer la transformation inverse aux impédances des composants pour déterminer le schéma du filtre recherché initialement (Figure 9 (b)). Cependant, dans le cas des filtres actifs, la transformation inverse des éléments fait apparaître des inductances, composants généralement indésirables. On préfère donc effectuer cette transposition inverse sur la fonction de transfert du prototype. On obtient ainsi la fonction de transfert du filtre recherché dont on effectue directement la synthèse (Figure 9 (a)). 8 Notes de cours 2003 (version2) ENS Cachan – Antenne de Bretagne Problème F(p) du filtre réel Gabarit Transposition directe Marie Frénéa Synthèse du filtre réel Transposition inverse sur F(P) Gabarit transposé (prototype) F(P) du prototype (a) Filtre réel Problème Gabarit Transposition inverse sur les éléments L et C Transposition directe Gabarit transposé (prototype) Synthèse du prototype F(P) du prototype (b) Figure 9 - Méthode de synthèse des filtres actifs (a) et passifs (b). (voir référence 1) 4. Fonctions de réponse Comme nous l’avons vu précédemment, le filtre idéal est irréalisable en pratique. Nous sommes donc amenés à définir un gabarit et à choisir une fonction de transfert répondant aux critères imposés par ce gabarit. Il existe évidemment un grand nombre de réponses possibles, mais le choix d’une fonction de transfert appropriée résulte d’un compromis entre les nombreuses propriétés listées ci-dessous : • Ordre du filtre : L’ordre du filtre détermine le nombre de composants du filtre, et par conséquent impose des contraintes liées au coût, à la taille, et à la complexité de réalisation. En contrepartie de son prix et de son encombrement, un filtre d’ordre élevé offre l’avantage d’une coupure plus raide pour une famille de réponses donnée. • Raideur de coupure : elle renvoie à la notion de sélectivité définie plus haut. • Réponse temporelle : Le temps de réponse du filtre et le dépassement de la réponse indicielle sont des critères de dimensionnement à ne pas négliger pour certaines applications. • Ondulation dans la bande passante (passband ripple): Un filtre non monotone à l’intérieur de sa bande passante présente une ondulation. Certains systèmes ne requièrent pas nécessairement une réponse en amplitude monotone, mais imposent une ondulation dans la bande passante limitée à une valeur maximum ( A max ). • Distorsion de phase dans la bande passante : Dans les applications de filtrage où le signal ne doit pas être déformé quand il est situé dans la bande passante, le déphasage introduit dans la bande passante doit être linéaire en fonction de la fréquence, ou, ce qui est équivalent, le temps de propagation de groupe doit être constant. Observons la relation liant le spectre d’un signal et le spectre du même signal décalé dans le temps : h (t) ⇔ H ( f ) F h (t - t ) ⇔ H ( f ).exp(− j 2 π f t ) 0 F 0 9 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Le spectre est inchangé, mais un déphasage supplémentaire est introduit : ϕ ( f )= Marie Frénéa −2 π f t0 1 d ϕ (f) Le temps de propagation de groupe τ est défini par : τ = − 2π df On voit dans le cas où ϕ(f) est linéaire en fréquence que τ = t 0 Exemple : Le signal d’origine est constitué de la somme des 11 premiers harmoniques non nuls d’un signal carré. La deuxième courbe est également obtenue en sommant les 11 premiers harmoniques non nuls mais en introduisant pour chacun un déphasage qui varie linéairement avec la pulsation, donc un temps de propagation de groupe constant qui se traduit sur la courbe résultante par un simple retard. La troisième courbe est obtenue de la même façon, mais en introduisant cette fois-ci un déphasage non linéaire: on observe une déformation du signal d’origine. Heureusement pour nous, de nombreux travaux ont permis de définir des caractéristiques de filtres standards qui permettent de faire face à la majorité des problèmes de filtrage. Ces fonctions « classiques » ne permettent pas de satisfaire simultanément toutes les contraintes présentées ci-dessus mais ont été calculées et optimisées pour certaines d’entre elles. 10 Notes de cours 2003 (version2) ENS Cachan – Antenne de Bretagne Marie Frénéa La majorité des familles de réponses sont données sous la forme : A (Ω ) = A 0 1 + K(jΩ) 2 où A(Ω) représente l’affaiblissement en fonction de la fréquence et porte le nom de « fonction d’approximation ». F ( jΩ ) est la fonction caractéristique du filtre. Le terme A0 est constant. K ( jΩ ) = P ( jΩ ) On distingue deux types de fonctions d’approximations qui aboutissent à deux grandes catégories de filtres : • • Polynomiaux (K(jΩ) est alors un simple polynôme) Non polynomiaux ou à zéros de transmission (K(jΩ) se présente sous la forme d’une fraction rationnelle) 41. Filtres polynomiaux 411. Butterworth Ces filtres présentent une réponse en amplitude monotone et pratiquement plate dans la bande passante. Pour cette raison, on les trouve parfois sous la dénomination « Maximally-flat ». La réponse en amplitude d’un filtre de Butterworth est donnée par : ω 1 H ( jΩ ) = avec Ω = ωn 1 + ε 2 Ω 2n ce qui correspond à : A (Ω ) = H( jΩ ) −1 = (1 + ε 2 Ω 2n ) => K ( jΩ) 2 = ε 2 Ω 2n Figure 10 11 Notes de cours 2003 (version2) ENS Cachan – Antenne de Bretagne Marie Frénéa Dimensionnement du filtre de Butterworth : Détermination de l’ordre : • Première méthode : La fonction buttord de Matlab permet de déterminer l’ordre du filtre à partir du gabarit non normalisé. Et si l’on n’a pas cet outil précieux sous la main… : • Deuxième méthode : utilisation des abaques (Annexe 1.) • Troisième méthode : Par le calcul, on peut déterminer le facteur ε et l’ordre N du filtre à partir des valeurs A max , A min et Ω a du prototype passe-bas. L’affaiblissement maximal A max dans la bande passante est atteint lorsque Ω=1 : A dB = A max = 20 log Soit : ε = 10 Amax 10 1 + ε 2 −1 L’affaiblissement minimal A min dans la bande atténuée est atteint lorsque Ω=Ωa : 10 log (1 + ε 2 Ω a2n ) = A min Donc : Amin log 10 10 − 1 − 2logε N = entier ≥ 2log(Ωa ) Note : la fonction buttord utilise cette formule pour déterminer l’ordre du filtre. Elle renvoie également ωn, pulsation de coupure à -3 dB calculée pour garantir une atténuation égale à Amin pour ωa.. Détermination de la fonction de transfert : • Première méthode : La fonction butter de Matlab nous donne les coefficients de la fonction de transfert. Note : Avec Matlab, on n’a pas besoin de normaliser et dénormaliser. Tout est transparent pour l’utilisateur. • Deuxième méthode : utilisation des tables (Annexe 2.) Les tables sont en général fournies pour ε=1, soit pour A max =3 dB. Elles donnent le polynôme de Butterworth, qui correspond au dénominateur de la fonction de transfert du prototype passe-bas. Il ne reste alors qu’à effectuer la transposition inverse (si nécessaire) et à dénormaliser. 12 Notes de cours 2003 (version2) ENS Cachan – Antenne de Bretagne • Marie Frénéa Troisième méthode : On cherche à trouver la fonction de transfert H(P ) satisfaisant H ( jΩ ) = 2 En utilisant la relation Ω = P on peut écrire : H (P ) = j 1 2 1+ ε Ω 2n . 1 1 + ε 2 (- j P )2n 2 On montre que H (P ) = H(P ) .H(− P ) . H(P) n’a que des pôles à partie réelle négative, H(-P) n’a que des pôles à partie réelle positive. Chercher les pôles du dénominateur de H (P ) de Butterworth) revient à résoudre l’équation : 1+ ε On en tire : Pk = 2 (- n 1 .e 2 (autrement dit les racines des polynômes j P )2n = 0 j 2k + n +1 π 2n ε k=0…2n-1 Seuls les pôles à partie réelle négative sont conservés. Ces pôles sont situés sur un cercle. 412. Chebyshev Dans certaines applications, il n’est pas nécessaire d’avoir une réponse en amplitude très plate dans la bande passante. Dans ce cas, on peut préférer la caractéristique de Chebyshev, car elle offre une coupure plus raide dans la bande de transition que la caractéristique de Butterworth. Le prix à payer pour cette rapidité de transition est l’apparition d’une ondulation dans la bande passante (cf. Figure 12) et un temps de propagation de groupe irrégulier. Cette ondulation est d’amplitude constante dans la bande passante (oscillation de la réponse du filtre entre 0 et A max ), d’où la dénomination « equiripple » parfois employée pour ces filtres. On a la relation : 2 K ( jΩ ) = ε 2 C 2n (Ω ) où Cn est le polynôme de Chebyshev d’ordre n défini par : C n (Ω ) = cos [n (arcos Ω )] pour Ω≤1 C n (Ω ) = ch [n (argch Ω )] pour Ω≥1 ce qui donne : A(Ω ) = (1 + ε 2 C 2n (Ω)) Aussi : • 2 pour Ω<1, C 2n (Ω) oscille entre 0 et 1 et A(Ω) varie entre 1 et 1 + ε • pour Ω>1, C 2n (Ω) croît jusqu’à l’infini 13 Notes de cours 2003 (version2) ENS Cachan – Antenne de Bretagne • Marie Frénéa pour Ω=1, C 2n (Ω) =1, ∀n Remarques : • le polynôme C n (Ω) est défini par une relation de récurrence : C 0 (Ω) = 1 ; C1 (Ω) = Ω ; C n +1 (Ω) = 2Ω.C n (Ω) − C n −1 (Ω) • Veillez à ne pas confondre le polynôme de Chebyshev avec le dénominateur de la fonction de transfert du filtre. Figure 11 Figure 12 14 Notes de cours 2003 (version2) ENS Cachan – Antenne de Bretagne Marie Frénéa Il est à noter que lorsque l’ordre est pair, le gain statique est différent de 1. Il est égal à l’ondulation dans la bande passante. Exemple illustré à partir de la réponse indicielle d’un filtre de Chebyshev d’ordre 4 et d’ondulation 3 dB : Figure 13 - Réponse indicielle (Chebyshev ordre 4) Dimensionnement du filtre de Chebyshev : Détermination de l’ordre : • Première méthode : La fonction cheb1ord de Matlab permet de déterminer l’ordre du filtre à partir du gabarit non normalisé. • Deuxième méthode : utilisation des abaques (Annexe 3.) • Troisième méthode : Par le calcul, on peut déterminer le facteur ε et l’ordre N du filtre à partir des valeurs A max , A min et Ω a du prototype passe-bas. L’affaiblissement maximal A max dans la bande passante est atteint lorsque Ω=1 . En général, on choisit pour A max la valeur maximale de l’ondulation. Dans ce cas, on a la relation : 2 A max = 10log10 (1 + ε ) L’affaiblissement minimal A min dans la bande atténuée est atteint lorsque Ω=Ωa . On en déduit : 1 2 20 log 1 + ε C n (Ω a ) 2 ≥ A min (dB) [ 2 ] C n (Ω ) = ch [n (argch Ω )] pour Ω≥1 avec : Soit : ε ch [n ( argch Ωa )] ≥ 10 2 2 Amin 10 2 − 1 , avec ε = 10 Amax 10 −1 15 Notes de cours 2003 (version2) ENS Cachan – Antenne de Bretagne [ ( 2 Ce qui conduit à ch n argch Ωa )] ≥ 10 10 Amin 10 Amax 10 Marie Frénéa −1 −1 D’où finalement : Amin 10 argch 10Amax − 1 10 10 − 1 n ≥ argch Ωa ( ) Détermination de la fonction de transfert : • Première méthode : La fonction cheby1 de Matlab nous donne les coefficients de la fonction de transfert. • Deuxième méthode : utilisation des tables (Annexe 4.) Les tables sont en général fournies pour différentes valeurs de l’ondulation (en dB). Elles donnent le dénominateur de la fonction de transfert du prototype passe-bas. Il ne reste alors qu’à effectuer la transposition inverse (si nécessaire) et à dénormaliser. • Troisième méthode : On pourrait déterminer les pôles d’un filtre de Chebyshev en résolvant l’équation : P 1 + ε 2 C 2n = 0 j et en ne conservant que les pôles à partie réelle négative… …mais notre objectif n’est pas de faire des mathématiques ! 413. Bessel (ou Thompson) La caractéristique de Bessel possède une réponse en amplitude dans la bande passante sans ondulation. Parmi les différentes fonctions de réponse existantes, la caractéristique de Bessel présente toujours la coupure la moins raide. Autrement dit, pour un gabarit donné, elle donne l’ordre le plus élevé et aboutit par conséquent à la complexité la plus grande. Les filtres de Bessel présentent néanmoins l’avantage d’assurer un déphasage linéaire en fonction de la fréquence, donc un temps de propagation de groupe constant. Aussi, la qualité essentielle des filtres de Bessel est de donner la distorsion minimale sur les signaux non sinusoïdaux. La réponse temporelle du filtre à un échelon de tension est une méthode simple pour mesurer ce type de distorsion : 16 Notes de cours 2003 (version2) ENS Cachan – Antenne de Bretagne Marie Frénéa Figure 14 - Réponses indicielles comparées pour 3 types de filtres répondant au même gabarit (Amax=3dB, Amin=40 dB, fp=100 Hz, fa=300 Hz) Dimensionnement du filtre de Bessel : Détermination de l’ordre : Les abaques données en Annexe5. nous permettent de déterminer l’ordre du filtre puisqu’elles donnent les courbes de l’atténuation en fonction de la fréquence pour différents ordres (ces courbes passent par une atténuation de 3 dB à la fréquence de coupure f p ). Détermination de la fonction de transfert : Pour ce type de filtres, on cherche directement la fonction de transfert, sans passer par l’intermédiaire de la fonction caractéristique, puisque l’on s’intéresse au temps de propagation de groupe et non à l’atténuation. La fonction de transfert d’un filtre ayant un temps de propagation de groupe τ parfaitement constant est : F(p) = e − τp soit en posant τp=P : 1 ch (P) + sh (P) Une approximation à l’ordre n de cette fonction de transfert nous permet d’obtenir une 1 relation du type : F(P) = Pn (P) où Pn (P) est le polynôme de Bessel d’ordre n. F(P) = e − P = 17 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa Note : Les polynômes de Bessel sont définis par la relation de récurrence : P0 = 1 P1 = P + 1 Pn = (2n − 1) Pn −1 + P 2 Pn − 2 Le tableau donné en Annexe 6. donne les polynômes de Bessel d’ordre 1 à 9. Cependant, ces polynômes ont été calculés en prenant comme unité le temps de propagation. On obtiendra donc des courbes de réponse en amplitude pour lesquelles l’atténuation à la fréquence unité sera quelconque. La procédure pour dénormaliser consiste à remplacer, dans les polynômes, P par τ.p. Cette méthode de détermination de la fonction de transfert est peu commode et n’est pas cohérente avec la méthode de calcul des autres filtres. Aussi, d’autres tables (Annexe 7.) donnent les fonctions de transfert calculées en prenant comme fréquence de normalisation la fréquence pour laquelle l’atténuation est de 3 dB. Remarque : Les filtres de Bessel ont été conçus en prenant comme critère le comportement du temps de propagation de groupe. Ainsi, si nous transposons en fréquence un filtre passebas, par exemple pour obtenir un filtre passe-bande, les formes des atténuations en fonction de la fréquence seront conservées, mais il n’en sera pas de même du temps de propagation de groupe. 42. Filtres non polynomiaux Dans le cas des filtres non polynomiaux, on donne à la fonction caractéristique la forme d’une fraction rationnelle, ce qui permet l’introduction de fréquences d’atténuation infinie ou zéros de transmission. L’introduction de zéros de transmission peut avoir deux avantages très importants : - Supprimer des fréquences particulièrement indésirables, comme par exemple la porteuse dans un filtre de démodulation ; Rendre la coupure du filtre beaucoup plus raide en plaçant un zéro de transmission immédiatement après la fréquence de coupure, sans que cela nécessite un ordre élevé. Le calcul analytique de la fonction de transfert de ces filtres est complexe, on a donc recours à une synthèse à l’aide d’outils informatiques. 421. Filtres elliptiques (ou de Cauer) De tous les filtres possibles, ce sont ceux qui satisfont les exigences d’un gabarit donné avec une fonction de transfert d’ordre n minimal. Malheureusement, leur temps de propagation de groupe est extrêmement irrégulier, ce qui exclut leur utilisation quand la forme temporelle d’un signal doit être préservée. La courbe d’affaiblissement des filtres de Cauer oscille entre les valeurs extrêmes autorisées par le gabarit, aussi bien en bande passante qu’en bande atténuée. 18 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa n n −1 (cas n pair) ou (cas n impair) fréquences pour 2 2 lesquelles l’atténuation est infinie, et autant de fréquences pour lesquelles l’atténuation est nulle (cf. exemple Figure 15 et Figure 16). Pour un filtre d’ordre n, il existe Dimensionnement du filtre elliptique : Détermination de l’ordre : • Première méthode : La fonction ellipord de Matlab permet de déterminer l’ordre du filtre à partir du gabarit non normalisé. • Deuxième méthode : utilisation des abaques (Annexe 8.) Détermination de la fonction de transfert : • Première méthode : La fonction ellip de Matlab nous donne les numérateur et dénominateur de la fonction de transfert. • Deuxième méthode : utilisation des tables (Annexe 9.) Les tables sont en général fournies pour différents couples de valeurs de A max et A min . Elles donnent la fonction de transfert du prototype passe-bas. Il ne reste alors qu’à effectuer la transposition inverse et à dénormaliser. Figure 15 - Courbe de gain d'un filtre elliptique d'ordre 4 (Amax=1 dB, Amin=60 dB, ωn=1 rad/s) 19 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa Figure 16 - Zoom sur la bande passante 422. Chebyshev inverse Ces filtres correspondent aux meilleurs compromis entre raideur de coupure et régularité du temps de propagation de groupe en bande passante. De plus, leur courbe d’affaiblissement présente un méplat en bande passante. L’ensemble de ces propriétés les rendent particulièrement intéressants dans les systèmes d’instrumentation. 1 (expression de C n (Ω) : voir filtres de Chebyshev) 2 2 1 ε Cn Ω ε est une constante d’échelle. A(Ω) = 1 + Figure 17 - Courbe de gain d'un filtre de Chebyshev inverse d'ordre 4 (ω ωa=1 rad /s, Amin=60 dB) 20 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa Dimensionnement d’un filtre de Chebyshev inverse : Détermination de l’ordre : La fonction cheb2ord de Matlab permet de déterminer l’ordre du filtre à partir du gabarit non normalisé. Détermination de la fonction de transfert : La fonction cheby2 de Matlab nous donne les numérateur et dénominateur de la fonction de transfert. Il faut notamment préciser l’atténuation minimale souhaitée, afin de limiter l’amplitude des ondulations à cette valeur. Figure 18 - Réponses indicielles comparées pour 3 types de filtres répondant au même gabarit (Amax=3dB, Amin=60 dB, ωp=100 Hz, ωa=200 Hz) La Figure 18 met en évidence la déformation du signal pouvant être induite par un filtre elliptique, en raison de ses mauvaises performances en termes de temps de propagation de groupe. 21 Notes de cours 2003 (version2) ENS Cachan – Antenne de Bretagne Marie Frénéa Conclusion : Les fonctions d’approximation décrites ci-dessus couvrent la très grande majorité des applications. Cependant, la liste n’est pas exhaustive et l’on pourra se référer aux ouvrages cités dans la bibliographie. Le Tableau 1 récapitule les caractéristiques respectives des différents filtres. Type Bande passante Filtres Butterworth polynomiaux Chebyshev Bessel Filtres non Elliptique polynomiaux Chebyshev inverse Plate Ondulée Plate Ondulée Plate Bande atténuée Monotone Monotone Monotone Ondulée Ondulée Raideur de coupure (pour n donné) Moyenne Bonne Faible La meilleure Bonne Régularité du Réalisation temps de propagation de groupe Simple Bonne Faible La meilleure Complexe Faible Bonne Tableau 1 - Comparaison des différentes fonctions de réponse Il est à noter que les filtres polynomiaux donnent lieu à des réalisations simples, car leur fonction de transfert est simple. Le calcul des filtres non polynomiaux est complexe, et nécessite le recours à des moyens informatiques. La réalisation de ces filtres occasionne généralement l’utilisation de topologies plus sophistiquées. A titre d’exemples : - - - L’oreille humaine étant peu sensible à la distorsion de phase, on peut avoir recours à des filtres elliptiques pour des applications audio nécessitant une bonne coupure. Par contre, la distorsion d’amplitude est perceptible, et l’on cherchera à minimiser l’ondulation en bande passante. Les filtres de Butterworth sont souvent utilisés tant que leur ordre reste raisonnable. Lorsque l’on transmet des signaux comportant des fronts (signaux numériques, par exemple), ou un signal vidéo, on recherche une bonne régularité du temps de propagation de groupe. Pour ce type d’applications, on est naturellement amené à choisir un filtre de Bessel. Cependant, pour atteindre la raideur de coupure souhaitée, l’ordre du filtre nécessaire est parfois rédhibitoire. On peut alors recourir à une autre fonction de réponse, en corrigeant la distorsion de phase introduite à l’aide d’un filtre passe-tout (le calcul du passe-tout nécessite un ordinateur). Le filtre anti-repliement de l’analyseur de spectre FFT standford est un filtre elliptique d’ordre 9 (fech proche de 2 fmax). Dans les GBF standford utilisés en TP, les formes d’ondes sont obtenues par synthèse numérique, ce qui nécessite un filtre de lissage. Selon le type de forme d’onde, le GBF utilise des filtres différents (commutés par des relais). Pour un signal sinusoïdal, la phase peut être quelconque et l’on a recours à un filtre elliptique d’ordre 9 (afin de garantir une grande pureté spectrale). Pour un signal en dents de scie ou triangulaire, c’est un filtre de Bessel d’ordre 7 qui est utilisé. 22 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa (Les figures présentées en annexe sont extraites des techniques de l’ingénieur) 23 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa 24 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa 25 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa 26 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa 27 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa 28 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa 29 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa 30 ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2003 (version2) Marie Frénéa Références : 1. "Filtrage et filtres électriques, Introduction", article des techniques de l'ingénieur, Paul Bildstein 2. "Systèmes bouclés linéaires, de communication et de filtrage" Manneville - Esquieu (Dunod). 3. "A Basic introduction to filters-Active, passive and switched-capacitor", AN-779 National Semiconductor 4. "Electronique appliquée aux hautes fréquences", F. de Dieuleveult (Dunod) 31
