Branches infinies
(inventaire à la « Prévert »)
En un réel :
Soient 𝑎 ∈ 𝐼 et 𝑓 une fonction réelle définie sur un intervalle 𝐼\{𝑎}.
1) Si lim f x , on dit que la droite d’équation 𝑥 = 𝑎 est une asymptote verticale au graphe de 𝑓.
x a
En ±∞ :
Soit 𝑓 une fonction réelle définie sur un intervalle non majoré (+∞) ou non minoré (−∞).
2) Si lim f x b (avec 𝑏 ∈ ℝ), on dit que la droite d’équation 𝑦 = 𝑏 est une asymptote horizontale au
x
graphe de 𝑓.
3) Si
𝑓(𝑥)
𝑥
n’a pas de limite, l’étude s’achève !
4) Si
𝑓(𝑥)
𝑥
a une limite (réelle ou infinie)
a) Si
𝑓(𝑥)
→
±
𝑥 𝑥→±∞
∞, le graphe de 𝑓 admet une branche parabolique de direction asymptotique
(0𝑦).
b) Si
𝑓(𝑥)
→
0,
𝑥 𝑥→±∞
le graphe de 𝑓 admet une branche parabolique de direction asymptotique (0𝑥).
c) Si
𝑓(𝑥)
→
𝑎
𝑥 𝑥→±∞
(avec 𝑎 ∈ ℝ∗)
i.
Si 𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥 →
𝑥→±∞
± ∞, le graphe de 𝑓 admet une branche parabolique de direction
asymptotique la droite d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥.
ii.
Si 𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥 →
𝑥→±∞
𝑏 (avec 𝑏 ∈ ℝ), le graphe de 𝑓 admet une asymptote oblique
d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Exercice 1 :
1) Donner un exemple (non trivial mais aussi simple que possible) caractéristique de chacune des situations
décrites précédemment.
2) Existe-t-il un cas supplémentaire « à ranger » dans la rubrique 4.c tel que 𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥 n’admette pas de
limite en ±∞ ?
Exercice 2 :
« Catégoriser » les fonctions ci-dessous, en indiquant s’il y a lieu une équation de l’asymptote ou de la direction
asymptotique. On précisera si besoin l’ensemble de définition ainsi que les « points » concernés.
𝑓1 ∶ 𝑥 ↦
2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1
𝑥2 + 1
𝑓5 ∶ 𝑥 ↦
𝑒𝑥 − 𝑥
𝑥4 + 1
2
𝑓2 ∶ 𝑥 ↦ 𝑥 sin(𝑥)
𝑓6 ∶ 𝑥 ↦ ln(𝑥 2 + 𝑒 −𝑥 ) + 4
𝑓3 ∶ 𝑥 ↦ 𝑥 + √𝑥 − 1
𝑓7 ∶ 𝑥 ↦ 𝑥 𝑒 1/𝑥
𝑓4 ∶ 𝑥 ↦ −3𝑥 + sin(𝑥)
Aide : on pourra montrer (si besoin) que : ∀𝑡 ∈ [0,1], 1 + 𝑡 ≤ 𝑒 𝑡 ≤ 1 + 𝑡 + 𝑡 2
