Branches infinies
(inventaire à la « Prévert »)
En un réel :
Soient et une fonction réelle définie sur un intervalle .
1) Si
lim
xafx
, on dit que la droite d’équation est une asymptote verticale au graphe de .
En :
Soit une fonction réelle définie sur un intervalle non majoré () ou non minoré ().
2) Si
lim
xbfx
(avec ), on dit que la droite d’équation est une asymptote horizontale au
graphe de .
3) Si
n’a pas de limite, l’étude s’achève !
4) Si
a une limite (réelle ou infinie)
a) Si
, le graphe de admet une branche parabolique de direction asymptotique
.
b) Si
, le graphe de admet une branche parabolique de direction asymptotique .
c) Si
(avec )
i. Si
, le graphe de admet une branche parabolique de direction
asymptotique la droite d’équation .
ii. Si
(avec ), le graphe de admet une asymptote oblique
d’équation .
Exercice 1 :
1) Donner un exemple (non trivial mais aussi simple que possible) caractéristique de chacune des situations
décrites précédemment.
2) Existe-t-il un cas supplémentaire « à ranger » dans la rubrique 4.c tel que n’admette pas de
limite en ?
Exercice 2 :
« Catégoriser » les fonctions ci-dessous, en indiquant s’il y a lieu une équation de l’asymptote ou de la direction
asymptotique. On précisera si besoin l’ensemble de définition ainsi que les « points » concernés.
Aide : on pourra montrer (si besoin) que :
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/
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100%
