Branches Infinies : Exercices et Définitions en Analyse

Branches infinies
(inventaire à la « Prévert »)
En un réel :
Soient    et  une fonction réelle définie sur un intervalle .
1) Si
lim
xafx
, on dit que la droite d’équation    est une asymptote verticale au graphe de .
En  :
Soit  une fonction réelle définie sur un intervalle non majoré () ou non minoré ().
2) Si
lim
xbfx
(avec   ), on dit que la droite d’équation    est une asymptote horizontale au
graphe de .
3) Si 
 n’a pas de limite, l’étude s’achève !
4) Si 
 a une limite (réelle ou infinie)
a) Si   , le graphe de  admet une branche parabolique de direction asymptotique
.
b) Si  , le graphe de  admet une branche parabolique de direction asymptotique .
c) Si   (avec   )
i. Si   , le graphe de  admet une branche parabolique de direction
asymptotique la droite d’équation   .
ii. Si   (avec   ), le graphe de  admet une asymptote oblique
d’équation     .
Exercice 1 :
1) Donner un exemple (non trivial mais aussi simple que possible) caractéristique de chacune des situations
décrites précédemment.
2) Existe-t-il un cas supplémentaire « à ranger » dans la rubrique 4.c tel que  n’admette pas de
limite en  ?
Exercice 2 :
« Catégoriser » les fonctions ci-dessous, en indiquant s’il y a lieu une équation de l’asymptote ou de la direction
asymptotique. On précisera si besoin l’ensemble de définition ainsi que les « points » concernés.
Aide : on pourra montrer (si besoin) que :             