Suite du cours : Séries entières
1ère Année GLSI
Développement en Séries entières
I)
Introduction :
Soit 𝑓 une fonction réelle à variable réelle 𝑥. Peut-on trouver une suite réelle (𝑎𝑛 )𝑛 et 𝑅 >
𝑛
0 tels que : 𝑓(𝑥) = ∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 , ∀𝑥 ∈ ]−𝑅, 𝑅[ ?
•
Si ce problème admet une solution, on dit que 𝑓 est développable en séries entières au
voisinage de 0.
•
On peut généraliser cette situation en se posant la même question pour une fonction
définie au voisinage de 𝑥0 .
Le but de cette partie, est d’écrire des fonctions usuelles comme une série entière sur un
intervalle de centre 0.
Exemples :
1. La fonction : 𝑓 ∶
ℝ\{1} ⟶ ℝ
1
𝑥 ⟼ 1−𝑥
sur l’intervalle
]−1,1[ → ℝ
𝑛.
𝑥 ⟼ ∑+∞
𝑛=0 𝑥
En effet, on sait que pour tout réel
convergente, et que :
]−1,1[ , coïncide avec la fonction
𝑔:
|𝑞| < 1, la série géométrique de raison 𝑞 est
1 + 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + ⋯ + 𝑞𝑛 + ⋯ =
1
1−𝑞
où encore pour tout réel 𝑥, tel que |𝑥| < 1,
∑ 𝑥𝑛 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 + ⋯ =
1
1−𝑥
1
Autrement dit, la fonction 𝑓 définie sur ]−1,1[ par 𝑓(𝑥) = 1−𝑥 est développable en série
entière, et 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ⋯ + 𝑥 𝑛 + ⋯ avec 𝑅 = 1.
2. En remplaçant 𝑥 par – 𝑥, on obtient :
1
∑(−1)𝑛 𝑥 𝑛 = 1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + ⋯ + (−1)𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ =
,
1+𝑥
1
Cours Analyse 2
𝑅 = 1.
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II.
Séries de Taylor :
Proposition: Soit 𝑓 une fonction développable en séries entières en 0. Il existe une série
𝑛
entière ∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 , de rayon de convergence 𝑅 > 0 telle que :
∀𝑥 ∈ ]−𝑅, 𝑅[,
𝑛
𝑓(𝑥) = ∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 ,
alors, 𝑓 est de classe ∁∞ et ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛 =
𝑓 (𝑛) (0)
𝑛!
.
Cela veut dire que 𝑓(𝑥) coïncide avec son développement de Taylor (voir chapitre
développements limités).
Ceci implique l’unicité du Développement en séries entières, s’il existe.
III.
Développements usuels :
Ces développements ressemblent beaucoup à ceux
développements limités.
vus dans le chapitre sur les
(Voir page 3)
Remarques :
•
Un développement en série entière au voisinage de zéro d’une fonction
𝑓
peut
s’obtenir grâce au développement de sa dérivée 𝑓’. Par exemple, le développement en
série entière de la fonction 𝑥 ↦ arcsin (𝑥) s’obtient à partir de sa dérivée, elle-même à
partir de la fonction 𝑥 ↦ (1 + 𝑥)𝛼 .
•
Certains développements en séries s’obtiennent au moyen des théorèmes d’intégration.
Par exemple, le développement en série entière de la fonction 𝑥 ↦ Ln (1 + 𝑥) s’obtient
1
à partir de sa primitive 𝑥 ↦ 1+𝑥.
•
On peut aussi noter le lien entre les fonctions trigonométriques circulaires et celles
hyperboliques :
1
𝑖
•
cos(𝑥) = 𝑐ℎ(𝑖𝑥),
1
sin(𝑥) = 𝑖 𝑠ℎ(𝑖𝑥), 𝑐ℎ(𝑥) = cos(𝑖𝑥) , 𝑠ℎ(𝑥) =
sin (𝑖𝑥)
Si 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies sur un voisinage de 0. Si 𝑓 et 𝑔 sont développables
en série entière alors toute combinaison linéaire de 𝑓 et 𝑔 est développable en séries
entières.
•
Si 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies sur un voisinage de 0. Si 𝑓 et 𝑔 sont développables
en série entière alors 𝑓*𝑔 est développable en séries entières.
2
Cours Analyse 2
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