Cours sur les Séries Entières : Séries de Taylor & Développements

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1ère Année GLSI
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Cours Analyse 2 Année universitaire 2019-2020
Développement en Séries entières
I) Introduction :
Soit  une fonction réelle à variable réelle . Peut-on trouver une suite réelle  et  
 tels que : 
 ,    ?
• Si ce problème admet une solution, on dit que  est développable en séries entières au
voisinage de .
• On peut généraliser cette situation en se posant la même question pour une fonction
définie au voisinage de .
Le but de cette partie, est d’écrire des fonctions usuelles comme une série entière sur un
intervalle de centre 0.
Exemples :
1. La fonction :      sur l’intervalle  , coïncide avec la fonction
 .
En effet, on sait que pour tout réel  , la série géométrique de raison  est
convergente, et que :
où encore pour tout réel , tel que  ,
Autrement dit, la fonction  définie sur  par 
 est développable en série
entière, et     avec   .
2. En remplaçant  par , on obtient :
,   

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II. Séries de Taylor :
Proposition: Soit  une fonction développable en séries entières en 0. Il existe une série
entière 
 , de rayon de convergence    telle que :
 ,
alors,  est de classe  et    
 .
Cela veut dire que  coïncide avec son développement de Taylor (voir chapitre
développements limités).
Ceci implique l’unicité du Développement en séries entières, s’il existe.
III. Développements usuels :
Ces développements ressemblent beaucoup à ceux vus dans le chapitre sur les
développements limités.
(Voir page 3)
Remarques :
• Un développement en série entière au voisinage de zéro d’une fonction  peut
s’obtenir grâce au développement de sa dérivée . Par exemple, le développement en
série entière de la fonction    s’obtient à partir de sa dérivée, elle-même à
partir de la fonction   .
• Certains développements en séries s’obtiennent au moyen des théorèmes d’intégration.
Par exemple, le développement en série entière de la fonction    s’obtient
à partir de sa primitive   
.
• On peut aussi noter le lien entre les fonctions trigonométriques circulaires et celles
hyperboliques :  
• Si  et  deux fonctions définies sur un voisinage de 0. Si  et  sont développables
en série entière alors toute combinaison linéaire de  et  est développable en séries
entières.
• Si  et  deux fonctions définies sur un voisinage de 0. Si  et  sont développables
en série entière alors * est développable en séries entières.

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