II. Séries de Taylor :
Proposition: Soit une fonction développable en séries entières en 0. Il existe une série
entière
, de rayon de convergence telle que :
,
alors, est de classe et
.
Cela veut dire que coïncide avec son développement de Taylor (voir chapitre
développements limités).
Ceci implique l’unicité du Développement en séries entières, s’il existe.
III. Développements usuels :
Ces développements ressemblent beaucoup à ceux vus dans le chapitre sur les
développements limités.
(Voir page 3)
Remarques :
• Un développement en série entière au voisinage de zéro d’une fonction peut
s’obtenir grâce au développement de sa dérivée . Par exemple, le développement en
série entière de la fonction s’obtient à partir de sa dérivée, elle-même à
partir de la fonction .
• Certains développements en séries s’obtiennent au moyen des théorèmes d’intégration.
Par exemple, le développement en série entière de la fonction s’obtient
à partir de sa primitive
.
• On peut aussi noter le lien entre les fonctions trigonométriques circulaires et celles
hyperboliques :
• Si et deux fonctions définies sur un voisinage de 0. Si et sont développables
en série entière alors toute combinaison linéaire de et est développable en séries
entières.
• Si et deux fonctions définies sur un voisinage de 0. Si et sont développables
en série entière alors * est développable en séries entières.