Développement en Séries entières

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Suite du cours : Séries entières
1ère Année GLSI
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Cours Analyse 2 Année universitaire 2019-2020
veloppement en Séries entières
I) Introduction :
Soit une fonction réelle à variable réelle . Peut-on trouver une suite réelle  et  
 tels que :
 ,   ?
Si ce problème admet une solution, on dit que est développable en séries entières au
voisinage de .
On peut généraliser cette situation en se posant la même question pour une fonction
définie au voisinage de .
Le but de cette partie, est d’écrire des fonctions usuelles comme une série entière sur un
intervalle de centre 0.
Exemples :
1. La fonction :  
 

sur l’intervalle  , coïncide avec la fonction
  

 .
En effet, on sait que pour tout réel  , la série géométrique de raison est
convergente, et que :
  
où encore pour tout réel , tel que  ,
    
Autrement dit, la fonction définie sur  par
 est développable en série
entière, et    avec   .
2. En remplaçant par , on obtient :
    
,   
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II. Séries de Taylor :
Proposition: Soit une fonction développable en séries entières en 0. Il existe une série
entière
 , de rayon de convergence   telle que :
 
 ,
alors, est de classe et    
 .
Cela veut dire que coïncide avec son développement de Taylor (voir chapitre
développements limités).
Ceci implique l’unicité du Développement en séries entières, s’il existe.
III. Développements usuels :
Ces développements ressemblent beaucoup à ceux vus dans le chapitre sur les
développements limités.
(Voir page 3)
Remarques :
Un développement en série entière au voisinage de zéro d’une fonction peut
s’obtenir grâce au développement de sa dérivée . Par exemple, le développement en
série entière de la fonction   s’obtient à partir de sa dérivée, elle-même à
partir de la fonction  .
Certains développements en séries s’obtiennent au moyen des théorèmes d’intégration.
Par exemple, le développement en série entière de la fonction  s’obtient
à partir de sa primitive  
.
On peut aussi noter le lien entre les fonctions trigonométriques circulaires et celles
hyperboliques :  


Si et deux fonctions définies sur un voisinage de 0. Si et sont développables
en série entière alors toute combinaison linéaire de et est développable en séries
entières.
Si et deux fonctions définies sur un voisinage de 0. Si et sont développables
en série entière alors * est développable en séries entières.
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