Contrôle continu 2 (𝑺𝟏 )
30 Décembre 2020
Barème
Durée : 2heures
Exercice1(4,5points) : On considère les deux ensembles :
𝑥 2 +𝑥+3
1−3𝑥
𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ ∕
∈ ℤ} et 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ ∕ |
| ≤ 2} .
𝑥+1
2
1)Montrer que 𝐴 = {−4; −2; 0; 2} et 𝐵 = {−1; 0; 1}
3pts
et 𝐴 × 𝐵 .
1,5pts 2)Ecrire en extension les ensembles : 𝐴∆𝐵 ; 𝒫 (𝐴)
1pt
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1pt
1pt
0,5pt
Exercice2(4points) : Soit l’ensemble 𝐸 = {𝑥 ∈ ℝ⁄𝑥 = 𝑎2 − 4𝑎 + 25; 𝑎 ∈ ℝ}
1)a)Vérifier que 20 ∉ 𝐸 𝑒𝑡 30 ∈ 𝐸 .
b)Montrer que 𝐸 ⊂ [21; +∞[
c) Déduire sous forme d’intervalle l’ensemble : ]−∞; 21[ ∩ 𝐸 . (où 𝐸 = 𝐶ℝ𝐸 )
2)Prouver que 𝐸 = [21; +∞[ .
Exercice3(3,5points) : 𝐴 ; 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 trois parties d’un ensemble non vide 𝐸 .
1)Montrer que : 𝐵 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) .
2)Montrer que : 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶 ) = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐶 ) .
3)a)Montrer que : 𝐴 ⊂ 𝐵 ⟹ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ .
b) la réciproque est-elle vraie ?justufier votre réponse .
2
0,5pt
0,5pt
0,5pt
1,5pt
Exercice5(5points) : Soit la fonction 𝑔:
1pt
1pt
1,5pt
1pt
0,5pt
2
ℝ
ℝ
Exercice4(3points) : Soit l’application 𝑓: (𝑥;𝑦)⟼(𝑥−𝑦+1;𝑥+𝑎𝑦−2)
. où 𝑎 ∈ ℝ∗
1)On prend 𝑎 = −1 .
a)Calculer 𝑓(2; 1) et 𝑓(4; 3) .
b)Le couple (20; 21) a-t-il un antécédent par 𝑓 ?
c)𝑓 𝑒𝑠𝑡 − 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 ? 𝑠𝑢𝑟𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 ?
2)On prend 𝑎 = 2 .
Montrer que 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 .
]20;+∞[⟶]21;+∞[
21𝑥+1
𝑥⟼ 𝑥−20
.
1)Montrer que 𝑔 est une application de ]20; +∞[ 𝑣𝑒𝑟𝑠 ]21; +∞[ .
2)a)Montrer que 𝑔 est injective .
b)Montrer que g est surjective . puis conclure
3)a)Déterminer l’expression de 𝑔 ∘ 𝑔(𝑥 ) .
b) Soit l’ensemble 𝐻 = {𝑥 ∈ ]20; +∞[⁄𝑔(𝑥 ) = 𝑥 } .montrer que 𝐻 ≠ ∅ .
Bonus : Soit l’ensemble 𝐾 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ⁄𝑥 2 + 𝑦² ≤ 1} .
Montrer qu’il n’existe pas deux parties 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 de ℝ telles que 𝐾 = 𝐴 × 𝐵 .
Bon courage
