Lundi 30/11/2020 Seconde H CONTROLE DE MATHEMATIQUES L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé pour ce contrôle [Durée 55 min] Exercice 1 : (5 pts) Soit 𝑓, 𝑔 et ℎ trois fonctions définies sur ℝ par : • 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 4𝑥 − 6 • 𝑔(𝑥) = 2(𝑥 + 1)2 − 8 • ℎ(𝑥) = 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 1. Montrer que 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) et ℎ(𝑥) sont trois expressions de la même fonction. 2. Répondre aux questions suivantes en choisissant la forme la plus adaptée. a) Chercher les éventuels antécédents de 0 et de –6. b) Calculer les images de 0, de 1 et de √3 – 1. c) Trouver les abscisses des points de 𝑓 d’ordonnée égale à 24 appartenant à la courbe de 𝑓. Exercice 2 : (5 pts) Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 6) − (𝑥 + 3)2 . 1. Donner la forme développée de 𝑓. 2. Donner la forme factorisée de 𝑓. 3. En choisissant l’expression la plus adaptée : a) Calculer les images de 0, √2 et de –1. b) Déterminer les antécédents de 0 et –3 par 𝑓. Exercice 3 : (5 pts) 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle tel que 𝐴𝐵 = 5 et 𝐴𝐷 = 10. 𝑀 étant un point du segment [AB], on construit le carré 𝐴𝑀𝑁𝑃 et le rectangle 𝑁𝐼𝐶𝐽 comme indiqué sur la figure ci-contre. On pose 𝐴𝑀 = 𝑥 et on note 𝑓(𝑥) l’aire de la partie qui n’est pas hachurée. 1. Donner l’ensemble de définition de la fonction 𝑓. 2. La courbe représentative de la fonction 𝑓 est tracée ci-dessous. 1 A l’aide du graphique, déterminer : a. La distance 𝐴𝑀 pour que l’aire de la partie non hachurée soir maximale. b. L’intervalle sur lequel l’aire de la partie non hachurée est inférieure à 10. 3. Montrer que la fonction 𝑓 est définie par : 𝑓(𝑥) = 15𝑥 − 2𝑥 2 4. Est-ce que le point de coordonnées (1,75 ; 20) appartient à la courbe représentative de 𝑓 ? Justifier. Exercice 4 : (5 pts) Une entreprise fabrique un certain produit. La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles. Le coût total, exprimé en milliers d’euros, de fabrication de 𝑥 milliers d’articles est modélisé par la fonction 𝐶 définie sur ]0; 15] par : 𝐶(𝑥) = 0.5𝑥 2 + 0.6𝑥 + 8.16 La représentation graphique 𝛤 de la fonction coût total est donnée dans l’annexe à rendre avec la copie. On admet que chaque millier d’articles fabriqués est vendu au prix de 8 €. 1. Qu’est ce qui est plus avantageux pour l’entreprise, fabriquer et vendre 4 000 articles ou fabriquer et vendre 12 000 articles ? 2. On désigne par 𝑅(𝑥) le montant en milliers d’euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de 𝑥 milliers d’articles du produit. On a donc 𝑅(𝑥) = 8𝑥. a. Tracer dans le repère donné en annexe la droite représentative de la fonction recette. b. Par lecture graphique déterminer l’intervalle dans lequel doit se situer la production pour que f l’entreprise réalise un bénéfice positif. 3. On désigne par 𝐵(𝑥) le bénéfice mensuel exprimé en milliers d’euros, lorsque l’entreprise produit et vend de 𝑥 milliers d’articles. Montrer que pour 𝑥 ∈ ]0; 15] ce bénéfice est donné par : 𝐵(𝑥) = −0,5𝑥 2 + 7,4𝑥 − 8,16 Remarque : On rappelle que le bénéfice correspond à la différence de la recette et des coûts. Ne pas oublier de rendre l’annexe avec la copie ! Nom : ……………………………………………………. Seconde H Annexe : 3
