GELE3222 Notes2

Chapitre 2
´
Electrostatique
L’
´
electrostatique est l’
´
etude des champs
´
electriques stationnaires. On
´
etudie des charges
´
electriques qui ne bougent pas, et donc le champ
´
electrique ne varie pas en fonction du
temps. Dans ce cas-ci, il n’y a pas de champ magn
´
etique, ce qui simplifie l’analyse des
probl` emes.
Avant de proc
´
eder
`
a fond dans la mati
`
ere, il y a quelques d
´
efinitions importantes
`
a
retenir :
Charge : C’est une propri
´
et
´
e fondamentale de certaines particules; on s’int
´
eresse ici au
comportement de ces particules sous l’effet d’une force reli
´
ee
`
a la charge. Une charge
est repr
´
esent
´
ee par la variable q . Les charges existent sous l’une de deux forme :
n
´
egative ou positive. La valeur d’une charge est un multiple entier
1
d’une constante
fondamentale, la charge d’un
´
electron e = 1 . 60 × 10
−19
. L’unit
´
e de la charge est le
Coulomb [C].
Champ : Un champ (
´
electrique ou magn
´
etique) est une distribution spatiale d’un
scalaire ou vecteur. C’est une fa c¸ on de caract
´
eriser l’effet d’une charge sur l’espace
environnant.
Un autre point important : la loi de la conservation de charge. C’est un postulat fon-
damental physique. Les charges ne sont pas cr
´
ees ou d
´
etruites; elles sont simplement
redistribu´ ees.
1 . En fait, on a d
´
emontr
´
e l’existence de quarks, qui forment les particules
´
el
´
ementaires, dont la charge est
un multiple de ±1/3e.
1

CHAPITRE 2. ´ ELECTROSTATIQUE
2.1 Loi de Coulomb
Coulomb fut le premier
`
a mettre sous forme d’
´
equation (en 1785) les observations
effectu
´
ees par les scientifiques sur le ph
´
enom
`
ene de l’
´
electricit
´
e. Les scientifiques s’
´
etaient
aper c¸ us que des charges semblables se repoussent, tandis que des charges diff
´
erentes
s’attirent.
Apr
`
es de nombreuses exp
´
eriences tr
`
es d
´
elicates, Coulomb formule ainsi sa loi d’attrac-
tion et de r´ epulsion des charges :
~
F12 =kq1q2
R2
12
ˆ
a12 (2.1)
o
`
u
~
F12 est la force exerc
´
ee par q1 sur q2 , R12 est la distance entre q1 et q2 ,
ˆ
a12 est un vecteur
unitaire qui pointe de q1 vers q2 , et k est une constante, qui d
´
epend du milieu et du syst
`
eme
d’unit´ es. Dans le syst` eme SI, la constante kest donn´ ee par :
k=1
4π (2.2)
o
`
u est la constante di
´
electrique (ou permittivit
´
e) du milieu. La permittivit
´
e est une
mesure de la capacit
´
e d’une mati
`
ere
`
a concentrer un champ
´
electrique. La permittivit
´
e
d’un milieu est donn´ e par :
=r0(2.3)
o
`
u r est la permittivit
´
e relative (1 pour l’air et le vide ; et plus grand pour les autres
milieux) et 0est la permittivit´ e du vide, 0= 8.854 ×10−12 F/m.
Selon l’
´
equation 2.1, si deux charges sont de m
ˆ
eme signe (positives ou n
´
egatives), la
force sera alors positive, et il y a donc r
´
epulsion. Si les charges ne sont pas de m
ˆ
eme signe,
alors la force est n´ egative, et il y a attraction.
Il y a une condition sp´ eciale ` a observer pour que la loi de Coulomb soit valide :
La dimension des corps o
`
u se retrouvent les charges doit
ˆ
etre beaucoup plus
petite que la distance qui s´ epare les charges.
Dans le cadre de ce cours, on supposera que cette condition est toujours respect´ ee.
Exemple 1
Calculer la force sur la charge q1 = 20 µ C, par une charge q2 = − 300 µ C, quand q1 est
`
a
la position (0,1,2)m et q2est ` a la position (2,0,0)m.
Selon la description du probl` eme, on cherche ~ F21.
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CHAPITRE 2. ´ ELECTROSTATIQUE
Alors, ~
R21 =p1−p2=−2ˆ ax+ˆ ay+ 2 ˆ az
est le vecteur qui pointe de q2 vers q1 . On doit trouver son amplitude, et le vecteur unitaire.
|~ R21|=q(−2)2+ 12+ 22= 3
ˆ
a21 =~
R12
|~ R12|=−0.66 ˆ
ax+ 0.33 ˆ ay+ 0.66 ˆ az
Alors, la force de q2sur q1est :
~
F12 =q1q2
4π0R2
12
ˆ
a12 =(20 ×10−6)(−300 ×10−6)
4π(8.854 ×10−12)(32)(−0.66 ˆ
ax+ 0.33 ˆ ay+ 0.66 ˆ az)
= 6(−0.66 ˆ ax+ 0.33 ˆ ay+ 0.66 ˆ az) N
La force a une amplitude de 6N. Remarquer que la force de q1 sur q2 aura la m
ˆ
eme
amplitude, mais sera de sens contraire.
S’il y a plus d’une charge qui agit sur une charge quelconque, la force totale est la
somme vectorielle des forces individuelles; on appelle ceci le principe de superposition.
La force qui agit sur la charge q1est donn´ ee par :
~
F1=q1q2
4πR2
21
ˆ
a21 +q1q3
4πR2
31
ˆ
a31 +···=q1
4π
n
X
k=2
qk
R2
k1
ˆ
ak1(2.4)
2.2 Champ ´ electrique
Comme mentionn
´
e plus haut, le champ
´
electrique est une mesure de l’effet de la charge
sur l’espace environnant. Par d
´
efinition, l’intensit
´
e du champ
´
electrique est la force par
charge unitaire qu’une petite charge stationnaire de test ressentira quand elle est plac
´
ee
dans une r´ egion o ` u un champ ´ electrique existe.
~
E= lim
q→0
~
F
q(2.5)
Si la charge test est suffisamment petite, l’´ equation pr´ ec´ edente se r´ eduit ` a :
~
E=q1
4πR2
12
ˆ
a12 (2.6)
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CHAPITRE 2. ´ ELECTROSTATIQUE
L’unit
´
e du champ
´
electrique est le Volt/m
`
etre [V/m] ou son
´
equivalent, le Newton/Coulomb
[N/C].
Exemple 2
Calculer le champ ´ electrique ` a un point (0,3,4) dˆ u` a une charge q= 0.5µC` a l’origine.
Dans ce cas-ci,
~
R=p−p0= 3 ˆ ay+ 4 ˆ az
|~ R|=√32+ 42= 5
ˆ
aR= 0.6ˆ ay+ 0.8ˆ az
Alors le champ ´ electrique est :
~
E=0.5×10−6
4π(8.854 ×10−12)(52)(0.6ˆ
ay+ 0.8ˆ az)
= 180(0.6ˆ ay+ 0.8ˆ az) V/m
2.3 Distributions de charge
On s’int
´
eresse ici
`
a appliquer les
´
equations du champ et de la force
´
electrique lorsque
la charge est distribu´ ee dans un volume, une surface ou une ligne.
2.3.1 Charge volumique
Quand une charge est distribu
´
ee dans un volume, chaque
´
el
´
ement de charge contribue
au champ
´
electrique. Il faudra donc faire une sommation ou int
´
egrale pour trouver le
champ ´ electrique total. La densit´ e de charge est donn´ ee par :
ρv=dQ
dv [C/m3] (2.7)
o` uQest la charge totale du volume, et vest le volume.
La contribution de chaque petit ´ el´ ement de charge au champ ´ electrique total est :
d~ E=dQ
4πR2ˆ
aR(2.8)
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CHAPITRE 2. ´ ELECTROSTATIQUE
au point d’observation P . Le champ
´
electrique total est obtenu en int
´
egrant l’
´
equation
pr´ ec´ edente,
~
E=ZV
ρvˆ aR
4πR2dv (2.9)
2.3.2 Charge en surface
La charge peut aussi
ˆ
etre distribu
´
ee en surface (dans un plan). La densit
´
e de charge est
donn´ ee par :
ρs=dQ
ds [C/m2] (2.10)
o` uQest la charge totale du volume, et sest la superficie (l’aire).
La contribution de chaque petit ´ el´ ement de charge au champ ´ electrique total est :
d~ E=dQ
4πR2ˆ
aR(2.11)
au point d’observation P . Le champ
´
electrique total est obtenu en int
´
egrant l’
´
equation
pr´ ec´ edente,
~
E=ZS
ρsˆ aR
4πR2ds (2.12)
2.3.3 Charge sur une ligne
Dans certains cas, on peut supposer que la charge est distribu
´
ee sur un fil tr
`
es mince.
La densit´ e de charge est donn´ ee par :
ρl=dQ
dl [C/m] (2.13)
o` uQest la charge totale du volume, et lest la longueur.
La contribution de chaque petit ´ el´ ement de charge au champ ´ electrique total est :
d~ E=dQ
4πR2ˆ
aR(2.14)
au point d’observation P . Le champ
´
electrique total est obtenu en int
´
egrant l’
´
equation
pr´ ec´ edente,
~
E=ZL
ρlˆ aR
4πR2dl (2.15)
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