Comme le reste de cette division est nul, le nombre 3 est un diviseur de 21, ou ce qui revient au même : 21 est un multiple de 3. Troisième DEMONSTRATIONS – Arithmétique Séquence 1 : division euclidienne Définition du quotient et du reste d’une division euclidienne Soient Soient et deux nombres entiers naturels, ≠ 0. Poser la division euclidienne de par c’est trouver deux entiers naturels et tels que : = × + , avec 0 r < b . On dit que est le quotient de cette division, et • • La condition 0 r < b est très importante ! Par exemple si l’on souhaite obtenir la division euclidienne de 22 par 3, l’écriture : 22 = 3 × 5 + 7 ne traduit pas cette division euclidienne car 0 7 < 3 . On ne peut poser la division que par un nombre entier naturel non nul. Séquence 2 : être un diviseur, être un multiple Soient ∈ ℕ , ∈ ℕ∗ . On dit que est un diviseur de , ou que le reste de la division euclidienne de par est nul. est un multiple de °1 Cherchons la division euclidienne de 32 par 5 s’écrit : il s’agit de trouver deux entiers naturels et tels que : 32 = 5 × + , avec 0 r < 5 . Comme on a : 32 = 5 × 6 + 2, avec 0 2 < 5, on en déduit que le quotient est =6 et le reste est = 2. Notons que c’est le qui doit être « petit » puisqu’il doit obéir à la contrainte « être strictement plus petit que le nombre par lequel on divise », mais le quotient peut parfois, comme dans notre exemple, être plus grand que . Comme le reste de cette division n’est pas nul, le nombre 5 n’est pas un diviseur de 32, ou ce qui revient au même : 32 n’est pas un multiple de 5. °2 Cherchons la division euclidienne de 21 par 3 : il s’agit de trouver deux entiers naturels et tels que : 21 = 3 × + , avec 0 < 3. Comme on a : 21 = 3 × 7 + 0, avec 0 0 < 3, on en déduit que le quotient est et le reste est = 0. =7 ∈ ℕ, le reste. Attention é é ∈ ℕ∗ : est un diviseur de il existe ∈ ℕ tel que = × est un multiple de il existe ∈ ℕ tel que = × Preuve Les deux énoncés étant équivalents, montrons simplement la première assertion. Montrons que : « si est un diviseur de alors il existe ∈ ℕ tel que = × ». Soit est un diviseur de : par définition « d’être un diviseur », on en déduit que le reste de la division euclidienne de par est nul : = × + 0 = × . Il existe donc effectivement ∈ ℕ tel que = × , à savoir = . Montrons que : « s’il existe ∈ ℕ tel que = × , alors est un diviseur de ». = × = × + 0 ; cette dernière égalité traduit la division euclidienne de par avec un reste nul, et par définition de « être un diviseur », on en déduit que est un diviseur de . L’égalité 45 = 15 × 3 montre que 15 est un diviseur de 45 ou de façon équivalente que 45 est un multiple de 15. Remarquons que l’égalité 45 = 15 × 3 s’écrit aussi 45 = 3 × 15 et donc 3 est un diviseur de 45 et 45 est un multiple de 3. i. ii. iii. preuve i. ii. Le nombre 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Tout nombre entier non nul est un diviseur de 0. Tout nombre entier non nul est un diviseur de lui-même. Soit ∈ ℕ, on a : = 1 × , donc il existe ∈ ℕ tel que = 1 × , à savoir = , ce qui montre que 1 est un diviseur de . Soit ∈ ℕ∗ , on a : 0 = × 0, donc il existe ∈ ℕ tel que 0 = × , à savoir = 0, ce qui montre que : est un diviseur de 0. MathsEnClair.com - Tous droits réservés iii. é é Soit ∈ ℕ∗ , on a : = × 1, donc il existe ∈ ℕ tel que = × , à savoir = 1, ce qui montre que : est un diviseur de . Remarquons que l’on exige ≠ 0 puisque on ne peut diviser que par un entier naturel ≠ 0. Les diviseurs d’un entier naturel non nul sont nécessairement tous inférieurs ou égaux à ce nombre. preuve Soit ∈ ℕ∗ : ∈ ℕ∗ est diviseur de il existe ∈ ℕ tel que = × . Il est impossible que = 0, car alors = × = × 0 = 0 ce qui contredit ∈ ℕ∗ . On a donc : = × avec ≠ , donc il faut multiplier par un nombre plus grand ou égal à 1 pour obtenir , ce qui montre bien que est inférieur ou égal à . Séquence 3 : définition du PGCD Définition Soient et deux entiers naturels non nuls. Dans la liste des diviseurs en communs, il y en a un qui et le plus grand : il s’appelle PGCD des deux entiers de départ. Preuve Soient ∈ ℕ∗ et ∈ ℕ∗ . La liste des diviseurs communs contient au moins le nombre 1 donc elle n’est pas vide. Un diviseur de ≠ 0 lui est nécessairement inférieur ou égal, et de même pour le diviseurs de ≠ 0, si bien qu’un diviseur commun de et est inférieur ou égal au minimum de ces deux nombres. La liste des diviseurs communs est non vide, est formée de nombre entiers, et est majorée par le plus petit des deux nombres et donc elle est constituée d’un nombre fini d’éléments : le plus grand d’entre eux existe donc bien. Diviseurs de 20 : 1 − 2 − 4 − 5 − 10 − 20. Diviseurs de 30 : 1 − 2 − 3 − 5 − 6 − 10 − 15 − 30. La liste des diviseurs en commun est : 1 − 2 − 5 − 10. Comme le plus grand élément (20 ; 30) = 10. de la liste des diviseurs en commun est 10, on en déduit que Soient é é et deux entiers naturels non nuls : i. ii. ( ; ) = , : ç é ( ; ) = i. est un diviseur de lui-même, et comme ≠ 0 il n’admet pas de diviseur qui soit plus grand que lui, donc le plus grand diviseur de et de lui-même est . ii. D’une part : on sait déjà que ( ; ) est inférieur ou égal au minimum de ces deux nombres. Comme est un multiple non nul de , il est supérieur ou ( ; ) . égal à , donc le minimum de et est , et par conséquent D’autre part : est un diviseur de lui-même, et par hypothèse c’est un diviseur de , donc est un diviseur commun de et , et comme le est le plus grand diviseur commun de et , on en déduit : ( ; ). ( ; ) et Conclusion : ( ; ) donc : = ( ; ). Séquence 4 : PGCD Algorithme des différences Propriété de la soustraction Soient ∈ ℕ∗ et ∈ ℕ∗ , > , alors : Cette égalité signifie que : ( ; ) = = ( ; − ). ( ; − ) Il suffit de montrer que la liste des diviseurs communs de et est la même que la liste des diviseurs communs de et − . Première partie Soit un diviseur commun de et : il existe ∈ ℕ∗ et ∈ ℕ∗ tels que = × et = × . Remarquons que comme > , on a : > . On a alors : − = × − × − = × ( − ). La différence de deux entiers est un entier donc ( − ) ∈ ℕ, l’égalité − = × ( − ) montre que est un diviseur de − . Résumons : tout diviseur commun de et est aussi un diviseur commun de et − . MathsEnClair.com - Tous droits réservés Deuxième partie ∗ ∗ Soit un diviseur commun de et − : il existe ∈ ℕ et ∈ ℕ tels que = × et − = × . On a donc : + ( − ) = × + × = × ( + ). Comme + ∈ ℕ∗ , la dernière égalité montre que ′ est un diviseur de . Comme ′ est un diviseur de et est un diviseur de donc c’est un diviseur commun de et . Résumons : tout diviseur commun de et − est un diviseur commun de et . Synthèse La liste des diviseurs communs de et est la même que la liste des diviseurs communs de et − donc ces deux listes ont le même plus grand élément, ce qui ( ; ) = s’écrit : ( ; − ) La propriété de la soustraction est la justification de l’algorithme des soustractions successives permettant de calculer le de deux entiers non nuls. Séquence 5 : PGCD Algorithme des divisions euclidiennes Propriété du reste de la division euclidienne Soient alors : par et est aussi un diviseur commun de Soit ′ un diviseur commun de et de ; il existe ′′ ∈ ℕ et ∈ ℕ tels que : = ′ × ′′ et = ′ × ′′′. Comme = + , on en déduit : = ′ × × + ′ × ′′′ = ′×( × + ), qui montre que ′ est un diviseur de . On sait que ’est un diviseur de et de donc c’est un diviseur commun de et . Résumons : tout diviseur commun de et est aussi un diviseur commun de et . La liste des diviseurs communs de et est la même que la liste des diviseurs communs de et donc ces deux listes ont le même plus grand élément, ce qui s’écrit : ; = ( ; ) La propriété du reste de la division euclidienne est la justification de l’algorithme des divisions successives, aussi appelé algorithme d’Euclide, permettant de calculer le de deux entiers non nuls. Séquence 6 : applications du PGCD ∈ ℕ∗ et ∈ ℕ∗ , > , et le reste de la division euclidienne de par , ( ; ) = ( ; ). Cette égalité signifie que : = ( ; ). est le reste de la division euclidienne de = + = − . 2ième partie : montrons que « tout diviseur commun de et ». donc il existe ∈ ℕ tel que : Première partie : montrons que « tout diviseur commun de et est aussi un diviseur commun de et ». Soit un diviseur commun de et de : il existe ∈ ℕ et ∈ ℕ tels que : = × et = × ′. ). Comme : = − , on en déduit : = × − × × = × ( − Comme le produit et la différence de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs, on en déduit que − est un entier relatif. De plus est positif ou nul et est positif, donc − est positif. Le nombre − est entier et positif ou nul, donc c’est un entier ) montre que est un diviseur de . naturel. L’égalité : = × ( − On sait que est un diviseur de et est un diviseur de donc c’est un diviseur commun de et . Résumons : tout diviseur commun de et est aussi un diviseur commun de et . Définition de « premiers entre eux » ( ; ) = 1. Par définition : ∈ ℕ∗ et ∈ ℕ∗ sont premiers entre eux Ce qui signifie : deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leur vaut 1. Attention à ne pas confondre la notion « premiers entre eux », qui est une relation entre deux entiers naturels non nuls, avec la notion « être un nombre premier » qui est une notion de nature, donc une notion ne portant que sur un seul nombre. Complément hors programme en troisième : par définition on dit qu’ un entier naturel est premier lorsqu’il admet exactement deux diviseurs. Ces deux diviseurs sont alors 1 et le nombre lui-même. • • • • 5 est un nombre premier ( deux diviseurs exactement : 1 et 5 ) 9 n’est pas premier ( trois diviseurs : 1, 3, 9 ) 2 est premier ( deux diviseurs : 1 et 2 ) 1 n’est pas premier ( un seul diviseur : 1) MathsEnClair.com - Tous droits réservés Fraction irréductible : définition Soit ∈ ℕ∗ et ∈ ℕ∗ . Par définition, la fraction ( ; ) = 1. est irréductible Propriété de non simplification d’une fraction irréductible Règle de simplification des fractions ** La fraction est irréductible La fraction est sous sa forme simplifiée au maximum. preuve Première partie : montrons que « si a est irréductible, alors elle est simplifiée au b maximum ». Soit a une fraction irréductible donc par définition d’une fraction irréductible : b ( ; ) = 1. ◊ Supposons que la fraction à 2, que Le ∗ est simplifiable : il existe alors entier supérieur ou égal ∗ ∈ ℕ , ∈ ℕ tels que = × ′ et = × ′. Ces deux égalités impliquent est un diviseur commun de et . ( ; ) . étant le plus grand des diviseurs communs de et , on a : Comme 2, on en déduit : ( ; ) 2, ce qui est impossible puisque ( ; ) = 1. Par conséquent la supposition de départ ◊ doit être rejetée et donc on a peut affirmer que la fraction n’est pas simplifiable. b Deuxième partie : montrons que « si a est simplifiée au maximum ». Par conséquent la supposition de départ ◊ doit être b a ( ; ) = 1 : la fraction rejetée, donc est irréductible. b « a a est simplifiée au maximum, alors est b b irréductible ». a une fraction simplifiée au maximum. b ( ; ) ≠ 1, alors ( ; ) 2 , et il existe et ′ tels que : ◊ Supposons ( ; ) × et = ( ; ) × ′. = a PGCD (a ; b ) × k ( ; ) On alors : = , et par conséquent une simplification par b PGCD (a ; b ) × k ' Soit qui est un nombre supérieur ou égal à 2 serait possible, ce qui est contradictoire avec Si l’on simplifie une fraction par le de son numérateur et dénominateur, alors on obtient la fraction irréductible qui lui est égale. Preuve Soit ∈ ℕ∗ et ∈ ℕ∗ , et considérons la fraction ( ; ) = 1 1 ∶ On a alors : = a . b ( ; ) = ( ; ) ÷ ÷ a est irréductible, la simplification par b donne bien la forme irréductible. Comme ÷1 = ÷1 ( ; ) , qui ici n’a aucun effet, ( ; ) ≠ 1 2è ∶ Il faut montrer que : a (1) la fraction est simplifiable par ( ; ) b (2) la fraction obtenue après simplification par le Montrons (1) ( ; ) est le plus grand diviseur commun de Le commun de et donc il existe ( ; ) × ′. = On a alors : ∗ ∈ ℕ et = ( ; ) est irréductible. et , donc c’est un diviseur ( ; ) × et ∈ ℕ tels que : = ∗ ( ; ) × ( ; ) × = a k k = , et comme et ′ sont des nombres entiers, est bien une b k' k' a fraction, égale à la fraction de départ. b Soit finalement MathsEnClair.com - Tous droits réservés (2) Montrons que la fraction Supposons que la fraction ( ; ) ≠ 1, alors k est irréductible. k' k ne soit pas irréductible, c’est-à-dire que : k' ( ; ) 2. ( ; ) × et = ( ; ) × ′. Il existe ∈ ℕ∗ et ∈ ℕ∗ tels que = ( ; ) × = ( ; ) × ( ; ) × et On a : = ( ; ) × ′ = ( ; ) × ( ; ) × ′. = ( ; ) × ( ; ) est un diviseur commun Ces deux égalités montrent que ( ; ) 2, ce nombre est strictement supérieur à de et , et comme ( ; ) ce qui est absurde puisque ( ; ) est le plus grand des divieurs communs de et . La supposition de départ abouti à une chose absurde, donc elle doit être rejetée et par k conséquent il est certain que la fraction est irréductible. k' MathsEnClair.com - Tous droits réservés