DOC-20201006-WA0018. (1)

G
Gr ro ou up pe es s
Exercice 1 Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes ?
Exercice 2 Soient
H
et
K
deux sous-groupes d’un groupe
( , )
G
⊻
. Montrer que
H K
∪
est un sous-groupe
de
( , )
G
⊻
ssi
H K
⊂
ou
K H
⊂
.
Exercice 3 Un élément
a
d’un groupe
( , )
G
⊻
est dit élément de torsion ssi il existe
n
∗
∈
ℕ
tel que
n
a e
=
.
Montrer que le sous-ensemble formé des éléments de torsion d’un groupe abélien en est un sous-
groupe.
Exercice 4 Soient
( , )
G
⊻
un groupe fini commutatif d’ordre
n
et
a G
∈
.
a) Justifier que
x ax
֏
est une permutation de
G
.
b) En considérant le produit des éléments de
G
, établir que
n
a e
=
.
Exercice 5 Soient
( , )
G
⊻
un sous-groupe de cardinal
n
et
H
un sous-groupe de
( , )
G
⊻
de cardinal
d
.
a) Montrer que les ensembles
{
}
/
aH ax x H
= ∈
avec
a G
∈
ont tous le cardinal de
H
.
b) Montrer que les ensembles
aH
avec
a G
∈
sont deux à deux confondus ou disjoints.
c) En déduire que
d
divise
n
.
d) Soit
x
un élément de
G
. Etablir qu’il existe un plus petit entier
1
p
≥
tel que
p
x e
=
et que
|
p n
.
Exercice 6 Soit
( , )
E
⊻
un monoïde avec
E
ensemble fini.
On suppose que tous les éléments de
E
sont réguliers. Montrer que
E
est un groupe.
Exercice 7 Soit
n
∈
ℕ
tel que
2
n
≥
. Déterminer les morphismes du groupe
( , )
n
S
vers
( , )
∗
×
ℂ
.
Exercice 8 Soit
n
∈
ℕ
tel que
3
n
≥
. On considère la transposition
(
)
1 2
τ
=
et le
n
-cycle
(
)
1 2
n
χ
=
…
. Justifier que
{
}
,
τ χ
est une partie génératrice de
( , )
n
S
. Existe-t-il une
partie génératrice de
( , )
n
S
formée d’un seul élément ?
Exercice 9 Soit
H
l’ensemble des
n
σ
∈
S
vérifiant
( ) ( 1 ) 1
k n k n
σ σ
+ + − = +
pour tout
{
}
1, ,
k n
∈
…
.
Montrer que
H
est un sous-groupe de
( , )
n
S
G
Gr ro ou up pe e c cy yc cl li iq qu ue e
Exercice 10 On désire établir que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique.
On introduit
( , )
G
⊻
un groupe cyclique de générateur
a
et
H
un sous-groupe de
( , )
G
⊻
.
a) Justifier l’existence d’un plus petit entier naturel non nul tel que
n
a H
∈
.
b) Etablir que
H
est le groupe engendré par
n
a
.
Exercice 11 Soit
G
un groupe cyclique de cardinal
n
.
Montrer, que pour tout diviseur
d
∗
∈
ℕ
de
n
,
G
possède un et un seul sous-groupe de cardinal
d
.
Exercice 12 Soit
H
et
K
deux groupes notés multiplicativement.
a) Montrer que si
h
est un élément d’ordre
p
de
H
et
k
un élément d’ordre
q
de
K
alors
( , )
h k
est un élément d’ordre
ppcm( , )
p q
de
H K
×
.

b) On suppose
H
et
K
cyclique. Montrer que le groupe produit
H K
×
est cyclique ssi les ordres
de
H
et
K
sont premiers entre eux.
A
An nn ne ea au ux x
Exercice 13 Soit :
f
→
ℂ ℂ
un endomorphisme de l’anneau
( , , )
+ ×
ℂ
tel que , ( )
x f x x
∀ ∈ =
ℝ
.
Montrer que
f
est l’identité ou la conjugaison complexe.
Exercice 14 Soit
a
un élément d’un ensemble
X
.
Montrer l’application : ( , )
a
E X
→
F
ℝ ℝ
définie par
( ) ( )
a
E f f a
=
est un morphisme d’anneaux.
Exercice 15 Soit
d
∈
ℕ
. On note
[
]
{
}
2
( , ) /
d
A x y x y d
= ∈ =ℤ pour
d
∗
∈
ℕ
et
2
0
A
=
ℤ
.
a) Montrer que
d
A
est un sous anneau
2
( , , )
+ ×
ℤ
.
b) Inversement, soit
A
un sous anneau de
2
( , , )
+ ×
ℤ
.
Montrer que
{
}
/( ,0)
H x x A
= ∈ ∈
ℤ
est un sous groupe de
( , )
+
ℤ
.
c) En déduire qu’il existe
d
∈
ℕ
tel que
H d
=
ℤ
et
d
A A
=
.
C
Co or rp ps s
Exercice 16 Soit
A
un anneau intègre fini. Montrer que
A
est un corps.
On pourra introduire l’application
x ax
֏
pour
, 0
a A a
∈ ≠
.
Exercice 17 Soit
K
un corps fini commutatif. Calculer
x
x
∗
∈
∏
K
.
Exercice 18 Soit
F
un sous corps de
( , , )
+ ×
ℚ
. Montrer que
F
=
ℚ
.
Exercice 19 Soient
K
,
L
deux corps et
f
un morphisme d’anneaux entre
K
et
L
.
a) Montrer que
{
}
\ 0 , ( )
x K f x
∀ ∈
est inversible et déterminer
1
( )
f x
−
.
b) En déduire que tout morphisme de corps est injectif.
Exercice 20 a) Montrer que si
p
est premier alors
p
divise les coefficients binomiaux
p
k
pour tout
{
}
1, , 1
k p
∈ −
…
.
b) En déduit que si
K
est un corps de caractéristique
0
p
≠
alors , ,( )
p p p
a b a b a b
∀ ∈ + = +
K
.
I
Id dé éa au ux x
Exercice 21 Quels sont les idéaux d’un corps
K
?
Exercice 22 Soit ; ,
10n
p
p n = ∈ ∈
ℤ ℕ
D l’ensemble des nombres décimaux, c’est évidemment un sous-
anneau de
( , , )
+ ×
ℚ
.
Montrer que les idéaux de
D
sont principaux (c’est-à-dire de la forme
a
D
avec
a
∈
D
).
Exercice 23 (Nilradical d’un anneau)
Soit
A
un anneau commutatif. On appelle nilradical de
A
l’ensemble
N
formé des éléments
nilpotents de
A
i.e. des
x A
∈
tels qu’il existe
n
∗
∈
ℕ
pour lequel
0
n
x
=
. Montrer que
N
est un
idéal de
A
.

Exercice 24 (Radical d’un idéal)
Soit
I
un idéal d’un anneau commutatif
A
. On note
( )
R I
l’ensemble des éléments
x
de
A
pour
lesquels il existe un entier
n
non nul tel que
n
x I
∈
.
a) Montrer que
( )
R I
est un idéal de
A
contenant
I
.
b) On suppose que
A
=
ℤ
. Montrer que l’ensemble des entiers
n
non nuls tels que ( )
R n n
=
ℤ ℤ
est exactement l’ensemble des entiers sans facteur carré.
Exercice 25 Soient
A
un anneau commutatif et
e
un élément idempotent de
A
(i.e.
2
e e
=
).
a) Montrer que
{
}
/ 0
J x A xe
= ∈ =
est un idéal de
A
.
b) On note
I Ae
=
l’idéal principal engendré par
e
. Déterminer
I J
+
et
I J
∩
.
c) Etablir que pour tout idéal
K
de
A
: ( ) ( )
K I K J K
∩ + ∩ =
.
Exercice 26 Soit
p
un nombre premier. On note
p
Z
l’ensemble des
a b
où ( , )
a b
∗
∈ ×
ℤ ℕ
et
p
ne divise pas
b
. On note
p
J
l’ensemble des
a b
où ( , )
a b
∗
∈ ×
ℤ ℕ
,
p
divise
a
et
p
ne divise pas b.
a) Montrer que
p
Z
est un sous-anneau de
ℚ
.
b) Montrer que
p
J
est un idéal de
p
Z
et que tout idéal de
p
Z
autre que
p
Z
est inclus dans
p
J
.
c) Déterminer les idéaux de
p
Z
.
Exercice 27 (Idéaux premiers)
Un idéal
I
d’un anneau commutatif
( , , )
A
+ ×
est dit premier ssi :
, , ou
x y A xy I x I y I
∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∈
.
a) Donner un exemple d’idéal premier dans
ℤ
.
b) Soit
[
]
P X
∈
K
un polynôme irréductible. Montrer que
[
]
.
P X
K
est premier.
c) Soient
J
et
K
deux idéaux de
A
. Montrer que
( ou )
J K I J I K I
∩ = ⇒ = =
.
d) Soit
( , , )
A
+ ×
un anneau commutatif dont tout idéal est premier. Etablir que
A
est intègre puis
que
A
est un corps.
Exercice 28 (
ℤ
est noethérien)
Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de
ℤ
est stationnaire.
Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de
[
]
X
K
?.
Z
Z/ /n nZ Z
Exercice 29 Résoudre les équations suivantes :
a)
3 5 0
x
+ =
dans
10
ℤ ℤ
b)
2
1
x
=
dans
8
ℤ ℤ
c)
2
2 2 0
x x
+ + =
dans
5
ℤ ℤ
.
Exercice 30 Résoudre les systèmes suivants :
a)
[
]
[ ]
1 6
2 7
x
x
≡
≡
b)
[
]
[ ]
3 2 5
5 1 6
x
x
≡
≡
c)
[
]
[ ]
4 11
10 11
x y
xy
+ ≡
≡
Exercice 31 (Petit théorème de Fermat)
Soit
p
un nombre premier. Montrer que
1
( ) , 1
p
a p a
∗ −
∀ ∈ =
ℤ ℤ
.
Exercice 32 Soit
p
un nombre premier et
k
un entier premier avec
p
−
1 .
Montrer que l’application :
p p
ϕ
→
ℤ ℤ ℤ ℤ
définie par
ϕ
(
)
x
x
k
= est bijective.

Exercice 33 Soit p un entier premier. Montrer que
k
x p
x
∈
∑
ℤ ℤ
est égal à 0 ou 1− .
Exercice 34 Déterminer les morphismes de groupes entre ( , )n+ℤ ℤ et ( , )m+ℤ ℤ .
Exercice 35 (Théorème de Wilson)
Soit p un nombre premier strictement supérieur à 2.
a) Quels sont les éléments de pℤ ℤ qui égaux à leurs inverses ?
b) En déduire que
|( 1)! 1p p − + .
c) Montrer que si 2n≥ est tel que |( 1)! 1n n − + alors n est premier.
Exercice 36 Soit p un nombre premier supérieur à 3.
a) Quel est le nombre de carré dans pℤ ℤ ?
b) On suppose
[
]
1 4p= . En calculant de deux façons ( )!p−1 , justifier que 1− est un carré dans
pℤ ℤ .
c) On suppose
[
]
3 4p= . Montrer que 1− n’est pas un carré dans pℤ ℤ .
I
In nd di ic ca at tr ri ic ce e d d’ ’E Eu ul le er r
Exercice 37 Combien y a-t-il d’éléments inversibles dans 78ℤ ℤ ?
Exercice 38 Pour n
∗
∈ℕ, on note ( )n ϕ le nombre d’éléments inversibles dans ( , )n×ℤ ℤ .
a) Calculer ( )p ϕ et ( )p
α
ϕ pour p premier et α ∈ℤ .
b) Soient m et n premiers entre eux.
On considère l’application :f mn n m→ ×ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ définie par
ˆ
( ) ( , )
f x x x=ɶ .
Montrer que f est bien définie et réalise un isomorphisme d’anneaux.
c) En déduire que ( ) ( ) ( )mn m n ϕ ϕ ϕ = .
d) Exprimer ( )n ϕ selon la décomposition primaire de n .
Exercice 39 Pour n
∗
∈ℕ, on note
ϕ
( )n le nombre d’éléments inversibles dans ( , )n×ℤ ℤ .
Montrer que
( )
( ) , 1
n
a n a
ϕ∗
∀ ∈ =ℤ ℤ .
Exercice 40 Pour n
∗
∈ℕ, on note
ϕ
( )n le nombre de générateurs de ( , )n+ℤ ℤ .
a) Montrer que si H est un sous-groupe de ( , )n+ℤ ℤ , il existe a divisant n vérifiant
H a=< > .
b) Observer que si |d n il existe un unique sous-groupe de ( , )n+ℤ ℤ d’ordre d .
c) Justifier que si |d n le sous-groupe de ( , )n+ℤ ℤ possède exactement ( )d ϕ élément d’ordre
d .
d) Montrer que
|
, ( )
d n
n d n ϕ
∗
∀ ∈ =
∑
ℕ .