Groupes
Exercice 1
Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes ?
Exercice 2
Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe (G , ⊻ ) . Montrer que H ∪ K est un sous-groupe
de (G , ⊻ ) ssi H ⊂ K ou K ⊂ H .
Exercice 3
Un élément a d’un groupe (G , ⊻ ) est dit élément de torsion ssi il existe n ∈ ℕ∗ tel que a n = e .
Montrer que le sous-ensemble formé des éléments de torsion d’un groupe abélien en est un sousgroupe.
Exercice 4
Soient (G , ⊻ ) un groupe fini commutatif d’ordre n et a ∈ G .
a) Justifier que x ֏ ax est une permutation de G .
b) En considérant le produit des éléments de G , établir que a n = e .
Exercice 5
Soient (G , ⊻ ) un sous-groupe de cardinal n et H un sous-groupe de (G , ⊻ ) de cardinal d .
a) Montrer que les ensembles aH = {ax / x ∈ H } avec a ∈ G ont tous le cardinal de H .
b) Montrer que les ensembles aH avec a ∈ G sont deux à deux confondus ou disjoints.
c) En déduire que d divise n .
d) Soit x un élément de G . Etablir qu’il existe un plus petit entier p ≥ 1 tel que x p = e et que
p |n .
Exercice 6
Soit (E , ⊻ ) un monoïde avec E ensemble fini.
On suppose que tous les éléments de E sont réguliers. Montrer que E est un groupe.
Exercice 7
Soit n ∈ ℕ tel que n ≥ 2 . Déterminer les morphismes du groupe (Sn , ) vers (ℂ∗ ,×) .
Exercice 8
Soit n ∈ ℕ tel que n ≥ 3 . On considère la transposition τ = (1 2) et le n -cycle
χ = (1 2 … n ) . Justifier que {τ , χ} est une partie génératrice de (Sn , ) . Existe-t-il une
partie génératrice de (Sn , ) formée d’un seul élément ?
Exercice 9
Soit H l’ensemble des σ ∈ Sn vérifiant σ (k ) + σ (n + 1− k ) = n + 1 pour tout k ∈ {1,…, n } .
Montrer que H est un sous-groupe de (Sn , )
Groupe cyclique
Exercice 10 On désire établir que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique.
On introduit (G , ⊻ ) un groupe cyclique de générateur a et H un sous-groupe de (G , ⊻ ) .
a) Justifier l’existence d’un plus petit entier naturel non nul tel que a n ∈ H .
b) Etablir que H est le groupe engendré par a n .
Exercice 11 Soit G un groupe cyclique de cardinal n .
Montrer, que pour tout diviseur d ∈ ℕ∗ de n , G possède un et un seul sous-groupe de cardinal
d.
Exercice 12 Soit H et K deux groupes notés multiplicativement.
a) Montrer que si h est un élément d’ordre p de H et k un élément d’ordre q de K alors (h , k )
est un élément d’ordre ppcm(p,q ) de H ×K .
b) On suppose H et K cyclique. Montrer que le groupe produit H ×K est cyclique ssi les ordres
de H et K sont premiers entre eux.
Anneaux
Exercice 13 Soit f : ℂ → ℂ un endomorphisme de l’anneau (ℂ, +,×) tel que ∀x ∈ ℝ , f (x ) = x .
Montrer que f est l’identité ou la conjugaison complexe.
Exercice 14 Soit a un élément d’un ensemble X .
Montrer l’application Ea : F (X , ℝ ) → ℝ définie par Ea ( f ) = f (a ) est un morphisme d’anneaux.
Exercice 15 Soit d ∈ ℕ . On note Ad = {(x , y ) ∈ ℤ 2 / x = y [d ]} pour d ∈ ℕ∗ et A0 = ℤ 2 .
a) Montrer que Ad est un sous anneau (ℤ 2 , +,×) .
b) Inversement, soit A un sous anneau de (ℤ 2 , +,×) .
Montrer que H = {x ∈ ℤ /(x ,0) ∈ A} est un sous groupe de (ℤ, +) .
c) En déduire qu’il existe d ∈ ℕ tel que H = d ℤ et A = Ad .
Corps
Exercice 16 Soit A un anneau intègre fini. Montrer que A est un corps.
On pourra introduire l’application x ֏ ax pour a ∈ A,a ≠ 0 .
Exercice 17 Soit K un corps fini commutatif. Calculer
∏x .
x ∈K∗
Exercice 18 Soit F un sous corps de (ℚ, +,×) . Montrer que F = ℚ .
Exercice 19 Soient K , L deux corps et f un morphisme d’anneaux entre K et L .
a) Montrer que ∀x ∈ K \ {0} , f (x ) est inversible et déterminer f (x )−1 .
b) En déduire que tout morphisme de corps est injectif.
p
Exercice 20 a) Montrer que si p est premier alors p divise les coefficients binomiaux pour tout
k
k ∈ {1,…, p −1} .
b) En déduit que si K est un corps de caractéristique p ≠ 0 alors ∀a ,b ∈ K,(a + b ) p = a p + b p .
Idéaux
Exercice 21 Quels sont les idéaux d’un corps K ?
p
Exercice 22 Soit D = n ; p ∈ ℤ, n ∈ ℕ l’ensemble des nombres décimaux, c’est évidemment un sous10
anneau de (ℚ, +,×) .
Montrer que les idéaux de D sont principaux (c’est-à-dire de la forme aD avec a ∈ D ).
Exercice 23 (Nilradical d’un anneau)
Soit A un anneau commutatif. On appelle nilradical de A l’ensemble N formé des éléments
nilpotents de A i.e. des x ∈ A tels qu’il existe n ∈ ℕ∗ pour lequel x n = 0 . Montrer que N est un
idéal de A .
Exercice 24 (Radical d’un idéal)
Soit I un idéal d’un anneau commutatif A . On note R(I ) l’ensemble des éléments x de A pour
lesquels il existe un entier n non nul tel que x n ∈ I .
a) Montrer que R(I ) est un idéal de A contenant I .
b) On suppose que A = ℤ . Montrer que l’ensemble des entiers n non nuls tels que R (n ℤ) = n ℤ
est exactement l’ensemble des entiers sans facteur carré.
Exercice 25 Soient A un anneau commutatif et e un élément idempotent de A (i.e. e 2 = e ).
a) Montrer que J = {x ∈ A / xe = 0} est un idéal de A .
b) On note I = Ae l’idéal principal engendré par e . Déterminer I + J et I ∩ J .
c) Etablir que pour tout idéal K de A : (K ∩ I ) + (K ∩ J ) = K .
Exercice 26 Soit p un nombre premier. On note Z p l’ensemble des a b où (a ,b ) ∈ ℤ × ℕ∗ et p ne divise pas
b . On note J p l’ensemble des a b où (a ,b ) ∈ ℤ × ℕ∗ , p divise a et p ne divise pas b.
a) Montrer que Z p est un sous-anneau de ℚ .
b) Montrer que J p est un idéal de Z p et que tout idéal de Z p autre que Z p est inclus dans J p .
c) Déterminer les idéaux de Z p .
Exercice 27 (Idéaux premiers)
Un idéal I d’un anneau commutatif (A, +,×) est dit premier ssi :
∀x , y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I .
a) Donner un exemple d’idéal premier dans ℤ .
b) Soit P ∈ K[X ] un polynôme irréductible. Montrer que P .K[X ] est premier.
c) Soient J et K deux idéaux de A . Montrer que J ∩ K = I ⇒ (J = I ou K = I ) .
d) Soit (A, +,×) un anneau commutatif dont tout idéal est premier. Etablir que A est intègre puis
que A est un corps.
Exercice 28 ( ℤ est noethérien)
Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de ℤ est stationnaire.
Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de K [X ] ?.
Z/nZ
Exercice 29 Résoudre les équations suivantes :
a) 3x + 5 = 0 dans ℤ 10ℤ
b) x 2 = 1 dans ℤ 8ℤ
c) x 2 + 2x + 2 = 0 dans ℤ 5ℤ .
Exercice 30 Résoudre les systèmes suivants :
x ≡ 1 [6]
a)
x ≡ 2 [7 ]
3x ≡ 2 [5]
b)
5x ≡ 1 [6]
x + y ≡ 4 [11]
c)
xy ≡ 10 [11]
Exercice 31 (Petit théorème de Fermat)
Soit p un nombre premier. Montrer que ∀a ∈ (ℤ pℤ)∗ ,a p−1 = 1 .
Exercice 32 Soit p un nombre premier et k un entier premier avec p − 1 .
Montrer que l’application ϕ : ℤ pℤ → ℤ pℤ définie par ϕ(x ) = x k est bijective.
Exercice 33 Soit p un entier premier. Montrer que
∑
x k est égal à 0 ou −1 .
x ∈ℤ pℤ
Exercice 34 Déterminer les morphismes de groupes entre (ℤ n ℤ , +) et (ℤ m ℤ , +) .
Exercice 35 (Théorème de Wilson)
Soit p un nombre premier strictement supérieur à 2.
a) Quels sont les éléments de ℤ pℤ qui égaux à leurs inverses ?
b) En déduire que p | (p −1)!+ 1 .
c) Montrer que si n ≥ 2 est tel que n | (n −1)!+ 1 alors n est premier.
Exercice 36 Soit p un nombre premier supérieur à 3.
a) Quel est le nombre de carré dans ℤ pℤ ?
b) On suppose p = 1 [ 4] . En calculant de deux façons ( p − 1)! , justifier que −1 est un carré dans
ℤ pℤ .
c) On suppose p = 3 [ 4] . Montrer que −1 n’est pas un carré dans ℤ pℤ .
Indicatrice d’Euler
Exercice 37 Combien y a-t-il d’éléments inversibles dans ℤ 78ℤ ?
Exercice 38 Pour n ∈ ℕ∗ , on note ϕ (n ) le nombre d’éléments inversibles dans (ℤ n ℤ ,×) .
a) Calculer ϕ (p ) et ϕ (p α ) pour p premier et α ∈ ℤ .
b) Soient m et n premiers entre eux.
On considère l’application f : ℤ mn ℤ → ℤ n ℤ × ℤ m ℤ définie par f (x ) = (xˆ , xɶ) .
Montrer que f est bien définie et réalise un isomorphisme d’anneaux.
c) En déduire que ϕ (mn ) = ϕ (m )ϕ (n ) .
d) Exprimer ϕ (n ) selon la décomposition primaire de n .
Exercice 39 Pour n ∈ ℕ∗ , on note ϕ(n ) le nombre d’éléments inversibles dans (ℤ n ℤ ,×) .
Montrer que ∀a ∈ (ℤ n ℤ)∗ ,a ϕ (n ) = 1 .
Exercice 40 Pour n ∈ ℕ∗ , on note ϕ(n ) le nombre de générateurs de (ℤ n ℤ , +) .
a) Montrer que si H est un sous-groupe de (ℤ n ℤ , +) , il existe a divisant n vérifiant
H =< a > .
b) Observer que si d | n il existe un unique sous-groupe de (ℤ n ℤ , +) d’ordre d .
c) Justifier que si d | n le sous-groupe de (ℤ n ℤ , +) possède exactement ϕ (d ) élément d’ordre
d.
d) Montrer que ∀n ∈ ℕ ∗ , ∑ ϕ (d ) = n .
d |n
