METHODES D'ANALYSE NUMERIQUE ET PROGRAMMATION Pr. ABDOUN Farah Année universitaire : 2020/2021 Partie 2: Méthode des éléments finis 1. Rappel des notions de la Mécanique du Milieu Continue (MMC): Tenseur des Contraintes Tenseur des Déformations Lois de Comportement Contraintes-Déformations Equations d’équilibre 2 1. Introduction Objectifs: - Présenter la mécanique des milieux continus. - Appliquer le principe fondamental de la mécanique à tous types de domaines matériels. En particulier nous pourrons nous intéresser aussi bien à des domaines ayant des comportements de corps solide ou des comportements de fluide (liquide ou gaz). 3 1. Introduction: Continuité du domaine matériel étudié Hypothèse de continuité - Domaine d’étude : domaines matériels continus subissant des transformations continues : l'hypothèse de continuité. Continuité du domaine matériel étudié: - Les fonctions caractéristiques du domaine sont des fonctions continues au sens mathématique du terme. Ainsi, si on considère des grandeurs physiques telles que la masse volumique, la température, la pression, on doit pouvoir les représenter par des fonctions continues. - On peut constater qu'il existe des limites à notre étude. Ainsi nous ne pourrons pas étudier un milieu diphasique, de même pour un mélange eau-huile. Toutefois, il sera possible de mener à bien de telles études en considérant n domaines continus. De plus il est à noter que la continuité parfaite d'un domaine matériel n'existe pas. De fait la continuité du domaine matériel ne pourra qu'être une approximation. Il existe actuellement un processus dit d'homogénéisation qui permet de limiter les erreurs. 4 1. Introduction: Continuité de la transformation La transformation sera essentiellement caractérisée par la donnée d'un champ vectoriel appelé champ de déplacement. L'hypothèse de continuité de la transformation va se traduire par le fait que les fonctions scalaires du champ vectoriel doivent être des fonctions continues des variables d'espaces et de temps. De nouveau nous nous trouvons devant une limitation de notre étude. On peut facilement constater qu'il existe des transformations non continues. Ainsi les problèmes métallurgiques de dislocation, l'apparition du phénomène de cavitation dans les écoulements de domaine fluide et les fissurations font clairement apparaître des discontinuités de transformation. Ces cas particuliers pourront être traités en considérant la notion de continuité par sous-domaines. 5 1. Introduction: Référentiels - Repères Etude d'un domaine matériel: sa description + son repérage tout au long de son évolution au cours du temps. Le référentiel R est lié à l'observateur: représente l'ensemble des points animés du mouvement de corps rigide de l'observateur. Pour effectuer les repérages spatiaux des points matériels dans un référentiel R on utilise une base vectorielle associée à un point origine O. On obtient ainsi un repère R. Ce repère, animé du mouvement de corps rigide du référentiel R permet de matérialiser ce référentiel. Parallèlement, on peut imaginer un changement d'observateur, ce qui va se traduire par un changement de référentiel. On peut se représenter une telle transformation en associant à chacun des référentiels un repère. Les deux repères étant choisis de telle sorte qu'ils soient coïncidant à un instant donné, on examine leur évolution au cours du temps. Exemple: changement de référentiel (train) 6 1. Introduction: Elasticité linéaire Elasticité = Mécanique des corps solides déformables (par opposition à la mécanique du point ou des corps indéformables). Dans la mécanique, on étudie la réponse d'un corps solide à des forces ou moments appliqués. Forces ou moments (contraintes) qui s'exercent sur un corps fait d'un matériau donné, de forme donnée et de volume donné translation, rotation, déformation (changement de forme et de volume). La mécanique du point ou du solide indéformable étudie la translation et la rotation, l'élasticité s'intéresse exclusivement à la déformation . Dans ce cours : on s'intéresse à l'élasticité linéaire. 7 1. Introduction: Elasticité linéaire 8 1. Introduction: Elasticité linéaire Pourquoi étudier l'élasticité ? Stabilité et instabilité des structures mécaniques • Génie civil: Pour la construction de ponts, routes, structures en béton (immeubles ...) forme d'un profil, taille maximale d'un immeuble, ... , • Matériau: Fibres, tissus synthétiques, ... (peau (artificielle ?)) • Comprendre des phénomènes naturels (certains reliefs montagneux, mouvement rapide des végétaux, etc.). Conception: la géométrie est importante • Exemple des poutres profilées utilisées dans le bâtiment, • Exemple du caoutchouc = un élastomère prépare en tubes, en rubans, en fines pellicules (vernis, sols), en câbles, en tissus, ... 9 1.Introduction : Description Lagrangienne Considérons un repère orthonormé R(𝑂, 𝐸1 , 𝐸2 ,𝐸3 ) associé à un référentiel R. La cinématique classique d'un milieu continu est construite à partir des notions : • de temps, pouvant être représentée par une variable réelle t déterminée par deux valeurs extrêmes. • d'espace physique, pouvant être représenté par un espace affine de dimension 3. Les points de cet espace sont appelés "points matériels". • Dans le repère R, à un instant t =0, le point M0 a des coordonnées X1,X2,X3 qui définissent la position du point matériel M. On appelle aussi ce système de coordonnées le système de coordonnées matérielles dans la configuration de référence C0. Nous pourrons ainsi écrire : 𝑶𝑴𝟎 = 𝑿𝟏 𝑬𝟏 + 𝑿𝟐 𝑬𝟐 +𝑿𝟑 𝑬𝟑 = 𝑿 10 1.Introduction : Description Lagrangienne Pour décrire le mouvement du domaine, il convient donc de se donner la loi d'évolution au cours du temps des positions de l'ensemble des particules matérielles constituant le domaine. On obtient donc la configuration actuelle Ct. Ainsi il est nécessaire de définir les coordonnées x1,x2,x3 du point Mt qui à l'instant t représente la position du point matériel M: 𝑶𝑴𝒕 = 𝒙𝟏 𝑬𝟏 + 𝒙𝟐 𝑬𝟐 +𝒙𝟑 𝑬𝟑 = 𝒙 Ce qui revient à dire qu'il faut se donner les fonctions scalaires suivantes: 𝒙𝒊 = 𝜱𝒊 (𝑿𝒋 , 𝒕) Dans cette description, les variables indépendantes X1,X2,X3 et t sont dites "variables ou coordonnées de Lagrange". Les fonctions 𝜱𝒊 représentent la description lagrangienne du mouvement de notre domaine par rapport au référentiel R. Connaissant la position à chaque instant du point matériel M il est possible de définir alors sa vitesse et son accélération vis à vis du référentiel R. vecteur vitesse : 𝑉(𝑀, 𝑡) = 𝑑𝑂𝑀𝑡 𝑑𝑡 Dans une base cartésienne orthonormée, ses composantes sont 𝑣𝑖 = 11 𝑑Φ𝑖 (𝑋𝑗 , 𝑡) 𝑑𝑡 1.Introduction : Description Lagrangienne 𝑑 Dans cette dernière formule, le symbole représente la dérivation partielle par 𝑑𝑡 rapport au temps, c'est à dire la dérivation en considérant les variables de position Xj indépendantes du temps. Vecteur acceleration: 𝜸(𝑴, 𝒕) = 𝒅𝟐 𝑶𝑴𝒕 𝒅𝒕𝟐 Dans une base cartésienne orthonormée, ses composantes sont: 𝒅𝟐 𝝓𝒊 𝜸𝒊 = (𝑿𝒋 , 𝒕) 𝒅𝒕𝟐 12 2. Déformation 2.1 Tenseur gradient du champs de déplacement: - la notion de déplacement la notion de déformation, il existe des champs vectoriels de déplacement qui ne créent aucune déformation. Pour matérialiser la déformation, on étudie la transformation d'un vecteur "matériel", c'est à dire d'un vecteur ayant origine et extrémité confondus avec des points matériels. Toutefois on conçoit bien que l'état de déformation n'étant généralement pas homogène dans la matière, il faille utiliser des points matériels infiniment voisins afin de bien caractériser la déformation au voisinage d'un élément matériel. Nous sommes ainsi amenés à considérer la transformation d’un vecteur infiniment petit 𝒅𝑿 → 𝒅𝒙 13 Rappel Soit f(x,y,z) une fonction continue et dérivable. Le vecteur gradient de la fonction scalaire f(x,y,z) est le vecteur noté 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 et défini de la façon suivante: 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 = 𝝏𝒇 𝒊 𝝏𝒙 𝝏𝒇 𝝏𝒇 + 𝒋+ 𝒌 𝝏𝒚 𝝏𝒛 Il est commode d’introduire l’opérateur différentiel ∇ (nabla) défini par: 𝛻 = 𝝏 𝒊 𝝏𝒙 + 𝝏 𝝏 𝒋+ 𝒌 𝝏𝒚 𝝏𝒛 = 𝝏 𝝏𝒙 𝝏 𝝏𝒚 𝝏 𝝏𝒛 Ceci permet d’écrire le gradient d’une fonction scalaire f(x,y,z), sous la forme suivante:𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇= 𝛻𝑓 14 2. Déformation D'autre part, nous avons les relations suivantes : 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 (𝑋𝑗 ,t) , 𝑋𝑖 = 𝑋𝑖 (𝑥𝑗 ,t) Sous forme différentielle nous obtenons : d𝑥𝑖 = 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑋𝑗 , 𝑑𝑋𝑗 d𝑋𝑖 = 𝑑𝑋𝑖 𝑑𝑥𝑗 𝑑𝑥𝑗 Ces relations nous permettent de mettre en évidence les composantes d'un tenseur 𝑑𝑥 déterminé par : d𝑥𝑖 = 𝐹𝑖𝑗 𝑑𝑋𝑗 avec 𝐹𝑖𝑗 = 𝑖 𝑑𝑋𝑗 On a donc: 𝑑𝑥 = 𝐹𝑑𝑋 𝑒𝑡 Avec 𝐹=𝑔𝑟𝑎𝑑𝑥 = 𝑑𝑥1 𝑑𝑋1 𝑑𝑥2 𝑑𝑋1 𝑑𝑥3 𝑑𝑋1 𝑑𝑋 = 𝐹 −1 𝑑𝑥 𝑑𝑥1 𝑑𝑋2 𝑑𝑥2 𝑑𝑋2 𝑑𝑥3 𝑑𝑋2 𝑑𝑥1 𝑑𝑋3 𝑑𝑥2 𝑑𝑋3 𝑑𝑥3 𝑑𝑋3 (𝐸1 ,𝐸2 ,𝐸3 ) Le tenseur 𝑭 qui apparaît est appelé "tenseur gradient" ou encore "application linéaire tangente". Il permet de caractériser les différentes transformations. 15 2. Déformation Les composantes de ce tenseur peuvent être calculées à partir du champ de déplacement en différenciant la relation suivante : 𝑢 𝑋𝑗 , 𝑡 = 𝑀𝑚 = 𝑀𝑂 + 𝑂𝑚 = 𝑂𝑀𝑡 − 𝑂𝑀0 = 𝑥 − 𝑋 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑥 − 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑋 , 𝐹=𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑥 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢= 𝑑𝑢1 𝑑𝑋1 𝑑𝑢2 𝑑𝑋1 𝑑𝑢3 𝑑𝑋1 𝑑𝑢1 𝑑𝑋2 𝑑𝑢2 𝑑𝑋2 𝑑𝑢3 𝑑𝑋2 On a donc : 𝐹𝑖𝑗 = 𝑑𝑢1 𝑑𝑋3 𝑑𝑢2 𝑑𝑋3 𝑑𝑢3 𝑑𝑋3 𝑑𝑥𝑖 =𝛿𝑖𝑗 𝑑𝑋𝑗 , 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑋= + 𝑑𝑋1 𝑑𝑋1 𝑑𝑋2 𝑑𝑋1 𝑑𝑋3 𝑑𝑋1 𝑑𝑋1 𝑑𝑋2 𝑑𝑋2 𝑑𝑋2 𝑑𝑋3 𝑑𝑋2 𝑑𝑢𝑖 𝑑𝑋𝑗 → 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑥=𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑋+𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 → 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢=𝐹-𝐼 C’est le tenseur gradient du champs de déplacement 16 𝑑𝑋1 𝑑𝑋3 𝑑𝑋2 𝑑𝑋3 𝑑𝑋3 𝑑𝑋3 =𝐼 2. Déformation Application1: On considère une déformation homogène triaxiale définie par les relations suivantes : Déterminer alors les composantes du tenseur de déplacement, dans la base orthonormée directe (𝐸1 , 𝐸2 ,𝐸3 ) 17 Exemple 1 tenseur gradient𝐹=𝑔𝑟𝑎𝑑𝑥 = 𝑑𝑥1 𝑑𝑋1 𝑑𝑥2 𝑑𝑋1 𝑑𝑥3 𝑑𝑋1 𝑑𝑥1 𝑑𝑋2 𝑑𝑥2 𝑑𝑋2 𝑑𝑥3 𝑑𝑋2 𝑑𝑥1 𝑑𝑋3 𝑑𝑥2 𝑑𝑋3 𝑑𝑥3 𝑑𝑋3 1 2 0 = 0 1 0 0 0 1 0 tenseur gradient du champs de déplacement: 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢=𝐹-𝐼 = 0 0 18 2 0 0 0 0 0 2. Déformation Application 2: On considère une déformation homogène triaxiale définie par les relations suivantes : Déterminer alors les composantes du tenseur de déplacement, dans la base orthonormée directe (𝐸1 , 𝐸2 ,𝐸3 ) 19 2. Déformation 20 2. Déformation: Tenseur des dilatations 2.2 tenseur des dilatations Considérons en M0 deux vecteurs infiniment petits 𝑑𝑥0 et 𝑑𝑥0 ′. Ces vecteurs deviennent 𝑑𝑥 et 𝑑𝑥′ dans la configuration Ct : Le produit scalaire des deux vecteurs 𝑑𝑥 et 𝑑𝑥′ s’écrit : (𝒈𝒓𝒂𝒅𝒖=𝑳=𝑭-𝑰 ) Ou: [C] est le tenseur des dilatations. 21 2. Déformation: Transformation de Green-Lagrange: 2.3 Tenseur gradient du champs de déformation: Soit ds0 la longueur du vecteur 𝑑𝑥0 et ds celle du vecteur 𝑑𝑥; la différence ds2−𝑑𝑠02 s’ecrit : dx' dX' dx dX u 22 2. Déformation: Transformation de Green-Lagrange: On a: Avec: Donc: 𝑈𝑖,𝑗 𝑑𝑢𝑖 = 𝑑𝑋𝑗 C’est le tenseur de déformation de GREEN-LAGRANGE 23 2. Déformation: Transformation de Green-Lagrange: Application 3: 𝑈𝑖,𝑗 24 𝑑𝑢𝑖 = 𝑑𝑋𝑗 2. Déformation: Linéarisation du tenseur de déformation: Dans le cadre de l’Hypothèse Petites Perturbations (H.P.P) 25 2. Déformation: Linéarisation du tenseur de déformation: Dans le cadre de l’Hypothèse Peties Perturbations (H.P.P) 𝑈𝑖,𝑗 1 ∈=2 𝑑𝑢1 𝑑𝑋1 𝑑𝑢2 𝑑𝑋1 𝑑𝑢3 𝑑𝑋1 𝑑𝑢1 𝑑𝑋2 𝑑𝑢2 𝑑𝑋2 𝑑𝑢3 𝑑𝑋2 𝑑𝑢1 𝑑𝑋3 𝑑𝑢2 𝑑𝑋3 𝑑𝑢3 𝑑𝑋3 + 26 𝑑𝑢1 𝑑𝑋1 𝑑𝑢1 𝑑𝑋2 𝑑𝑢1 𝑑𝑋3 𝑑𝑢2 𝑑𝑋1 𝑑𝑢2 𝑑𝑋2 𝑑𝑢2 𝑑𝑋3 𝑑𝑢3 𝑑𝑋1 𝑑𝑢3 𝑑𝑋2 𝑑𝑢3 𝑑𝑋3 𝑑𝑢𝑖 = 𝑑𝑋𝑗 2. Déformation: 27 Rappel 28 2. Déformation: Comme tout tenseur du second ordre, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢=𝐹-𝐼 peut se décomposer en une partie symétrique (notée 𝜀 ) et une partie antisymétrique (notée 𝜔 ), qui ont toutes les deux une signification physique importante. Les relations sont les suivantes : T T 1 1 GradU (GradU ) , GradU (GradU ) 2 2 T GradU , (GradU ) 1 u1, 2 u2,1 0 2 1 u1, 2 u2,1 0 2 1 1 u2,3 u3, 2 u u 1, 3 3,1 2 2 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑈= 𝑑𝑢1 𝑑𝑋1 𝑑𝑢2 𝑑𝑋1 𝑑𝑢3 𝑑𝑋1 𝑑𝑢1 𝑑𝑋2 𝑑𝑢2 𝑑𝑋2 𝑑𝑢3 𝑑𝑋2 𝑑𝑢1 𝑑𝑋3 𝑑𝑢2 𝑑𝑋3 𝑑𝑢3 𝑑𝑋3 1 u1,3 u3,1 2 1 u2,3 u3, 2 2 0 𝒅𝒖𝟏 𝒅𝑿𝟏 𝑶𝒏 𝒂: ∈= 29 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒅𝒖𝟏 𝒅𝑿𝟐 𝒅𝒖𝟏 𝒅𝑿𝟑 + + 𝒅𝒖𝟐 𝒅𝑿𝟏 𝒅𝒖𝟑 𝒅𝑿𝟏 𝟏 𝒅𝒖𝟏 + 𝟐 𝒅𝑿𝟐 𝒅𝒖𝟐 𝒅𝑿𝟐 𝟏 𝒅𝒖𝟐 + 𝟐 𝒅𝑿𝟑 𝒅𝒖𝟐 𝒅𝑿𝟏 𝒅𝒖𝟑 𝒅𝑿𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒅𝒖𝟏 + 𝒅𝑿𝟑 𝒅𝒖𝟐 + 𝒅𝑿𝟑 𝒅𝒖𝟑 𝒅𝑿𝟑 𝒅𝒖𝟑 𝒅𝑿𝟏 𝒅𝒖𝟑 𝒅𝑿𝟐 2- Champs de déformation Champs de déplacement: dx dX F dX dX gradU dX GradU dx dX dX dX Un tenseur antisymétrique est équivalent à un produit vectoriel 30 2. Déformation: Dans un solide déformable, dans l'hypothèse HPP, le champ de déplacement résulte ainsi de la combinaison (par sommation) de : • une translation locale ; • une rotation locale ; • un champ de déplacement générant la déformation pure. 31 Caractérisation de l’état de déformation dans un domaine On peut alors définir l'allongement (ou la dilatation linéaire) au point M0 dans la direction 𝑵 (par exemple 𝜺𝒙 , 𝜺𝒚 … . . ) dxdX M 0; N dX De même, on peut définir le glissement (ou la distorsion angulaire) au point M0 dans les directions initialement perpendiculaires dans les directions initialement perpendiculaires 𝑁 et M M 0 ; N ,M ( n , m) 2 Enfin, il est possible d'obtenir la dilatation volumique ou variation relative de volume : dvdV dV 32 2- Champs de déformation : Analyse des composantes du torseur de déformation: a- Élongation 𝒆 𝒅𝒙 = 𝒅𝒙′ 𝒅𝑿 = 𝒅𝑿′ t t allongement relatif dans la direction 𝑒 t 𝒅𝒖𝟏 𝒅𝑿𝟏 ∈= 33 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒅𝒖𝟏 𝒅𝑿𝟐 𝒅𝒖𝟏 𝒅𝑿𝟑 + + 𝒅𝒖𝟐 𝒅𝑿𝟏 𝒅𝒖𝟑 𝒅𝑿𝟏 𝟏 𝒅𝒖𝟏 + 𝟐 𝒅𝑿𝟐 𝒅𝒖𝟐 𝒅𝑿𝟐 𝟏 𝒅𝒖𝟐 + 𝟐 𝒅𝑿𝟑 𝒅𝒖𝟐 𝒅𝑿𝟏 𝒅𝒖𝟑 𝒅𝑿𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒅𝒖𝟏 + 𝒅𝑿𝟑 𝒅𝒖𝟐 + 𝒅𝑿𝟑 𝒅𝒖𝟑 𝒅𝑿𝟑 𝒅𝒖𝟑 𝒅𝑿𝟏 𝒅𝒖𝟑 𝒅𝑿𝟐 2- Champs de déformation : Analyse des composantes du torseur de déformation: de façon générale représente l'élongation dans la direction du vecteur unitaire 𝑒 34 2- Champs de déformation: Analyse des composantes du torseur de déformation: b- Distorsion ou glissement d’angle droit bâti sur deux vecteur (unitaires) : t 𝑵 → 𝒏 et 𝑴 → 𝒎 HPP→ 𝜖𝑁 ≪ 1 et 𝜖𝑀 ≪ 1 𝑛. 𝑚 = 𝑛 𝑚 cos(𝑛. 𝑚) (n , m) M 0 ; N ,M 2 t 35 Rappel 36 2- Champs de déformation Invariants du tenseur des déformations 37 2- Champs de déformation Invariants du tenseur des déformations 38 2- Champs de déformation : Valeurs propres et base principale de 𝜺 Comme tout tenseur symétrique, le tenseur de déformations 𝜺 peut être exprimé dans une base orthonormée particulière, dite base principale ou base propre, dans laquelle sa matrice sera diagonale. Dans ce cas, les trois termes diagonaux de la matrice de 𝜺 seront appelés valeurs propres, et notées 𝜖𝟏 , 𝜖𝟐 e𝐭 𝜖𝟑 . On les appelle généralement déformations principales, et elles sont valables en un point M et à un instant t donné (tout comme le tenseur 𝜺). Cette matrice peut alors s’écrire : 𝜖𝟏 𝜺= 𝟎 𝟎 39 𝟎 𝜖𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝜖𝟑 2- Champs de déformation : Valeurs propres et base principale de 𝜺 La base principale est formée de trois vecteurs propres 𝑒1 , 𝑒2 et 𝑒3 , orthogonaux deux à deux, et qui correspondent chacun à une des trois valeurs propres. La matrice représentant l'état de déformation linéarisé étant une matrice réelle symétrique, on peut définir ses directions principales (vecteurs propres) et les valeurs des déformations principales (valeurs propres). 40 2- Champs de déformation : Valeurs propres et base principale de 𝜺 D’un point de vue mathématique, la recherche d’une direction principale et d’une valeur principale revient à résoudre le système d’équations suivant : • pour determiner les déformations principales: 0 𝑑𝑒𝑡 𝜺 − 𝜆𝑰 = • pour determiner les directions principales: 𝜖 − 𝜖𝑘 𝐼 𝑒𝑘 = 0 ∶ 𝜖𝑘 deformatins principales Avec: 1. 𝑒𝑘 =1 2. 𝜖𝟏 > 𝜖𝟐 > 𝜖𝟑 3. (𝑒1 , 𝑒2 ,𝑒3 ) forme un trièdre direct 41 2- deformations: Représentation graphique d'un état de déformation On considère un état local de déformation, initialement caractérisé par le tenseur 𝜀 exprimé dans son repère principal par : Plus précisément, on restreint l'étude aux déformations (élongations et distorsions) survenant dans le plan particulier formé par les vecteur 𝑒𝐼 et 𝑒𝐼𝐼 . • L'élongation dans la direction 𝑒𝐼 vaut 𝜀𝐼 • L'élongation dans la direction 𝑒𝐼𝐼 vaut 𝜀𝐼𝐼 • la distorsion 𝛾𝐼,𝐼𝐼 de l'angle est nulle (𝑒𝐼 et 𝑒𝐼𝐼 sont directions principales ). Qu'en est-il des élongations et distorsions selon les autres directions de ce plan?? 42 2- deformations: Représentation graphique d'un état de déformation Cercle de Mohr des déformations L'étude porte sur l'état de déformation, dans un plan, en un point M donné. On ne s'intéresse pas ici aux variations des déformations lorsque le point M change de position. On considère le dièdre de centre M formé par les vecteurs unitaires 𝑛 𝑒𝑡 𝑡 dans la base des vecteurs principaux 𝑒𝐼 et 𝑒𝐼𝐼 et tels que 𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒𝐼 + sinθ𝑒𝐼𝐼 et 𝑡 = −𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝐼 + 𝑐𝑜𝑠θ𝑒𝐼𝐼 orthogonaux entre eux. Il est alors possible de calculer le vecteur déformation dans la direction 𝒏 en appliquant le tenseur 𝜀 au vecteur 𝑛 , ainsi : 43 2- deformations: Représentation graphique d'un état de déformation En projetant le vecteur 𝜀 𝑛 selon 𝑛 puis selon 𝑡, on obtient respectivement l'élongation dans la direction 𝑛 et la demi-distorsion de l'angle 𝑛, 𝑡; 𝑡 ∈= 𝑛 𝜀𝑛= 𝑐 𝑠 0 𝑡 𝛾𝐼,𝐼𝐼 = 2 𝑛 𝜀 𝑡=2 𝑐 𝑠 0 ∈𝐼 0 0 0 ∈𝐼𝐼 0 0 0 ∈𝐼𝐼𝐼 ∈𝐼 0 0 0 ∈𝐼𝐼 0 0 0 ∈𝐼𝐼𝐼 𝐶 𝑆 0 −𝑠 𝑐 0 𝛾 𝜀 𝑛 =∈ 𝑛 + 𝑡 2 I ntroduisons l'angle double 𝜃 , il vient : ∈ (𝑛) = ∈= ∈𝐼 +∈𝐼𝐼 ∈𝐼 −∈𝐼𝐼 + 2 2 𝛾 ∈𝐼 −∈𝐼𝐼 = 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑐𝑜𝑠 −2𝜃 −2𝜃 Dans le plan 𝑒𝐼 , 𝑒𝐼𝐼 l'état de déformation autour du point M est donc caractérisé par un 1 vecteur déformation 𝜀 𝑛 dont les composantes 𝜖 , 2 𝛾 dépendent de l'orientation 𝜃 . 44 2- deformations: Représentation graphique d'un état de déformation Ces composantes peuvent être reportées dans un plan (appelé plan de Mohr), dans lequel le point figuratif du vecteur déformation associé à un dièdre donné d'orientation décrit un cercle lorsque varie de 0 à . Cette transformation présente la caractéristique suivante : 45 REPRESENTATION DES DEFORMATIONS 46 1. Introduction Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ? CONTRAINTES 47 1. introduction: Postulat de Cauchy 48 1. Introduction: Contrainte - Répartition Homogène T F F F T S Le Vecteur Contrainte T Force par unité de Surface [Pa=N/m2] est indépendant du point dans la section S 49 F 2. Vecteur de contraintes Vecteur contrainte et tenseur des contraintes Le vecteur contrainte caractérise les efforts de contact exercés à travers un élément de surface dS de normale 𝑛 sur une partie D du milieu continu. le vecteur contrainte est défini par il s’agit des efforts exercés sur D par le reste du milieu continu (point M1 – effort intérieur pour le solide Ω ) ou bien par l’extérieur (point M2 – effort extérieur pour Ω ). 50 2. vecteur des contraintes Par convention, on choisit pour 𝑛 la normale extérieure au domaine D sur lequel s’applique 𝑇 . Les contraintes sont donc mesurées par rapport à cette pression atmosphérique. Ainsi, si le solide est en contact avec un fluide à la pression p : La pression atmosphérique est d’ailleurs en général négligeable par rapport aux contraintes que l’on rencontre. 51 1. Introduction: Répartition non Homogène F F T ( M )dS T M S Le Vecteur Contrainte T dépend du point M dans la section S 52 F 2. contrainte : Vecteur Contrainte , État local F T F M F T ( M , n )dS S F F M T dépend : - du point M dans la section S - de l’orientation n de la section S 53 2. contrainte : Vecteur Contrainte: Composantes normales et tangentielles du vecteur contrainte: Le vecteur contrainte défini précédemment peut être décomposé suivant la normale à la facette 𝑛 et sur le plan tangent à la facette au point M. T ( M , n ) n T (M , n) 2 2 2 • σ est la contrainte normale et traduit une densité d’effort de compression ou de traction au point M. σ est une valeur algébrique positive dans le cas d’une contrainte de traction et négative dans le cas d’une contrainte de compression. • Τ traduit les contraintes tangentielles ou de cisaillement dans différentes directions du plan tangent en M à la facette. 54 2. Vecteur des contraintes Le vecteur contrainte est associé à un élément de surface de normale extérieure 𝑛 on parle en général d’une facette. Pour connaître l’état de contrainte en un point donné, il faut connaître les vecteurs contraintes associés à toutes les facettes, c’est-à-dire à tout vecteur unitaire 𝑛. Ce qui permet de montrer que 𝑇 dépend linéairement de 𝑛. Il existe donc une application linéaire, le tenseur des contraintes, faisant passer de 𝑛 à 𝑇. Remarque: Le vecteur contrainte est homogène à un effort par unité de surface ou une pression, il s'exprime en Pascals. 55 3. Tenseur des contraintes Le tenseur des contraintes est donc une application linéaire de l’espace vectoriel à trois dimensions E3 dans lui-même. Si l’on choisit une base orthonormée (𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 , 𝒆𝟑 ), cette application linéaire est représentée par une matrice d’éléments σij (i, j = 1, 2, 3)(i: direction et j: normal) 𝒆𝟏 56 3. Tenseur des contraintes L'action de (1) sur dS est 𝑑𝑇 𝑛, 𝑥, 𝑡 et l'action de (2) sur dS est 𝑑𝑇(−𝑛, 𝑥, 𝑡). L'équilibre de dS implique que : 57 Forces Externes : Équilibre Mécanique F F Équilibre des Forces F 0 Équilibre des Moments M 0 58 3. Equilibre dynamique d'un domaine solide Pour écrire les équations de la dynamique, il convient d'isoler un domaine matériel et de lui appliquer le principe fondamental de la dynamique. D'un coté de l'égalité nous trouvons le torseur résultant des efforts extérieurs. Celui-ci est la somme de deux torseurs : 59 3. Equilibre dynamique d'un domaine solide Le domaine d'intégration du deuxième torseur est 𝜕D, c'est la surface contour délimitant notre domaine matériel D. C'est donc une surface fermée. De l'autre coté de l'égalité nous avons la dérivée par rapport au temps du torseur cinétique galiléen de notre domaine 60 3. Equilibre dynamique d'un domaine solide Le calcul de cette dérivée est compliqué par le fait que le domaine d'intégration est fonction du temps en variable d'Euler. Toutefois en variables de Lagrange nous obtenons le torseur dynamique : Le Principe Fondamental de la Mécanique nous donne alors deux égalités vectorielles : 61 3. Equilibre dynamique d'un domaine solide Présenté sous cette forme, le Principe Fondamental de la Mécanique apparaît bien comme une loi de bilan. Ainsi, dans cette égalité nous nous retrouvons avec deux torseurs ayant D comme domaine d'intégration et avec le torseur des efforts intérieurs ayant 𝜕D comme domaine d'intégration. En utilisant le théorème de la divergence, il est possible de redéfinir D comme domaine d'intégration du torseur des efforts intérieurs. L'équation de résultante devient alors : On peut en déduire la relation suivante ( ρ masse volumique du domaine matériel au point considéré ) 62 3. Equilibre dynamique d'un domaine solide 63 4. Quelques propriétés du tenseur des contraintes Symétrie du tenseur des contraintes Pour assurer l’équilibre des moments dans le solide occupant le domaine D, le tenseur des contraintes [σ(M)] doit être symétrique : σij =σji 64 4. Quelques propriétés du tenseur des contraintes Directions principales, contraintes principales La matrice représentant le tenseur des contraintes est symétrique, elle est donc diagonalisable. Les valeurs propres sont réelles et appelées contraintes principales (𝜎𝐼 , 𝜎𝐼𝐼 , 𝜎𝐼𝐼𝐼 ). Les vecteurs propres, orthogonaux deux à deux, sont les directions principales, avec: 𝜎𝟏 𝝈= 𝟎 𝟎 𝟎 𝝈𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝜎𝟑 (𝑒𝐼 ,𝑒𝐼𝐼 ,𝑒𝐼𝐼𝐼 ) • pour determiner les contraintes principales:𝑑𝑒𝑡 𝝈 − 𝜆𝑰 = 0 et 𝜎𝟏 > 𝜎𝟐 >𝜎𝟑 • pour determiner les directions principales: 𝜎 − 𝜎𝑘 𝐼 𝑒𝑘 = 0 ∶ 𝜎𝑘 contrainte principales 65 4. Quelques propriétés du tenseur des contraintes Invariants Le tenseur des contraintes possède trois invariants définis mathématiquement comme les coefficients de l'équation caractéristique 𝑑𝑒𝑡 𝝈 − 𝜆𝑰 . C'est à dire les quantité scalaires: 66 5. Cercle de Mohr dans le cas de l’état plan des contraintes La méthode du cercle de Mohr est une représentation graphique d'usage pratique dans la manipulation du tenseur de Cauchy. Cette représentation s'effectue dans le plan de Mohr (O,Tn,Tt) . L'axe horizontal de ce repère représente la composante normale d'un vecteur contrainte, et l'axe vertical représente la composante tangentielle. Chaque point représenté dans ce plan est donc l'extrémité d'un vecteur contrainte potentiel avec une composante normale et une composante de cisaillement : On se propose de chercher, dans un tel repère, les lieux licites d'existence de cette extrémité, c'est-à-dire le domaine de variation de l'extrémité T du vecteur 𝑂𝑇 = 𝑇(𝑛) quand 𝑛 varie. Par calcul tensoriel, on peut écrire dans la base principale ( 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ) de 𝜎 67 5. Cercle de Mohr dans le cas de l’état plan des contraintes On suppose connu au point M l’état des contraintes dans le repère principal (𝑀, 𝑒𝐼 , 𝑒𝐼𝐼 , 𝑒𝐼𝐼𝐼 ) 𝜎𝑰 𝟎 𝟎 𝟎 𝝈 = 𝟎 𝝈𝑰𝑰 𝟎 𝟎 𝝈𝑰𝑰𝑰 Si on se donne la convention d’ordonner les contraintes principales selon une décroissance, on a : 68 5. Cercle de Mohr dans le cas de l’état plan des contraintes Comme 𝑛 est unitaire, on a : On peut écrire ensuite que Projection de 𝑇(𝑛) sur 𝑛 Enfin, comme Pythagore), on a (théorème de 69 5. Cercle de Mohr dans le cas de l’état plan des contraintes On a donc un système linéaire de trois équations à trois inconnues, qui sont 𝑛12 , 𝑛22 et 𝑛32 et dont la solution est : 70 5. Cercle de Mohr dans le cas de l’état plan des contraintes Ces trois relations nous permettent de situer l'extrémité du vecteur 𝑂𝑇 = 𝑇(𝑛) dans le plan de Mohr, car elles définissent trois équations de cercles. Ce qui permet de définir la contrainte de cisaillement maximal 71 5. Cercle de Mohr dans le cas de l’état plan des contraintes 72 73 III- élasticité linéaire La théorie de l'élasticité est un champ particulier d'étude des matériaux solides dans lequel on considère que les contraintes et les déformations sont liées par une relation linéaire . Cela induit deux conséquences : • les effets (déformations) sont proportionnels aux causes (contraintes); si l'on considère une sollicitation mono axiale, cela revient à écrire: 𝝈 = 𝑬. 𝜺 • Cette proportionnalité est d'ailleurs transposable aux autres réponses du solide (ou d'une structure composée de solides élastiques) et notamment les déplacements qui deviennent proportionnels ou plus exactement linéairement dépendants des efforts appliqués. les déformations sont réversibles. Lorsque la cause cesse, les déformations s'annulent. En pratique, les matériaux de construction suivent des lois de comportement ou lois constitutives très variées et souvent complexes. 74 1. Loi de Comportement pour les solides élastiques Pour déterminer l'évolution d'un système déformable, après qu’on a déterminé les tenseurs de déformations et de contraintes , il est maintenant nécessaire d'adjoindre une relation supplémentaire reliant les efforts internes et les déformations . Cette relation, appelée Loi de Comportement, dépend du matériau considéré. La construction d'une loi de comportement est basée sur des observations expérimentales. 75 1.1 Approche expérimentale: essai de traction Pour effectuer un essai de traction simple sur un métal, on utilise une éprouvette cylindrique caractérisée par: - des extrémités surdimensionnées - des congés de raccordement (pour éviter les concentrations de contrainte) - une partie médiane cylindrique dans laquelle le champ de contrainte est supposé homogène, de traction simple parallèlement à l'axe de l'éprouvette. L'essai de traction consiste à enregistrer l'évolution de l'allongement relatif de la longueur initiale L0 en fonction de la force de traction F, ou du rapport F/S0, où S0 représente l'aire initiale de la section de l'éprouvette. 76 1.1 Approche expérimentale: essai de traction La figure ci-contre représente un tel enregistrement pour un acier inox. On remarque alors les propriétés suivantes: - Le diagramme est indépendant de la vitesse de chargement - La partie OA du diagramme est réversible. Si on charge jusqu'à un niveau inférieur à 0, alors la décharge décrit la même courbe OA. - La partie réversible est linéaire - Si on effectue un chargement au delà du seuil 0, puis une décharge, l'éprouvette présente une déformation permanente. - La partie réversible du diagramme de traction est, par définition, représentative du comportement élastique du matériau. 0 est la limite initiale d'élasticité du A matériau. La linéarité du segment OA caractérise le comportement élastique linéaire du matériau. O 77 1.1 Approche expérimentale: essai de traction 78 1.1 Approche expérimentale: essai de traction 79 Loi de Hooke 3D 80 1.2 Essai de torsion 81 2. Loi de comportement élastique linéaire (en HPP) Forme générale A partir des observations expérimentales, on peut écrire que les contraintes dépendent linéairement des déformations. En l'absence d'effets thermique et de contraintes initiales on a: 𝐶: est un tenseur du quatrième ordre, dont les composantes sont les coefficients d'élasticité du matériau. En utilisant les propriétés des tenseurs de contrainte et de déformation, on peut montrer que: 82 2. Loi de comportement élastique linéaire (en HPP) Ceci permet de faire apparaître un tenseur d'ordre 4 faisant le lien entre 𝜎 et 𝜀. Le plus souvent, pour simplifier les notations et tenir compte des symétries de ces deux tenseurs: Pour éviter de faire intervenir un tenseur d'ordre 4, on a rassemblé les termes des et dans des vecteur colonnes, et on obtient une matrice à 36 coefficients (ce qui est logique puisqu'on a 6 composantes indépendantes pour chaque tenseur du fait des symétries) qui permet de faire le lien entre ces composantes dans une base donnée. En réalité, pour des raisons de symétrie, seuls 21 de ces coefficients sont indépendants. 83 3. Matériau élastique homogène isotrope Toutes les directions sont équivalentes, de telle sorte que la loi de comportement est invariante dans toute rotation de la configuration de référence. Ce modèle s'applique à la plupart des matériaux: acier, béton, ... Si la configuration est libre de contraintes, alors la loi de comportement s'écrit: ou encore en notation indicielle Les coefficients matériel et , qui dépendent de la particule considérée, sont appelés les coefficients de Lamé. Leur expression en fonction du module d'Young E et du coefficient de Poisson , est 84 4. Loi de Hooke généralisée Dans le cadre de l'élasticité linéaire isotrope, on peut alors réécrire l'équation sous la forme : Cette relation s'inverse sous la forme : 85 5. Elasticité en sollicitations simples 1. Contrainte uniaxiale Imaginons une particule matérielle dans une base quelconque B=(𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 , 𝒆𝟑 ), et soumettons cette particule à un état de traction uniaxiale dans la direction 𝒆𝟏 ,. On applique donc une contrainte > 0 dans la direction 𝒆𝟏 ,, tel que : 𝜎11= 𝜎 𝜎 0 0 𝜎= 0 0 0 0 0 0 la particule va donc subir un tenseur de déformation donné par : 1 𝜎 0 0 𝐸 𝜐 𝜀= 0 − 𝜎 0 𝐸 𝜐 0 0 − 𝜎 𝐸 86 5. Elasticité en sollicitations simples 2. Cisaillement simple On sollicite maintenant notre particule matérielle par un cisaillement simple selon les directions orthogonales 𝒆𝟏 𝒆𝒕 𝒆𝟐 , représenté dans la base B=(𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 , 𝒆𝟑 ) par la matrice suivante :𝝈12=𝝉 0 𝜏 𝜎= 𝜏 0 0 0 La déformation correspondante est : 87 0 0 0 5. Elasticité en sollicitations simples 3. Compression hydrostatique On soumet maintenant notre particule matérielle à une compression isotrope, également appelée compression hydrostatique puisqu'il s'agit de l'état de contrainte au sein d'un fluide au repos. Si on note p la pression, cet état de contrainte s'exprime dans toute base par la matrice suivante : Cet état de contrainte entraîne une déformation qui s′exprime par la matrice suivante, −𝑝 0 0 également valable dans toute base puisqu′elle est sphérique :𝜎 = 0 −𝑝 0 0 0 −𝑝 88 6. Les deux états plans d’élasticité 6.1 Contraintes planes Le tenseur des contraintes se réduit à : d’où l’expression du tenseur des déformations : et de la loi de comportement : 89 6. Les deux états plans d’élasticité 6.2 déformations planes 90 6. Les deux états plans d’élasticité 6.2 déformations planes 91 7. Critères de limite d'élasticité pour les matériaux isotropes Critère de Rankine et Critère de Tresca. Deux critères très naturels consistent donc à écrire que l'on quittera le domaine élastique lorsque la contrainte normale Tn , dans le premier cas, et la contrainte tangentielle (ou plutôt sa norme, puisque c'est un vecteur), dans le second, atteindront une valeur critique. Critère de Rankine. 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑇𝑛 < 𝑇𝑛 = 𝜎𝑒 Critère de Tresca. 1 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑇𝑡 < 𝑇𝑡 = 𝜎𝑒 2 où l'on a introduit la limite élastique en traction simple 𝜎𝑒 (on a vu (<) que la contrainte tangentielle maximale était, en général, |Tt |max = ½ ( 𝜎1 − 𝜎3 ) si σ1 > σ2 > σ3 sont les trois contraintes principales et vaut donc ½ σe en traction simple). 92 7. Critères de limite d'élasticité pour les matériaux isotropes Critère de Von Mises Ce critère, basé sur des considérations énergétiques, stipule que l’écoulement plastique se produit lorsque l’énergie de distorsion atteint une valeur critique. Il peut s’écrire sous la forme : Pour faciliter l’interprétation graphique du critère, on peut l’exprimer, en faisant intervenir les contraintes principales. Il s’écrit alors sous la forme : 93 Thermoélasticité Tout solide soumis à un écart de température cherche à se dilater s’il le peut. S’il ne peut se dilater, alors il y a apparition de contraintes dites « d’origine thermiques ». Ce phénomène, pour des écarts de température T faibles par rapport à la «température de repos» se traduit par une loi de comportement dans le cas général sous la forme: où 𝛼 représente le tenseur anisotrope des dilatations (en °C-1). 94
