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LE MOT DE L’AUTEUR
XY–MATHS CAP VERS REUSSITE cap vers UNE COLLECTION
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Nous avons repris dans ce manuel XY- MATHS cap vers la
réussite 1𝑒 𝑆2 les principes qui avaient guidé la rédaction du
manuel de seconde : XY- MATHS cap vers la réussite2nde S.
Nous avons construit chacun des chapitres selon une structure
simple.
⎆ Un cours clair et détaillé où l’essentiel est donné (définition,
remarques, théorèmes, propriétés)
⎆ A la fin de chaque sous-titre du cours ; des exercices
d’applications résolus pour appliquer le cours.
⎆ Une série d’exercices est proposée pour chaque cours pour
mettre en application les méthodes étudiées.
Nous remercions les éditions harmattan Sénégal pour leurs
confiances renouvelées dans nos choix et leurs expertises
apportées à la réalisation de l’ensemble de notre projet
Nous espérons que ce manuel sera bien accueilli et qu’il rendra
à ses utilisateurs, apprenants et enseignants, les services qu’ils
peuvent en attendre. Nous accueillerons avec intérêt toutes les
remarques et observations qu’ils voudront bien nous adresser au
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GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
NUMÉRIQUES D'UNE
VARIABLE RÉELLE
.
.

Ce que dit le programme…..
Contenus
Commentaires
Compétences exigibles
Il est essentiel d'accorder une place importante aux représentations graphiques et aux
résolutions graphiques de certains problèmes. Dans cette partie, aucune théorie ne sera
faite : on traitera seulement des exemples simples.
1) Fonctions associées à
 Il s'agit d'utiliser des
 Déterminer graphiquement
une fonction
𝐱 ⟼ 𝐟(𝐱 − 𝐚);
𝐱 ⟼ 𝐟 (𝐱) + 𝐛 ;
𝐱 ⟼ |𝐟 (𝐱)|;
𝐱 ⟼ 𝐟 (|𝐱|);
𝐱 ⟼ 𝐟 (𝐱 − 𝐚) + 𝐛
Application à la
représentation
graphique des fonctions
polynômes du second
degré et de quelques
fonctions
homographiques.
2) Eléments de symétrie
de la courbe représentative
d'une fonction
3) Représentation
graphique de la réciproque
d'une
bijection
transformations pour
l'image ou l'image réciproque
construire les
d'un intervalle.
représentations
 Construire, à partir de la
graphiques des
représentation graphique d'une
fonctions associées à
fonction, celles des fonctions
f à partir de la
qui lui sont associées.
représentation de f.
 Démontrer qu'un point est
 Toute recherche
centre de symétrie de la
systématique est
représentation graphique d'une
exclue.
fonction.
 On pourra utiliser
 Démontrer qu'une droite
un changement de
est axe de symétrie de la
repère ou les
représentation graphique d'une
formules usuelles (à
fonction.
établir) :
 Construire la
f (a + x) + f(a − x) = 2b représentation graphique de la
réciproque d'une fonction
et f (a + x) = f (a − x)
bijective.
ou f (2a − x) = f(x).
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PLAN DU CHAPITRE_________________________
I.
DEFINITION
1.1 FONCTION
1.2 FONCTION NUMERIQUE
II.
RAPPELS SUR LES FONCTIONS
2.1 ENSEMBLE OU DOMAINE DE DEFINITION OU
D’EXISTENCE
2.2 COURBE D’UNE FONCTION
2.3 SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION
2.4 EXTREMUMS D’UNE FONCTION
2.5 FONCTION MINOREE, MAJOREE OU BORNEE
2.6 COMPARAISONS DE FONCTIONS
2.7 COMPOSITION DE DEUX FONCTIONS
III.
ELEMENTS DE SYMETRIES D’UNE COURBE
3.1 RAPPELS
3.2 AXE DE SYMETRIE
3.3 CENTRE DE SYMETRIE D’UNE COURBE
IV.
FONCTIONS ASSOCIEES A UNE FONCTION
4.1 RÉFLEXIONS
4.2 TRANSLATIONS
4.3 AFFINITÉS ORTHOGONALES
V.
REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA
RECIPROQUE D'UNE BIJECTION
5.1 PROPRIETES FONDAMENTALES
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APERÇU HISTORIQUE
Le terme de fonction a été introduit par le mathématicien allemand LEIBNIZ Gottfried
Wilhelm (1646-1716) en 1673 dans un manuscrit inédit "La Méthode inverse des
tangentes ou à propos des fonctions". "J'appelle fonctions toutes les portions des
lignes droites qu'on fait en menant des droites indéfinies qui répondent au point fixe
et aux points de la courbe; comme sont les abscisse, ordonnée, corde, tangente,
perpendiculaire, sous-tangente ...et une infinité d'autres d'une construction plus
composée, qu'on ne peut figurer. "LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716), in La
Méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions, 1673. Cette définition se
retrouve dans des articles de 1692 et 1694 et est reprise par le mathématicien
suisse BERNOULLI Johann francisé Jean (1667-1748) en 1697. BERNOULLI
Jean (1667-1748)
en
1718
propose
la
définition
suivante
:
"On appelle fonction d'une grandeur variable une quantité composée, de quelque manière
que
ce
soit,
de
cette
grandeur
variable
et
de
constante."
Il propose la notation : Φx
VI.
DEFINITION
6.1 FONCTION
Soit 𝐀 et 𝐁 deux ensembles non vide, on appelle fonction de 𝐀 vers 𝐁 (𝐀 ⟶ 𝐁)
toute procédé qui pour 𝐱 élement de 𝐀 ( ensemble de départ) onassoci au plus
(maximun) un élement 𝐲 de 𝐁 ( ensemble d’arrivé).
On note :
𝐟:𝐀→𝐁
𝐱 ↦ 𝐟(𝐱) = 𝐲
On dit que 𝐟 est une fonction de 𝐀 vers 𝐁
 x est l’antécédent de y par la fonction f.
 y est l’image de x par la fonction f.
NB : pour une fonction f ; un antécédent x ne peut pas avoir plus qu’une image
cependant une image y peut avoir plus qu’un antécédent
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6.2 FONCTION NUMERIQUE
On appelle fonction numérique toute fonction dont l’ensemble d’arrivé est ℝ ou une
partie de ℝ . Si l’ensemble de départ est ℝ ou une partie de ℝ , on dit que la fonction
est une fonction numérique d’une variable réelle.
Exemples
f∶ ℝ ⟶ ℝ
𝐱 ↦ −𝟐𝐱 𝟐 + 𝐱 − 𝟐
𝐠 ∶ [−𝟐 ; + ∞[ ⟶ ℝ
𝐱 ↦ √𝟑𝐱 − 𝟕
𝐡 ∶ ℝ+ ⟶ ℝ
𝐱
𝐱 ⟼
𝐱 +𝟓
f , g et h sont des fonctions numériques d’une variable réelle.
VII.
RAPPELS SUR LES FONCTIONS
7.1 ENSEMBLE OU DOMAINE DE DEFINITION OU
D’EXISTENCE
7.1.1 Définition
Soit 𝐟 ∶ 𝐀 ⟶ 𝐁
𝐱 ⟼ 𝐟(𝐱) Une fonction ; on appelle ensemble ou domaine de définition
ou d’existence noté 𝐃𝐟 l’ensemble des réelles 𝐱 de l’ensemble de départ 𝐀 et qui
ont des images 𝐲 dans l’ensemble d’arrivé ℝ par la fonction 𝐟.
𝐃𝐟 = { 𝐱 ∈ 𝐀 / 𝐟(𝐱) 𝐞𝐱𝐢𝐬𝐭𝐞 }
7.1.2 Propriétés
 Toute fonction polynôme est définie dans son ensemble de départ
 Toute fonction rationnelle f telque f(x) =
N(x)
est définie pour tout x appartenant à
D(x)
son ensemble de départ tel que D(x) ≠ 0
 Toute fonction irrationnelle f telque f(x) = √A(x) est définie pour tout x
appartenant à son ensemble de départ tel que A(x) ≥ 0
ATTENTION : Une fonction peut aussi être plus compliquée, à savoir (par exemple) un
quotient sous une racine ou une racine au dénominateur d’un quotient.
NB : Pour une fonction numérique d’une variable réelle donnée si son ensemble de
départ n’est pas précisé alors on considère que c’est ℝ
EXERCICE D’APPLICATION :
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition
f(x) = −2x 2 + x − 1
P(x) =
x
x2 −x+5
;
;
g(x) =
x
−2x+1
K(x) = √−2x + 1
Z(x) = √x 2 + 2x − 3
;
Q ( x) =
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;
T(x) =
x2 −1
x2 −x−2
; H(x) = √|−x + 1 | − 2
√2x2 −3 x + 4
|x| − 1
; L(x) =
x − 2
√x + 2 − x
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RESOLUTION
Déterminons l’ensemble de définition de chacune des fonctions
 f(x) = −2x 2 + x − 1
,
Df = ℝ
x
 g(x) =
existe si et seulement si −2x + 1 ≠ 0
−2x+1
⇔ x ≠
1
2
1
Dg = ℝ − {2}
 T(x) =
Posons
x2 −1
x2 −x−2
existe si et seulement si x 2 − x − 2 ≠ 0
x2 − x − 2 = 0
 P(x) =
x
x2 −x+5
;
x1 = −1
et
 K(x) = √−2x + 1
1
2
DT = ℝ − {− 1 ; 2 }
existe si et seulement si x 2 − x + 5 ≠ 0
Posons x 2 − x + 5 ≠ 0 ; ∆ = −19
DK = ]− ∞ ;
x2 = 2
DP = ℝ
existe
si
et
seulement
−2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≤
1
2
]
 H(x) = √|−x + 1 | − 2 existe si et seulement |−x + 1 | − 2 ≥ 0
⇔ |−x + 1 | ≥ 2 ⇔ −x + 1 ≤ −2 ou −x + 1 ≥ 2
⇔ − x ≤ −3 ou − x ≥ 1
⇔ x ≥ 3 ou x ≤ − 1
DH = ]− ∞ ; − 1 ] ∪ [ 3 ; +∞ [
 Z(x) = √x 2 + 2x − 3
posons x 2 + 2x − 3 = 0
existe
si et seulement x2 + 2x − 3 ≥ 0
; x1 = −3 et x2 = 1
DZ = ]− ∞ ; −3 ] ∪ [1 ; +∞ [
 Q(x) =
⇔{
√2x2 −3 x + 4
|x| − 1
existe si et seulement {
2x2 − 3 x + 4 ≥ 0
|x| − 1 ≠ 0
2x2 − 3 x + 4 ≥ 0
|x| ≠ 1
2
⇔ { 2x − 3 x + 4 ≥ 0
x ≠ 1 ou x ≠ −1
Posons 2x 2 − 3 x + 4 = 0 , ∆ = −23
DQ = ℝ − {−𝟏 ; 𝟏}
 L(x) =
x − 2
√x + 2 − x
existe si et seulement {√x + 2 − x ≠ 0
x + 2 ≥0
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≠ x ⇔ { x + 2 ≠ (x)2 ⇔ {−x2 + x + 2 ≠ 0
x ≥− 2
x ≥− 2
x ≥− 2
⇔ { √x + 2
Posons −x 2 + x + 2 = 0 ;
x1 = 2
2
Ainsi {−x + x + 2 ≠ 0
x ≥− 2
⇔ {
et
x2 = − 1
x ≠ 2 ou x ≠ −1
x ≥ −2
DL = [− 2 ; +∞[ − {−1 ; 2}
ATTENTION !!!! Les fonctions étudiées sont toujours définies sur des intervalles ou
des réunions d'intervalles.
7.2 COURBE D’UNE FONCTION
7.2.1 Définition
Soit 𝐟 une fonction définie sur un ensemble 𝐃𝐟 . On appelle courbe de 𝐟 , dans le
répére (𝐎; ⃗𝐢, ⃗𝐣) du plan notée souvent (𝐂𝐟 ), l’ensemble des points 𝐌 de coordonnées
( 𝐱 ; 𝐟(𝐱)) tel que 𝐱 ∈ 𝐃𝐟
N.B : soit M ( x ; f(x)) ; l’égalité 𝐲 = 𝐟(𝐱) caractérise l’appartenance de M à la courbe
(Cf ) . Cette égalité se nomme équation de la courbe (Cf )
7.3 SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION
Soit 𝐟 une fonction définie sur un intervalle 𝐈.
Si pour tous réels 𝐱 𝟏 et 𝐱 𝟐 de 𝐈 tels que 𝐱 𝟏 < 𝐱 𝟐 de plus si :
 𝐟(𝐱 𝟏 ) ≤ 𝐟(𝐱 𝟐 ) alors on dit que 𝐟 est croissante ;
 𝐟(𝐱 𝟏 ) < 𝐟(𝐱 𝟐 ) alors on dit que 𝐟 est strictement croissante ;
 𝐟(𝐱 𝟏 ) ≥ 𝐟(𝐱 𝟐 ) alors on dit que 𝐟 est décroissante ;
 𝐟(𝐱 𝟏 ) > 𝐟(𝐱 𝟐 ) alors on dit que 𝐟 est strictement décroissante.
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Fonction croissante
fonction décroissante
REMARQUE :
Une fonction définie sur un intervalle I est dite monotone si elle est croissante,
ou si elle est décroissante.
 Une fonction f est dite constante sur un intervalleI, s’il existe un réel k tel que
pour tout x de I , f(x) = k
7.4 EXTREMUMS D’UNE FONCTION

Soit f une fonction définie sur un
intervalle I.
 Pour x0 ∈ I , on dit que f admet
un maximum en x0 sur I si pour tout
réel x de I , f(x) ≤ f(x0 ) ; f(x0 ) est
le maximum de f.
 Pour x1 ∈ I , on dit que f admet
un minimum en x1 sur I si pour tout
réel x de I , f(x) ≤ f(x0 ) ; f(x0 ) est
le minimum de f.
Extremum locale d'une fonction
Soit f une fonction définie sur un
intervalle I.
 Pour x0 ∈ I , on dit que f admet un
maximum local en x0 s’il existe un
intervalle ]a ; b[ inclus dans I tel que f(x0 )
est un maximum de 𝐟 sur ]a ; b[
 Pour x1 ∈ I , on dit que f admet un
minimum local en x1 ,s’il existe un
intervalle ]a ; b[ inclus dans I tel que f(x1 )
est un minimum de 𝐟 sur ]a ; b[
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N.B : On appelle extremum de 𝐟 sur 𝐈 son maximum ou son minimum (s’il existe).
7.5 FONCTION MINOREE, MAJOREE OU BORNEE
Soit 𝐈 un intervalle et 𝐟 une fonction définie sur 𝐈 on dit que :
 𝐟 est minorée sur 𝐈 lorsqu’il existe un réel 𝐦 tels que pour tout 𝐱 ∈ 𝐈 on a
𝐦 ≤ 𝐟(𝐱) (ou 𝐟(𝐱) ≥ 𝐦 ).
 𝐟 est majorée sur 𝐈 lorsqu’il existe un réel 𝐌 tels que pour tout 𝐱 ∈ 𝐈 on a
𝐟(𝐱) ≤ 𝐌 (ou 𝐌 ≥ 𝐟(𝐱) ).
 𝐟 est bornée sur 𝐈 lorsqu’il existe deux réels 𝐌 et 𝐦 pour tout 𝐱 de 𝐈,
𝐦 ≤ 𝐟(𝐱) ≤ 𝐌.
EXERCICES D’APPLICATIONS :
EXERCICE 1
On considère les fonctions f et g définies par f(x) = x(x − 2) et g(x) = x√4 − x 2
a) Prouver que la fonction f est minorée par 1.
b) Démontrer que la fonction g est bornée par −2 et 2.
RESOLUTION
a) Prouvons que la fonction f est minorée par 1.
Déterminons Df de f
f(x) = x(x − 2) ; Df = ℝ
f(x) = x(x − 2) = x 2 − 2x = (x − 1)2 − (1)2 = (x − 1)2 − 1
⟺ f(x) + 1 = (x − 1)2
∀ x ∈ ℝ ; (x − 1)2 ≥ 0 ⟺ f(x) + 1 ≥ 0 d’où ∀ x ∈ ℝ −1 ≤ f(x) ainsi la fonction
f est minorée par −1.
b) Démontrons que la fonction g est bornée par −2 et 2.
Déterminons Dg de g
g(x) = x√4 − x 2 ; Dg = [−2 ; 2]
Calculons (g(x)2 − (2)2
2
(g(x))2 − (2)2 = (x√4 − x 2 ) − (2)2 = x 2 (4 − x 2 ) − 4 = −x 4 + 4x − 4
(g(x))2 − (2)2 = −x 4 + 4x 2 − 4
Posons X = x 2
(g(X))2 − (2)2 = −X 2 + 4X − 4 = −(X − 2)2
∀ x ∈ ℝ ; −(X − 2)2 ≤ 0 ⟺ (g(x))2 − (2)2 ≤ 0 ⟺ (g(x))2 ≤ (2)2
⟺ √(g(x))2 ≤ 2 ⟺ |g(x| ≤ 2 ⟺ −2 ≤ g(x) ≤ 2
Ainsi la fonction g est bornée par −2 et 2.
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EXERCICE 2
Le graphique ci-dessous reproduit les
fonctions f et g.
courbes représentatives (Cf ) et (Cg ) de deux
1) Préciser les ensembles de définition de f et g
2) Déterminer graphiquement les images des valeurs 4 et −4 par f et −8 par g.
3) Résoudre graphique les inéquations f(x) ≤ 4 ; f(x) ≥ 0 ; f(x) ≥ g(x)
4) Donner les maximums et minimums des fonctions f et g , pour quelles valers de x
sont-ils atteints ?
5) A quel intervalle appartient f(x) si x appartient à l’intervalle [−4 ; 4]
6) Dresser les tableaux de variations des fonctions f et g.
7) Dresser les tableaux de signes des fonctions f et g.
8) Soit la fonction h définie sur [−8 ; 11] par h(x) = f(x) × g(x).Construire le tableau de
signes de la fonction h.
RESOLUTION
1) Précisons les ensembles de définition de f et g
Df = [− 8 ; 11] et Dg = [− 8 ; 15]
2) Déterminons graphiquement les images des valeurs 4 et −4 par f et −8 par g.
 L’image de −4 par f ; f(−4) = 4 ;
 L’image de 4 par f ; f(4) = 2 ;
 L’image de −8 par g ; g(−8) = 0
3) Résolvons graphique les inéquations f(x) < 4 ; f(x) ≥ 0 ; f(x) ≥ g(x)
 f(x) < 4 ; Sℝ = ]−4 ; 11]
 f(x) ≥ 0 ; Sℝ = ]−8 ; 6]
 f(x) ≥ g(x) ; Sℝ = ]−8 ; −4] ∪ [0 ; 8]
4) Donnons les maximums et minimums des fonctions f et g
 Minimums (m)
-
Pour f ; m = −2 , en x = 8
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Pour g ; m = −4 , en x = 4
 Maximums (M)
-
Pour f ; M = 8 , en x = −8
Pour g ; M = −2 , en x = −4
5) L’intervalle pour le quel f(x) appartient si x ∈ [−4 ; 4]
x ∈ [−4 ; 4] alors f(x) images de x appartient à l’intervalle [0 ; 4].
6) Dressons les tableaux de variations des fonctions f et g.
 Tableau de variation de f
 Tableau de variation de g
7) Dressons les tableaux de signes des fonctions f et g.
Tableau de signes de 𝐟
Tableau de signes de 𝐠
8) Soit la fonction h définie sur [−8 ; 11] par h(x) = f(x) × g(x).Construire le tableau de
signes de la fonction h.
7.6 COMPARAISONS DE FONCTIONS
7.6.1 Egalité de deux fonctions
Soient 𝐟 et 𝐠 deux fonctions d’ensemble de définition 𝐃𝐟 et 𝐃𝐠 :
𝐃𝐟 = 𝐃𝐠
𝐟=𝐠 ⇔ {
∀ 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 ; 𝐟(𝐱) = 𝐠(𝐱)
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EXERCICE D’APPLICATION :
Soient les fonctions f et g tel que f(x) =
2x + 3
et g(x) = 2 −
x + 2
3
3x + 6
Prouver que f et g sont égales.
RESOLUTION
Prouvons que f et g sont égales.

Déterminons Df et Dg
f(x) =
2x + 3
x + 2
g(x) = 2 −
On a

; Df = ℝ − {−2}
3
3x + 6
; Dg = ℝ − {−2}
Df = Dg
∀ x ∈ Df ; vérifions que f(x) = g(x)
g(x) = 2 −
3
3x + 6
On a Df = Dg et
=
6x + 12 − 3
3x + 6
=
6x +
9
3x + 6
=
2x + 3
x + 2
= f(x) ⇔
f(x) = g(x)
∀ x ∈ Df ; f(x) = g(x) donc les fonctions f et g sont égales
7.6.2
Comparaisons de deux fonctions
Pour comparer deux fonctions 𝐟 et 𝐠 définies sur le même ensemble 𝐃 tel que
𝐃 = 𝐃𝐟 ∩ 𝐃𝐠 ;
 On calculera 𝐟(𝐱) − 𝐠(𝐱)
 On étudiera le signe de 𝐟(𝐱) − 𝐠(𝐱)
 Si, pour tout 𝐱 de 𝐃 , on a :
 𝐟(𝐱) − 𝐠(𝐱) > 𝟎, alors on conclut que
𝐟 > 𝐠
 𝐟(𝐱) − 𝐠(𝐱) < 𝟎 , alors on conclut que 𝐟 < 𝐠
 𝐟(𝐱) − 𝐠(𝐱) = 𝟎 ; alors on conclut que 𝐟 = 𝐠
 Si 𝐟(𝐱) − 𝐠(𝐱) admet des signes distincts suivant les valeurs de 𝐱 sur , 𝐟 et 𝐠 ne
sont pas comparables. cependant leurs restrictions à certains intervalles pourront
être comparables.
EXERCICE D’APPLICATION :
Soit les fonctions f et g définies dans ℝ par f(x) = 1 − x et g(x) = −x(3 − x)
Comparer f et g puis interpréter graphiquement le résultat.
RESOLUTION
Comparons f et g

Déterminons l’ensemble de définition f et g
f(x) = 1 − x
; Df = ℝ
g(x) = −x(3 − x)
; Dg = ℝ

étudions le signe de f(x) − g(x)
f(x) − g(x) = 1 − x − (−3x + x 2 ) = x 2 + 2x + 1
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posons x 2 + 2x + 1 = 0
x1 = 1 − √2
x2 = 1 + √2
Sur l’intervalle ]− ∞ ; 1 − √2 [ ∪ ]1 + √2 ; +∞[ ; f(x) − g(x) < 0 d’où f(x) < g(x)
Sur l’intervalle ]1 − √2 ; 1 + √2 [ ; f(x) − g(x) > 0 d′ ou f(x) > g(x)
Pour x = 1 − √2 ou x = 1 + √2 ; f(x) − g(x) = 0 d’où f(x) = g(x)
7.6.3
Interprétation graphique
Soient f et g deux fonctions d’ensembles de définition Df et Dg ; D un ensemble tel
que D = Df ∩ Dg ; de courbes représentatives (Cf ) et (Cg ) dans le même repère
orthonormal (O; ⃗i, ⃗j )
 Si f > g sur un intervalle I de D alors la courbe (Cf ) est au-dessus de la courbe(Cg ).

Si f < g sur un intervalle I de D alors la courbe (Cf ) est au-dessous de la courbe(Cg ).

Si f = g pour tout x de D alors les courbe (Cf ) et (Cg ) se coupe au point d’abscisse x.
EXEMPLE
 Sur l’intervalle ]− ∞ ; 1 − √2 [ ∪ ]1 + √2 ; +∞[ ; f(x) < g(x) , la courbe
(Cf ) est en-dessous de la courbe(Cg )
 Sur l’intervalle ]1 − √2 ; 1 + √2 [ ; f(x) > g(x) , la courbe (Cf ) est au-dessus
de la courbe(Cg )
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 Pour x = 1 − √2 ou x = 1 + √2 ; f(x) = g(x), les courbe (Cf ) et (Cg ) se
coupe au point d’abscisse x
7.6.4
Restriction et prolongement d’une fonction
𝐟 ∶ 𝐀 → ℝ et 𝐠 ∶ 𝐁 → ℝ deux
fonctions. si l’ensemble est inclus dans
l’ensemble 𝐁 et ∀ 𝐱 ∈ 𝐀 ; on a 𝐟(𝐱) = 𝐠(𝐱) alors on dit que la fonction est la
restriction de la fonction 𝐠 à 𝐀 et on note 𝐟 = 𝐠/𝐀 . Autrement la fonction 𝐠 est le
Soit
prolongement de la fonction 𝐟 à 𝐁
EXERCICE D’APPLICATION :
1) Prouver que la fonction g défini par ℝ + par g(x) = √x + 4 est une restriction
de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = √|x| + 4 .
2) On considère la fonction f définie par k(x) = 3|2x + 1| + |5x + 1|.
Déterminer un intervalle I de ℝ sur le quel la restriction de f est la fonction h définie par
h(x) = x + 4.
RESOLUTION
1) Prouvons que la fonction g défini par ℝ + par g(x) = √x + 4
est une
restriction de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = √|x| + 4 .
Ecrivons la fonction f(x) sans les symboles de valeur absolue
Sur ℝ + , f(x) = √x + 4 = g(x)
Conclusion ; la fonction g(x) = √x + 4 est la restriction de la fonction f surℝ +
2) Déterminons un intervalle I de ℝ sur le quel la restriction de K est la fonction h
définie par h(x) = x + 4.
Ecrivons la fonction K(x) sans les symboles de valeur absolue
1
1
1
1
Sur l’intervalle [− 2 ; − 5] ; f(x) = x + 2 = h(x) anisi I = [− 2 ; − 5]
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7.7 COMPOSITION DE DEUX FONCTIONS
Soient 𝐀 , 𝐁 et 𝐂 trois ensembles non vides et 𝐟 , 𝐠 deux fonctions définies par
𝐟∶ 𝐀 → 𝐁
𝐠∶ 𝐁 → 𝐂
𝐱 ↦ 𝐟(𝐱)
𝐱 ↦ 𝐠(𝐱)
Pour déterminer la composée des fonctions 𝐟 et 𝐠 notée 𝐟𝐨𝐠 lit « f rond g »
désignant la fonction 𝐟𝐨𝐠 ∶ 𝐀 → 𝐂
, on procède comme suit :
𝐱 ↦ 𝐟[𝐠(𝐱)]
 On déterminera l’ensemble de définition 𝐃𝐟 de 𝐟 et 𝐃𝐠 de 𝐠 .
 On déterminera l’ensemble de définition 𝐃𝐟𝐨𝐠 de 𝐟𝐨𝐠
𝐱 ∈ 𝐃𝐠
𝐠(𝐱) ∈ 𝐃𝐟
 On calculera 𝐟𝐨𝐠(𝐱) en appliquant 𝐟𝐨𝐠(𝐱) = 𝐟[𝐠(𝐱)]
𝐟𝐨𝐠 est définie pour tout 𝐱 tel que {
EXERCICE D’APPLICATION :
On donne les fonctions f et g définies par f(x) = √x + 3 et g(x) =
1
x+ 1
c) Déterminer l’ensemble de définition Dgof de gof .
d) Donner l’expression de gof(x).
RESOLUTION
a) Déterminons l’ensemble de définition Dgof de gof .
Déterminons Df de f et Dg de g
f(x) = √x + 3
g(x) =
1
;
;
x+ 1
Df = [−3 , +∞[
Dg = ℝ − {− 1}
La fonction gof existe si et seulement si
x ∈ Df
x ≥ −3
{ f(x) ∈ D
⇔
{
√x + 3 ≠ −1 toujours vraie
g
Ainsi
Dgof = [−3 , +∞[
b) Donnons l’expression de gof(x)
∀ x ∈ Dgof ; gof(x) = g[f(x)] =
gof(x) =
VIII.
1
f(x) + 1
=
1
√x + 3 + 1
1
√x + 3 + 1
ELEMENTS DE SYMETRIES D’UNE COURBE
PREAMBULE : symétrie dans ℝ
Soit a un reel ( a ∈ ℝ ) , on a ∀ h ∈ ℝ ; les réels a − h et a + h sont symétriques
par rapport à 𝐚 de meme ∀ x ∈ ℝ , les réels x et 2a − x sont aussi symétrique par
rapport à a
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8.1 RAPPELS
8.1.1 Fonction paire
Soit f une fonction d’ensemble de définition Df ; la fonction f est paire si et seulement si :
 𝐃𝐟 symétrique par rapport à 0 (∀ 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 ; − 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 )
 Pour tout 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 ; 𝐟(− 𝐱) = 𝐟(𝐱)
8.1.2 Fonction impaire
Soit f une fonction d’ensemble de définition Df ; la fonction f est impaire si et seulement si :
 𝐃𝐟 symétrique par rapport à 0 (∀ 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 ; − 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 )

Pour tout 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 ; 𝐟(− 𝐱) = − 𝐟(𝐱)
NB : si pour une fonction 𝐟 donnée l’une des conditions n’est pas vérifiée :
 Son ensemble de définition 𝐃𝐟 n’est pas symétrique par rapport à 𝟎 ;
 Pour tout 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 ; 𝐟(− 𝐱) = 𝐟(𝐱) ou 𝐟(− 𝐱) = − 𝐟(𝐱) alors on dit que
la fonction 𝐟 est ni paire ni impaire.
8.2 AXE DE SYMETRIE
Soit f une fonction numérique de courbe (Cf ) dans le plan (P) et une droite (∆)
d’équation x = a.
Pour démontrer que la droite x = a est axe de symétrie à la courbe (Cf ) ou la courbe
(Cf ) est symétrique par rapport a la droite x = a , on peut procéder par deux méthodes
 Méthode 1 : changement de repère
THEOREME : Soit (Cf ) la représentation graphique d’une fonction f relativement à un
repère orthogonal (O; ⃗i, ⃗j ) et Ω le point de coordonnées (a, 0). La courbe (Cf ) est
symétrique par rapport à l’axe d’équation x = a si et seulement si (Cf ) est la
représentation graphique d’une fonction paire relativement au repère (Ω; ⃗i, ⃗j ) .
𝐱=𝐗 +𝐚
On effectue un changement de repère tel que : {
puis on montre que la
𝐲= 𝐘
fonction 𝐠( 𝐗) = 𝐟(𝐗 + 𝐚) est paire.
EXERCICE D’APPLICATION :
x2 − x − 2
Soit f une fonction définie sur ℝ par f(x) =
Démontrer que la droite d’équation x =
1
2
x2 − x + 1
est un axe de symétrie à (𝐂𝐟 )
RESOLUTION
Démontrons que la droite d’équation x =
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1
2
est un axe de symétrie à (𝐂𝐟 )
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1
Considérons le repère ( Ω ; ⃗i , ⃗j ) avec Ω(2 ; 0 ) dans ( O ; ⃗i , ⃗j )
Soit M un point de coordonnées (x; y) dans le repère ( O ; ⃗i , ⃗j ) et ( X ; Y )
repère( Ω ; ⃗i , ⃗j ).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OΩ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ΩM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ xi⃗ + yj⃗ = 1 ⃗i + 0j⃗ + Xi⃗ + Yj⃗
La relation de Chasles OM
dans
le
2
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont le même couple de coordonnées, on a
1
x=X +2
donc la formule de changement de repère : {
y= Y
M ∈ Cf ⇔
g(X) =
(X +
y=
2
(X + ) − (X + ) + 1
4X2 − 9
4X2 + 3
1
⇔ Y = g(X) = f(X + 2)
x2 − x + 1
1 2
1
) − (X + ) −
2
2
1 2
1
2
g(X) =
x2 − x − 2
4X2 − 9
=
4X2 + 3
2
; L’ensemble de définition de g est ℝ qui est symétrique à 0 et pour tout
x ∈ ℝ ; g(−X) =
4(−X)2 − 9
4(−X)2 +
3
=
4X2 − 9
4X2 + 3
= g(X)
g(−X) = g(X) ; la fonction g est une fonction paire. Dans le repère( Ω ; ⃗i , ⃗j ) , (Cf ) est la
représentation graphique d’une fonction paire, donc la droite d’équation x =
1
2
est un axe
de symétrie à (Cf )
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 Méthode 2 : formules usuelles
THEOREME :
La courbe (Cf ) est symétrique par rapport à l’axe d’équation x = a si et seulement si
 Df est symétrique par rapport à a
 Pour tout réel h tel que a + h ∈ Df : f( a + h) = f(a − h)
On peut également passer à vérifier que :
∀ 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 , 𝟐𝐚 − 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 et 𝐟( 𝟐𝐚 − 𝐱) = 𝐟(𝐱)
EXERCICE D’APPLICATION :
Soit f(x) =
1
x2 + 4x
Montrer que la droite (∆) d’équation x = −2 est axe de symétrie à la courbe (Cf )
RESOLUTION
Montrons que la droite (∆) d’équation x = −2 est axe de symétrie à la courbe (Cf )
f(x) =
1
x2 + 4x
existe si et seulement si x 2 + 4x ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 et x ≠ −4
Df = ℝ − {−4 ; 0}
Df est symétrique par rapport à −2 , soit h un réel tel que −2 + h ∈ Df
Calculons f( −2 − h) et f( −2 + h)

f( −2 − h) =

f( −2 + h) =
1
1
= h2 − 4
(−2 − h)2 + 4(−2 − h )
1
1
= h2 − 4
(−2 + h )2 + 4(−2 + h )
f( −2 − h) = f( −2 + h) ; Ainsi la droite (∆) d’équation x = −2 est axe de symétrie
à la courbe (Cf )
8.3 CENTRE DE SYMETRIE D’UNE COURBE
Soit f une fonction numérique de courbe (Cf ) dans le plan (P) et un point Ω ( a ; b);
Pour démontrer que le point Ω ( a ; b)est centre de symétrie à la courbe (Cf ) ou la
courbe (Cf ) est symétrique par rapport au point Ω ( a ; b), il existe deux méthodes
 Méthode 1 : changement de repère
THEOREME :
Soit (Cf ) la représentation graphique d’une fonction f relativement à un repère orthogonal
(O; i⃗⃗ , ⃗j ) et Ω le point de coordonnées (a, b).La courbe (Cf ) est symétrique par rapport à Ω
si et seulement si (Cf ) est la représentation graphique d’une fonction impaire relativement
au repère(Ω; ⃗i, ⃗j ).
𝐱=𝐗 +𝐚
On effectue un changement de repère tel que : {
puis on montre que la
𝐲= 𝐘+𝐛
fonction 𝐠( 𝐗) = 𝐟(𝐗 + 𝐚) est impaire.
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EXERCICE D’APPLICATION :
Démontrer que le point Ω(3 ; 0 ) est centre de symétrie de la courbe représentative,
(Cf ) de la fonction f(x) = √5 − x − √x − 1
RESOLUTION
Démontrons que le point Ω(3 ; 0 ) est centre de symétrie de la courbe représentative(Cf ) ,
Soit M un point du plan, (x, y)ses coordonnées dans le repère(O; i⃗⃗ , ⃗j ) et (X,Y) ses
coordonnées dans le repère (Ω; ⃗i, ⃗j ).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OΩ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ΩM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ xi⃗ + yj⃗ = 3i⃗ + 0j⃗ + Xi⃗ + Yj⃗
La relation de Chasles OM
⇔ xi⃗ + yj⃗ = (3 + X) ⃗i + Yj⃗
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont le même couple de coordonnées, on a
x= 3+X
donc la formule de changement de repère : {
y= Y
M ∈ Cf
⇔ y = √5 − x − √x − 1
⇔ Y = g( X) = √5 − (3 + X) − √(3 + X) − 1
⇔ g( X) = √2 + X − √2 − X ; Dg = [−2 ; 2] est symétrique par rapport à 0 et pour
tout x ∈ [−2 ; 2];
g(−X) = √2 − X − √2 + X = −(√2 + X − √2 − X ) = −g( X)
g(−X) = −g( X) ; la fonction g est une fonction impaire. Dans le repère( Ω ; ⃗i , ⃗j ) , (Cf )
est la représentation graphique d’une fonction impaire, donc le point Ω(3 ; 0 ) est centre
de symétrie de la courbe représentative(Cf )
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 Méthode 2 : formules usuelles
THEOREME :
La courbe (Cf ) est symétrique par rapport au point Ω ( a ; b) si et seulement si
 Df est symétrique par rapport à a
f( a+h)+ f(a−h)
 Pour tout réel h tel que a + h ∈ Df :
2
=b
On peut également passer à vérifier que :
∀ 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 , 𝟐𝐚 − 𝐱 ∈ 𝐃𝐟 et
𝐟( 𝟐𝐚 −𝐱) + 𝐟(𝐱)
𝟐
= 𝐛
EXERCICE D’APPLICATION :
Soit f(x) =
x2 −3x+ 3
x−2
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère ( O ; ⃗i , ⃗j ); montrer
que le point I( 2 ; 1) est centre de symétrie à (Cf ).
RESOLUTION
Montrons que le point I( 2 ; 1) est centre de symétrie à (Cf ).
f(x) =
x2 −3x+ 3
x−2
Existe si et seulement si x ≠ 2 ; 𝐃𝐟 = ℝ − {2}
Vérifions ∀ x ∈ Df , 4 − x ∈ Df
∀ x ∈ Df ⇔ x ≠ 2
⇔ − x ≠ − 2 ⇔ 4 − x ≠ 2 Ainsi ∀ x ∈ Df , 4 − x ∈ Df
Calculons f(4 − x )
f(4 − x ) =
(4−x)2 −3(4−x)+ 3
(4−x) − 2
=
−x2 + 5x −7
x− 2
Calculons f(4 − x ) − f(x)
f(4 − x ) − f(x) =
f(4−x ) −f(x)
2
=
2
2
−x2 + 5x −7
x− 2
+
x2 −3x+ 3
x−2
=
2x − 4
x− 2
=2
= 1 Alors le point I( 2 ; 1) est centre de symétrie à(Cf ).
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IX.
FONCTIONS ASSOCIEES A UNE FONCTION
Deux fonctions sont dites associées (ou conjointes) lorsque leurs représentations
graphiques respectives dans le plan muni d’un repère orthonormal, se déduisent l’une de
l’autre par une transformation géométrique classique : translation, réflexion, et aussi
affinité orthogonale.
9.1 RÉFLEXIONS
ACTIVITE : soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x 3 − 3x 2 + 2 représentée
ci-dessous
Déduire les courbes des
fonctions
g , h , k et z définies sur
ℝ par :




g(x) = − f(x)
h(x) = |f(x)|
k(x) = f(−x)
z(x) = f(|x|)
RESOLUTION
Déduisons les courbes des fonctions :
𝐠(𝐱) = − 𝐟(𝐱)
Pour tout point 𝐌 de (𝐂𝐟 )
d’abscisse 𝐱 , le point 𝐌′ de
(𝐂𝐠 ) d’abscisse 𝐱 est tel que
𝐌′ est symétrique à 𝐌 par
rapport à l’axe ( 𝐎𝐱) on note
(𝐌′ = 𝐒(𝐨𝐱) (𝐌)
(𝐂𝐠 ) est obtenue à partir de
(𝐂𝐟 ) grâce à la réflexion
d’axe (𝐎, ⃗𝐢 )
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𝐡(𝐱) = |𝐟(𝐱)|
La fonction 𝐡 est tel que
𝐟(𝐱) 𝐬𝐢 𝐟(𝐱) ≥ 𝟎
𝐡(𝐱) = {
;
− 𝐟(𝐱) 𝐬𝐢 𝐟(𝐱) ≤ 𝟎
 si 𝐟(𝐱) ≥ 𝟎 (𝐂𝐡 ) se confond à
(𝐂𝐟 )
 si 𝐟(𝐱) ≤ 𝟎 l’autre partie de
(𝐂𝐡 ) est obtenue à partir de la
courbe (𝐂𝐟 )grâce à la réflexion
d’axe (𝐎, ⃗𝐢 )
𝐤(𝐱) = 𝐟(−𝐱)
Pour tout point 𝐌 de (𝐂𝐟 )
d’abscisse 𝐱 , le point 𝐌′ de
(𝐂𝐤 ) d’abscisse − 𝐱 est tel que le
point 𝐌′ est symétrique à 𝐌
par rapport à l’axe ( 𝐎𝐲)on
note𝐌′ = 𝐒(𝐨𝐲) (𝐌).
(𝐂𝐤 ) est obtenue à partir de
(𝐂𝐟 )grâce à la réflexion d’axe
(𝐎, ⃗𝐣 )
𝐳(𝐱) = 𝐟(|𝐱|)
𝐙( −𝐱) = 𝐟(|−𝐱|) = 𝐟(|𝐱|) = 𝐙(𝐱);
𝐙 Étant une fonction paire :
 Si ≥ 𝟎 , (𝐂𝐳 ) se confond à (𝐂𝐟 )
 Si ≤ 𝟎 , l’autre partie de (𝐂𝐙 ) est
obtenue à partir de (𝐂𝐟 )grâce à la
réflexion d’axe (𝐎𝐲)
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9.2 TRANSLATIONS
ACTIVITE : soit la fonction f définie sur [−2 ; 2 ] par f(x) = x 3 − x 2 − 3x + 3
représentée ci-dessous
DéduireX.
les courbes des
fonctions
XI. g , h , k
 g(x) = f(x − 2)
 h(x) = f(x) + 1
 k(x) = f(x − 2) + 1
RESOLUTION
Déduisons les courbes des fonctions 𝐠 , 𝐡 et 𝐤
𝐠(𝐱) = 𝐟(𝐱 − 𝐚)
La courbe (𝐂𝐠 ) d’équation
𝐠(𝐱) = 𝐟(𝐱 − 𝐚) est obtenue à partir
de la courbe (𝐂𝐟 ) grâce à la translation
de vecteur 𝐚𝐢⃗
Ainsi(Cg ), d’équation g(x) = 𝑓(𝑥 − 2),
est la translatée de (𝐶𝑓 )de vecteur 2𝑖⃗
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𝐡(𝐱) = 𝐟(𝐱) + 𝐛
La courbe (𝐂𝐡 ) d’équation
𝐡(𝐱) = 𝐟(𝐱) + 𝐛 est obtenue à partir
de la courbe (𝐂𝐟 ) grâce à la translation
de vecteur 𝐛𝐣⃗
Ainsi(𝐶ℎ ), d’équation ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 1,
est la translatée de (𝐶𝑓 )de vecteur 𝑗⃗
𝐤(𝐱) = 𝐟(𝐱 − 𝐚) + 𝐛
La courbe (𝐂𝐤 ) d’équation 𝐤(𝐱) =
𝐟(𝐱 − 𝐚) + 𝐛 est obtenue à partir de (𝐂𝐟 )
par la translation de vecteur 𝐚𝐢⃗ + 𝐛𝐣⃗
Ainsi(𝐶𝑘 ), d’équation 𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2) + 1,
est la translatée de (𝐶𝑓 ) de vecteur 2i⃗ + ⃗j
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4.3 AFFINITÉS ORTHOGONALES
ACTIVITE : soit la fonction f définie sur [−2 ; 2 ] par f(x) = x 3 − x 2 − 3x + 3
représentée ci-dessous
5Déduire les courbes des
6fonctions w et 𝑃
 w(x) =
1
2
f(x)
 P(x) = f(2x)
RESOLUTION
Déduisons les courbes des fonctions 𝐰 et 𝐏
𝐖(𝐱) = 𝐚𝐟(𝐱)
(𝐂𝐖 ) d’équation 𝐖(𝐱) = 𝐚𝐟(𝐱) est
obtenue par l’affinité orthogonale
d’axe (𝐎, ⃗𝐢 ) et de rapport 𝒂 de la
courbe (𝐂𝐟 )
Ainsi (𝐶𝑤 ), d’équation
1
𝑤(𝑥) = 2 𝑓(𝑥),
est l’image de (𝐶𝑓 ) par
l’affinité
1
orthogonale d’axe (𝑂, 𝑖⃗ ) et de rapport 2
de (𝐶𝑓 )
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𝐏(𝐱) = 𝐟(𝟐𝐱)
(𝐂𝑷 ) d’équation 𝐏(𝐱) = 𝐟(𝐚𝐱) est
obtenue par l’affinité orthogonale
d’axe (𝐎, ⃗𝐣 ) et de rapport
𝟏
𝐚
de (𝐂𝐟 )
Ainsi (𝐶𝑃 ), d’équation 𝑃(𝑥) = 𝑓(2𝑥),
est l’image de (𝐶𝑓 ) par l’affinité
orthogonale d’axe (𝑂, 𝑗⃗ ) et de rapport
1
2
de (𝐶𝑓 )
V.
REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA
RECIPROQUE D'UNE BIJECTION
5.1 PROPRIETES FONDAMENTALES
 seule une fonction bijective admet une fonction réciproque
 si 𝐃 est la domaine de définition de la fonction bijective, 𝐃 est l’image de sa
fonction réciproque.
 la courbe de la fonction reciproque 𝐟 −𝟏 (𝐱) dans le plan cartésien est
symétrique à la courbe de f(x) par rapport à la diagonale 𝐲 = 𝐱 dite premiere
bissectrice.
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SERIE D’EXERCICES
3
EXERCICE 1
Déterminer l’ensemble de définition de
chacune des fonctions suivantes :
a) f(x) = −x 3 + 2x − 1
b) f ∶ [1 ; +∞ [ →
c) f(x) =
d) f(x) =
−x+4
e) f(x) =
√x+1 −2
f) f(x) = √|
h) f(x) =
x −
3π
4
x
b) Montrer que les fonctions f et g sont
égales.
|
2
2) f(x) = 2x + 1 + x −
x
−x
√x+1 − x
d) f(x) =
g) f(x) =
√−4x+1
√x + 2
√2−3x + 1
|x|− 1
x+1
x+4
√
3x
2−x
x+ 7
x2 + 2x − 3
a
b
x− 1
+
et
x + 3
x ↦ 2x 4 + x 2 ― 1 ;
x ↦ x 3 + 2x
x ↦ x2 ― 3 | x | + 1 ;
|x|
x2
x ↦ |x4
√x 2 − x − 2x si x ≥ 0
2x2 +x−3
x + 2
x↦
si x > 0
si x = −1
x↦
Extrait de XY-MATHS caps vers la réussite 1 S2
x+ 3
Etudier la parité des fonctions suivantes :
x↦
e
x2 − 9
EXERCICE 5
√|x 2 − 2x| + x si x ≥ 0
h(x) = { x2
si x < 0
x + 1
------------------------------------
g(x) =
et
sont – elles égalent ?
4) Dans chacun des cas déterminer les
réels a et b pour que les fonctions f et
g soient égales.
a) f(x) = −2x 2 − 12x − 16
et
2
g(x) = −2( x − a) + b
g(x) =
EXERCICE 3
Déterminer l’ensemble de définition de
chacune des fonctions suivantes :
x 2 + 3x − 1 si x ≤ −2
f(x) = { x + 5
> −2
|x|−4
0
x − 1
b) f(x) =
x2 +2x
√x+3 − √2x−1
g(x) = {
et
−x+ 1
f(x) = x − 3
e) f(x) = √|x − 1| − 2
f) f(x) =
1
Montrer que les fonctions f et g sont
égales.
3) Les fonctions f et g définies par
x2 −2x+1
a) f(x) = √| x 2 − x − 2| b) f(x) =
2x2
g(x) =
EXERCICE 2
Déterminer l’ensemble de définition de
chacune des fonctions suivantes :
c) f(x) =
et g(x) = x − 1
x2 + 2
(x 2 + 2)(x − 1) = x 3 − x 2 + 2x − 2
x+3
i) f(x) = √
x3 − x2 + 2x − 2
a) Vérifier que :
−3x
|x− 2|
g) f(x) = √−x 2 + 3x + 2
√ π2 −x2
EXERCICE 4
f(x) =
↦ f(x) = x +2
x
|x|− 7
Z(x) = √√x 2 + x − 2
1) Soient les fonctions
ℝ
x
x
si x ≤ 1
Q(x) = { |x +1 |−2
√x − 3 si x > 1
27
+1
x3
; x↦
− x2 +1|
|1+x| −|1− x|
|1+x|+|1− x|
4|x|
x
;
;
√x2 − 16
√4 + x2
x + 1
x↦
x↦x+
1 − x2
1
x2
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1) Montrer que si M s’écrit M( x; y) dans
le repère (O; i,⃗⃗ ⃗j) et M(X; Y) dans le
x = X+1
repère (I; i,⃗⃗ ⃗j) alors : {
y = Y
2) Soit f la fonction définie sur ℝ − {−1}
EXERCICE 6
On donne les fonctions de IR vers IR
ci – dessous :
f1 ∶ x ⟼ 2√x − 3 ;
1
f2 ∶ x ⟼ √ x 2 − 4 et f3 ∶ x ⟼ 2x −3
par f(x) =
1)
Déterminer : Df1 of3 ; Df2 of3 et
Df3 of2
2)
Déterminer f1 of3 (x) ;
f3 of2 (x)
et f1 of2 of3 (x)
EXERCICE 7
Dans chacun des cas suivants, déterminer
sur quel sous-ensemble de IR on a f ≤ g.
1. f (x) = 2x ─ 3 et g(x) = ─ x + 5
x
2. f (x) = √1 + x et g(x) = 1 + 2
3. f (x) = x² ─ 2x + 2 et g(x) = 1
4x−3
4. f (x) = 2x+3 et g(x) = 2x ─ 3
EXERCICE 8
Dans chacun des cas suivants, prouver
que la courbe représentative de f admet :
1) la droite (D) comme axe de
symétrie
a) f(x) =
x2
+4x +3
2x2 + 8x +9
2
par f(x) =
(∆) ∶ x = −1
d) f(x) = √−x 2 + 2x + 15; (∆) ∶ x = 1
4x2 +4x − 3
(2x +5)(2x − 3)
1
; (∆) ∶ x = − 2
2) la point (Ω) comme centre de
symétrie
a) f(x) =
b) f(x) =
x3 − x2 − x
2x2 − 4x +1
(x + 1)2
x2 + 1
;
;
Ω ( 1; 1)
Ω ( 0; 1)
c) f(x) = √5 − x − √x − 1 ; Ω ( 3; 0)
3
d) f(x) = 2x − 3 − x +2 ;
Ω ( −2; 3)
EXERCICE 9
On donne un repère orthonormé (O; i,⃗⃗ ⃗j)
du plan, le point I( 1, 0) et un point M.
------------------------------------
e
Extrait de XY-MATHS caps vers la réussite 1 S2
x2 + 3
x + 1
;
(Cf ) sa courbe
représentative.
Montrer que (Cf )
admet
le point
I( −1 ; −2) pour centre de symétrie.
2) Utilisation du changement de repère
On donne I( 1 ; 2)
dans un repère
orthonormal du plan(O; i,⃗⃗ ⃗j). On définit
également le repère orthonormal(I; i,⃗⃗ ⃗j) .
a) Soit le point M(x; y) dans le repère
(O; i,⃗⃗ ⃗j) et
M(X; Y)
dans
le
repère(I; i,⃗⃗ ⃗j) .
x = X+1
Montrer que : {
y = Y +2
b) Soit f la fonction définie sur ℝ par
f(x) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2 ; (Cf ) est sa
courbe représentative dans (O; i,⃗⃗ ⃗j).
Déterminer la fonction F telque Y = F(X)
de la courbe (Cf ) dans le repère (I; i,⃗⃗ ⃗j).
c) Montrer que F est une fonction impaire.
d) En déduire que le point I( 1 ; 2) est le
centre de symétrie de la courbe (Cf ).
c) f(x) = √x 2 − 4x + 3; (∆) ∶ x = 2
e) f(x) =
; (Cf ) est la courbe
représentative de f dans le repère
(O; i,⃗⃗ ⃗j).
a) Déterminer la fonction F telque
Y = F(X) de la courbe (Cf ) dans le repère
(I; i,⃗⃗ ⃗j).
b) Montrer que F est une fonction paire .
c) En déduire que la droite d’équation
x = 1 est un axe de symétrie de la courbe
(Cf ).
EXERCICE 10
1) Utilisation des formules usuelles
Soit f la fonction définie sur ℝ − {−1}
; (∆) ∶ x = −2
b) f( x) = |x + 1| ;
x2 − 2x − 1
(x − 1)2
28
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EXERCICE 12
Soit
f la fonction
définie par
2
f(x) = x − 2x + 1
1) Montrer que la droite (D): x = −3
est axe de symétrie de (Cf ).
2) Ecrire f(x) sous la forme canonique.
3) Soit
A(1 ; −3)
dans
le
repère (O; i,⃗⃗ ⃗j).
En utilisant un changement de repère par
la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OA ; donner
a) dessiner la courbe représentative de
la fonction g définie par g(x) = f(x − 1)
h) dessiner la courbe représentative de la
fonction h définie par h(x) = |f(x)|.
2) la fonction f est définie sur ℝ par
1)
f(x) =
−4x2 +2x +6
3x2 + 3
a) donner une expression de g(x).
b) donner une expression de h(x).
EXERCICE 15
1) On donne une fonction g définie sur
IR vérifie : 3g(−x) + g(x) = 4x 3 + 2x
a) Montrer que g est impaire ;
b) En déduire la fonction g(x) .
2) Soit f une fonction telle que pour
l’équation cartésienne de (Cf ) dans le
repère (A; i,⃗⃗ ⃗j).
4) Représenter graphiquementf.
5) En
déduire
la
représentation
graphique de la fonction g définie par
g(x) = |f(x)|
EXERCICE 13
On considère la fonction f définie sur ℝ
par f(x) = x 2 + 6x + 4 et (Cf ) sa courbe
représentative.
1) Vérifier
que,
pour
réel
x;
2
f(x) = (x = 3) − 5
2) Donner la transformation qui permet
d’obtenir la courbe ( Cf ) à partir de la
parabole représentative de la fonction
x ↦ x2
3) Tracer (Cf )
4) Dresser le tableau de variation de f.
EXERCICE 14
La courbe ci-dessous est la représentation
graphique d’une fonction f définie sur ℝ.
1 + f(x )
− f(x )
tout réel x on ait : f(x + 2 ) = 1
a)Calculer f(x + 4) ; f(x + 6 ) etf(x + 8 )
b) en conclure sur la périodicité de f.
EXERCICE 16
La courbe tracée ci-dessous est la
représentation graphique d’une fonction f
définie sur ℝ par f(x) = 3x 2 − x 3
1) Dessiner la courbe représentative de la
fonction g définie par g(x) = f(x) − 1
2) Soit h
la fonction définie par
h(x) = f(x − 2)
a) Dessiner la courbe représentative de la
fonction h.
b) Donner l’expression de h(x).
------------------------------------
e
Extrait de XY-MATHS caps vers la réussite 1 S2
29
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c) Etablir le tableau de variation de la
fonction h.
3) Soit z la fonction définie par
Z(x) = |f(x)|.
a) Donner une expression de Z(x).
b) Etablir le tableau de variations de la
fonction Z.
EXERCICE 17
On définit une fonction f par son tableau
des variations suivant :
1) Quel est l’ensemble de définition Df de f.
2) Quelles sont les images de 1 ? de 4 ?et
de 6 ?
3) Donner un encadrement par deux
entiers consécutifs de l’image de 0.
4) a)Donner un antécédent de −1.
b) −1 a-t –il d’autres antécédent dans
[−6 ; 6] ?
5) Combien 0 a-t –il d’antécédents ?
6) Combien 2 a-t –il d’antécédents ?
EXERCICE 19
On considère la fonction f définie sur
[−2 ; 3] et dont un donne le tableau de
variations
1) Déduire les courbes des fonctions
g ; h et k définies sur ℝ par :
a) g(x) = −f(x)
b) h(x) = |f(x)|
c) K(x) = f(−x)
2) On définit
sur ℝ la fonction F
par F(x) = f(|x|).
a) Démontrer que la fonction F est paire.
b) En déduire la représentation de la
fonction F.
EXERCICE 21
On considère la fonction  définie par
f(x)  x(1 – x) Sur IR
1
1. Démontrer que f(x) ≤ 4 pour tout x  IR
2. En déduire que la fonction  admet un
maximum en x 
1
.
2
3. Démontrer que f(x)
Donner
le tableau
1
;
1
− f(2x) ;
2
f(2x) et f(2 x)
EXERCICE 20
Soit la fonction f définie sur ℝ par
f(x) = x 3 − 3x + 1
représentée
cidessous.
------------------------------------
e
Extrait de XY-MATHS caps vers la réussite 1 S2
1 2
− (x − 2) .
4
EXERCICE 22
Soit f la fonction définie sur l’intervalle
I = [1 ; 4[ par f(x) = √x + 1
1) Montrer que h réalise une bijection
de I vers un intervalle J à préciser.
2) Représenter graphiquement (Cf ) dans
un repère orthonormé (O ; ⃗i, ⃗j).
3) En déduire la représentation (Ch−1 ) la
bijection
réciproque
de
h
de variations des
fonctions suivantes : 2f
1
30
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

DEVOIR A LA MAISON N°III
EXERCICE
(9 pts)
I
1. Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
―x
f (x) = 2x + 1
g (x) =
x―5
Q(x) = 2| x | ― 3
― 6x2 + 13x + 5
2x ― 3
1― ―x
1+ ―x
√−x + 2 si x ∈ ]− ∞ ; 2]
x
si x ∈ ]2; 5[
x2 − 9
Z(x) = {
h (x) =
x 2 − √x 2 − 49 si x ∈ ]5; +∞ [
2. Soient les fonctions
f : 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅
et
g : 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅
― x²
x↦ ―|x |
x↦ |x |
Trouver un sous-ensemble D de IR tel que les restrictions de f et g à D soient égales.

1.
EXERCICE
(11 pts)
II
On considère les fonctions f et g de IR vers IR telles que :
 2 x 2  12
x2  4
f(x) =
et
g(x) =  x  3x  4
a) Donner le domaine de définition de f et g .
b) Déterminer le domaine de définition de fog, puis expliciter fog(x).
2. Etudier la parité de chacune des fonctions suivantes après avoir déterminer son
ensemble de définition:
2
x2  1
f(x) =
1+x+ 1―x
1+x ― 1―x
k(x) =
; g(x) =
3  2x
;
v(x) =
x 1
5x2 + 3x|x| − 2x
x3 −9x
f(x) =
3. Soit la fonction f définie par
x2 −5x + 15
x −2
et 𝐶𝑓 sa courbe représentative
dans le plan muni d’un repère (𝑂; 𝑖⃗; 𝑗⃗) ; prouver que la courbe 𝐶𝑓 admet le point
A( 2; −1) comme centre de symétrie.
------------------------------------
e
Extrait de XY-MATHS caps vers la réussite 1 S2
31
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 DEVOIR A LA MAISON N°III

EXERCICE
(9 points)
I
3. Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
f (x) =
√3x − 6
|x−1|− |x−5|
g (x) =
√|x 2 + x + 2|
Q(x) ={
x2 −3x + 2
√−6x2 +13x+5
h (x) =
√2x−3
1+ √−x
1− √−x
si x ≤ 1
si x > 1
x−3
4. On considère les fonctions f et g de IR vers IR telles que :
f(x) = √x 2 − 1
et
1
g(x) =
x +2
Déterminer le domaine de définition de fog(x), puis expliciter fog(x).

EXERCICE
(7points)
II
1) Dans chacun des cas suivants, prouver que la courbe représentative de f admet
l’élément de symétrie précisée :
a) f(x) =
b) g(x) =
x2 +4x + 3
2x2 +8x + 9
x3 − x2 − x
;
2x2 −4x + 1
2) Soient les fonctions f(x) =
axe de symétrie (𝐷) : x = −2
; centre de symétrie : S ( 1; 1)
x3 + x2 − x
x2 + 1
; g(x) = x + 1 et h(x) = √−3x + 2
Comparer les fonctions :
a) f et g
b) h et g

EXERCICE III
(5 points)
On considère la fonction f définie par f(x) = x 2 dont la représentation graphique est
données sur la copie jointe et la fonction g définie par g(x) = x 2 − 2x + 4
1) Ecrire g(x) sous la forme canonique.
2) En déduire que sa courbe représentative est l’image de la courbe Cf par la
⃗⃗ que l’on précisera .
translation d’un vecteur V
3) Dessiner la courbe
Cg sur le même graphique
------------------------------------
e
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Prénom : ……………………………………………….
Nom : ……………………………………………………..
------------------------------------
e
Extrait de XY-MATHS caps vers la réussite 1 S2
33
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

DEVOIR A LA MAISON N°III
EXERCICE
I
Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
a) f(x) =
x
x−x2
b) g(x) = √
+ √ x 2 − 2x
x−1
4−3x
c) H(x) = √| 3x 2 − x + 2|
d) K(x) =

√ x2 + 1
√1− x2
EXERCICE
II
Soit f la fonction numérique à variable réelle définie par f(x) =
√x −2 − √4 − x
x2 −6x + 3
1) a) Déterminer l’ensemble de définition de f.
i) Montrer que le point Ω (3 ; 0) est centre de symétrie de la courbe de f.
f(x) =
2) Soit la fonction f tels que
x2 + 3x +1
x + 2
a) Déterminer une équation de (Cf ) dans le repère (A; i,⃗⃗ ⃗j) avec A( −2 ; −1).
b) Que peut-on en déduire pour(Cf ).

EXERCICE
III
On donne le tableau des variations d’une fonction f suivant :
1) Donner le tableau de variations de :
1
g(x) = f(x − 1) ; h(x) = f(x) + 2 et de K(x) = −f(x)
2) Donner une représentation graphique de la fonction f puis celle des fonctions g , h
et K.
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e
Extrait de XY-MATHS caps vers la réussite 1 S2
34
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