analyse1 Manga

Table des mati`eres
Introduction 1
1 Les nombres r´eels 2
1.1 Quelquesensemblesusuels.................................... 2
1.1.1 Lesentiers ........................................ 2
1.1.2 Lesrationnels....................................... 3
1.1.3 Carences du corps Q................................... 5
1.2 L’ensemble des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Nombrer´eel........................................ 7
1.2.2 Addition et multiplication dans R........................... 8
1.2.3 Relation d’ordre dans R................................. 9
1.3 Topologie de R.......................................... 11
1.3.1 Intervalle, voisinage, ensemble ouvert et ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Int´erieur, adh´erence, ensemble d´eriv´e, point isol´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Droite num´erique achev´ee - Notions de voisinage de +∞et de −∞ dans R. . . . 13
1.4 Borne sup´erieure et borne inf´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Majorants-Minorants.................................. 14
1.4.2 Borne sup´erieure - Borne inf´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Axiomed’Archim`ede....................................... 17
1.6 Racine n-i`eme d’un nombre r´eel positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Densit´e des nombres rationnels et des irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Approximationd’unr´eel..................................... 21
1.8.1 Notiondevaleurabsolue................................. 21
1.8.2 Distance sur R...................................... 21
1.8.3 Approximation d’un nombre r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Suites num´eriques 23
2.1 D´efinitions............................................. 23
2.2 Propri´et´esdessuites ....................................... 24
2.3 Suites´equivalentes ........................................ 26
2.4 Suites monotones, suites adjacentes et th´eor`eme de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Plus grande et plus petite limite - Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . 30
3 Limites et continuit´e d’une fonction r´eelle `a variable r´eelle 36
3.1 D´efinitions et limites de fonctions num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Limites `a droite et `a gauche - Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Infiniment petits et infiniment grands ´equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Fonctionscontinues........................................ 42
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TABLE DES MATI ` ERES ii
3.5 Fonction strictement monotone sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Fonctionscompos´ees....................................... 47
3.7 Fonctions uniform´ement continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8 Fonctions Logarithme et exponentielle (Rappel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.9 Fonction logarithme de base a > 0 (a6=1) .......................... 51
3.10Fonctionpuissance ........................................ 51
3.11 Fonctions circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.11.1 FonctionArcsinus .................................... 52
3.11.2 FonctionArccosinus ................................... 52
3.11.3 FonctionArctangente .................................. 52
3.11.4 Fonction Arccotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.12 Croissance compar´ee des fonctions exponentielle, puissance et logarithme. . . . . . . . . . 53
3.12.1 Comparaison de la fonction exponentielle et de la fonction puissance. . . . . . . . . 53
3.13 Comparaison de la fonction logarithme et de la fonction puissance . . . . . . . . . . . . . 53
3.14 Comparaison de l’exponentielle et de logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 D´erivation d’une fonction r´eelle `a variable r´eelle 55
4.1 Notion de d´eriv´ee - Fonction d´erivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Nombre d´eriv´e, d´eriv´ee `a gauche, d´eriv´ee `a droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 D´eriv´ees successives et diff´erentielle d’une fonction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Calculded´eriv´ees ........................................ 59
4.4.1 D´eriv´ee d’une combinaison lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.2 D´eriv´eed’unproduit................................... 59
4.4.3 D´eriv´ee d’une fonction compos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.4 D´eriv´ee d’une fonction r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Applications aux d´eriv´ees de fonctions ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6 Fonctionshyperboliques ..................................... 62
4.7 Th´eor`eme sur les valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.8 Formule de Taylor et d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.8.1 FormuledeTaylor .................................... 66
4.8.2 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Int´egrale de Riemann de fonctions num´eriques `a valeurs r´eelles 75
5.1 Int´egration des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Int´egrale des fonctions num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.1 Fonction num´erique Riemann-int´egrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.2 D´efinition et construction de l’int´egrale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.3 Principaux exemples de fonctions int´egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.4 Interpr´etation g´eom´etrique de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 Propri´et´es g´en´erales de l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
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TABLE DES MATI ` ERES iii
5.4 Primitivation ........................................... 83
5.4.1 Int´egraleind´efinie .................................... 83
5.4.2 Changementdevariable................................. 85
5.4.3 Cas o`u l’intervalle d’int´egration est sym´etrique par rapport `a l’origine . . . . . . . 86
5.4.4 Int´egrationparparties.................................. 87
5.4.5 Applications - Int´egrales de Wallis et formule de Wallis . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.6 Invariance par translation : application aux fonctions p´eriodiques . . . . . . . . . . 88
5.5 Sur quelques primitives et proc´ed´es pratiques de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.5.1 Primitivesusuelles .................................... 89
5.5.2 Lin´earisation ....................................... 89
5.6 Formules de la moyennes et sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.6.1 Formulesdelamoyenne................................. 90
5.6.2 SommesdeRiemann................................... 93
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Introduction
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Chapitre Un
Les nombres r´eels
Sommaire
1.1 Quelques ensembles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 L’ensemble des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Topologie de R..................................... 11
1.4 Borne sup´erieure et borne inf´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Axiomed’Archim`ede ................................. 17
1.6 Racine n-i`eme d’un nombre r´eel positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Densit´e des nombres rationnels et des irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Approximation d’un r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1 Quelques ensembles usuels
1.1.1 Les entiers
On d´esigne par Nl’ensemble des entiers naturels N={0,1,2,3, . . .}. Comme chaque entier naturel
nadmet un successeur qui est n+ 1, il est ais´e de se convaincre que Nest un ensemble infini. On note
N∗l’ensemble N\ {0}, c’est-`a-dire l’ensemble des entiers naturels non nuls. On munit Ndes op´erations
usuelles telles que l’addition ”+” et la multiplication ”×”. On a les propri´et´es suivantes.
Propri´et´es 1.1. Pour tous m, n, p dans N,
1. n+m=m+n(Commutativit´e de l’addition) ;
2. (m+n) + p=m+ (n+p) = m+n+p(associativit´e de l’addition) ;
3. 0 + n=n+ 0 = n(0est un ´el´ement neutre pour l’addition) ;
4. m×n=n×m(Commutativit´e de la multiplication) ;
5. (m×n)×p=m×(n×p)(associativit´e de la multiplication) ;
6. 1×n=n×1 = n(1est un ´el´ement neutre pour la multiplication) ;
7. m×(n+p) = m×n+m×p(distributivit´e de la multiplication par rapport `a l’addition).
Il est facile de s’assurer que l’addition et la multiplication sont des op´erations qui ont leurs r´esultats
dans N. On dit alors que Nest stable pour l’addition et la multiplication ou que l’addition et la multipli-
cation sont des lois internes de N. Par contre le r´esultat d’une soustraction n’est pas toujours un entier
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