analyse1 Manga

Table des matières
Introduction
1
1 Les nombres réels
1.1 Quelques ensembles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Les entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Les rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Carences du corps Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 L’ensemble des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Addition et multiplication dans R . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Relation d’ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Topologie de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Intervalle, voisinage, ensemble ouvert et fermé . . . . . .
1.3.2 Intérieur, adhérence, ensemble dérivé, point isolé . . . .
1.3.3 Droite numérique achevée - Notions de voisinage de +∞
1.4 Borne supérieure et borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Majorants - Minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Borne supérieure - Borne inférieure . . . . . . . . . . . .
1.5 Axiome d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Racine n-ième d’un nombre réel positif . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Densité des nombres rationnels et des irrationnels . . . . . . . .
1.8 Approximation d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Notion de valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Distance sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Approximation d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . .
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et de −∞
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2 Suites numériques
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriétés des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Suites monotones, suites adjacentes et théorème de Cantor . . . . . .
2.5 Plus grande et plus petite limite - Théorème de Bolzano-Weierstrass
3 Limites et continuité d’une fonction réelle à variable
3.1 Définitions et limites de fonctions numériques . . . . .
3.2 Limites à droite et à gauche - Fonctions monotones . .
3.3 Infiniment petits et infiniment grands équivalents . . .
3.4 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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réelle
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DMI/FST/UCAD
TABLE DES MATIÈRES
ii
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
Fonction strictement monotone sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions Logarithme et exponentielle (Rappel) . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction logarithme de base a > 0 (a 6= 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.1 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.2 Fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.3 Fonction Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.4 Fonction Arccotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Croissance comparée des fonctions exponentielle, puissance et logarithme. .
3.12.1 Comparaison de la fonction exponentielle et de la fonction puissance.
3.13 Comparaison de la fonction logarithme et de la fonction puissance . . . . .
3.14 Comparaison de l’exponentielle et de logarithme . . . . . . . . . . . . . . .
4 Dérivation d’une fonction réelle à variable réelle
4.1 Notion de dérivée - Fonction dérivable . . . . . . . . . .
4.1.1 Nombre dérivé, dérivée à gauche, dérivée à droite
4.2 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Dérivées successives et différentielle d’une fonction : . .
4.4 Calcul de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Dérivée d’une combinaison linéaire . . . . . . . .
4.4.2 Dérivée d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Dérivée d’une fonction composée . . . . . . . . .
4.4.4 Dérivée d’une fonction réciproque . . . . . . . . .
4.5 Applications aux dérivées de fonctions élémentaires . . .
4.6 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Théorème sur les valeurs moyennes . . . . . . . . . . . .
4.8 Formule de Taylor et développements limités . . . . . .
4.8.1 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2 Développements limités . . . . . . . . . . . . . .
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5 Intégrale de Riemann de fonctions numériques à valeurs réelles
5.1 Intégration des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Intégrale des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Fonction numérique Riemann-intégrable . . . . . . . . . . .
5.2.2 Définition et construction de l’intégrale d’une fonction . . .
5.2.3 Principaux exemples de fonctions intégrables . . . . . . . .
5.2.4 Interprétation géométrique de l’intégrale . . . . . . . . . . .
5.3 Propriétés générales de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . .
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DMI/FST/UCAD
TABLE DES MATIÈRES
5.4
5.5
5.6
iii
Primitivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Intégrale indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Cas où l’intervalle d’intégration est symétrique par rapport à l’origine
5.4.4 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5 Applications - Intégrales de Wallis et formule de Wallis . . . . . . . .
5.4.6 Invariance par translation : application aux fonctions périodiques . . .
Sur quelques primitives et procédés pratiques de base . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formules de la moyennes et sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Formules de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction
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Chapitre Un
Les nombres réels
Sommaire
1.1
1.1.1
1.1
Quelques ensembles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
L’ensemble des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Topologie de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4
Borne supérieure et borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5
Axiome d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6
Racine n-ième d’un nombre réel positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.7
Densité des nombres rationnels et des irrationnels . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.8
Approximation d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Quelques ensembles usuels
Les entiers
On désigne par N l’ensemble des entiers naturels N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Comme chaque entier naturel
n admet un successeur qui est n + 1, il est aisé de se convaincre que N est un ensemble infini. On note
N∗ l’ensemble N \ {0}, c’est-à-dire l’ensemble des entiers naturels non nuls. On munit N des opérations
usuelles telles que l’addition ”+” et la multiplication ”×”. On a les propriétés suivantes.
Propriétés 1.1. Pour tous m, n, p dans N,
1. n + m = m + n (Commutativité de l’addition) ;
2. (m + n) + p = m + (n + p) = m + n + p (associativité de l’addition) ;
3. 0 + n = n + 0 = n (0 est un élément neutre pour l’addition) ;
4. m × n = n × m (Commutativité de la multiplication) ;
5. (m × n) × p = m × (n × p) (associativité de la multiplication) ;
6. 1 × n = n × 1 = n (1 est un élément neutre pour la multiplication) ;
7. m × (n + p) = m × n + m × p (distributivité de la multiplication par rapport à l’addition).
Il est facile de s’assurer que l’addition et la multiplication sont des opérations qui ont leurs résultats
dans N. On dit alors que N est stable pour l’addition et la multiplication ou que l’addition et la multiplication sont des lois internes de N. Par contre le résultat d’une soustraction n’est pas toujours un entier
Analyse mathématique
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DMI/FST/UCAD
Les rationnels
3
naurel. Ou encore, l’équation x + 1 = 0, d’inconnu x, n’admet pas de solution dans N. On crée ainsi de
nouveaux nombres : les entiers relatifs. On note Z l’ensemble des entiers relatifs,
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}.
et Z∗ = Z \ {0}. En plus des Propriétés 1.1, l’addition dans Z satisfait la propriété suivante : pour tout
élément n de Z, il existe un élément (−n) de Z tels que n + (−n) = 0.
Cette ensemble Z des entiers relatifs, introduit pour pallier les carences de l’ensemble N, s’est révélé
très vite insuffisant. Il n’est, en effêt, pas possible de résoudre l’équation 3x = 2, d’inconnu x, dans
a
l’ensemble Z. Il est donc encore nécessaire d’introduire un ensemble, dont les éléments sont du type ,
b
où a ∈ Z et b ∈ Z∗ .
1.1.2
Les rationnels
a
L’ensemble des nombres rationnels est l’ensemble Q = { , a ∈ Z et b ∈ Z∗ } dans lequel on identifie
b
a×n
a
pour tout a ∈ Z et b, n ∈ Z∗ . On munit Q des opérations + et ×, qui bien sûr,
la fraction avec
b
b×n
satisfont les Propriétés 1.1. Mieux, on a la
Proposition 1.1. Le triplet (Q, +, ×) est un corps commutatif archimédien, c’est-à-dire qu’il vérifie les
propriétés suivantes : pour tous éléments x, y, z de Q,
1. pour tous x, y, z dans Q, (x + y) + z = x + (y + z) ;
2. pour tous x, y dans Q, x + y = y + x ;
3. pour tout x dans Q, 0 + x = x ;
4. pour tout x dans Q, il existe −x dans Q tel que x + (−x) = 0 ;
5. pour tous x, y, z dans Q, x(yz) = (xy)z ;
6. pour tous x, y dans Q, xy = yx ;
7. 1 6= 0 et pour tous x dans Q, 1 × x = x ;
8. pour tous x dans Q, x 6= 0, il existe x−1 ∈ Q tel que x × x−1 = 1 ;
9. pour tous x, y, z dans Q, x × (y + z) = x × y + x × z ;
10. Q est archimédien, c’est-à-dire que Q, muni de la relation d’ordre totale ≤, satisfait la condition :
quels que soient les éléments x et y de Q tels que 0 < x < y, il existe un entier naturel n tel que
n × x > y. Précisément, cela s’écrit : pour tous x, y ∈ Q,
(0 < x < y) ⇒ (∃n ∈ N/ |x + x +
{z· · · + x} > y).
n fois
Remarquons également que la relation d’ordre totale vérifie
— (x ≤ y) ⇒ (x + z ≤ y + z) ;
— (0 ≤ x, 0 ≤ y) ⇒ (0 ≤ x × y).
Définition 1.1. Une partie non vide A de Q est dite majorée s’il existe M ∈ Q tel que, pour tout x ∈ A,
x ≤ M . Si A est une partie majorée de Q, un rationnel M tel que x ≤ M quel que soit x ∈ A est appelé
un majorant de A.
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Les rationnels
4
Exemple 1.1. L’ensemble {x ∈ Q : x3 ≤ 2} est majoré. Les nombres 2, 3, 100 sont des majorants de cet
ensemble.
Définition 1.2. Une partie non vide majorée A de Q admet un plus grand élément s’il existe un majorant
de A qui appartient à A.
Exemple 1.2. Le nombre 2 est le plus grand élément de l’ensemble {x ∈ N : x2 ≤ 4}.
Exercice 1.1. L’ensemble {x ∈ Q : x2 < 2} admet-il un plus grand élément ?
Définition 1.3. Une partie non vide A de Q est dite minorée s’il existe m ∈ Q tel que, pour tout x ∈ A,
m ≤ x. Si A est une partie minorée de Q, un rationnel m tel que m ≥ x quel que soit x ∈ A est appelé
un minorant de A.
Exercice 1.2. Montrer que l’ensemble {x ∈ Q : x3 + x ≥ 0} est minoré.
Définition 1.4. Une partie non vide minoréé A de Q admet un plus petit élément s’il existe un minorant
de A qui appartient à A.
Exercice 1.3. L’ensemble B = { n1 , n ∈ N∗ } admet-il un plus petit élément ?
Définition 1.5. on dit qu’une partie non vide de Q est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Exercice 1.4. L’ensemble {x ∈ Q : x2 + 3x ≤ 0} est borné.
Soit A une partie non vide Q.
— Si A est majorée, l’ensemble M(A) des majorants de A est non vide et minoré.
— Si A est minorée, l’ensemble J (A) des minorants de A est non vide et majoré.
Définition 1.6. Soit A une partie non vide de Q. Si l’ensemble M(A) ds majorants de A possède un
plus petit élément S, on dit que S est la borne supérieure de A et on note S = supA.
Théorème 1.1 (Caractérisation de la borne supérieure). Une partie non vide majorée A de Q possède
une borne supérieure si et seulement si, il existe un nombre rationnel S qui vérifie les propriétés suivantes :
1. pour tout x dans A, x ≤ S,
2. pour tout rationnel r > 0, il existe a ∈ A tel que S < a + r.
S est alors la borne supérieure de A.
Exercice 1.5. Prouver que 5 est la borne supérieure de l’ensemble A = {x ∈ Q : x < 5}.
Exercice 1.6. Prouver que l’ensemble B = {1 −
déterminera.
1
n, n
∈ N∗ } possède une borne supérieure que l’on
Définition 1.7. Soit A une partie non vide de Q. Si l’ensemble J (A) ds minorants de A possède un
plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = infA.
Théorème 1.2 (Caractérisation de la borne inférieure). Une partie non vide majorée A de Q possède une
borne inférieure si et seulement si, il existe un nombre rationnel m qui vérifie les propriétés suivantes :
1. pour tout x dans A, m ≤ x,
2. pour tout rationnel r > 0, il existe a ∈ A tel que a < m + r.
S est alors la borne inférieure de A.
Analyse mathématique
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Carences du corps Q
1.1.3
5
Carences du corps Q
1.1.3.1
Inexistence de solution de l’équation p2 = 2
Remarquons d’abord que l’ensemble Q présente des insuffisances : par exemple, en restant dans Q
nous savons calculer la longueur de l’hyC
F
poténuse du triangle rectangle ABC mais pas
?=5
?
celle du triangle rectangle DEF . Autrement dit
3
1
il n’existe pas de nombre rationnel p tel que
p2 = 2.
(1.1)
E
m
En effet, supposons l’existance d’un rationnel p = , où (m, n) ∈ Z × Z avec m et n premier entre eux.
n
D’après (1.1), nous avons m2 = 2n2 ; c’est-à-dire que m2 est pair et par suite m est pair. D’où m2 est
divisible par 4. C’est pourquoi l’égalité m2 = 2n2 nous permet de dire que n2 est pair et par conséquent
n aussi est pair. On aboutit alors à une contradiction.
A
1.1.3.2
4
B
D
1
Partie majorée n’admettant pas de borne supérieure et partie minorée n’admettant
pas de borne inférieure
Soient A = {p ∈ Q : p ≥ 0 et p2 < 2} et B = {p ∈ Q : p ≥ 0 et p2 > 2}. Nous allons montrer que
l’ensemble A ne possède pas un plus grand élèment et que l’ensemble B ne possède pas un plus petit
élément. Plus précisement nous montrons que quelque soit p ∈ A, il existe q ∈ A tel que p < q ; et quelque
soit p ∈ B, il existe q ∈ B tel que q < p.
a) Soit p un élément quelconque de A. Alors p2 < 2. Choisissons un nombre rationnel h vérifiant
2 − p2
(en exhiber au moins un). Si nous posons q = p + h, il vient que q > p et
0 < h < 1 et h <
2p + 1
q 2 = p2 + (2p + h)h < p2 + (2p + 1)h < p2 + (2 − p2 ) = 2.
D’où A n’admet pas de plus grand élément.
b) Supposons maintenant que p un élément quelconque de B, c’est-à-dire que p2 > 2. En posant
p2 − 2
p 1
<
<
q =p−
= + , il suit que 0 ∗∗ q ∗ p et
2p
2 p
| {z } | {z }
∗
∗∗
2
2
2
q = p − (p − 2) +
p2 − 2
2p
2
> p2 − (p2 − 2) = 2,
c’est-à-dire q ∈ B et ainsi l’ensemble B n’admet pas de plus petit élément.
1.1.3.3
Suite d’intervalles emboı̂tés d’intersection vide
Considérons les suites de nombres rationnels (an )n∈N et (bn )n∈N définies par
an = 1 +
1
1
1
+ + ··· +
2! 3!
n!
et
bn = 1 +
1
1
1
1
+ + ··· +
+
2! 3!
n! n · n!
(1.2)
La suite (an )n est strictement croissante (évident) tandis que la suite (bn )n est strictement décroissante
2
car bn+1 − bn = − (n+1)·(n+1)!
< 0. Il est également facile de voir que an < bn , pour tout n ∈ N. On notera
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Carences du corps Q
6
[an , bn ] l’ensemble {r ∈ Q : an ≤ r ≤ bn } et on l’appelera intervalle. Les intervalles [an , bn ] vérifient
la propriétés suivantes : [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ] ⊂ [an−1 , bn−1 ] ⊂ · · · ⊂ [a1 , b1 ] ⊂ [a0 , b0 ] ; on dit qu’ils
sont emboı̂tés. Pourtant, leur intersection est vide. Supposons, en effet, qu’il existe l = pq ∈ Q tel que
l ∈ [an , bn ] our tout entier n ∈ N. Alors aq < pq < bq , c’est-à-dire que
1+
1
1
p
1
1
1
1
1
+ + ··· + < < 1 + + + ··· + +
.
2! 3!
q!
q
2! 3!
q! q · q!
En multipliant par q · q!, on obtient :
q · q!(1 +
1
1
1
1
1
1
+ + · · · + ) < p · q! < q · q!(1 + + + · · · + ) + 1.
2! 3!
q!
2! 3!
q!
Puisque les nombres q · q!(1 + 2!1 + 3!1 + · · · + q!1 ), p · q! et q · q!(1 +
T
les inégalités (1.3) sont impossibles. Donc n∈N [an , bn ] = ∅.
1.1.3.4
1
2!
+
1
3!
+···+
1
q! ) + 1
(1.3)
sont des entiers,
Suites de Cauchy non convergentes
Considérons la suite (an )n définie par (1.2). En remarquant que, si p ≥ 1,
si n et m sont des entiers tels que m > n, alors :
0 ≤ am − an ≤
1
1
1
+
+ · · · + m−1 ,
2n 2n+1
2
0 ≤ am − an ≤
1
1 − 2m−n−1
1
1
×
≤ n−1 .
1
n
2
2
1− 2
d’où
1
p!
≤
1
,
2n−1
Soit un rationnel r > 0. Puisque Q est archimédien, il existe un entier N tel que
n ≥ N + 1 et m ≥ N + 1, on a :
0 ≤ am − an ≤
1
2n−1
≤
1
N
on montre que
< r. Pour tous
1
1
≤
≤ r.
n−1
N
Comme on peut choisir le rationnel r aussi petit que l’on veut, les termes de la suite (an )n s’empilent
lorsque l’indice n devient de plus en plus grand : on dit que la suite (an )n est de Cauchy. On s’attend
donc à ce que la suite (an )n ait une limite dans Q, c’est-à-dire qu’il existe un nombre rationnel l tel
que : pour tout rationnel > 0, il existe n0 ∈ N tel que pour tout n ≥ n0 , |an − l| < . Il n’en est pas
malheureusement ainsi. Pour s’en convaincre, faire l’exercice suivant.
Exercice 1.7. En utilisant un raisonnement analogue à celui de la sous-section 1.1.3.3 que la suite (an )n
n’a pas de limite.
Ce que nous venons de voir montre que l’ensemble des nombres rationnels est un ensemble plein de
”trous” malgré qu’entre deux nombres rationnels distincts p et q (p < q) il existe toujours un troisième
p+q
. Les insuffisances de Q nous
(rationnel) l tel que p < l < q ; on peut par exemple prendre l =
2
conduisent à introduire les nombres dits ”irrationnels”. Voici quelques exemples de nombres irrationnels.
1. Le nombre π = 3, 1415 · · · défini comme étant la circonférence d’un cercle de diamètre 1.
√
2. Les racines carrées n si n est un entier naturel qui n’est pas un carré d’un autre entier naturel.
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Nombre réel
7
3. Le nombre e d’Euler : e = 2, 718 · · · , la base de l’exponentielle, défini comme somme infinie
+∞
X 1
1
1
1
1
1
e = 1 + + + + + + ··· + + ··· =
.
1! 2!
3! 4!
k!
k!
k=0
Supposons par l’absurde qu’il existe deux entiers a, b ∈ N∗ tels que e =
a
b
= 1+
a
. Alors,
b
1
1
1
1
1
1
1
+ + + + ··· + +
+
+ ···
1! 2! 3! 4!
b! (b + 1)! (b + 2)!
(1.4)
Ce que l’on peut encore écrire
a
1
1
1
1
1
1
1
=
− 1 + + + + + ··· +
+
+ ···
b
1! 2! 3! 4!
b!
(b + 1)! (b + 2)!
(1.5)
En multipliant l’égalité (1.5) par b!, on a :
b! b!
1
b!
1
1
a
=
×b!− b!+b!+ + +· · ·+
+
+· · ·+
+· · · . (1.6)
b
2! 3!
b!
b + 1 (b + 1)(b + 2)
(b + 1)(b + 2) · · · (b + n)
Il est claire que le terme de gauche de l’égalité (1.6) est un entier. Il en est donc de même du terme
de droite que nous notons s. Par ailleurs, pour tout k ∈ N∗ , (b + 1)(b + 2) · · · (b + k) > (b + 1)k et
on obtient l’encadrement suivant de s :
+∞
0<s<
X
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+ ··· =
.
2
3
n
b + 1 (b + 1)
(b + 1)
(b + 1)
(b + 1)k
k=1
Or
+∞
X
1
1
1
1
×
= ,
=
1
k
b + 1 1 − b+1
b
(b + 1)
k=1
donc 0 < s <
1.2
1
≤ 1. Ce qui contredit le fait que s ∈ N.
b
L’ensemble des nombres réels
Nous introduisons l’ensemble des nombres réels en donnant un certain nombre de résultats (axiomes).
1.2.1
Nombre réel
Définition 1.8. Un nombre réel est une collection de chiffres {c0 , . . . , cm } et {d1 , d2 , . . .} compris entre 0
et 9. Les chiffres ci sont en nombre fini et les chiffres dj peuvent être en nombre infini. On fait correspondre
à cette collection le nombre donné par le développement décimal
x = cm cm−1 . . . c1 c0 , d1 d2 d3 . . . dn . . .
(1.7)
Exemple 1.3.
1. Les décimales du nombre π sont c0 = 3, d1 = 1, d2 = 4, d3 = 1, . . .
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Addition et multiplication dans R
8
2. S’il n’y a qu’un nombre fini de décimales dj non nulles, alors le réel x est un rationnel et
x = cm 10m + cm−1 10m−1 + · · · + c1 10 + c0 + d1 10−1 + · · · + dn 10−n
(1.8)
(x est rationnel, car c’est une somme de rationnels).
3. Un nombre rationnel admet un développement décimal, donc est réel. On a
1
= 0, 3333 . . . (que des 3)
3
Théorème 1.3. Un nombre réel est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique
à partir d’un certain rang.
Démonstration. Admis
On note R l’ensemble des nombres réels et R∗ = R \ {0} l’ensemble des nombres réels non nuls. Sur
l’ensemble des nombres réels, on définit deux lois internes, une loi dite somme et notée ”+”, une autre
loi dite produit notée ”·” ; ainsi qu’une relation d’ordre notée ”≤”.
1.2.2
Addition et multiplication dans R
L’addition et la multiplication dans R satisfont les propriétés suivantes.
Propriétés 1.2. L’addition dans l’ensemble R des nombres réels vérifie les relations suivantes :
1. associativité : pour tous x, y, z éléments de R, on a (x + y) + z = x + (y + z) ;
2. élément neutre : pour tout x ∈ R, on a x + 0 = 0 + x = x ;
3. opposé (ou symétrique) : pour tout x ∈ R, on a x + (−x) = (−x) + x = 0.
4. commutativité : pour tous x, y éléments de R, on a x + y = y + x.
On dit donc que l’ensemble R des nombres réels muni de l’addition est un groupe commutatif.
Propriétés 1.3. La multiplication dans l’ensemble R des nombres réels vérifie les relations suivantes :
1. associativité : pour tous x, y, z éléments de R, on a (xy)z = x(yz) ;
2. élément neutre : pour tout x ∈ R, on a x · 1 = 1 · x = x ;
3. inverse : pour tout x ∈ R∗ , il existe un nombre noté x−1 ∈ R tel que x−1 · x = x · x−1 = 1 ; on
note aussi x−1 = x1 ; ainsi pour tout x ∈ R∗ , x · x1 = x1 · x = 1 ;
4. commutativité : pour tous x, y dans R, on a x · y = y · x.
On dit que l’ensemble R∗ , muni de la multiplication, est un groupe commutatif.
En plus des Propriétés 1.2 et 1.3 on a la propriété suivante dit de distributivité de la multiplication
par rapport à l’addition : x · (y + z) = x · y + x · z, pour tous x, y, z ∈ R. On dit alors que l’ensemble
R muni des deux lois (l’addition et la multiplication), (R, +, .), est un corps commutatif.
x
Dans la suite, pour tous réels x et y, on écrira x − y à la place de x + (−y) et par
à la place de
y
1
x · y −1 = x · lorsque y 6= 0.
y
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Relation d’ordre dans R
1.2.3
9
Relation d’ordre dans R
Commençons par quelques généralités. Soit E un ensemble quelconque mais non vide.
1.2.3.1
Relations binaires
Une relation binaire définie sur E est une propriété que chaque couple (x, y) d’éléments de E est
susceptible d’avoir ou non. Si R est une relation binaire sur E, on note xRy pour signifier que x et y
sont en relation par R. Ainsi se donner une relation binaire sur E, c’est se donner la partie G de E × E
constituée des couples (x, y) tels que xRy.
Exemple 1.4.
• Sur l’ensemble R des nombres réels, on connaı̂t les relations usuelles :
xRy ⇔ (x − y) ∈ R+ , c’est la relation notée ≥
xRy ⇔ (x − y) ∈ R− , c’est la relation notée ≤
xRy ⇔ (x − y) ∈ R∗+ , c’est la relation notée >
xRy ⇔ (x − y) ∈ R∗− , c’est la relation notée <
• Sur l’ensemble Z des entiers relatifs, on peut penser à la relation de divisibilité :
xRy ⇔ ∃k ∈ Z tel que y = kx.
• Sur Z, on peut aussi imaginer la relation R =≡ définie par : x ≡ y ⇔ x − y est pair.
• sur l’ensemble P(Ω) des parties d’un ensemble non vide Ω, on connaı̂t
~ la relation d’inclusion : ARB ⇔ A ⊂ B.
~ on peut aussi imaginer la relation définie par : AδB ⇔ A ∩ B = ∅.
Définition 1.9. Soit R une relation binaire sur un ensemble non vide E.
• On dit que R est réflexive si : ∀x ∈ E on a : xRx.
• On dit que R est symétrique si : ∀x ∈ E, ∀y ∈ E on a : xRy =⇒ yRx.
• On dit que R est antisymétrique si : ∀x ∈ E, ∀y ∈ E on a : (xRy et yRx) =⇒ x = y.
• On dit que R est transitive si : ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, ∀z ∈ E on a : (xRy et yRz) =⇒ xRz.
1.2.3.2
Relation d’ordre
Définition 1.10. Soit R une relation binaire sur un ensemble non vide E. On dit que R est une relation
d’ordre sur E si R est à la fois réflexive, antisymétrique et transitive.
Définition 1.11. Soit R une relation d’ordre sur un ensemble non vide E. On dit que R définit un
ordre total sur E lorsque deux éléments quelconques de E sont toujours comparables pour la relation R,
c’est-à-dire que pour tous x, y ∈ E, on a xRy ou yRx. Dans le cas contraire, on parle d’ordre partiel.
Exemple 1.5.
• La relation ”≤ ” définit un ordre total sur R (et sur N, Z, Q).
• La relation xRy ⇔ ∃k ∈ Z tel que y = kx définit un ordre partiel sur Z.
• La relation d’inclusion définit un ordre partiel sur P(Ω), pour tout ensemble non vide Ω.
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Relation d’ordre dans R
1.2.3.3
10
L’ordre dans R
L’ensemble R est un corps commutatif ordonné, c’est-à-dire il existe une relation notée ”≤” vérifiant
les propriétés suivantes.
Proposition 1.2. La relation d’ordre est compatible avec l’addition par un réel quelconque, et avec la
multiplication entre réels positifs.
1. ∀x, y, z ∈ R, x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z.
2. ∀x, y, z ∈ R, x < y =⇒ x + z < y + z
3. ∀x, y ∈ R, ∀z ∈ R+ , x ≤ y =⇒ xz ≤ yz.
4. ∀x, y, z ∈ R∗+ , x < y =⇒ xz < yz.
5. ∀x, y, z ∈ R∗− , x < y =⇒ xz > yz.
6. ∀x, y ∈ R∗ , 0 < x ≤ y ⇐⇒ 0 <
1
y
≤ x1 .
7. ∀x, y ∈ R∗ , x ≤ y < 0 ⇐⇒
1
y
≤
1
x
< 0.
8. ∀x, y ∈ R∗ , x < 0 < y ⇐⇒
1
x
< 0 < y1 .
9. ∀x, y, z, t ∈ R, x ≤ y et z ≤ t =⇒ x + z ≤ y + t.
10. ∀x, y, z, t ∈ R, x ≤ y et z < t =⇒ x + z < y + t.
11. ∀x, y ∈ R+ , ∀z, t ∈ R+ , x ≤ y et z ≤ t =⇒ xz ≤ yt.
12. ∀x, y ∈ R+ et ∀n ∈ N, on a : x ≤ y ⇐⇒ xn ≤ y n .
13. ∀x ∈ R+ et ∀n, m ∈ N, on a : x ≤ 1 et n ≤ m =⇒ xn ≥ xm .
14. ∀x ∈ R+ et ∀n, m ∈ N, on a : x ≥ 1 et n ≤ m =⇒ xn ≤ xm .
15. ∀x, y ∈ R+ et ∀n ∈ N∗ , on a :
(a) Formule du binôme de Newton
n
(x + y) =
n
X
{kn xk y n−k .
(1.9)
k=0
(b) xn − y n = (x − y)
n−1
X
!
xn−1−k y k .
k=0
16. Inégalité de Cauchy-Schwarz : pour tout n ∈ N∗ et tous réels x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yn , on a :
n
X
!2
x i yi
i=1
≤
n
X
i=1
!
x2i
n
X
!
yi2
.
(1.10)
i
Remarque 1.1.
1. On note y ≥ x pour signifier que x ≤ y.
2. x < y ⇐⇒ x ≤ y et x 6= y.
3. x = y ⇐⇒ x ≤ y et x ≥ y.
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Intérieur, adhérence, ensemble dérivé, point isolé
1.3
1.3.1
11
Topologie de R
Intervalle, voisinage, ensemble ouvert et fermé
Définition 1.12. On appelle intervalle de R, toute partie I de R qui contient tout élément compris entre
deux quelconques de ses éléments. Précisément, un ensemble non vide I est un intervalle de R si :
(x ∈ I, y ∈ I et x ≤ z ≤ y) =⇒ z ∈ I.
Soient a et b deux nombres réels, a < b, on note [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} l’intervalle fermé
d’extrémités a et b et ]a, b[= {x ∈ R : a < x < b} l’intervalle ouvert d’extrémités a et b.
Définition 1.13. Soit x ∈ R. Un voisinage de x est une partie de R contenant un intervalle ouvert
contenant x noté Vx ou V (x).
Exemple 1.6. ]0, 1[ et [0, 1] sont des voisinages de
1
2
mais [0, 1] n’est pas un voisinage de 1.
Théorème 1.4. Soient x ∈ R et V une partie de R. Les assertions suivantes sont équivalentes :
i) V est un voisinage de x ;
ii) il existe un nombre ε > 0 tel que V (x, ε) =]x − ε, x + ε[ :⊂ V ;
iii) il existe un entier n > 0 tel que V (x, n1 ) ⊂ V .
Démonstration. A prouver !
Définition 1.14. Soit X une partie de R.
— On dit que X est ouvert si X est un voisinage de chacun de ses points ou X est vide.
— On dit que X est fermé si le complémentaire {R X est ouvert.
Remarque 1.2. Ouvert n’est pas le contraire de fermé. En guise d’exemple, dans R, X = [0, 1[ n’est ni
ouvert ni fermé.
Théorème 1.5.
— Une intersection finie d’ouverts est un ouvert.
— Une union d’ouverts est un ouvert.
— R est ouvert.
— R est fermé.
— Une union finie de fermés est un fermé.
— Une intersection de fermés est fermé.
Démonstration. Au soin du lecteur pour la preuve !
1.3.2
Intérieur, adhérence, ensemble dérivé, point isolé
Définition 1.15. Dans R, un point x est dit intérieur à un ensemble X ⊂ R s’il existe un voisinage Vx
contenu dans X. L’ensemble des points interieurs à l’ensemble X est appelé l’intérieur de X et noté X̊.
z}|{
˚
Exemple 1.7. [0, 1] =]0, 1[ dans R et Q̊ = ∅.
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Intérieur, adhérence, ensemble dérivé, point isolé
12
Définition 1.16. Soit X une partie de R. On dit que x ∈ R est un point adhérent à X, si tout voisinage
de x de rencontre X ; autrement dit : ∀ : ε > 0, V (x, ε) ∩ X 6= ∅.
Exemple 1.8.
— Pour X ⊂ R ; chaque point de X est évidemment un point adhérent à : X.
— Pour ]0, 1[⊂ R ,1 est un point adhérent à ]0, 1[.
— Si X =]0, 1[∪{2}, 3 n’est pas adhérent à X.
Définition 1.17. L’ensemble des points adhérents à X ⊂ R est appelé l’adhérence (ou fermeture) de X
noté X.
Théorème 1.6.
— Si l’ensemble X de R est fermé alors, tout point adhérent à X appartient à X et réciproquement.
— L’adhérence d’une partie X de R est le plus petit fermé contenant X.
— L’interieur d’une partie X de R est le plus grand ouvert contenu dans X.
Au soin du lecteur pour la preuve !
Définition 1.18. Soit X une partie de R. On dit que x ∈ R est un point d’accumulation de X si tout
voisinage Vx contient au moins un élément y de X avec y 6= x. Autrement dit,
∀ε > 0, V (x, ε) ∩ (X \ {x}) 6= ∅,
ou bien encore
V ∗ (x, ε) ∩ X 6= ∅
avec V ∗ (x, ε) = V (x, ε)\{x}.
Exemple 1.9.
a) X =]0, 1[, 1 est un point d’accumulation de X.
b) X =]0, 1[∪{2}, 2 n’est pas un point d’accumulation de X.
Remarque 1.3. Seuls les ensembles de nombres réels contenant une infinité d’éléments peuvent avoir
des points d’accumulation. Toutefois, un ensemble infini (non borné) peut ne pas avoir de point d’accumulation dans R. L’ensemble N des nombres entiers naturels en est un exemple.
Remarque 1.4. Si un point x de R, adhérent à une partie X de R n’est pas point d’accumulation de X
il appartient nécessairement à X. A prouver !
Définition 1.19. Un point x ∈ R, adhérent à une partie X de R sans être point d’accumulation de X
est dit point isolé de X.
1
1 1
Exemple 1.10. On considère l’ensemble X = {−4, −2, 1, , , . . . , , n ∈ N∗ }. Le point −2 est un point
2 3
n
isolé de X.
Définition 1.20. L’ensemble des points d’accumulation de X de R est appelé ensemble dérivé de X et
est noté X 0 .
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Droite numérique achevée - Notions de voisinage de +∞ et de −∞ dans R
13
Exemple 1.11.
1) X =]0, 1[, : X 0 = [0, 1]
2) X = {1, 2}, : X 0 = ∅.
Proposition 1.3. Si X1 et X2 sont deux parties de R, nous avons les relations suivantes :
— X1 = X1 ∪ X10 ,
— (X1 ∪ X2 )0 = X10 ∪ X20 ,
— X1 ∪ X2 = X1 ∪ X2 ,
— (X1 ∩ X2 )0 ⊂ X10 ∩ X20 ,
— X1 ∩ X2 ⊂ X1 ∩ X2 .
Définition 1.21. On appelle frontière d’une partie X de R l’adhérence de X privée de l’intérieur de X.
On le note ∂X : ∂X = X \ X̊.
1.3.3
Droite numérique achevée - Notions de voisinage de +∞ et de −∞ dans R
L’ensemble R n’a ni plus grand ni plus petit élément. On lui ajoute les deux éléments −∞ et +∞ de
façon à obtenir l’ensemble noté R appelé la droire réelle achevée. Ainsi la droite numérique achevée R
est l’ensemble obtenu par adjonction à R des deux nouveaux éléments +∞ et −∞, muni de la relation
d’ordre total obtenue en prolongeant l’ordre de R par les conditions
∀x ∈ R,
−∞ < x < +∞.
On a alors
R = R ∪ {−∞, +∞}.
On peut prolonger partiellement à R la structure algébrique en posant :
1. ∀x ∈ R, on a −∞ < x < +∞.
2. ∀x ∈ R tel que x 6= −∞, on a x + (+∞) = +∞.
3. ∀x ∈ R tel que x 6= +∞, on a x + (−∞) = −∞.
4. ∀x ∈ R tel que x > 0, on a x · (−∞) = −∞.
5. ∀x ∈ R tel que x < 0, on a x · (−∞) = +∞.
Il est impossible de définir (+∞) + (−∞) et 0 · (±∞).
Remarque 1.5. Soit A une partie non vide de R.
• Si A n’est pas minoré, on pose inf A = −∞.
• Si A n’est pas majoré on pose sup A = +∞.
Définition 1.22. Dans R (droite numérique achevée ), on entend par voisinage de +∞ tout ensemble
A ⊂ R contenant un ensemble de la forme ]a, +∞] avec a ∈ R. Par voisinage de −∞ dans R, on entend
tout ensemble A ⊂ R contenant un ensemble de la forme [−∞, a[ avec a ∈ R.
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Majorants - Minorants
1.4
14
Borne supérieure et borne inférieure
1.4.1
Majorants - Minorants
Définition 1.23 (Majorant-Minorant). Soit A une partie non vide de R.
• On dit qu’un nombre réel M est un majorant de A lorsque pour tout x ∈ A, on a x ≤ M .
• On dit que A est majoré si l’ensemble des majorants de A est non vide. Autrement dit, A est
majoré si il existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ A on a x ≤ M . Dans ce cas le réel M est alors
un majorant de A.
• On dit qu’un nombre réel m est un minorant de A lorsque pour tout x ∈ A, on a x ≥ m.
• On dit que A est minoré si l’ensemble des minorants de A est non vide. Autrement dit, A est
minoré si il existe m ∈ R tel que pour tout x ∈ A on a : x ≥ m. Dans ce cas le réel m est alors
un minorant de A.
• On dit que A est borné si A est à la fois majoré et minoré.
Définition 1.24 (Élément maximal - Élément minimal). Soient A une partie non vide de R, M et
m deux réels donnés.
• On dit que M est le plus grand élément ou maximum (ou élément maximal ) de A si M ∈ A et
M est un majorant de A. On note alors M = max A ou M = max(A).
• On dit que m est le plus petit élémentou minimum (ou élément minimal ) de A si m ∈ A et m est
un minorant de A. On note alors m = min A ou m = min(A).
Remarque 1.6. Pour une partie non vide A de R on a les équivalences suivantes :
z = max(A) ⇐⇒ (z ∈ A et ∀x ∈ A, x ≤ z)
z = min(A) ⇐⇒ (z ∈ A et ∀x ∈ A, z ≤ x)
Proposition 1.4 (Unicité de l’élément maximal (resp. minimal)). Si A possède un maximum (resp.
minimum), alors il est unique.
Démonstration. Soient M1 et M2 deux réels qui sont maximums d’un même sous-ensemble A de R.
Comme M1 est un majorant de A et M2 ∈ A, alors M2 ≤ M1 . De même M2 est un majorant de A et
M1 ∈ A, alors M1 ≤ M2 . Par la propriété d’antisymétrie de la relation “≤”, on déduit que M1 = M2 .
Proposition 1.5. Tout sous-ensemble fini non vide de R possède un élément maximal (resp. minimal),
c’est-à-dire un maximum (resp. c’est-à-dire un minimum).
Démonstration. Soit A un ensemble à n éléments (avec n ∈ N∗ ). Nous allons montrer, par récurrence sur
n, que A possède un maximum.
♣ Pour n = 1, A est un singleton {a} et a est le maximum de A.
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Borne supérieure - Borne inférieure
15
♣ Pour n > 1, supposons que le résultat est vrai jusqu’à l’ordre (n − 1) et montrons que c’est aussi
vrai à l’ordre n. On fixe un élément x de A et on considère l’ensemble B = A\{x}. Alors B est un
sous-ensemble de A (donc de R) possédant (n − 1) élément. Par conséquent, d’après l’hypothèse
de récurrence, B possède un maximum M ∈ B. Si x ≤ M alors M est aussi un maximum pour
A, sinon alors x est le maximum de A.
Exemple 1.12.
n
X
1
xn =
;
k!
(
1. L’ensemble A1 =
)
n∈N
est majoré par 3. En effet
k=0
(a) x0 =
0
X
k=0
1
X 1
1
= 1 ≤ 3 et x1 =
= 2 ≤ 3.
k!
k!
k=0
(b) Pour tout n ≥ 2, on a :
xn =
n
X
1
k!
k=0
n
1
1 X 1
=
+ +
0! 1!
k!
k=2
n
X
1
≤ 2+
k(k − 1)
k=2
n
X
1
1
≤ 2+
−
k−1 k
k=2
≤ 2+1−
1
n
≤ 3.
( n
)
X1
2. L’ensemble A2 =
; n ∈ N n’est pas majoré. En effet, de l’inégalité ln(1 + x) ≤ x, pour
k
k=1
tout x > −1 (facile à justifier), on déduit que pour tout n ≥ 1,
n
n
n
X
X
1 X
1
≥
ln(1 + ) =
(ln(k + 1) − ln(k)) = ln(n + 1)
k
k
k=1
k=1
k=1
3. Si A3 = N, min A3 = 0 tandis que max A3 n’existe pas.
4. Si A4 = Z, min A4 et max A4 n’existent pas.
1.4.2
Borne supérieure - Borne inférieure
Définition 1.25 (Borne supérieure et borne inférieure). Soit A une partie non vide de R. On désigne
par M (A) l’ensemble des majorants (resp. des minorants ) de A. Si M (A) possède un minimum (resp.
maximum), alors on appelle ce réel la borne supérieure (resp. inférieure) de A et on le note sup(A) (resp.
inf(A)). Autrement dit, on dit que
• α ∈ R est la borne supérieure de A si α est un majorant de A et α est le plus petit des majorants
de A. On note alors α = sup A ;
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Borne supérieure - Borne inférieure
16
• β ∈ R est la borne inférieure de A si β est un minorant de A et β est le plus grand des minorants
de A. On note alors β = inf A.
Théorème 1.7 (Axiome de la borne supérieure). Toute partie non vide et majorée A de R admet une
borne supérieure. Autrement dit, si A est une partie non vide et majorée de R alors sup(A) ∈ R.
Théorème 1.8 (Axiome de la borne inférieure). Toute partie A non vide et minorée de R admet une
borne inférieure. De plus on a :
inf(A) = − sup(−A).
(1.11)
où l’ensemble −A est défini par : −A = {−a, a ∈ A}. Autrement dit, si A est une partie non vide
et minorée de R alors inf(A) ∈ R.
Théorème 1.9 (Caractérisation des bornes supérieure et inférieure). Soit A une partie non vide de R.
• Si A est majorée alors l’ensemble de ses majorants admet un plus petit élément appelé borne
supérieure ou supremum de A. Il est caractérisé par la propriété suivante appelée propriété
de la borne supérieure :


γ est un majorant de A

γ = supA ⇐⇒
(1.12)


∀ > 0, ∃x ∈ A tel que γ − < x ≤ γ.
• Si A est minorée alors l’ensemble de ses minorants admet un plus grand élément appelé borne
inférieure ou infimum de A. Il est caractérisé par la propriété suivante appelée propriété de
la borne inférieure :


ρ est un minorant de A

ρ = inf A ⇐⇒
(1.13)


∀ > 0, ∃x ∈ A tel que ρ ≤ x < ρ + .
Remarque 1.7.
♣ La deuxième assertion dans l’accolade (1.12) est une réécriture de ”aucun nombre strictement
inférieur à γ = sup(A) ne majore A”. Autrement dit γ = sup(A) est le plus petit des majorants
de A.
γ = sup(A) ⇐⇒ (∀z ∈ R, z < α =⇒ ∃x ∈ A tel que z < x ≤ α)
(1.14)
♣ De même la deuxième assertion dans l’accolade (1.13) est un réécriture de ”aucun nombre
strictement supérieur à ρ = inf(A) ne minore A”. Autrement dit ρ = inf(A) est le plus
grand des minorants de A.
ρ = inf(A) ⇐⇒ (∀z ∈ R, ρ < z =⇒ ∃x ∈ A tel que ρ ≤ x < z)
(1.15)
Remarque 1.8.
1. Si A est une partie bornée de R, alors sup A et inf A sont des éléments de A.
2. Si max A existe, alors sup A existe et on a max A = sup A.
3. Si min A existe, alors inf A existe et on a min A = inf A.
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Axiome d’Archimède
1.5
17
Axiome d’Archimède
La propriété suivante repond à la question de situer les nombres rationnels par rapport aux nombres
réels.
Théorème 1.10 (Axiome d’Archimède). Pour tout nombre réel x, il existe un entier naturel n non nul
tel que x < n.
On dira alors que R est un corps commutatif ordonné archimédien.
Démonstration. On discutera suivant le signe de x.
• Si x ≤ 0 on peut prendre n = 1 .
• Supposons que x > 0. L’ensemble A = {k ∈ N : k ≤ x} est majoré par x et contient 0. Donc
A admet une borne supérieure α ∈ R. En utilisant la propriété de caractérisation de la borne
1
supérieure (avec ε = 21 ), on déduit l’existence d’un certain k0 ∈ A tel que α − < k0 ≤ α. Donc
2
1
α < α + < k0 + 1 et par conséquent (k0 + 1) 6∈ A. Ainsi k0 + 1 > x et on prend n = k0 + 1.
2
Corollaire 1.1. Pour tous x, y ∈ R satisfaisant 0 < y, il existe n ∈ N tel que x < ny.
Démonstration. On applique le principe d’Archimède à
x
.
y
Théorème 1.11 (Principe d’Archimède pour la loi + dans R). Soit x, y ∈ R tels que y > 0. Alors il
existe un et un seul n ∈ Z tel que ny ≤ x < (n + 1)y.
Démonstration. On considère l’ensemble A = {py ∈ R;
p ∈ Z}.
• Pour p = 1, on a 1 · y = y ∈ A donc A 6= ∅.
• Supposons que A est majoré. Alors d’après l’axiome de la borne supérieure α = sup(A) ∈ R et on
a : α − y < α (car y > 0). Par conséquent il existe p0 ∈ Z tel que α − y ≤ p0 y < α, c’est-à-dire
α = sup(A) < (p0 + 1)y et (p0 + 1)y ∈ A. Ce qui est absurde. Donc A n’est pas majoré et alors
pour tout x ∈ R il existe q ∈ Z tels que qy > x.
• Montrons de même que A n’est pas minoré. Supposons par l’absurde que A est minoré. Alors
β = inf(A) ∈ R et on a : β < β + y (car y > 0). D’après la caractérisation de la borne inféreure il
existe p1 ∈ Z tel que β ≤ p1 y < β + x. Par conséquent α = inf(A) > (p1 − 1)y et (p1 − 1)y ∈ A,
ce qui est absurde. Ainsi A n’est pas minoré et il existe l ∈ Z tel que ly < x. On déduit alors que
ly < x < qy et on a :
q−1
[
x ∈ [ly, qy[=
[iy, (i + 1)y[.
i=l
D’où il existe, de façon unique, n ∈ Z tel que ny ≤ x < (n + 1)y.
Proposition 1.6. Quel que soit le réel x, il existe un unique entier relatif p satisfaisant
p ≤ x < p + 1.
(1.16)
L’entier p est appelé partie entière de x et on note p = E(x) = [x].
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Racine n-ième d’un nombre réel positif
18
Démonstration. On applique le principe d’Archimède pour la loi + dans R, en prenant y = 1.
Remarque 1.9.
1. E(x) = max ({n ∈ Z; n ≤ x}).
2. Pour tout nombre réel x, on a : E(x) ∈ Z et E(x) ≤ x < E(x) + 1.
3. Pour tous nombres réels x et y, on a : x ≤ y =⇒ E(x) ≤ E(y).
4. Pour tous nombres réels x et y, on a : x < y =⇒ E(x) ≤ E(y).
5. Le réel m(x) = x − E(x) est appelé mantisse de x et on a : ∀x ∈ R, m(x) = x − E(x) ∈ [0, 1].
Théorème 1.12 (Principe d’Archimède pour la loi × dans R∗+ ). Soit x, y ∈ R∗+ tel que x > 1. Alors il
existe un et un seul n ∈ Z tel que xn ≤ y < xn+1 .
1.6
Racine n-ième d’un nombre réel positif
Théorème 1.13 (Racine nième d’un réel positif). Pour tout nombre réel strictement positif x et pour
tout entier naturel non nul n, il existe un unique réel positif y tel que y n = x. Le réel y est appelé racine
nième de x. On note
√
1
y = n x ou bien y = x n .
Démonstration. Soit A = {a ∈ R∗+ tel que an ≤ x}. On va montrer que A est non vide et admet une
borne supérieure.
— Si x < 1 alors x ∈ A, car xn ≤ x < 1, par conséquent A est non vide.
— Si x ≥ 1 alors on a : 1n ≤ x ≤ xn , donc 1 ∈ A et par conséquent A est non vide.
— Si z ∈ A alors z n ≤ x, ce qui implique que z ≤ x. Donc A est majoré par x.
On déduit alors que A est une partie non vide et majorée de R, donc il existe y ∈ R tel que y = sup(A).
Nous allons montrer que y n = x.
• Supposons par l’absurde que y n < x et posons ε = x − y n > 0. On va chercher h ∈]0, 1[ tel que
(y + h) ∈ A. On a :
n(n − 1) n−2 2
y
h + · · · + hn
2
n(n − 1) n−2
= y n + h[ny n−1 +
y
h + · · · + hn−1 ]
2
n(n − 1) n−2
≤ y n + h[ny n−1 +
y
+ · · · + 1] = y n + h[(y + 1)n − y n ]
2
(y + h)n = y n + ny n−1 h +
On choisit h ∈]0, 1[ tel que h <
ε
et ainsi on a :
(y + 1)n − y n
(y + h)n = y n + h[(y + 1)n − y n ] < y n + ε < x.
Par conséquent (y + h) ∈ A et y + h > y = sup(A), ce qui est absurde.
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Densité des nombres rationnels et des irrationnels
19
• Supposons maintenant que y n > x et posons h =
yn − x
, alors on a : 0 < h < y. Soit t > 0 tel
ny n−1
que t ≥ y − h. En utilisant l’identité
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + bn−1 )
valable pour tout réels a et b, et le fait que y − h ≤ y on a :
y n − (y − h)n = h[y n−1 + y n−2 (y − h) + · · · + (y − h)n−1 ] ≤ hny n−1 = y n − x.
Ainsi
y n − tn ≤ y n − (y − h)n ≤ y n − x
et par conséquent x < tn , d’où on conclut que t 6∈ A. En d’autres termes (y − h) est un majorant
de A et y − h < y, en contradiction avec le fait que y soit le plus petit des majorants de A.
On conclut alors que y n = x et y est unique.
Proposition 1.7. Pour tous a, b ∈ R+ et pour tout n ∈ N∗ on a :
q
q
√
√
√
√
√
n
n
n m
m √
n
n
ab = a × b
a=
a = mn a
√
n
an = a.
Démonstration. A montrer en exercice
Remarque 1.10.
1. Soit n ∈ N∗ tel que n est pair. Alors pour tout y ∈ R∗+ on a : y n = (−y)n > 0.
(a) Ainsi pour x ∈ R∗+ et pour n ∈ N∗ pair, l’équation y n = x admet deux solutions dans R :
√
√
y1 = n x et y2 = − n x.
(b) Par contre pour x ∈ R∗− et pour n ∈ 2N∗ , l’équation y n = x n’admet pas de solution dans R.
2. Pour n ∈ N impair on a : pour tout y ∈ R∗ on a : (−y)n = −y n > 0. Ainsi pour x ∈ R et n ∈ N
p
impair, l’équation y n = x admet une solution unique dans R : y = signe(x) n |x|.
1.7
Densité des nombres rationnels et des irrationnels
Définition 1.26. Un nombre réel est dit irrationnel lorsqu’il n’appartient pas à l’ensemble Q des nombres
rationnels. L’ensemble des nombres irrationnels est donc R − Q ou R\Q.
Définition 1.27. Soit A une partie non vide de R. On dit que A est dense dans R si A rencontre tout
intervalle ouvert ]a, b[, avec a < b. Autrement dit A est dense dans R lorsque pour tous a et b réels, on
a:
a < b =⇒ ∃x ∈ A, a < x < b.
Par contraposée A est une partie non dense dans R s’il existe au moins deux réels x et y tels que
x < y et ∀a ∈ A,
Analyse mathématique
x ≥ a ou y ≤ a.
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Densité des nombres rationnels et des irrationnels
20
Exemple 1.13. Z n’est pas dense dans R.
Proposition 1.8.
• Pour tous a, b ∈ R avec a < b, il existe un rationnel c ∈ Q tel que a < c < b. On dit alors que Q
est dense dans R.
• Pour tous a, b ∈ R avec a < b, il existe un irrationnel c ∈ R\Q tel que a < c < b. On dit alors que
R\Q est dense dans R.
Démonstration.
1
> 0. Soit q un entier strictement
b−a
supérieur à x (un tel entier existe d’après le théorème d’Archimède) et soit p le plus petit entier
strictement supérieur à aq (p existe d’après le théorème d’Archimède). On a donc :
• Soient a et b deux nombres réels tels que a < b, on pose x =
p − 1 ≤ aq < p et
D’où
a<
p
p 1
− ≤ a < ( puisque q > 0).
q q
q
1
p
p
≤ a + < b, et ∈ Q.
q
q
q
a
b
• De même en considérant les réels A = √ et B = √ , il existe un rationnel r tel que A < r < B,
2
2
√
c’est-à-dire a < r 2 < b.
√
√
(a) Si r 6= 0 alors r 2 est un irrationnel et on a : a < r 2 < b.
(b) Si r = 0 on prend l’intervalle ] √a2 , 0[ qui est inclus dans l’intervalle ] √a2 , √b2 [ ; ] √a2 , 0[ contient
√
√
un rationnel r1 6= 0. Dans ce cas on a r1 2 ∈ R\Q et a < r1 2 < b.
Une conséquence de cette proposition est le résultat suivant.
Corollaire 1.2. Dans tout intervalle de R, différent d’un singleton, il y a une infinité de nombres
rationnels (et de nombres irrationnels).
Proposition 1.9. Tout intervalle de R, différent d’un singleton, et R lui même sont non dénombrables.
Dès lors ils contiennent une infinité non dénombrable de nombres irrationnels.
Théorème 1.14 (Axiome de Cantor). Soit In = [an , bn ] une suite décroissante d’intervalles fermés
(c’est-à-dire In+1 ⊂ In pour tout n ∈ N). Alors l’intersection ∩n∈N [an , bn ] est un intervalle non vide.
On dira alors que R est un corps commutatif ordonné archimédien et complet. On connaı̂t
également l’axiome de Cantor sous le nom de la propriété des intervalles emboı̂tés.
Démonstration. A démontrer plus tard.
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Distance sur R
1.8
1.8.1
21
Approximation d’un réel
Notion de valeur absolue
Définition 1.28. On appelle valeur absolue d’un nombre réel x, le réel noté |x| défini par :
|x| = max{x, −x}.
Remarque 1.11. Il résulte de cette définition de la valeur absolue d’un nombre réel x que :
1. Pour tout x ∈ R, |x| = | − x|.
(
−x
2. Pour tout x ∈ R, |x| =
x
si
si
x≤0
x≥0
3. Pour tout x ∈ R, |x| ≥ 0 et |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
Proposition 1.10. Soient x et y des nombres réels. On a :
1. |xy| = |x||y|.
x
|x|
2.
si y 6= 0.
=
y
|y|
3. ||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.
4. |x| = |y| ⇐⇒ x2 = y 2 .
5. |x| ≤ |y| ⇐⇒ x2 ≤ y 2 .
6. Pour tout > 0, |x − a| < ⇐⇒ a − < x < a + .
7. Pour tout > 0, |x − a| ≤ ⇐⇒ a − ≤ x ≤ a + .
1.8.2
Distance sur R
Définition 1.29. On appelle distance sur R toute application d définie de R2 dans R vérifiant pour tous
x et y :
1. d(x, y) ≥ 0 ;
2. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ;
3. d(x, y) = d(y, x) ;
4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
d(x, y) est appelé distance entre les réels x et y.
Exemple 1.14. Considérons l’application d définie par :
d :
R2
−→
R
(x, y) 7−→ |x − y|
Montrer que d est une distance sur R. C’est la distance usuelle sur R.
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Approximation d’un nombre réel
1.8.3
22
Approximation d’un nombre réel
Soit x un nombre réel, p un entier naturel. On a :
E(x · 10p ) ≤ x · 10p < E(x · 10p ) + 1.
D’où 10−p E(x·10p ) ≤ x < 10−p E(x·10p )+10−p . Ainsi, 10−p E(x·10p ) est un nombre décimal approchant
x à 10−p près par défaut et 10−p E(x · 10p ) + 10−p est un nombre décimal approchant x à 10−p près par
excès.
Exemple 1.15. Donner une approximation de π à 100 près, à 10−1 près, à 10−2 près et à 10−3 près.
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Chapitre Deux
Suites numériques
Sommaire
2.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2
Propriétés des suites
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3
Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.4
Suites monotones, suites adjacentes et théorème de Cantor . . . . . . . . . .
27
2.5
Plus grande et plus petite limite - Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . .
30
Dans ce chapitre par K nous désignerons R ou C
2.1
Définitions
Définition 2.1. Une suite de nombres réels ou complexes un , notée (un ), est définie par la donnée d’une
application x : N → K, qui à n → x(n) = un ∈ K.
Remarque 2.1. A la place de la notation fonctionnelle x(n), on utilise la notation indicielle un . L’expression un est appelé terme général de la suite.
Exemple 2.1. N 3 n −→ (−1)n ∈ R, un = (−1)n est le terme général de la suite.
Nous aurons parfois à considérer des suites tronquées (un )i.e des suites dont le terme général n’est
défini qu’ à partir d’une certaine valeur de n, soit pour n ≥ n0 . Si c’est nécessaire, nous pourrons les
compléter en posant un = 0 pour n < n0 .
2
n
est définie à partir de n ≥ 3
Exemple 2.2. La suite :n −→ log n(n−1)(n−2)
Définition 2.2. Une suite (un ) est dite stationnaire, s’il existe un entier n0 ∈ N tel que un = xn0
∀n ≥ n0 , i.e que la suite est constante à partir d’une certaine valeur de n.
Définition 2.3. Une suite de réels ou complexes (un ) est dite bornée, s’il existe un réel M tel que
|un | ≤ M , ∀n ∈ N.
Remarque 2.2. Pour qu’une suite soit bornée, il suffit qu’elle le soit à partir d’un certain rang i.e
∃n0 ∈ N : |un | ≤ M pour n ≥ n0 . En effet, dans ce cas la suite (un ) est alors bornée par le nombre
M 0 = sup(|x0 |, . . . , |xn−1 |, M ).
Définition 2.4. Nous dirons que la suite (un ), un ∈ K tend ou converge vers le nombre a ∈ K ⇔ ∀ε >
0, ∃ηε ∈ N : ∀ ≥ ηε ⇒ |un − a| < ε.
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Propriétés des suites
24
Nous remarquerons immédiatement qu’il existe au plus un nombre a satisfaisant à cette condition
pour une suite (un ) donnée. En effet, si (un ) tend à la fois vers a et b ∈ K alors les inégalités
|un − a| <
ε
ε
et |un − b| <
2
2
seraient vérifiés pour n assez grand et entraı̂neraient
|a − b| = |un − a − un + b| ≤ |un − a| + |un − b| < ε, ∀ε > 0.
Ce qui implique que a − b = 0, c’est-à-dire a = b. Donc, nous pouvons sans ambiguité poser
a = lim un
(2.1)
n→+∞
et dire que a est la limite de (un ).
Une suite admettant une limite finie est dite convergente dans K et divergente dans K dans le cas
contraire.
Exemple 2.3. Toute suite stationnaire (en particulier toute suite constante) est convergente.
Exemple 2.4. Pour n > 0, posons un = q n avec |q| < 1. Soit ε > 0, existe-t-il ηε > 0 tel que pour tout
n > ηε , |q n | < ε ?
— Si q = 0, d’évidence on peut prendre η = 0.
log ε
— Si q 6= 0, alors |q|n < ε est équivalent à n log |q| < log ε, i.e. n > log
|q| . On peut prendre ηε =
i
h
log ε
log |q| + 1, où [x] désigne la partie entière du réel x i.e. l’entier relatif n vérifiant x − 1 < n ≤ x.
Définition 2.5. Nous dirons que la suite (un ) est de Cauchy si,
∀ε > 0, ∃ηε ∈ N : ∀(n, p) ∈ N2 , (n > ηε , p > ηε ) ⇒ |un − up | < ε.
2.2
Propriétés des suites
Propriété 2.1. Toute suite convergente sur K est de Cauchy.
Démonstration. Si (un ) converge vers a et si ε > 0 est donné, il existe ηε > 0 tel que : ∀n > ηε , |un −a| <
et donc pour n > ηε et p > ηε on a : |un − a| < 2ε et |up − b| < 2ε . Par suite
|un − up | = |un − a − up + a| ≤ |un − a| + |up − a| <
ε
2
ε ε
+ = ε.
2 2
La réciproque de cette proposition dans K sera admise i.e.
Propriété 2.2. Dans K, toute suite de Cauchy est une suite convergente.
D’où le
Théorème 2.1. Dans K pour qu’une suite (un ) soit convergente il faut et il suffit qu’elle soit de Cauchy.
Propriété 2.3. Toute suite de Cauchy est bornée.
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Propriétés des suites
25
Démonstration. Dans le cas réel, si (un ) est de Cauchy, il existe η1 > 0 tel que pour tout n > η1 ,
|un − xη1 | < 1 ; c’est-à-dire −1 + xη1 < un < xη1 + 1. Ce qui implique que |un | ≤ 1 + |xη1 |, i.e. que (un )
| {z }
M
est bornée à partir de η1 d’après la Remarque 2.2 précédente, elle est bornée.
Propriété 2.4. Si la suite (un ) converge vers 0 et si la suite (vn ) est bornée alors la suite (un − vn )
converge .
Démonstration. Soit M 6= 0 tel que |vn | ≤ M pour tout n ∈ N. Le nombre ε > 0 étant donné, il existe ηε
ε
tel que pour tout n > ηε , |un | < M
. D’où |un − vn | < ε, pour tout n > ηε .
Exemple 2.5. zn =
sin nπx
,
n
x ∈ R avec un = n1 , vn = sin nπx.
Propriété 2.5. Si les suites (un ) et (vn ) sont de Cauchy alors pour tout λ ∈ K, les suites (un ± vn ),
(un vn ) et (λun ) sont aussi de Cauchy.
Démonstration.
— |un + vn − up − vp | ≤ |un − up | + |vn − vp | et si ε > 0 est donné on peut choisir ηε assez grand pour
que pour tous n > ηε et p > ηε on ait :
|un − up | <
ε
ε
et |vn − vp | < ⇒ |(un + vn ) − (up − vp )|.
2
2
— Même démarche pour (un ± vn ).
— (λun ) évidence.
— Pour la suite (un vn ), on a
|un vn − up vp | ≤ |(un − up )vn | + |(vn − vp )up |
(2.2)
et puisque toute suite de Cauchy est bornée alors il existe M > 0 tel que |un | ≤ M et |vn | ≤ M
pour tout n ∈ N. Le nombre ε > 0, étant donné, il existe ηε > 0 tel que :
n > ηε et p > ηε ⇒ |un − up | <
ε
ε
et |vn − vp | <
2M
2M
et on applique (2.2).
Lorsque les suites considérées sont convergentes dans K on a le résultat suivant.
Proposition 2.1. Si limn→+∞ un = a ∈ K et limn→+∞ vn = b ∈ K alors un ± vn → a ± b, λun → λa et
un vn → ab, pour tout λ ∈ K.
Démonstration.
— Pour tout ε > 0, il existe ηε > 0 tel que |un − a| < 2ε et |vn − b| < 2ε , pour tout n > ηε . Il suit donc
que
ε ε
|un + vn − (a + b)| = |(un − a) + (vn − b)| ≤ |un − a| + |vn − b| < + = ε.
2 2
— Maintenant on peut écrire : pour tout n ∈ N, un vn −ab = (un −a)vn = +a(vn −b). Les suites (un −a)
et (vn − b) convergent vers 0 et la suite vn est bornée donc chacune des suites un = (un − a)vn et
vn = a(vn − b) converge vers 0 et donc (un vn − ab) = un + vn converge vers 0.
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Suites équivalentes
26
Soit (un ) une suite convergente de nombres réels tels que un ≥ 0, pour tout n ∈ N et soit x sa limite.
Si on avait x < 0, alors il existerait un entier p ∈ N tel que pour tout n > p on ait |un − x| < −x. Ce qui
impliquerait que 2x < un < 0. Ce qui est une contradiction avec l’hypothèse. D’où la
Propriété 2.6. La limite d’une suite convergente dans R de nombres positifs est positive (éventuellement
nulle).
Nous allons maintenant prendre les limites dans K = (R ou C).
Définition 2.6. On dit qu’une suite de nombres réels → +∞ (resp. −∞) si ∀λ ∈ R, il existe ηλ : ∀n > ηλ
on ait un > λ (resp. un < λ).
Définition 2.7. Dans C nous dirons que la suite zn ∈ C converge vers ∞ (le point à l’infini) si |zn | −→
+∞, n → +∞.
Désormais quand nous dirons que la suite (un ) d’éléments un ∈ K converge sans préciser dans K, cela
voudra dire que un tend vers une limite l ∈ K i.e l ∈ K(= R, C), où l = ±∞ si K = R ou l = ∞ si K = C.
Nous dirons que la suite (un ) d’éléments un ∈ K diverge dans K pour signifier que la suite (un ) ne
converge vers aucun élément de K.
Nous dirons que la suite (un ) d’éléments de K diverge (sans aucune précision) pour signifier que la
suite (un ) ne converge vers aucun élément de K.
Proposition 2.2. Soit (un ) une suite réelle ou complexe convergeant vers x ∈ K. Alors la suite réelle
(|un |) converge vers |x|.
Démonstration. Nous allons nous limiter au cas de x ∈ K. Pour tout ε > 0, la convergence de (un ) vers
x implique l’existence d’un ηε > 0 tel qu’on ait |un − x| < ε pour tout n > ηε . Donc ∀n > ηε on a aussi
||un | − |x|| ≤ |un − x| < ε i.e. (|un |) → |x|.
2.3
Suites équivalentes
Dans ce paragraphe nous ne considérons que des suites réelles, i.e. K = R.
Définition 2.8. Etant donné deux suites de réels (un ) et (vn ), on dit que la suite (vn ) est équivalente à
la suite (un ) s’il existe une suite (λn ) de réels tendant vers 1 telle que pour n assez grand, on ait
vn = λn un .
(2.3)
Pour le traduire on écrit vn ' un ou vn ∼ un .
Exemple 2.6. La suite (vn ) définie par vn =
1 1
En effet, vn = 1 +
.
n n
| {z }
n+1
1
est équivalente à la suite (un ) donnée par un = .
2
n
n
λn →1
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Suites monotones, suites adjacentes et théorème de Cantor
27
vn
Si pour n assez grand on a un 6= 0, alors cela revient au même de dire que
→ 1.
un
Cette relation est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites de réels. En particulier, la
symétrie de cette relation vient du fait que si λn → 1, la suite ( λ1n ) est définie pour n assez grand et tend
vers 1.
Propriété 2.7.
1. Si la suite de réels (un ) est convergente, toute suite de réels (vn ) équivalente à (un ) est convergente
et a même limite que (un ).
2. Réciproquement, si (un ) et (vn ) sont deux suites de réels convergeant vers la même limite finie,
et si cette limite est non nulle, alors les (un ) et (vn ) sont équivalentes.
Si (un ) et (vn ) sont deux suites équivalentes et tendent vers 0, on dit qu’elles sont deux infiniment
petits équivalents.
Exemple 2.7. un =
1
n
et vn =
n+1
n2
sont deux infiniment petits équivalents.
Si (un ) et (vn ) sont deux suites équivalentes et tendent vers ±∞, on dit qu’elles sont des infiniment
grands équivalents
2
n
sont deux infiniment grands équivalents.
Exemple 2.8. un = −n et vn = − n+1
Propriété 2.8. On ne modifie pas la convergence, ni la limite d’un produit en nombre fini ou d’un
quotient de suites en remplaçant chacune des suites qui y figurent par une suite équivalente.
Z : Ce thérème ne s’applique pas aux limites de sommes ou de différence de suites.
Exemple 2.9. un = log(n) et vn = log(n + 1) sont équivalentes puisque
h
i
h
log(1 + n1 ) i
nlogn
n
.logn ⇒ lim
= lim
= 1.
log(n + 1) = 1 +
logn
(n + 1)log(n + 1)
n+1
Exemple 2.10. n et n − 1 sont équivalentes mais leur différence ne tendent pas vers 0 !
2.4
Suites monotones, suites adjacentes et théorème de Cantor
Définition 2.9. On dit que deux sous-ensembles non vides X et Y de R sont adjacents lorsque les
conditions suivantes sont réalisées :
1. pour tous x ∈ X et y ∈ Y , x ≤ y ;
2. pour tout ε > 0, il existe x0 ∈ X et y0 ∈ Y : y0 − x0 < ε.
Proposition 2.3. Soient X et Y deux ensembles non vides adjacents de nombres réels. Il existe un
nombres réel unique α vérifiant x ≤ α ≤ y pour tout couple (x, y) ∈ X × Y .
Démonstration. Soit y1 un élément quelconque de Y , alors en vertu de 1) pour tout x ∈ X, x ≤ y1 i.e.
l’ensemble X est majoré et par suite admet une borne supérieure finie l = sup X. Nous allons montrer
que l est un minorant de Y . Sinon il existerait un y00 tel que y00 < l. Mais puisque l est la borne supérieure
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Suites monotones, suites adjacentes et théorème de Cantor
28
de X alors pour ε = l − y00 on aurait l’éxistence d’un x00 ∈ X verifiant l − (l − y00 ) < x00 ∈ X. Ce qui
| {z }
y00 ∈Y
contredit le point 1) et donc l est un minorant de Y .
0
0
Unicité. Supossons qu’il existe l 6= l vérifiant x ≤ l ≤ y∀(x, y) ∈ X × Y . Pour se fixer les idées nous
0
suposerons l0 > l. On aurait donc pour tout (x, y) ∈ X × Y , 0 < l0 − l ≤ y − x et si on prend ε = l 2−l la
conditions 2) ne pourrait pas être vérifiée. D ’ou l0 = l = sup X.
Proposition 2.4. Soient (un ) et (vn ) deux suites convergentes de nombbres réels vérifiant pour n assez
grand , un < vn on a alors : lim un < lim vn .
Démonstration. Pour n assez grand , zn = vn − un ≥ 0 =⇒ lim zn = lim(vn − un ) ≥ 0. Or ∃ lim vn et
∃ lim un ⇒ lim zn = lim un − lim vn ≥ 0, c’est-á-dire lim un ≤ lim vn Z : (un < vn ) ⇒ (lim un 6 lim vn )
pour n > 1, n12 < n1 et lim n12 = lim n1 = 0.
Proposition 2.5. Soit (un ) et (vn ) deux suites de nombres réels convergeant vers une même limite l. Si
une suite (zn ) vérifie pour n assez grand les inégalités
un 6 zn 6 vn ,
(2.4)
alors lim zn = l.
Démonstration. Sans nuire à la généralité on peut supposer (2.4) vraie à partir des premiers termes.
1. Si l ∈ R alors ∀ε > 0, ∃n1 ∈ N ∀n > n1 ⇒ |un − l| < ε. Et ∃n2 ∈ N : ∀n > n2 ⇒ kvn − lk < ε. Par
coséquent pour η = sup(n1 , n2 ) on a ∀n > η, l − ε < un 6 zn 6 vn < l + ε.
2. l = ±∞ pour se fixer les idées prenonsl = ±∞ dans ce cas ∀λ ∈ R, ∃ηλ ∈ N : ∀n > ηλ ⇒ un > λ.
Par suite ∀n > ηλ on a λ < un 6 zn .
Exemple 2.11. Soit à se prononcer sur lim zn , oú zn =
1 ←− un = √
√ 1
n2 +1
+
√ 1
n2 +2
+ ··· +
√ 1
n2 +n
n
n
< zn < √
= vn −→ 1.
n2 + n
n2 + 1
D’ou lim zn = 1.
Définition 2.10. Une suite (un ) de réels est dite croissante (resp. décroissante) si pour tout n ∈ N,
on a un+1 ≥ un (resp. un+1 ≤ un ). Elle est dite strictement croissante (resp. strictement décroissante)
si on a pour tout n ∈ N, un+1 > un (resp. un+1 < un ). Une suite est dite monotone si elle croissante
ou (exclusif ) décroissante. Une suite sera dite strictement monotone si elle strictement croissante ou
(exclusif ) strictement décroissante.
Proposition 2.6 (de Cantor). Soit In = [un , vn ] une suite décroissante d’intervalle fermés In de R
(c’est-á-dire In+1 ⊂ In ∀n ∈ N) et dont la longueur (vn − un ) −−−−−→ 0. Alors ces intervalles ont un point
n→+∞
commun l qui est la limite commune des suites des suites (un ) et (vn ).
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Suites monotones, suites adjacentes et théorème de Cantor
29
Démonstration. Soit X = {un , n ∈ N} et Y = {vn , n ∈ N}. Ces deux ensembles X et Y sont adjacents
dans R et d’après la Proposition 1.4 il existe un unique α ∈ R vérifiant un ≤ α ≤ vn quelque soit
∞
\
(un , vn ) ∈ X × Y , c’est-à-dire {α} =
In . Pour tout n ∈ N∗ , il exsite u0n ∈ X et vn0 ∈ Y tels que
n=1
0 ≤ vn0 − u0n <
1
n
d’après la condition 2 de la Définition 1.4. On a
u0n − u0n ≤ yp0 − u0p <
et
u0p − u0p ≤ vn0 − u0n <
1
p



1
n


1 1
=⇒ |u0n − u0p | < sup( , )
p n
Par suite (u0n ) est de Cauchy et donc converge dans R. De plus les inégalités 0 ≤ vn0 − u0n ≤ n1 montrent
que la suite (vn0 ) a même limite que (u0n ). Soit c cette limite. Pour tout x ∈ X et y ∈ Y et n ∈ N∗ , on a
x ≤ vn0 et u0n ≤ y ; d’ou par passage á la limite on obtient x ≤ c et c ≤ y i.e. x ≤ c ≤ y∀(x, y) ∈ X × Y et
par suite C = α = lim u0n = lim vn0 puisque α est unique. Puisque un ≤ c ≤ un ∀n i.e c ∈ In ∀n ∈ N on a :
0 ≤ vn − c ≤ vn − un .
| {z }
↓0
Théorème 2.2. Soient (un ) une suite croissante et (vn ) une suite décroissante de nombres réels ,
vérifiant un ≤ un ∀n et telles que la suite (vn − un ) −→ 0 .Alors ces suites dites adjacentes ont une limite
commune α.
Théorème 2.3.
a) Dans R, toute suite croissante et majorée admet une limite finie et égale á sa
borne supŕieure, toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
b) Dans R toute suite décroissante et minorée admet une limite finie égale á sa borne inférieure toute
suite suite décroissante et non minorée tend vers −∞.
Démonstration. a) Soit (un ) une suite croissante (un ) ↑ i.e un 6 un+1 , ∀n ∈ R. Si elle est majorée, il
existe M ∈ R : un ≤ M ∀n ∈ N ce qui revient á dire que X = un , n ∈ N est majorée par M . S’il en
est ainsi X admet une borne supérieure finie dans R, soit x = sup X et par suite ∀ε > 0, ∃p ∈ N i.e
up ∈ X : x − ε < up ≤ x. Or ∀n > p on a : x − ε < up ≤ un ≤ x et donc 0 ≤ x − un ≤ ε i.e (un ) −→ x.
Si (un ) est non majorée : ∀λ ∈ R, ∃ au moins un up : up > λ (sinon λ serait un majorant de la suite) et
pour tout n > p on a : un ≥ up > λ d’ou un −→ +∞.
b) La transformation x −→ −x donne b).
Proposition 2.7. Pour qu’une suite (un ) converge vers x dans R (resp. dans R) il fautt et il suffit que
pour tout voisinage Vx de x il existe un entier nVx tel que pour tout n > nVx , un ∈ Vx .
Démonstration. Lorsque x = ±∞, la proposition résulte de la définition de lim un = ±∞ et de la
définition de V±∞ . Supossons donc x fini. Alors tout intervalle ]x − ε, x − ε[ est pour tout ε > 0 un
voisinage de x. La la condition est donc suffisante.
Inversement, Si V est un voisinage quelconque de x il existe un intervalle ]u, v[ ouvert contenant x et
contenu dans V (par exemple ε = inf(v − x, x − u)] tel que ]x − ε, x − ε[ soit dans V ). Or la convergence
de (un ) vers x entraı̂ne l’existence d’un entier ηε tel que |un − x| < ε, ∀n > ηε et donc un ∈ V , ∀n > ηε ,
i.e. la condition est nécessaire.
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Plus grande et plus petite limite - Théorème de Bolzano-Weierstrass
2.5
30
Plus grande et plus petite limite - Théorème de Bolzano-Weierstrass
Définition 2.11. On dit que la suite (un ) de nombres réels admet le nombre x ∈ R pour valeur
d’adhérence si ∀ε > 0, ∃ une infinité de valeurs de n vérifiant |un − x| < ε.
Exemple 2.12.
1. un = (−1)n admet −1 et +1 pour valeurs d’adhérence.
2. Si un −→ l ∈ R, alors l est une valeur d’adhérence de (un ).
Nous allons étendre à R cette notion en disant que la suite (un ) admet +∞ (resp. −∞) pour valeur
d’adhérence si elle non majoré (resp. non minoré).
Exemple 2.13. ±∞ sont des valeurs d’adhérence de la suite un = (−1)n n.
Définition 2.12. Soit (un ) une suite donnée. Toute suite (vn ) oú vn est de la forme vn = uqn oú qn
désigne une suite strictement croissante d’entiers (qn −−−−−→ +∞) est appelée suite extraite ou sous suite
n→+∞
de (un ).
Exemple 2.14. Soit un = (−1)n . Les suites (vn ) et (vn ) définies par : vn = u2n = 1 et zn = u2n+1 = −1
sont deux suites extraites de la suite (un ).
Il est évident que si (Un ) converge vers l toute suite (uqn ) extraite de (un ) converge vers cette même
limite l. Précisément, on a la
Proposition 2.8. Si la suite (un ) → a ∈ R alors toute suite extraite uqn → a.
Démonstration.
— Si a ∈ R, alors ∀ε > 0, ∃η ∈ N/ ∀n > η ⇒ |un − a|< ε puisque qn → +∞, ∃η1 : ∀n > η1 on ait
n→+∞
qn > η et par suite |uqn − a|< ε.
— Si a = ±∞ pour fixer les idées supposons a = +∞. Dans ce cas ∀λ ∈ R, ∃η ∈ N/ ∀n > η ⇒ un > λ.
Du fait que qn → +∞, alors ∃η1 /∀n > η1 on ait qn > η et par suite uqn > λ.
n→+∞
Soit (un ) une suite de réels. Par E nous désignerons l’ensemble des éléments x ∈ R tels que uqn → x
pour une certaine suite extraite (uqn ) de (un ).
Définition 2.13. Le nombre x+ = sup E (resp. x− = inf E) est appelé limite supérieure (resp. limite
inférieure) de la suite (xn ) ou bien la plus grande (resp. la plus petite) limite de la suite xn .
On le désigne assez souvent par lim xn (resp. lim xn ) ou encore lim sup xn (resp. lim inf xn ).
Remarque 2.3. a) Malgré la similitude de terminologie, il ne faut pas confondre valeur d’adhérence
d’une suite et point adhérent à l’ensemble des points de la suite. Toute valeur d’adhérence est un point
adhérent, la reciproque est fausse. Pour la suite (un ) : u3n = 1, u3n+1 = n, u3n+2 = n1 . 0 et tous les entiers
naturels sont des points adhérents et les valeurs d’adhérence sont 0, 1 dans R et 0, 1, +∞ dans R.
b) Il ne faut pas confondre la notion de lim (resp lim ) d’une suite et la notion de borne supérieure
(resp. inférieure) de l’ensemble des points de la suite. Pour définir la lim et la lim d’une suite (un ) on
ne s’intéresse pas aux sous-ensembles finis de l’ensemble {un , n ∈ N}. On peut modifier un nombre fini
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31
de terme à une suite (un ), cela ne modifie pas lim et lim. Considérons la suite (un ) définie par u1 = 2,
u2 = −3, u3 = 2, u4 = 5, un = (−1)n , pour n > 4. On a sup(un ) = 5 ; inf(un ) = −3, lim = 1 ; et
lim = −1.
Théorème 2.4 (de Bolzano - Weierstrass). De toute suite bornée de nombres réels, on peut extraire une
suite convergente dans R.
Principales étapes de la preuve. Soit (xn ) - une suite bornée de réels et donc pour des valeurs convenables
e et f on a : e ≤ xn ≤ f , ∀n.
α+β
α+β
1. A chaque intervalle fermé [α, β] nous associons les 2 intervalles α,
et
,β .
2
2
2. Nous définissons par récurrence, une suite In = [αn , βn ] ⊂ R telle que :
(a) I0 = [α, β],
αn + βn
αn + β n
ou In+1 =
, βn ,
(b) ∀n ∈ N In+1 = αn ,
2
2
(c) ∀n ∈ N, In contient une infinité de termes de la suite (xn ).
En toute rigueur par terme d’une suite (xn ) il faut comprendre le couple (n, xn ) et (m, xm ) sont
différents si (et seulement si) n 6= m bien que xn puisse être égal à xm . Les In forment une suite
d’intervalles fermés emboı̂tés dont la longueur
β n − αn =
+∞
\
β−α
→
0
⇒
In = {a} et a = lim αn = lim βn .
n
2
n=0
D’autre part, nous construisons par récurrence une suite strictemnet croissante d’entiers qn telle
que ∀n ∈ N , xqn ∈ In . D’après les inégalités αn ≤ xqn ≤ βn on obtient lim xqn = a.
Nous admettrons la proposition suivante :
Proposition 2.9. Pour qu’un élément x ∈ R soit une valeur d’adhérence d’une suite (xn ) il faut et il
suffit qu’il existe une suite (xqn ) extraite de xn et qui converge vers x dans R.
Toute suite (xn ) de réels admet dans R au moins une valeur d’adhérence finie ou infinie. En effet,
— si la suite (xn ) est non minorée alors −∞ est une valeur d’adhérence et si elle est non majorée
alors +∞ représente une valeur d’adhérence de (xn ) ;
— si la suite (xn ) est bornée, alors elle admet une valeur d’adhérence finie d’après le théorème de
Bolzano - Weierstrass.
Proposition 2.10. Dans R, pour toute suite (xn ) de réels donnée, il existe x+ = lim xn et x− = lim xn .
Démonstration. Cette proposition est déjà prouvée dans les pages précédentes mais néanmoins, nous
allons donner un autre “esprit“ de démonstration :
Nous allons nous limiter à l’existence de x+ seulement. Pour une telle suite (xn ) 2 cas sont possibles :
a) ou bien elle est bornée supérieurement ;
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b) ou bien non. Si elle n’est pas bornée supérieurement, alors+∞ est une valeur d’adhérence et elle
est la plus grande i.e x+ = +∞.
Si a), c’est-à-dire si (xn ) est bornée supérieurement alors 2 cas sont possibles :
a1 ) l’ensemble A de ses valeurs d’adhérence finies est 6= ∅,
a2 ) A = ∅.
Dans le cas a1 ), puisque la suite (xn ) est majorée, l’ensemble A est majoré et donc admet une borne
supérieure finie soit b = supA. Nous allons montrer que b est une valeur d’adhérence (finie) i.e b ∈ A. Si
b∈
/ A,il existerait ε > 0/]b − ε, b + ε[ contienne un nombre fini d’éléments de (xn ) et par suite, aucun
élément de (xn ). Pourquoi ? Ce qui contredit la condition que b = sup A et donc b ∈ A et b = x+ .
Dans le cas de a2 ) lim xn = −∞ et n’existe qu’une seule valeur d’adhérence −∞ = lim xn = x+ . De
la même façon on établit l’existence dans R de x− .
Propriété 2.9 (Caractéristique de x+ et de x− ). Soit (xn ) une suite de réels. Alors,
— a) x+ ∈ E,
— b) si s > x+ ,il existe η ∈ N :∀n > η ⇒ xn < s ; de plus x+ est le seul élément de R possédant les
propriétés a) et b) ;
— a’) x− ∈ E ;
— b’) Si x < x− , il existe η ∈ N :∀n > η ⇒ xn > s ; De plus x− est le seul élément de R possédant
les propriétés a’) et b’).
Nous aurions pu nous limiter à a) et b) puisque lim(−xn ) = − lim xn .
Proposition 2.11.
a) La suite (xn ) de réels converge dans R si et seulement si x+ = x− .
b) Si la suite(xn ) contient une sous-suite (xqn ) convergente, on a :
x− ≤ lim xqn ≤ x+ .
(2.5)
Démonstration. Prouvons a)
⇒ i) supposons xn → x ∈ R alors
∀ε > 0 on a pour n assez grand, |xn − x| < ε ie x ∈ E ou encore x est une valeur d’adhérence et par suite
x− ≤ x ≤ x+
(2.6)
D’après la caractérisation de x+ et de x− et des inégalités
x − ε < xn < x + ε vraies pour n assez grand on a :
(
x+ ≤ x + ε
x− ≥ x − ε
ie x − ε ≤ x− ≤ x+ ≤ x + ε et en vertu du caractère arbitraire de ε
on obtient :
x ≤ x− ≤ x+ ≤ x
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i.e x = x− = x+ .
ii) Si (xn ) → ±∞ alors (xn ) est ou non bornée supérieurement ou inférieurement et par suite x+ = x =
x− = ±∞.
⇐) supposons x+ = x− .
.Si x+ = x− = +∞ (−∞ ) alors xn → +∞ (ou −∞ )
.Si x+ = x− ∈ R, alors d’après la caractérisation de x+ et de x−
∀ε > 0∃η : ∀n > η, x− − ε < xn < x+ + ε
(2.7)
or x− − ε = x+ − ε et (1.2) devient
x+ − ε < xn < x+ + ε ie xn → x+ = x−
b) provient de la définition de x+ et de x− .
Pour clore ce chapitre nous examinerons le théorème suivant dit :
Théorème 2.5. (de O.Stolz)
Soit (yn ) une suite de réels strictement croissante ( ne serait-ce qu’à partir d’un certain rang ) tendant
vers +∞ quand n → +∞
donnée.Alors
et soit (xn ) une suite de réels
xn −xn−1
l’existence de limite de yn −yn−1 entraı̂ne celle de xynn et de plus en cas d’existence
xn − xn−1
xn
= lim
= l ∈ R.
n→+∞ yn − yn−1
n→+∞ yn
lim
Démonstration. Sans nuire à la généralité nous allons supposer la stricte croissance de yn à partir des
premiers termes.
1. Supposons l’existence de
lim
n→+∞
xn − xn−1
=l∈R
yn − yn−1

 −xn−1
−l <
Dans ce cas ∀ε > 0, ∃η ∈ N : ∀n > η ⇒  xynn −y
n−1
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ε
2
i.e

n−1

l − 2ε < xynn −x

−yn−1 < l +



 l − ε < xn−1 −xn−2 < l +
2
yn−1 −yn−2
ε
2
ε
2






ε
2
l−
ε
2
<
xη+1 −xη
yη+1 −yη
<l+
..
.
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
(yn − yn−1 )(l − 2ε ) < xn − xn−1 < (l + 2ε )(yn − yn−1 )





(yn−1 − yn−2 )(l − 2ε ) < xn−1 − xn−2 < (l + 2ε )(yn−1 − yn−2 )




..

.
ε
ε

(yη+1 − yη )(l − 2 ) < xη+1 − xη < (l − 2 )(yη+1 − yη )









(l − 2ε )(yn − y) < xn − x < (l + 2ε )(yn − y)
i.e
x − x
ε
 n
η
− l < (∗)
∀n > η, 
yn − yη
2
Nous avons l’égalité facilement vérifiable :
i
xη − lyη h
yη ih xn − xη
xn
−l =
+ 1−
− l (∗∗)
yn
yn
yn yn − yη
|
{z
}
(∗∗) ⇒
x − x
 x − ly
xn
 n
 η
η
η
+
−l ≤
−l .
yn
yn
yn − yη
puisque xη − lyη est fini alors, pour n > η 0
|xη − `yη |
ε
< et pour n > η
yη
2
xn − xη
ε
−` < .
yn − yη
2
xn
si η1 = sup(η; n) alors ∀n > η1 on a
− ` < ε.
yn
xn
→`
Par suite :
yn
a) Supposons maintenant lim
⇒ ∃η ∈ N : ∀n > η,
xn − xn−1
= +∞ par exemple
yn − yn−1
xn − xn−1
> yn − yn−1
> 0 (∗ ∗ ∗)
xn−1 − xn−2 > yn−1 − yn−2
..
.
xη+1 − xη
> yη+1 − yη
xn − xη
> yn − yη
ie
xn > (xη − yη ) + yn ⇒ xn → ∞.
(∗ ∗ ∗) ⇒ la suite (xn ) est strictement croissante à partir du rang η et donc on peut appliquer a)
yn
yn − yn−1
yn
à
puisque lim
= 0+ (fini)⇒ lim
= +∞.
xn
xn − xn−1
xn
Exemples :
1k + 2 k + · · · + nk
a) un =
, k ∈ N ; xn = 1k + 2k + · · · + nk et yn = nk+1 est une suite strictement
nk+1
croissante tendant vers +∞.
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xn − xn−1
nk
nk
nk
xn − xn−1
= k+1
→
=
=
⇒
yn − yn−1
yn − yn−1
n
− (n − 1)k+1
nk+1 − [nk+1 − (k + 1)nk + · · · ]
(k + 1)nk + · · ·
1
.
k+1
Rappel :
k+1
X
`
(n − 1)k+1 =
Ck+1
nk+1−` (−1)` .
`=0
b) Moyenne de Césaro :
Soit (an ), an ∈ R et an → a ∈ R, alors la suite un =
a0 + a1 + · · · + an
converge aussi vers a.
n
xn = a0 + a1 + · · · + an )
an
xn − xn−1
=
Prendre et
⇒
= an → a.
yn − yn−1
n − (n − 1)
yn = n
Z :vérifier que la suite (yn ) est une suite stictement décroissante.
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Chapitre Trois
Limites et continuité d’une fonction
réelle à variable réelle
Sommaire
3.1
3.1
Définitions et limites de fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2
Limites à droite et à gauche - Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.3
Infiniment petits et infiniment grands équivalents . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.4
Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.5
Fonction strictement monotone sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.6
Fonctions composées
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.7
Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.8
Fonctions Logarithme et exponentielle (Rappel) . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.9
Fonction logarithme de base a > 0 (a 6= 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.10 Fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.11 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.12 Croissance comparée des fonctions exponentielle, puissance et logarithme. .
53
3.13 Comparaison de la fonction logarithme et de la fonction puissance . . . . .
53
3.14 Comparaison de l’exponentielle et de logarithme . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Définitions et limites de fonctions numériques
Définition 3.1. On appelle fonction réelle (ou numérique) sur un ensemble X non vide, toute application
de X dans R.
f
Une fonction sera souvent notée f, g, h, . . . 0n écrit également assez souvent f : X → R ou X −
7 → R.
Nous ne considérons ici que les fonctions numériques définies sur des parties de R, mais les limites
sont définies dans R.
Définition 3.2. Soit f une fonction numérique définie sur une partie A de R et soient a, b ∈ R, le point
a étant supposé point adhérant à A. Nous dirons que f tend vers b lorsque x tend vers a, si pour tout
voisinage Vb de b il existe un voisinage Ua du point a tel que
f Ua ∩ A\{a} ⊂ Vb .
(3.1)
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Définitions et limites de fonctions numériques
37
Si cette condition est réalisée, on dit que f admet b pour limite au point a et on écrit :
f (x) −−−→ b ou
lim f (x) = b.
x→a
x→a
Supposons que l’élément a ∈ R soit un point adhérant d’une partie X de A. Si la restriction de f à X
tend vers b quand x tend vers a, on dit que f (x) tend b quand x tend vers a et on écrit :
f (x) −−−−−→ b ou
X3x→a
lim f (x) = b
X3x→a
Critères usuels
1. Soit (a, b) ∈ R2 ,
(
f (x) −→
)
b
⇔
x−→a
x sur X
2. Soit a ∈ R,
(
f (x)
−→
(
−→
f (x)
)
∀ε > 0, ∃δ > 0 / x ∈ X et |x − a| < δ ⇒ (|f (x) − b| < ε) .
+∞
)
−∞
)
(
⇔
x−→a
x sur X
(
)
∀λ ∈ R, ∃δ > 0 / x ∈ X et |x − a| < δ ⇒ (f (x) > λ) .
(
⇔
x−→a
x sur X
(3.2)
(3.3)
)
∀λ ∈ R, ∃δ > 0 / x ∈ X et |x − a| < δ ⇒ (f (x) < λ) .
(3.4)
Soit X une partie non majorée de R et f une fonction numérique dont l’ensemble de définition contient
X.
3. Soit b ∈ R,
(
f (x)
−→
b
)
(
⇔
∀ε > 0, ∃α ∈ R/(x ∈ X et x > α) ⇒ (|f (x) − b| < ε)
x−→+∞
4.
(
f (x)
−→
+∞
)
−∞
)
)
(
⇔
(
f (x)
−→
)
∀λ ∈ R, ∃α ∈ R/(x ∈ X et x > α) ⇒ (f (x) > λ)
x−→+∞
5.
(3.5)
(
⇔
(3.6)
)
∀λ ∈ R, ∃α ∈ R/(x ∈ X et x > α) ⇒ (f (x) < λ)
x−→+∞
(3.7)
Soit X une partie non minorée de R et f une fonction numérique dont l’ensemble de définition contient
X.
6.
(
−→
f (x)
b∈R
)
(
⇔
x−→−∞
7.
(
f (x)
−→
x−→−∞
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+∞
)
)
∀ε > 0, ∃α ∈ R/(x ∈ X et x < α) ⇒ (|f (x) − b| < ε)
(
⇔
)
∀λ ∈ R, ∃α ∈ R/(x ∈ X et x < α) ⇒ (f (x) > λ)
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(3.8)
(3.9)
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Définitions et limites de fonctions numériques
8.
(
−→
f (x)
−∞
)
38
(
⇔
x−→−∞
)
∀λ ∈ R, ∃α ∈ R/(x ∈ X et x < α) ⇒ (f (x) < λ)
(3.10)
En prenant X = N, nous retrouvons les énoncés usuels relatifs aux suites.
Proposition 3.1.
(
f (x)
→
b
)
(
⇔
x→a
x sur X
pour toute suite (xn ) convergeant vers a,
la suite f (xn ) → b
)
.
Démonstration. Pour simplifier nous supposerons a et b finis.
⇐) En supposant l’affirmation de la proposition inexacte, on aurait l’existence d’un ε0 tel que pour
tout δ > 0 on puisse trouver un x = x(δ) vérifiant 0 ≤ |x − a| < δ mais |f (x) − b| > ε0 . Soit (δn )n une
suite quelconque vérifiant 0 < δn < δ, n ∈ N et lim δn = 0. Posons xn = x(δn ), n ∈ N. En vertu de la
n→+∞
construction
0 ≤ |xn − a| < δn , n ∈ N
(3.11)
et
|f (xn ) − b| > ε0 .
(3.12)
De (3.11) on obtient lim xn = a et (3.12) signifie que b ne peut pas être égale à lim f (xn ). Ce qui
n→+∞
n→+∞
contredit le fait que b = lim f (xn ).
n→+∞
⇒) Supposons ∀ε > 0, ∃δ > 0 /∀x ∈ X, (0 < |x − a| < δ) ⇒ (|f (x) − b| < ε). Montrons que pour toute
suite (xn )n déléments de X avec lim xn = a on a lim f (xn ) = b. Soit donc ε > 0, un réel positif
n→+∞
n→+∞
quelconque fixé et δ = δ(ε) choisi tel que pour tout x ∈ X vérifiant 0 ≤ |x − a| < δ on ait |f (x) − b| < ε.
Pour toute suite (xn )n tendant vers a il existe un entier η tel que ∀n > ηε , |xn − a| < δ. C’est pourquoi,
pour tout n > ηε on a : |f (xn ) − b| < ε i.e. lim f (xn ) = b.
n→+∞
En se référant à la Proposition 3.1 nous avons les résultats suivants tirés des propositions obtenues
des suites.
Proposition 3.2. Si a est un point d’accumulation de A, il existe au plus un élément b ∈ R tel que
f (x) → b lorsque x → a.
Proposition 3.3. Soient f et g deux fonctions numériques définies sur une même partie non vide X de
R de limites respectives b et c finies, en un point a ∈ X 0 ensemble dérivé de X. Alors la fonction
a) f + g → b + c,
b) f · g → bc,
b
f
c) si c 6= 0, → ,
g
c
d) |f | → |b|.
Cette proposition peut être étendue aux cas cas où les limites b et c ne seraient pas nécessairement
finies grâce aux conventions
+∞ + (+∞) = +∞;
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b × (+∞) = +∞ si b > 0;
b × (+∞) = −∞ si b < 0;
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b
= 0 si b ∈ R
±∞
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Limites à droite et à gauche - Fonctions monotones
3.2
39
Limites à droite et à gauche - Fonctions monotones
Définition 3.3. Soit f : A ⊂ R → R et a ∈ R, supposé point adhérent à A. Supposons que l’ensemble
X1 = {x ∈ A : x < a} [resp. X2 = {x ∈ A : x > a}] admette le point a pour point adhŕent. On dit que
f (x) tend vers b ∈ R lorsque x tend vers a par valeurs inférieures [resp. par valeurs supérieures] si f (x)
tend vers b lorsque x tend vers a sur X1 [resp. sur X2 ], et on écrit
lim f (x) = b ou f (a− ) = b [resp. lim f (x) = b ou f (a+ ) = b ]
x→a−
x→a+
En cas d’existence cette limite est appelée limite à gauche [resp. à droite] de f en a.
|x|
on a f (0+ ) = 1 et f (0− ) = −1.
x
Remarque 3.1. Cette définition permet de considérer la limite de f lorsque x tend vers +∞ [resp.−∞]
comme une limite à droite [resp. à gauche] lorsque cette limite existe.
Exemple 3.1. Pour la fonction f : R∗ → R, x 7→
Définition 3.4. Une fonction f définie sur une partie A de R est dite monotone si elle est croissante
ou décroissante (le ou étant exclusif ) sur A i.e.
y ≤ x ⇒ f (y) ≤ f (x) [resp. y ≤ x ⇒ f (y) ≥ f (x)].
Elle est dite strictement momotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante i.e. si
toutes les inégalités sont au sens strict.
Théorème 3.1.
a) Soit f une fonction définie et croissante sur une partie A de R ; alors f admet une limite à gauche
(finie ou égale à +∞) en tout point a ∈ R où cette limite peut être définie ; si a ∈ A, cette limite
est finie et vérifie f (a− ) ≤ f (a).
b) De même si f est une fonction décroissante sur une partie A de R, alors f admet une limite à
droite (finie ou égale à −∞) en tout point a ∈ R où cette limite peut être définie ; si a ∈ A, cette
limite est finie et vérifie f (a+ ) > f (a). En particulier si A est non majoré, f (x) a une limite (finie
ou égale à +∞) quand x → +∞ ; et si A est non moniré, f admet une limite (finie ou égale à
−∞) quand x → −∞
Démonstration.
a) La limite à gauche de f peut être définie en tout point a ∈ R tel que l’ensemble
X1 = {x ∈ A : x < a} admette a pour point adhérent, donc en particulier au point a = +∞
si A est non majoré. Supposons donc a adhérent à X1 avec −∞ < a ≤ +∞ et designons par
M = sup f (X1 ) ; −∞ < M ≤ +∞ et V un voisinage quelconque de M dans R. Que M soit fini
ou egal à +∞, il existe toujours un nombre réel α < M tel que : ]α, M ] ⊂ V . D’autre part, les
proprietés de la borne supérieure entrainent l’éxistence d’un élement f (u) ∈ f (X1 ) avec u < a et
vérifiant f (u) > a. Dans tous les cas (a fini ou égal a +∞) l’intervalle ouvert U défini par x > u
est un voisinage de a ; ∀x ∈ U ∩ X1 on a (puisque f ↑) f (x) ≥ f (u) > α ; et (par definition de
M ) : f (x) ≤ M donc f (x) ∈]α, M ] ⊂ V . Par conséquant M est la limite a gauche de f en a (i.e)
M = f (a− ). Si a ∈ A , on a f (x) ≤ f (a) ∀x ∈ X1 . En d’autres termes f (a) est un majorant de
f (X1 ) et par suite M ≤ f (a)(∗). Donc f (a− )(= M ) est fini en vertu de (∗) et verifie f (a− ) ≤ f (a).
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Infiniment petits et infiniment grands équivalents
40
Les limites à droite s’étudient de la même maniere : pour étudier les limites a droite de f on étudie
les limites a gauche de la fonction croissante g : g(x) = −f (−x).
Pour étudier les limites d’une fonction décroissante f on étudie les limites de la fonction croissante
g : g(x) = −f (x).
Exemple 3.2. La fonction partie entière x −→ E(x) est croissante sur R et f (a− ) ≤ f (a) = f (a+ ),
∀ a ∈ R.
−3
−2
−1
1
3.3
2
3
Infiniment petits et infiniment grands équivalents
Soient α et f 2 fonctions définies sur une partie non vide A de R et x0 ∈ R un point adhérent a A.
Définition 3.5.
1. La fonction α est dite infiniment petite au voisinage de x0 si limx→x0 α(x) = 0.
2. La fonction f est dite infiniment grande au voisinage de x0 si limx→x0 |f (x)| = +∞.
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Infiniment petits et infiniment grands équivalents
41
Exemple 3.3.
)
1.
a) x → sin x
x0 = 0
1
b)
x→ x
x0 = ±∞
)
2.
x
x0 = 0
a) x → sin
x2
2
b) x → −x x0 = ±∞
sont des infiniment petits aux voisinages des points considérés
sont des infiniment grands au voisinage des points considérés.
Définition 3.6. Soient f et g deux fonctions données, définies sur une partie A de R et x0 ∈ R un point
adhérent a A. S’il éxiste un voisinage V du point x0 et une constante c tels que :
|f (x)| ≤ c|g(x)|,
∀ x ∈ (V ∩ A) \ {x0 },
(3.13)
on dit que f est dominée (bornée) par la fonction g au voisinage de x0 et on écrit f = O(g) ou par abus
x0
de d’écriture f (x) = O(g(x)). Et nous dirons que f et g sont de même ordre au voisinage de x0 ∈ R
x→x0
si f = O(g) et g = O(f ).
x0
x0
Exemple 3.4.
1.
2.
3.
1
O( x12 ) puisque x1 ≤ x12 si |x| ≤ 1.
x =
0
1
1
1
pour |x| ≥ 1.
=
O
puisque x12 ≤ 1 · |x|
2
2
x ±∞
x
f (x) = x et g(x) = x(2 + sin x1 ) sont des infiniments
petits de même ordre au voisinage de 0 :
f
1
1
(x) =
≤
≤1
1
g
2 + sin x
2 − sin x1
i.e. |f | ≤ 1.|g| au voisinage de 0 et
g
1
1
(x) = 2 +
≤ 2 + sin
≤ 3,
f
x
x
i.e. |g| ≤ 3|f | au voisinage de 0.
Proposition 3.4. Soient f et g 2 fonctions
sur une partie A de R, x0 ∈ R un point d’ac définies
f
cumulation de A et g 6= 0 sur A. Si lim
= c ∈ R∗ , alors les fonctions f et g sont de même
x→x0
g
ordre.
Démonstration.
1. Remarquons d ’abord que :
n
o
( lim f = b ∈ R) ⇔ l’existence de α : f (x) = b + α(x) avec lim α(x) = 0 .
x→a
x→a
En effet, si lim f = b alors il suffit de poser α(x) = f (x) − b. Réciproquement, si f (x) = b + α(x)
x→a
avec lim α(x) = 0 alors lim f (x) = b.
x→a
x→a
f
f
g
1
2. lim = c 6= 0 ⇒ (x) = c + α1 (x) et (x) = + α2 (x) avec lim αi (x) → 0, i = 1, 2. Donc au
x→0 g
x→0
g
f
c
f
1
g
voisinage de x0 , (x) ≤ |c| + 1 et (x) ≤
+ 1.
g
f
|c|
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Fonctions continues
42
Définition 3.7. Soient f et g deux fonctions définies sur une partie A de R et x0 ∈ R un point adhérent
de A. S’il existe une fonction ϕ définie dans voisinage V du point x0 a l’éxception peut être de x0 telle
que f (x) = ϕ(x)g(x) dans (V ∩ A) (x0 ) et lim ϕ(x) = 1, On dit que f et g sont équivalentes au voisinage
x→x0
de x0 . On écrit alors f ∼ g ou par abus d’écriture f (x) ∼ g(x).
x0
x0
Définition 3.8. Nous dirons que f définie sur un voisinage V de x0 à l’éxception peut être de x0 est
infiniment petit par rapport a g, si pour tout x 6= x0 et x ∈ V on a : f (x) = ε(x)g(x) avec lim ε(x) = 0.
x→x0
Dans ce cas on écrit : f = o(g) ou f (x) = o(g(x)).
x0
x0
Exemple 3.5.
1
1. (1 + x4 )x2 ∼ x2 au voisinage de 0 , ϕ(x) = 1+x
4.

x

 o( sin x )
2
x
2. sin
au voisinage de x0 = 0
x =

1
o( sin x )
Nous remarquons que si f = f1 et g = g1 alors l’éxistence de lim
x0
x0
x→x0
et de plus on a l’égalité
lim
x→x0
f1
f
entraı̂ne l’existence de lim ;
g
g1
f1 (x)
f (x)
= lim
.
g(x) x→x0 g1 (x)
(3.14)
Notons avant de clore ce paragraphe que dans le calcul des limites on rencontre assez souvent les formes
0 ∞
0
0
∞ appelées formes indertiminées (F.I.). Selon les situations concrétes en
0 , ∞ , 0 · ∞, +∞ − ∞, 0 , ∞ , 1
présence, ces cas peuvent avoir tous les comportements possibles au point x0 .


f F.I. ∞
f √



−→ ∞
x 7−→ x
lim f = +∞
g
x→+∞
⇒ F.I. pour
Exemple 3.6.
au point x0 = +∞.
g
g
F.I. ∞

x 7−→ x
lim g = +∞ 

−→
∞
x→+∞
f
Déterminer la limite éventuelle associée à de telle formes est ce qu’on appelle
√ lever l’indetermination.
f
g
∞
g
f
x
∞
Pour les exemples précedents on a la forme
selon ou : lim
= lim
= 0 ← , lim
=
x→+∞ x
∞
g
f x→x0 g
∞ x→+∞ f
x
∞
lim √ = +∞ ← .
x→+∞
∞
x
3.4
Fonctions continues
Définition 3.9. Soit f une fonction numerique, définie sur une partie A ⊂ R. On dit que f est continue
en un point a si : a ∈ A et f (x) → f (a) i.e. si elle vérifie la condition suivante :
x→a
∀ Vf (a) ∈ V(f (a)), ∃Ua ∈ V(a) / f (Ua ∩ A) ⊂ Vf (a) .
(3.15)
Ce qu’on peut traduire encore par le langage ε, δ par :
{f continue au point a} ⇔ {∀ ε > 0, ∀x ∈ A, (|x − a| < δ) ⇒ (|f (x) − f (a)| < ε)}.
(3.16)
f est dite continue sur A si elle est continue en tout point de A.
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Fonctions continues
43
Exemple 3.7. x → f (x) =



sin x
x
x 6= 0
est continue sur R


1 x=0
La condition (3.15) est aussitot vérifié s’il existe un voisinage Ua tel que Ua ∩ A = a i.e. si a est un
point isolé. D’ou toute fonction f définie sur une partie A ⊂ Z est continue.
Si f n’est pas continue en un point a0 ∈ A, on dit que f est discontinue au point a0 ou a0 est un
point de discontinuité de f .
Définition 3.10. Si f est une fonction définie sur A et si f a une limite b ∈ R lorsque x → a ∈ A \ A
ou lorsque x → a ∈ A avec f (a) 6= b on obtient une fonction f˜ continue au point a et prolongeant f en
posant :
(
f (x) si x ∈ A
f˜(x) =
dans le cas oú a ∈
/A
(3.17)
b
si x = a
et
(
f˜(x) =
f (x) si x ∈ A \ {a}
b
si
x=a
dans le cas oú a ∈ A
(3.18)
f est dit prolongement de f par continuité au point a.
Proposition 3.5. Soient f et g deux fonctions définies sur un même ensemble A ⊂ R et continues au
point a ∈ A ; et soit α ∈ R. Les fonctions αf , f + g, f · g sont continues au point a et il en est de même
de fg si g(a) 6= 0.
Pour la preuve se référer a la Proposition 3.3.
Définition 3.11. Soit X un ensemble quelconque non vide et f une fonction numerique définit sur X.
1. On dit que f est majorée [resp. minorée, bornée] sur X, si f (X) est une partie majorée [resp.
minorée, bornée] de R
2. Si f est majorée [rep. minorée] sur A, la borne superieure [resp. borne inférieure] de f (x) est
appelée borne superieure [resp. borne inférieure] de f sur X et est notée supX f [resp. inf X f ].
Définition 3.12.
1. On dit que f présente un maximum [resp. minimum] absolu en un point a ∈ X, si le nombre
f (a) est égale à la borne supérieure [resp. borne inférieure] def sur X, autrement dit : si on a
f (x) ≤ f (a) [resp. f (x) ≥ f (a)] ∀x ∈ X ; et ce maximum [resp. minimum] f (a) est dit strict si
les relations x ∈ X et si x 6= a entraı̂nent l’inégalité stricte f (x) < f (a) [resp. f (x) > f (a)].
2. On dit que f présente un maximum [resp. minimum] relatif au point a ∈ X, s’il existe un voisinage
V de a tel que l’on ait f (x) ≤ f (a) ∀x ∈ V ∩ X.
Les maxima et les minima (absolus ou relatifs) sont appelés extréma de f .
Théorème 3.2. Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle fermé et borné [a, b] ⊂ R Alors
f est bornée et atteint sur [a, b] sa borne supérieure M et sa borne inférieure m.
Démonstration.
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Fonctions continues
44
1. Si f n’était pas bornée, il existerait, pour chaque n ∈ N un point xn ∈ [a, b] vérifiant |f (x)| ≥ n. De
la suite (xn ) le Théorème de Bolzano-Weierstrass permettrait d’extraire une sous-suite convergente
(xq n ) et le point x = lim xq n appartiendrait à [a, b] (puisque [a, b] est fermé). Mais ceci entraı̂nerait
une contradiction puisque la suite f (xq n ) qui est non bornée, devrait converger vers f (x), et donc
f est bornée.
2. Puisque f est bornée, les bornes M = supX f et m = inf X f sont finies. Si f ne prenait pas la
1
valeur M , la fonction x 7→ M −f
(x) serait définie et par conséquent continue sur tout [a, b]. D’après
la partie a) de la démonstration, cette fonction serait donc bornée et il existerait un nombre α :
1
1
1
1
| M −f
(x) | ≤ α i.e |M − f (x)| ≥ α , ∀x ∈ [a, b] : On aurait donc M − f (x) ≥ α i.e. f (x) ≤ M − α
∀x ∈ [a, b] et M ne serait pas la borne supérieure de f . On établit de même que f prend la valeur
de m au moins en un point de [a, b].
Remarque 3.2. Le Théorème tombe en défaut pour une fonction continue sur un intervalle non fermé
ou non borné.
π
Exemple 3.8. ] −π
2 , 2 [→ R, x → tan x.
y
−π
2
O
π
2
x
Théorème 3.3 (Théorème des valeurs intermédiaires). Soit f une fonction numérique continue sur
un intervalle quelconque [ouvert, fermé, semi-ouvert, borné ou non] I de R ; et soient M = supI f et
m = inf I f les bornes de f sur I ; Alors f prend toute valeur entre m et M .
Remarque 3.3. m et M ne sont pas nécessairement finis.
Démonstration. Si m = M (cas où f = cte) la proposition est triviale. Supposons donc m 6= M et soit γ
un nombre arbitraire tel que m < γ < M . Les propriétés des bornes supérieure et inférieure entraı̂nent
l’existence des points a, b ∈ I tels que m ≤ f (a) < f (b) ≤ M . Pour simplifier nous supposerons a < b.
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Fonctions continues
45
y
M
f (b)
f (x0 ) = γ
f (a)
O
a
xn
c0
b
x
m
L’ensemble C = {x ∈ [a, b] : f (x) ≤ γ} est non vide (puisqu’il contient a) et est majoré par b. Il admet
donc une borne supérieure finie c0 . Pour chaque n ∈ N∗ , les propriétés de cette borne supérieure entraı̂ne
l’existence d’un élément xn ∈ C vérifiant c0 − n1 < xn ≤ c0 . Par conséquent la suite xn → c0 et donc la
suite {f (xn )} → f (c0 ) ; et l’inégalité f (xn ) ≤ γ (vraie par construction ∀n ∈ N? entraı̂ne par passage à
la limite que
f (c0 ) ≤ γ.
(3.19)
D’autre part, puisque c0 est la borne supérieure de C, on a f (x) > γ pour tout x ∈ ]c0 , b] (car x > c0 ).
Donc la limite à droite de f en c0 , qui est f (c0 ), vérifie
f (c0 ) > γ.
(3.20)
D’où finalement (3.19) et (3.20) donnent f (c0 ) = γ.
Remarque 3.4. Ce procédé utilisé nous permet d’avoir la plus grande racine de l’équation f (x) = γ.
Corollaire 3.1. L’image d’un intervalle de R par une fonction continue, est un intervalle de R.
En effet puisque ]m, M [⊂ f (I) ⊂ [m, M ] alors f (I) est un des 4 possibilités : [m, M ], ]m, M [, [m, M [,
]m, M ]. Le théorème suivant précise le résultat lorsque I est fermé borné.
Théorème 3.4. L’image d’un intervalle fermé borné de R par une fonction continue est un intervalle
fermé et borné.
Application. Soit f une fonction continue sur un intervalle I ⊂ R, s’il existe 2 points a, b de I tel
que f (a)f (b) < 0, alors l’équation f (x) = 0 admet au moins une solution entre a et b.
Corollaire 3.2. Soit f une fonction continue sur un intervalle I ⊂ R. Si f ne prend pas la valeur 0,
alors f garde un signe constant sur I.
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Fonction strictement monotone sur un intervalle
3.5
46
Fonction strictement monotone sur un intervalle
Propriété 3.1.
a) Pour qu’une fonction numérique continue sur un intervalle A de R soit injective il faut et il suffit
qu’elle soit strictement monotone.
b) Inversement pour qu’une fonction numérique monotone sur un intervalle A ⊂ R soit continue, il
suffit que f (A) soit un intervalle.
Démonstration.
a) ⇐) (f strictement monotone) ⇒ (x < y donne f (x) < f (y) ou f (x) > f (y)), i.e. f (x) 6= f (y).
⇒) Soient f une fonction injective et continue sur A et x, y, z ∈ A tels que x 6= y, y 6= z et x 6= z.
Nous allons montrer que
sgn
f (y) − f (x)
f (z) − f (x)
f (z) − f (y)
= sgn
= sgn
= cte.
y−x
z−x
z−y
sgn(t) désigne le signe de t. Pour se fixer les idées nous supposerons x < y < z.
• • •
A
x y z
Ax
Posons Ax = {r ∈ A : r > x}
Az
et
Az = {r ∈ A : r < z}
(x)
(r)
et gx : Ax → R / gx (r) = f (r)−f
, hz : Az → R / hz (r) = f (z)−f
. Du fait que Ax et Az
r−x
z−r
sont des intervalles et que gx (r) 6= 0, ∀r et hz (r) 6= 0, ∀r, alors sgn(gx ) = cte de même que sgn
sgn(hz ) = cte sur Ax et Az respectivement. Donc gx (y)gx (z) > 0 et hz (x)hz (y) > 0, c’est-à-dire
(x) f (z)−f (x)
(x) f (z)−f (y)
que f (y)−f
> 0 et f (z)−f
> 0.
y−x
z−x
z−x
z−y
b) Montrons maintenant que si f (A) est un intervalle, la fonction monotone f est continue. Supposons
que x0 soit un point de discontinuité de f . D’après les propriétés des fonctions monotones, il existe
+
−
+
f (x−
0 ) et f (x0 ) et f (x0 ) 6= f (x0 ) ou f (x0 ) 6= f (x0 ). Pour se fixer les idées nous allons supposer f
+
croissante et f (x+
0 ) 6= f (x0 ) et donc f (x0 ) < f (x0 ). Par suite x0 6= sup A et pour x > x0 , on a :
f (x) ≥ f (x+
0 ). D’autre part, pour x < x0 , f (x) ≤ f (x0 ). Alors f (A) ne contient aucun point de
l’intervalle ]f (x0 ), f (x0+ )[ i.e :
y
y0
f (x0+ )
f (x0 )
O
x0
x
A
D’où donc, {f (A)}∩]f (x0 ), f (x0+ )[= ∅. Puisque f (x0 ) ∈ f (A) est il existe y0 ≥ f (x0+ ) et yo ∈ f (A)
alors f (A) n’est pas un intervalle ce qui est une contradiction, d’où f continue sur A.
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Fonctions composées
47
Proposition 3.6. Si f est une bijection continue d’un intervalle A sur un intervalle B, sa réciproque
f −1 est continue sur B.
Démonstration. En effet, d’après la partie a) de la proposition précédente [ i.e si f est continue sur un
intervalle A, alors {f injection sur A}⇔ {f strictement monotone}, nous avons sur A une fonction f
continue et strictement monotone et par suite sa fonction réciproque f −1 est strictement monotone(1) sur
f (A) = B qui est un intervalle de R. Pour la stricte monotonie de f −1 ? Soient y1 < y2 deux éléments de
B. Pour se fixer les idées nous supposons la fonction f strictement croissante, cela donne f (x1 ) = y1 <
y2 = f (x2 ) pour un seul x1 ∈ A et un seul x2 ∈ A et donc x1 = f −1 (y1 ) et x2 = f −1 (y2 ). Nous avons
donc une seule des 3 possibilités ; ou bien x1 < x2 ou bien x1 = x2 ou x1 > x2 . Si x1 = x2 ou si x1 > x2
on aurait en vertu de la stricte croissante de f que y1 = f (x1 ) = f (x2 ) ou y1 = f (x1 ) > f (x2 ) = y >2 ce
qui serait en contradiction avec l’hypothése de départ y1 < y2 et par conséquent x1 < x2 ]. D’autre part
A = f −1 (B) est un intervalle(2) . De (1) et (2) on tire que f −1 continue sur B.
Proposition 3.7. Soit A un intervalle quelconque de R d’extrémités a et b (a < b) et f une fonction
strictement monotone et continue sur A. Alors f (A) est un intervalle de même nature que A d’extrémités
α = limx→a f (x) et β = limx→b f (x).
Démonstration. Pour fixer les idées, supposons f strictement croissante. D’après le Théorème des valeurs
intermédiaires f (A) est un intervalle d’extrémités α et β. Il est évident que α ∈ f (A) [resp. β ∈ f (A)]
⇔ a ∈ A [resp. b ∈ A], i.e. A et f (A) sont de même nature.
3.6
Fonctions composées
Proposition 3.8. Soit f une fonction définie sur un voisinage d’un point x0 ∈ R, à l’exception peutêtre de x0 , telle que lim f = a et g une fonction définie sur un intervalle ouvert W de centre a privé
x→x0
du point a et telle que
lim g(y) = b ∈ R ; et supposons qu’il existe un voisinage Vx0 de x0 tel que
W 3y→a
f (Vx0 \ {x0 }) ⊂ W . Alors la fonction h = g ◦ f est définie sur Vx0 \ {x0 } et lim h = b.
x→x0
Démonstration. En effet ∀ x ∈ V \x0 posons y = f (x) ⇒ h(x) = g(y). Puisque lim g(y) = b alors
y→a
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < |y − a| < δ ⇒ |g(y) − b| < ε. Par suite 0 < |f (x) − a| < δ ⇒ |h(x) − b| < ε. Mais
puisque lim f (x) = a et que ∀ x ∈ V \x0 on a f (x) 6= a (voir définition de W ), alors on peut associer au
x→x0
nombre δ > 0, un nombre α : 0 < |x − x0 | < α ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ et par suite |h(x) − b| < ε.

lim f (x) = b 

x→a

6⇒ lim g ◦ f = c.
Remarque 3.5. Attention ! et
x→a


lim g(y) = c 
y→b
(
1 si x 6= 0
. On a :
0 si x = 0
1
lim f (x) = 0 et lim g(x) = 1, g[f (x)] = 1 si x 6= nπ
, n ∈ Z∗ . Pourtant la fonction x 7→ g[f (x)] n’admet
x→0
x→0
pas de limite en 0.
Exemple 3.9. Soient f :
Analyse mathématique
R∗
→ R, x 7→ f (x) = x sin
1
x
et g : R → R, x 7→ g(x) =
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Fonctions uniformément continues
48
De cette proposition résulte le théorème suivant.
Proposition 3.9. Si f est une fonction continue au point x0 et g une fonction continue au point y0 =
f (x0 ), alors la fonction h = g ◦ f est continue en x0 .
Démonstration. Soit z0 = h(x0 ) = g[f (x0 )] = g(y0 ) et Vz0 un voisinage quelconque de z0 , alors h−1 (Vz0 ) =
f −1 (g −1 (Vz0 )). Puisque g est continue en y0 , alors g −1 (Vz0 ) est un voisinage de y0 et la continuité de f
en x0 entraı̂ne que f −1 (g −1 (Vz0 )) est un voisinage de x0 .
3.7
Fonctions uniformément continues
Définition 3.13. Une fonction f définie sur A ⊂ R est dite uniformément continue sur A si :
∀ ε > 0, ∃ η > 0/∀ (x, y) ∈ A2 , (|x − y| < η) ⇒ (|f (x) − f (y)| < ε).
(3.21)
Remarque 3.6.
a) η = η(ε) seulement.
b) Une telle fonction est nécessairement continue : en effet η étant le nombre associé à ε dans la
définition de la continuité uniforme, et si a est un point fixé de A, alors ∀x ∈ A/|x − a| < η ⇒
|f (x) − f (a)| < ε.
Exemple 3.10.
1
a) f : x → |x| 2 est uniformément continue sur A = R. En effet soit ε un réel positif quelconque et
1
1
η = ε2 . Pour (x, y) ∈ R2 vérifiant |y − x| < η = ε2 . On a |f (x) − f (y)|2 = ||x| 2 − |y| 2 |2 . Or
1
1
1
1
1
1
{|x| 2 − |y| 2 }2 ≤ |(|x| 2 + |y| 2 )(|x| 2 − |y| 2 )|, = ||x| − |y|| ≤ |x − y| < ε2
donc
1
1
||x| 2 − |y| 2 | ≤
p
|x − y| < ε.
1
b) f : A =]0, 1[ → R, définie par f (x) =
est continue sur A, mais non uniformément. Pour tout
x
x > 0 et tout η > 0 tels que 0 < x + η < 1, on a :
0 < f (x) − f (x + η) =
1
x+η−x
η
1
−
=
=
x x+η
x(x + η)
x(x + η)
et donc
f (x) − f (x + η) >
Or
η
.
x(1 + η)
η
η
>ε⇔x<
x(1 + η)
ε(1 + η)
η
et par suite pour ε et η des nombres positif fixés quelconques on peut toujours trouver x x <
ε(1 + η)
tel que f (x) − f (x + η) > ε ⇒ f non uniformément continue sur A.
Analyse mathématique
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Fonctions uniformément continues
49
c) Soit f : A = R+ → R, x 7→ sin x1 . Considérons les points
x0 =
π
2
1
1
et x00 = 3
.
+ 2πn
2 π + 2πn
Prenons ε = 1 ; alors pour tout η > 0 on a, pour n assez grand, |x0 − x00 | < η et
π
3
|f (x0 ) − f (x00 )| = sin
+ 2πn − sin
π + 2πn = 1 + 1 = 2 > 1
2
2
Donc f est non uniformément continue.
d) Soit f : A = R → R, x 7→ x. Pour tous ε > 0 et η = ε on a :
∀(x, y) ∈ A2 , (|x − y| < η) ⇒ (|f (x) − f (y)| = |x − y| < ε);
c’est-à-dire que f est uniformément continue.
Nous retiendrons le théorème suivant.
Théorème 3.5. Toute fonction continue sur un compact [a, b] y est uniformément continue.
Définition 3.14. Soit f une fonction définie sur une partie A ⊂ R. Son module de continuité, noté
ω(η, f, A) est la fonction
ω(η, f, A) =
f (x0 ) − f (x”) ,
sup
(x0 , x00 ) ∈ A2
|x0 −x00 |≤η
Il est évident que :
a)
sup
f (x0 ) − f (x”) =
|x0 −x00 |≤η
sup
|f (x00 ) − f (x0 )|, (x0 , x00 ) ∈ A2
|x0 −x00 |≤η
b) ω(η, f, A) ≥ 0.
S’il n’y a pas d’embiguité nous écrirons pour simplifier ω(η) à la place de ω(η, f, A). Ensuite, si 0 < η1 < η2
alors {y : y = f (x00 ) − f (x0 ) et |x0 − x00 | ≤ η1 } ⊆ {y : y = f (x00 ) − f (x0 ) et |x0 − x00 | ≤ η2 }. Ce qui implique
que
sup (f (x00 ) − f (x0 )) ≤
sup (f (x00 ) − f (x0 )) ; d’où ω(η1 ) ≤ ω(η2 ). On a ainsi montrer que le
|x0 −x00 |≤η1
|x0 −x00 |≤η2
module de continuité est une fonction monotone croissante.
Exemple 3.11.
a) Trouvons le module de continuité de f : R → R définie par x → x2 . Pour tout η > 0 et tout
x0 ∈ R,
2
2
ω(η, x2 ) = sup (x00 − x0 ) ≥ x0 2 − (x0 − η)2 = 2x0 η − η 2 .
|x0 −x00 |≤η
Pour η fixé
lim (2x0 η − η 2 ) = +∞. Ainsi donc ω(η, x2 ) = +∞, −∞ < x < +∞.
x0 →+∞
b) Considérons maintenant, la fonction f : A = [0, 1] → R, x 7→ x2 . Soit 0 ≤ x00 − η ≤ x0 ≤ x00 ≤ 1.
En vertu de l’inégalité x00 2 − x0 2 ≤ x00 2 − (x00 − η)2 = 2x00 η − η 2 ≤ 2η − η 2 , nous avons
2
2
ω(η, x2 ) = sup
x00 − x0 ≤ 2η − η 2
(3.22)
|x0 −x00 |≤η
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Fonctions Logarithme et exponentielle (Rappel)
50
D’autre part, pour x0 = 1 − η et x00 = 1 on a :
2
00 2
02
x −x
≥ 1 − (1 − η)2 = 2η − η 2 .
ω(η, x ) = sup
(3.23)
|x0 −x00 |≤η
Les inégalités (3.22) et (3.23) donnent ω η, x2 = 2η − η 2 sur [0, 1].
1
c) Soit à présent f : A =]0, 1[→ R, x 7→ . Quelque soit η ∈]0, 1[ fixé on a
x
1
1
1
1
1
1
1
η
ω(η, ) = sup
=
sup
≥
−
−
−
=
→ +∞ si x0 → 0.
0
00
0
00
0
x
x00 x0
x
x
x
x
+
η
x
(x
0
0
0 0 + η)
x ≤x ≤x +η
D’où ω(η, x1 ) = +∞.
Théorème 3.6. Pour qu’une fonction f , définie sur une partie A ⊂ R soit uniformément continue sur
A il faut et il suffit que lim ω(η, f, A) = 0.
η→0
Démonstration.
⇒) Supposons f uniformément continue sur A ; dans ce cas
ε
∀ ε > 0, ∃ ηε > 0/(x0 , x00 ) ∈ A2 et |x0 − x00 | < η ⇒ |f (x00 ) − f (x0 )| < .
2
Donc pour tout η1 < ηε on a
ε
ω(η1 , f ) =
sup |f (x00 ) − f (x0 )| < < ε.
2
|x0 −x00 |≤η1
c’est-à-dire que si 0 < η1 < ηε alors ω(η1 ) < ε ; ce qui veut dire que lim ω(η) = 0.
η→0
⇐) lim ω(η) = 0 ⇔ ∀ ε > 0, ∃ ηε > 0 / 0 < η1 < ηε on ait ω(η1 , f, A) < ε. C’est pourquoi donc pour
η→0
tous x0 ∈ A, x00 ∈ A tels que |x0 − x00 | < ηε , on a |f (x00 ) − f (x0 )| < ε ; c’est-àdire que f est uniformément
continue sur A.
Définition 3.15. Soit A ⊂ R. Le nombre d = lim ω(η) = 0 est appelé diamètre ou amplitude de A et est
η→0
noté d(A). Si la fonction f est définie sur A ⊂ R, la grandeur ω(d(A), f, A) est appelée l’oscillation de f
sur A et est notée ω(f, A) ou simplement ω(f ).
Il est clair que ω(f, A) =
sup
[f (x00 ) − f (x0 )].
(x0 −x00 )∈A2
3.8
Fonctions Logarithme et exponentielle (Rappel)
∗ Logarithme népérien (base e)
La fonction x → ex est continue, strictement croissante sur R et à valeurs dans R∗+ ; elle admet
une fonction réciproque appelée Logarithme népérien et notée log qui est définie pour x > 0.
(
)
y = log x
⇔ {x = ey ou elog x = x (x > 0)}.
x>0
∗ Fonction exponentielle de base a > 0 (a 6= 1)
C’est la fonction qui x 7→ ax définie par
def
ax = ex log a
d’où log ax = x log a.
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Fonction puissance
51
Figure 3.1 – Représentation graphique de la fonction exponentielle de base a > 0, a 6= 1
3.9
Fonction logarithme de base a > 0 (a 6= 1)
La fonction x 7−→ ax (a > 0, a 6= 1) est continue, strictement monotone et donc réalise une bijection
de R sur R∗+ , elle admet une réciproque définie sur R∗+ notée loga .
)
(
n
o
y = loga x
log x
⇔ x = ay = ey log a =⇒ loga x =
.
(3.24)
log a
x>0
Pour b > 0 (b 6= 1)
logb x =
log x
log a
= loga x.
log b
log b
(3.25)
Si on pose x = a et a = b dans (3.24) alors (3.25) devient (formule du changement de base)
logb x = logb a. loga x.
3.10
(3.26)
Fonction puissance
Définition 3.16. soient x ∈ A = R∗+ et k ∈ R. La fonction f : x 7−→ xk = ek log x par définition est
appelée fonction puissance.
Cest une fonction de R∗+ 7−→ R∗+ . Elle est définie comme fonction composée de la fonction logorithme
et de la fonction exponentielle. Cest donc une fonction continue dans son domaine de définition. De cette
définition nous avons :
0
0
a) xk+k = xk xk ;
0
0
b) (xk )k = xkk ;
c) (xy)k = xk .y k .
Pour k < 0, lim xk = 0 et lim xk = 0 et dans ce cas on peut définir un prolongement f˜ de f continue
x→+∞
x→0
(
k
x
pour x > 0
sur x ≥ 0 par f (x) =
.
0
pour x = 0
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Fonction Arccotangente
52
** Généralisation Pour les fonctions u : x → u(x) et v : x → v(x) on définit pour tout x tel que
u(x) > 0 la fonction
u(x)v(x) := ev(x) log u(x) .
(3.27)
3.11
Fonctions circulaires réciproques
Les fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente, sont supposées connues. Pour définir une fonction
circulaire, il faut n’envisager cette dernière que sur un intervalle où elle est continue monotone.
3.11.1
Fonction Arcsinus
La fonction f définie sur A = − π2 , π2 , par y 7−→ x = f (y) = sin y est continue strictement croissante
et f − π2 , π2 = [−1, 1]. Nous pouvons donc définir sa réciproque que nous noterons x 7−→ arcsin x. Dire




π
π


 −2 ≤ y ≤ 2 

 −1 ≤ x ≤ 1 

que
c’est dire que
.
et
et








x = sin y
y = arcsin x
3.11.2
Fonction Arccosinus
La fonction définie sur A = [0, π] par y 7−→ x = f (y) = cos y est continue, strictement décroissante et
f ([0, π]) = [−1, 1]. Donc il admet une fonction
réciproque

 que nous noterons x 7→ y = g(x) = arccos x.
(
)

 −1 ≤ x ≤ 1 

0≤y≤π
Dire que
c’est dire que
.
et


x = cos y


y = arccos x
3.11.3
Fonction Arctangente
La fonction f définie dans l’intervalle ouvert A = − π2 , π2 par y 7→ x = f (y) = tan y est continue
et strictement croissante. Par ailleurs, f − π2 , π2 = R, lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞. On peut
y→ π2 +
y→− π2 +
donc définir sur R la fonction réciproque g que nous noterons x 7−→ y = g(x) = arctan x. On a




π
π


 −2 < y < 2 

 −∞ < x < +∞ 

⇔
.
et
et








x = tan y
y = arctan x
La fonction g est définie sur R et à valeurs dans ] − π2 , π2 [ avec lim arctan x = + π2 ; lim arctan x = − π2 .
x→+∞
3.11.4
→−∞
Fonction Arccotangente
La fonction f définie sur A =]0, π[ par y 7→ x = f (y) = cotany est continue et strictement décroissante.
De plus, f (]0, π[) = R, lim f (x) = +∞ et lim f (x) = −∞. Nous pouvons définir sur R la fonction
x→0+
réciproque g : x 7→ y = arccotanx.


 0<y<π
et


x = cotan
Analyse mathématique
x→π −








x∈R

⇔
.
et






y = arccotanx
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Comparaison de la fonction logarithme et de la fonction puissance
53
On a lim arccotanx = 0 et lim arccotanx = −∞.
x→π
x→+∞
3.12
Croissance comparée des fonctions exponentielle, puissance et
logarithme.
3.12.1
Comparaison de la fonction exponentielle et de la fonction puissance.
ax
,m ∈ R∗+ : on est interessé par la limite de f quand
m
x
x → +∞. (1∗ ) m ∈ N∗ et a = 2. i)N 3 x = n, et montrons que
A) Examinons pour a > 1 la fonction : x →
2n
2n
+ · · · + cnn
(1 + 1)
c0n + c1n + · · · + cm+1
n
−
−
−
−
→
+∞
Soit
m
fixé
et
n
>
m.
=
=
>
mn n→+∞
nm
nm
nm
)]
(n − 1)[(1 − n2 )(1 − n3 ) . . . (1 − m
cm+1
n
(n − 1)(n − 2) . . . (n − m)
n
n
∼
−−−−→ +∞
=
=
m
m−1
n
(m + 1)n
(m + 1)!
(m + 1)! x→+∞
2x
2x
2n
i.e m −−−−→ +∞ (2∗ ) m ∈ R∗+ , a = 2 . Pour n ∈ N∗ : n > m on a (puisque > 1) : m > n
n x x→+∞
x
x
2
x
xlog2 a
et donc m . 4i) Prenons a quelque et a¿1 ; e = 2
x xlog a
y
ax
= 2 xm2 = y2m log2m a → +∞ lorsque x → +∞
xm
Donc pour m ∈ R∗+ f (x) → +∞ lorsque x → +∞
Théorème 3.7.
P our a > 1 et pourtout m > 0 lim
ax
m
x→+∞ x
= +∞
B)0<a<1
f : x 7→ ax xm (m ∈ R∗+ )f orme ind (0 × ∞ )
m
m
posons a = ab (⇒ b > 1 )ax xm = xbx et lim xbx = 0
x→+∞
On s’est ramené au cas précédent
Théorème 3.8.
Pour 0 < a < 1 et ∀ m ∈ R∗+ lim
xm
x
x→+∞ b
=0
Supposons maintenant que x → +∞ ; posons x = −x0 (x0 > 0 ) de l’égalité |x|m ax =
resulte :
x
Pour a > 1, lim |x|m ax = 0 et de l’égalité |x|a m = ax0 1x0 m ;
x0 m
ax0
,il
x→+inf ty
ax
m
|x|
x→+∞
il resulte pour 0 < a < 1 lim
3.13
=0
Comparaison de la fonction logarithme et de la fonction puissance
A ) a > 1 f : x 7→
lim f (x) ?
xm
loga x
(m ∈ R∗+ ) forme ind
∞
∞
au V+∞
x→+∞
Posons y = loga x d’oú x = ay ( lim y = +∞ ) et alors xm = (ay )m = (am )y
x→+∞
by
x→+∞ y
Si nous posons b = am , a > 1 ⇒ b > 1 on est ramené au cas précédent : lim
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Comparaison de l’exponentielle et de logarithme
54
b>1
Théorème 3.9.
Pour a > 1 et pour tout m ∈ R∗+
xm
lim log
= +∞
ax
x→+∞
B)0<a<1
xm
f : x 7→ log
(m ∈ R∗+ )
ax
lim f (x) ? forme ind +∞
−∞
x→+∞
Posons a = 1b (b > 1 ), alors loga x = −logb x
xm
xm
= − log
On est ramené au cas précédent
loga x
bx
Théorème 3.10.
Pour tout 0 < a < 1 et ∀m ∈ R∗+
xm
= −∞
lim log
ax
x→+∞
Enfin lim+ xm loga x, m ∈ R∗+ forme ind (0 × ∞ )
x→0
S
uivant que a > 1 ou 0 < a < 1
Posons x = y1 ⇒ y → +∞ lorsque x → 0+ et on est ramené au cas précédent
ay
avec lim log
=0
ym
y→+∞
Théorème 3.11.
∀m ∈ R∗+ , lim+ xm loga x = 0
x→0
3.14
Comparaison de l’exponentielle et de logarithme
Il résulte immédiatement
de l’étude précédent que pour a > 1
(
+∞ si
b>1
x
lim loga b x =
x→+∞
−∞ si 0 < b < 1
x xm
ax
En effet : logb x = xam log
bx
x
De même pour 0 < a < 1; lim loga b x = 0
x→+∞
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Chapitre Quatre
Dérivation d’une fonction réelle à
variable réelle
Sommaire
4.1
Notion de dérivée - Fonction dérivable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.2
Interprétation géométrique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.3
Dérivées successives et différentielle d’une fonction : . . . . . . . . . . . . . .
57
4.4
Calcul de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.5
Applications aux dérivées de fonctions élémentaires
. . . . . . . . . . . . . .
60
4.6
Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.7
Théorème sur les valeurs moyennes
64
4.8
Formule de Taylor et développements limités
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Introduction
La notion de dérivée d’une fonction en un point, issue du taux d’accroissement par passage à la
limite lorsque l’accroissement sur la variable tend vers 0, donne une indication sur le comportement
de f (x) − f (a) lorsque x est prés de a.
La notion de fonction dérivée permet ensuite d’étudier les variations locales et globales des
fonctions d’une variable réelle, de déterminer des extréma.
4.1
4.1.1
Notion de dérivée - Fonction dérivable
Nombre dérivé, dérivée à gauche, dérivée à droite
Définition 4.1. Soit V un voisinage d’un point x0 ∈ R et f une application de V dans R. On
f (x) − f (x0 )
dit que f est dérivable au point x0 si l’application V \ {x0 } → R, x 7→
admet une
x − x0
limite finie au point x0 . En cas d’existence, cette limite est appelée nombre dérivée de f au point
df
x0 , et est notée f 0 (x0 ) ou dx
(x0 ).
Si f est dérivable en chaque point d’un ouvert V ⊆ R, on dit que f est dérivable sur V et
l’application V → R, x 7→ f 0 (x) est appelée fonction dérivée de f .
Analyse mathématique
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Nombre dérivé, dérivée à gauche, dérivée à droite
56
Définition 4.2. Soit f une fonction dont le domaine de définition contient [x0 , x1 ] avec x1 > x0
(resp. [x1 , x0 ] avec x0 > x1 ). La dérivée à droite (resp. à gauche) de f en x0 notée fd0 (x0 ) (resp.
(x0 )
fg0 (x0 )) est la limite, si elle existe, de f (x)−f
losrque x → x0 par valeurs supérieures (resp.
x−x0
(x0 )
(x0 )
et fg0 (x) = lim− f (x)−f
.
inférieures). En cas d’existence fd0 (x) = lim+ f (x)−f
x−x0
x−x0
x→x0
x→x0
Remarque 4.1. f est dérivable au point x0 si et seulement si les limites fd0 (x0 ) et fg0 (x0 ) existent
et sont égales.
Exemple 4.1. Pour la fonction F : x 7→ |x|, on a l’existence de fd0 (0) et de fg0 (0) mais pas celle
de f 0 (0).
Théorème 4.1. Si une fonction f est dérivable en un point x0 alors f est continue en ce point.
f (x) − f (x0 )
. Pour
x − x0
(x0 )
tout ε > 0, il existe η > 0 tel que (0 ≤ |x − x0 | < η) ⇒ (| f (x)−f
− f 0 (x0 )| < ε). Or, l’inégalité
x−x0
(x0 )
(x0 )
| f (x)−f
−f 0 (x0 )| < ε entraı̂ne que | f (x)−f
| < ε+k avec k = f 0 (x0 ). Donc l’inégalité |x−x0 | < η
x−x0
x−x0
entraı̂ne que |f (x) − f (x0 )| ≤ (k + ε)|x − x0 |. Ce qui veut dire que lim f (x) = f (x0 ).
Démonstration. Par définition, f 0 (x0 ) est la limite, au point x0 du rapport
x→x0
Étendons le précédent résultat. Si on suppose maintenant que f admet une dérivée à droite
(resp. à gauche) en x0 . On démontre, comme précédemment, que f (x) → f (x0 ) quand x → x0
par valeurs supérieures (resp. inférieures). En d’autre termes, l’existence de fd0 (x0 ) entraı̂ne celle
−
0
de f (x+
0 ) et l’existence de fg (x0 ) implique celle de f (x0 ). Mais l’existence d’une seule des limites
fd0 (x0 ) ou fg0 (x0 ) n’implique pas la continuité de f au point x0 . Pour s’en convaincre, on peut
(
1, si x ≥ 0,
vérifier que la fonction f : x 7→
admet une dérivée à droite en tout point, mais
0, si x = 0
n’est pas continue à l’origine.
axe y
3
2
1
−2
Analyse mathématique
−1
0
axe x
0
1
2
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Dérivées successives et différentielle d’une fonction :
4.2
57
Interprétation géométrique
Soit f : V → R, dérivable au point x0 ∈ V et soit C le graphe de f dans V × R. Le graphe
de l’application x 7→ f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ), où x ∈ R, est appelé la droite tangente à C au point
(x0 , f (x0 )). Le nombre f 0 (x0 ) est la pente de cette droite.
Par extension, si f admet seulement une dérivée à droite au point x0 , le graphe de l’application
x 7→ f (x0 )+(x−x0 )fd0 (x0 ), où x ∈ R, est appelé la droite tangente à droite à C au point (x0 , f (x0 )) ;
et la partie de ce graphe correspondant aux valeurs de x ≥ 0 est applée demi-tangente à droite.
On définit de même la tangente et la demi-tangente à gauche lorsque f 0 (x0 )0 existe.
√
Exemple 4.2. Soit f : x 7→ x2 + x3 . Le domaine de définition de f est D = [−1, +∞[. On a :
√
f (x) = |x| 1 + x et f (0) = 0.
√
(0)
— Sur ]0, ∞[, f (x)−f
= 1 + x ⇒ lim+ f (x)
= 1.
x−0
x
x→0
√
(0)
— Sur [−1, 0[, f (x)−f
= − 1 + x ⇒ lim+ f (x)
= −1.
x−0
x
x→0
Donc, au point x0 = 0, f 0 (0)g = −1 et f 0 (0)d = 1. Les deux arcs qui aboutissent à l’origine sont
respectivement tangente à la 1er et à la 2e bisectrice.
axe y
2
1
−1
4.3
0
axe x
0
1
2
Dérivées successives et différentielle d’une fonction :
Soient Vx0 un voisinage d’un point x0 ∈ R et f : Vx0 → R une application de Vx0 dans R. Si la
fonction dérivée f 0 existe et est définie sur un voisinage du point x0 et de plus admet elle même une
2
dérivée au point x0 , cette dérivée est appelée dérivée seconde de f en x0 notée f 00 (x0 ) ou ddxf2 (x0 ).
2
Par itération, on définit la dérivée d’ordre p > 2 de f en x0 , notée f (p) (x0 ) ou ddxf2 (x0 ) : c’est la
dérivée au point x0 (si elle existe) de l’application x 7→ f (p−1) (x). Par convention f (0) (x) = f (x).
Nous dirons qu’une fonction f est p fois dérivable (ou dérivable à l’ordre p) sur un intervalle
quelconque V si, pour tout x ∈ V , la dérivée f (p) (x) existe.
Remarque 4.2. L’existence de f p (x0 ) exige l’existence de f (p−1) (x) dans un voisinage x0 et la
continuité de f (p−1) au point x0 .
Remarque 4.3. Par dérivabilité d’une fonction f sur un compact [a, b] de R, on entend l’existence
0
de fd0 (a) et de fg (b) en plus de celle de f 0 (x) pour tout x ∈]a, b[.
Analyse mathématique
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Dérivées successives et différentielle d’une fonction :
58
Définition 4.3. On dit que la fonction f est de classe C p sur U si, la derivée f (p) (x) existe en
tout point de U et si l’application x 7→ f (p) (x) est continue sur U. On écrit alors f ∈ CU ). Si f
est de classe C p alors f est de classe C k pour 0 ≤ k ≤ p. Par fonction de classe C 0 on entendra
une fonction continue. Par extension, on dit que f est de classe C ∞ si f admet des dérivées de
tous les ordres (ces dérivées étant alors automatiquement continues).
Définition 4.4. Soit f une fonction définie sur un voisinage Vx0 d’un point x0 . Elle est dite
différentiable au point x0 si son accroissement en ce point noté ∆fx0 et égal à ∆fx0 = f (x0 +
∆x) − f (x0 ) avec ∆x = x − x0 , s’écrit sous la forme :
∆fx0 = a∆x + α(∆x),
(4.1)
où a est constant pour x0 fixé et α(∆x) = 0(∆x) quand ∆x 7→ 0. La fonction a∆x, linéaire par
rapport à ∆x et est appelée la différentielle de f au point x0 . On la désigne souvent par df (x0 ).
L’égalité (4.1) s’écrit donc ∆fx0 = df (x0 ) + α(∆x) en cas de différentiabilité de f en x0 avec
α(∆x) = 0(∆x) quand x → x0 (ou ∆x → 0). Si y = f (x) on écrit ∆y = dy +α(∆x) en comprenant
par ∆y, ∆f au point considéré et par dy, df en ce même point ; c’est-à-dire que dy = a∆x.
Remarque 4.4.
a) Pour une raison de symétrie d’écriture, on écrit dx à la place de ∆x.
b) On peut aussi considérer ∆x comme la différentielle de la variable indépendante x ou de la
fonction f : x → x.
Théorème 4.2. Une fonction f est différentiable au point x0 si et seulement si elle est dérivable
au point x0 . Dans ce cas dy = f 0 (x0 )dx.
Démonstration.
∆y
⇒) ∆x
= a + 0(∆x)
quand ∆x → 0.
∆(x)
⇐) Poser α(∆x) = ∆x
− f 0 (x0 ).
∆y
Généralisons quelques définitions. Soit f une application d’une partie A de R.
— Un point a ∈ A est appelé point de discontinuité de 1er espace de f si f n’est pas continue
en a et si les limites f (a+ ) et f (a−) existent (sont finies) ; si l’une de ces limites n’existe
pas dans R on dit que a est une discontinuité de 2eme espèce.
— On dit que la fonction f admet au point a ∈ A une dérivée généralisée à droite (respectivement à gauche) si la fonction définie pour h > 0 par
h 7→
f (a + h) − f (a+ )
h
(resp. h 7→
f (a− ) − f (a − h)
)
h
a une limite pour h → 0 (il est supposé l’existence de f (a+ ) (resp. f (a− )) dans R.
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Dérivée d’une fonction composée
4.4
59
Calcul de dérivées
Dans cette section, I est une partie non vide de R et x0 est un élément de I.
4.4.1
Dérivée d’une combinaison linéaire
Soient f et g deux fonctions définies de I dans R, dérivable au point x0 ∈ I. Pour tout
(α, β) ∈ R2 , la fonction h = αf + βg est dérivable au point x0 et on a :
h0 (x0 ) = αf 0 (x0 ) + βg 0 (x0 ).
4.4.2
(4.2)
Dérivée d’un produit
Soient f, g : I → R deux fonctions de I dans R dérivables en un point x0 ∈ I. Alors le produit
h = f g est dérivable au point x0 , et on a
h0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ).
(4.3)
Nous avons la formule suivante dite de Leibniz qui donne la dérivée d’ordre n d’un produit de
fonctions dérivables :
n
X
(n)
(f.g) (x0 ) =
{in f (n−i) (x0 )g (i) (x0 ).
(4.4)
i=0
4.4.3
Dérivée d’une fonction composée
Théorème 4.3. Soit g une fonction numérique définie sur un voisinage V du point x0 ; et soit f
une fonction numérique définie sur un voisinage du point y0 = g(x0 ), alors h = f ◦ g est dérivable
au point x0 , et on a :
h0 (x0 ) = g 0 (x0 ) · f 0 (y0 ).
(4.5)
Démonstration. Définissons une fonction y 7→ θ(y) sur g(V ) par
θ(y0 ) = 0 et θ(y) =
f (y) − f (y0
− f (y0 ) pour y 6= y0 .
y − y0
Cette fonction est continue au point y0 ; et si on pose g(x) = y, on a
h(x) − h(x0 )
g(x) − g(x0 ) 0
=
(f (y0 ) + θ[g(x)]).
x − x0
x − x0
Le résultat annoncé découle alors du fait que θ[g(x)] → 0, lorsque x → x0 .
Considérons la fonction f : R∗ → R∗ , x 7→ x1 . La dérivée de f est f 0 (x) = − x12 . D’une manière
générale on a le
Analyse mathématique
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Applications aux dérivées de fonctions élémentaires
60
Théorème 4.4. Soit g une fonction numérique définie sur un voisinage du point x0 dans R telle
1
1
, qui est définie sur un voisinage
que g 0 (x0 ) existe et g(x0 ) 6= 0. Alors la fonction h = : x 7→
g
g(x)
Vx0 de x0 , admet une dérivée au point x0 et on a
h0 (x0 ) = −
4.4.4
g 0 (x0 )
.
g 2 (x0 )
(4.6)
Dérivée d’une fonction réciproque
Théorème 4.5. Soit f une application bijective et continue d’un intervalle I sur un intervalle
J de R. dérivable en un point x0 de I et telle que f (x0 ) 6= 0. Alors sa réciproque h = f −1 est
dérivable au point y0 = f (x0 ) et on a :
h0 (y0 ) =
1
f 0 (x
0)
.
(4.7)
Démonstration. Pour y 6= y0 , on a en posant x = h(y) et x0 = h(y0 ) :
x − x0
h(y) − h(y0 )
=
y − y0
f (x) − (x0 )
x − xo
est définie pour x 6= x0 . On a
f (x) − f (x0 )
1
lorsque x → x0 et nous savons d’autre part que h est continue. Le théorème des
ϕ(x) → f 0 (x
0)
h(y) − h(y0 )
1
1
applications continues montre donc que
= ϕ[h(y)] tend vers 0
= 0
y − y0
f [h(y0 )]
f (x0 )
quand y tend vers y0 sur J \ {y0 }.
et, puisque f est injective, la fonction ϕ : x 7→
4.5
Applications aux dérivées de fonctions élémentaires
d
1
1. Le logarithme néperien x → log x, définie pour x > 0, satisfait
(log x) = et log 1 = 0.
dx
x
Cette fonction établit une bijection de R∗ sur R. Elle admet donc une fonction réciproque,
d y
notée exp : y 7→→ ey , definie et derivable sur R, qui satisfait à
(e ) = ey . Les fonctions
dy
x → log x et x → ex sont de classe C ∞ .
2. Fonctions circulaires.
— Sinus et Cosinus (sin x et cos x (x en radian)). Posons x − x0 = h.
cos(x0 + h2 ) sin h2
sin h2
h
sin(x0 + h) − sin x0
=2
= h · cos(x0 + ).
h
h
2
2
Donc, pour tout x ∈ R,
(sin x)0 = cos x.
(4.8)
Pour cos x, ona cos x = sin(x + π/2), donc cos x = sin u avec u = x + π2 . Il suit alors que
π
(cos x)0 = (sinu)0 = cos u · u0 = cos(x + ) · 1 = − sin x ; c’est-à-dire que
2
cos(x)0 = − sin x.
(4.9)
Analyse mathématique
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Applications aux dérivées de fonctions élémentaires
— Tangente. On a f (x) = tan x =
sinx
,
cosx
61
pour tout x 6=
(tan)0 = 1 + tan2 x =
— cotangente. On pose f (x) = coth x =
cos x
,
sin x
(coth x)0 = −
π
2
+ kπ. Il suit que
1
.
cos2 x
(4.10)
pour tout x 6= kπ. Il vient que
1
= −1 − coth2 x.
sin2 x
(4.11)
— La fonction x 7→ eix = cos x + i sin x. Cette fonction est dérivable sur R et vérifie :
d ix
(e ) = − sin x + i cos x = ieix .
dx
3. Fonctions circulaires réciproques.
(
sin y = x
— arcsin x. On sait que y = arcsin x ⇔
. On obtient,
−π/2 ≤ y ≤ π/2
1
1
d
(arcsin x) =
=√
,
dx
cos(arcsin x)
1 − x2
(4.12)
x ∈] − 1, 1[.
(4.13)
— arccos x. Remarquons d’abord que arccos x + arcsin x = π2 . En effet cos( π2 − arcsin x) =
sin(arcsin x) = x il s’ensuit que les arcs arccos x et π2 − arcsin x sont égaux i.e. arccos x +
arcsin x = π2 . Donc les fonctions arcsin et arccos sont définies sur le meme segment [−1, 1]
et elles sont liées par la relation arccos x = π2 − arcsin x. Donc,
1
, ∀x ∈] − 1, 1[.
(4.14)
1 − x2
(
x = tan y
— arctan et arccoth. On a y = arctan x ⇔
. La derivée de x = tan y étant
|y| < π/2
1
. Ainsi,
1 + tan2 y, celle de la fonction réciproque est y 0 =
1 + tan2 y
(arccos x)0 = √
∀x, (arctan x)0 =
1
.
1 + x2
(4.15)
De meme
1
.
(4.16)
1 + x2
4. Pour chaque a ∈ R, la fonction composée x → exp(a log x) est définie pour x > 0. On la
note x → xa (car, pour a ∈ Z, elle coı̈ncide avec la puissance d’ordre a de x). Cette fonction
est dérivable avec
d a
a
(x ) = exp(a log x) = axa−1 .
dx
x
Par récurrence on montre que cette fonction est de classe C ∞ et verifie
(arccothx)0 = −
dr a
(x ) = a(a − 1) · · · (a − n + 1)xa−n , ∀n ∈ N.
dn x
Analyse mathématique
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(4.17)
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Fonctions hyperboliques
62
Un autre exemple de fonction de classe C ∞ est : f (x) = exp(− x12 ) pour x 6= 0, f (0) = 0
(très utile en analyse, et en particuier, dans la théorie des distributions). Elle est C ∞ sur
R et par récurrence, on montre que sa dérivée d’ordre n et de la forme
f (n) = x−3n pn (x) exp (
−1
),
x2
(4.18)
où pn désigne un polynôme et que f (n) (0) = 0, pour tout n.
4.6
Fonctions hyperboliques
Pour tout x ∈ R, on pose
ex + e−x
ex − e−x
et sinh x =
.
(4.19)
2
2
Ces fonctions sont évidemment dérivables, et même de classe C ∞ et vérifient les relations :
cosh x =
(cosh x)0 = shx et (shx)0 = cosh x.
(4.20)
Sans difficultés on vérifie les formules (Exercices) :
cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
(4.21)
sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y.
(4.22)
En posant y = −x ou y = x, on obtient les relations :
cosh2 x − sinh2 x = 1
2
(4.23)
2
2
cosh 2x = cosh x + sinh x = 2 cosh x − 1
(4.24)
sinh 2x = 2 sinh x cosh x.
(4.25)
Les fonctions x 7→ cosh x et x 7→ sinh x sont appelées respectivement cosinus hyperbolique et sinus
sinh x
hyperbolique. On leur associe les fonctions x 7→ tanh x = cosh
(tangente hyperbolique de x) et
x
cosh x
x 7→ coth x = sinh x (cotangente hyperbolique de x, avec x 6= 0) dont les dérivées sont :
1
d
(tanh x) =
dx
cosh2 x
;
d
1
(coth x) = −
.
dx
sinh2 x
(4.26)
Les fonctions ainsi définies sont appelées fonctions hyperboliques.
d
1. ∀x ∈ R, on a dx
(sinh x) = cosh x > 0 donc x 7→ sinh x est une fonction continue strictement
croissante ; et les propriétés connues de l’exponentielle montrent que sinh x → +∞ (resp
−∞) quand x → +∞ (resp −∞). Cette fonction admet une réciproque notée arg sinh x
(argument de sinh x) définie et dérivable sur R. On peut exprimer cette nouvelle fonction à
l’aide de la fonction logarithme :
x = sinh y =
Analyse mathématique
ey − e−y
1
⇒ 2x = ey − e−y = ey − y .
2
e
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Fonctions hyperboliques
63
2x =
e2y−1
⇔ e2y − 2xey − 1 = 0.
ey
ey est solution de l’équation X 2 − 2x · x − 1 = 0. Cette équation a 2 racines de signes
√
√
contraires, dont ey est la racine positive : ey = x2 + 1 ⇒ y = log(x + x2 + 1). D’où
√
arg sinh x = log(x + x2 + 1).
(4.27)
Dès lors,
d
1
1
1
1
(arg sinh x) = dx =
=p
.
=√
2
dx
cosh y
1 + x2
1 + sinh x
dy
(4.28)
2. De même, la restriction à R+ de x 7→ cosh x est une bijéction strictement croissante positive
de R+ sur la demi-droitex ≥ 1, dont la dérivée est strictement positive pour x > 0. Cette
fonction admet une réciproque notée arg cosh
de cosh x) définie sur la demi( x (argument )
y = arg cosh x
droite x ≥ 1 et dérivable pour x > 1.
⇔ x = chy. Pour x ≥ 1,
x≥1
y
−y
2y
y = arg cosh x ⇔ x = cosh y = e +e
⇒ 2x = e ey+1 ⇔ e2y − 2xey + 1 = 0. ey est racine
2
de l’équation f (x) = x2 − 2x + 1 = 0 ; on a f (1) = 2(1 − x) ≤ 0 (puisque x ≥ 1). Donc le
nombre 1 est entre les racines de cette équation, d’autre part pour y > 0, ey > 1 i.e que ey
est la plus grande des racines de léquation f (x) = 0 :
√
√
ey = x + x2 − 1 ⇔ y = log(x + x2 − 1).
√
arg cosh x = log(x + x2 − 1).
1
1
d
(arg cosh x) =
=√
x > 1.
2
dx
sinh(arg cosh x)
x −1
3. arg tanh x. La fonction thx est strictement croissante de −1 à 1 quand x croit de −∞ à
+∞.
Cette fonction
(
) admet une réciproque notée arg tanh x définie et dérivable sur ] − 1, 1[.
n
o
y = arg tanh x
2y −1
⇔ e2y =
⇔ x = tanh y . Et, y = arg tanh x ⇔ x = tanh y = ee2y +1
−1 < x < 1
1+x
⇒ arg thx = 12 log 1+x
, −1 < x < 1. D’où,
1−x
1−x
d
1
(arg thx) =
.
dx
1 − x2
(4.29)
4. arg coth x. La fonction cothx est continue, strictement
dćroissante pour
(
) x < 0 et x > 0 et
n
o
y = arg coth x
prend ses valeurs sur ] − ∞, −1[∪]1, +∞[. Or
⇔
x = coth y .
x < −1 ou x > 1
Maintenant, y = arg coth x ⇔ x = coth y =
x+1
e2y = x−1
. Il suit alors que
arg coth x =
et
Analyse mathématique
e2y +1
e2y −1
(x < −1 ou x > 1). e2y x − x = e2y + 1 ⇒
1
x+1
log
, |x| > 1;
2
x−1
(4.30)
d
1
(arg coth x) =
.
dx
1 − x2
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(4.31)
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Théorème sur les valeurs moyennes
4.7
64
Théorème sur les valeurs moyennes
Théorème 4.6 (Fermat). Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et admettant,
en un point t0 ∈ ˚
I un extremum relatif (max ou min). Si la dérivée f 0 (t0 ) existe alors f 0 (t0 ) = 0.
Ici, ˚
I désigne l’intérieur de I.
Démonstration. Plaçons nous par exemple dans le cas d’un maximum. Soit δ > 0. Pour tout
(t0 )
t ∈]t0 − δ, t0 + δ[⊂ I, f (t) ≤ f (t0 ). Alors pour tout t ∈]t0 − δ, t0 [, f (t)−f
≥ 0 et par suit en
t−t0
f (t)−f (t0 )
passant à l limite on obtient : f (t0 ) ≥ 0. Maintenant, pour t ∈]t0 , t0 + δ[, t−t0
≤ 0 ; d ’où
f (t0 ) ≤ 0. Maintenant le résultat est clair.
Théorème 4.7 (Théorème des accroissements finis généralisés ou Théorème généralisé de la valeur
moyenne). Soient f et g duex fonctions numériques réelles continues sur [a, b] ⊂ R, dérivables sur
]a, b[. Alors il existe c ∈]a, b[ tel que :
[f (b) − f (a)]g 0 (c) = [g(b) − g(a)]f 0 (c).
(4.32)
Démonstration. Posons h(t) = [f (b) − f (a)]g(t) − [g(b) − g(a)]f (t), t ∈ [a, b]. La fonction h est
connue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et h(a) = f (b)g(a) − f (a)g(b) = h(b). Nous allons vérifier
qu’il existe c ∈]a, b[ tel que h0 (c) = 0.
— Si h = cte alors h0 (c) = 0, pour tout c ∈]a, b[.
— Si h 6= cte alors puisque h atteint ses bornes il existe t0 ∈]a, b[ tel que h(t0 ) = sup[a,b] h ou
bien il existe t1 ∈]a, b[ tel que h(t) = inf [a,b] h et par suite h0 (to ) = 0 ou h0 (t1 ) = 0 d’après le
théorème de Fermat On peut dès lors prendre t0 = c ou t1 = c.
Corollaire 4.1 (formule des accroissements finis ou théorème sur la valeur moyenne). Soit f une
fonction numérique continue sur [a, b] ⊂ R et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ∈]a, b[ tel que
f (b) − f (a) = (b − a)f (c).
(4.33)
Démonstration. Dans le Théorème 4.7, poser g(t) = t
Donnons une autre écriture de (4.33) peut encore s’écrire comme suit. a < c < b ⇔ 0 < ( c−a
)<
b−a
c−a
1. Posons b−a = θ, i.e. c − a = θ(b − a) avec θ ∈]0, 1[. Si nous posons b = a + h alors la formule
(4.33) prend la forme
f (a + h) = f (a) + hf (a + θh) avec 0 < θ < 1.
(4.34)
Dans (4.33) si f (a) = f (b) on a f 0 (c) = 0. On alors le
Corollaire 4.2 (Théorème de Rolle). Soit f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que
f (a) = f (b). Alors il existe c ∈]a, b[ tel que f (c) = 0.
Remarque 4.5. f (a) = f (b) = 0 signifie en particulier l’exixtence d’un zero de f sur ]a, b[.
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Théorème sur les valeurs moyennes
65
Interprétation géométrique
Ces propositions traduisent le même fait géométrique à savoir : si f est une fonction numérique
continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, il exixste un point du graphe de f où la tangente est
parallèle à la droite (appelée ”corde”) joignant les points A = [a, f (a)] et B = [b, f (b)]. Prenons
a = −2 et b = 2.
Théorème 4.8 (Régle de l’Hopital). Soient −∞ ≤ a < b ≤ +∞, f et g deux fonctions numériques
réelles continues dans ]a, b[ et vérifiant g 0 (x) 6= 0 sur ]a, b[ et
f 0 (x)
= A ∈ R̄.
x→a g 0 (x)
lim
(4.35)
— Si f (x) → 0 et g(x) → 0 quand x → a
— ou si g(x) → +∞ quand x → a,
alors, lim gf0(x)
= A.
(x)
x→a
Remarque 4.6. Une telle proposition reste vraie si xøb ou bien g(x) → −∞.
• Application à la variation des fonctions numériques
Proposition 4.1. Soit f une fonction numérique continue sur un intervalle queconque I de R, et
dérivable en tout point interieur à I. Pour que f soit croissante [resp. décroissante] au sens large
sur I, il faut et il suffit que sa dérivée soit partout ≥ 0 [resp. ≤ 0] ; et pour que f soit constante,
il faut et suffit que sa dérivée soit nulle partout.
Démonstration. ”Que les conditions sont nécessaires” résulte de la définition de la dérivée. Pour
montrer qu’elles sont suffisantes, considéront deux points quelconques u, v de I. La fonction f
étant continue sur [u, v] et dérvable sur ]u, v[, il existe un point c ∈]u, v[ tel que
f (v) − f (u) = (v − u)f (c)
Si donc f (t) est positive sur I, on a f (v) ≥ f (u) ; si f (t) ≤ 0 sur I, on a f (v) ≤ f (u), enfin si
f (t) ≡ 0 sur I on a f (v) = f (u).
Remarque 4.7. Si dans la démonstration qui précède, on propose f (x) > 0 [resp. f (t) < 0] sur
I, on a f (v) > f (u) [resp. f (v) < f (u)]. Nous pouvons compléter par la
Proposition 4.2. Pour qu’une fonction numérique dérivable sur un intervalle de R soit strictement croissante il suffit que sa dérivée soit strictement positive.
Remarque 4.8. Cette condition n’est pas nécessaire : t 7→ t3 montre que la dérivée d’une fonction
strictement croissante peut s’annuller.
Existence de fonctions réciproques
Proposition 4.3. Soit f une fonction numérique de classe C 1 sur un voisinage d’un point t0 dans
R, vérifiant f 0 (t0 ) 6= 0. Il exixte alors un intervalle ouvert J contenant t0 tel que la restriction de
f à J soit strictement monotone et admette une réciproque de classe C 1 .
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Formule de Taylor
66
Démonstration. La continuité de t 7→ f (t) entraine l’existence d’un intervalle ouvert J contenant
t0 sur lequel f (t) est 6= 0 et du signe de f (t0 ). La restrition fJ de f à J est strictement monotone.
La g = fJ−1 admet une dérivée définie sur f (J) par
g 0 (x) =
1
.
f [g(x)]
La continuité de x 7→ g 0 (x) résulte d’un théorème antéreur.
4.8
4.8.1
Formule de Taylor et développements limités
Formule de Taylor
Théorème 4.9. Soient n ∈ N∗ et f une fonction numérique réelle de classe C n−1 sur [a, b] ⊂ R
et admettant une dérivée d’ordre n en tout point t ∈]a, b[. Pour α 6= β deux points de ]a, b[ posons
P (t) =
n−1 (k)
X
f (α)
k=0
k!
(t − α)k .
(4.36)
Alors il existe un point c ∈]α, β[ tel que
n−1
f (β) = P (β) +
X f (k) (α)
f (n) (c)
f (n) (c)
(β − α)n =
(β − α)k +
(β − α)n .
n!
k!
n!
k=0
(4.37)
Remarque 4.9. Pour n = 1 on a le théorème de la valeur moyenne (c’est-à-dire la formule des
accroissements finis). En général ce théorème montre que la fonction f peut être approchée par
un polynôme de dégré n − 1. L’égalité (4.37) permet d’évaluer l’écart d’erreur si l’on connaı̂t une
valeur majorante de
|f (n) (t)| sur ]a, b[. La formule (4.37) est appelée formule de Taylor.
Démonstration. Désignons par M0 le nombre défini par l’égalité
f (β) = P (β) + M0 (β − α)n
(4.38)
g(t) = f (t) − P (t) − M0 (t − α)n ; a ≤ t ≤ b.
(4.39)
et soit g la fonction
Nous devons prouver que n!M0 = f (n) (c) pour un certain c ∈]α, β[. En vertu de 4.36 et de 4.39.
g (n) (t) = f (n) (t) − n!M0 ; (a < t < b)
(4.40)
Ainsi donc, la démonstration sera achevée si l’on vérifie que f (n) (c) = 0 pour un certain c entre α
et β. Puisque P (k) (α) = f (k) (α) pour k = 0, · · · , n − 1 on a alors
g(α) = g 0 (α) = · · · = g (n−1) (α) = 0
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(4.41)
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Formule de Taylor
67
d’aprés (4.39). On a g(β) = 0 d’aprés le choix de M0 (voir (4.38)) ; le théorème des accroissements
finis nous donne l’existence de c1 ∈]α, β[ tel que g 0 (c1 ) = 0, et puisque g 0 (α) = 0 alors ∃ c2 ∈]α, c1 [
tel que g 00 (c2 ) = 0. Aprés n opérations nous aboutissons à l’exitence d’un certain cn ∈]α, cn−1 [ tel
que g (n) (cn ) = 0 c’est à dire que cn = c ∈]α, β[.
En prenant α = a et en remplaçant β par a + t on peut écrire (4.37) sous la forme
f (a + t) =
n−1 (k)
X
f (a)
k!
k=0
tn (n)
t + f (a + θt); 0 < θ < 1
n!
k
(4.42)
Dans (4.42) la formule obtenue dans le cas particulier avec a = 0 est dite formule de Mac-Laurin.
Nous allons donné une forme différente de la formule de Taylor par une modification des hypothèses
sur les dérivées de f .
Théorème 4.10. Soient n ∈ N∗ et f une fonction numérique réelle de classe C n−1 ([a, b]) ⊂ R et
admettant une dérivée d’ordre n au point a. Alors pour t −→ a,
f (t) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
k
n
(t − a) + o[(t − a) ] =
n−1 (k)
X
f (a)
k=0
k!
(t − a)k + O[(t − a)n ]
Démonstration. Soit toujours g(t) = f (t) − P (t) − M0 (t − a)n comme dans 4.39 avec α et M0 étant
choisi tel que g(b) = 0 c’est à dire que
f (b) = P (b) − M0 (b − a)n .
(4.43)
On a
g (n−1) (t) = f (n−1) (t) − f (n−1) (a) − M0 n!(t − a).
La fonction g (n−1) prend la 0 pour une valeur cn−1 ∈]a, cn−2 [ ( se reférer à la démonstration du
théorème 1.6 ) c’est à dire que pour une valeur c = cn−1 ∈]a, b[ et par suite :
f (n−1) (c) − f (n−1) (a)
= M0 .n!
c−a
la constante M0 est fonction de ]a, b[.Si nous prenons [a, t] ⊂ [a, b] alors à chaque t est associé
une constante M0 (t) et est ainsi définie une fonction t 7−→ M0 (t). Puisque c = cn−1 ∈]a, t[ alors
limt−→a c = a et en vertu de la dérivabilité de f (n−1) au point a on a :
f (n−1) (c) − f (n−1) (a)
f (n−1) (c) − f (n−1) (a)
= lim
= f (n) (a)
t−→a
c−→a
c−a
c−a
lim
γ(t) −→ 0
. On
t −→ a
obtient alors la formule suivante dite formule de Taylor-Young en remplaçant M0 et P (t) dans
4.43 avec t à la place de b et a à la place de α
⇒ limt−→a M0 (t)n! = f (n) (a) c’est à dire donc M0 (t)n! = f (n) (a) + γ(t) avec
f (t) =
n−1 (k)
X
f (a)
k=0
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k!
(t − a)k +
(t − a)n (n)
f (a) + γ(t)
n!
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Formule de Taylor
68
=
n
X
f (k) (a)
k=0
=
k!
n−1 (k)
X
f (a)
k=0
k!
(t − a)k + o[(t − a)n ]
(t − a)k + o[(t − a)n ].
Exemple 4.3.
1
1. f (x) = 1−x
au point vx0 = 0. En remarquant que
géométrique infinie
1
1−x
est la somme d’une progression
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · , |x|<1
1−x
et posant
rn (x) = xn+1 + xn+2 + · · · =
nous obtenons
xn+1
, |x|<1
1−x
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + rn (x),
1−x
où rn (x) = O(xn+1 ) c’est à dire que rn (x) = O(xn ) quand x −→ 0. Ainsi
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + O(xn ).
1−x
2. f (x) = sin(x) au vx0 = 0.
f 0 (x) = cos(x); f 00 (x) = − sin(x); f
(3)
(x) = − cos(x); f (4) (x) = sin(x); · · ·
En remarquant que cos(α) = sin(α + π2 ) nous avons :
f 0 (x) = cos(x) = sin(x +
π
π
π
); f 00 (x) = cos(x + ) = sin(x + 2. );
2
2
2
Par recurrence on montre que
π
(sin(x))(n) = sin(x + n. ); ∀n ∈ N.
2
De même
π
(cos(x))(n) = cos(x + n. ); ∀n ∈ N.
2
(
π
0
si
p = 2k
∀k ∈ N.
f (p) (0) = sin(p. ) =
2
(−1)k si p = 2k + 1
⇒ sin(x) = x −
x3 x5
x2n+1
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+2 ).
3!
5!
(2n + 1)!
De même :
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Formule de Taylor
69
3. f (x) = cos(x)
π
f (p) (0) = cos(p. ) =
2
⇒ cos(x) = 1 −
(
0
si p = 2k + 1
∀k ∈ N.
k
(−1) si
p = 2k
x2n
x2 x4
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+1 ).
2!
4!
(2n)!
4. f (x) = exp(x) au point vx0 = 0. Puisque
(exp(x))n = exp(x) alors f (n) (0) = 1 ∀k ∈ N.
exp(x) = 1 +
xn
x2 x3
+
+ ··· +
+ o(xn ).
2!
3!
n!
En changeant x par −x on a :
exp(−x) = 1 −
x2 x3
xn
−
+ · · · + (−1)n + o(xn ).
2!
3!
n!
5. f (x) = sinh(x) au point vx0 = 0. et f (x) = cosh(x) De 4 en additionnant ou en retranchant
nous obtenons :
exp(x) − exp(−x)
,
2
n
X
x2k+1
=
+ 0(x2n+2 ).
(2k + 1)!
k=0
sinh x =
(4.44)
exp(x) + exp(−x)
,
2
n
X
x2k
=
+ 0(x2n+1 ).
(2k)!
k=0
cosh x =
(4.45)
6. x = (1 + x)α oú α est un nombre fixé.
Puisse que f (n) (x) = α(α −1) · · · (α −n+1)(1+x)α−n alors f (n) (0) = α(α −1) · · · (α −n+1)
au Vx0 = 0
f (x) = (1 + x)α
(4.46)
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
x +
x + ··· +
x +(4.47)
0(xn )
2!
3!
n!
√
√
1
1
En prenant α = 21 , α = 13 , ldots, α = −1
, nous obtenons (1+x) 2 = 1 + x; 3 1 + x; √1+x
; . . ..
2
= 1 + αx +
7. f (x) = lg(1 + x) au Vx0 = 0 f (x) =
1
1+x
= (1+x)−1 ;
f 00 (x) = −(1+x)−2 et généralement
f (k) (x) = (−1)k−1 (k − 1)!(1 + k)−k , k = 1, 2, . . .
⇒ f (k) (0) = (−1)k−1 (k − 1)!(1 + x)−k , k = 1, 2, . . .
⇒ log(1 + x) = x −
x2
xn
+ · · · + (−1)n−1 + 0(xn )
2
n
.
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Développements limités
4.8.2
70
Développements limités
Soit f une fonction définie dans un voisinage V d’un point x0 ∈ R et soit pn (x) un polynôme
de degré ≤ n. On dit que pn est un développement limité d’ordre n pour f au voisinage de x0 si
on a :
f (x) = pn (x) + o(x − x0 )n
(4.48)
Remarque 4.10.
1) la formule de Taylor fournit un développement limité d’ordre n pour toute fonction f telle
que f (n) (x0 ) existe.
2) Une fonction prise au hasard n’admet pas néccessairement de développement limité.
Par exemple la fonction
(
x→
x2 log x
0
si x > 0
si x = 0
est continue et dérivable á l’origine, mais n’admet pas de développement limité d’ordre > 1 en ce
point (justifier cette affirmation).
L’éxistance d’un développement limité d’ordre 1 en x0 équivaut á celle de la dérivée premiére
f (x0 ). Le polynóme correspondant se réduisant á f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ). Par contre, l’éxistance
au voisinage de x0 ,d’un développement limité d’ordre n > 1 n’entraine pas l’éxistance de f (n) (x0 ),
ni même l’éxistance d’autres dériées que f 0 (x0 ),comme le montre léxemple suivant :
0
x → f (x) = cos x + x3 sin
pour x 6= 0 et f (0) = 1. On a f (x) = 1 −
x2
2
1
x
+ 0(x3 ) mais f 0 (0) n’éxiste pas car le rapport
1 0
sin x
1
1
[f (x) − f 0 (0)] = −
+ 3x sin − cos
x
x
x
x
n’a pas de limite á l’origine.
Théorème 4.11 (Théoréme d’unicité). Si la fonction f admet un développement limité d’ordre
n au voisinage du point x0 ,ce développement est unique.
Démonstration. Supposons que f admet 2 polynômes Pn et Qn pour développements limité d’ordre
n au voisinage de x0 .Le polynôme Pn − Qn de degré ≤ n,doit satisfaire á :
[Pn − Qn = O[(x − x0 )n ](∗)
Posons :
Pn − Qn = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + ap (x − x0 )p + · · · + an (x − x0 )n
On en déduit successivement en vertu de (*) pour p = 1, 2, · · · , n que :
ap = lim (x − x0 )−p [Pn (x) − Qn (x)] = 0
x→x0
soit Pn = Qn .
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Développements limités
71
Exemple 4.4 (Exemples de développements au voisinage de zéro de).
n
X
x2k+1
a) arctan x =
+ O(x2n+3 ) ordre 2n + 2.
(−1)k
2k
+
1
k=o
n
X
1.3.5 . . . (2k − 1) x2k+1
b) arcsin x = x +
+ O(x2n+3 ) ordre 2n + 2.
2.4.6
.
.
.
(2k)
2k
+
1
k=1
Théorème 4.12. Soient f et g deux fonctions admettant des développements limités d’ordre
n ≥ 1 au voisinage de l’origine.Alors les fonctions f + g et f g admettent des développements
limités d’ordre n en ce point,et il en est de même de f /g si g(0) 6= 0.De plus :
a) Le D.L de f + g est la somme des D.L de f, g.
b) Le D.L du produit f g s’obtient en ne gardant que les termes d’ordre ≥ n dans le produit
des D.L de f, g.
c) le D.L de f /g est egal au D.L du quotient des D.L de f et g.
d) Si Pn et Qn sont les D.L de f et g respectivement.Si f (0) = 0,la fonction g ◦ f admet le
D.L d’ordre n que le polynôme Qn ◦ Pn .
Remarque 4.11 (Remarques d’ordre pratique).
1. Au lieu d’appliquer ce théoréme de façon mécanique, il est souvant plus rapide et plus
sûre(pour éviter les erreurs) de procéder par étapes,et d’utiliser le lemme suivant :
Lemme 4.1. Si on a (au voisinage de l’origine) : f (x) = O(xp ) (p ≥ 1) et g(x) = a0 +
a1 x + · · · + an xn + O(xn+1 ). Alors on a :
g[f (x)] = a0 + a1 f (x) + · · · + an f (n) (x) + O(xp(n+1) )
.
2. Lorsqu’on fait le produit de D.L,le lemme suivant évite de faire des calculs inutiles :
Lemme 4.2. Si on a (au voisinage de l’origine) : f (x) = O(xp ) et g(x) = O(xq ). On a
f (x)g(x) = O(xp+q ) ; et le produit f g a méme D.L d’ordre n que le produit du D.L d’ordre
(n − q) de f par le D.L d’ordre n − p de g.
Exemple 4.5.
1) D.L de exp(sin x) á l’ordre 3 au voisinage de 0. On a : f (x) = sinx et g(x) = exp x
x3
sin x = x −
+ O(x5 )
6
;
exp u = 1 + u +
u2 u3
+
+ O(u4 )
2
6
x2
+ O(x4 )]2 = x2 + O(u4 )
6
3
sin x = x3 + O(x5 )
sin2 x = x2 [1 −
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Développements limités
72
⇒ exp(sin x) = 1 + (x −
Soit exp(sin x) = 1 + x +
x2
2
x2 x3
x3
)+
+
+ O(x4 )
6
2
6
+ O(x4 ).
2) D.L de log(cos x) á l’ordre 6 au voisinage de 0 : On applique Le lemme 4.2 avec f (x) =
1 − cos x ; g(x) = log(1 − x). Ici f (x) = O(x2 ) : pour avoir le D.L de g ◦ f á l’ordre 6, il
suffit donc d’avoir celui de g á l’ordre 3 et celui de f á l’ordre 6.
log(1 − u) = −u −
u2 u3
−
+ O(u4 )
2
3
x6
x2 x4
−
+
+ O(x8 )
1 − cos x =
2
24 720
2
1 x
x4 x6
(1 − cos x)2 = x4 ( −
+ O(x4 ))2 =
−
+ O(x8 )
2 24
4
24
x6
(1 − cos x)3 =
+ O(x8 )
8
x2 x4 x6
−
+ O(x8 ).
=⇒ log(cos x) = − −
2
12 45
3) D.L de log2 (1 + x) á l’ordre 4 au voisinage de 0. On a log(1 + x) = 0 ⇒ appliquer le
lemme 5.1.2 i.e pour avoir le D.L de log2 (1+x) á l’ordre 4,il suffit d’avoir le D.L de log(1+x)
á l’ordre 3 : soit
x2 x3
log(1 + x) = x −
+
+ O(x4 )
2
3
x x3
log2 (1 + x) = x2 [1 − +
+ O(x3 )]2
2
3
11
⇒ log2 (1 + x) = x2 + −x3 + x4 + O(x5 )
12
4) D.L de (1 + x)x á l’ordre 4 au voisinage de 0
(1 + x)x = exp[log(1 + x)]
x log(1 + x) = O(x2 ) et le le Lemme 4.2 nous permet de développer exp(u) á l’ordre 2 et de
log(1 + x) á l’ordre 3
u2
exp u = u +
+ O(u3 )
2
x3 x4
x log(1 + x) = x2 −
+
+ O(x5 )
2
3
x2 log(1 + x) = x4 + O(x5 )
⇒ (1 + x)x = 1 + x2 −
Analyse mathématique
x3 5 4
+ x + O(x5 )
2
6
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Développements limités
4.8.2.1
73
Généralisation de la notion de D.L.
Soit f une fonction définie au voisinage de 0 (sauf peut être au point 0).Supposons que la
fonction f n’admet pas un D.L au voisinage de 0 mais qu’il existe un entier k > 0 tel que la
fonction : h : x → h(x) = xk f (x) admet un D.L au voisinage de 0.On a pour x 6= 0.
xk f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + O(xn )
⇒ (*) : f (x) = xk [a0 + a1 x + · · · + an xn + O(xn ) une telle expression (*) est dite D.L généralisée
de f au point 0.
Exemple 4.6.
a)
1
x − x2
1
=
x(1 − x)
1
1
+
=
x 1−x
1
+ 1 + x + x2 + O(x2 )
=
x
f (x) =
b) f (x) = cot x (pas de D.L au v0 puisse que limx→0 cot x → ∞) mais
x cos x
sin
x2 x4
1 − + + O(x4 )
2!
4
=
2
x
x4
1 − + + O(x4 )
3! 5!
x x3
= 1− −
+ O(x4 )
3 45
1 x x3
⇒ cot x = − −
+ O(x3 )
x 3 45
x cot x =
4.8.2.2
D.L au voisinage de l’infini
Une fonction f :x → f (x) définie au v∞ est dite admettre un D.L au v∞ si la fonction X →
F (X) = f ( x1 ) admet un D.L au voisinage de 0. u = X1 peut être assujetti á tendre vers 0+ ou vers
0. Si F (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n + O(X n ), alors f (x) = a0 + a1 x1 + · · · + an x1n + O( x1n ).
Exemple 4.7. Pour faire le D.L. de f (x) =
F (X) =
Analyse mathématique
x2 −1
x+2x
au V∞ , poser X =
1
x
1
−1
X2
1
2
+
2
X
X
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Développements limités
74
1 − X2
=
1 + 2X
= (1 − X 2 )[1 − 2X + 4X 2 + O(X 2 )]
= 1 − 2X + 3X 2 + O(X 2 )
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Chapitre Cinq
Intégrale de Riemann de fonctions
numériques à valeurs réelles
Sommaire
5.1
Intégration des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.2
Intégrale des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.3
Propriétés générales de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.4
Primitivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.5
Sur quelques primitives et procédés pratiques de base . . . . . . . . . . . . .
89
5.6
Formules de la moyennes et sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Introduction
La théorie de l’intégration est née de la nécessité de calculer les aires et les volumes. Elle est
liée à la notion de mesure et part du principe que l’intégration d’une fonction constante sur un
ensemble est égale au produit de cette constante par la mesure de l’ensemble.
Dans ce chapitre, nous traitons uniquement des intégrales des fonctions définies sur R à valeurs
eéelles. La structure d’ordre sur R confère à l’intégrale des propriétés particulières et permet
d’établir un lien entre les opérations de dérivation et d’intégration. Dans R, le calcul des intégraless
se ramène à la recherche de primitives.
5.1
Intégration des fonctions en escalier
Définition 5.1. Soit [a, b] un intervalle compact de R (a < b). Une subdivision σ de [a, b] est une
suite finie et strictement croissante de points de [a, b], dont le premier terme est a et le dernier
terme b.
Une subdivision de [a, b] sera notée σ = (x0 = a, x1 , x2 , · · · , xn = b). Une telle subdivision
détermine n intervalles [xi−1 , xi ] (i = 1, 2, . . . , n) appelés intervalles de la subdivision. Le nombre
h = sup1<i≤n (xi − xi−1 ) sera appelé le pas de la subdivision ; c’est la longueur du plus grand
intervalle [xi−1 , xi ]. A chaque subdivision σ de [a, b], nous associerons l’ensemble S(σ) constitué
par les points de la suite σ. Inversement, à chaque ensemble finie S de points de [a, b] contenant a
et b, nous associerons la subdivision σ obtenue en rangeant ces points dans l’ordre naturel de R.
Analyse mathématique
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Intégration des fonctions en escalier
76
Cette correspondance bijective entre ensembles et subdivisions nous permet de définir un ordre
partiel sur l’ensemble des subdivisions de [a, b].
Définition 5.2. Soient σ et σ 0 deux subdivisions de [a, b]. On dit que la subdivision σ 0 est plus fine
que σ (ou consécutive) à σ, si les ensembles S(σ) et S(σ 0 ) respectivement associé à σ et σ 0 vérifient
S(σ) ⊂ S(σ 0 ). En d’autres termes, σ 0 est plus fine que σ si tous les points de σ appartiennent à
σ0.
On obtient donc une subdivision plus fine que σ en lui ajoutant de noveaux points. Par ailleurs,
étant donné deux subdivisions quelconques σ et σ 0 de [a, b], la réunion de σ et de σ 0 est la subdivision σ 00 dont l’ensemble associé est la réunion des ensembles associés à σ et σ 0 .
Définition 5.3. Soient [a, b] un intervalle de R. Une fonction f : [a, b] −→ R est dite en escalier
s’il existe une subdivision σ = (x0 = a, x1 , . . . , xn = b) de [a, b] telle que f soit constante sur
chacun des intervalles ouverts ]xi−1 , xi [, 1 ≤ i ≤ n.
Remarque 5.1. Une telle fonction ne prend qu’un nombre fini de valeurs : ses valeurs f (xi ) aux
(n + 1) points de la subdivision, et les valeurs constantes qu’elle prend sur les intervalles ]xi−1 , xi [.
Donc une fonction en escalier sur un intervalle de R est nécessairement bornée.
Soit f une fonction en escalier sur [a, b]. Nous dirons qu’une subdivision σ de [a, b] est associé
à f , si la fonction est constante à l’intérieur de chaque intervalle de σ. Si σ est une subdivision
associée à f , alors toute subdivision plus fine que σ est encore associée à f . Il existe donc une
infinité de subdivisions associées à f ; la moins fine de toutes est formée des points a, b et des
points de discontinuité de f appartenant à ]a, b[.
Théorème 5.1. Soit f une fonction en escalier sur [a, b]. Pour chaque subdivision σ = (x0 =
a, x1 , . . . , xn = b) de [a, b] associé à f , posons :
I(f, σ) =
n
X
(xi − xi−1 )fi
(5.1)
i=1
où fi désigne la valeur constante de f sur l’intervalle ouvert ]xi−1 , xi [. Alors I(f, σ) ne dépend que
de f et non de la subdivision associée à f .
Démonstration. Il s’agit de prouver que si σ et σ 0 sont deux subdivisions associées à f , on a
I(f, σ) = I(f, σ 0 ).
1. Considérons d’abord le cas particulier où la subdivision σ 0 est plus fine que σ. Posons
σ = (x0 = a, x1 , . . . , xn = b). La subdivision σ 0 s’obtient alors en ajoutant des points à σ, ce
qui revient à subdiviser chacun des intervalles [xi−1 , xi ]. Désignons par xi,k , (k = 0, 1 . . . , αi )
les points de la subdivision σ 0 appartenant à [xi−1 , xi ] et rangés dans l’ordre naturel. Ce qui
exige que xi,0 = xi−1 et xi,αi = xi .
Pn Pαi
Pαi
On a alors I(f, σ 0 ) =
i=1
k=1 (xi,k − xi,k−1 )fi et
k=1 (xi,k − xi,k−1 ) = xi,αi − xi,0 =
Pn
0
xi − xi−1 impliquent I(f, σ ) = i=1 (xi − xi−1 )fi = I(f, σ).
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Intégration des fonctions en escalier
77
2. D’une manière général, soient σ et σ 0 deux subdivisions quelconques associées à f et soit σ 00
leur réunion. La subdivision σ 00 étant plus fine que σ et σ 0 , la première de la démonstration
nous donne les relations : I(f, σ) = I(f, σ 00 ) = I(f, σ 0 ).
Le Théorème 5.1 permet donc d’écrire I(f, σ) = I(f ), puisque cette quantité ne dépend pas
de σ.
Définition 5.4. Soit f une fonction en escalier sur [a, b]. L’intégrale de f sur [a, b] est l’élément
Rb
de R, noté a f (x)dx, défini par
b
Z
f (x)dx = I(f ) =
n
X
a
(xi − xi−1 )fi .
(5.2)
i=1
où (x0 = a, x1 , . . . , xn = b) est une subdivision associée à f et fi la valeur constante de f sur
]xi−1 , xi [.
Remarque 5.2. On notera que l’intégrale de f ne dépend que des valeurs prises par f à l’intérieur
des intervalles de la subdivision, et non des valeurs prises par f aux points de la subdivision.
Exemple 5.1.
1. Si f ≡ 1 sur [a, b], on a
Rb
a
f (x)dx = b − a.
2. Si une fonction qui est nulle sauf en un nombre fini de points de [a, b], alors son intégrale
est nulle.
Proposition 5.1. Soit f une fonction en escalier sur [a, b], et soit c un point quelconque de ]a, b[.
Alors f est en escalier sur chacun des intervalles [a, c] et [c, b] et on a :
Z b
Z c
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx
(5.3)
a
a
c
Démonstration. Ce résultat est évident si on choisit une subdivision, associée à f , contenant le
point c (ce qui est toujours possible, en ajoutant au besoin le point c).
Proposition 5.2. Si f et g sont deux fonctions en escalier sur [a, b], alors quels que soient les
scalaires λ et µ dans R, la fonction λf + µg est en escalier sur [a, b] et on a :
Z b
Z b
Z b
(λf (x) + µg(x))dx = λ
f (x)dx + µ
g(x)dx.
(5.4)
a
a
a
Démonstration. Désignons par σ et σ 0 deux subdivisions [a, b] respectivement associées aux fonctions f, g. La réunion σ 00 de ces subdivisions est associée à la fois à f et g, donc à λf + µg. Le
résultat est maintenant évident.
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Fonction numérique Riemann-intégrable
78
Proposition 5.3. L’integrale d’une fonction positive en escalier sur [a, b] est positive. En conséquence,
si f et g sont deux fonctions en escalier sur [a, b] vérifiant f (x) ≤ g(x), pour tout x ∈ [a, b], on
a:
Z
Z
b
b
f (x)dx ≤
g(x)dx.
(5.5)
a
a
Démonstration. Cela résulte immédiatement de la définition de l’intégrale car dans la formule
(5.2), les coefficients (xi − xi−1 ) sont tous positifs.
Proposition 5.4. Soit f une fonction en escalier sur [a, b] alors la fonction x 7→ |f (x)| est en
escalier sur [a, b] et on a :
Z b
Z b
f (x)dx ≤
f (x) dx.
(5.6)
a
a
En conséquence, si f vérifie |f (x)| ≤ k, pour tout x ∈ [a, b], on a :
Z b
f (x)dx ≤ k(b − a).
(5.7)
a
Démonstration. Soit (x0 = a, x1 , . . . , xn = b) une subdivision associée à f . La fonction x 7→ |f (x)|
est évidemment constante sur chaque ]xi−1 , xi [ ; elle est donc en escalier sur [a, b], et on a :
Z b
n
n
X
X
(xi − xi−1 )fi ≤
(xi − xi−1 )|fi | =
|f (x)|dx.
i=1
De plus
5.2
Rb
a
i=1
a
kdx = k(b − a), d’où l’inégalité (5.7).
Intégrale des fonctions numériques
Nous allons étendre la notion d’intégrale à une classe de fonctions plus large que celles des
fonctions en escalier. Cette extension sera guidée par le souci de conserver les propriétés acquises
pour les intégrales des fonctions en escalier.
5.2.1
Fonction numérique Riemann-intégrable
Définition 5.5. Une fonction f définie sur [a, b] est dite intégrable au sens de Riemann (ou
Riemann-intégrable ou intégrable) sur [a, b] si, quel que soit le nombre ε > 0, il existe un couple
(g, h) de fonctions en escalier sur [a, b], vérifiant g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), pour tout x ∈ [a, b] et :
Z b
[h(x) − g(x)]dx ≤ ε.
(5.8)
a
Remarque 5.3. De cette définition il résulte que toute fonction Riemann-intégrable sur [a, b] est
nécessairement bornée sur [a, b].
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Définition et construction de l’intégrale d’une fonction
5.2.2
79
Définition et construction de l’intégrale d’une fonction
A chaque fonction f , définie sur [a, b], associons les ensembles E+ (f ) et E− (f ) ainsi définis :
— E− (f ) est l’ensemble des fonctions g, en escalier sur [a, b] telles que g(x) ≤ f (x), pour tout
x ∈ [a, b] ;
— E+ (f ) est l’ensemble des fonctions h, en escalier sur [a, b] telles que f (x) ≤ h(x), pour tout
x ∈ [a, b].
Désignons alors par :
Rb
— A− (f ) l’ensemble des nombres a g(x)dx, où g parcourt E− (f ).
Rb
— A+ (f ) l’ensemble des nombres a h(x)dx, où h parcourt E+ (f ).
Quels que soient u ∈ A− (f ) et v ∈ A+ (f ), on a évidemment u ≤ v. D’autre part, les ensembles
E+ (f ) et E− (f ) sont tous deux non vides si et seulement si la fonction f est bornée. Dans ce cas,
l’ensemble A− (f ) est majoré par tout élément de A+ (f ) et posséde une borne supérieure finie, de
même, l’ensemble A+ (f ) est minoré par tout élément de A− (f ) et possède une borne inférieure
finie. Soient I− (f ) = sup A− (f ) et I+ (f ) = inf A+ (f ), on a alors :
u ≤ I− (f ) ≤ I+ (f ) ≤ v,
(5.9)
pour tout u ∈ A− (f ) et tout v ∈ A+ (f ). Soit alors ε > 0 arbitrairement donné. Si f est intégrable,
Rb
Rb
il existe un élément u = a g(x)dx de A− (f ) et un élément v = a h(x)dx de A+ (f ) vérifiant
v − u < ε. On a donc I− (f ) = I+ (f ). Réciproquement, si on a I− (f ) = I+ (f ), les propriétés des
bornes supérieures et inférieures entraı̂nent pour ε donné, l’existence d’un élément u ∈ A− (f ) et
d’un élément v ∈ A+ (f ) vérifiant u > I− (f ) − 2ε et v < I+ (f ) + 2ε ; d’où v − u < ε, ce qui montre
que f est Riemann-intégrable. Nous avons ainsi le résultat suivant.
Théorème 5.2. A chaque fonction f définie et bornée sur un intervalle [a, b] de R associons
l’ensemble E+ (f ) (respectivement E− (f )) constitué des fonctions en escalier sur [a, b] et majorant
(resp. minorant) f et posons :
Z b
Z b
h(x)dx.
I− (f ) = sup
g(x)dx et I+ (f ) = inf
g∈E− (f )
a
h∈E+ (f )
a
Pour que f soit intégrable sur [a, b] il faut et suffit que l’on ait I− (f ) = I+ (f ).
Remarque 5.4. Si f est en escalier, les ensembles E+ (f ) et E− (f ) ont en commun l’élément f ,
Rb
on a alors : I− (f ) = I+ (f ) = a f (x)dx. La fonction f est donc intégrable et son intégrale est
égale au nombre I− (f ) = I+ (f ).
A chaque fonction numérique f , intégrable sur [a, b], associons le nombre I− (f ) = I+ (f ) ; la
Rb
fonction ainsi définie constitue un prolongement de la fonction I : f 7→ a f (x)dx définie sur
l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b]. on peut donc donner la
Définition 5.6. L’intégrale d’une fonction Riemann-intégrable f sur [a, b] est le nombre I− (f ) =
Rb
I+ (f ). On la note a f (x)dx.
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Principaux exemples de fonctions intégrables
80
Soit f une fonction positive intégrable sur l’intervalle [a, b]. Alors la fonction nulle appartient
à E− (f ) ; donc 0 ∈ A− (f ) et on a : I− (f ) = sup A(f ) ≥ 0. D’où le
Théorème 5.3. Si f est une fonction positive et intégrable sur [a, b], son intégrale est positive
(éventuellement nulle).
5.2.3
Principaux exemples de fonctions intégrables
5.2.3.1
Fonctions en escalier
Nous savons déjà que les fonctions en escalier sont intégrables.
5.2.3.2
Fonctions monotones
Proposition 5.5. Toute fonction monotone sur [a, b] est intégrable.
Démonstration. Pour fixer les idées, supposons f croissante sur [a, b] et considérons une subdivision
de [a, b] de la forme (a, a+p, . . . , a+np), l’entier n ∈ N∗ étant quelconque et le nombre p défini par
a + np = b, soit p = b−a
. Les points de la subdivision sont alors xk = a + k(b−a)
. Nous définissons
n
n
deux fonctions g et h en escalier sur [a, b] en posant, pour tout x ∈ [xk , xk+1 [= [a+kp, a+(k +1)p[,
k = 0, 1, . . . , n − 1,
g(x) = f (xk ) = f (a + kp),
h(x) = f (xk+1 ) = f (a + (k + 1)p) et g(b) = h(b) = f (b).
On a alors, pour tout x ∈ [a, b], g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) et
Z
b
g(x)dx = p
a
D’où
Z
n−1
X
k=0
Z
f (a + kp);
b
h(x)dx = p
a
b
[h(x) − g(x)]dx = p[f (a + nh) − f (a)] =
a
n
X
f (a + kh).
k=1
b−a
[f (b) − f (a)]
n
et pour tout ε > 0, il est possible de choisir n assez grand de sorte à avoir
5.2.3.3
b−a
[f (b) − f (a)]
n
≤ ε.
Fonctions continues
Proposition 5.6. Toute fonction continue f sur [a, b] est intégrable.
Démonstration. L’intervalle [a, b] étant compact, la fonction f est uniformément continue sur cet
intervalle : ∀ε ≥ 0, ∃ηε > 0 / x, y ∈ [a, b], (|y − x| < ηε ) =⇒ (|f (y) − f (x)| < ε. Soit donc ε > 0.
Considérons alors une subdivision de [a, b], soit (a = x0 , x1 , . . . , xn = b), de pas inférieur à ηε ; par
exemple la subdivision régulière (a, a + p, . . . , a + np), l’entier n étant choisi assez grand pour que
le nombre p = b−a
soit inférieur à η. Nous obtenons deux fonctions g et h en escalier sur [a, b] en
n
posant
— g(xi ) = h(xi ) = f (xi ) pour tout i = 0, . . . , n,
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Interprétation géométrique de l’intégrale
81
ε
ε
— g(x) = f (xi ) − 2(b−a)
et h(x) = f (xi ) + 2(b−a)
pour tout x ∈]xi−1 , xi [, 1 ≤ i ≤ n.
On a donc, pour tout x ∈ [a, b], g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) et
Z b
Z b
ε
[h(x) − g(x)]dx =
= ε.
a
a (b − a)
D’où f est intégrable sur [a, b] puisque ε est arbitraire.
5.2.3.4
Exemple de fonction non intégrable au sens de Riemann
Soit f la fonction définie sur le compact [0, 1] par
(
0 si x ∈ Q
f (x) =
1 si x ∈
/Q
Désignons par (g, h) un couple de fonctions en escalier sur [0, 1] vérifiant g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
pour tout x ∈ [0, 1] et soit σ = (x0 = a < x1 < · · · < nn = b) une subdivision de [0, 1], associé
à la fois à g et h. Chaque intervalle de ]xi−1 , xi [ de σ contient des valeurs rationnelles et des
valeurs irrationnelles. A l’intérieur de tout intervalle de σ on a donc g(x) ≤ 0 et h(x) ≥ 1 ; d’où
R1
[h(x) − g(x)]dx ≥ 1. La fonction f est donc non intégrable.
0
5.2.4
Interprétation géométrique de l’intégrale
Si f est une fonction positive en escalier sur [a, b], l’ensemble plan D défini par a ≤ x ≤ b
et 0 ≤ y ≤ f (x) est une réunion régulière de rectangles ; l’intégrale de f sur [a, b] est égale à la
somme des aires de ces rectangles.
a=x
0
x
1
x
2
x
3
a=x
b=x
4
0
x1
x
x
2
3
x
4
b=x
5
Figure 5.1 – Interprétation de l’intégrale d’une Figure 5.2 – Interprétation de l’intégrale d’une
fonction en escalier
fonction
Rb
Nous pouvons convenir de dire que a f (x)dx est égale à l’aire de l’ensemble D (voir Figure
5.1). Nous admettons provisoirement ce résultat et posons la définition.
Définition 5.7. Soit D un ensemble plan (Figure 5.2) défini par a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f (x), où
Rb
f désigne une fonction positive intégrable sur [a, b]. L’aire de D est le nombre a f (x)dx.
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Propriétés générales de l’intégrale de Riemann
5.3
82
Propriétés générales de l’intégrale de Riemann
Ces propriétés de l’intégrale découlent de celles des fonctions en escalier.
Proposition 5.7. Soient f une fonction définie sur [a, b] et c ∈ [a, b], f est intégrable sur [a, b]
si et seulement si f est intégrable sur chacun des intervalles [a, c] et [a, b]. Le cas échéant, on a :
Z c
Z b
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
(5.10)
a
a
c
Proposition 5.8. Soient f et g deux fonctions intégrables sur [a, b], alors pour tous réels λ et µ,
la fonction λf + µg est intégrable sur [a, b] et on a :
Z b
Z b
Z b
(λf + µg)(x)dx = λ
f (x)dx + µ
g(x)dx.
(5.11)
a
a
a
Proposition 5.9. Soient f et g deux fonctions intégrables sur [a, b] vérifiant, pour tout x ∈ [a, b],
f (x) ≤ g(x). Alors,
Z b
Z b
f (x)dx ≤
g(x)dx.
(5.12)
a
a
Remarque 5.5 (Importante). Si f et g sont deux fonctions numériques intégrables sur [a, b] et si
leurs valeurs ne différent qu’en un nombre fini de points de [a, b] alors leurs intégrales sont égales.
En effet, leur différence f − g est une fonction en escalier nulle sauf en un nombre fini de points,
son intégrale est donc nulle. Cet exemple montre que l’inégalité (5.12) peut se réduire en égalité
sans que l’on ait f = g.
Le théorème suivant montre cependant que ce n’est pas possible si les fonctions f et g sont
continues.
Théorème 5.4. L’intégrale d’une fonction f continue et positive sur [a, b] ne peut être nulle que
si f est partout nulle.
Démonstration. Si f n’est pas la fonction nulle, il existe un point x0 de [a, b] tel que f (x0 ) > 0.
La continuité de f au point x0 entraı̂ne l’existence d’un intervalle [α, β] contenant le point x0 et
contenu dans [a, b] sur lequel on a f (x) ≥ 12 f (x0 ) ; d’où
Z
b
Z
β
f (x)dx ≥
a
Z
β
f (x)dx ≥
α
α
1
β−α
f (x0 )dx ≥
f (x0 ) > 0.
2
2
Proposition 5.10. Si f est une fonction intégrable sur [a, b] alors sa valeur absolue est intégrable
sur [a, b] et on a :
Z b
Z b
f (x)dx ≤
|f (x)|dx.
(5.13)
a
Analyse mathématique
a
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Intégrale indéfinie
83
Remarque 5.6. Soient f et g sont deux fonctions intégrables sur [a, b]. Alors, les fonctions
sup(f, g) : x 7→ sup(f (x), g(x)) et inf(f, g) : x 7→ inf(f (x), g(x)) sont intégrables. Cela résulte de :
sup(f (x), g(x)) = 12 [f (x) + g(x) + |f (x) − g(x)|] et inf(f (x), g(x)) = 12 [f (x) + g(x) − |f (x) − g(x)|].
Nous admettrons le
Théorème 5.5. Si f et g sont deux fonctions intégrables sur [a, b] leur produit f g est intégrable
sur [a, b] et en plus on a :
Z
2
b
Z
≤
f (x)g(x)dx
b
2
21
|f (x) + g(x)| dx
Z
≤
a
5.4
Z b
2
|f (x)| dx
|g(x)| dx
2
a
a
Z
b
b
(5.14)
(Inégalité de Schwarz)
a
21 Z b
21
2
|f (x)| dx +
|g(x)| dx
2
a
(5.15)
(Inégalité de Minkowski)
a
Primitivation
Rb
Jusqu’à présent nous avons défini le symbole a f (x)dx que pour les couples (b, a) vérifiant
Rb
Ra
b > a. Par définition si b < a et si f est intégrable sur [a, b] nous poserons a f (x)dx = − b f (x)dx.
Ra
Enfin si a = b nous poserons a f (x)dx = 0. Avec ces conventions, pour tous a, b, c dans R, on a
la formule dite de Chasles
Z b
Z c
Z b
f (x)dx
(5.16)
f (x)dx +
f (x)dx =
a
a
c
pourvu que les deux membres aient un sens.
5.4.1
Intégrale indéfinie
Soit f une fonction intégrable sur [a, b]. Nous savons déjà que pour t ∈ [a, b], f est intégrable sur
Rt
[a, t]. La fonction F : t 7−→ a f (x)dx est appelée intégrale indéfinie (par opposition les intégrales
dont les limites sont fixées sont appelées alors les intégrales définies) de la fonction f . On a le
résultat suivant qui assure la continuité de F .
Rt
Théorème 5.6. Soit f une fonction intégrable sur [a, b]. Alors la fonction F : t 7−→ a f (x)dx
est continue sur [a, b].
Démonstration. Soit k = sup|f (x)|. Par définition du nombre k, pour tout x ∈ [a, b], |f (x)| ≤ k.
Rv
Maintenant, pour tout (u, v) ∈ [a, b]2 , |F (v) − F (u)| = | u f (x)dx| ≤ k|v − u| ; d’où le résultat.
Théorème 5.7. Soit f une fonction numérique Riemann intégrable sur [a, b]. Alors la fonction
Rt
F : t 7→ a f (x)dx admet f (t+ ) pour dérivée à droite (resp. f (t− ) pour dérivée à gauche) en tout
point où cette limite existe.
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Intégrale indéfinie
84
Démonstration. Supposons que la limite f (t+ ) = limu→t+ f (u) existe. Pour tout ε > 0, il existe un
nombre h > 0 tel que si t < u ≤ t + h alors |f (u) − f (t+ )| ≤ ε. Pour tout u ∈ [t, t + h] on a alors :
Z u
[f (x) − f (t+ ]dx ≤ ε(u − t).
(5.17)
t
En effet |f (x) − f (t+ | ≤ ε est vérifiée pour tout x ∈ [t, u], sauf peut-être au point x = t ; mais on
Ru
ne modifie pas la valeur de t f (x)dx en modifiant la valeur f au seul point t et en supposant que
l’on a f (t) = f (t+ ), (5.17) équivaut à |F (u)−F (t)−(u−t)f (t+ )| ≤ ε(u−t) ; soit pour u ∈]t, t+h],
F (u)−F (t)
(t)
− f (t+ ) ≤ ε. Puisque ε est arbitraire, cela montre que F (u)−F
→ f (t+ ) quand u → t
u−t
u−t
0
par valeurs supérieures i.e Fd (t) = f (t+ ). On démontrerait de même que Fg0 (t) = f (t− ) lorsque
f (t) existe.
Rt
Corollaire 5.1. Si f est intégrable sur [a, b], la fonction F : t 7→ a f (x)dx admet f (t) pour
dérivée en tout point t de (a, b] où f est continue.
Définition 5.8. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On appelle primitive de f
toute fonction F : I → R vérifiant pour tout t ∈ I, F 0 (t) = f (t).
Il découle de la Définition 5.8 que la différence de deux primitives de f est constante sur I.
Rt
Théorème 5.8. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Alors la fonction F : t 7→ a f (x)dx
est une primitive de f sur [a, b]. De plus, si G est une primitive quelconque de f sur [a, b], on a :
Z b
f (x)dx = G(b) − G(a).
(5.18)
a
Démonstration. La première partie de ce théorème est une conséquence immédiate du Corollaire
5.1 et la deuxiéme partie résulte du fait que la différence G − F est une constante sur [a, b]. On a
donc : G(b) − F (b) = G(a) − F (a), soit G(b) − G(a) = F (b) − F (a), i.e. (5.18).
Théorème 5.9. Toute fonction continue définie sur un intervalle quelconque de R admet une
primitive.
Démonstration. Si I = [a, b] i.e I est compact alors le théorème n’est qu’une conséquence du
théorème précédent. Si I 6= [a, b], soit c un point quelconque de I. L’intégrale indéfinie F : t →
Rt
f (x)dx est une primitive de f sur I.
c
La relation (5.18) fournit le moyen le plus élémentaire pour calculer une intégrale ; elle est
b
donc extrêmement importante et utile. Par convention, nous noterons G(x)
fonction G entre les points a et b, soit
la variation d’une
a
b
= G(b) − G(a).
G(x)
(5.19)
a
R
D’autre part, si f désigne une fonction continue sur I (intervalle de R), on note f (x)dx toute
R
primitive de f sur I. La relation f (x)dx = G(x)+C te signifie simplement que G est une primitive
de f , et entraı̂ne (5.18).
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Changement de variable
85
Exemple 5.2.
1. Pour tout a ∈ R∗ ,
eax dx = a1 eax + C te .
R
2. Pour tout α ≥ 0 et tout a ∈ R, (x − a)α dx =
R dx
3. Pour tout a ∈ R, x−a
= log |x − a| + C te .
R dx
1
x
te
4. Pour tout m 6= 0, x2 +m
2 = m arctan m + C .
R
(x−a)α+1
α+1
+ C te .
Remarque 5.7. Pour trouver les fonctions primitives de fractions rationnelles on procédera (si
nécessaire) à la décomposition de cette fraction en éléments simples.
5.4.2
Changement de variable
Théorème 5.10. Soit ϕ une fonction définie sur [a, b] et pourvue d’une dérivée continue. Pour
toute fonction f définie et continue sur le compact ϕ([a, b]), on a la formule, dite de changement
de variable :
Z
Z
b
ϕ(b)
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
f (x)dx =
ϕ(a)
(5.20)
a
Démonstration. Que ϕ([a, b]) soit un compact vient du fait que l’image d’un compact par une
R ϕ(t)
fonction continue est un compact. D’après les hypothèses, les fonctions F : t 7→ ϕ(a) f (x)dx
Rt
et G : t 7→ a f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx sont toutes deux définies sur [a, b]. Les fonctions f ◦ ϕ et ϕ0 étant
continues, on a G0 (t) = f [ϕ(t)]ϕ0 (t), pour tout t ∈ [a, b]. D’autre part F est de la forme F = H ◦ ϕ,
Ru
où H est la fonction définie sur ϕ([a, b]) par H(u) = ϕ(a) f (x)dx et on a H 0 (u) = f (u), pour tout
u ∈ ϕ([a, b]). D’où l’existence de F 0 (t) = H 0 [ϕ(t)]ϕ0 (t) = f [ϕ(t)]ϕ0 (t) = G0 (t), pour tout t ∈ [a, b].
Les fonctions F et G ont donc même dérivée sur [a, b], et puisque F et G s’annulent au point a,
on a : F (t) − G(t) = F (a) − G(a) = 0.
Remarque 5.8. On notera qu’il n’est pas nécessaire que ϕ soit une bijection.
Par contre, il faut s’assurer que la fonction f est bien définie et continue sur tout ϕ([a, b]) (intervalle qui n’admet pas nécessairement ϕ(a) et ϕ(b) pour extrémités).
Exemple 5.3.
Rb
dx
.
a x log x
b
On fait le changement de variable : t = log x ⇒
Z log b
dx
dt
=
= log(log b) − log(log a).
a x log x
log a t
Z b
dx
— Si 0 < a < b < 1,
= log | log b| − log | log a|.
a x log x
2. Soit a ∈ R. En faisant le changement et = u, il vient :
Z a
Z a
Z ea
dt
2et dt
2du
π
=
=
= 2 arctan(ea ) − .
2t
2
1+u
2
0 e +1
1
0 coth
1. Soit à déterminer
Z
— Si b > a > 1,
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dx
x
= dt.
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Cas où l’intervalle d’intégration est symétrique par rapport à l’origine
86
1
a
Z
log x
dx, 0 < a < 1. Nous ne connaissons pas de primitive de la
2
a 1+x
dt
dx
dt 1
log x
1
fonction x 7→ 1+x
=
−
=
−
.
2 . Mais le changement x = t nous donne
1
1 + x2
t2 1 + t2
1 + t2
Dès lors,
Z a
dt
log t ·
I =
1 + t2
1Z
1
dt
log t.
= −
1 + t2
Z 1a
Z 1
a log x
log x
=
dx +
dx
2
2
1 1+x
a 1+x
= 0.
3. Soit à calculer I =
4. Si f ∈ C 1 ([a, b]),
— on a :
Z
b
a
f 0 (x)
dx = arctan f (b) − arctan f (a)
1 + f 2 (x)
— Si de plus f ne s’annule pas sur [a, b], on a :
Z b 0
f (x)
dx = log |f (b)| − log |f (a)|
a f (x)
5.4.3
Cas où l’intervalle d’intégration est symétrique par rapport à l’origine
Soit f une fonction intégrable sur [−a, a]. Par un raisonnement direct, on démontre que la
fonction x 7→ f (−x) est intégrable sur [−a, a] et qu’elle vérifie :
Z 0
Z −a
Z a
f (x)dx.
(5.21)
f (x)dx =
f (−x)dx = −
0
−a
0
Cela revient à faire le changement x → −x, sans supposer f continue. On en déduit la formule :
Z a
Z a
f (x)dx =
[f (x) + f (−x)]dx.
(5.22)
−a
0
En particulier si f est paire, on a :
Z
a
Z
f (x)dx = 2
−a
a
f (x)dx
(5.23)
0
et si f est impaire, on a :
Z
a
f (x)dx = 0.
(5.24)
−a
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Applications - Intégrales de Wallis et formule de Wallis
5.4.4
87
Intégration par parties
Théorème 5.11. Soient u,v deux fonctions sur [a, b] et pourvues de dérivées continues. On a la
formule d’intégration par parties :
Z b
Z b
b
0
u0 (x)v(x)dx
(5.25)
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) −
a
a
a
soit, sous forme condensée,
Z
b
Z
b
a
a
b
−
udv = uv
vdu.
(5.26)
a
Démonstration. Cela résulte du fait que la fonction uv est une primitive de uv 0 + u0 v.
Exemple 5.4.
xdx
1. Si nous posons u = arctan(x), v = x, alors vdu = 1+x
2 et
Z
Z
x
dx
arctan(x)dx = x arctan(x) −
1 + x2
1
= x arctan(x) − log(1 + x2 ) + C te
2
2. On pose u = log x, v = x ; alors vdu = dx et
Z
Z
log xdx = x log |x| − dx = x log |x| − x + C te .
5.4.5
Applications - Intégrales de Wallis et formule de Wallis
Soit à calculer
π
2
Z
In =
sinn (x)dx (Intégrales de Wallis)
(5.27)
0
Le changement de variable x →
π
2
− x montre que
Z
In =
π
2
cosn (x)dx.
(5.28)
0
En posant u = sinn (x) et v = − cos(x), on a :
Z π
2
In+1 =
sinn (x) sin(x)dx = − cos(x) sinn (x)
0
π
2
0
Z
π
2
+
n sinn−1 (x) cos2 (x)dx.
0
Soit pour n ≥ 1.
Z
π
2
In+1 = n
sinn−1 (x) cos2 (x)dx
0
Z
= n
π
2
(sinn−1 (x) − sinn+1 (x))dx
0
= n(In−1 − In+1 ).
Analyse mathématique
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Invariance par translation : application aux fonctions périodiques
D’où, In+1 =
parité de n :
n
In−1 . Partant de I0 =
n+1
π
2
et I1 =
Rπ
2
0
88
sin(x)dx = − cos
π
2
= 1, on a selon la
0
1 × 2 × 3 × · · · × (2p − 1) π
2 × 4 × 6 × · · · × 2p 2
2 × 4 × 6 × · · · × 2p
=
.
1 × 2 × 3 × 5 × 7 × · · · × (2p + 1)
I2p =
I2p+1
(5.29)
(5.30)
Du fait que 0 ≤ sin(x) ≤ 1 pour tout x ∈ [0, π2 ], alors la suite (In ) est positive et décroissante ; on
a donc pour tout n ∈ N :
In+1
In+1
n
1≥
>
=
In
In−1
n+1
) → 1 ; d’oú
donc la suite ( In+1
In
I2p+1
(2 × 4 × 6 × · · · × 2p)2
2
= lim
×
p→∞ I2 p
p→∞ [1 × 3 × 5 × 7 × · · · × (2p − 1)]2
(2p + 1) × π
1 = lim
soit,
1
1 × 3 × 5 × · · · × (2p − 1)
√
√ = lim p ×
(formule de Wallis )
2 × ×4 × 6 × · · · × 2p
π p→∞
5.4.6
(5.31)
Invariance par translation : application aux fonctions périodiques
Soit f une fonction intégrable sur un intervalle compact [a, b]. Par un raisonnement direct, on
montre aisément que, pour tout u ∈ R, la fonction fu : x 7→ f (x+u) est intégrable sur [a−u, b−u],
et qu’elle vérifie la relation :
Z b
Z b−u
Z b−u
f (x)dx.
(5.32)
f (x + u)dx =
fu (x)dx =
a
a−u
a−u
Cela revient à faire le changement de variable x 7→ x + u lorsque f continue. En particulier, si f
est une fonction périodique, de période T , on a :
Z b+T
Z b
f (x + u)dx =
f (x)dx.
(5.33)
a+T
Analyse mathématique
a
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Linéarisation
5.5
5.5.1
89
Sur quelques primitives et procédés pratiques de base
Primitives usuelles
R
1
x
cos x dx = sin x + C te
;
R
sin x dx = − cos x + C te
R
1
sin x
dx = log | tan x2 | + C te
;
R
tan x dx = − log | cos x| + C te
R
1
cos x
dx = log | tan( π4 + x2 )| + C te
;
R
cot x dx = log | sin x| + C te
R
1
cos2 x
;
R
1
sin2 x
R
sinh x dx = cosh x + C te
;
R
cosh x dx = sinh x + C te
;
R
1
x2 +a2
xα dx =
R
R
1
x2 −a2
5.5.2
Z
xα+1
α+1
;
R
+ C te
(α 6= −1)
dx = tan x + C te
dx =
1
2a
x−a
× log | x+a
| + C te
dx = log |x| + C te
dx = − cot x + C te
dx =
1
a
× arctan xa + C te
Linéarisation
0
Z
0
0
sin(ax + b) × cos(a x + b ) dx;
Z
0
cos(ax + b) × cos(a x + b ) dx;
sin(ax + b) × sin(a0 x + b0 ) dx.
Ce procédé s’applique de proche en proche s’il s’agit d’un produit de sinus ou de cosinus dont le
nombre surpasse deux :
Z
sinp x × cosp x dx,
(5.34)
oú p et q sont des entiers naturels.
1. Si un seul des exposants est impair
(a) Si p est impair poser t = cos x ;
(b) Si q est impair poser t = sin x.
2. Les deux exposants sont impairs poser t = cos 2x.
3. Les deux exposants sont pairs appliquer :
1 − cos 2x
2
1
+
cos
2x
cos2 x =
2
sin2 x =
(5.35)
(5.36)
et ensuite linéariser.
R
— R(sin x, cos x) dx oú R est une fonction rationnelle de sin x et cos x.
On peut poser t = tan x2
sin x =
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2t
;
1 + t2
cos x =
1 − t2
;
1 + t2
dx =
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2dt
.
1 + t2
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Formules de la moyenne
5.6
5.6.1
90
Formules de la moyennes et sommes de Riemann
Formules de la moyenne
Proposition 5.11. Soient f et g deux fonctions numériques intégrables sur [a, b]. Si g est positive
et m = inf [a,b] f et M = sup[a,b] f on a :
Z
b
Z
g(x) dx ≤
m
a
b
Z
b
f (x)g(x) ≤ M
a
g(x) dx.
Si de plus f est continue, il existe c ∈ [a, b] tel que
Z b
Z b
f (x)g(x) dx = f (c)
g(x) dx.
a
(5.37)
(les inégalités de la moyenne)
a
(5.38)
(la formule généralisée de la moyenne)
a
Démonstration. Les inégalités (5.37) résultent du fait que mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x), pour tout
x ∈ [a, b]. De plus,
Rb
Rb
— si a g(x) dx = 0 alors (5.37) entraı̂ne a f (x)g(x) dx = 0 et (5.38) est vraie quelque soit
c ∈ [a, b] ;
Rb
— si a g(x) dx 6= 0, alors
Rb
f (x)g(x) dx
m ≤ aR b
=λ≤M
g(x)
dx
a
La continuité de f (Théorème des valeurs intermédiaires pour f continue) entraı̂ne l’exisRb
Rb
tence d’un c ∈ [a, b] tel que f (c) = λ i.e. a f (x)g(x) dx = f (c) a g(x) dx.
— Si g ≡ 1 sur [a, b], alors
Z b
f (x) dx = f (c)(b − a), c ∈ [a, b] (formule de la moyenne) .
(5.39)
a
Proposition 5.12. Soient f et g deux fonctions numériques intégrables sur [a, b], la fonction f
étant supposé positive et décroissante. Il existe alors un point c ∈ [a, b] tel que
Z b
Z c
eme
f (x)g(x) dx = f (a+ )
g(x) dx
(2
formule de la moyenne)
(5.40)
a
a
Rt
Démonstration. Soit G : [a, b] → R, t 7→ a g(x)dx. Désignons par m et M respectivement inf G et
sup G sur [a, b]. Puisque la fonction G est continue sur [a, b] et f (a+ ) > 0, l’existence d’un nombre
c vérifiant (5.40) équivaut à la double inégalité :
Z b
mf (a+ ) ≤
f (x)g(x)dx ≤ M f (a+ )
(5.41)
a
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Formules de la moyenne
91
• Supposons f en escalier sur [a, b] et soit σ=(x0 , . . . , xn ) une subdivision de [a, b] telle que
f = λi sur ]xi−1 , xi [, 1 ≤ i ≤ n.
Z
b
f (x)g(x)dx =
a
=
=
=
=
=
=
n Z
X
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
n−1
X
i=0
n−1
X
xi+1
f (x)g(x)dx
xi
Z
xi
λi
g(x)dx
xi−1
Z
xi
xi−1
Z
g(x)dx −
λi
a
g(x)dx
a
Z
λi Gi − Gi−1 avec Gi =
xi
Z
g(x)dx ⇒ G0 =
λi Gi −
g(x)dx = 0
a
a
n
X
x0
λi Gi−1
i=0
λi Gi + λn Gn −
n−1
X
λi+1 Gi
i=0
(λi − λi+1 ) Gi + λn Gn
i=0
La fonction étant positive et décroissante (λi − λi+1 ) ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n − 1 et λn ≥ 0. D’autre
part, par hypothèse : m ≤ Gi ≤ M , pour tout i = 1, . . . , n, donc
m
n−1
X
(λi − λi+1 ) ≤
i=0
D’où
" n−1
X
n−1
X
(λi − λi+1 ) Gi ≤ M
i=1
#
f (x)g(x)dx ≤ M
(λi − λi+1 ) + λn ≤
" n−1
X
a
i=1
(λi − λi+1 ) .
i=1
b
Z
n−1
X
#
(λi − λi+1 ) + λn
i=1
et par suite :
Z
mλ1 ≤
b
f (x)g(x)dx ≤ M λ1 .
(5.42)
a
Puisque f est en escalier alors λ1 = f (a+ ).
Rb
f (x)g(x)dx
≤ M . G étant continue sur [a, b], il existe c ∈ [a, b]
• Si f (a+ ) 6= 0 alors m ≤ a
f (a+ )
Z b
Z c
tel que
f (x)g(x)dx = f (a+ )
g(x)dx.
a
a
• Le cas f (a+ ) = 0 n’est pas intéressant puisqu’il donne f ≡ 0 sur ]a, b] et le résultat
devient banal.
• Cas générale. Pour chaque n ∈ N∗ , considérons la subdivision de [a, b] en partageant [a, b]
en n intervalles de même longueur (subdivision régulière) b−a
, et définissons les deux foncn
b−a
tions fn et hn en escalier sur [a, b] en posant sur chaque intervalle, a + (k − 1) b−a
,
a
+
k
,
n
n
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Formules de la moyenne
92
1 ≤ k ≤ n,
fn (x) = f
b−a
a+k
n
,
b−a
hn (x) = f a + (k − 1)
et fn (b) = hn (b) = f (b).
n
La fonction f étant décroissante on a pour tout x ∈ [a, b], fn (x) ≤ f (x) ≤ hn (x). Ce qui
entraı̂ne que
Z b
Z b
n Z xk
X
|fn (x) − f (x)| dx ≤
hn (x) − fn (x) =
|hn (x) − fn (x)| dx,
a
a
xk−1
k=1
où xk = a + k b−a
.
n
Z b
n
X
b−a
b−a
b−a
|fn (x) − f (x)| dx ≤
f a + (k − 1)
−f a+k
n
n
n
a
k=1
( n−1 X
)
n
b−a X
b−a
b−a
≤
f a+k
−
f a+k
n
n
n
k=0
k=1
≤
b−a
[f (a) − f (b)] .
n
Évaluons maintenant la quantité
Z b
Z b
f (x)g(x)dx
fn (x)g(x)dx −
(fn − f ) (x)g(x)dx
=
a
a
b
Z
Z
a
b
|fn − f | (x) |g(x)| dx
≤
a
Z
≤ l
b
(fn − f )
a
Z
où l = sup |g|. Par conséquent
[a,b]
b
Z
(fn − f ) →
f (x)g(x)dx les fonctions fn sont posi-
n→∞
a
b
a
+ b−a
n
tives et décroissantes sur [a, b] et fn (a+ ) = f a
et (5.42) de la première partie (cas
d’une fonction en escalier) de la démonstration donne pour tout n ∈ N∗ ,
Z b
b−a
b−a
mf a +
≤
f (x)g(x)dx ≤ M a +
n
n
a
et en passant à la limite quand n → ∞, on obtient :
Z b
mf (a+ ) ≤
f (x)g(x)dx ≤ M f (a+ )
a
i.e l’existence de c ∈ [a, b] tel que
Rb
a
f (x)g(x)dx = f (a+ )
Rc
a
g(x)dx.
Corollaire 5.2. Soit f , g deux fonctions numériques intégrables sur [a, b], la fonction f étant
supposée positive et croissante, alors il existe un c ∈ [a, b] tel que
Z b
Z b
f (x)g(x)dx = f (b− )
g(x)dx.
(5.43)
a
Analyse mathématique
c
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Sommes de Riemann
93
Corollaire 5.3 (Formule de O.Bonnet). Si f et g sont intégrables sur [a, b] et f monotone sur
[a, b] alors il existe c ∈ [a, b] tel que
Z b
Z c
Z b
g(x)dx.
(5.44)
g(x)dx + f (b− )
f (x)g(x)dx = f (a+ )
5.6.2
c
a
a
Sommes de Riemann
Définition 5.9. Soient f : [a, b] → R une fonction numérique,
S = (a = x0 < x1 < · · · < xn = b)
une subdivision de [a, b], et, pour chaque k = 0, 1, · · · , n−1, ak un élément de [xk−1 , xk ], 1 ≤ k ≤ n.
On appelle somme de Riemann associée à f, S, (ak )1≤k≤n les réel
n
X
(xk−1 − xk )f (ak ).
k=1
On a le :
Théorème 5.12. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Les sommes de Riemann relatives à
Z b
f convergent toutes vers
f (x)dx lorsque le pas de la subdivision tend vers 0, c’est-à-dire : pour
a
tout > 0, il existe α > 0, tel que pour toute subdivision S de [a, b] de pas ≤ α, et pour toute
famille (ak )1≤k≤n telle que ak ∈ [xk−1 , xk ], on ait
Z b
n
X
f (x)dx −
(xk−1 − xk )f (ak )| ≤ .
|
a
k=1
Démonstration. Soit > 0. Puisque f est continue sur [a, b], elle est uniformément continue sur
[a, b]. Il existe donc α > 0 tel que :
∀(x, x0 ) ∈ [a, b]2 , (|x − x0 | ≤ α =⇒ |f (x) − f (x0 )| ≤
).
b−a
Soit S une subdivision de [a, b] de pas ≤ α ; on a ∀x ∈ [xk−1 , xk ], |x − ak | ≤ α, donc : ∀x ∈
[xk−1 , xk ], |f (x) − f (ak )| ≤ b−a
, d’où
Z xk
Z xk
|
f (x)dx − (xk−1 − xk )f (ak )| = |
(f (x) − f (ak ))dx| ≤ (xk−1 − xk )
.
b−a
xk−1
xk−1
On en déduit :
Z b
n
n Z
X
X
|
f (x)dx −
(xk−1 − xk )f (ak )| = |
a
k=1
k=1
xk
(f (x) − f (ak ))dx| ≤ .
xk−1
Corollaire 5.4. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. On a :
Z b
n
b−aX
k(b − a)
lim
f (x)dx.
f (a +
)=
n→+∞
n k=0
n
a
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