Cours d'introduction à la géométrie algébrique

Université Cheikh Anta Diop de Dakar
Faculté des Sciences et Techniques
(UCAD-FST)
Département de Mathématiques et Informatique
(DMI)
Laboratoire d’Algèbre, de Cryptologie, de Géométrie Algébrique et Applications
(LACGAA) et
Laboratoire de de Géométrie et Applications
Masters Mathématiques et Informatique
Introduction à la géomètrie algébrique
Chargé du cours : Pr Amadou Lamine FALL

Table des matières
Chapitre 1. Localisation 3
1.1. Le spectre premier d’un anneau 3
1.2. Localisation des anneaux 11
Chapitre 2. Modules et Algèbres 21
2.1. Généralités sur les modules 21
2.2. Algèbres 26
2.3. Anneaux gradués et idéaux homogènes 41
2.4. Localisation des anneaux gradués 44
Chapitre 3. Modules de type fini et anneaux noethériens 45
3.1. Modules de type fini 45
3.2. Le lemme de Nakayama 46
3.3. Modules et anneaux noethériens 49
3.4. Le théorème de la base ou de transfert de Hilbert 51
Chapitre 4. Éléments entiers et Dimension 55
4.1. Éléments entiers 55
4.2. Dimension 64
4.3. Dimension des algèbres de type fini sur corps 68
Chapitre 5. Produit tensoriel de modules 71
Chapitre 6. Catégories et Foncteurs 73
6.1. Introduction aux catégories 73
6.2. Introduction aux foncteurs 75
6.3. Limites projectives et Limites inductives 78
6.4. Catégorie additive et Catégorie abélienne 81
Chapitre 7. Les Bases de Gröbner 83
Chapitre 8. Les Ensembles algébriques affines 85
8.1. Ensembles algébriques affines et Topologie de Zariski 85
8.2. Idéal associé à un ensemble algébrique 89
8.3. Ensembles algébriques irréductibles 91
8.4. Théorème des zéros de Hilbert 93
8.5. Applications du théorème des zéros de Hilbert 95
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2 Table des matières
Chapitre 9. Les morphismes d’ensembles algébriques affines 99
9.1. Applications régulières 99
9.2. Produits d’ensembles algébriques affines 105
9.3. Fonctions rationnelles et applications rationnelles 106
Variétés quasi - affines 111
Base d’ouverts des ensembles algébriques affines 111
Applications régulières sur une variété quasi - affine 112
Chapitre 10. Variétés projectives 117
10.1. Ensembles algébriques projectifs 117
Chapitre 11. Faisceaux sur un espace topologique 135
11.1. Définitions et exemples 135
11.2. Faisceau associé à un préfaisceau 139
11.3. Image directe et Image réciproque de faisceaux 143
Chapitre 12. Variétés algébriques 145
12.1. Espaces annelés 145
12.2. Faisceau structural d’un ensemble algébrique affine 146
12.3. Variétés algébriques 149
12.4. Anneaux locaux d’une variété algébrique 150
12.5. Les Variétés projectives 154
Chapitre 13. Etude locale des variétés algébriques 157
13.1. Dimension des variétés algébriques 157

Chapitre 1
Localisation
1.1. Le spectre premier d’un anneau
Les anneaux considérés dans ce cours sont commutatifs et unitaires
1.1.1. Idéaux premiers et Idéaux maximaux.
Définition 1.Soient Aet Bdeux anneaux. Un morphisme d’anneaux est une application
f:A−→ Bvérifiant les propriétés suivantes :
f(x+y) = f(x) + f(y)∀x, y ∈A(1.1.1)
f(xy) = f(x)f(y)∀x, y ∈A(1.1.2)
f(1A)=1B (1.1.3)
Soit Aun anneau et Iun idéal de A. On définit sur Ala relation suivante :
xRy⇐⇒ x−y∈I
Rest une relation d’équivalence sur A. Et si x∈A, on note par xla classe de xmodulo R.
On définit sur l’ensemble quotient A/Rles lois suivantes :
∀x, y ∈A/R, x +y=x+yet x·y=xy
A/Rmuni de ces deux lois est un anneau commutatif et unitaire appelé anneau quotient
de Apar l’idéal I. On note A/Rpar A/I. La surjection canonique π:A−→ A/I est un
morphisme d’anneaux et son noyau ker πest I.
On a le théorème de factorisation des morphismes d’anneaux suivant.
Théorème 1.Soient A,Bdeux anneaux et f:A−→ Bun morphisme d’anneaux.
Si Iest un idéal de Atel que I⊂ker f, alors il existe un unique morphisme d’anneaux
g:A/I −→ B, tel que f=g◦π. De plus ker g= ker f/I.
Démonstration. Soit
g:A/I −→ B
x−→ g(x) = f(x)
Montrons que gest bien définie.
3

4 1. LOCALISATION
Soit x, y ∈A/I tel que x=y
x=y=⇒x−y∈I=⇒x−y∈ker f
=⇒f(x−y) = 0 =⇒f(x) = f(y)
=⇒g(x) = g(y)
=⇒gest bien définie
Soit xet y∈A/I, on a alors :
g(x+y) = g(x+y) = f(x+y) = f(x) + f(y) = g(x) + g(y)
g(xy) = g(xy) = f(x)f(y) = g(x)g(y)
g(1A) = f(1A) = 1B
Donc gest un morphisme d’anneaux.
∀x∈A, on a g◦π(x) = g(x) = f(x), d’où f=g◦π. Montrons que ker g= ker f/I :
x∈ker g⇐⇒ g(x) = 0 ⇐⇒ g◦π(x)=0 ⇐⇒ f(x) = 0
⇐⇒ x∈ker f
d’où ker g= ker f/I.
Théorème 2 (Le théorème de correspondance).Soit Aun anneau, Iun idéal de
Aet π:A−→ A/I la surjection canonique. Soit FA/I l’ensemble des idéaux de A/I et ΓI
l’ensemble des idéaux de Acontenant I. Alors, l’application ϕdéfinie comme suit :
ϕ:FA/I −→ ΓI
X−→ ϕ(X) = π−1(X)
est une bijection.
Démonstration. Soit X1∈FA/I et X2∈FA/I tel que ϕ(X1) = ϕ(X2)
ϕ(X1) = ϕ(X2) =⇒π−1(X1) = π−1(X2)
=⇒π(π−1(X1)) = π(π−1(X2))
=⇒X1=X2
d’où ϕest injective.
Soit J∈ΓIun idéal de Acontenant I, et soit x∈J+I, donc ∃a∈Jet b∈Itel que
x=a+b. On a alors :
π(x) = π(a) + π(b) = π(a)∈π(J) =⇒x∈π−1(π(J))
d’où
(∗)J+I⊂π−1(π(J))
Soit z∈π−1(π(J)), alors π(z)∈π(J), donc ∃t∈Jtel que π(z) = π(t). Par suite,
i=z−t∈Iet donc z=t+i∈J+Ice qui implique que :
(∗∗)π−1(π(J)) ⊂J+I