Cours d'introduction à la géométrie algébrique

Université Cheikh Anta Diop de Dakar
Faculté des Sciences et Techniques
(UCAD-FST)
Département de Mathématiques et Informatique
(DMI)
Laboratoire d’Algèbre, de Cryptologie, de Géométrie Algébrique et Applications
(LACGAA) et
Laboratoire de de Géométrie et Applications
Masters Mathématiques et Informatique
Introduction à la géomètrie algébrique
Chargé du cours : Pr Amadou Lamine FALL
Table des matières
Chapitre 1. Localisation
1.1. Le spectre premier d’un anneau
1.2. Localisation des anneaux
3
3
11
Chapitre 2. Modules et Algèbres
2.1. Généralités sur les modules
2.2. Algèbres
2.3. Anneaux gradués et idéaux homogènes
2.4. Localisation des anneaux gradués
21
21
26
41
44
Chapitre 3. Modules de type fini et anneaux noethériens
3.1. Modules de type fini
3.2. Le lemme de Nakayama
3.3. Modules et anneaux noethériens
3.4. Le théorème de la base ou de transfert de Hilbert
45
45
46
49
51
Chapitre 4. Éléments entiers et Dimension
4.1. Éléments entiers
4.2. Dimension
4.3. Dimension des algèbres de type fini sur corps
55
55
64
68
Chapitre 5. Produit tensoriel de modules
71
Chapitre 6. Catégories et Foncteurs
6.1. Introduction aux catégories
6.2. Introduction aux foncteurs
6.3. Limites projectives et Limites inductives
6.4. Catégorie additive et Catégorie abélienne
73
73
75
78
81
Chapitre 7. Les Bases de Gröbner
83
Chapitre 8. Les Ensembles algébriques affines
8.1. Ensembles algébriques affines et Topologie de Zariski
8.2. Idéal associé à un ensemble algébrique
8.3. Ensembles algébriques irréductibles
8.4. Théorème des zéros de Hilbert
8.5. Applications du théorème des zéros de Hilbert
85
85
89
91
93
95
1
2
Table des matières
Chapitre 9. Les morphismes d’ensembles algébriques affines
9.1. Applications régulières
9.2. Produits d’ensembles algébriques affines
9.3. Fonctions rationnelles et applications rationnelles
Variétés quasi - affines
Base d’ouverts des ensembles algébriques affines
Applications régulières sur une variété quasi - affine
99
99
105
106
111
111
112
Chapitre 10. Variétés projectives
10.1. Ensembles algébriques projectifs
117
117
Chapitre 11. Faisceaux sur un espace topologique
11.1. Définitions et exemples
11.2. Faisceau associé à un préfaisceau
11.3. Image directe et Image réciproque de faisceaux
135
135
139
143
Chapitre 12. Variétés algébriques
12.1. Espaces annelés
12.2. Faisceau structural d’un ensemble algébrique affine
12.3. Variétés algébriques
12.4. Anneaux locaux d’une variété algébrique
12.5. Les Variétés projectives
145
145
146
149
150
154
Chapitre 13. Etude locale des variétés algébriques
13.1. Dimension des variétés algébriques
157
157
Chapitre 1
Localisation
1.1. Le spectre premier d’un anneau
Les anneaux considérés dans ce cours sont commutatifs et unitaires
1.1.1. Idéaux premiers et Idéaux maximaux.
Définition 1. Soient A et B deux anneaux. Un morphisme d’anneaux est une application
f : A −→ B vérifiant les propriétés suivantes :
(1.1.1)
f (x + y) = f (x) + f (y)
∀x, y ∈ A
(1.1.2)
f (xy) = f (x)f (y)
∀x, y ∈ A
(1.1.3)
f (1A ) = 1B
Soit A un anneau et I un idéal de A. On définit sur A la relation suivante :
xRy ⇐⇒ x − y ∈ I
R est une relation d’équivalence sur A. Et si x ∈ A, on note par x la classe de x modulo R.
On définit sur l’ensemble quotient A/R les lois suivantes :
∀x, y ∈ A/R, x + y = x + y et x · y = xy
A/R muni de ces deux lois est un anneau commutatif et unitaire appelé anneau quotient
de A par l’idéal I. On note A/R par A/I. La surjection canonique π : A −→ A/I est un
morphisme d’anneaux et son noyau ker π est I.
On a le théorème de factorisation des morphismes d’anneaux suivant.
Théorème 1. Soient A, B deux anneaux et f : A −→ B un morphisme d’anneaux.
Si I est un idéal de A tel que I ⊂ ker f , alors il existe un unique morphisme d’anneaux
g : A/I −→ B, tel que f = g ◦ π. De plus ker g = ker f /I.
Démonstration. Soit
g : A/I −→ B
x −→ g(x) = f (x)
Montrons que g est bien définie.
3
4
1. LOCALISATION
Soit x, y ∈ A/I tel que x = y
x = y =⇒ x − y ∈ I =⇒ x − y ∈ ker f
=⇒ f (x − y) = 0 =⇒ f (x) = f (y)
=⇒ g(x) = g(y)
=⇒ g est bien définie
Soit x et y ∈ A/I, on a alors :
g(x + y) = g(x + y) = f (x + y) = f (x) + f (y) = g(x) + g(y)
g(xy) = g(xy) = f (x)f (y) = g(x)g(y)
g(1A ) = f (1A ) = 1B
Donc g est un morphisme d’anneaux.
∀x ∈ A, on a g ◦ π(x) = g(x) = f (x), d’où f = g ◦ π. Montrons que ker g = ker f /I :
x ∈ ker g ⇐⇒ g(x) = 0 ⇐⇒ g ◦ π(x) = 0 ⇐⇒ f (x) = 0
⇐⇒ x ∈ ker f
d’où ker g = ker f /I.
Théorème 2 (Le théorème de correspondance). Soit A un anneau, I un idéal de
A et π : A −→ A/I la surjection canonique. Soit FA/I l’ensemble des idéaux de A/I et ΓI
l’ensemble des idéaux de A contenant I. Alors, l’application ϕ définie comme suit :
ϕ : FA/I −→ ΓI
X −→ ϕ(X) = π −1 (X)
est une bijection.
Démonstration. Soit X1 ∈ FA/I et X2 ∈ FA/I tel que ϕ(X1 ) = ϕ(X2 )
ϕ(X1 ) = ϕ(X2 ) =⇒ π −1 (X1 ) = π −1 (X2 )
=⇒ π(π −1 (X1 )) = π(π −1 (X2 ))
=⇒ X1 = X2
d’où ϕ est injective.
Soit J ∈ ΓI un idéal de A contenant I, et soit x ∈ J + I, donc ∃ a ∈ J et b ∈ I tel que
x = a + b. On a alors :
π(x) = π(a) + π(b) = π(a) ∈ π(J) =⇒ x ∈ π −1 (π(J))
d’où
(∗)
J + I ⊂ π −1 (π(J))
Soit z ∈ π −1 (π(J)), alors π(z) ∈ π(J), donc ∃t ∈ J tel que π(z) = π(t). Par suite,
i = z − t ∈ I et donc z = t + i ∈ J + I ce qui implique que :
(∗∗)
π −1 (π(J)) ⊂ J + I
1.1. LE SPECTRE PREMIER D’UN ANNEAU
5
(∗) et (∗∗) =⇒ π −1 (π(J)) = J + I.
Comme I ⊂ J, on a π −1 (π(J)) = J. Donc ∀J ∈ ΓI , J = ϕ(π(J)) donc ϕ est surjectif, on
en déduit que ϕ est une bijection.
Définition 2. Soit A un anneau et p un idéal de A. On dit que p est un idéal premier
de A si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
(1) p 6= A
(2) ∀a, b ∈ A, ab ∈ p =⇒ a ∈ p ou b ∈ p
Proposition 1. Soit p un idéal d’un anneau A. Alors p est premier si et seulement si
l’anneau quotient A/p est intègre.
Démonstration.
— Supposons p premier :
p 6= A =⇒ A/p 6= (0). Soit a, b ∈ A/p, tel que ab = 0
ab = 0 =⇒ ab = 0
=⇒ ab ∈ p
=⇒ a ∈ p ou b ∈ p
=⇒ a = 0 ou b = 0
Donc A/p est intègre.
— Réciproquement supposons A/p intègre :
A/p intègre =⇒ A/p 6= (0) =⇒ A =
6 p. Soient a, b ∈ A tel que ab ∈ p.
ab ∈ p =⇒ ab = 0
=⇒ a = 0 ou b = 0
=⇒ a ∈ p ou b ∈ p
donc p est un idéal premier.
Définition 3. Soit A un anneau. On appelle spectre de A, l’ensemble des idéaux premiers
de A. On note par Spec A le spectre de A.
Proposition 2 (Lemme d’évitement des idéaux premiers). Soient p1 , p2 , . . . , pn
n
S
des idéaux premiers de A tel que pi 6⊂ pj si i 6= j. Si I est un idéal de A tel que I ⊂
pi
i=1
alors il existe un k ∈ [[1, n]] tel que I ⊂ pk .
Démonstration. Elle se fait par l’absurde.
Supposons I 6⊂ pi , ∀i ∈ [[1, n]]. D’une part tout i il existe bi ∈ I tel que bi ∈
/ pi . D’autre
part comme pi 6⊂ pj pour i 6= j, ∃ai,j ∈ pi tel que ai,j ∈
/ pj .
n
Q
P
Posons aj =
ai,j , on a aj ∈
/ pj et aj ∈ pi ∀i 6= j. Soit c =
bi ai ∈ I. Comme bi ai ∈
/ pi
i=1
i6=j
et bj aj ∈ pi si i 6= j, on a c = ai bi +
n
P
j6=i
aj b j ∈
/ pi , ∀i d’où c ∈
/
n
S
i=1
pi .
6
1. LOCALISATION
Ainsi c ∈ I et c ∈
/
n
S
pi , ce qui contredit l’inclusion I ⊂
i=1
n
S
pi . On en déduit qu’il existe
i=1
k ∈ [[1, n]] tel que I ⊂ pk .
Définition 4. Soit A un anneau et m un idéal de A. On dit que m est un idéal maximal
de A si :
(1) m 6= A
(2) les seuls idéaux de A qui contiennent m sont m et A.
Définition 5. Soit A un anneau. On appelle spectre maximal de A, l’ensemble des
idéaux maximaux de A. On note par Specm(A) le spectre maximal de A.
Proposition 3. Soit m un idéal d’un anneau A alors m est maximal si et seulement si
l’anneau quotient A/m est un corps.
Démonstration.
— Supposons que A/m est un corps :
Comme A/m est un corps, on a A 6= m.
Soit J un idéal de A contenant strictement m. Comme J 6= m, il existe a ∈ J tel
que a ∈
/ m, donc ā 6= 0̄ par suite ā est inversible dans A/m. Ainsi il existe b ∈ A tel
que āb̄ = 1̄, ce qui entraîne que ab − 1 ∈ m, d’où 1 = ab − (ab − 1) ∈ J ce qui montre
que J = A.
— Réciproquement supposons que m est maximal.
Comme m maximal on a =⇒ A/m 6= (0). Soit x̄ ∈ A/m, tel que x̄ 6= 0. On a
x∈
/ m, l’idéal m + xA contient strictement m, donc m + xA = A. Ainsi il existe m ∈ m,
et a ∈ A tel que 1 = m + xa. Nous avons
1̄ = m + xa
= m̄ + x̄ā
= x̄ā
On en déduit que x est inversible dans A/m et par suite A/m est un corps.
Proposition 4. Soit f : A −→ B un morphisme d’anneaux et q un idéal premier de B.
Alors f −1 (q) est un idéal premier de A.
Démonstration. Soit f : A −→ B un morphisme d’anneaux et q un idéal premier de
B. Posons p = f −1 (q).
f (1A ) = 1B ∈
/ q =⇒ 1A ∈
/ p =⇒ p 6= A.
Soit a ∈ A et b ∈ A tel que ab ∈ p nous avons
ab ∈ p =⇒ f (ab) = f (a)f (b) ∈ q
=⇒ f (a) ∈ q ou f (b) ∈ q
=⇒ a ∈ p ou b ∈ p
Donc p est premier.
1.1. LE SPECTRE PREMIER D’UN ANNEAU
7
Remarque 1. Soit f : A −→ B un morphisme d’anneaux. Si η est un idéal maximal de
B, alors f −1 (η) n’est pas en général maximal dans A. Comme le montre l’exemple suivant :
Exemple 1. A = Z, B = Q, i : Z −→ Q l’injection canonique. On a alors η = (0) l’idéal
nul est maximal dans Q mais i−1 (η) n’est pas maximal dans Z.
Définition 6. Un ensemble ordonné E est inductif si toute partie totalement ordonné
de E admet un majorant.
Lemme 1 (lemme de Zorn). Tout ensemble ordonné inductif admet un élément maximal.
Théorème 3 (Théorème de Krüll). Soit A un anneau non nul. alors A possède au
moins un idéal maximal.
Démonstration. Soit A un anneau non nul et F l’ensemble des idéaux de A distincts
de A. On a F 6= ∅ et F ordonné par l’inclusion est inductif.
Soit (Is )s∈S la famille
S non vide des idéaux de A, distinctes de A totalement ordonnée par
l’inclusion. Alors I =
Is est un idéal de A distinct de A et I est un majorant de F. Le
s∈S
lemme de Zorn implique que F admet un élément maximal m.
Montrons que m est un idéal maximal de A. Soit J un idéal de A contenant strictement
m. Comme m est maximal dans F, on a J ∈
/ F, donc J = A. On en déduit que l’idéal m est
maximal.
Corollaire 1. Soit A un anneau non nul et I un idéal propre de A. Alors I est inclus
dans un idéal maximal de A.
Démonstration. Comme I est un idéal propre de A, l’anneau quotient A/I est non nul
donc il admet un idéal maximal m. D’après le théorème de correspondant il existe un idéal
maximal m de A contenant I tel que m = m/I, d’où le résultat.
Définition 7. Soit A un anneau et a ∈ A. On dit que a est nilpotent s’il existe n ∈ N∗
tel que an = 0. Si a est nilpotent l’indice de nilpotence de a est le plus petit l’entier d =
min{n | an = 0}.
n∈N
Définition 8. L’ensemble des éléments nilpotent de A est un idéal appelé radical nilpotent ou nil radical de A.
Définition 9. Un anneau A est dit réduit si 0 est le seul élément nilpotent de A.
√
Définition 10. Soit A un anneau et I un idéal de A. On appelle radical de I, l’ensemble :
√
I = { a ∈ A | ∃n ∈ N∗ , tel que an ∈ I }
I est un idéal de A contenant I.
Définition 11. Soit A un anneau. Le radical de Jacobson J de A est l’intersection des
idéaux maximaux de A,
\
J=
m.
m∈Specm(A)
8
1. LOCALISATION
√
Définition 12. Un idéal I d’un anneau A est
√ dit radiciel (ou radical) si I = I. La
proposition suivante donne une caractérisation de I.
√
Théorème 4. Soit A un anneau et I un idéal de A. Alors I est l’intersection des idéaux
premiers de A contenant I
\
√
I=
p.
p∈Spec A
I⊂p
En particulier le nil radical de A est l’intersection des idéaux premiers de A.
√
T
Démonstration. Posons J =
p. Montrons que I = J.
p∈Spec A
(1) Soit x ∈
√
I⊂p
I :
x∈
√
I =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
∃n ∈ N∗ | xn ∈ I
xn ∈ p, ∀p ∈ Spec A tel que I ⊂ p
x ∈ p, ∀p ∈ Spec A tel que I ⊂ p
x∈J
√
donc I ⊂ J
(2) Soit x ∈ J :
Supposons que xn ∈
/ I, ∀n ∈ N∗ . L’ensemble Γ des idéaux K de A contenant I tel
n
∗
que x ∈
/ K, ∀n ∈ N n’est pas vide et Γ orodnné par l’inclusion est inductif, donc
admet un élément maximal p. Montrons que p est un idéal premier de A :
Comme xn ∈
/ p, ∀n ∈ N, on a p 6= A. Soit a ∈ A et b ∈ A tels que a ∈
/ p et
b∈
/ p. Les idéaux p + aA et p + bA contiennent strictement p donc n’appartiennent
pas à Γ. Par suite ∃m, n ∈ N∗ , tel que xm ∈ p + aA et xn ∈ p + bA. xm ∈ p + aA et
xn ∈ p + bA =⇒ ∃p1 , p2 ∈ p et t1 , t2 ∈ A tels que xm = p1 + at1 et xn = p2 + bt2 par
suite :
xm+n = (p1 + at1 )(p2 + bt2 )
= p1 p2 + p1 bt2 + p2 at1 + abt1 t2
∈ p + abA
xm+n ∈
/ p =⇒ ab ∈
/ p. Donc p est un idéal premier de A.
Donc :
xn ∈
/ I, ∀n ∈ N∗ =⇒ ∀n ∈ N∗ , xn 6∈ p qui est premier et contient I
=⇒ x 6∈ p
\
=⇒ x ∈
/
p
p∈Spec A
I⊂p
=⇒ x ∈
/J
1.1. LE SPECTRE PREMIER D’UN ANNEAU
Ainsi par contraposé x ∈ J =⇒ ∃n ∈ N∗ , tel que xn ∈ I, d’où x ∈
√
T
Les inclusions (1) et (2) entraînent que I =
p.
9
√
I, donc J ⊂
√
I
p∈Spec A
I⊂p
Théorème 5. Soit A un anneau non nul, le radical de Jacobson J de A l’ensemble
{x ∈ A | 1 − yx est inversible
∀y ∈ A}
Démonstration. Posons I = {x ∈ A | 1 − yx est inversible ∀y ∈ A} et montrons que
I coïncide avec le radical de Jacobson J. Soit x ∈ J nous avons
x ∈ J =⇒ yx ∈ J ∀y ∈ A
=⇒ yx ∈ m, ∀m ∈ Specm(A)
=⇒ 1 − yx ∈
/ m, ∀m ∈ Specm(A)
=⇒ 1 − yx est inversible
=⇒ x ∈ I =⇒ J ⊂ I
(1)
Réciproquement, si x ∈
/ J, il existe un idéal maximal m0 ∈ Specm(A) tel que x ∈
/ m0 .
L’idéal m0 + xA contient strictement m0 , donc m0 + xA = A. Il existe m ∈ m0 et a ∈ A
tels que 1 = m + xa, ainsi 1 − xa = m ∈ m0 n’est pas inversible, il s’en suit que x ∈
/ I.
On en déduit que I ⊂ J (2). Les inclusions (1) et (2) entraînent que I = J.
Définition 13. Un anneau A est dit local s’il a un unique idéal maximal m.
Théorème 6. Soit A un anneau. Les assertions suivantes sont équivalentes
(1) L’anneau A est local.
(2) Le complémentaire du radical de Jacobson de A est constié des éléments inversibles de
A.
(3) Il existe un idéal propre I de A dont le complémentaire est constié d’ éléments inversibles de A.
Démonstration. Soit J le radical de Jacobson de A.
(1) On suppose que A est local. Le radical de Jacobson J est l’unique idéal maximal de
A. Soit x ∈ A \ J, l’idéal < x > engendré par x n’est pas inclus dans aucun idéal
maximal de A, donc < x >= A d’où x est inversible. On en déduit que 1) =⇒ 2).
(2) L’implication 1) =⇒ 2) est évident il suffit de prendre I = J.
(3) Soit I un idéal propre de A dont le complémentaire est constié d’ éléments inversibles
de A. Montrons que I est un idéal maximal de A. Soit K un idéal de A tel que I K,
il existe t ∈ K tel que t ∈
/ I, par définition de I, t est inversible, donc K = A.
Montrons que I est l’unique idéal maximal de A, pour cela montrons d’abord que
I = J. Soit x ∈ I, on a yx ∈ I, ∀y ∈ A. Comme I est un idéal propre on a 1 − yx ∈
/ I,
donc 1 − yx est inversible d’où x ∈ J et I ⊂ J et par suite I = J. Soit m ∈ Specm(A)
un idéal maximal de A, on a I ⊂ m, la maximalité de I entraîne que I = m.
On en déduit que A est local, ainsi 2) =⇒ 3).
10
1. LOCALISATION
1.1.2. Topologie de Zariski sur le spectre d’un anneau. Soit A un anneau et
X = Spec(A) l’ensemble des idéaux premiers de A. Si E est une partie de A on pose
V(E) = {p ∈ X | E ⊂ p}.
Lemme 2. Soit E et F deux parties de A et I =< E > l’idéal engendré par E. Nous avons
les propriétés suivantes
(1) Si E ⊂ F alors V(F ) ⊂ V(E).
√
(2) On a V(I) = V( I).
Démonstration.
(1) Soit p ∈ V(F ), on a E ⊂ F ⊂ p, donc p ∈ V(E), d’où
V(F ) ⊂ V(E).
√
√
I,
on
a
V(
(2) Comme
I
⊂
√
√I) ⊂ V(I). Soit
√ p ∈ V(I), on a I ⊂ p. D’après le théorème
√ 4
on a I ⊂ p, d’où p ∈ V( I), donc V( I) ⊂ V(I). On en déduit que V(I) = V( I).
Théorème 7. Soit A un anneau. Nous avons les propriétés suivantes :
(1) Pour tous idéaux I et J de A, nous avons V(I) ∪ V(J) = V(I ∩ J).
(2) Soit (Is )s∈S une famille d’idéaux de A. Alors
\
X
V(Is ) = V(
Is ).
s∈S
s∈S
(3) On a V(A) = ∅ et V((0)) = X.
Démonstration.
(1) D’une part comme I ∩J ⊂ I et I ∩J ⊂ J, on a V(I) ⊂ V(I ∩J)
et V(J) ⊂ V(I ∩ J) donc V(I) ∪ V(J) ⊂ V(I ∩ J).
D’autre part on a IJ ⊂ I ∩ J, donc V(I ∩ J) ⊂ V(IJ). Nous avons
p ∈ V(IJ) =⇒ IJ ⊂ p
=⇒ I ⊂ p ou J ⊂ p
=⇒ p ∈ V(I) ∪ V(J)
=⇒ V(IJ) ⊂ V(I) ∪ V(J)
On en déduit que V(I ∩ J) ⊂ V(I) ∪ V(J) et par suite V(I ∩ J) = V(I) ∪ V(J).
[
P
(2) Comme l’idéal
Is est engendré par la réunion
Is , il suffit de montrer que
s∈S
s∈S
\
s∈S
V(Is ) = V(
[
s∈S
Is ).
1.2. LOCALISATION DES ANNEAUX
On a V(
[
Is ) ⊂ V(Is ), ∀s ∈ S, donc V(
s∈S
[
Is ) ⊂
s∈S
p∈
\
\
11
V(Is ). Nous avons
s∈S
V(Is ) =⇒ p ∈ V(Is ) ∀s ∈ S
s∈S
=⇒ Is ⊂ p ∀s ∈ S
[
=⇒
Is ∈ p ∀s ∈ S
s∈S
=⇒ p ∈ V(
[
Is )
s∈S
=⇒
\
V(Is ) ⊂ V(
s∈S
On en déduit que
\
s∈S
V(Is ) = V(
[
[
Is )
s∈S
Is ).
s∈S
(3) Pour tout idéal premier p de A on a p 6= A et 0 ∈ p, donc V(A) = ∅ et V((0)) = X
Définition 14. Soit A un anneau et X le spectre de A, les ensembles de la forme V(I)
où I est un idéal de A sont les fermés d’une topologie appelée topologie spectrale ou topologie
de Zariski
1.2. Localisation des anneaux
Définition 15. Soit A un anneau et S une partie de A. On dit que S est une partie
multiplicative si :
(1) 1 ∈ S
(2) ∀s1 , s2 ∈ S, on a s1 s2 ∈ S
Soit A un anneau et S une partie multiplicative de A. On définit sur A × S, la relation
suivante :
(a, s)R(b, t) ⇐⇒ ∃u ∈ S | u(at + bs) = 0
R est une relation d’équivalence sur A × S. Par la relation R, la classe (a, s) de (a, s) est
a
notée . On note S −1 A l’anneau quotient de A × S par la relation R.
s
On définit sur S −1 A les deux lois suivantes :
a b
at + bs
a b
ab
+ =
et
· =
s t
st
s t
st
−1
Proposition 5. L’ensemble S A muni de ces deux lois est un anneau commutatif et
unitaire et :
iS : A −→ S −1 A
a
a −→
1
12
1. LOCALISATION
est un morphisme appelé morphisme de localisation.
Démonstration 1. (Exercice à faire)
Définition 16. L’anneau S −1 A est appelé le localisé de A par la partie multiplicative
S.
Exemple 2.
(1) Corps des fractions d’un anneau intègre.
Soit A un anneau intègre. On pose S = A \ {0}. L’anneau S −1 A est un corps.
Définition 17. Le corps S −1 A est appelé corps des fractions de l’anneau integre
A.
(2) Soit A un anneau et p un idéal premier de A. S = A \ p est une partie multiplicative
de A, S −1 A = nAp est le localisé deo A en p. S −1 A = Ap est un anneau local d’idéal
a
maximal mp =
| a ∈ p et s ∈ S .
s
Rappelons qu’un anneau A est local s’il n’a qu’un seul idéal maximal.
(3) Soit A un anneau, s ∈ A un élément non nilpotent et b = { sn | n ∈ N } est une partie
multiplicative de A.
n a
o
∗
L’anneau S −1 A = As =
|
a
∈
A
et
n
∈
N
. L’anneau localise S −1 A vérifie
sn
la propriété universelle suivante :
Théorème 8. Soit A un anneau et S une partie multiplicative de A. Le couple (S −1 A, iS )
vérifie la propriété universelle suivante :
Pour tout anneau B et tout morphisme f : A −→ B tel que ∀s ∈ S, f (s) est inversible
dans B, il existe un unique morphisme d’anneau g : S −1 A −→ B tel que f = g ◦ iS .
Démonstration. Soit
g : S −1 A −→ B
a
a
−→ g
= f (a)f (s)−1
s
s
Montrons que g est bien définie.
a
b
= =⇒ ∃u ∈ S | u(at − bs) = 0
s
t
=⇒ uat = ubs
=⇒ f (u)f (a)f (t) = f (u)f (b)f (s)
=⇒ f (a)f (t) = f (b)f (s)
donc f (a)f (s)−1 = f (b)f (t)−1 , d’où g est bien définie. Montrons que g est un morphisme
d’anneaux.
1.2. LOCALISATION DES ANNEAUX
(1) Soit
13
a
b
et deux éléments de S −1 A, nous avons
s
t
a b
g
+
= f (at + bs)f (st)−1
s t
= (f (a)f (t) + f (b)f (s)) f (st)−1
= f (a)f (s)−1 + f (b)f (t)−1
a
b
=g
+g
s
t
a
b
et deux éléments de S −1 A, on a
s
t
ab
g
= f (ab)f (st)−1
st
= f (a)f (s)−1 f (b)f (t)−1
a b
g
=g
s
t
1
(3) De plus, g
= f (1)f (1)−1 = 1
1
(2) Soit
Donc g est un morphisme d’anneaux, de plus ∀a ∈ A, g ◦ iS (a) = g
a
1
f (a) d’où f = g ◦ iS .
Montrons que g est unique.
Soit h : S −1 A −→ B tel que f = h ◦ iS . Alors ∀a ∈ A, on a
a
= h(iS (a)) = h ◦ iS (a) = f (a)
h
1
Si s ∈ S,
1
s −1
s −1
h
=h
= f (s)−1
= h
s
1
1
Donc :
a
a 1
a
a 1
−1
h
=h
·
=h
= f (a)f (s) = g
s
1 s
1
s
s
D’où h = g.
= f (a)f (1)−1 =
Soit A un anneau et a ∈ A un élément ; S = { an | n ∈ N } est une partie multiplicative.
Le théorème suivant montre que S −1 A est un quotient de l’anneau des polynômes A[X].
Théorème 9. Soit A un anneau, a ∈ A un élément non nilpotent et S = { an | n ∈ N }.
A[X]
Alors les anneaux S −1 A et
sont isomorphes.
h1 − aXi
14
1. LOCALISATION
Démonstration. Soit A un anneau, a ∈ A, A[X] l’anneau des polynômes à coefficients
dans A, S = { an | n ∈ N }.
A[X]
Posons AS = S −1 A, BX =
l’anneau quotient de A[X] par l’idéal engendré par
h1 − aXi
1 − aX.
On considère le morphisme d’anneaux
f : A[X] −→ S −1 A
1
P −→ f (P ) = P
a
Alors ∀x =
b
∈ AS , on a :
an
b
= f (bX n )
n
a
donc f est surjectif.
De plus :
a
=0
a
donc le polynôme 1 − aX ∈ ker f . Par suite l’idéal h1 − aXi engendré par 1 − aX est inclu
dans ker f . D’après le théorème 1, de factorisation dans les anneaux quotients, il existe un
morphisme d’anneaux
A[X]
ϕ : BX =
−→ AS
h1 − aXi
f (1 − aX) = 1 −
tel que f = ϕ ◦ π où π : A[X] −→ BX est la surjection canonique.
D’autre part on consisère
g : A −→ BX
b −→ g(b) = b
g est un morphisme d’anneaux.
Comme 1 − aX ∈ h1 − aXi, 1 − aX = 0, donc a X = 1 d’où g(a) = a est inversible dans
BX .
D’après la propriété universelle des anneaux localisés, il existe un unique morphisme
ψ : A[X] −→ BX tel que g = ψ ◦ iS . Et on a ∀b ∈ A :
b
g(b) = ψ ◦ iS (b) = ψ(iS (b)) = ψ
1
Et donc ∀
b
∈ AS :
an
b
ψ n
a
n
= g(b)g(an )−1 = b · (a−1 )n = b X = bX n
1.2. LOCALISATION DES ANNEAUX
15
Montrons que ϕ est bijectif, de bijection réciproque ψ
ϕ
ψ
ψ
BX −→ AS −→ BX
|
{z
}
ϕ
A −→ BX −→ AS
|S
{z
}
ψ◦ϕ
ϕ◦ψ
Si P ∈ A[X], alors
1
ψ ◦ ϕ(P ) = ψ ◦ ϕ ◦ π(P ) = ψ(f (P )) = ψ P
a
P
(1) Posons P = n bn X n
!
X bn
X bn 1
ψ P
=ψ
=
ψ
a
a
an
n
n
n
X
X
bn X n =
bn X n
=
n
=P
donc ψ ◦ ϕ = IdBX
b
(2) Soit n ∈ AS
a
ϕ◦ψ
b
an
b
n
=ϕ ψ
=
ϕ
bX
an
= ϕ ◦ π(P ) avec P = bX n
b
= f (bX n ) = n
a
donc ψ ◦ ϕ = IdAS
(1) et (2) =⇒ ϕ est bijective d’inverse ψ. On en déduit que les anneaux S −1 A et
A[X]
sont isomorphes.
h1 − aXi
1.2.1. Les idéaux de l’anneau localisé.
Définition 18. Soit A un et S une partie multiplicative de A. On dit que S est saturé
si pour tout (s, s0 ) ∈ A2 tel que ss0 ∈ S, on a s ∈ S et s0 ∈ S.
Exemple 3.
(1) Soit A un anneau. L’ensemble U(A) des éléments inversibles de A est
une partie multiplicative saturée de A.
(2) Soit A un anneau et p un idéal premier de A, S = A \ p est une partie multiplicative
saturée. [
De manière générale si (pi )i∈I est une famille d’idéaux premiers de A alors
S = A \ pi est une partie multiplicative saturée.
i∈I
16
1. LOCALISATION
Définition 19. Soit A un anneau, S une partie multiplicative de A. On appelle saturation
de S l’ensemble
S = {s ∈ A | ∃t ∈ A, st ∈ S}
Théorème 10. Soit A un anneau, S une partie multiplicative de A et I un idéal de A
tel que I ∩ S = ∅. Alors il existe un idéal premier p de A tel que I ⊂ p et p ∩ S = ∅.
Démonstration. Soit M l’ensemble des idéaux J de A tel que I ⊂ J et J ∩ S = ∅.
L’ensemble
[M est non vide car il contient I. Soit (Jλ )λ∈Γ une partie totalement ordonnée de
M, K =
est un majorant de cette famille. Donc M ordonné par l’inclusion est inductif,
λ∈Γ
d’après le lemme de Zorn, M admet un élément maximal p. Montrons que p est un idéal
premier. Comme p ∩ S = ∅, on a p 6= A. Soit a, b ∈ A tel que a ∈
/ p et b ∈
/ p. Les idéaux
p + aA et p + bA contiennent strictement p, donc p + aA et p + bA n’appartiennent pas M.
Par conséquent (p + aA) ∩ S 6= ∅ et (p + bA) ∩ S 6= ∅. Il existe p1 , p2 ∈ p et t1 , t2 ∈ A tel que
p1 + at1 ∈ S et p2 + bt2 ∈ S. Comme S est une partie multiplicative on a
(p1 + at1 )(p2 + bt2 ) = p1 p2 + p1 t2 b + p2 t1 a + t1 t2 ab ∈ S.
Or (p1 + at1 )(p2 + bt2 ) = p1 p2 + p1 t2 b + p2 t1 a + t1 t2 ab ∈ S ∈
/ p et p1 p2 + p1 t2 b + p2 t1 a ∈ p,
donc ab ∈
/ p. On en déduit que p est un idéal premier.
Soit A un anneau, S une partie multiplicative de A, si I est un idéal de A, on pose
o
na
| a ∈ I et s ∈ S
S −1 I =
s
L’ensemble S −1 I est un idéal de S −1 A. Réciproquement soit J est un idéal de S −1 A, posons
a
−1
I = i−1
A définie par iS (a) = est le morphisme de
S (J) est un idéal de A où iS : A −→ S
1
localisation.
Proposition 6. Soit A un anneau, S une partie multiplicative de A.
−1
(1) Si I est un idéal de A alors I ⊂ i−1
I).
S (S
(2) Si J est un idéal de S −1 A alors J = S −1 (i−1
S (J)).
(3) Tout idéal de S −1 A est de la forme S −1 I où I est un idéal de A.
Démonstration.
(1) Soit I un idéal de A et a ∈ A, on a iS (a) =
a
∈ S −1 I, donc
1
−1
−1
a ∈ i−1
I). On en déduit que I ⊂ i−1
I).
S (S
S (S
a
a
sa
a
(2) Soit ∈ J, on a iS (a) = =
∈ J, donc a ∈ i−1
∈ S −1 (i−1
S (J). Ainsi
S (J)), d’où
s
1
1s
s
J ⊂ S −1 (i−1
S (J)).
1.2. LOCALISATION DES ANNEAUX
17
b
−1
Soit x ∈ S −1 (i−1
S (J)), il existe b ∈ iS (J) et t ∈ S tel que x = . Nous avons
t
b
= iS (b) ∈ J
1
1b
b
∈J
=⇒ =
t
t1
=⇒ x ∈ J
b ∈ i−1
S (J) =⇒
−1 −1
Ainsi S −1 (i−1
(iS (J)).
S (J)) ⊂ J et par suite on a J = S
(3) Il suffit de poser I = i−1
S (J).
Théorème 11. Soit A un anneau, S une partie multiplicative de A et p un idéal premier
−1
de A tel que p ∩ S = ∅. Alors on a p = i−1
p).
S (S
−1
−1
Démonstration. On a p ⊂ i−1
p). Soit a ∈ i−1
p), on a
S (S
S (S
−1
a ∈ i−1
p) =⇒
S (S
a
= iS (a) ∈ S −1 p
1
a
b
=
1
s
=⇒ ∃u ∈ S | uas = ub ∈ p
=⇒ ∃b ∈ p et s ∈ S |
=⇒ a ∈ p car us ∈ S et p ∩ S = ∅
−1
=⇒ i−1
p) ⊂ p
S (S
−1
On en déduit que p = i−1
p).
S (S
Théorème 12. Soit A un anneau, S une partie multiplicative de A et
SpecS (A) = {p ∈ Spec(A) | p ∩ S = ∅}
L’application ϕ : SpecS (A) → Spec(S −1 A) définie par ϕ(p) = S −1 p est une bijection.
Démonstration. Montrons d’abord que si p est un idéal premier de A tel que p ∩ S = ∅
a
b
alors S −1 p est un idéal premier de S −1 A. Soit et deux éléments de S −1 A tel que
s
t
ab
ab
=
∈ S −1 p.
st
st
18
1. LOCALISATION
Nous avons
ab −1
∈ p =⇒
st
=⇒
=⇒
=⇒
ab
p
= 0
st
s
∃s0 ∈ S | us0 ab = ustp ∈ p
ab ∈ p
a ∈ p ou b ∈ p
b
a
∈ S −1 p ou
∈ S −1 p
=⇒
s
t
−1
−1
On en déduit que S p est un idéal premier de S A.
Soit p1 ∈ SpecS (A) et p2 ∈ SpecS (A) tel que ϕ(p1 ) = ϕ(p1 ). Nous avons
∃p ∈ p et ∃s0 ∈ S |
ϕ(p1 ) = ϕ(p1 ) =⇒ S −1 p1 = S −1 p2
−1
−1
=⇒ i−1
p1 ) = i−1
p2 )
S (S
S (S
=⇒ p1 = p2
Donc ϕ est une application injective.
Soit J un idéal premier de S −1 A. Posons p = i−1
S (J), p est un idéal premier de A et
−1
J = S −1 (i−1
(J))
=
S
p
=
ϕ(p).
Donc
ϕ
est
surjective
et on en déduit que ϕ est une
S
bijection.
Soit A un anneau, S une partie multiplicative de A et I un idéal de A. On considère la
propriété suivante :
(∗)
∀s ∈ S, ∀a ∈ A,
sa ∈ I =⇒ a ∈ I
Soit I l’ensemble des idéaux de A vérifiant la condition (∗) et J l’ensemble des idáux de S −1 A.
Nous avons le résultat suivant :
Théorème 13. L’application ϕ : I −→ J définie par ϕ(I) = S −1 I est une bijection de
bijection réciproque l’application ψ : J −→ I définie par ψ(J) = i−1
S (J)
Démonstration. Montrons que ϕ est injective. Soit I1 ∈ I et I2 ∈ I tel que ϕ(I1 ) =
ϕ(I2 ), nous avons ϕ(I1 ) = ϕ(I2 ) =⇒ S −1 I1 = S −1 I2 . Montrons que I1 = I2 .
a
∈ S −1 I1
1
a
∈ S −1 I2
=⇒
1
a ∈ I1 =⇒
a
b
=
1
t
‘ =⇒ ∃u ∈ S | uta = ub ∈ I2
=⇒ a ∈ I2
=⇒ I1 ⊂ I2
=⇒ ∃b ∈ I2 et ∃t ∈ S |
1.2. LOCALISATION DES ANNEAUX
19
On montre de la même manière que I2 ⊂ I1 et en déduire que I1 = I2 . Ainsi ϕ est injective.
Soit J un idéal de S −1 A, l’ensemble I = i−1
S (J) est un idéal de A. Soit a ∈ A, s ∈ S tel que
sa ∈ I. On a
sa
sa ∈ I = i−1
= iS (sa) ∈ J
S (J) =⇒
1
a
1 sa
=⇒
= ( )∈J
1
s 1
=⇒ iS (a) ∈ J =⇒ a ∈ I
On en déduit que I vérifie la condition (∗), de plus J = ϕ(I). Ainsi ϕ est surjection, donc
elle est bijective.
Chapitre 2
Modules et Algèbres
2.1. Généralités sur les modules
Définition 20. Soit A un anneau commutatif et unitaire. Un A-module est un groupe
abélien M muni d’une application
A × M −→ M
(a, m) −→ am
vérifiant les propriétés suivantes :
i) ∀x, y ∈ M et ∀a ∈ A on a a(x + y) = ax + ay.
ii) ∀a, b ∈ A et ∀x ∈ M , on a (a + b)x = ax + bx.
iii) ∀x ∈ M et ∀a, b ∈ A, on a a(bx) = (ab)x.
iv) ∀x ∈ M , on a 1A x = x.
Exemple 4.
k-module
(1) Soit k un corps commutatif et unitaire, un k - espace vectoriel est un
(2) Soit A un anneau commutatif et unitaire, la multiplication interne définie sur A une
structure de A-module
(3) tout groupe abélien G est un Z - module
(4) Soit A un anneau commutatif et unitaire et I un idéal de A.
I et A/I sont des A-modules.
Définition 21. Soit A un anneau et M un A-module. Un sous-module de M est une
partie N de M vérifiant :
(1) N est un sous - groupe de M
(2) ∀x ∈ N,
∀a ∈ A, on a ax ∈ N .
Exemple 5.
(1) Si M est un k - espace vectoriel, les sous-modules de M sont les sous
- espaces vectoriels de M .
(2) Soit A un anneau commutatif et unitaire, les sous-modules du A - module A sont les
idéaux de A.
Définition 22. Soient A un anneau M et M 0 deux A-modules. On appelle morphisme
de A-module (ou Application A-linéaire) un application f : M −→ M 0 vérifiant :
f (ax + by) = af (x) + bf (y)
∀x, y ∈ M, ∀a, b ∈ A.
Un isomorphisme de A- modules est un morphisme bijectif.
21
22
2. MODULES ET ALGÈBRES
Le noyau de f est ker f = {x ∈ M / f (x) = 0M 0 }, ker f est un sous-module de M .
L’image de f est im f = f (M ) im f est un sous-module de M 0 .
Lemme
3. Soient M un A-module et (Ns )s∈S une famille de sous-modules de M . Alors
\
N=
Ns est un sous-module de M .
s∈S
Définition 23. Soit M un A - module et X une partie de M . Le sous-module de M
engendre par X, noté hXi est l’intersection de tous les sous-modules de M contenant X. Si
X = ∅ alors hXi = {0} et si X 6= ∅ le théorème suivante donne une description de hXi, il
montre que hXi est l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de X à coéfficients dans
A.
Proposition 7. Soit M un A-module. Pour toute partie non vide X de M , on a
X
n
∗
hXi =
ai xi | ai ∈ A, xi ∈ X et n ∈ N
i=1
Démonstration. Posons N =
n
P
∗
ai xi | ai ∈ A, xi ∈ X et n ∈ N
i=1
(1) 0 ∈ N
(2) Soient x =
n
P
ai xi ∈ N, y =
i=1
n
P
bi yi ,
a, b ∈ A. On a
i=1
ax + by =
n
X
aai xi +
i=1
m
X
b b i yi ∈ N
j=1
Donc N est un sous-module de M et de plus X ⊂ N .
Soit L un sous-module de M contenant X, n ∈ N∗ , x1 , x2 , . . . , xn ∈ X et
a1 , a2 , . . . , an ∈ A. Comme L est un sous-module de M et xi ∈ L, on a ai xi ∈ L
n
P
∀i ∈ [[1, n]] et par suite
ai xi ∈ L. Ainsi N ⊂ L, on en déduit que N = hXi.
i=1
Notation 1. Si X = {x1 , x2 , . . . , xn } est fini, on note hXi = Ax1 + Ax2 + · · · + Axn .
2.1.1. Somme directe de modules.
Définition 24. Soit M un A-module et M1 , · · · , Mn une famille de sous-modules de M .
La somme de M1 , · · · , Mn est l’ensemble
n
X
Mk = {x1 + x2 + · · · + xn | xk ∈ Mk ∀k}
k=1
Définition 25. Soit M un A-module et (Ms )s∈S une famille de sous-modules
de M . La
[
P
somme des Ms ,
Ms est le sous-module de M engendré par la réunion
Ms la somme
s∈S
s∈S
2.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES MODULES
P
Ms ou (ms )s∈S est l’ensemble des éléments
s∈S
P
23
ms ou (ms )s∈S est une famille d’éléments
s∈S
nuls sauf pour un nombre fini telle que ms ∈ Ms
∀s ∈ S.
Définition 26. Soit M un A-module et soit (Ms )s∈S une famille de sous-modules de M .
On dit que M est une somme directe
P des sous-modules Ms si tout x ∈ M se décompose de
manière unique sous la forme x =
xs où xs ∈ Ms sont nuls sauf pour un nombre fini. On
s∈S
M
note M =
Ms .
s∈S
Définition 27. Un A - module M est indécomposable s’il est non nul et si pour tous
sous-modules P et Q de M , on a
M = P ⊕ Q =⇒ P = 0 ou Q = 0.
Définition 28. Soit M un A - module. Deux sous-modules P et Q de M sont supplémentaires dans M si M = P ⊕ Q.
Proposition
8. Soit M un A-module et (Mi )i∈I une famille de sous-modules de M .
M
Mi si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
Alors M =
i∈I
(1) M =
P
Mi
i∈I
(2) Pour tous xi ∈ Mi presque tous nuls,
P
xi = 0 =⇒ xi = 0 ∀i ∈ I.
i∈I
Définition 29. Soient A un anneau
et (Mi )i∈I une famille de A-modules indexée par un
Q
ensemble non vide I. L’ensemble
Mi = {(mi )i∈I | mi ∈ Mi } est appelé produit direct des
i∈I
A-modules Mi .
Q
Mi
i∈I
(m0i )i∈I
On définit sur le produit
les deux opératins suivantes :
0
et a ∈ A, on pose m+m0 = (mi +m0i )i∈I et am = (ami )i∈I .
Pour m =
Q(mi )i∈I , m =
L’ensemble
Mi muni de ces deux lois est un A-module appelé produit des A-modules Mi .
i∈I
Définition 30. Soient A un anneau et (Mi )i∈I une famille de A-modules indexée par
un ensemble non vide I. Le sous ensemble constitué des (mi )i∈I Q
tel que les mi sont nuls sauf
pour un nombre fini des indices i ∈ I est un sous module de
Mi appelé somme directe
i∈I
M
externe des A modules Mi . Ce sous module se note
Mi .
i∈I
Soit A un anneau et I un ensemble. On pose AI = {(mi )i∈I | mi ∈ A} et
A(I) = {(mi )i∈I tel que mi ∈ A et mi = 0 sauf pour un nombre fini des i ∈ I}.
Définition 31. Un A-module M est dit libre s’il existe un ensemble I tel que M soit
isomorphe à A(I) .
24
2. MODULES ET ALGÈBRES
2.1.2. Modules quotients. Soit M un A-module et N un sous-module de N . On définit
une relation d’équivalence sur M de la manière suivante :
∀x, x0 ∈ M, xRN x0 ⇐⇒ x − x0 ∈ N . La classe d’équivalence de x ∈ M , notée x est
x=x+N =
x + n | n ∈ N . L’ensemble quotient de M par RN est noté M/N et
π : M −→ M/N la surjection canonique. Le lemme suivant montre que la relation
d’équivalence RN est compatible avec la structure de A-module de M .
Lemme 4. La relationn d’équivalence RN est compatible avec la structure de A-module
de M . C’est - à - dire
∀x, x0 , y, y 0 ∈ M, ∀a, b ∈ A, x RN x0 et y RN y 0 =⇒ ax + by RN ax0 + by 0 .
Démonstration. Nous avons x RN x0 et y RN y 0 =⇒ ∃n1 , n2 ∈ N / x = x0 +n1 et y =
y 0 + n2
ax + by = ax0 + by 0 = an1 + bn2 .
(ax + by) − (ax0 + by 0 ) = an1 + bn2 ∈ N =⇒ ax + by RN ax0 = by 0
Théorème 14. Soit M un A-module et N un sous-module de M .
L’ensemble quotient M/N est muni d’une structure de A-module tel que la surjection canonique π : M −→ M/N est A- linéaire et son noyau est N .
Démonstration. Les applications suivantes sont bien définies
M/N × M/N −→ M/N
(x, y) −→ x + y
et
A × M/N −→ M/N
.
(a, x) −→ xx
On vérifie que M/N vérifie les propriétés des A-modules et que π est A-linéaire.
Définition 32. Le A - module M/N est appelé A-module quotient de M par N et
π : M −→ M/N
x −→ x
la projection canonique de M sur M/N .
Théorème 15. Soient M et M 0 deux A - modules. Soit N un sous-module de M . Pour
tout A - module M 0 et toute application linéaire f : M −→ M 0 tel que N ⊂ ker f , il existe
une et une seule application linéaire f : M/N −→ M 0 telle que f = f ◦ π.
Imf = Imf, ker f = π(ker f ). f est injective si et seulement si ker f = N .
Démonstration. On considère f : M/N −→ M 0 définie par f¯(x̄) = f (x). Montrons que
f¯ est bien définie. Soit x1 ∈ M et x2 ∈ M tel que x1 = x2 , il existe n ∈ N tel que x2 = x1 + n.
On a f (x2 ) = f (x1 + n) = f (x1 ) + f (n) = f (x1 ) car N ⊂ ker f , donc f (x1 ) = f (x2 ), ainsi f
est bien définie.
2.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES MODULES
25
Montrons que f¯ est linéaire, soient x, y ∈ M/N et a, b ∈ A. Nous avons
f (ax + by) = f ((ax + by)
= f (ax + by) = af (x) + bf (y)
= af (x) + bf (y)
On en déduit que f est linéaire.
Corollaire 2. (Premier théorème d’isomorphisme)
Soient M et M 0 deux A - modules et f : M −→ M 0 une application linéaire. Alors M/ ker f
et Imf sont des A-modules isomorphes.
2.1.3. Suites exactes de modules.
Définition 33. Un complexe de A - modules est un diagramme de morphisme
f1
f2
fn
Mo −→ M1 −→ M2 −→ · · · −→ Mn−1 −→ Mn
tel que fi ◦ fi−1 = 0 ∀i ∈ [[2, n]].
Définition 34. Une suite exacte de A-modules est un diagramme
f1
f2
fn
fi
Mo −→ M1 −→ M2 −→ · · · −→ Mn−1 −→ Mi −→ · · · −→ Mn−1 −→ Mn .
tel que ker fi = im fi−1
∀i ∈ [[2, n]].
Toute suite exacte de A-modules est un complexe de A-modules.
Exemple 6.
(1) Soit A un anneau, M et N des A-modules et f : M −→ N un
morphisme alors
0 −→ ker f −→ M −→ im f −→ 0 et 0 −→ im f −→ N −→ N/ im f −→ 0
sont des suites exactes de A-modules.
(2) Soit A un anneau, M un A-modules, N un sous modules de M et
i : N −→ M l’injection canonique et π : M −→ M/N la surjection canonique.
Alors
i
π
0 −→ N −→ M −→ M/N −→ 0
est une suite exacte de A-module.
(3) Soit A un anneau, M et N des A-modules. Soit f : M −→ M ⊕ N définie par
i(m) = (x, 0) et g : M ⊕ N −→ N définie par g(m, n) = n. Alors
f
g
0 −→ M −→ M ⊕ N −→ N −→ 0
est une suite exacte de A-module.
(4) Soit A un anneau, M un A-module, M1 et M2 des sous modules de M . Alors
f
g
0 −→ M1 ∩ M2 −→ M1 ⊕ M2 −→ M1 + M2 −→ 0
est une suite exacte où f (x) = (m, −m) et g(m, n) = m + n.
26
2. MODULES ET ALGÈBRES
Définition 35. Soit f : M −→ N un morphisme de A-module. Le A- module quotient
N/f (M ) est appelé conoyau de f et se note coker f .
i
p
p
βo =1
Proposition 9. Une suite de A- modules 0 −→ Mo −→ M1 −→ M2 −→ est exacte si et
seulement si i injectif, p surjectif et ker p = im i.
Dans ces conditions N est isomorphe à i(Mo ) et M2 est isomorphe à M1 /i(Mo ).
α =1
i
o
Démonstration. La suite {0} −→
Mo −→ M1 −→ M2 −→ {0} est exacte si et
seulement si {0} = Im αo = ker i, im i = ker p et im p = ker βo = M2 .
Donc elle est exacte si et seulement si i injectif, im i = ker p et p injectif. Comme i est
injectif, i définit un isomorphisme de Mo sur i(Mo ). D’après le théorème d’isomorphisme
M1 /i(Mo ) = M1 / ker p est isomorphe à im p = M2 .
Théorème 16. (Lemme du serpent)
On considère un diagramme de morphismes de A-modules
0
0
-
-
i
Mo
-
M1
p
-
M2
f
g
h
?
?
?
i0
Mo0
-
M10
p0
-
M20
-
0
-
0 .
Dans lequel les deux lignes sont exactes, i0 ◦ f = g ◦ i, p0 ◦ g = h ◦ p.
alors il existe un morphisme ∂ : ker h −→ Coker tel que l’on ait une suite exacte
i
p∗
i0
∂
p0
∗
∗
∗
Cokerg −→
Cokerh −→ 0.
0 −→ ker f −→
ker g −→ ker h −→ Cokerf −→
t
t
1
2
Définition 36. Soit 0 −→ Mo −→
M1 −→
M2 −→ 0 une suite exacte de A-modules.
On dit que cette suite exacte est scindée si f1 (Mo ) est un facteur direct de M1 , c’est à dire a
un supplémentaire dans M1 .
Définition 37. Un A - module P est dit projectif si toute suite exacte courte
−→ N −→ M −→ P −→ 0
est scindée.
2.2. Algèbres
Définition 38. Soit k un anneau. Une k-algèbre est la donnée d’un couple (A, i) où A
est un anneau et i : k −→ A est un morphisme d’anneaux appelé morphisme structural de
la k-algèbre A.
2.2. ALGÈBRES
27
Remarque 2. Une k-algèbre A est muni d’une structure de k-module par
k × A −→ A
.
(λ, a) −→ λ.a = i(λ)a
Définition 39. Soit k un anneau, (A, i) et (B, j) deux k-algèbres. Un morphisme kalgèbres est un morphisme d’anneaux f : A −→ B tel que f (i(λ)) = j(λ) pour tout λ ∈ k.
Définition 40. Soit k un anneau et (B une k-algèbre. Une sous k-algèbre de B est un
sous anneau ’anneaux A de B muni d’une structure de sous module du k-module B.
Exemple 7.
(1) Tout anneau A est une Z-algèbre :
i : Z −→ A
.
q −→ q.1A
(2) Soit k un anneau et I un idéal de k, l’anneau quotient k/I est une k-algèbre.
2.2.1. Algèbre des polynômes.
2.2.1.1. Anneaux de Polynômes à une indéterminée.
Définition 41. Soit A un anneau, on appelle polynôme à une indéterminée à coefficients
dans A, une suite d’éléments de A n’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls.
On note un tel polynôme par P = (ai )i∈N = (ao , · · · , an , · · · ) les éléments non nuls ai sont
appelés les coefficients du polynôme P.
Définition 42. Soit A un anneau et P = (ai )i ∈ N un polynôme à coefficients dans A
et n = max{i/ai 6= 0}, le coefficient an est appelé coefficient dominant de P. Si an = 1,
on dit que P est un polynôme unitaire ou normalisé. On définit dans l’ensemble B des
polynômes à une indéterminée à coefficients dans A les deux opérations suivantes :
- Addition :
P = (ai )i∈N et Q = (bi )i∈N
P + Q = (si )i∈N avec si = ai + bi , la loi + est interne dans B.
- Multiplication :
X
cn =
ai b j .
P = (ai )i∈N et Q = (bi )i∈N ,
P Q = (cn )i∈N avec
i+j=n
Théorème 17. Le triplet (B, +, ×) est un anneau et
i : A −→ b
A
−→ (a, 0, · · · )
est un morphisme injectif d’anneaux.
Démonstration.
(1) Il est clair que (B, +) est un groupe abélien
28
2. MODULES ET ALGÈBRES
(2) Soit P = (bi )i∈N et Q = (bi )i∈N . Nous avons
X
PQ =
ap b q
i∈N
p+q=n
=
X
b q ap
i∈N
p+q=n
= QP
La loi × est commutative.
(3) Soit PX= (ai )i∈N , Q = (bi )i∈N et R = (ci )i∈N . On a d’une part P Q = (ds )s∈N avec
ds =
ap bq , ainsi (P Q)R = (ei )i∈N avec
p+q=s
X
en =
ds cr
s+r=n
X
=
as
X
XX
s+r=n
ap b q c r
p+q=s
X
=
ap b q c r
p+q=s
s+r=n
=
ap b q c r
p+q+r=n
D’autre part nous avons P (QR) = (QP )P = (fi )i∈N
X
X
ap b q c r = e n
b q c r ap =
fn =
p+q+r=n
p+q+r=n
donc
(P Q)R = P (QR) d’où la loi × est associative.
(4) Soit (P = (ai )i∈N , Q = (bi )i∈N et R = (ci )i∈N . Nous avons P (Q + R) = (dn )i∈N avec
X
dn =
ap (bq + cq )
p+q=n
=
X
(ap bq + ap cq )
p+q=n
=
X
ap b q +
p+q=n
X
ap c q
p+q=n
donc P (Q+R) = P Q+P R, la multiplication est distributive par rapport à l’addition.
(5) Notons 1B = (1, 0, · · · , 0, · · · ) et soit P = (bi )i∈N , nous avons
X
P 1B = (dn )i∈N avec dn =
ap b q = an
p+q=n
2.2. ALGÈBRES
29
car le seul terme non nul de cette somme est celui pour lequel p = 0 et q = n donc
P 1B = P, 1B est l’élément unité de B.
(6) Soit (a, b) ∈ A2 on a
i(a + b) = (a + b, 0, · · · 0, · · · ) = i(a) + i(b),
i(ab) = (a, 0, · · · , 0, · · · ) = i(a) i(b) et i(1) = (1, 0, · · · ) = 1B .
Donc i est un morphisme d’anneaux, de plus i est injectif.
Notations : Posons X = (0, 1, 0, · · · , 0, · · · )
z }| {
X 2 = (0, 0, 1, 0, · · · ), · · · , X k = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0)
Nous avons
P = (a0 , a1 , · · · , an , 0, · · · )
= a0 (1, 0, · · · , 0) + a1 (0, 1, 0, · · · ) + · · · + an (0, · · · , 1, · · · )
X
ak X k ,
=
k∈N
Définition 43. Le polynôme P = (ai )i∈N est nul si ai = 0 ∀i ∈ N
X
ak X k un polynôme non nul. On appelle degré de P,
Définition 44. Soit P (X) =
k∈N
le nombre n = max{i | ai 6= 0} on le note deg(P ).
Remarque 3.
+∞).
(1) Si P est le polynôme nul, on pose deg(P ) = −∞ et val(P ) =
n
X
ak X k . Le coéfficient an est
(2) Si P est non nul et si n = deg(P ) alors P (X) =
k=0
appelé coéfficient dominant de P.
Proposition 10. Nous avons les propriétés suivantes :
(1) deg(P + Q) ≤ max(deg(P ), deg(Q)
(2) Si deg(P ) 6= deg(Q) alors deg(P + Q) = max(deg(P ), deg(Q))
(3) deg(P Q) ≤ deg(P ) + deg(Q)
(4) Si A n’a pas de diviseur de zéro, alors deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q). En particulier
si A est intègre alors A[X] est intègre.
Démonstration.
(1) Nous avons
n > max(deg(P ), deg(Q)) =⇒ n > deg(P ) et n > deg(Q)
=⇒ an = 0 et bn = 0
=⇒ an + bn = 0
Donc deg(P + Q) ≤ max(deg(P ), deg(Q)
30
2. MODULES ET ALGÈBRES
(2) Notons deg(P ) = m et deg(Q) = ` et on supposons m < `, donc N = max(m, `) = `.
On a aN + bN = a` + b` = b` 6= 0, donc
deg(P + Q) = ` = max(deg(P ), deg(Q))
(3) Posons P = (ai )i∈N avec ap = 0 si p > m et Q = (bi )i∈N ,avec bq = 0 si q > `.
X
Nous avons P Q = (cn )i∈N avec cn =
ap bq . Soit n ∈ N tel que n > ` + m, on
p+q=n
a ap = 0 et bq = 0, donc cn = 0. On en déduit que
deg(P Q) ≤ m + ` = deg(P ) + deg(Q)
X
(4) Posons P Q = (cn )i∈N avec cn =
ap bq , on a
p+q=n
cn+` =
X
ap bq = am b` 6= 0 car am 6= 0 et b` 6= 0
p+q=m+`
et A intègre, donc deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q). Soit P = (ai )i∈N 6= 0, Q =
(bi )i∈N 6= 0 avec m = deg(P ), ` = deg(Q) et P Q = (cn )i∈N .
On a deg(P Q) = m + ` donc cm+` = am b` 6= 0, d’où P Q 6= 0. On en déduit que
l’anneau A[X] est intègre.
n
X
Théorème 18. Soit A un anneau et P =
ai X i un polynôme à coéficients dans A.
i=0
Alors :
(1) Le polynôme P est un diviseur de zéro dans A[X] si et seulement si il existe b ∈ A
non nul tel que bP = 0.
(2) Le polynôme P est nilpotent si et seulement si les coéficients a0 , a1 , · · · , an sont nilpotents.
(3) Le polynôme P est inversible dans A[X] si et seulement si a0 est inversible dans A et
les a1 , · · · , an sont nilpotents.
n
X
Démonstration. Soit P =
ai X i un polynôme à coéficients dans A.
i=0
(1) S’il existe b ∈ A non nul tel que bP = 0 alors P est un diviseur de zéro.
Réciproquement si que P est un diviseur de zéro, il existe H ∈ A[X] non nul tel
que P H = 0. L’ensemble
{deg(H) | H 6= 0 et P H = 0}
est une partie non vide de N, donc admet un minimum m. Soit Q =
m
X
j=0
tel que P Q = 0. On a
P Q = bm an X m+n + (bm an−1 + bm−1 an )X m+n−1 + · · · = 0,
bi X i ∈ A[X]
2.2. ALGÈBRES
31
donc bm an = 0. Montrons que bm P = 0. Si bm P 6= 0, il existe un entier i tel que
0 ≤ i ≤ n et bm ai 6= 0. Soit an−k le premier des coéfficients de P tel que bm an−k 6= 0,
on a
bm an = bm an−1 = · · · = bm an−k+1 = 0.
Comme (al Q)P = 0 et deg(al Q) < deg(Q) pour n − k + 1 ≤ l ≤ n, nous avons al Q = 0
à cause de la minimalité de deg(Q). En posant P1 = an X n + · · · + an−k+1 X n−k+1 et
P2 = an−k X n−k + · · · + a0 , nous avons P = P1 + P2 et P1 Q = 0, donc 0 = P Q =
P1 Q + P2 Q = P2 Q, ainsi bm an−k = 0. Ce qui contredit le choix an−k , on en déduit que
bm P = 0.
(2) Si les coéfficients ai de P sont nilpotents alors P est nilpotent. Réciproquement supposons que P est nilpotent montrons par récurrence sur n = deg(P ) que les coéfficients
ai sont nilpotents. La propriété est vraie pour n = 0, supposons n ≥ 1 et la propriété
vraie pour polynôme de degré strictement inférieur à n. Posons P1 = P −an X n , comme
P est nilpotent, il existe m ∈ N tel que
m X
m
m
n m
P = (P1 + an X ) =
P1i am−i
X n(m−i) = 0.
n
i
i=0
Ce qui implique
mn
am
nX
+
m X
m
i=1
i
am−i
X n(m−i) P1i = 0,
n
donc am
n = 0 et an est nilpotent, ainsi P1 est nilpotent. Comme deg(P1 ) < n, l’hypothèse de récurrence entraîne que les coéfficients a0 , · · · an−1 sont nilpotents.
(3) Supposons que a0 inversible, les a1 , · · · an sont nilpotents et posons P = a0 +P1 , d’après
2) le polynôme P1 est nilpotent. Soit d l’indice de nilpotence de P1 et Q1 = a−1
0 P1 , on
a Q1 = a−1
P
=
1
−
Q
donc
1
0
d−1
d
a−1
0 P (1 + Q1 + · · · + Q1 ) = 1 − Q1 = 1
donc le polynôme P est inversible. Réciproquement supposons que P est inversible
montrons par récurrence sur n = deg(P ) que a0 inversible et les coéfficients a1 , · · · an
sont nilpotents. Si n = 0 alors P = a0 est inversible, supposons n ≥ 1 et la propriété
vraie pour polynôme inversible de degré strictement inférieur à n. Comme P est inverm
m+n
X
XX
i
sible, il existe un polynôme Q =
bi X ∈ A[X] tel que P Q =
ai bj X k = 1.
j=0
k=0 i+j=k
On a
an b m
an bm−1 + an−1 bm
an bm−2 + an−1 bm−1 + an−2 bm
..
.
a1 b 0 + a0 b 1
a0 b 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 1
32
2. MODULES ET ALGÈBRES
La dernière équation montre que a0 et b0 sont inversibles. En multipliant la seconde
équation par an et la troisième par a2n on obtient a2n bm−1 = 0 et a3n bm−2 = 0. En rítérant
= 0 ainsi an est nilpotent. On considère l’anneau
b0 = 0, d’où am+1
le procedé on a am+1
n
n
n−1
X
quotient A[X]/hX n i, on a P̄ =
ai X̄ i . La relation P Q = 1 implique P̄ Q̄ = 1, donc P̄
i=0
est inversible. Par hypothèse de récurrence les coéfficients a1 , · · · , an−1 sont nilpotents
ainsi nous avons le résultat.
Théorème 19. Soit A un anneau, P ∈ A[X] non nul dont le coefficient dominant est
inversible dans A. Alors ∀F ∈ A[X] il existe un unique couple (Q, R) ∈ (A[X])2 tel que
F = PQ + R
avec
deg(R) < deg(Q).
Démonstration. Elle se fait par une récurrence forte sur n = deg(F ). Quitte à multiplier par l’inverse du coefficient dominant de P on peut supposer que P est normalisé. Posons
deg(P ) = m. Si deg(F ) < deg(P ), on pose Q = 0 et R = F.
Supposons deg(F ) = n ≥ m = deg(P ), si n = 0 alors R = 0 la propriété est vraie
pour n = 0. Supposons le résultat vrai pour tout polynôme de degré strictement inférieur
n
X
ak X k , le polynôme an P X n−m est de degré n et sont coefficient domià n. Soit F =
k=0
nant est an . Posons T = F − an P X n−m , on a deg(T ) < n. Par hypothèse de récurrence,
∃(Q1 , R1 ) ∈ (A[X])2 tel que T = P Q1 + R1 avec deg(R1 ) < deg(P ).
F = T + an P X n−m = P Q1 + R1 + an X n−m Q
.
= (H1 + an X n−m )Q + R1 avec deg(Q1 ) < deg(P )
Posons Q = Q1 + an X n−m et R = R1 , on a F = P Q + R et deg(R) < deg(P ).
Unicité : F = P Q1 + R1 = P Q2 + R2 avec deg(R1 ) < deg(P ) et deg(R2 < deg(P ). Nous
avons,
0 = (Q1 − Q2 )P + R1 − R2 =⇒ R2 − R1 = (Q1 − Q2 )P.
Si H1 − H2 6= 0. Comme le coefficient dominant de P est 1, alors on a deg(R2 − R1 ) =
deg((Q1 − Q2 )P ) ≥ deg(P ) or deg(R2 − R1 ) ≤ max(deg(R1 ), deg(R2 )) < deg(P ). Ainsi,
R1 = R2 et Q1 = Q2 d’où l’unicité.
Théorème 20. Soit A un anneau, P ∈ A[X] non nul dont le coefficient a. Alors pour
tout F ∈ A[X], il existe k ∈ N et Q, R ∈ A[X] tels que
ak F = P Q + R
avec
deg(R) < deg(Q).
On peut poser k = max{0, 1 + deg(F ) − deg(P )}
Démonstration. Posons P =
n
X
i=0
i
ai X avec an = a et F =
m
X
bj X j .
j=0
Si deg(F ) < deg(P ) alors on prend k = 0, Q = 0 et R = F . Supposons deg(F ) ≥ deg(P ) et
montrons la propriété par récurrence sur m = deg(F ). Si m = 0 alors n = 0 et le résultat
2.2. ALGÈBRES
33
est vrai. Supposons m ≥ 1 et la propriété vraie pour tout polynôme de degré strictement
inférieur à m. Posons F1 = aF − bm X m−n P , on a deg(F1 ) < m, par hypothèse de récurrence,
il existe un entier naturel k1 ∈ N, Q1 et R deux polynômes à coéfficients dans A tels que
ak1 F1 = P Q1 + R avec deg(R) < deg(Q) et k1 = max{0, 1 + deg(F1 ) − deg(P )}. En posant
k = k1 + 1, Q = Q1 + ak1 bm X m−n , on a ak F = P Q + R.
Définition 45. Soit A un anneau, x0 ∈ A et P = a0 + a1 X + · · · + an X n . On appelle
évaluation de P en x0 le scalaire
evalx0 (P ) = P (x0 ) = a0 + a1 x0 + · · · + an xn0 ∈ A.
Si B est un anneau contenant A comme sous - anneau
Q ∈ A[X],
P (Q) = a0 + a1 Q + · · · + an Qn .
Proposition 11. Soit A un anneau, xo ∈ A alors l’application
evalxo : A[X] −→ A
P −→ evalxo (P )
est un morphisme d’anneaux
Démonstration.
(1) Soit P, Q ∈ A[X], on a evalx0 (P +Q) = (P +Q)(x0 ) = P (x0 )+
Q(x0 ) = evalx0 (P ) = evalx0 (Q)
X
ap bq . Nous avons
(2) P = (ai )i∈N et Q = (bi )i∈N ,on a P Q = (cn )n∈N avec cn =
p+q=n
evalx0 (P Q) =
X X
n∈N
=
ap bq xp+q
0
p+q=n
X X
(ap xp0 )(bq xq0 )
n∈N p+q=n
=
XX p
ap x0 bq xq0
p
=
X
q∈N
q
ap xp0
X
bp xq0
q∈N
(3) evalx0 1A[X] = 1A[X] (x0 ) = 1.
Définition 46. Soit A un anneau et P ∈ A[X], une racine de P est un élément
a ∈ A (ou d’un anneau contenant A) tel que P (a) = 0.
Proposition 12. Soit a ∈ A et P ∈ A[X], alors P est un multiple de X − a si et
seulement si P (a) = 0.
34
2. MODULES ET ALGÈBRES
Démonstration. La division euclidienne de P par X − a donne
P (X) = (X − a)Q(X) + R(X)
avec deg(R) ≤ 0, donc R = P (a) est une constante. Comme P (a) = 0, on a
P (X) = (X − a) Q(X)
Définition 47. Soit P ∈ A[X] et a une racine de P, la multiplicité de a est le plus
grand entier m tel que (X − a)m divise P, a une racine simple si m = 1.
X
Définition 48. Soit P ∈ A[X], P (X) =
an X n . La dérivée formelle de P est
k∈N
0
P (X) =
X
nan X
n−1
.
n≥1
si
Proposition 13. Soit a ∈ A et P ∈ A[X], a une racine simple de P si et seulement
P 0 (a) 6= 0.
Démonstration. Si a est une racine de P de multiplicité m alors
P (X) = (X − a)m Q(X) avec Q(a) 6= 0.
Théorème 21. (changement de l’anneau de base)
Soit f : A −→ B un morphisme non nul d’anneaux.
alors il existe un et un seul morphisme d’anneaux ϕ : A[X] −→ B[Y ] qui prolonge f et
transforme l’indétermine X de A[X] en l’indéterminée Y de B[Y ].
Démonstration.
ϕ : A[X] −→ B[Y ]
X
X
P =
an X n −→ ϕ(P ) =
ϕ(an )Y n
n∈N
n∈N
répond à la question.
2.2.1.2. Anneaux de Polynôme à plusieurs indéterminées.
Définition 49. Soit A un anneau et n ≥ 1 un entier. On définit par récurrence sur
n l’anneau A[X1 , · · · , Xn ] des polynômes à n déterminées X1 , · · · , Xn par :
- Si n ≥ 2, A[X1 , · · · , Xn−1 , Xn ] = A[X1 , · · · , Xn−1 ][Xn ] est l’anneau des polynômes à
une indéterminée Xn à coéfficients dans A[X1 , · · · , Xn−1 ]. Un élément P ∈ A[X1 , · · · , Xn ]
s’écrit sous la forme
X
P (X1 , · · · , Xn ) =
aα1 ,··· ,αn X1α1 X2α2 · · · Xnαn .
α=(α1 ,··· ,αn )∈Nn
Les aα = aα1 ,··· ,αn étant nuls sauf pour un nombre fini.
Remarque 4.
(1) Pour α = (α1 , · · · , αn ), on note |α| = α1 + · · · + αn
2.2. ALGÈBRES
35
(2) Soit σ ∈ Sn , une permutation, A[X1 , · · · , Xn ] = A[Xσ(1) , · · · , Xσ(n) ]
(3) Soit m ∈ N tel que m ≤ n, A[X1 , · · · , Xn ] = A[X1 , · · · , Xm ] = A[Xm+1 , · · · , Xm ].
Définition 50. Un élément de A[X1 , · · · , Xn ] de la forme aα X1α1 , · · · , Xnαn est appelé
monôme.
6 0. Le degré total de ce
Un terme est un élément de la forme aα X1α1 , · · · , Xnαn avec aα =
n
X
terme est |α| =
αi et les αi sont les degrés partiels.
i=1
Définition 51. Soit P =
X
aα X1α1 · · · Xnαn un polynôme non nul, le degré total de P
α∈N
est le maximum des degrés des monomes non nuls dont il est la somme,
X
n
deg(P ) = max
αi = |α| | aα 6= 0
i=1
deg(0) = −∞ et deg(P + Q) ≤ sup deg(P ) + deg(Q)
Définition 52. Un polynôme P =
n
X
aα X1α1 · · · Xnα est dit homogène de degré s si
α∈Nn
P 6= 0 et si tous les monomes aα X1α1 · · · Xnαn ont le même degré |α| = s.
Proposition 14. Soit P et Q deux polynômes homogènes de degré s et t. Si
P Q 6= 0 alors P Q est homogène de degré s + t.
Démonstration. Posons P =
X
aα X1α1
· · · Xnαn
α∈Nn
avec
n
X
n
X
X
bβ X1β1 · · · Xnβn
avec
αi = s et Q =
β∈Nn
i=1
βj = s.
j=1
Si P Q 6= 0, il existe au moins un terme cγ =
X
aα bβ non nul et chaque cγ non nul est
α+β=γ
le coefficient du monôme cγ X1α1 +β1 X2α2 +β2 · · · Xnαn +βn de degré
n
X
(αi + βi ) = s + t.
i=1
Proposition 15. Un polynôme P de degré m s’écrit de manière unique comme somme
de Polynômes P = Po + P1 + · · · + Pm ou Ps est soit nul soit homogène de degré s et ou
Pm 6= 0.
X
Démonstration. Soir P =
aα X1α1 · · · Xnαn +αn , le polynôme P somme de monômes
deux à deux distincts. On définit Ps comme étant 0 ou la somme de tous les monômes de
degré s, on a Pm 6= 0. La décomposition est unique car si deux polynômes homogènes sont
égaux, ils ont même degré.
36
2. MODULES ET ALGÈBRES
Corollaire 3. Soient P et Q ∈ A[X1 , · · · , Xn ] et si P Q 6= 0 alors
deg(P Q) ≤ deg(P ) + deg(Q).
Démonstration. Soient P = P0 + P1 + · · · + Ps et Q = Q0 + Q1 + · · · + Qr avec Pi est
homogène de degré i et Qj est homogène de degré j. On a
X
P Q = P0 Q0 + · · · +
Pi Qj + · · · + Ps Qr ,
i+j=h
les termes
P0 Q0 ,
X
X
Pi Qj , · · · ,
i+j=1
Pi Qj , · · · , Ps Qr
i+j=h
sont soit nul soit nuls soit homogènes de degré 0, 1, · · · , h, · · · , s + t, donc
deg(P Q) ≤ s + t.
Théorème 22. Soit f : A −→ B un morphisme d’anneaux et soit y1 , y2 , · · · , yn ∈ B.
Alors il existe un morphisme unique d’anneaux
ϕ : A[X1 , · · · , Xn ] −→ B
tel que ϕ
A
= f et ϕ(Xi ) = yi .
Démonstration. Soit P =
X
aα X1α1 · · · Xnαn , on définit l’application
α∈Nn
ϕ : AX1 , · · · , Xn ] −→ b
X
P −→ ϕ(P ) =
f (aα )y1α1 · · · ynαn .
α∈Nn
Nous avons ϕ(Xi ) = yi et
X
X
α1
α1
αn
αn
aα X 1 · · · X n +
bα X 1 · · · X n
ϕ(P + Q) = ϕ
α∈Nn
=
X
α∈Nn
f (aα + bα )y1α1 · · · ynαn =
X
f (aα )y1α1 · · · ynαn +
α∈Nn
α∈Nn
X
f (bα )y1α1 · · · ynαn
β∈Nn
= ϕ(P ) + ϕ(Q)
De plus on a ϕ(a) = f (a)X ∀a ∈ A. Montrons que ϕ(P
Q) = ϕ(P )ϕ(Q).
X
α1
αn
Posons H = P Q =
cγ X1 · · · Xn avec Cγ =
aα bβ . On a
γ
α+β=γ
ϕ(H) =
X
γ∈Nn
f (cγ ) y1γ1 · · · Xnγn .
2.2. ALGÈBRES
Or f (cγ ) =
X
37
f (aα ) f (bβ ), donc
α+β=γ
ϕ(H) =
X X
γ∈Nn
=
=
α+β=γ
X X
γ∈Nn
X
f (aα )f (bβ ) y1α1 · · · ynαn
f (aα )f (bβ )
y1α1 +β1
y2α2 +β2
· · · ynαn +βn
α+β=γ
f (aα )y1α1
γ∈Nn
· · · ynαn
X
f (bα )y1β1
y2β2
· · · ynαn
γ∈Nn
= ϕ(P ) ϕ(Q)
Donc ϕ est un morphisme d’anneaux, l’unicité de ϕ découle de la définition.
2.2.2. Sous - anneau engendré. Soit A un anneau, X une partie quelconque de
A, le sous - anneau B de A engendré par X est l’intersection des sous - anneaux de
A contenant X, c’est le plus petit sous - anneau de A contenant X le sous anneau B
contient 0 et l’unité 1A de A, donc B contient le sous - anneau premier Zn de A. B est
le plus petit sous - anneau de A contenant X et Zn .
Soit I un ensemble et D = {Xi | i ∈ I} un ensemble d’indéterminées indexé par I. Pour
toute partie K = {i1 , i2 , · · · , it } (t ∈ N∗ ) et I, on note AK = A[Xi1 , · · · , Xit ] l’anneau
des polynômes à coefficients dans A en les t = card K interminées Xi1 , · · · , Xit , ik ∈ K.
Si K et L sont deux parties finies de I, on a AK ⊂ AK∪L et AL ⊂ AK∪L .
Notons F(I) l’ensemble des parties finies non vides de I et on définit
[
A[D] = A[Xi | i ∈ I] =
AK .
K∈F(I)
Soit P, Q ∈ [Xi | i ∈ I], il existe une partie finie non vide K de I tel que P ∈ AK et
Q ∈ AK . On définit P + Q et P Q dans A[Xi | i ∈ I], ou comme étant la somme P + Q
et le produit P Q dans AK . L’ensemble A[Xi | i ∈ I] est un anneau contenant A comme
sous - anneau. De plus l’anneau AK est un sous - anneau de A[Xi | i ∈ I].
Théorème 23. Soit A un anneau de sous - anneau premier Zn (= Z si n = 0 ou si
Z/nZ si n > 0) et ∧ une partie non vide de A.
Alors le sous - anneau de A engendré par ∧ est l’ensemble de toutes les expressions
polynomiales d’éléments de ∧ à coefficients dans Z
Démonstration. Soit {Xα /α ∈ ∧} un ensemble d’indéterminée indexées par ∧.
Considérons l’application
ϕ : Zn [Xα /α ∈ ∧] −→ A
P (α) −→ ϕ(P ) = P (αi1 , · · · , αit )
où P ∈ Zn [Xαi1 , Xαi2 , · · · , Xαit ], αik ∈ A, 1 ≤ k ≤ t.
Dans l’expression de P ne figurent que les indéterminées Xαi1 , Xαi2 , · · · , Xαit indexées par
38
2. MODULES ET ALGÈBRES
les éléments αi1 , · · · , αit de ∧.
ϕ(P ) = P (αi1 , · · · , αit où l’on substitue αik à Xik .
Soit P (Xαi1 , Xαi2 , · · · , Xαit ) et Q(Xβj1 , Xβj2 , · · · , Xβjs ) ∈ Zn [Xα /α ∈ ∧].
Q(P + Q) = P (αi1 , · · · , αit ) + Q(βj1 , · · · , βjs )
= ϕ(P ) + ϕ(Q)
ϕ(P Q)
= ϕ(P ) ϕ(Q) et ϕ(1Zn ) = 1A .
ϕ est un morphisme d’anneaux, Imϕ est un sous - anneau de A.
Soit α ∈ ∧ et P = Xα , ϕ(P ) = α, donc ∧ ⊂ Imϕ.
Soit B un sous -anneau de A contenant ∧, comme 1A ∈ B, B contient toute
expression polynomiale d’éléments de ∧ à coefficients dans Zn , donc Imϕ ⊂ B. Par
conséquent Imϕ est le sous - anneau de A engendré par ∧.
Notation 2. Soit A un anneau et ∧ une partie de A, on note Zn [∧] le sous anneau de A engendré par ∧.
Corollaire4. Soit ∧ = {s1 , · · · , st } une partiefinie d’un anneau A.
Alors Zn [∧] = P (s1 , · · · , st ) / P ∈ Zn [X1 , · · · , Xt ] .
Définition 53. Soit k un anneau, A une k-algèbre et S une partie de A. La k-algèbre
engendrée par S est la plus petite sous k-algèbre de A contenant S. On la note k[S].
k[S] est l’ensemble des éléments de la forme
X
a(i1 ,i2 ,...,in ) si11 si22 . . . sinn
(i1 ,i2 ,...,in )
où les a(i1 ,i2 ,...,in ) ∈ A sont nuls sauf un nombre fini.
Définition 54. Soit k un anneau et A une k-algèbre. On dit que A est une k-algèbre de
type fini s’il existe n ∈ N∗ , et un morphisme surjectif d’algèbres f : k[X1 , X2 , . . . , Xn ] −→ A.
Proposition 16. Toute k-algèbre A de type fini est quotient d’un anneau de polynômes
à coefficients dans k.
Démonstration. Comme A est un k-algèbre de type fini. Il existe un morphisme de
k-algèbre f : k[X1 , X2 , . . . , Xn ] −→ A surjectif. D’après le premier théorème d’isomorphisme
k[X1 , . . . , Xn ]/ ker f est isomorphe à A.
2.2. ALGÈBRES
39
2.2.3. Localisation des modules. Soit A un anneau, S une partie multiplicative de A
et M un A-module. On définit sur M × S la relation suivante
(m, s) R (n, t) ⇐⇒ ∃u ∈ S / u(tm − sn) = 0.
R est une relation d’équivalence. On note par S −1 M l’ensemble quotient et par
de (m, s) modulo R.
On définit sur S −1 M les deux lois suivantes
m
la classe
s
m n
tm + sn
m
n
+ =
,
et
∈ S −1 A
s
t
st
s
s
a
m
a
m
∈ S −1 A et
∈ S −1 A,
t
s
t
s
S −1 M muni des lois ci-dessus est un S −1 A - module et
iS : M −→ S −1 M
m
m −→ iS (m) =
1
Théorème 24. Soit A un anneau, S une partie multiplicative de A et f : M −→ N un
morphisme de A-modules. Alors il existe un unique morphisme de S −1 A−modules
f : S −1 M −→ S −1 N tel que
m
f (m)
∀m ∈ M et ∀s ∈ S, f
.
=
s
s
Démonstration. On considère
f : S −1 M −→ S −1 N
f (m)
f (m)
−→
s
s
m
n
m
n
Montrons que f est bien définie. Soit
∈ M et ∈ S −1 M tel que
= . Nous avons
s
t
s
t
les égalités suivantes
m
n
=
=⇒ ∃u ∈ S | (tm − sn) = 0
s
t
=⇒ (tf (m) − sf (n)) = 0
=⇒
donc f est bien définie.
f (m)
f (n)
=
s
t
40
2. MODULES ET ALGÈBRES
On a d’une part,
f (tm + sn)
tf (m) + sf (n)
m n
tm + sn
+
=f
=
=
f
st
t
s
st
st
f (m) f (n)
m n
m
n
=⇒ f
+
=
+
=f
+f
.
st
t
s
t
s
t
D’autre part, nous avons
am
f
t s
am
f (am)
=f
=
ts
ts
f (am)
a f (m)
=
=
ts
t s
donc f est un morphisme de S −1 A - modules.
Théorème 25. Soit A un anneau, S une partie multiplicative de A, f : M −→ N un
morphisme de A - modules. On suppose que ∀s ∈ S,
gs : N −→ N
n −→ sn
est un isomorphisme. Alors il existe un unique morphisme de A- modules
m
−1
ϕ : S M −→ N tel que g
= f (m) , f = g ◦ iS .
1
Démonstration.
ϕ : S −1 M −→ N m
m
−→ ϕ
= gs−1 (f (m))
1
s
m
m
ϕ est bien définie, en effet
=
=⇒ ∃u ∈ S / u(tm − sn) = 0
s
t
=⇒ f (u(tm − sn)) = 0 =⇒ u f (tm − sn) = 0 =⇒ gn (f (tm − sn)) = 0
f (m)
f (n)
=⇒ f (tm − sn) = 0 =⇒ tf (m) = sf (n) =⇒
=
s
t
m
n
−1
=⇒ gs−1 (f (m)) = gt (f (n)) =⇒ ϕ
=ϕ
.
s
t
m n
tm + sn
−1
ϕ
+
=ϕ
= gst
(f (tm) + f (sn))
s
t
st
−1
−1
= gst
(tf (m)) + gst
(sf (n))
−1
−1
= gs ◦ gt (gt (f (m)) + gt−1 ◦ gs−1 (gs (f (n))
−1
= gs−1
(f (m))
+gt (f (n)
m
n
=ϕ
+ϕ
s
t
2.3. ANNEAUX GRADUÉS ET IDÉAUX HOMOGÈNES
Soit
41
m
∈ S −1 M et a ∈ A, on a
s
am
m
=ϕ
ϕ a
s
s
−1
= gs (f (am))
= a gs−1 (f (m))
m
=aϕ
s
De plus
m
ϕ
= g1−1 (f (m)) = idN (f (m)) = f (m).
1
2.3. Anneaux gradués et idéaux homogènes
Définition 55. Un anneau A est dit gradué s’il admet une décomposition en somme
directe de groupes abéliens
M
A=
An tel que Ap ∩ Aq = {0} et Ap Aq ⊆ Ap+q si p 6= q
n≥0
En particulier A0 est un sous-anneau de A. Chaque An est un A0 -module et une A0 -Algèbre.
Exemple 8. Soit A = k[X0 , . . . , Xn ] un anneau de polynômes à coefficients dans un corps
k. Un polynôme P (X0 , . . . , Xn ) est homogène de degré d si
P (λX0 , . . . , λXn ) = λd P (X0 , . . . , Xn )
L
L’anneau des polynômes A = k[X0 , . . . , Xn ] =
Am est un anneau gradué par le degré,
m≥0
Am est l’ensemble des polynômes de degré total m auquel on ajoute le polynôme nul.
Définition 56. Un module gradué sur un anneau gradué A est un A-module M muni
d’une décomposition en somme directe
M
M=
Mn tel que Ap Mq ⊂ Mp+q
n≥0
Mn est un A0 -module. Un élément x ∈ M est dit homogène s’il existe n ∈ N tel que x ∈ Mn .
d
X
Tout élément x ∈ M s’écrit de manière unique sous la forme x =
xik , avec xik etant
k=1
soit nul soit homogène de degré ik . Les éléments non nuls xik sont appelés composantes
homogènes de x.
Définition 57. Soient M et N deux modules gradués sur un anneau gradué A. Un
morphisme de A-modules gradués est un morphisme de modules f : M −→ N tel que
f (Mn ) ⊂ Nn , ∀n ∈ N
On dit que f est un morphisme de degré 0.
42
2. MODULES ET ALGÈBRES
Définition 58. Soient M un A-module gradué et N un sous-module de M . On dit que
N est un sous-module gradué de M si N est un module gradué et si l’injection canonique
i : N −→ M est un morphisme de A-modules gradués. On a alors
M
Nn = Mn ∩ N et N =
(Mn ∩ N )
n≥0
Définition 59. Soit A un anneau gradué. Un idéal homogène de A est un sous-module
gradué du A-module gradué A.
M
Définition 60. On appelle idéal d’augmentation de l’anneau gradué A =
An l’idéal
n≥0
L
homogène A+ =
An . L’idéal A+ est formé des éléments de degré strictement positifs.
n>0
Théorème 26. Soient A un anneau gradué, M un A-module gradué et N un sous-module
de M . Alors les conditions suivantes sont équivalentes
(1) N est un sous-module gradué de M .
(2) Si y ∈ N , les composantes homogènes de y, appartiennent à N .
(3) N est engendré par des éléments homogènes.
Démonstration.
(1) Montrons que l’assertion (1) implique l’assertion (2)
Comme N est gradué, on a N =
L
(N ∩Mn ). Soit y ∈ N , on peut écrire y =
n≥0
t
X
yik
k=1
où les yik ∈ N ∩ Mik sont les composantes homogènes de y. Comme yik ∈ N ∩ Mik , on
a y ik ∈ N .
(2) Montrons que l’assertion (2) implique l’assertion (3)
Soit (yi )i∈I une famille de générateurs de N et soit x ∈ N, alors x =
p
X
αi yi , avec
i=1
yi =
ti
X
yik , les yik étant les composantes homogènes de yi . Nous avons
k=1
x=
p P
ti
P
αi yik , donc N est engendré par des éléments homogènes.
i=1 k=1
(3) Montrons que l’assertion (3) implique l’assertion (1).
Supposons que N est engendré par des élémens homogènes (zα )α∈J . Soit y ∈ N on a
s
P
aαi zαi où les zαi ∈ N sont homogènes. D’autre part la décomposition
d’une part y =
i=1
de y dans M donne y =
n
P
yjr où les yjr ∈ Mjr sont homogènes de degré jr . On
r=1
peut quitte à décomposer les aα en leurs composantes homogènes, supposer que aα
est homogène. L’unicité de la décomposition dans M entraîne que les composantes
2.3. ANNEAUX GRADUÉS ET IDÉAUX HOMOGÈNES
43
homogènes de même degré sont égales, y se décompose donc de manière unique en
somme d’éléments de Mn ∩ N .
Corollaire 5. Soient A un anneau gradué et I un idéal de A, les conditions suivantes
sont équivalentes :
(1) L’idéal I est homogène
(2) Si y ∈ I, les composantes homogènes de y sont dans I
(3) L’idéal I est engendré par des éléments homogènes
Démonstration. La démonstratio découle du théorème ci-dessus.
Théorème 27. Soit A un anneau gradué et I un idéal homogène, B = A/I l’anneau
quotient et π : A −→ A/I la surjection canonique. Alors B est un anneau gradué.
M
M
Démonstration. On pose A =
An et Bn = π(An ). On vérifie que B =
Bn . n≥0
n≥0
Théorème 28. Soit I un idéal homogène d’un anneau gradué A. L’idéal I est premier
si et seulement si la propriété suivante est vérifiée
(∗)
∀x, y deux éléments homogènes de A, xy ∈ I =⇒ x ∈ I ou y ∈ I
Démonstration. Si I est un idéal premier alors la condition (∗) est vérifiée.
Réciproquement supposons vérifié la condition (∗) et soit a, b ∈ A tel que ab ∈ I. Supposons que b ∈
/ I et décomposons a et b en leurs composantes homogènes
a=
r
X
ait avec i1 < i2 < · · · < ir et b =
t=1
s
X
bj` avec j1 < · · · < js
`=1
On peut supposer que bjs ∈
/ I. Montrons par récurrence
sur r que a ∈ I.
Ps
Pour r = 1, a = ai1 est homogène et ab = `=1 abj` est la décomposition en composantes
homogènes de ab. Comme I est un idéal homogène, les abj` ∈ I et donc (∗) =⇒ a ∈ I.
Supposons la propriété vraie jusqu’à r − 1. Le terme de plus haut degré de ab est air bjs .
Comme I est homogène air bjs ∈ I, donc air ∈ I.
√
Théorème 29. Soit A un anneau gradué et I un idéal de A si I est homogène alors I
est un idéal homogène.
√
s
X
Démonstration. Soit a ∈ I, alors a =
aji , avec j1 < j2 < · · · < js . Montrons par
i=1
√
récurrrence sur s que aji ∈ I.
Si s = 1, a = aj1 est homogène donc la propriété est vraie pour s = 1. Supposons la vraie
pour s − 1 avec s ≥ 2.
44
2. MODULES ET ALGÈBRES
a=
s
X
aj i ∈
√
I =⇒ ∃n ∈ N | an ∈ I, le terme de plus haut degré de an est anjs . Comme
`=1
s−1
X
√
∈ I , donc ajs ∈ I ce qui implique que a − ajs =
aji ∈ I, donc par
i=1
√
hypothèse de récurrence aji ∈ I, ∀i ∈ [[1, s]].
L
Définition 61. Soit A un anneau gradué et M =
Mn un A-module gradué et d ∈ N.
I est homogène
anjs
√
n≥0
Le module M (d) est le module gradué égal à M mais avec la graduation décalée M (d)n =
Md+n .
2.4. Localisation des anneaux gradués
Soit A =
M
An un anneau gradué et S une partie multiplicative d’éléments homogènes.
n≥0
On définit sur l’anneau localisé AS = S −1 A la graduation suivante :
f
= deg(f ) − deg(s).
deg
s
f
g
Cette opération est bien définie, en effet si = 0 alors ∃t ∈ S | t(f s0 − gs) = 0.
s
s
0
0
t(f s − gs) = 0 =⇒ tf s = tgs
=⇒ deg(t) + deg(f ) + deg(s0 ) = deg(t) + deg(g) + deg(s)
=⇒ deg(f ) − deg(s) = deg(g) − deg(s0 )
f
Donc deg
est bien définie. Avec cette graduation AS est un anneau gradué.
s
f
Par exemple si S = {sn | n ∈ N} où s est homogène de degré d et r ∈ AS , alors
s
f
deg r = deg(f ) − rd
s
Définition 62. Soit A un anneau gradué et S une partie multiplicative de A formée
d’éléments homogènes. On définit
f
f
A(S) =
∈ AS | homogène de degré 0
s
s
Si p est un idéal premier homogène de A, l’ensemble
Sp = {f ∈ A | f homogène et f ∈
/ p}
est une partie multiplicative de A et on note A(p) = A(Sp ) .
Chapitre 3
Modules de type fini et anneaux noethériens
3.1. Modules de type fini
Définition 63. Soit A un anneau et M un A-module. On dit que M est de type fini s’il
peut être engenré par une partie finie c’est-à-dire s’il existe une partie finie S de M tel que
M = hSi.
Proposition 17. Soit M un A-module de type fini, alors ∃n ∈ N∗ et un sous module N
de An tel que M soit isomorphe à An /N .
Démonstration. Soit S = {x1 , x2 , . . . , xn } une famille génératrice de M et
f : An −→ M
(a1 , . . . , an ) −→ f (a1 , a2 , . . . , an ) =
n
X
ak x k
k=1
f est un morphisme surjectif. D’après le premier théorème d’isomorphisme M ' An / ker f il
suffit de poser N = ker f .
Proposition 18. Soit M un A-module et N un sous-module de M
(1) Si M est un A-module de type fini, alors M/N est de type
(2) Si N et M/N sont de type fini, alors M est de type fini.
Démonstration.
(1) Supposons M = hx1 , x2 , . . . , xn i est de type fini.
Soit x ∈ M/N , on a x ∈ M =⇒ ∃(ai )1≤i≤n des éléments de A tel que x =
n
P
ai x i ,
i=1
donc
x=
n
X
ai xi =⇒ M/N = hx1 , x2 , . . . , xn i
i=1
donc M/N est de type fini.
(2) Supposons que M/N = {y 1 , y2 , . . . , y m } et N = {z1 , z2 , . . . , zp } sont de type fini. Soit
x ∈ M , alors x ∈ M/N , et donc ∃a1 , . . . , am ∈ A tel que
x = a1 y 1 + a2 y 2 + · · · + am y m =
m
X
k=1
45
ak yk
46
3. MODULES DE TYPE FINI ET ANNEAUX NOETHÉRIENS
ce qui implique que ∃z ∈ N tel que
x=
X
ak y k + z
k=1
Et z ∈ N =⇒ ∃b1 , . . . , bp ∈ A tel que z =
p
P
bj zj , donc
j=1
x=
m
X
k=1
ak y k +
p
X
bj zk =⇒ M = hy1 , y2 , . . . , ym , z1 , z2 , . . . , zp i
j=1
D’où M est de type fini.
Remarque 5. Soit M un A-module et N un sous-module de M . Si M est de type
fini, N n’est pas nécessairement
[ de type fini. Comme le montre l’ exemple suivant : Soit
A = C[X1 , X2 , . . . , Xn , . . . ] =
C[X1 , X2 , . . . , Xn ] l’anneau des polynômes en une infinité
n≥1
d’indéterminées à coefficients dans C. Alors A est un A-module de type fini car il est engendré
par 1A . Soit I l’idéal de A engendré par les Xi , i ≥ 1. Supposons que I est de type fini engendré
par P1 , P2 , · · · , Pn . On a ∀j ∈ [[1, n]], il existe mj tel que Pj ∈ C[X1 , X2 , . . . , Xmj ].
Posons m = max (mj ), pour tout ∀j ∈ [[1, n]] on a alors Pj ∈ C[X1 , X2 , . . . , Xm ].
1≤j≤n
Comme Xm+1 ∈ I, il existe Q1 , Q2 , · · · , Qn ∈ A tel que
Xm+1 = Q1 P1 + Q2 P2 + · · · + Qn Pn
Donc ∃s ≥ m + 1 tel que Qj , Pj ∈ C[X1 , X2 , . . . , Xs ], ∀j. En substituant 1 à Xm+1 , il existe
R1 , · · · , Rn ∈ C[X1 , X2 , . . . , Xn ] tel que
1 = R1 P1 + R2 P2 + · · · + Rn Pn
car les Pi ne font intervenir qu X1 , . . . , Xn et s ≥ m + 1. On a donc 1 ∈ I ce qui est absurde
car les éléments de I n’ont pas de terme constant.
3.2. Le lemme de Nakayama
Définition 64. Soit A un anneau, I un idéal de A et M un A-module. On définit le
sous-module IM de M par
( n
)
X
∗
IM =
ai mi | n ∈ N , ai ∈ I, mi ∈ M
i=1
Théorème 30 (Lemme de Nakayama). Soit M un A-module de type fini et I un idéal
de A tel que IM = M . Alors il existe a ∈ I tel que (1 + a)M = {0}.
En particulier si I = J est le radical de Jacobson de A, alors M = {0}.
Démonstration. Elle se fait par récurrence sur le nombre n de générateurs de M .
Si n = 0, M est engendré par 0 éléments, donc M = {0}.
3.2. LE LEMME DE NAKAYAMA
47
Si n = 1 alors M = Ax1 .
M = IM =⇒ x1 ∈ IM
=⇒ ∃ a1 ∈ I | x1 = a1 x1
=⇒ (1 − a1 )x1 = 0
=⇒ b(1 − a1 )x1 = 0, ∀b ∈ A
=⇒ (1 − a1 )bx1 = 0, ∀b ∈ A
=⇒ (1 − a1 )M = 0
Soit n ∈ N∗ , supposons la propriété vrai pour tout A-module engendré par n−1 éléments.
Soit M un A-module engendré par n éléments x1 , x2 , . . . , xn .
n
P
Comme IM = M , pour tout i ∈ [[1, n]] il existe ai,j ∈ I tel que xi =
ai,j xj .
j=1
Posons
M0 =
M
M
=
hxn i
Axn
Si x ∈ M , on désigne x la classe de x modulo hxn i.
M = hx1 , x2 , . . . , xn i =⇒ M 0 = hx1 , x2 , . . . , xn−1 i
Pour tout i ∈ [[1, n]], nous avons
xi =
n
X
j=1
ai,j xj =
n−1
X
ai,j xj + ai,n xn =
j=1
n−1
X
ai,j xj ,
j=1
donc xi ∈ IM 0 , ∀i ∈ [[1, n − 1]], d’où IM 0 = M 0 .
Par hypothèse de récurrence, ∃ b ∈ I tel que (1 + b)M 0 = {0} donc nous avons
(1 + b)xi = 0,
∀i ∈ [[1, n]]
d’où (1 + b)xi ∈ Axn , ∀i ∈ [[1, n − 1]], par suite il existe bi ∈ A tel que (1 + b)xi = bi xn . Nous
avons d’une part les égalités suivantes :
48
3. MODULES DE TYPE FINI ET ANNEAUX NOETHÉRIENS
(1 + b)xn = (1 + b)
n
X
an,j xj
j=1
= (1 + b)an,n xn +
n−1
X
an,j (1 + b)xj
j=1
= (1 + b)an,n xn +
n−1
X
an,j bj xn
j=1
=
(1 + b)an,n +
n−1
X
!
an,j bj
xn
j=1
En posant
b0 = b −
(1 + b)an,n +
n−1
X
!
an,j bj
∈ I,
j=1
nous avons (1 + b0 )xn = 0, d’où (1 + b)(1 + b0 )xn = 0 (∗)
D’autre part, pour tout i ∈ [[1, n − 1]], nous avons
(1 + b)(1 + b0 )xi = (1 + b0 )(1 + b)xi
= (1 + b0 )bi xn
= bi (1 + b0 )xn
= 0 (∗∗)
Les égalités (∗) et (∗∗) impliquent que (1 + b)(1 + b0 )M = 0. Comme
(1 + b)(1 + b0 ) = 1 + b + b0 + bb0 ,
en posant a = b + b0 + bb0 ∈ I, on a (1 + a)M = 0.
Si I = J est le radical de Jacobson de A, on a a ∈ J donc 1 + a est inversible et la relation
(1 + a)M = {0} entraîne que M = {0}.
Corollaire 6 (Version locale du lemme de Nakayama). Soit A un anneau local, d’idéal
maximal m, M un A-module et N un sous-module de M tel que M/N soit de type fini.
Si mM + N = M alors M = N . En particulier, si M est de type fini et mM = M alors
M = {0}.
Démonstration. Si N = 0, on a mM = M et M est de type fini.Comme A est local,
m est le radical de Jacobson de A. D’après le lemme de Nakayama on a M = (0).
Soit N un sous-module non nul de M tel que M/N soit de type fini.
3.3. MODULES ET ANNEAUX NOETHÉRIENS
49
Si mM + N = M , alors pour tout x ∈ M , il existe n ∈ N∗ , y ∈ N , xi ∈ M et ai ∈ m tel
n
P
que x = y +
ai xi . Ce qui implique
i=1
x̄ =
n
X
ai x̄i ∈ m(M/N )
i=1
Donc m(M/N ) = M/N . Comme M/N est de type fini, d’après le lemme de Nakayama,
on a M/N = 0, d’où M = N .
3.3. Modules et anneaux noethériens
Définition 65. On dit qu’un A-module M est noethérien si tout sous-module de M est
de type fini.
Définition 66. Soit A un anneau. On dit que A est un anneau noethérien si A est un
A-module noethérien c’est à dire si tout idéal I de A est de type fini.
Théorème 31. Soit A un anneau et M un A-module. Les propriétés suivantes sont
équivalentes
(1) Le A-module M est noethérien
(2) Toute suite croissante de sous-modules de M est stationnaire
(3) Toute famille non vide de sous-modules de M possède un élément maximal.
Démonstration. Montrons que (1) =⇒ (2)
Supposons que
[ M est noethérien et soit (Nl )l∈N une suite croissante de sous-modules de
M . Alors N =
Nl est un sous-module de M , donc il et de type fini.
l∈N
Soit {x1 , x2[
, . . . , xm } une famille génératrice de N , alors pour tout k ∈ [[1, m]],
on a xk ∈
Nl , donc il existe jk ∈ N tel que xk ∈ Njk . Posons j = max {jk }, on a
l∈N
1≤k≤m
xk ∈ Nj , ∀k ∈ [[1, n]], donc N ⊂ Nj d’où N = Nj . Ainsi quel que soit l ≥ j, nous avons
N = Nj ⊂ Nl ⊂ N . Par suite pour tout l ≥ j on a Nl = Nj , donc la suite (Nk )k∈N est
stationnaire.
Montrons que (2) =⇒ (3). Soit F une famille non vide de sous-module de M . Supposons
que F n’admette pas d’élément maximal.
Soit N1 ∈ F, comme N1 n’est pas maximal dans F, il existe N2 ∈ F tel que N1 $ N2 .
De même il existe N3 ∈ F tel que N1 $ N2 $ N3 . On obtient ainsi de proche en proche une
suite strictement croissante de sous-modules de M , N1 $ N2 $ N3 $ · · · on en déduit par
contraposée que l’assertion (2) implique l’assertion (3).
Montrons que (3) =⇒ (1).
50
3. MODULES DE TYPE FINI ET ANNEAUX NOETHÉRIENS
Soit N un sous-module de M . On considère l’ensemble Γ des sous-modules de type fini
de N , Γ 6= ∅ car le sous-module {0} ∈ Γ. Par hypothèse Γ admet un élément maximal N 0 et
N 0 ⊂ N . Montrons que N 0 = N .
Si N 0 $ N , il existe x ∈ N tel que x ∈
/ N 0 , le sous-module N 00 = N 0 + Ax de M est de
type fini et N 00 ⊂ N , donc N 00 ∈ Γ et N 0 $ N 00 ce qui contredit la maximalité de N 0 . Donc
N = N 0 et N est de type fini. On en déduit que M est noethérien.
Corollaire 7. Soit A un anneau . Les propriétés suivantes sont équivalentes
(1) L’anneau A est noethérien
(2) Toute suite croissante d’idéaux de A est stationnaire
(3) Toute famille non vide d’idéaux de A possède un élément maximal.
Théorème 32. Soit M un A-module et N un sous-module de M . Alors, M est noethérien
si et seulement si N et M/N sont noethérien.
Démonstration. Supposons que M est noethérien.
Soit N 0 un sous-module de N , N 0 est un sous-module de M , donc N 0 est de type fini.
Ainsi N est noethérien.
Soit M un sous-module de M/N , il existe un sous-module M1 , de M contenant N tel que
M = M1 /N . Comme M est noethérien, M1 est de type fini, donc M est de type fini et M/N
est noethérien.
Réciproquement supposons que N et M/N sont noethériens. Soit M 0 un sous-module de
M . On considère l’application suivante
f : M 0 −→ (M 0 + N )/N
x : −→ f (x) = x
f est un morphisme surjectif de A-modules.
Soit x ∈ M 0 , nous avons
x ∈ ker f ⇐⇒ x̄ = 0̄
⇐⇒ x ∈ N
⇐⇒ x ∈ M 0 ∩ N 0
Donc ker f = M 0 ∩ N , d’après le premier théorème d’isomorphisme M 0 /M 0 ∩ N est isomorphe
à (M 0 + N )/N . Comme M/N est noethérien, (M 0 + N )/N est de type fini, donc M 0 /M 0 ∩ N
est de type fini. De plus comme N est noethérien, M 0 ∩ N est de type fini, donc M 0 est de
type fini. On en déduit que M est noethérien.
De manière générale nous avons le résultat suivant
f
g
Théorème 33. Soit A un anneau et 0 −→ M 0 −→ M −→ M ” −→ 0 une suite exacte
de A-modules. Alors M est noethérien si et seulement si M 0 et M ” sont noethériens.
3.4. LE THÉORÈME DE LA BASE OU DE TRANSFERT DE HILBERT
51
Démonstration. Comme la suite est exacte f est injectif, g surjectif et im f = ker g, on
a M 0 est isomorphe à f (M 0 ) qui est un sous module de M et M 00 est isomorphe à M/f (M 0 ).
Le résultat découle du théorème 32.
Exemple 9.
(1) Soit M1 , M2 , . . . , Mn des A-modules noethériens alors
M1 × M2 × · · · × Mn
est noethérien.
(2) Soit A un anneau, S une partie multiplicative de A et M un A-module. Si M est un
A-module noethérien alors S −1 M et S −1 A sont des S −1 A-modules noethériens.
(3) Soit A un anneau noethérien, I un idéal de A. Alors A/I et S −1 A sont des anneaux
noethériens.
3.4. Le théorème de la base ou de transfert de Hilbert
Soit A un anneau noethérien, A[X] l’anneau des polynômes à coefficients dans A et I un
idéal de A[X]. Pour n ∈ N, on note Dn (I) l’ensemble formé de 0 et des coefficients dominants
des polynômes de degré n qui appartient à I. Soit f ∈ I, δ(f ) ∈ A son coefficient dominant
Dn (I) = {δ(f ) | f ∈ I, deg(f ) = n} ∪ {0} .
Nous avons les résultats suivants
Lemme 5. Pour tout n ∈ N, Dn (I) est un idéal de A
Démonstration. Soit I un idéal de A[X], montrons que Dn (I) est un idéal de A.
(1) Nous avons 0 ∈ Dn (I) par définition de Dn (I).
(2) Soient x ∈ Dn (I) et y ∈ Dn (I), si x + y = 0 ou x = 0 ou y = 0 alors x + y ∈ Dn (I).
Supposons x + y 6= 0, x 6= 0 et y 6= 0. Soit f, g ∈ I tel que deg f = deg g = n et x
et y sont les coéfficicnets dominants de f et g respectivement. Comme x + y 6= 0, on
a deg(f + g) = n et x + y est le coefficient dominant de f + g, donc x + y ∈ Dn (I).
(3) Soit x ∈ Dn (I) et a ∈ A. Si ax = 0 alors ax ∈ Dn (I).
Supposons que ax 6= 0. On a x 6= 0, donc il existe f ∈ I tel que deg f = n et x est
le coefficient dominant de f . Comme af ∈ I, et ax 6= 0, on a deg(af ) = n et ax est le
coefficient dominant de af , ainsi ax ∈ Dn (I).
Les conditions (1), (2) et (3) entraînent que Dn (I) est un idéal de A.
Lemme 6. ∀n ∈ N, on a Dn (I) ⊆ Dn+1 (I).
Démonstration. Soit x ∈ Dn (I). Si x = 0 alors x ∈ Dn+1 (I). Supposons x 6= 0.
Soit f ∈ I, deg f = n et x est le coefficient dominant de f . Comme I est un idéal,on a
Xf ∈ I. On a deg f (Xf ) = n + 1 et x est le coefficient dominant de Xf , donc x ∈ Dn+1 (I),
ainsi Dn (I) ⊆ Dn+1 (I).
Lemme 7. Il existe un entier r ≥ 0 tel que Dn (I) = Dr (I) ∀n ≥ r.
52
3. MODULES DE TYPE FINI ET ANNEAUX NOETHÉRIENS
Démonstration. La suite Dn (I) est une suite croissante d’idéaux de A. comme A est
noethérien, cette suite est stationnaire, donc il existe r ∈ N tel que
Dn (I) = Dr (I), ∀n ≥ r.
Nous avons le résultat suivant connu sous le nom de théorème de transfert de Hilbert.
Théorème 34 (de base de Hilbert).
Sot A est un anneau noethérien. Alors A[X] est aussi un anneau noethérien.
Démonstration. Soit I un idéal de A[X],montrons que I est de type fini. Pour f ∈
A[X], notons δ(f ) le coefficient dominant de f et posons
Dn (I) = {δ(f ) | f ∈ I, deg(f )} ∪ {0}.
D’après les trois lemmes précédents les idéaux Dn (I) sont de type fini et il existe un entier r
tel que Dn (I) = Dr (I), ∀n ≥ 1.
Pour tout entier n ≤ r, soit (an,1 , an,2 , . . . , an,rn ) une famille génératrice de Dn (I) et on
considére les polynômes fn,j ∈ I de degré n, dont les coefficients dominants sont les an,j .
Soit J l’idéal de A[X] engendré par les polynômes fn,j avec 0 ≤ n ≤ r et 1 ≤ j ≤ rn .
Nous allons montrer que I = J et en déduire que I est de type fini.
Comme fn,j ∈ I, ∀n ∈ [[1, r]] et ∀j ∈ [[1, rn ]]. Nous avons
J ⊆I
(1)
Montrons par récurrence sur d = deg(f ) que si f ∈ I alors f ∈ J.
Soit f ∈ I, si deg(f ) = 0 alors f = δ(f ) ∈ D0 (I), donc f ∈ J. Supposons que si g ∈ I et
deg(g) < d, alors g ∈ J. Soit f ∈ I tel que deg f = d, δ(f ) = a et m = min(d, r)
a ∈ Dm (I) = ham,1 , am,2 , . . . , am,rm i =⇒ a =
rm
X
cm,j am,j , avec cm,j ∈ A
j=1
Le polynôme X d−m
rm
P
!
cm,j fm,j
∈ J est de degré d et son coefficient dominant est
j=1
a=
rm
X
cm,j am,j .
j=1
Posons g = f − X
d−m
r
m
P
cm,j fm,j , on a g ∈ I et deg g < d, par hypothèse de récurrence
j=1
g ∈ J, par suite f ∈ J. Ainsi
(2)
I⊂J
Les inclusions (1) et (2) entraînent que I = J et I est de type fini. On en déduit que l’anneau
A[X] est noethérien.
3.4. LE THÉORÈME DE LA BASE OU DE TRANSFERT DE HILBERT
53
Corollaire 8. Soit A un anneau noethérien et n ∈ N∗ . Alors l’anneau des polynômes
A[X1 , X2 , . . . , Xn ] est noethérien. En particulier si k est un corps k[X1 , X2 , . . . , Xn ] est un
anneau noethérien.
Démonstration. Elle se fait par récurrence sur n.
Si n = 1, le théorème de transfert de Hilbert entraîne que A[X1 ] est noethérien. Supposons
la propriété vraie à l’ordre n − 1.
Posons B = A[X1 , X2 , . . . , Xn−1 ] est un anneau noethérien par hypothèse de récurrence
donc A[X1 , X2 , . . . , Xn ] = A[X1 , X2 , · · · , Xn−1 ][Xn ] = B[Xn ] est noethérien.
Chapitre 4
Éléments entiers et Dimension
4.1. Éléments entiers
Soit B un anneau et A un sous-anneau de B. Alors B est un A-module, mieux, B est une
A-algèbre.
Définition 67. Soit B un anneau et A un sous-anneau de B. On dit que x ∈ B est
n
X
ak X k à coefficients dans A tel que
algébrique sur A s’il existe un polynôme non nul P =
k=0
P (x) = 0. La relation P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn = 0 est appelée relation de dépendance
algébrique
Définition 68. x ∈ B est entier sur A s’il existe un polynôme unitaire à coefficients
dans A, P (X) = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 tel que P (x) = 0.
La relation xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 = 0 est appelée relation de dépendance intégrale.
Définition 69. Soit A un anneau et B une A-algèbre, f : A −→ B le morphisme
d’anneaux qui induit la structure d’algèbre de B. Un élément x ∈ B est entier sur A s’il est
entier sur le sous-anneau f (A) de B.
Le théorème suivant donne une caractérisation des éléments entiers.
Théorème 35. Soit A un sous-anneau d’un anneau B et x ∈ B. Les conditions suivantes
sont équivalentes
(1) L’élément x est entier sur A.
(2) Le sous-anneau A[x] de B engendré par A et x est un A-module de type fini.
(3) Il existe un sous-anneau C de B contenant A[x] qui soit un A-module de type fini.
Démonstration.
(1) Montrons que (1) =⇒ (2)
Supposons que x ∈ B est entier sur A. Il existe alors a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ A tel que
xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 (1).
Notons que A[x] est le A-module engendré par les xk , (k ∈ N). Soit M le sous
A-module de B engendré par {xn , xn−1 , . . . , x} on a M ⊂ A[x].
(1) =⇒ xn = −an−1 xn−1 − · · · − a1 x − a0 ∈ M
Montrons par récurrence sur j que xn+j ∈ M .
55
56
4. ÉLÉMENTS ENTIERS ET DIMENSION
Si j = 0, on a xn ∈ M . Supposons xn+k ∈ M , pour tout k ≤ j − 1 en multipliant
par xj les deux membres de la relation (1) on obtient
xn+j = −an−1 xn+j−1 − · · · − a1 xj+1 − a0 xj ∈ M
Comme A[x] est engendré par (xk )k∈N , on a A[x] ⊂ M donc A[x] = M est de type
fini.
(2) Montrons que (2) =⇒ (3).
Il suffit de prendre C = A[x]
(3) Montrons que (3) =⇒ (1).
Supposons qu’il existe un A-module de type fini C contentant A[x].
Soit y1 , y2 , . . . , ym une famille génératrice finie de C. On a :
C = Ay1 + Ay2 + · · · + Aym
Comme x ∈ C, yi ∈ C et que C est un sous-anneau de B, on a xyi ∈ C, de sorte qu’il
m
X
existe des éléments ai,j ∈ A tel que xyi =
ai,j yj .
j=1
Soit :
δi,j
(
1, si i = j;
=
0, si i 6= j
le symbole de Kronecker. On a alors
xyi =
m
X
j=1
δi,j xyj =
m
X
ai,j yj
j=1
Ceci s’écrit :
(4.1.1)
m
X
(δi,j x − ai,j )yj = 0
j=1
Soit D la matrice (δi,j x−ai,j ) 1≤i≤m ,Im la matrice unité d’ordre m et Y = t(y1 , y2 , . . . , ym )
1≤j≤m
L’équation 4.1.1 s’écrit DY = 0. En multipliant par tD∗ où D∗ est la matrice des
cofacteurs de D, on a :
(tD∗ D)Y = 0
=⇒ det(D)IY = 0
=⇒ det(D)yi = 0 ∀i ∈ [[1, m]]
=⇒ det(D)C = 0
=⇒ det(D) = 0
4.1. ÉLÉMENTS ENTIERS
57
Or P (X) = det(δi,j X − ai,j )1≤i,j≤m est un polynôme en X unitaire et de degré m, car
m
Y
m
le terme en X provient uniquement de
(X − ai,i ) du produit des éléments de la
i=1
diagonale principale. On a P (x) = det D = 0, donc l’élément x est entier sur A.
Corollaire 9. Soit A un sous-anneau d’un anneau B. Si x1 , x2 , . . . , xn ∈ B sont entiers
sur A, alors le A-module A[x1 , x2 , . . . , xn ] est de type fini.
Démonstration. Elle se fait par récurrence sur n.
Si n = 1, le résultat est vrai d’après le théorème ci-dessus. Supposons n ≥ 2 et le résultat
pour tout entier k ≤ n − 1.
C = A[x1 , x2 , . . . , xn−1 ] est un A-module de type fini, ∃c1 , . . . , cp ∈ A tel que :
C = Ac1 + Ac2 + · · · + Acp =
p
X
Acj
j=1
A[x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn ] = A[x1 , x2 , . . . , xn−1 ][xn ] = C[xn ] est un C-module de type fini.
Donc il existe b1 , . . . , bq tels que :
A[x1 , x2 , . . . , xn ] = Cb1 + Cb2 + · · · + Cbq
=
q
X
Cbk =
k=1
q
=
p
XX
q
p
X
X
k=1
!
Acj
bk
j=1
Acj bk
k=1 j=1
donc (cj bk ) 1≤j≤p est une famille génératrice du A-module A[x1 , x2 , . . . , xn ] qui est donc de
1≤k≤q
type fini.
Corollaire 10. Soit A un sous-anneau d’un anneau B. L’ensemble des éléments de B
qui sont entiers sur A est un sous-anneau de B.
Démonstration. Soit E l’ensemble des éléments de B qui sont entiers sur A.
— 0 ∈ E et 1 ∈ E
— Soit x, y ∈ E. Alors x + y ∈ A[x, y] et xy ∈ A[x, y]. D’après le corollaire 1, A[x, y] est
un A-module de type fini. Comme A[x + y] ⊂ A[x, y] et A[xy] ⊂ A[x, y], d’après le
théorème ci-dessus x + y et xy sont entiers sur A. Donc x + y ∈ E et xy ∈ E.
Ainsi E est un sous-anneau de B.
Définition 70. Soit A un sous-anneau d’un anneau B. L’ensemble des éléments de B
qui sont entiers sur A est appelé clôture intégrale de A dans B.
Définition 71. Soit A un sous-anneau d’un anneau B. On dit que B est entier sur A si
tout élément x ∈ B est entier sur A.
58
4. ÉLÉMENTS ENTIERS ET DIMENSION
Théorème 36. Soit C un anneau, A et B deux sous-anneaux de C tel que A ⊂ B ⊂ C.
Si B est entier sur A et C entier sur B, alors l’anneau C est entier sur A.
Démonstration. Soit x ∈ C, x est entier sur B, donc il existe b0 , b1 , . . . , bn−1 ∈ B tel
que
xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 = 0
(1)
Les bi sont entiers sur A, donc B 0 = A[b0 , b1 , . . . , bn−1 ] est un A-module de type fini. La
propriété (1) entraîne que B 0 [x] est un B 0 -module de type fini, par conséquent B 0 [x] est un
A-module de type fini. On en déduit que x est entier sur A, ainsi C est entier sur A.
Proposition 19. Soit B un anneau intègre et A ⊂ B un sous-anneau. On suppose B
entier sur A. Alors B est un corps si et seulement si A est un corps.
Démonstration. On suppose B est un corps.
Soit x ∈ A, un élément non nul, x ∈ B est inversible dans B. Soit y son inverse dans B.
y est entier sur A, donc il existe a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ A tel que
y n + an−1 + · · · + a1 y + a0 = 0
en multipliant par xn , on a :
xn y n + xan−1 xn−1 y n−1 + · · · + x(a1 xn−2 ) + a0 xxn−1 = 0
=⇒ 1 + x(an−1 + an−2 x + · · · + a1 xn−2 + a0 xn−1 ) = 0
=⇒ 1 = x(−an−1 − an−2 x − · · · − a0 xn−1 )
donc x est inversible dans A
Réciproquement, supposons que A est un corps.
Soit x ∈ B, un élément non nul. x est entier sur A, donc ∃b0 , b1 , . . . , bn−1 ∈ A tel que
(4.1.2)
xn + bn−1 xn−1 + · · · + b0 = 0
Soit m le plus petit des entiers naturels vérifiant une équation du type (4.1.2).
xm + bm−1 xm−1 + · · · + b0 = 0 =⇒ x(xm−1 + bm−1 xm−2 + · · · + b1 ) = −b0
Comme B est intègre on a b0 6= 0. On a b0 ∈ A et b0 6= 0, donc b0 est inversible dans A, ainsi
x est inversible dans B. On en déduit que B est un corps.
Définition 72. Soit A un sous-anneau d’un anneau B. On dit que A est intégralement
clos dans B si tout élément de B entier sur A appartient à A.
Définition 73. Un anneau A est dit intégralement clos s’il est intègre et intégralement
clos dans son corps des fractions K.
Proposition 20. Soit A un sous anneau d’un anneau B sur lequel B est entier et soit
I un idéal de B et J = I ∩ A. Alors B/I est entier sur A/J.
4.1. ÉLÉMENTS ENTIERS
59
Démonstration. On considère le morphisme injectif d’anneaux suivant :
i : A/J −→ B/I
x̄ −→ x̄
A/J est isomorphe à i(A/J). Donc on peut identifier A/J à un sous anneau de B/I.
Soit b̄ ∈ B/I, comme B est entier sur A il existe a0 , · · · , an−1 des éléments de A tel que
bn + an−1 bn−1 + · · · + a0 = 0. On en déduit que b̄n + ān−1 b̄n−1 + · · · + ā0 = 0̄, d’où B/I est
entier sur A/J.
Proposition 21. Soit A un sous anneau d’un anneau B sur lequel B est entier et soit q
un idéal premier de B, posons p = q ∩ A. Alors q est un idéal maximal de B si et seulement
si p est un un idéal maximal de A.
Démonstration. D’après la proposition 20, l’anneau intègre B/q est entier sur A/p,
donc B/q est un corps si et seulement si A/p est un corps. On en déduit que q est un idéal
maximal de B si et seulement si p est un un idéal maximal de A.
Proposition 22. Soit A un sous anneau d’un anneau B sur lequel B est entier et soit
q et q0 deux idéaux premiers de B tel que q ⊂ q0 . Si on a q ∩ A = q0 ∩ A, alors on a q = q0 .
b
Démonstration. Posons p = q ∩ A = q0 ∩ A et S = A \ p. Soit ∈ S −1 B avec b ∈ B
s
et s ∈ S. Comme B est entier sur A, il existe a0 , · · · , an−1 des éléments de A tel que
bn + an−1 bn−1 + · · · + a0 = 0.
Dans S −1 B nous avons la relation suivante
b
an−1 b n−1
a0
( )n +
( )
+ · · · + n = 0,
s
s s
s
−1
−1
donc l’anneau S B est entier sur l’anneau S A = Ap . L’anneau Ap est un anneau local
d’unique idéal maximal m = S −1 p.
Comme q ∩ S = q0 ∩ S = ∅, les idéaux N = S −1 q et N 0 = S −1 q0 sont des idéaux premiers
de S −1 B et on a N ⊂ N 0 . Montrons que N ∩ S −1 A = N 0 ∩ S −1 A = m. Il résulte des inclusions
p ⊂ q ⊂ q0 ⊂ B que m ⊂ N ⊂ N 0 ⊂ S −1 B, d’où m ⊂ N ∩ S −1 A ⊂ N 0 ∩ S −1 A ⊂ S −1 A.
Puisque N 0 est distinct de S −1 B, les anneaux S −1 A et N 0 ∩ S −1 A sont distincts. Comme
l’anneau S −1 A est local d’unique idéal maximal m = S −1 p, on a N ∩ S −1 A = N 0 ∩ S −1 A = m.
D’après la proposition 21, N et N 0 sont des idéaux maximaux de S −1 B et comme N ⊂ N 0 ,
on a N = N 0 d’où q = q0 .
4.1.1. Théorèmes de montée et de descente de Cohen-Seidenberg. Le théorème
suivant constitue les Théorème de montée et de descente de Cohen-Seidenberg ou Going-up
et Going-down.
Théorème 37. Soit A un sous anneau d’un anneau B sur lequel B est entier.
(1) Soit p est un idéal premier de A, il existe un idéal premier q de B tel que q ∩ A = p.
(2) Soit p1 ⊂ p2 deux idéaux premiers de A et q1 un idéal premier de B tel que p1 = q1 ∩A.
Alors il existe un idéal premier q2 de B tel que q1 ⊂ q2 et p2 = q2 ∩ A.
60
4. ÉLÉMENTS ENTIERS ET DIMENSION
(3) Soit p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn une suite d’idéaux premiers distincts de A. Alors il existe une
suite d’idéaux premiers q0 ⊂ q1 ⊂ · · · ⊂ qn de B tels que pi = qi ∩ A.
Démonstration.
(1) Soit p un idéal premier de A, posons S = A \ p. On considère
le diagramme commutatif suivant :
f
A
-
B
jS
iS
?
S
−1
A
?
g
-
S
−1
B
f et g sont les injections canoniques. Soit N un idéal maximal de S −1 B, d’après
la proposition 20, N ∩ S −1 A est un idéal maximal de S −1 A. Comme S −1 A est un
anneau local, N ∩ S −1 A est l’unique idéal maximal m = S −1 p de S −1 A. L’ensemble
q = jS−1 (N ) est un idéal premier de l’anneau B. La commutativité du diagramme ci−1
−1
−1
−1
dessus entraîne que f −1 (jS−1 (N )) = i−1
A).
S (g (N )) ; ainsi jS (N ) ∩ A = iS (N ∩ S
−1
On en déduit que q ∩ A = iS (m) = p.
(2) L’anneau quotient B/q1 est entier sur A/p1 et on a le diagramme commutatif suivant :
A
i
-
π1
B
π2
?
A/p1
?
j
-
B/q1
les applications i et j sont les injections canoniques et π1 et π2 sont les surjections
canoniques.
L’idéal p̄2 = π1 (p2 ) est un idéal premier de A/p1 , d’après (1) il existe un idéal premier
q̄2 de B/q1 tel que q̄2 ∩ (A/p1 ) = p̄2 . Posons q2 = π2−1 (q̄2 ), q2 est un idéal premier de
B. On a d’une part,
π2 ◦ i = j ◦ π1 =⇒ i−1 (π2−1 (q̄2 )) = π1−1 (j −1 (q̄2 ))
=⇒ i−1 (q2 ) = π1−1 (A/p1 ∩ q̄2 )
=⇒ q2 ∩ A = π1−1 (π1 (p2 ))
d’autre part,
4.1. ÉLÉMENTS ENTIERS
61
x ∈ q1 =⇒ π2 (x) = 0̄ ∈ q2
=⇒ x ∈ π2−1 (q2 ) = q2
=⇒ q1 ⊂ q2
Comme p2 ⊂ π1−1 (π1 (p2 )), on a p2 ⊂ A ∩ q2 . Soit x ∈ A ∩ q2 , on a :
x ∈ A ∩ q2 =⇒ π1 (x) ∈ π1 (p2 )
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
∃t ∈ p2 | π1 (x) = π1 (t)
x − t ∈ p1 ⊂ p2
x − t ∈ p2
x ∈ p2
A ∩ q2 ⊂ p2 .
On en déduit que A ∩ q2 = p2 .
(3) Le résultat se démontre par récurrence sur la longueur n d’une chaîne d’idéaux premiers
de A.
Si n = 0, l’assertion 1) montre que le resultat est vrai supposons n ≥ 1 et le résultat
vrai pour n − 1. Soit p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn une chaîne premiers de A, par hypothése
de récurrence il existe une chaîne q0 ⊂ q1 ⊂ · · · ⊂ qn−1 d’idéaux premiers de B tel
que qi ∩ A = pi pour 1 ≤ i ≤ n − 1. L’anneau B/qn−1 est entier sur A/pn−1 . Il existe
un idéal premier q de B/qn−1 tel que A/pn−1 ∩ q = pn /pn−1 . Posons qn = π −1 (q) où
π : B −→ B/qn−1 est la surjection canonique, on a
x ∈ qn−1 =⇒ π(x) = 0̄ ∈ q
=⇒ x ∈ π −1 (q) = qn
=⇒ qn−1 ⊂ qn
Montrons que qn ∩ A = pn . Notons que π(A) =
A + qn−1
qui d’après le second
qn−1
A
= A/pn−1 Nous avons d’une part
qn−1 ∩ A
et x ∈ A
théorème d’isomorphisme est isomorphe à
x ∈ qn ∩ A =⇒ x ∈ qn
=⇒ π(x) ∈ q et π(x) ∈ π(A)
=⇒ π(x) ∈ q ∩ (A/pn−1 ) = pn /pn−1
=⇒ ∃t ∈ pn | π(x) = π(t)
=⇒ π(x − t) ∈ pn−1 ⊂ pn
=⇒ x = x − t + t ∈ pn
=⇒ qn ∩ A ⊂ pn
62
4. ÉLÉMENTS ENTIERS ET DIMENSION
D’autre part
x ∈ pn =⇒ π(x) ∈ (pn + qn−1 )/qn−1 ' pn /pn−1 = A/pn−1 ∩ q
=⇒ π(x) ∈ q
=⇒ x ∈ π −1 (q) = qn
=⇒ x ∈ qn ∩ A
=⇒ pn ⊂ qn ∩ A
On en déduit que pn = qn ∩ A. Ce qui complète la démonstration du théorème.
4.1.2. Théorème de normalisation de Noether.
Définition 74. Soit k un corps et A une k-algèbre. Des éléments x1 , x2 , . . . , xn de A sont
dit algébriquement indépendants si le morphisme
k[X1 , . . . , Xn ] −→ A
P −→ P (x1 , . . . , xn )
est injectif.
Pour la démonstration du théorème de normalisation, nous avons besoin du lemme suivant
connu sous le nom de Théorème de Nagata.
Théorème 38 (Théorème de Nagata). Soit A = k[X1 , . . . , Xn ] et P ∈ A un polynôme
non constant. Il existe des entiers m2 , . . . , mn tel que si l’on pose Yi = Xi − X1mi , l’anneau
A soit entier sur le sous-anneau B = k[P, Y2 , . . . , Yn ].
Démonstration. Comme A, est une k-algèbre de type fini engendré par X1 , X2 , . . . , Xn
il suffit de choisir les mi de sorte que les Xi soient entiers sur B. Pour cela il suffit de les
choisir de sorte que X1 soit entier sur B.
En effet supposons X1 entier sur B. Alors pour i ∈ [[2, n]], posons Pi (T ) = T − (Yi + X1mi ).
Donc
Pi (Xi ) = Xi − (Yi + X1mi ) = 0
donc Xi est entier sur B[X1 ]. Et comme B[X1 ] est entier sur B, on déduit par transitivité
que Xi est entier sur B.
Montrons qu’on peut choisir mi tel que X1 soit entier sur B. Posons
H(T ) = P (T, Y2 + T m2 , . . . , Yn + T mn ) − P (X1 , X2 , . . . , Xn )
On a H(X1 ) = 0 est une relation de dépendance algébrique. Il suffit donc de motrer qu’on
peut choisir les mi de sorte que le coefficient dominant de H soit dans k. Soit d le degré de
P on peut écrire
X
P (X1 , X2 , . . . , Xn ) =
aα X1α1 X2α2 . . . Xnαn
α
4.1. ÉLÉMENTS ENTIERS
avec α = (α1 , α2 , . . . , αn ) et
n
X
63
αi ≤ d.
i=1
P (T, Y2 + T
m2
, . . . , Yn + T
mn
)=
X
aα T
α1
α
=
X
aα T α 1
α
n
Y
(Yi + T mi )αi
i=2
n
Y
αi
X
i=2
ji =0
!
Cαjii T mi ji Yiαi −ji
Donc
"
H(T ) =
X
=
X
aα T α 1
α
aα T
αi
n
Y
X
i=2
ji =0
Pn
α1 + i=2 αi mi
#
!
Cαjii T mi ji Yiαi −ji
+ Hα (T )
− X1α1 . . . Xnαn
α
où Hα (T ) est un polynôme en T à coefficients dans B de degré inférieur à α1 +
n
X
αi mi .
i=2
Posons mi = (d + 1)i−1 et
ϕ : {1, . . . , d}n −→ N
n
X
(α1 , . . . , αn ) −→
αi (d + 1)i−1
i=1
ϕ est obtenue par la décomposition en base d + 1. L’unicité de la décomposition d’un enter
n
X
en base d + 1 montre que ϕ est injectif, donc toutes les sommes α1 +
αi mi sont distinctes.
i=2
Le coefficient dominant de H est l’un des coefficients des termes
n
X
α1 +
mi αi
i=2
aα T
.
Ce coefficient dominant est indépendant des Yi , il est donc dans k et H(X1 ) = 0 est une
relation de dépendance intégrale de X1 dans B.
Théorème 39 (Normalisation de Noether). Soit k un corps et A une k-algèbre de type
fini intègre. Alors il existe des éléments x1 , x2 , . . . , xn ∈ A tels que
(1) Les éléments x1 , x2 , . . . , xn sont algébriquement indépendants sur k
(2) L’anneau A est entier sur k[x1 , x2 , . . . , xn ].
Démonstration. Soit A une k-algèbre de type fini engendrée par m éléments. La démonstration se fait par récurrence sur m.
Si m = 0, k = A et le résultat est vrai.
64
4. ÉLÉMENTS ENTIERS ET DIMENSION
Supposons m ≥ 1 et la propriété vraie pour toute k-algèbre intègre engendrée par `
éléments avec ` ≤ m − 1.
Soit a1 , a2 , . . . , am des générateurs de A.
— Si a1 , a2 , . . . , am sont algébriquement indépendants, le théorème est démontré.
— Si a1 , a2 , . . . , am sont des algébriquement dépendants, le morphisme
k[X1 , . . . , Xm ] −→ A = k[a1 , . . . , am ]
P −→ P (a1 , · · · , am )
est surjectif et non injectif. Soit I le noyau de ce morphisme. Comme A est intègre
et isomorphe à k[X1 , . . . , Xm ]/I, I est un idéal premier non nul, il existe un élément
non nul P ∈ I. D’après le théorème de Nagata, l’anneau C = k[X1 , . . . , Xm ] est entier
sur B = k[P, Y2 , . . . , Ym ]. En passant au quotient A ' k[X1 , . . . , Xm ]/I est entier sur
B/B ∩ I = A0 .
L’anneau A0 est une k-algèbre de type fini engendré par moins de m éléments.
Comme I est un idéal premier, l’anneau A0 = B/B ∩ I est intègre. Par hypothèse de
récurrence, il existe des éléments x1 , . . . , xn ∈ A algébriquement indépendants sur k
tel que A0 soit entier sur k[x1 , . . . , xm ], par transitivité A est entier sur k[x1 , . . . , xm ].
4.2. Dimension
4.2.1. Base de transcendance et degré de transcendance.
Définition 75. Soit K un corps et L une extension de K. Des éléments x1 , · · · , xn
de L sont dits algébriquement indépendants sur K s’il n’existe pas de polynôme non nul
F ∈ K[X1 ; · · · , Xn ] tel que F (x1 , · · · , xn ) = 0. C’est à dire que la K-algèbre de type fini
K[x1 , · · · , xn ] engendrée par x1 , · · · , xn est isomorphe à K[X1 ; · · · , Xn ].
Définition 76. Soit K un corps et L une extension de K. Une famille éléments (xi )i∈I
de L est dite algébriquement libre sur K si pour toute partie finie J ⊂ I la famille (xj )j∈J est
libre. Si la fammille (xi )i∈I est algébriquement libre on dit que les xi sont dits algébriquement
indépendants. La famille (xi )i∈I est dite algébriquement liée si elle n’est pas algébriquement
libre.
Définition 77. Soit K un corps et L une extension de K. On dit qu’une partie B ⊂ L
est une base de transcendance de L sur K si les propriétés suivantes sont vérifiées.
(1) Les éléments de B sont algébriquement indépendants sur K.
(2) Le corps L est une extension algébrique du corps K(B) engendré par K et B.
Théorème 40. Soit L une extension d’un corps K, (si )i∈I une famille d’élément de L
algébriquement indépendants sur K, J un ensemble avec J = I ∪ {α} et x ∈ L. Soit (s0j )j∈J
la famille d’éléments de L définie par s0i = si si i ∈ I et s0α = x. Alors les propriétés suivantes
sont équivalentes
(1) L’élément x est algébrique sur K((si )i∈I ).
4.2. DIMENSION
65
(2) La famille (s0j )j∈J est algébriquement liée sur K.
Démonstration. (1) =⇒ (2) Comme x est algébrique sur K((si )i∈I ), il existe des
éléments a0 , · · · , an ∈ K((si )i∈I ) tel que a0 + a1 x + · · · + an xn = 0.
Puisque K((si )i∈I ) est le corps de fraction de K[(si )i∈I )], il existe i1 , · · · im ∈ I et des
polynômes Pk (X1 , · · · , Xm ), Q(X1 , · · · , Xm ) ∈ K[X1 , · · · , Xm ] tel que
ak =
Pk (si1 , · · · , sim )
Q(si1 , · · · , sim )
avec Q(si1 , · · · , sim ) 6= 0 et Pn (X1 , · · · , Xm ) 6= 0. On considère le polynôme
P (X1 , · · · , Xm , Y ) =
n
X
Pk (X1 , · · · , Xm )Y k .
k=0
On a P (X1 , · · · , Xm , Y ) 6= 0 et P (si1 , · · · , sim , x) = 0, donc les éléments si1 , · · · , sim , x
sont algébriquement dépendants sur K.
Montrons que (2) =⇒ (1). On suppose que la famille (s0j )j∈J est algébriquement dépendante sur K. Il existe une partie finie J1 de J tel que la famille (s0j )j∈J1 soit algébriquement
dépendante sur K. On a α ∈ J1 car la famille (si )i∈I est algébriquement indépendante sur
K, donc on peut poser J1 = {i1 , · · · , im , α} et la famille {si1 , · · · , sim , x} est algébriquement
dépendante sur K. Il existe un polynôme non nul P (X1 , · · · , Xm , Y ) ∈ K[X1 , · · · , Xm , Y ] tel
que P (si1 , · · · , sim , x) = 0. On peut écrire
P (X1 , · · · , Xm , Y ) =
n
X
Pk (X1 , · · · , Xm )Y k ,
k=0
avec Pk (X1 , · · · , Xm ) ∈ K[X1 , · · · , Xm ] et Pn non nul. On a Pn (si1 , · · · , sim ) 6= 0 car si1 , · · · , sim
sont algébriquement indépendants sur K. Ce qui prouve que x est racine du polynôme non
n
X
nul
Pk (si1 , · · · , sim )Y k , on en déduit que x est algébrique sur K((si )i∈I ).
k=0
Théorème 41. Soit L une extension d’un corps K, (si )i∈I une famille d’élément de L
telle que L soit algébrique sur K((si )i∈I ), J une partie de I telle que la sous famille (sj )j∈J
soit algébriquement libre sur K. Alors il existe une partie J 0 telle que J ⊂ J 0 ⊂ I et que
(sj )j∈J 0 soit une base de transcendance de L sur K.
Démonstration. L’ensemble Γ des sous familles algébriquement libres sur K contenant
(sj )j∈J ) est non vide car (sj )j∈J ) ∈ Γ. L’ensemble Γ ordonné par l’inclusion est inductif donc
admet un élément maximal (sj )j∈J 0 avec J ⊂ J 0 ⊂ I.
Montrons que (sj )j∈J 0 est une base de transcendance de L sur K, pour cela il suffit de
montrer que L est algébrique sur K((sj )j∈J 0 ). Si J 0 = I le résultat est vrai par hypothèse.
Si J 0 6= I, il existe α ∈ I tel que α ∈
/ J 0 . Soit x ∈ L, J 00 = J 0 ∪ {α} et soit la famille
0
0
0
(sj )j∈J 00 définie par sj = sj si i ∈ J et s0α = x. La maximalité de la famille (sj )j∈J 0 entraîne
66
4. ÉLÉMENTS ENTIERS ET DIMENSION
que la famille (s0j )j∈J 00 est algébriquement liée, d’après le théorème 40, x est algébrique sur
K((sj )i∈J 0 ).
Théorème 42. Soit K un corps et L = K(x1 , · · · , xn ) une extension de type fini de K.
Alors
(1) Le corps L admet une base de transcendance finie sur K.
(2) Deux bases de transcendance de L sur K ont le même cardinal.
Démonstration.
(1) Si tous les éléments x1 , · · · , xn sont algébriques sur K alors L
est une extension algébrique de K et l’ensemble vide ∅ est une base de transcendance
de L sur K. S’il existe une partie (sj )j∈J de {x1 , · · · , xn } qui soit algébriquement libre
sur K alors le théorème 41 montre que L admet une base de transcendance finie sur
K.
(2) Soit B1 et B2 deux bases de transcendance de L sur K avec B1 finie. Montrons par
une récurrence déscendante sur p = card(B1 ∩ B2 ) que card(B1 ) = card(B2 ).
Si card(B1 ∩ B2 ) = card(B1 ) alors B1 ∩ B2 = B1 , donc B1 ⊂ B2 d’où B1 = B2 car
B1 et B2 sont des bases de transcendance. Supposons la propriété vraie pour toute base
de transcendance B de L sur K tel que card(B ∩ B2 ) > p. Si B1 6= B2 , il existe b ∈ B2
tel que b ∈
/ B2 . L’ensemble B1 ∪ {b} n’est pas une base de transcendance de L sur K, il
existe alors une famille maximal B3 d’éléments algébriquement indépendants tel que
(B1 ∩B2 )∪{b} ⊂ B3 B1 ∪{b}. Comme B3 est une base de transcendance de L sur K
et card(B3 ∩B2 ) > p, par hypothèse de récurrence card(B2 ) = card(B3 ) < card(B1 )+1
d’où card(B2 ) ≤ card(B1 ). On montre de la même manière que card(B1 ) ≤ card(B2 )
ainsi card(B1 ) = card(B2 ).
Définition 78. Soit K un corps et L une extension de type fini de K, le cardinal d’une
base de transcendance de L sur K est appelé degré de transcendance de L sur K et se note
deg T r(L/K) ou ∂K (L).
Le degré ∂K (L) est nul si et seulement si L est une extension algébrique de K.
4.2.2. Dimension de Krull.
Définition 79. Soit A une anneau une chaine d’idéaux premiers de A de longueur n est
une suite p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn d’idéaux premiers de l’anneau A.
Définition 80. Soit A une anneau non nul et p un idéal premier de A la hauteur de p
est la borne supérieure des longueurs des chaînes d’idéaux premiers p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn = p
on note cette hauteur par ht(p).
La dimension de Krull de A est dim(A) = sup{ht(p) / p ∈ Spec A}
Soit A un anneau alors dim(A) = sup{ht(m) / m est un idéal maximal de A }. En
particulier si A est local d’idéal maximal m alors dim(A) = ht(m).
4.2. DIMENSION
67
Exemple 10.
(1) Soit A un anneau p, q ∈ Spec A, alors ht(p) = 0 si et seulement si p
est un idéal premier minimal.
(2) Si q ⊂ p alors ht(q) ≤ ht(p).
(3) Anneaux de dimension de Krull nulle
(a) Si k est un corps alors dim(k) = 0.
(b) dim(A) = 0 si et seulement si tout idéal premier de A est maximal.
(c) Si dim(A) = 0 alors le radical de Jacobson de A coïncide avec le radical nilpotent
de A.
(4) Anneaux de dimension de Krull 1
(a) dim(Z) = 1.
(b) Un anneau intègre A est de dimension de Krull 1 si et seulement si A possède un
idéal premier non nul et tout idéal premier non nul est maximal.
(c) Un anneau principal qui n’est pas un corps est de dimension de Krull 1.
(5) Anneaux de dimension de Krull infinie
Soit k un corps et A = k[(Xi )i∈N∗ ]. Pour tout j ∈ N∗ , l’idéal pj = h(Xi )1≤i≤j i est un
idéal premier de A car A/pj est isomorphe à l’anneau intègre k[(Xi )i>j ]. Pour tout
n ∈ N∗ on a une suite strictement croissante d’idéaux premiers de A
(0) & p1 & · · · & pn .
On en déduit que A est de dimension de Krull infinie.
Définition 81. Soit I un idéal d’un anneau A le nombre
ht(I) = inf{ht(p)/ I ⊂ p et p ∈ Spec A}.
Théorème 43. Soit A un anneau,I un idéal de A, p un idéal premier de A et Ap l’anneau
localisé de A en p. Alors
(1) dim(Ap ) = ht(Ap ).
(2) ht(p) + dim(A/p) ≤ dim(A).
√
(3) ht(I) = ht( I)
Démonstration.
(1) Soit A un anneau et p un idéal premier de A, posons S = A\p.
Alors on a une suite d’idéaux premiers de Ap se terminant en S −1 p :
S −1 p0 ⊂ S −1 p1 ⊂ · · · ⊂ S −1 pn = S −1 p où p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn = p est une chaîne
d’idéaux premiers de A se terminant en p. Ainsi dim(Ap ) = ht(Ap ).
(2) Une chaîne d’idéaux premiers de l’anneau quotient A/p commençant par (0) est de
la forme (0̄) = q0 /p ⊂ q1 /p ⊂ · · · ⊂ qm /p où q0 = p ⊂ q1 ⊂ · · · ⊂ qm est une chaîne
d’idéaux premiers de l’anneau A.
Si p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn = p est une suite d’idéaux premiers de A alors
p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn ⊂ q1 ⊂ · · · ⊂ qm est une suite d’idéaux premiers de l’anneau A.
On en déduit que ht(p) + dim(A/p) ≤ dim(A).
68
4. ÉLÉMENTS ENTIERS ET DIMENSION
(3) Soit p un idéal premier de A, on a I ⊂ p si et seulement si
√
√
I ⊂ p, d’où ht(I) = ht( I)
Théorème 44. Soit A un anneau et I un nilpotent de A. Alors on a
dim(A/I) = dim(A).
Démonstration. Comme l’idéal I est nilpotent, on a I ⊂ p pour tout idéal premier p
de A Si p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn est une chaîne d’idéaux premiers de A alors
p0 /I ⊂ p1 /I ⊂ · · · ⊂ pm /I
est une chaîne d’idéaux premiers de A/I et réciproquement toute chaîne d’idéaux premiers
de A/I est de cette forme. On déduit que dim(A/I) = dim(A).
Théorème 45. Soit A un sous anneau d’un anneau B sur le quel B est entier. Alors A
est de dimension finie si et seulement si B est de dimension finie et on a dim(A) = dim(B).
Démonstration. Supposons que A est de dimension finie et posons d = dim(A), il
existe une suite strictement croissante d’idéaux prepiers de A :
p0 & p1 & · · · & pd .
D’après le théorème de montée, il existe une une suite strictement croissance d’idéaux premiers de B de longueur d q0 & q1 & · · · & qd tel que A ∩ qi = pi . Donc dim(B) ≥ d.
Soit d0 = dim(B), si d0 > d il existe une suite strictement croissante d’idéaux premiers de B
q00 & q01 & · · · & q0d0
qui donne une suite d’idéaux premiers de A
q00 ∩ A & q01 ∩ A & · · · & q0d0 ∩ A.
Comme dim A = d < d0 , il existe 1 ≤ i ≤ d0 tel que A ∩ qi 0 = A ∩ qi+1 0 avec q0i & q0i+1 ce
qui contredit la proposition 22, d’où dim(B) ≤ d. On déduit que dim(A) = dim(B).
Réciproquement supposons que B est de dimension finie m et soit q0 & q1 & · · · & qm
une suite finie d’idéaux premiers de B. La suite q0 ∩ A & q1 ∩ A & · · · & qm ∩ A est une suite
strictement croissante d’idéaux premiers de A et toute suite strictement croissante d’idéaux
premiers de A est de cette forme. Ainsi dim(A) = dim(B).
4.3. Dimension des algèbres de type fini sur corps
Théorème 46. Soit k un corps l’anneau B = k[X1 ; · · · , Xn ] est de dimension n qui est
le degré de transcendance sur k du corps k(X1 , · · · , Xn )
Démonstration. La suite (0) ⊂ hX1 i ⊂ hX1 , X2 i ⊂ · · · hX1 , · · · , Xn i est une chaîne
strictement croissante d’idéaux premiers de B, donc dim(B) ≥ n. Montrons par récurrence
sur n que que dim(B) = n. Si n = 1, l’anneau k[X1 ] est principal et n’est pas un corps,
donc il est de dimension 1. Supposons n ≥ 2 et le théorème démontré pour tout anneau de
polynômes sur k en n − 1 indéterminées. Soit p0 & p1 & · · · & pd est une chaîne d’idéaux
premiers de B, Montrons que d ≤ n. On ne change pas la longueur de la suite ci-dessus en
4.3. DIMENSION DES ALGÈBRES DE TYPE FINI SUR CORPS
69
remplaçant p0 par (0) et p1 par hZ1 i où Z1 est un élément irréductible de B appartenant à
p1 . On a une nouvelle suite
(0) & hZ1 i & · · · & pd .
D’après le lemme de normalisation de Noether il existe des éléments Z1 , Z2 , · · · , Zn algébriquement indépendants sur k tel que B soit entier sur A = k[Z1 , Z2 , · · · , Zn ].
La proposition 22 entraîne que la chaîne d’idéaux premiers de A suivante est strictement
croissante :
Z1 A & p2 ∩ A & · · · & pd ∩ A.
Donc modulo Z1 A on a une chaîne strictement croissante d’idéaux premiers de l’anneau
A/Z1 A qui est isomorphe à k[Z2 , · · · , Zn ] :
p̄2 & · · · & p̄d avec p̄i = pi ∩ A/Z1 A.
Par hypothèse de récurrence on a d − 1 ≤ n − 1 d’où d ≤ n.
Théorème 47. Soit k un corps et A une k-algèbre de type fini et intègre. Alors on a
dim(A) = ∂k (F rac(A)) est le degré de transcendance sur k du corps de fractions de A.
Démonstration. D’après le lemme de normalisation il existe des éléments de A algébriquement indépendants sur k, x1 , · · · , xn tel que A soit entier sur la k-algébre k[x1 , · · · , xn ].
Comme la k-algébre k[x1 , · · · , xn ] est isomorphe à l’anneau des polynômes k[X1 , · · · , Xn ],
on a dim(A) = dim(k[x1 , · · · , xn ]) = dim(k[X1 , · · · , Xn ] = n. Puis que A est entier sur
k[x1 , · · · , xn ], A a le même degré de transcendance sur k que k[x1 , · · · , xn ] donc
dim(A) = ∂k (F rac(A)).
Chapitre 5
Produit tensoriel de modules
71
Chapitre 6
Catégories et Foncteurs
6.1. Introduction aux catégories
Définition 82. Une catégorie C consiste en les données suivantes
(1) Une classe d’objets notée Ob(C)
(2) Pour tout couple (X, Y ) d’objets de C, un ensemble HomC (X, Y ) dont les éléments
sont appelés morphisme de X vers Y .
(3) Pour tout objet X de C, un élément idX ∈ HomC (X, X) appelé identité de X.
(4) Pour tout triplet (X, Y, Z) d’objets de C, une application
◦ : HomC (X, Y ) × HomC (Y, Z) −→ HomC (X, Z)
(f, g) −→ g ◦ f
tel que les axiomes suivants soient vraies :
(a) ◦ est associative c’est à dire (g ◦ f ) ◦ h = g ◦ (f ◦ h)
(b) Pour tout couple (X, Y ) d’objets de C, tout morphisme f ∈ HomC (X, Y )
et ∀g ∈ HomC (Y, X) on ait f ◦ idX = f et idY ◦ g = g.
Exemple 11. –
(1) La catégorie des ensembles et applications
(2) La catégorie des groupes et morphisme de groupes
(3) La catégorie des espaces topologiques et applications continues
(4) La catégorie des variétés affines et applications régulières
(5) La catégorie des k-algèbres de type fini réduites et morphismes de k-algèbres.
(6) Soit (I, ≤) un ensemble partiellement ordonné. On peut considérer I comme étant une
catégorie I dont les objets sont les éléments de I et HomI (i, j) est un ensemble à un
élément ρij si i ≤ j et au vide ∅ sinon. Il résulte de l’ordre partiel sur I que ρij ρjk = ρik ,
ce qui définit la composition.
Définition 83. Soit C une catégorie. La catégorie duale ou oposée Cop de C une catégorie
dont les objets sont ceux de C et HomCop (X, Y ) = HomC (Y, X) pour toute paire d’objets de
C, le composé de f ∈ HomCop (X, Y ) de g ∈ HomCop (Y, Z) étant alors
f g ∈ HomCop (X, Z) = HomC (Z, X).
73
74
6. CATÉGORIES ET FONCTEURS
Une propriété de Cop est dite duale d’une propriété de C si elle est obtenue à partir de cette
dernière en inversant le sens des morphismes.
Définition 84. Soient C et D deux catégories. On dit D est une sous catégorie de la
catégorie C si les conditions suivantes sont vérifiées
(1) Ob(D) est une sous classe de Ob(C).
(2) Pour tout X, Y ∈ Ob(D), HomD (X, Y ) ⊂ HomC (X, Y ).
(3) Pour tout triplet (X, Y, Z) d’objets de D, le morphisme
◦ : HomD (X, Y ) × HomD (Y, Z) −→ HomD (X, Z)
est induit par le morphisme
◦ : HomC (X, Y ) × HomC (Y, Z) −→ HomC (X, Z)
Définition 85. Un sous catégorie D d’une catégorie C est dite pleine si pour tous objets
X, Y ∈ Ob(D), on a HomD (X, Y ) = HomC (X, Y ).
Définition 86. Soit C une catégorie.
(1) Un objet O ∈ C est appelé objet initial s’il existe un unique morphisme f : O −→ X
pour tout objet X ∈ C. L’objet O est un objet final s’il existe un unique morphisme
f : X −→ O pour tout objet X ∈ C. O est un objet nul s’il est objet initial et objet
final c’est à dire si card(HomC (O, X)) = card(HomC (X, O)) = 1.
(2) Soit O un objet nul de C, X, Y ∈ Ob(D) et θ ∈ HomC (X, Y ). Si le diagramme suivant
X
-
O
@
@
θ
@
R ?
@
Y
est commutatif, alors θ est appelé morphisme nul de HomC (X, Y ).
(3) Si C possède un objet nul et si pour tout X, Y ∈ Ob(D), HomC (X, Y ) est un groupe
abélien vérifiant l’axiome suivant : (g1 + g2 )(f1 + f2 ) = g1 f1 + g1 f2 + g2 f1 + g2 f2 , alors
C est appelée catégorie pré-additive. Le produit étant la composée des morphismes.
Exemple 12.
(1) ∅ est un objet initial et {∅} est un objet final dans la Catégorie Ens
des ensembles.
(2) Z est un objet initial dans la catégorie Ann des anneaux.
6.2. INTRODUCTION AUX FONCTEURS
75
Les objets initiaux et finaux sont appelés objets universels, ils sont uniques à isomorphisme
près comme le montre le théorème suivant
Théorème 48. Soit C une catégorie.
(1) Si C admet un objet nul,alors il est unique à un isomorphisme près.
(2) Si C admet un objet nul O alors pour toute paire d’objets de C, HomC (X, Y ) a un
unique morphisme nul.
(3) Notons par θ le morphisme nul. Soit g : Y −→ Z et f : T −→ X deux morphismes.
Alors
θXY f = θT Y , et gθXY = θXZ .
(4) Soit C une catégorie pré-additive et soit X, Y ∈ C une catégorie. Si 0 est l’élément
neutre du groupe HomC (X, Y ) alors 0 est aussi le morphisme nul de HomC (X, Y ).
Démonstration :
(1)
(2)
(3)
(4)
6.2. Introduction aux foncteurs
Définition 87. Soient C et D deux catégories. Un foncteur covariant est la donnée :
— Pour tout X ∈ Ob(C), d’un objet F (X) de D.
— Pour tout morphisme f : X −→ Y de C, d’un morphisme F (f ) : F (X) −→ F (Y ) tel
que les propriétés suivantes soient vérifiées
(1) F (idX ) = idF (X)
(2) F (g ◦ f ) = F (g) ◦ F (f ) .
Définition 88. Soient C et D deux catégories. Un foncteur contravariant est la donnée :
— Pour tout X ∈ Ob(C), d’un objet F (X) de D.
— Pour tout morphisme f : X −→ Y de C, d’un morphisme F (f ) : F (Y ) −→ F (X) tel
que les propriétés suivantes soient vérifiées
(1) F (idX ) = idF (X)
(2) F (g ◦ f ) = F (f ) ◦ F (g) .
Un foncteur contravariant F : C −→ D est un foncteur covariant F : Cop −→ D.
Exemple 13.
(1) Soit A un anneau on note Spec A l’ensemble des idéaux premiers
de A. On définit le foncteur Spec : Ann −→ Ens de la catégorie Ann des anneaux
76
6. CATÉGORIES ET FONCTEURS
vers la catégorie Ens des ensembles qui à A ∈ Ann on associe Spec A ∈ Ens et à un
morphisme d’anneaux f ; A −→ B on associe
f ∗ : Spec B −→ Spec A
q −→ f ∗ (q) = f −1 (q)
Ce foncteur est un foncteur contravariant.
(2) Soit D est une sous catégorie d’une catégorie C. Il existe un foncteur d’inclusion
J : D −→ C défini pour tout objet A ∈ D par J(A) = A et pour tout morphisme f
de D par J(f ) = f . Si D = C, le foncteur inclusion s’appelle foncteur identité et est
noté 1C : C −→ C.
(3) Si C est la catégorie des groupes ou des anneaux ou des modules et Ens la catégorie
des ensembles on a un foncteur U : C −→ Ens, appelé foncteur oubli, qui associe à
un objet de C l’ensemble sous-jacent, et à chaque morphisme l’application sous-jacente.
(4) Soit C une catégorie et X un objet de C, on a un foncteur
HomC (X, −) : C −→ Ens, qui à chaque objet M de C associe l’ensemble HomC (X, M )
et à chaque morphisme f : M −→ N , l’application
HomC (X, f ) : HomC (X, M ) −→ HomC (X, N )
définie par HomC (X, f )(g) = f g. Ce qui se traduit par le diagramme
g
X
-
M
@
f
@
@
R ?
@
fg
N
Ce foncteur est covariant.
(5) Soit C une catégorie et X un objet de C, on a un foncteur
HomC (−, X) : C −→ Ens, qui à chaque objet M de C associe l’ensemble HomC (M, X)
et à chaque morphisme f : M −→ N , l’application
HomC (f, X) : HomC (N, X) −→ HomC (M, X)
définie par HomC (f, X)(g) = gf . Ce qui se traduit par le diagramme
f
M
@
@
N
g
gf
@
R ?
@
X
Ce foncteur est contravariant.
6.2. INTRODUCTION AUX FONCTEURS
77
(6) Soit A un anneau et S une partie multiplicative de A on a un foncteur de la catégorie
des A-modules vers la catégorie des S −1 A-modules : M −→ S −1 M . ce foncteur est
appelé foncteur de localisation.
Définition 89. Soient C et D deux catégories et soient F et G : C −→ D deux foncteurs
covariants. Un morphisme de F vers G est la donnée pour tout objet X de C, d’un morphisme
ϕ(X) : F (X) −→ G(X), de sorte que pour tout morphisme f : X −→ Y de C le diagramme
suivant soit commutatif
ϕ(X)
- G(X)
F (X)
F (f )
G(f )
?
F (Y )
?
ϕ(Y )
G(Y )
Définition 90. Soient C et D deux catégories et F, G : C −→ D deux foncteurs contravariants, un morphisme de F vers G est la donnée pour tout objet X de C, d’un morphisme
ϕ(X) : F (X) −→ G(X) de D de sorte que si f : X −→ Y est un morphisme de C le
diagramme suivant soit commutatif
F (Y )
ϕ(Y )
-
F (f )
G(Y )
G(f )
?
F (X)
?
ϕ(X)
G(X)
Définition 91. Un morphisme fonctoriel ϕ : F −→ G est un isomorphisme fonctoriel
s’il existe un morphisme ψ : G −→ F tel que
ψ ◦ ϕ = idF et ϕ ◦ ψ = idG
Définition 92. Soient C et D deux catégories et F : C −→ D un foncteur.
(1) On dit que F est pleinement fidèle si l’application
HomC (X, Y ) −→ HomD (F (X), F (Y ))
est bijective.
(2) On dit que F est essentiellement surjectif si ∀Y ∈ Ob(D),
soit isomorphe à F (X).
∃∀X ∈ Ob(C) tel que Y
(3) Si F est covariant, on dit que F est une équivalence de catégories s’il est pleinement
fidèle et essentiellement surjectif.
(4) Si F est contravariant, on dit que F est une antiéquivalence de catégories s’il est une
équivalence de Ctop dans D.
78
6. CATÉGORIES ET FONCTEURS
Théorème 49. Un foncteur covariant F : C −→ D est une équivalence de catégories s’il
existe un foncteur G : D −→ C tel que
F ◦ G = idD et G ◦ F = idC
6.3. Limites projectives et Limites inductives
Définition 93. Un ensemble ordonné I est dit filtrant si
∀(i, j) ∈ I 2 , ∃k ∈ I tels que k ≥ i et k ≥ j
6.3.1. Limites projectives et Produits.
Limites projectives.
Définition 94. Soit I un ensemble ordonné filtrant , I la catégorie associée et soit C
une catégorie. Un système projectif dans C indexé par I est un foncteur covariant Iop −→ C.
En d’autres termes Un système projectif dans C indexé par I est la donnée pour tout i ∈ I,
d’un objet Xi de C et pour tout (i, j) ∈ I 2 avec i ≤ j d’un morphisme ϕi,j : Xj −→ Xi
tels que
(1) Si i ≤ j ≤ k alors ϕi,k = ϕi,j ◦ ϕj,k
(2) ∀i ∈ I, ϕi,i = idXi .
On note par A = ((Xi )i∈I , (ϕi,j )i≤j ) un tel système projectif.
Définition 95. Soit ((Xi )i , ((ϕi,j )i≤j ) un système projectif dans une catégorie C et
X un objet de C. On suppose ∀i ∈ I, on a un morphisme ϕi : X −→ Xi tel que si i ≤ j
alors ϕ = ϕi,j ◦ ϕ.
On dit que (X, (ϕi )i∈I ) est une limite projective du système projectif A si pour tout objet
Y de C muni de morphismes ψi : Y −→ Xi vérifiant ψi = ϕi,j ◦ ψj , il existe un unique
morphisme ψ : Y −→ X tel que ψi = ϕi ◦ ψ.
Si un système projectif A admet une limite projective celle - ci est unique à un isomorphisme près et on note la limite projective par lim Xi .
←−
i∈I
Produits dans une caégorie.
Définition 96. Soit ((Xi )i∈I , ((ϕi,j )i≤j ) un système projectif dans une catégorie C.
On suppose que I est muni de l’ordre trivial c’est à dire i ≤ j si et seulement si i = j. Alors
la limite projective du système ((Xi )i∈I , ((ϕi,j )i≤j ) est appelée produit de la famille ((Xi )i∈I
et se note
Y
Xi = lim Xi .
←−
i∈I
i∈I
6.3. LIMITES PROJECTIVES ET LIMITES INDUCTIVES
Exemple 14.
(1) Dans la catégorie Ens des ensembles le produit
79
Y
Xi est le produit
i∈I
cartésien.
(2) Soit I un ensemble ordonné filtrant quelconque , la limite projective d’un (Xi )i∈I , ((ϕi,j )i≤j )
système projectif dans la catégorie Ens des ensembles existe et est donnée par
Y
X = lim Xi = {((xi )i∈I ∈
Xi ; ϕi,j (xj = xi ∀i ≤ j},
←−
i∈I
i∈I
où ϕi : X −→ Xi est la restriction de la projection
Y
Xi −→ Xi
i∈I
(3) Dans la catégorie des ensembles, des groupes abéliens des anneaux, des modules et
des k - algèbres tout système projectif admet une limite projective.
Produits fibrés.
Définition 97. Soit C une catégorie et S un objet fixé de C et soient f : X −→ S et
g : Y −→ S deux morphismes dans C. On considère le triplet (Z, p, q) où Z est un objet de
C, p : Z −→ X et q : Z −→ Y sont des morphismes de C. On dit que (Z, p, q) est un produit
fibré de X et Y au dessus de S respectant f g si pour tout objet T ∈ C et tous morphismes
u : T −→ X et v : T −→ Y , tels que f ◦ u = g ◦ v il existe un unique morphisme w : T −→ Z
tel que u = p ◦ w et v = q ◦ w. On note le produit fibré par Z = X ×S Y .
Dans ce qui suit nous allons donner une description de la proprieté universelle du produit
fibré (X ×S Y, p, q). Un morphisme h : T −→ S dans la catégorie C est appeé S-objet, h
est appelé morphisme structural de T . Soient h : T −→ S et f : X −→ S deux S-objets
dans C, les morphismes h : T −→ X tel que f ◦ w = h sont appelés S-morphismes. On note
par HomS (T, X) l’ensemble des S-morphismes. On obtient une catégorie notée C/S dont les
objets sont les S-objets dans C et les morphismes sont les S-morphismes. HomS (T, X) est
appelé ensemble des T -points de X au dessus de S. Le produit fibré est unique à isomorphisme
près. Pour tout morphisme h : T −→ S l’application
HomS (T, X ×S Y ) −→ HomS (T, X) × HomS (T, Y )
w −→ (p ◦ w, q ◦ w)
est bijective. En d’autres termes le produit fibré de f : X −→ S et g : Y −→ S dans la
catégorie C est identique au produit des S-objets f et g dans la catégorie C/S.
Exemple 15. Le produit fibré existe toujours dans la catégorie Ens des ensembles. Soit
S un ensemble fixé, f : X −→ S et g : Y −→ S deux applications alors
X ×S Y = {(x, y) ∈ X × Y ; f (x) = g(y)}.
80
6. CATÉGORIES ET FONCTEURS
Les applications p et q sont données par
p : X ×S Y −→ X
(x, y) −→ x
et
q : X ×S Y −→ X
(x, y) −→ y
6.3.2. Limites inductives et Sommes.
Limites inductives.
Définition 98. Soit C une catégorie et I un ensemble filtrant. Un système inductif
dans C est la donnée pour tout i ∈ I, d’un objet Xi de C et pour tout (i, j) ∈ I 2 avec
i ≤ j d’un morphisme ϕi,j : Xi −→ Xj tels que
(1) Si i ≤ j ≤ k alors ϕi,k = ϕj,k ◦ ϕi,j
(2) ∀i ∈ I, ϕi,i = idXi .
On note par A = ((Xi )i∈I , (ϕi,j )) un tel système inductif.
Définition 99. Soit ((Xi )i , ((ϕi,j )) un système inductif dans une catégorie C et X
un objet de C. On suppose ∀i ∈ I, on a un morphisme ϕi : Xi −→ X tel que si i ≤ j
alors ϕ = ϕ ◦ ϕi,j .
On dit que (X, (ϕi )i∈I ) est une limite inductive du système inductif A si pour tout objet
Y de C muni de morphismes ψi : Xi −→ Y vérifiant ψi = ψj ◦ ϕi,j , il existe un unique
morphisme α : X −→ Y tel que ψi = α ◦ ϕi .
Si un système inductif A admet une limite inductive celle - ci est unique à un isomorphisme près et on note la limite inductive par lim Xi .
−→
i∈I
Somme ou coproduit.
Définition 100. Soit ((Xi )i∈I , ((ϕi,j )i≤j ) un système inductif dans une catégorie C.
On suppose que I est muni de l’ordre trivial c’est à dire i ≤ j si et seulement si i = j. Alors
la limite inductive du système ((Xi )i∈I , ((ϕi,j )i≤j ) est appelée somme ou coproduit de la
famille (Xi )i∈I et se note
a
Xi = lim Xi .
−→
i∈I
i∈I
Exemple 16.
(1) Soit C l’une des catégories suivantes : La catégorie des groupes,
des anneaux, des A-modules où A est anneau. Soit ((Xi )i∈I , ((ϕi,j )i≤j ) un système
inductif dans C indexée par un ensemble filtrant I et soit X la réunion disjointe des
Ai ; on définit dans X la relation d’q́uivalence suivante : Si x ∈ Xi et y ∈ Xj , x ∼ y
si et seulement si ∃k ∈ I tel que k ≥ i, k ≥ j et ϕk,i (x) = ϕk,i (y).
6.4. CATÉGORIE ADDITIVE ET CATÉGORIE ABÉLIENNE
81
La limite inductive du système inductif ((Xi )i ∈ I, ((ϕi,j )) est l’ensemble quotient de
X par la relation d’équivalence ci dessus , X/ ∼= lim Xi .
−→
i∈I
(2) Soit k un anneau et C la catégorie des k-algèbres, A, B ∈ C, alors la somme dans C de
A et B est le produit tensoriel A ⊗k B.
6.4. Catégorie additive et Catégorie abélienne
Catégorie additive.
Définition 101. Une catégorie additive est une catégorie C tel que pour tout paire
(X, Y ) d’objets l’ensemble HomC (X, Y ) est muni d’une structure de groupe abélien tels que
les propriétés suivantes soient vérifiées :
(1) La loi de composition ◦ est bilinéaire.
(2) La catégorie C admet un objet nul 0 ∈ C.
(3) Pour tout paire (X, Y ) d’objets, la somme ou le coproduit de X et Y existe. On note
X ⊕ Y et i : X −→ X ⊕ Y et j : Y −→ X ⊕ Y les morphismes associés. Cette somme
est appelée somme directe de X et de Y . Pour tout objet Z ∈ C le morphisme suivant
HomC (X ⊕ Y, Z) −→ HomC (X, Z) × HomC (Y, Z)
u −→ (u ◦ i, u ◦ j)
est bijective.
Si une catégorie C est additive alors sa catégorie opposée est aussi additive.
Définition 102. Soient C et D deux catégories additives. Un foncteurs F : C −→ D est
dite additive si pour tout paire (X, Y ) d’objets de C l’application
HomC (X, Y ) −→ HomC (F (X), F (Y ))
est un morphisme de groupes.
Catégorie abélienne.
Chapitre 7
Les Bases de Gröbner
83
Chapitre 8
Les Ensembles algébriques affines
Dans tout ce chapitre k désigne un corps commutatif.
8.1. Ensembles algébriques affines et Topologie de Zariski
Soit x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ k n et P (X1 , . . . , Xn ) ∈ k[X1 , X2 , . . . , Xn ] = A. On note
P (x) = P (x1 , x2 , . . . , xn ). On dit que x est un zéro de P si P (x) = 0.
Définition 103. On appelle espace affine sur k de dimension n. L’ensemble
Ank = k n = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xi ∈ k}
Définition 104. Soit S une partie de k[X1 , X2 , . . . , Xn ]. On appelle ensemble algébrique
affine défini par S, l’ensemble des zéros communs à tous les polynômes de S
V (S) = { x ∈ Ank | P (x) = 0, ∀P ∈ S }
Lemme 8. Soit S ⊂ k[X1 , X2 , . . . , Xn ] et I = hSi l’idéal engendré par S. Alors on a
V (S) = V (I).
Démonstration. Nous avons
x ∈ V (I) =⇒ P (x) = 0, ∀P ∈ I
=⇒ P (x) = 0, ∀P ∈ S
=⇒ x ∈ V (S)
d’où V (I) ⊂ V (S).
Soit x ∈ V (S) et f ∈ I. Comme A = k[X1 , X2 , . . . , Xn ] est un anneau noethérien, l’idéal
I est de type fini, il existe f1 , f2 , . . . , fr ∈ S tel que I = hf1 , f2 , . . . , fr i. Comme f ∈ I, il
r
P
existe g1 , g2 , . . . , gr ∈ k[X1 , X2 , . . . , Xn ] tel que f =
gi fi . Nous avons
i=1
fi ∈ S et x ∈ V (S) =⇒ fi (x) = 0, ∀i ∈ [[1, r]]
=⇒ f (x) = 0
=⇒ x ∈ V (I)
=⇒ V (S) ⊂ V (I)
On en déduit que V (I) = V (S).
85
86
8. LES ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
Remarque 6. On définit une application
V : {idéaux de k[X1 , X2 , . . . , Xn ] = A} −→ {ensemble algébrique de Ank }
I −→ V (I)
Nous verrons plus tard que cette application est surjective. L’application V vérifie les propriétés suivantes.
Théorème 50. On a :
(1) V ((0)) = Ank et V (A) = ∅
(2) Soient I et J deux idéaux de A. Si I ⊂ J alors V (J) ⊂ V (I).
(3) Si {I1 , I2 , . . . , Ir } est une famille finie d’idéaux de A, alors
!
r
r
[
\
V (Ii ) = V
Ii
i=1
i=1
(4) Si (Iλ )λ∈Λ une famille arbitraire d’idéaux de A, alors
!
\
X
V (Iλ ) = V
Iλ
λ∈Λ
λ∈Λ
Démonstration.
(1) évident
(2) Soit I et J deux idéaux de A tel que I ⊂ J.
x ∈ V (J) =⇒ P (x) = 0, ∀P ∈ J
=⇒ P (x) = 0, ∀P ∈ I
=⇒ x ∈ V (I)
donc V (J) ⊂ V (I).
(3) (a)
r
\
Ii ⊂ Ii , ∀i ∈ [[1, r]] =⇒ V (Ii ) ⊂ V
i=1
r
\
!
Ii
, ∀i ∈ [[1, r]]
i=1
=⇒
r
[
V (Ii ) ⊂ V
i=1
r
\
!
Ii
, (∗)
i=1
(b)
x∈
/
r
[
V (Ii ) =⇒ x ∈
/ V (Ii ), ∀i ∈ [[1, r]]
i=1
=⇒ ∀i[[1, r]], ∃fi ∈ Ii tel que fi (x) 6= 0
=⇒ f (x) = f1 (x)f2 (x)f3 (x) · · · fr (x) 6= 0
r
\
=⇒ f = f1 f2 · · · fr ∈
Ii et f (x) 6= 0
i=1
8.1. ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES ET TOPOLOGIE DE ZARISKI
Ainsi x ∈
/V
r
\
!
Ii . On en déduit que V
i=1
⊂
Ii
i=1
r
[
(∗) et (∗∗) =⇒
r
\
!
V (Ii ) = V
i=1
r
[
87
V (Ii ) (∗∗).
i=1
!
r
\
V (Ii )
i=1
(4) On a :
Iλ ⊂
r
X
Iλ , ∀λ ∈ Λ =⇒ V
X
Iλ ⊂ V (Iλ ), ∀λ ∈ Λ
=⇒ V
X
λ∈Λ
!
Iλ
⊂
λ∈Λ
\
V (Iλ )
(i)
λ∈Λ
P
Iλ , il existe des Pλ ∈ Iλ qui
Iλ . Comme P ∈
λ∈Λ
λ∈Λ
Pλ∈Λ
sont nuls sauf pour un nombre fini tel que P =
Pλ .Nous avons les implications
Soit x ∈
T
V (Iλ ) et P ∈
P
λ∈Λ
suivantes :
x∈
\
V (Iλ ) =⇒ x ∈ V (Iλ ), ∀λ ∈ Λ
λ∈Λ
=⇒ Pλ (x) = 0, ∀λ ∈ Λ
=⇒ P (x) = 0
!
=⇒ x ∈ V
X
Iλ
λ∈Λ
Donc
r
\
!
V (Iλ ) ⊂ V
i=1
X
Iλ
(ii)
λ∈Λ
!
(i) et (ii) =⇒
\
V (Iλ ) = V
λ∈Λ
X
Iλ .
λ∈Λ
Définition 105. Il résulte du théorème ci-dessus que :
— ∅ et Ank sont des ensembles algébriques.
— Toute réunion finie d’ensembles algébriques est un ensemble algébrique.
— Toute intersection d’ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
On dira donc que les ensembles algébriques affines sont les fermés d’une topologie sur Ank ,
appelée topologie de Zariski de Ank .
Définition 106. Soit X un ensemble algébrique affine de Ank , c’est à dire un fermé de
la topologie induite sur X par celle de Ank est encore appelée topologie de Zariski. On
appelle sous-ensemble algébrique de X, tout fermé de X.
Ank ,
Exemple 17.
(1) Sur A2C
88
8. LES ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
(a) On considère P (X, Y ) = X 2 + Y 2 − 1, alors :
V (P ) = (x, y) ∈ A2C | x2 + y 2 − 1 = 0
est le cercle.
(b) P (X, Y ) = X 2 + Y 2 − 1 et Q(X, Y ) = X + 2. Alors :
V (P, Q) = (x, y) ∈ A2C | x2 + y 2 = 1 et x = −2
n
√ o n
√ o
= (−2, i 3) ∪ (−2, i 3)
(2) Les fermés de A1k sont : A1k , ∅ et les sous-ensembles finis de k.
En effet si F est un fermé de A1 distinct de A1k et ∅, il existe une partie S de k[X]
tel que
F = V (S) = V (hSi).
Comme k[X] est un anneau principal, il existe un polynôme non nul P ∈ S tel que
hSi = hP i. Les racines de P sont en nombre fini.
(3) Soit I un idéal de C[X, Y, Z] engendré par les polynômes
f1 (X, Y, Z) = X 2 − Y Z,
f3 (X, Y, Z) = XZ 2 − Y 2 Z,
f2 (X, Y, Z) = XY − Z 2
f4 (X, Y, Z) = Y 3 Z − Z 4
Alors :
V (I) = (x, y, z) ∈ C3 | f1 (x, y, z) = f2 (x, y, z) = f3 (x, y, z) = f4 (x, y, z) = 0
Nous avons
f4 (x, y, z) = 0 =⇒ y 3 z − z 4 = 0
=⇒ z(y 3 − z 3 ) = 0
=⇒ z = 0 ou z 3 = y 3
— Si z = 0, de f1 (x, y, z) = x2 − yz = 0, on déduit que x = 0 et y = t ∈ C.
Ainsi l’ensemble suivant est une partie de V (I)
(x, y, z) ∈ C3 | x = z = 0 et y ∈ C = {(0, t, 0) | t ∈ C}
— Si y 3 = z 3 , alors (y − z)(y 2 + yz + z 2 ) = 0 Alors :
y = z ou y = jz ou y = j 2 z
où j et j 2 sont les racines cubiques de l’unicité.
(a) y = z, f2 (x, y, z) = 0 =⇒ xz − z 2 = 0 =⇒ x = z donc :
(x, y, z) ∈ C3 | x = y = z = t = {(t, t, t) | t ∈ C}
(b) y = jz, f2 (x, y, z) = 0 =⇒ jxz − z 2 = 0 =⇒ z(jx − z) = 0 =⇒ x = j 2 z
(x, y, z) | x = j 2 z, y = jz = (j 2 t, jt, t) | t ∈ C
8.2. IDÉAL ASSOCIÉ À UN ENSEMBLE ALGÉBRIQUE
89
(c) y = j 2 z, f2 (x, y, j) = 0 =⇒ j 2 xz − z 2 = 0 =⇒ x = jz. On déduit de tous ces
calculs que
V (I) = {(0, t, 0) | t ∈ C} ∪ {(t, t, t) | t ∈ C} ∪ (j 2 t, jt, t) | t ∈ C ∪ (jt, j 2 t, t) | t ∈ C
Définition 107. On appelle hypersurface affine de Ank , tout ensemble algébrique affine
définie par un polynôme non constant.
Remarque 7. Soit V ⊂ Ank un ensemble algébrique affine propre non vide , il existe
S ∈ k[X1 , · · · , Xn ] tel que V = V (S). Comme l’anneau k[X1 , · · · , Xn ] est noethérien, il
existe un nombre naturel m ∈ N∗ et des polynômes F1 , · · · , Fm ∈ S tels que
m
\
V = V (F1 , · · · , Fm ) =
V (Fi ).
i=1
Donc tout ensemble algébrique affine affine non vide et distinct de Ank est intersection finie
d’hypersurfaces.
Théorème 51. Soit V ⊂ Ank un sous ensemble algébrique affine et L ⊂ Ank une droite
affine non contenue dans V . Alors L ∩ V est fini.
Démonstration. Comme tout ensemble algébrique affine propre non vide est intersection d’hypersurfaces, on peut supposer que V = V (F ) est une hypersurface où F ∈
k[X1 , · · · , Xn ]. En utilisant les equations paramétriques d’une droite affine, on peut supposer
que L est l’image d’une application affine
ϕ : A1k −→ Ank
.
t −→ ϕ(t) = (α1 t + β1 , . . . , αn t + βn )
Posons G = F (α1 T + β1 , . . . , αn T + βn ) ∈ k[T ], on a
L ∩ V = {x ∈ Ank , ∃t ∈ k, x = ϕ(t) et F (x) = 0} = ϕ(V (G)).
Comme V (G) est un sous ensemble algébrique de A1k , V (G) est soit fini, soit égal à A1k ,
donc L ∩ V est fini où L ∩ V = L. Puis que L n’est pas inclus dans V , L ∩ V est fini.
8.2. Idéal associé à un ensemble algébrique
Définition 108. Soit X ⊂ Ank un sous-ensemble de Ank , l’ensemble
I(X) = {f ∈ A = k[X1 , X2 , . . . , Xn ] | f (x) = 0 ∀x ∈ X}
est un idéal de A.
I(X) est appelé idéal associé de X. Et on a une application
I : {X ⊂ Ank } −→ {idéaux de A}
X −→ I(X)
90
8. LES ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
Théorème 52. L’application I vérifie les propriétés suivantes :
(1) X ⊂ Y =⇒ I(Y ) ⊂ I(X)
(2) Pour tout X ⊂ Ank , on a X ⊆ V (I(X)). On a égalité si et seulement si X est un
ensemble algébrique
(3) Si J est un idéal de A, alors J ⊂ I(V (J)).
(4) Soit (Vi )i∈Λ une famille de parties de Ank , alors
\
I(Vi ) = I(
i∈Λ
Démonstration.
[
Vi )
i∈Λ
(1) On suppose X ⊂ Y
f ∈ I(Y ) =⇒ f (y) = 0 ∀y ∈ Y
=⇒ f (x) = 0 ∀x ∈ X
=⇒ f ∈ I(X)
=⇒ I(Y ) ⊂ I(X)
(2) Soit X ⊂ Ank et x ∈ X.
x ∈ X =⇒ f (x) = 0 ∀f ∈ I(X), donc x ∈ V (I(X)). Ainsi X ⊂ V (I(X)).
Montrons que X = V (I(X)) si et seulement si X est un ensemble algébrique.
(a) Si X = V (I(X)) alors X est algébrique par définition d’un ensemble algébrique.
(b) Si X = V (S) est un ensemble algébrique, il existe un idéal J0 = hSi de A tel que
X = V (J0 ).
f ∈ J0 =⇒ f (x) = 0 ∀x ∈ X
=⇒ f ∈ I(X)
=⇒ J0 ⊂ I(X)
=⇒ V (I(X)) ⊂ V (J0 )
=⇒ V (I(X)) ⊂ X.
Or X ⊂ V (I(X)), donc X = V (I(X)).
(3) Soit J un idéal de A.
f ∈ J =⇒ f (x) = 0 ∀x ∈ V (J) =⇒ f ∈ I(V (J)) =⇒ J ⊂ I(V (J)).
(4)
F ∈
\
I(Vi ) ⇐⇒ F ∈ I(Vi ) ∀i ∈ Λ
i∈Λ
⇐⇒ F (x) = 0 ∀i ∈ Λ, ∀x ∈ Vi
⇐⇒ F (x) = 0, ∀x ∈ ∪Vi
[
⇐⇒ F ∈ I( Vi )
i∈Λ
8.3. ENSEMBLES ALGÉBRIQUES IRRÉDUCTIBLES
91
Remarque 8. D’après (2) I définit une injection de {X algébrique affine } vers { idéaux de A}.
En effet soit X1 et X2 deux ensembles algébriques affines tel que I(X1 ) = I(X2 ).
I(X1 ) = I(X2 ) =⇒ V (I(X1 )) = V (I(X2 )) =⇒ X1 = X2
Définition 109. Soit X ⊂ Ank un ensemble algébrique affine, I(X) l’idéal associé à X.
L’anneau quotient Γ(X) = A/I(X) est appelé anneau des coordonnées affines de X.
Γ(X) = k[X1 , X2 , . . . , Xn ]/I(X) est une k-algèbre de type fini.
8.3. Ensembles algébriques irréductibles
Proposition 23. Soit X un sous-ensemble algébrique affine, alors les conditions suivantes sont équivalentes :
(1) Si X = X1 ∪ X2 avec X1 et X2 des fermés alors X = X1 ou X = X2 .
(2) Si U1 et U2 sont des ouverts de X tel que U1 ∩ U2 = ∅ alors U1 = ∅ ou U2 = ∅.
(3) Tout ouvert non vide U de X est dense dans X.
Démonstration. L’équivalence de (1) et (2) provient de l’équivalence suivantes
U1 ∩ U2 = (X \ U1 ) ∪ (X \ U2 ) = X
Un sous-ensemble U de X est dense si et seulement si l’intersection de U et de tout
ouvert non vide de X est non vide. Autrement dit :
∀V ouvert de X, U ∩ V 6= ∅
Ceci montre que (2) et (3) sont équivalentes.
Définition 110. Un ensemble algébrique X ⊂
conditions de la proposition ci-dessus.
Ank
est irréductible s’il vérifie l’une des
Théorème 53. Soit X ⊂ Ank un ensemble algébrique et I(X) l’idéal associé à X. Alors
X est irréductible si et seulement si I(X) est un idéal premier.
Démonstration.
(1) Supposons que X n’est pas irréductible. Il existe deux sousensembles algébriques propres X1 et X2 de X tel que X = X1 ∪ X2 .
X1 $ X =⇒ I(X) $ I(X1 )
=⇒ ∃f ∈ I(X1 ) tel que f ∈
/ I(X)
De même X2 $ X =⇒ ∃g ∈ I(X2 ) tel que g ∈
/ I(X). Mais on a ∀x ∈ X = X1 ∪ X2 ,
f g(x) = 0, d’où f g ∈ I(X). Donc l’idéal I(X) n’est pas premier.
(2) Supposons que I(X) n’est pas un idéal premier. Il existe f ∈ A, g ∈ A tel que
f g ∈ I(X) mais f ∈
/ I(X) et g ∈
/ I(X).
Posons, J1 = I(X) + f A, J2 = I(X) + gA, X1 = V (J1 ) et X2 = V (J2 ). X1 et X2
sont alors des sous-ensembles algébriques propres de X.
I(X) $ J1 =⇒ V (J1 ) $ V (I(X)) = X
=⇒ X1 $ X
92
8. LES ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
De même X2 ⊂ X. Donc X1 ∪ X2 ⊂ X.
Et ∀x ∈ X, on a :
f g(x) = 0 =⇒ f (x) = 0 ou g(x) = 0
=⇒ x ∈ X1 ou x ∈ X2
donc X ⊂ X1 ∪ X2 , par suite X = X1 ∪ X2 et X est réductible.
Théorème 54. Tout ensemble algébrique affine X ⊂ Ank se décompose de manière unique
(à permutation près des facteurs) sous la forme
X = X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xr
où les Xi sont des ensembles algébriques affines irréductibles et Xi 6⊂ Xj si i 6= j.
Démonstration.
(1) Existence de la décomposition
On raisonne par l’absurde en supposant qu’il existe un ensemble algébrique affine
non décomposable. L’ensemble Γ des ensembles algébriques affines non décomposable
est non vide. Notons les éléments de Γ ne sont pas irréductibles.
Posons Λ = {I(T ) | T ∈ Γ} =
6 ∅, comme A = k[X1 , . . . , Xn ] est un anneau noethérien, Λ admet un élément maximal J = I(X) où X ∈ Γ.
Comme X est réductible, il existe des ensembles algébriques affines Y et Z tel que
Y 6= X, Z 6= X et X = Y ∪ Z. Nous avons
Y ⊂ X et Z ⊂ X =⇒ I(X) ⊂ I(Y ) et I(X) ⊂ I(Z)
Par maximalité de I(X), on a Y ∈
/ Γ et Z ∈
/ Γ, donc Y et Z sont décomposables
Y = Y1 ∪ Y2 ∪ · · · ∪ Yr et Z = Z1 ∪ Z2 · · · ∪ Zq
donc X est décomposable. Donc on a une contradiction. D’où l’existence de la décomposition pour tout ensemble algébrique affine X.
(2) Unicité de la décomposition
r
`
[
[
Supposons que X =
Xi =
Ym avec Xi 6⊂ Xj , si i 6= j et Ym 6⊂ Yn si m 6= n.
i=1
m=1
Soit i ∈ [[1, r]], posons
Xi = X i ∩ X =
`
[
(Xi ∩ Ym )
m=1
Comme Xi est irréductible, ∃m0 ∈ [[1, `]] tel que Xi ∩ Ym0 = Xi , en particulier Xi ⊂
Ym0 .De même ∃j ∈ [[1, r]] tel que Ym0 ⊂ Xj .
On a Xi ⊂ Ym0 ⊂ Xj , donc Xi ⊂ Xj d’où i = j et Xi = Ym0 .
Définition 111. Les Xi sont appelés composantes irréductibles de X.
8.4. THÉORÈME DES ZÉROS DE HILBERT
93
8.4. Théorème des zéros de Hilbert
Théorème 55. Soit k un corps et A une k-algèbre de type fini. Si A est un corps, alors
A est une extension algébrique de k.
Démonstration. D’après le théorème 39 de Normalisation, il existe des éléments x1 , . . . , xn
de A algébriquement indépendants tel que A soit entier sur k[x1 , . . . , xn ]. Comme de plus A
est un corps, k[x1 , . . . , xn ] est aussi un corps.
Comme x1 , . . . , xn sont algébriquement indépendants, le morphisme
k[X1 , . . . , Xn ] −→ k[x1 , . . . , xn ]
P −→ P (x1 , . . . , xn )
est injectif, donc k[X1 , . . . , Xn ] est un corps par suite k[x1 , . . . , xn ] = k, donc A est une
extension algébrique de k.
Théorème 56. Soit k un corps algébriquement clos et m un idéal maximal de k[X1 , . . . , Xn ].
Il existe un unique a = (a1 , . . . , an ) ∈ Ank tel que
m = hX1 − a1 , X2 − a2 , . . . , Xn − an i = I(a)
Démonstration. Soit m un idéal maximal de k[X1 , . . . , Xn ].
L’anneau quotient k[X1 , . . . , Xn ]/m = K est un corps et de de plus est une k-algèbre de
type fini engendrée par les X i = π(Xi ) où π est la surjection canonique. D’après le théorème
55, K est une extension algébrique de k et comme k est algébriquement clos, on a K = k.
Donc ∀i ∈ [[1, n]], ∃ai ∈ k tel que π(Xi ) = ai , ce qui implique Xi − ai ∈ ker π = m donc
(8.4.1)
hX1 − a1 , X2 − a2 , · · · , Xn − an i ⊂ m
Soit P ∈ m, par divisions euclidiennes successives nous avons
P (X1 , . . . , Xn ) = (X1 − a1 )Q1 (X1 , . . . , Xn ) + · · · + (Xn − an )Qn (Xn ) + P (a1 , . . . , an )
P (X1 , . . . , Xn ) ∈ m =⇒ P (a1 , . . . , an ) = 0
=⇒ P ∈ hX1 − a1 , . . . , Xn − an i
(8.4.2)
=⇒ m ⊂ hX1 − a1 , . . . , Xn − an i
Les inclusions 8.4.1 et 8.4.2 entraînent que m = hX1 − a1 , . . . , Xn − an i.
Théorème 57. Soit k un corps algébriquement clos et J un idéal de A = k[X1 , . . . , Xn ]
distinct de A. Alors V (J) 6= ∅.
Démonstration. Soit J un idéal de A, il existe un idéal maximal m de A tel que J ⊂ m.
D’après le corollaire 56, il existe a = (a1 , . . . , an ) ∈ Ank tel que
V ({a}) = V (I(a)) ⊂ V (J), donc V (J) 6= ∅
94
8. LES ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
Théorème 58 (Nullstellensatz de Hilbert ). Soit k un corps algébriquement clos et n ≥ 1
un entier naturel. Alors
(1) Soit m un idéal maximal de k[X1 , . . . , Xn ], il existe un unique a = (a1 , . . . , an ) ∈ Ank
tel que
m = hX − a1 , X − a2 , . . . , X − an i.
(2) Soit J un idéal de A = k[X1 , . . . , Xn ] distinct de A. Alors on a V (J) 6= ∅.
√
(3) Pour tout idéal J de A = k[X1 , . . . , Xn ], on a I(V (J)) = J.
Démonstration.
(1) Elle découle du théorème 56
(2) Elle découle du théorème 57
√
(3) Soit f ∈ J
√
f ∈ J =⇒ ∃α ∈ N∗ | f α ∈ J ⊂ I(V (J))
=⇒ f α (x) = 0 ∀x ∈ V (J)
=⇒ f (x) = 0 ∀x ∈ V (J)
=⇒ f ∈ I(V (J))
√
=⇒ J ⊆ I(V (J))
√
Réciproquement soit J un idéal propre de A, montrons que I(V (J)) ⊂ J.
Soit P ∈ I(V (J)), montrons qu’il existe m ∈ N∗ tel que P m ∈ J.
On considère la partie multiplicative S = {1, P, P 2 , . . . , P n } et soit S −1 A l’anneau
localisé en S. On a un isomorphisme
k[X1 , . . . , Xn ][Y ]
hP Y − 1i
Q
7 → ϕ
−
= QY k
Pk
ϕ : S −1 A −→
Q
Pk
Soit J0 = hJ, P Y − 1i l’idéal de k[X1 , . . . , Xn ][Y ] engendré par J et P Y − 1.
J0
Montrons que ϕ(S −1 J) =
.
hP Y − 1i
Nous avons les implications suivantes :
Q
J0
Q ∈ J =⇒ ϕ
= QY k ∈
k
P
hP Y − 1i
J0
=⇒ ϕ(S −1 J) ⊂
hP Y − 1i
8.5. APPLICATIONS DU THÉORÈME DES ZÉROS DE HILBERT
95
Réciproquement,
J0
=⇒ ∃H1 ∈ J et ∃H2 ∈ hP Y − 1i tel que H = H1 + H2
H∈
hP Y − 1i
H1
=⇒ H = H1 = ϕ
P0
J0
⊂ ϕ(S −1 J)
=⇒
hP Y − 1i
On en déduit que
J0
(8.4.3)
ϕ(S −1 J) =
hP Y − 1i
Montons que S −1 J = S −1 A. Nous avons
(
Q(x1 , . . . , xn ) = 0, ∀Q ∈ J
(x1 , . . . , xn , y) ∈ V (J0 ) ⇐⇒
P (x1 , . . . , xn )y = 1
(
(x1 , . . . , xn ) ∈ V (J)
⇐⇒
P (x1 , . . . , xn )y = 1
Or P ∈ I(V (J)) et (x1 , . . . , xn ) ∈ V (J) =⇒ P (x1 , . . . , xn ) = 0. Ce qui est incompatible avec P (x1 , . . . , xn )y = 1. Donc V (J0 ) = ∅.
D’après le corollaire 57 on a
(8.4.4)
J0 = k[X1 , . . . , Xn ][Y ]
Les égalités (8.4.3) et (8.4.4)entraînent que S −1 J = S −1 A
1
1
∈ S −1 A = S −1 J =⇒
∈ S −1 J
1
1
=⇒ ∃m ∈ N∗ , Q ∈ J tel que
1
Q
= m
1
P
=⇒ ∃u ∈ S | u(P m − Q) = 0
=⇒ P m = Q ∈ J
√
=⇒ P ∈ J
8.5. Applications du théorème des zéros de Hilbert
Dans la suite du cours k est algébriquement clos.
(1) Dictionnaire Algèbre - Géométrie
Soit V un ensemble algébrique affine, I(V ) et Γ(V ) = k[X1 , . . . , Xn ]/I(V ) . Les
théorèmes des zéros de Hilbert, montrent l’application V −→ I(V ) réalise une bijection
décroissante de réciproque I −→ V (I) entre :
96
8. LES ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
(a) les points de Ank et les idéaux maximaux de A = k[X1 , . . . , Xn ]
(b) les ensembles algébriques affines irréductibles de Ank et les idéaux premiers de A.
(c) les ensembles algébriques affines et les idéaux radicaux de A
(2) Caractérisation des parties finies de Ank
Théorème 59. Soit V ⊂ Ank un ensembles algébrique affine. Alors V est fini si et
seulement si Γ(V ) est un k-espace vectoriel de dimension finie.
Démonstration. On suppose V = {x1 , . . . , xr } est fini. On considère
ϕ : k[X1 , . . . , Xn ] −→ k r
P −→ (P (x1 ), . . . , P (xr ))
ϕ est un morphisme d’anneaux et de k-espaces vectoriels
P ∈ ker ϕ ⇐⇒ ϕ(P ) = 0 ⇐⇒ P (xi ) = 0 ∀i ∈ [[1, r]] ⇐⇒ P ∈ I(V )
donc ker ϕ = I(V ) donc Γ(V ) = k[X1 , . . . , Xn ]/I(V ) est isomorphisme à un sousespace vectoriel de k n , donc Γ(V ) est de dimension finie.
Réciproquement supposons que Γ(V ) est un k-espace vectoriel de dimension finie
et soit Xi = π(Xi ) où π : k[X1 , . . . , Xn ] −→ Γ(V ) est la surjection canonique.
s
Pour tout i ∈ [[1, n]], la famille (Xi )s∈N est liée, donc ∃s ∈ N, aj ∈ k, j ∈ [[0, s]] tel
que
s
a0 + a1 X i + · · · + as X i = 0
Le polynôme a0 + a1 Xi + · · · + as Xis ∈ I(V ) donc
∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ V, on a a0 + a1 xi + · · · + as xsi = 0
Les xi sont racines de polynômes à coefficients dans k donc ils sont en nombre fini.
Ainsi V est un ensemble fini.
(3) Les hypersurfaces affines de Ank , sont les ensembles algébriques de la forme V (P )
avec P ∈ P [X1 , . . . , Xn ]. Si P est un polynôme irréductible. L’idéal hP i est premier
et le théorème des zéros de Hilbert entraîne que lorsque k est algébriquement clos,
l’ensemble algébrique V (P ) est irréductible.
m
Q
Si P n’est pas irréductible et si P =
Piri est la décomposition de P en polynômes
i=1
irréductibles, les V (Pi ) sont les composantes irréductibles de V (P ).
Le théorème des zéros de Hilbert montre qu’il y a une correspondance bijective
entre l’ensemble des hypersurfaces affines irréductibles et l’ensemble des Polynômes
non constants et irréductibles de k[X1 , . . . , Xn ].
(4) Soit V et W deux ensembles algébriques affines tel que W ⊂ V . On a I(V ) ⊂ I(W ).
On note
IV (W ) = {f ∈ Γ(V ) | f (y) = 0 ∀y ∈ W }
IV (W ) est un idéal de Γ(V ) et on a un isomorphisme entre Γ(V )/IV (W ) et I(W ).
8.5. APPLICATIONS DU THÉORÈME DES ZÉROS DE HILBERT
97
Si J est un idéal de Γ(V ), on définit V (J) = V (π −1 (J)).
V (J) = x ∈ V | f (x) = 0 ∀f ∈ π −1 (J)
Le théorème des zéros de Hilbert, montre que si V est une variété algébrique
affine, l’applicatin W −→ IV (W ) réalise une bijection décroissante, de réciproque
J −→ V (π −1 (J)) entre :
(a) Les points de V et les idéaux maximaux de Γ(V ).
(b) Les sous-ensembles algébriques affines irréductibles de V et les idéaux premiers de
Γ(V ).
(c) Les sous-ensembles algébriques affines de V et les idéaux radicaux de Γ(V ).
Chapitre 9
Les morphismes d’ensembles algébriques affines
9.1. Applications régulières
Dans tout ce paragraphe V désigne un sous ensemble algébrique affine de Ank .
Définition 112. Une application polynomiale sur V est une application f : V −→ k
tel qu’il existe un polynôme P ∈ k[X1 , . . . , Xn ], avec f (x) = P (x) ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ V ,
autrement dit les restrictions de P et f à V sont égales, P |V = f |V .
Remarque 9. Le polynôme P n’est pas unique.
Soient P, Q ∈ k[X1 , . . . , Xn ] tel que P |V = Q |V
P |V = Q |V ⇐⇒ (P − Q) |V = 0 ⇐⇒ P − Q ∈ I(V )
On note par k[V ] l’ensemble des applications polynomiales sur V
k[V ] = {f : V −→ k polynomiale}
k[V ] est une k-algèbre, sous-algèbre de l’ensemble des applications de V dans k, munie de
l’addition et de la multiplication provenant de k.
La proposition suivante montre que k[V ] est isomorphe à l’algèbre des coordonnées affines
de V .
Proposition 24. Soit V un ensemble algébrique affine de Ank et I(V ) l’idéal de k[X1 , . . . , Xn ]
associé à V . Alors les k-algèbres, k[V ] et Γ(V ) = k[X1 , . . . , Xn ]/I(V ) sont isomorphes.
Démonstration. On considère l’application
ϕ : k[X1 , . . . , Xn ] −→ k[V ]
P −→ ϕ(P ) = f
avec
f : V −→ k
x = (x1 , . . . , xn ) −→ f (x) = P (x)
ϕ est un morphisme d’anneaux surjectifs.
P ∈ ker ϕ ⇐⇒ ϕ(P ) = 0
⇐⇒ f (x) = 0 ∀x ∈ V
⇐⇒ P (x) = 0 ∀x ∈ V
⇐⇒ P ∈ I(V )
Donc ker ϕ = I(V ). D’après le théorème d’isomorphisme Γ(V ) = k[X1 , . . . , Xn ]/I(V ) est
isomorphe à k[V ].
99
100
9. LES MORPHISMES D’ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
Remarque 10. I(V ) est un idéal radical, en effet, posons J = I(V ). Comme V est un
ensemble algébrique, on a :
V (J) = V (I(V )) = V, donc I(V (J)) = I(V ) = J
√
√
Mais d’après le théorème des zéros de Hilbert, on a I(V (J)) = J, donc J = J. On en
déduit que k[V ] est une k-algèbre réduite c’est à dire que k[V ] n’a pas d’éléments nilpotents
non nuls.
Définition 113. Soient V ⊂ Ank et W ⊆ Am
k deux ensembles algébriques affines. Une
application ϕ : V −→ W est dite régulière s’il existe m polynômes P1 , . . . , Pm ∈ k[X1 , . . . , Xn ]
tel que
ϕ(x) = (P1 (x), . . . , Pm (x)) ∀x ∈ V
Une application régulière ϕ : V −→ W est aussi appelée morphisme d’ensembles algébriques
affines.
Proposition 25. Soit y1 , y2 , . . . , ym les fonctions coordonnées sur Am
k . Une application
ϕ : V −→ W est un morphisme si et seulement si
ϕi = yi ◦ ϕ ∈ k[V ], ∀i ∈ [[1, m]]
Démonstration. Posons ϕi = yi ◦ ϕ.
Si ϕ est un morphisme, alors il existe P1 , . . . , Pm ∈ k[X1 , . . . , Xn ] tel que
ϕ(x) = (P1 (x), . . . , Pm (x)) ∀x ∈ V
Alors ϕi (x) = yi ◦ ϕ(x) = Pi (x), ∀i ∈ [[1, m]], donc ϕi ∈ k[V ], ∀i ∈ [[1, m]].
Réciproquement supposons que ϕi est une application polynomiale. On a alors pour tout
i ∈ [[1, m]], il existe Qi ∈ k[X1 , . . . , Xn ] tel que ϕi (x) = Qi (x). Donc nous avons
ϕ(x) = (ϕ1 (x), . . . , ϕm (x)) = (Q1 (x), . . . , Qm (x))
donc ϕ est un morphisme.
Remarque 11. Une fonction polynomiale f : V −→ k est un morphisme de V dans A1k .
Proposition 26. Un morphisme ϕ : V −→ W est une application continue pour la
topologie de Zariski.
Démonstration. Soit ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) un morphisme.
ϕ est continue si les ϕi sont continues ∀i ∈ [[1, m]], il suffit donc de vérifier que ϕi :
V −→ A1k est continue pour la topologie de Zariski, pour cela il suffit de vérifier que l’image
réciproque d’un fermé de A1k est un fermé de V .
Un ensemble algébrique fermé de A1k est soit A1k , soit ∅ ou une partie finie de A1k . On a
−1
1
1
ϕi (∅) = ∅ et ϕ−1
i (Ak ) = Ak sont des fermés. Soit a ∈ k, il suffit de montrer que
ϕ−1
i (a) = {(x1 , . . . , xn ) ∈ V | ϕi (x1 , . . . , xn ) = a}
est fermé.
9.1. APPLICATIONS RÉGULIÈRES
101
Comme ϕi est polynomiale, il existe P ∈ k[X1 , . . . , Xn ] tel que ϕi (x) = P (x), ∀x ∈ V .
Nous avons
ϕ−1
i (a) = {(x1 , . . . , xn ) ∈ V | P (x1 , . . . , xn ) = a}
= {(x1 , . . . , xn ) ∈ V | P (x1 , . . . , xn ) − a = 0}
est un ensemble algébrique affine de V , donc un fermé de V .
Exemple 18.
(1) Soit C0 = {(x, y) ∈ A2k | y − x2 = 0}
k[C0 ] = k[X, Y ]/hY − X 2 i ' k[X] ' k[A1k ]
ϕ : A1k −→ C0
t −→ ϕ(t) = (t, t2 ) est un morphisme
(2) C1 = {(x, y) ∈ A2k | y 2 − x3 = 0}
k[C1 ] = k[X, Y ]/hY 2 − X 3 i
ϕ : A1k −→ C1
t −→ ϕ(t) = (t2 , t3 ) est un morphisme
`
Proposition 27. Soit V ⊂ Ank , W ⊂ Am
k et X ⊂ Ak trois ensembles algébriques affines,
ϕ : V −→ W et ψ : W −→ X deux morphismes. Alors ψ ◦ ϕ : V −→ X est un morphisme.
Démonstration. Comme φ et ψ sont des morphismes ∃P1 , . . . , Pm ∈ k[X1 , . . . , Xn ], et
Q1 , . . . , Q` ∈ k[Y1 , . . . , Ym ] tels que
ϕ(x) = (P1 (x), . . . , Pm (x)) = (y1 , . . . , ym ) = y et ψ(y) = (Q1 (y), . . . , Q` (y))
ψ ◦ ϕ(x) = (Q1 (y)), . . . , Q` (y)), donc ψ ◦ ϕ est un morphisme.
Soit ϕ : V −→ W un morphisme, pour f ∈ k[W ]. On définit ϕ∗ (f ) = f ◦ ϕ
ϕ
V
-
W
@
f
ϕ∗ (f )
@
@
R
@
?
A1k
Nous avons une application
ϕ∗ : k[W ] −→ k[V ]
f −→ ϕ∗ (f ) = f ◦ ϕ
Lemme 9. Soit ϕ : V −→ W et ψ : W −→ X deux morphismes. Alors on a
(ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ .
102
9. LES MORPHISMES D’ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
Démonstration. Soit h ∈ k[X], on a
(ψ ◦ ϕ)∗ (h) = h ◦ (ψ ◦ ϕ)
= (h ◦ ψ) ◦ ϕ
= ϕ∗ (h ◦ ψ)
= ϕ∗ (ψ ∗ (h))
= ϕ∗ ◦ ψ ∗ (h)
Donc (ψ ◦ ϕ)∗ (h) = ϕ∗ ◦ ψ ∗ (h), ∀h ∈ k[V ], d’où (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ .
Proposition 28. Soit ϕ : V −→ W un morphisme d’ensembles algébriques affines. Alors
ϕ : k[W ] −→ k[V ] est un morphisme de k-algèbre.
∗
Démonstration. Soit f1 , f2 ∈ k[W ] et ϕ : V −→ W un morphisme, alors :
(1) ϕ∗ (f1 + f2 ) = (f1 + f2 ) ◦ ϕ = f1 ◦ ϕ + f2 ◦ ϕ = ϕ∗ (f1 ) + ϕ∗ (f2 )
(2) On considère x ∈ V , nous avons
ϕ∗ (f1 f2 )(x) = (f1 f2 ) ◦ ϕ(x)
= f1 f2 (ϕ(x))
= f1 (ϕ(x))f2 (ϕ(x))
= (f1 ◦ ϕ(x))(f2 ◦ ϕ)(x)
Donc ϕ∗ (f1 f2 ) = ϕ∗ (f1 ϕ∗ (f2 )
(3) ∀c ∈ k, ϕ∗ (c) = c.
Donc ϕ∗ : k[W ] −→ k[V ] est un morphisme de k-algèbre.
D’après la proposition ci-dessus, tout morphisme ϕ : V −→ W d’ensembles algébriques
affines définit un morphisme de k-algèbre ϕ∗ : k[W ] −→ k[V ]. Réciproquement nous avons :
Théorème 60. Soient V et W deux ensembles algébriques affines. Si θ : k[W ] −→ k[V ]
est un morphisme de k-algèbre, alors il existe un unique morphisme ϕ : V −→ W tel que
ϕ∗ = θ.
Démonstration. Soit θ : k[W ] −→ k[V ] un morphisme de k-algèbre,
k[W ] = k[Y1 , . . . , Ym ]/I(W ) = k[Y 1 , . . . , Y m ] où Y i = π(Yi )
π étant la projection canonique.
Posons :
ϕi = θ(Y i ) ∈ k[V ] et ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) : V −→ Am
k
ϕ est un morphisme car les ϕi sont polynomiales.
Montrons que ϕ(x) ∈ W , ∀x ∈ V . Soit H(Y1 , . . . , Ym ) ∈ I(W ), on a H(Y 1 , . . . , Y m ) = 0
car les Y i engendrent la k-algèbre k[W ].
H(ϕ(x)) = H(ϕ1 (x), . . . , ϕm (x)) = H(θ(Y1 ), . . . , θ(Ym ))(x)
9.1. APPLICATIONS RÉGULIÈRES
103
Comme θ est un morphisme de k-algèbre, on a :
H(θ(Y 1 ), . . . , θY m )) = θ(H(Y 1 ), . . . , Y m ) = 0
donc H(ϕ(x)) = 0, ∀H ∈ I(W ), d’où ϕ(x) ∈ V (I(W )) = W . De plus ϕ∗ (Yi ) = ϕi = θ(Yi ),
donc ϕ∗ = θ.
L’unicité de ϕ découle de l’unicité des ϕi = θ(Yi ).
Corollaire 11. On a une bijection :
{ϕ | ϕ : V −→ W est un morphisme} −→ {ϕ | ϕ : k[W ] −→ k[V ]}
ϕ −→ ϕ∗
Définition 114. Un morphisme d’ensembles algébriques affines ϕ : V −→ W est un
isomorphisme s’il existe un morphisme ψ : W −→ V tel que ϕ ◦ ψ = idW et ψ ◦ ϕ = idV .
Proposition 29. Soit ϕ : V −→ W un morphisme. ϕ est un isomorphisme d’ensembles
algébriques affines si et seulement si ϕ∗ : k[W ] −→ k[V ] est un isomorphisme de k-algèbre.
V et W sont isomorphes si et seulement si leurs algèbres k[V ] et k[W ] sont isomorphes.
Démonstration. La propositin découle des égalités
(ϕ ◦ ψ)∗ = ψ ∗ ◦ ϕ∗ et (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗
Exemple 19.
(1) Soit A = (ai,j )1≤i,j≤n une matrice carrée d’ordre n inversible à coefficients dans k.
ϕ : Ank −→ Ank
(x1 , . . . , xn ) −→ ϕ(x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn )
avec
yi =
n
X
ai,j xj
j=1
est un isomorphisme.
(2) On considère la parabole C0 = {(x, y) ∈ Ank | y − x2 = 0}
ϕ : A1k −→ C0
t −→ ϕ(t) = (t, t2 )
et
ψ : C0 −→ A1k
(x, y) −→ ψ(x, y) = x
ϕ et ψ sont des morphismes et ψ fourni un inverse de ϕ donc ϕ est un isomorphisme.
ϕ∗ : k[C0 ] = k[X, Y ]/hY −X 2 i ' k[X] −→ k[A1k ] = k(t)
x −→ ϕ∗ (x) = t
est un isomorphisme de k-algèbres.
104
9. LES MORPHISMES D’ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
(3) On considère C1 = {(x, y) ∈ A2k | y 2 = x3 }
ϕ : A1k −→ C1
t −→ ϕ(t) = (t2 , t3 ).
ϕ est un morphisme bijectif, de bijection réciproque
ψ : C1 −→ A1k
(y
(x, y) −→ ψ(x, y) =
, si (x, y) 6= (0, 0);
x
0, si (x, y) = 0
ψ n’est pas polynomiale, donc ϕ n’est pas un isomorphisme de variétés algébriquues
affines. Ce fait peut se varier directement en considérant
ϕ∗ : k[C1 ] −→ k[A1k ] = k[t]
ϕ∗ (k[C1 ]) est engendré par ϕ∗ (x) = t2 et ϕ∗ (y) = t3 . Par suite ϕ∗ (k[C1 ]) 6= k[t].
Donc ϕ n’est pas un isomorphisme.
Définition 115. Soit ϕ : V −→ W un morphisme. On dit ϕ est dominant si l’adhérence
de ϕ(V ) pour la topologie de Zariski est W c’est à dire ϕ(V ) = W .
Proposition 30. Soit ϕ : V −→ W un morphisme. Alors ϕ est dominant si et seulement
si ϕ∗ est injectif.
Démonstration.
— Supposons ϕ est dominant.
∗
Soit f ∈ ker ϕ .
f ∈ ker ϕ∗ =⇒ ϕ∗ (f ) = 0
=⇒ f ◦ ϕ = 0
=⇒ f (ϕ(x)) = 0, ∀x ∈ V
donc f est nulle sur ϕ(V ). Comme f est continue et ϕ(V ) dense dans W , f est nulle
sur W , par suite ker ϕ∗ = {0} donc ϕ∗ est injective.
— Soit X = ϕ(V ), X est alors un ensemble algébrique affine inclus dans W .
Si X 6= W , on a X $ W =⇒ I(W ) $ I(X) donc ∃f ∈ k[W ] non nul et nul sur
X. Mais
f ◦ ϕ = ϕ∗ (f ) = 0
, donc f ∈ ker ϕ∗ , d’où ker ϕ∗ 6= {0}.
Par contraposé ker ϕ∗ injectif =⇒ ϕ(V ) = W .
Théorème 61. Soit k un corps algébriquement clos, le foncteur
Γ : V −→ k[V ] et (ϕ : V −→ W ) −→ (ϕ∗ : k[W ] −→ k[V ]
, est une équivalence de catégories entre la catégorie des ensembles algébriques affines munie des applications régulières et la catégorie des k-algèbres de type fini réduite, munie des
morphismes de k-algèbres.
9.2. PRODUITS D’ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
105
Démonstration. Il suffit de construire le foncteur G inverse de Γ.
Soit A un k-algèbre de type réduite. Il existe un anneau de polynôme k[X1 , . . . , Xn ] et un
idéal I tel que A = k[X1 , . . . , Xn ]/I . Comme A est réduite I est un idéal radical, on pose
√
V = V (I), I(V ) = I(V (I)) = I = I, donc A = Γ(V ) = k[V ]
On pose G(A) = V . Soit f : A −→ B un morphisme de k-algèbres de type fini réduites, on
considère ϕ : G(B) −→ G(A) tel que
ϕ∗ = f, on a G(ϕ∗ ) = G(f ) = ϕ
Les foncteurs Γ et G définissent une équivalence de catégories
Γ ◦ G(A) = Γ(G(A)) = Γ(V ) = A,
G ◦ Γ(V ) = G(Γ(V )) = G(A) = V,
Γ ◦ G(ϕ∗ ) = Γ(G(f )) = Γ(ϕ) = f
G ◦ Γ(ϕ) = G(Γ(ϕ)) = G(ϕ∗ ) = G(f ) = ϕ
9.2. Produits d’ensembles algébriques affines
Proposition 31. Soient V ⊂ Ank et W ⊂ Am
k deux ensembles algébriques affines.
n+m
(1) le produit cartésien V × W ⊂ Ak
est un ensemble algébrique affine
(2) Si V et W sont irréductibles alors V × W est aussi irréductible.
Démonstration.
(1) Comme V et W sont des ensembles algébriques affines,il existe
P1 , . . . , P` ∈ k[X1 , . . . , Xn ] et Q1 , Q2 , . . . , Qr ∈ k[X1 , . . . , Xn ] tel que V = {P1 = P2 = · · · = P` = 0}
et W = {Q1 = Q2 = · · · = Qr = 0}. Donc
V × W = {P1 = P2 = · · · = P` = Q1 = · · · = Qr = 0} est un ensemble algébrique
affine.
(2) Soit w ∈ W, la projection suivant le premier facteur induit un isomorphisme entre
V × {ω} et V. De même {v} × W et W ∀v ∈ V. On suppose qu’il existe une
décomposition V × W = Z1 ∪ Z2 . On a V × {w} = (V × {w} ∩ Z1 ) ∪ (V × {w} ∩ Z2 ).
Comme V ×{w} est isomorphe à V et V irréductible alors V ×{w} est irréductible.
Donc on a
V × {w} ⊂ Z1 = V × {w} ou V × {w} ∩ Z2 = V × {w}
V × {w} ⊂ Z1 ou V × {w} ⊂ Z2
(1).
Posons W1 = w ∈ W / V × {w} ∩ Z1 et W2 = w ∈ W / V × {w} ∩ Z2 , la
c’est à dire
relation (1) implique que W
= W1 ∪ W2 . Montrons
que W1 et W2 sont des fermés.
v
v
Soit v ∈ V , posons W1 = w ∈ W / (v, w) ∈ Z1 et W2 = w ∈ W / (v, w) ∈ Z2 .
Les équivalences
(v, w) ∈ {v} × W1v ⇐⇒ w ∈ W1v ⇐⇒ (v, w) ∈ Z1 .
106
9. LES MORPHISMES D’ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
v
v
montrent
\ que {v} × W1 = ({v} × W ) ∩ Z1\est fermé, d’où W1 est un fermé. Ainsi
W1 =
W1v est fermé, de même W2 =
W2v , on a
v∈V
v∈V
W = W1 ou W = W2 , donc V × W = Z1 ou V × W = Z2 .
Ainsi V × W est irréductible.
Remarque 12. La topologie de Zariski sur Akn+m n’est pas la topologie produit de Ank
avec celle de Am
k .
Pour k = R, les fermés pour la topologie produit de A2R sont ∅, A2R , les sous - ensembles
finis et une réunion
finie de droites verticales et horizontales.
Le cercle C = (x, y) ∈ A2R / x2 + y 2 = 1 est un fermé pour la topologie de Zariski de
A2R , mais n’est pas fermé pour la topologie produit.
9.3. Fonctions rationnelles et applications rationnelles
Soit V un ensemble algébrique affine irréductible, Γ(V ) = k[V ] est une k - algèbre de
type fini réduite et intègre.
Définition 116. Soit V un ensemble algébrique affine irréductible, le corps de fraction
de l’anneau intègre k[V ] est appelé corps des fractions rationnelles sur V , on le note k(V ).
Un élément f ∈ k(V ) est appelé fonction rationnelle sur V .
ng
o
On a k(V ) =
| g, h ∈ k[V ], h 6= 0
h
Définition 117. Soit f ∈ k(V ) une fonction rationnelle sur V . On dit que f est
g
régulier en un point x ∈ V s’il existe un voisinage Ux de x et g, h ∈ k[V ] tel que f =
h
avec h(t) 6= 0, ∀t ∈ Ux . Si f est régulier en x, on dit que f est définie en x.
Définition 118. Soit V un ensemble algébrique affine irréductible, f ∈ k(V ) et U un
ouvert de V . On dit que f est régulier sur U , s’il est régulier en tout point de U .
Remarque 13. Soit V un ensemble algébrique affine irréductible, f ∈ k(V ). Si f est
régulier en x ∈ V , il existe un voisinage ouvert Ux de x tel que
g
f = , g, h ∈ k[V ], h(t) 6= 0 ∀t ∈ Ux (1).
h
De même si f est régulier en x0 ∈ V avec x 6= x0 , il existe un voisinage ouvert Ux de x tel que
g0
f = 0 , g 0 , h0 ∈ k[V ], h0 (t) 6= 0 ∀t ∈ Ux0 (2).
h
Sur l’intersection Ux ∩Ux0 , on a gh0 = hg 0 et les égalités (1) et (2) sont appelées représentations
locales de f en x et x0 . Notons que si f est régulier sur un ouvert U de V , en général f n’admet
pas une représention globale valable sur U tout entier comme le montre l’exemple suivant :
9.3. FONCTIONS RATIONNELLES ET APPLICATIONS RATIONNELLES
107
Exemple 20.
Soit F (X, Y, Z, T ) = XY − ZT ∈ C[X, Y, Z, T ] et V = V (F ) ⊂ A4C . Le polynôme F est
irréductible donc V est un ensemble algébrique affine irréductible. On consière les f1 = X,
f2 = Y , f3 = Z et f4 = T dans C[V ] = Γ(V ). On a f1 f2 − f3 f4 = 0 dans C[V ], donc
f4
f1
=
∈ C(V ).
f=
f3
f2
f1
La fonction rationnelle
est une représentation locale de f sur l’ouvert
f3
U3 = {x ∈ V | y3 (x) 6= 0}
f4
est une représentation locale de f sur l’ouvert
et
f2
U2 = {x ∈ V | y2 (x) 6= 0} .
La fonction rationnelle f est régulier sur U = U2 ∪ U3 mais n’a pas de représentation globale
sur U .
Définition 119. Soit V un ensemble algébrique affine irréductible et f ∈ k(V ) une
fonction rationnelle sur V . Le domaine de définition de f est l’ensemble
dom(f ) = x ∈ V /f régulier en x .
L’ensemble des points où f n’est pas régulier est appelé ensemble polaire de f.
Proposition 32. Soit f ∈ k(V ), l’ensemble polaire de f
algébrique de V .
est un sous - ensemble
Démonstration. Soit V un ensemble algébrique affine irréductible, f ∈ k(V ) et Yf
l’ensemble polaire de f. On considère l’idéal des dénominateurs de f ,
g
Jf = h ∈ k[V ] | hf ∈ k[V ] = h ∈ k[V ] | f = , g ∈ k(V ) ∪ 0 .
h
Si on pose h = P est la classe d’un polynôme P ∈ k[X1 , · · · , Xn ] dans Γ(V ) = k[V ], on a
Jf = P ∈ k[X1 , . . . , Xn ] | P f ∈ k(V ) .
Les éléments de Yf sont les éléments de V
Yf = V (Jf ) est un ensemble algébrique affine.
annuler par les dénominateurs de f , donc
Définition 120. Pour tout h ∈ k[V ], l’ensemble D(h) = x ∈ V / h(x) 6= 0 est un
ouvert appelé ouvert principal de V .
Soit h ∈ k[V ], on considère la partie multiplicative S =
k[V ]h = S −1 k[V ] le localisé de k[V ] en S.
h /n ∈ N , on note par
n
108
9. LES MORPHISMES D’ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
Théorème 62. Soit V un ensemble algébrique irréductible affine et f ∈ k(V ) une
fonction rationnelle :
(1) dom(f ) est un ouvert dense de V
(2) dom(f ) = V ⇐⇒ f ∈ k[V ]
(3) dom(f ) ⊃ D(h) ⇐⇒ f ∈ k[V ]h .
Démonstration. Soit V un ensemble algébrique affine irréductible et f ∈ k(V )
(1) Soit Yf l’ensemble polaire de f , l’ensemble dom(f ) = V \Yf est un ouvert de Zariski
de V . Comme V est irréductible, dom(f ) est dense dans V .
(2) Nous avons les équivalences suivantes :
dom(f ) = V ⇐⇒ Yf = ∅
⇐⇒ V (Jf ) = ∅
⇐⇒ 1 ∈ Jf (d’après le théorème 58 des zéros de Hilbert)
⇐⇒ f ∈ k[V ]
(3) Soit h ∈ k[V ], nous avons
D(h) ⊂ dom(f ) ⇐⇒ h est un dénominateur de f
⇐⇒ h(x) = 0 ∀x ∈ Yf = V (Jf )
p
⇐⇒ h ∈ I(V (Jf )) = Jf
⇐⇒ ∃n ∈ N∗ tel que hn ∈ Jf
g
⇐⇒ f = n ∈ k[V ]h .
h
Définition 121. Soit V un ensemble algébrique
affine irréductible et x ∈ V. L’anneau
local de V au point x est l’anneau θV,x = f ∈ k(V ) / f régulier en x .
h ∈ k[V ], tel que h(x) 6= 0, θV,x = k[V ]h est l’anneau localisé de k[V ] en h.
Soit U ⊂ V un ouvert non vide de V, on définit
θ(U ) = θV (U ) = f ∈ k(V ) /f régulier sur U .
On définit sur θv (U ) les deux opérations
(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) et (ϕψ)(x) = ϕ(x) ψ(x).
θv (U ) munit de ces deux opérations est un anneau appelé anneau des fonctions régulières
sur U.
θV (φ) = {0} et θ(V ) = θV (V ) = k[V ]
d’après (2) du théorème ci-dessus). Soit h ∈ k[V ], D(h) = x ∈ V / h(x) 6= 0
θV (D(h)) = k[V ]h
d’après (3) du théorème ci-dessus.
9.3. FONCTIONS RATIONNELLES ET APPLICATIONS RATIONNELLES
109
Définition 122. Soit V un ensemble algébrique affine irréductible. Une application
ϕ : V −→ Ank est une application rationnelle s’il existe des fonctions rationnelles
ϕ1 , · · · , ϕn ∈ k(V ) tel que
ϕ(x) = (ϕ1 (x), · · · , ϕn (x))
∀x ∈ V.
ϕ est régulier en x si ϕi est régulier en x ∀i ∈ [[1, n]] dans ce cas
dom(ϕ) =
n
\
dom(ϕi ).
i=1
Définition 123. Soit V un ensemble algébrique affine irréductible et W ⊂ Am
k un
ensemble algébrique affine. Une application rationnelle ϕ : V −→ W une application
rationnelle ϕ : V −→ Ank tel que ϕ(x) ∈ W ∀x ∈ dom(f ).
Remarque 14. Soit ϕ : V −→ W une application rationnelle entre ensembles algébrique affines irréductibles. Comme dans le cas des applications régulières, on veut définir un
morphisme
ϕ∗ : k(W ) −→ k(V )
.
f −→ f ◦ ϕ = ϕ∗ (f )
Malheureusement la composée de deux applications rationnelles n’est pas une application
rationnelle. Comme le montre l’exemple suivant :
ϕ : A1k −→ A2k
x −→ ϕ(x) = (x, 0)
A2k −→ A1k
et ψ : (x, y) −→ ψ(x, y) = x
y
sont des applications rationnelles
2
dom(ψ) = (x, y) ∈ Ak / y 6= 0 ,
ϕ(A1k )
1
= (x, 0)/ x ∈ Ak
ϕ(A1k ) ∩ dom(ψ) = ∅, donc ψ ◦ ϕ ne définit pas une application rationnelle.
Définition 124. Une application rationnelle ϕ : V −→ W
ϕ(dom(ϕ)) est dense dans W .
est dite dominante si
Définition
125. Soit ϕ : V −→
W une application rationnelle et U ⊂ W. On définit
ϕ−1 (U ) = x ∈ dom(ϕ) | ϕ(x) ∈ U .
Remarque 15. Soit ϕ : V −→ W une application rationnelle dominante et f : W −→
une application rationnelle. L’ensemble dom(f ) est un ouvert dense de W, comme ϕ
est continue ϕ−1 (dom(f )) est un ouvert dense de dom(ϕ). La composée f ◦ ϕ : V −→ A1k
est définie sur ϕ−1 (dom(f )). On définit
A1k
ϕ∗1 : k[W ] −→ k(V )
f −→ ϕ∗1 (f ) = f ◦ ϕ
110
9. LES MORPHISMES D’ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
Soit f ∈ k[W ], nous avons
ϕ∗1 (f ) = 0 ⇐⇒ f ◦ ϕ = 0
⇐⇒ f (ϕ(x)) = 0 ∀x ∈ dom(ϕ)
⇐⇒ ϕ(dom(ϕ)) ⊂ V (f ).
Il en résulte que ϕ∗1 : k[W ] −→ k(V ) est injectif si et seulement si ϕ est dominant.
Pour une application rationnelle dominant ϕ : V −→ W on définit
ϕ∗ : k(W ) −→ k(V
) g
g
ϕ∗ (g)
−→ ϕ∗
= ∗1
h
h
ϕ1 (h)
ϕ∗ est un prolongement de ϕ∗1 à k(W ). L’application ϕ∗ est un morphisme de k - algèbre.
On a le théorème suivant :
Théorème 63. Soient V et W deux ensembles algébrique affine irréductibles.
(1) Toute application rationnelle dominante ϕ : V −→ W détermine un morphisme
ϕ∗ : k(W ) −→ k(V )
(2) Soit θ : k(W ) −→ k(V ) un morphisme de corps, alors il existe une unique application
rationnelle dominante ϕ : V −→ W tel que ϕ∗ = θ.
(3) Soient ϕ : V −→ W et ψ : W −→ X deux applications rationnelles dominantes.
Alors (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ .
Démonstration.
(1) découle de la remarque ci-dessus et le (3) découle de la définition de ϕ∗ et des propriétés des fonctions régulières.
(2) Soit y1 , · · · , ym les fonctions coordonnées engendrant k(W ).
Posons ϕi = θ(yi ) ∈ k(V ) et ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) : V −→ W . L’application ϕ est
une application rationnelle tel que ϕ∗ = θ. Les restrictions de ϕ∗ et θ à k[W ] sont
égales c’est à dire ϕ∗ k[W ] = θ k[W ] . Comme θ est un morphisme de corps, θ est
injectif, donc ϕ∗ k[W ] est injectif, d’où ϕ est dominant.
Définition 126. Une appplication rationnelle ϕ : V −→ W est appelée isomorphisme
birationnnelle si ϕ(V ) est dense dans W et s’il existe une application rationnelle ψ :
W −→ V tel que ψ(W ) est dense dans V et que l’on ait ϕ ◦ ψ = idW et ψ ◦ ϕ = idV .
Dans ce cas on dit que les variétés affines irréductibles V et W sont birationnellement
équivalentes.
Théorème 64. Soient V et W deux ensembles algébriques affines irréductibles. les
conditions suivantes sont équivalentes
(1) V et W sont birationnellement équivalentes
(2) les k-algèbres k(V ) et k(W ) sont isomorphes.
BASE D’OUVERTS DES ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
111
Variétés quasi - affines
Définition 127. On appelle variété quasi - affine tout ouvert d’un ensemble algébrique
affine.
Définition 128. Soient V et W deux ensembles algébriques affines, U1 et U2 deux
ensembles algébriques affines irréductibles contenues dans V et W respectivement.
(1) Un morphisme ϕ : U1 −→ W est une application rationnelle V −→ W −→ W tel
que U1 ⊂ dom(ϕ) c’est à dire que ϕ est régulier en tout point x ∈ U1
(2) Un morphisme ϕ : U1 −→ U2 est un morphisme U1 −→ W tel que ϕ(U1 ) ⊂ U2 .
(3) Un isomorphisme de variétés quasi - affines est un morphisme ϕ : U1 −→ U2 tel qu’il
existe un morphisme ψ : U2 −→ U1 vérifiant ψ ◦ ϕ = idU1 et ϕ ◦ ψ = idU2 .
2
2
3
Exemple 21. C1 = (x, y) ∈ Ak / y − x = 0
ϕ : A1k −→ C1
t −→ (t2 , t3 )
n’est pas un isomorphisme car k[A1k ]
et k[C1 ] ne sont pas isomorphes. Cependant
ϕ : A1k \{0} −→ C1 \{0, 0}
y
(x, y) −→ g(x, y) =
x
ϕ∗ est donnée par
1
ϕ∗ : k(C1 ) −→ k(A
k) =
k(t)
x
x
−→ ϕ∗
=t
y
y
Le morphisme ϕ∗ est injectif, car tout morphisme de corps est injectif et ϕ∗ aussi surjectif.
Donc C1 et A1k sont birationnellement équivalents.
Base d’ouverts des ensembles algébriques affines
Définition 129. Soit V un ensemble algébrique affine et f ∈ k[V ]. L’ensemble
D(f ) = x ∈ V / f (x) 6= 0
est un ouvert de V pour la topologie de Zariski appelé ouvert principal de V .
L’ensemble D(f ) est une variété algébrique quasi - affine.
La proposition suivante montrer que les D(f ), f ∈ k[V ] forment une base d’ouverts de V
pour la topologie de Zariski.
Proposition 33. Soit V une variété algébrique affine.
(1) Si f ∈ k[V ] et g ∈ k[V ] alors
D(f ) ∩ D(g) = D(f g)
112
9. LES MORPHISMES D’ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
(2) Tout ouvert non vide de V est réunion finie d’ouverts principaux.
Il en résulte que les ouverts principaux de V forment une base d’ouverts de V
pour la topologie de Zariski de V.
Démonstration.
(1) Soient f ∈ k[V ] et g ∈ k[V ]. Nous avons
x ∈ D(f ) ∩ D(g) =⇒ x ∈ D(f ) et x ∈ D(g)
=⇒ f (x) 6= 0 et g(x) 6= 0
=⇒ (f g)(x) = f (x)g(x) 6= 0
=⇒ x ∈ D(f g)
=⇒ D(f ) ∩ D(g) ⊂ D(f g)
Réciproquement on a
x ∈ D(f g) =⇒ (f g)(x) 6= 0
=⇒ f (x) 6= 0 et g(x) 6= 0
=⇒ x ∈ D(f ) ∩ D(g)
=⇒ D(f g) ⊂ D(f ) ∩ D(g).
On en déduit que D(f ) ∩ D(g) = D(f g).
(2) Soit U un ouvert de V . Le complémentaire W de U dans V est un ensemble
algébrique affine, son idéal I(W ) est de type fini. Donc il existe f1 , . . . , fr ∈ k[V ] tel
que I = hf1 , . . . , fr i. On a
W = x ∈ V / fi (x) = 0 ∀i ∈ [[1, r]]
Donc x ∈ U ⇐⇒ ∃i ∈ [[1, r]] tel que fi (x) 6= 0 ⇐⇒ ∃i ∈ [[1, r]] tel que x ∈ D(fi ).
On en déduit que
r
[
U = D(fi ).
i=1
Applications régulières sur une variété quasi - affine
Soit V ⊂ Ank une variété affine et U ⊂ V une variété quasi - affine.
Si f, g ∈ k[V ], l’application
U ∩ D(g) −→ k
x −→
est bien définie. On note cette fonction par
f
g
f (x)
g(x)
APPLICATIONS RÉGULIÈRES SUR UNE VARIÉTÉ QUASI - AFFINE
113
Définition 130. Soit U ⊂ V une variété quasi - affine. Une fonction ϕ : U −→ k est
dite régulière en x si dans un voisinage ouvert Ux de x, f, g ∈ k[V ] avec g(x) 6= 0 tel que
f
les restrictions de ϕ et de à Ux coïncident c’est à dire
g
ϕ
Ux
=
f
g
Ux
ϕ est dite régulière sur U si elle est régulière partout sur U. On note par OV (U ) l’ensemble
des fonctions régulières sur U.
Définition 131. Soit V ⊂ Ank un ensemble algébrique affine et U ⊂ V un ouvert
non vide de V. Une application ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) : U −→ Am
est régulière sur U si
k
∀i ∈ [[1, m]], ϕi : U −→ k est une fonction régulière.
Lemme 10. Soit V ⊂ Ank un ensemble algébrique affine, U ⊂ V une variété quasi
- affine et ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) : U −→ Am
une application. Les conditions suivantes sont
k
équivalentes
(1) ϕ est une application régulière
(2) Pour tout x ∈ U, il existe f1 , . . . , fm , g ∈ k[V ] avec g(x) 6= 0 et D(g) ⊂ U tel
que sur D(g),
f1 f2
fm
ϕ=
, ,··· ,
.
g g
g
Démonstration.
(1) Montrons que (2) =⇒ (1). Supposons (2) vérifiée.
Pour tout x ∈ U, il existe f1 , . . . , fm , g ∈ k[V ] avec g(x) 6= 0 tel que sur D(g),
fi
ϕi = . Donc pour i ∈ [[1, m]] la fonction ϕi est régulière. Par suite ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm )
g
est une application régulière.
(2) Montrons que (1) =⇒ (2). Supposons que ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) est une application
régulière sur U .
Soit x ∈ U , pour tout i ∈ [[1, m]], il existe hi , gi ∈ k[V ] avec gi (x) 6= 0 et tel
m
\
hi
que ϕi =
sur un voisinage Ui de x. Posons O = Ui , O est un voisinage ouvert
gi
i=1
de x. Comme les ouverts principaux affines constituent une base pour le topologie de
Zariski, il existe h ∈ k[V ] avec h(x) 6= 0 tel que D(h) ⊂ O.
On a
hi
D(h) ⊂ Ui ⊂ D(gi ) ∀i ∈ [[1, m]] et ϕi =
gi
m
Y
Posons g = hg1 , · · · , gm et fi = hi h g1 , . . . g̃i · · · gm = hi h gj ∈ k[V ]. Comme
j6=i
D(h) ⊂ D(gi ) ∀i ∈ [[1, m]], on a d’une part
114
9. LES MORPHISMES D’ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
D(g) = D(h) ∩
m
\
D(gi ) = D(h).
i=1
D’autre part, on a sur D(g)
fi
hi
fi gi = hi hg1 · · · gi . . . gm = hi g, donc
=
= ϕi .
g
gi
fm
f1
,··· ,
sur D(g).
Par suite ϕ =
g
g
Théorème 65. Soit V ⊂ Ank un ensemble algébrique affine et U ⊂ V un ouvert non
vide. Alors OV (U ) muni des lois suivantes est un anneau
(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) et (ϕψ)(x) = ϕ(x) ψ(x) ∀x ∈ U.
Démonstration. Soient ϕ et ψ deux fonctions régulières sur U et x ∈ U. Il existe
f1
f2
f1 , f2 , g1 , g2 ∈ k[V ] tel que g1 (x) 6= 0, g2 (x) 6= 0 et ϕ =
sur D(g1 ) et ψ =
sur
g1
g2
D(g2 ). L’ensemble D(g1 g2 ) = D(g1 ) ∩ D(g2 ) est un voisinage ouvert de x, de plus pour tour
b ∈ D(g1 g2 ), on a
(ϕ + ψ)(b) = ϕ(b) + ψ(b)
f1 (b) f2 (b)
+
g1 (b) g2 (b)
f1 (b)g2 (b) + f2 (b)g1 (b)
=
g1 (b) g2 (b)
f1 g2 + f2 g1
f1 f2
Donc ϕ + ψ =
sur D(g1 g2 ). De même ϕψ =
sur D(g1 g2 ). On en déduit
g1 g2
g1 g2
que ϕ + ψ et ϕψ sont des fonctions régulières sur U . On vérifie que les propriétés qui
définissent une structure d’anneau sont vérifiées.
=
Soit V ⊂ Ank un ensemble algébrique affine, le théorème suivant montre que les fonctions
régulières sur V sont les fonctions polynomiales.
Théorème 66. Soit V une variété affine. Alors OV (V ) = k[V ].
Démonstration. Toute fonction polynomiale est une application régulière donc
k[V ] ⊂ OV (V ).
f
sur D(g).
g
m
[
fi
L’espace topologique V est réunion finie d’ouverts principaux V = D(gi ) avec ϕ =
sur
gi
i=1
fi
fj
D(gi ). Sur D(gi gj ) = D(gi ) ∩ D(gj ), on a ϕ =
= , donc fi gj − fj gi = 0.
gi
gj
Soit ϕ ∈ OV (V ), pour tout x ∈ V , il existe f, g ∈ k[V ] tel que g(x) 6= 0 et ϕ =
APPLICATIONS RÉGULIÈRES SUR UNE VARIÉTÉ QUASI - AFFINE
115
Comme V = D(gi gj ) ∪ V (gi gj ), on a d’une part gi gj (fi gj − fj gi )(x) = 0 ∀x ∈ V , donc
on a fi gi gj2 = fj gj gi2 sur k[V ].
m
[
2
D’autre part, D(gi ) = D(gi ), donc V = D(gi2 ), par conséquent
i=1
V
2
(g12 , . . . , gm
)
=
m
\
V (gi2 ) = ∅.
i=1
D’après le théorème des zéros de Hilbert on a
q
2 i = I(V (g 2 , . . . , g 2 )) = k[V ],
hg12 , . . . , gm
1
m
donc
2
i
hg12 , . . . , gm
m
X
= k[V ]. Ainsi il existe q1 , . . . , qm ∈ k[V ] tel que 1 =
qi gi2 .
i=1
m
X
Posons ϕ =
qi fi gi ∈ k[V ]. On a
i=1
ϕgj2 =
m
X
i=1
donc ϕ =
qi fi gi gj2 =
m
X
qi fj gj gi2 = fj gj
i=1
m
X
qi gi2 = fj gj
i=1
fj
fi
=
= ϕ , d’où ϕ ∈ k[V ] et OV (V ) ⊂ k[V ]. On en déduit que k[V ] = OV (V ) gj
gi
Théorème 67. Soit V une variété algébrique affine et g ∈ k[V ].
Alors OV (D(g)) = k[V ]g ∼
= S −1 k[V ] où S = {g n / n ∈ N} .
Démonstration. Soit f ∈ k[V ], la restriction de f à D(g) définit une fonction
régulière sur D(g) et on a un morphisme
θ : k[V ] −→ OV (D(g))
f −→ θ(f ) = f D(g)
où f
est la restriction de f à D(g).
1
1
Comme
est régulière sur D(g), θ(f ) est inversible sur D(g) 1 = g
. D’après la
g
g
b
propriété universelle sur les localisés, il existe
un morphisme θ : k[V ]g −→ OV (D(g)) tel que
f
θ(f )
θ = θb ◦ iS . Ce morphisme est donné par θb
= θ(f )(θ(s))−1 =
. Montrons que θb est
g
θ(g n )
un isomorphisme.
D(g)
f
θb
= 0 =⇒ θ(f ) = 0
g
=⇒ f D(g) = 0.
116
9. LES MORPHISMES D’ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES
Comme V = D(g) ∪ V (g), on a f g = 0 sur V, donc f g = 0 sur k[V ]. On en déduit que
θb est injectif. Montrons que θb est surjective.
Soit ϕ ∈ OV (D(g)), ϕ est une fonction régulière sur l’ouvert D(g). Il existe r ∈ N∗ ,
des fonctions fi , gi ∈ k[V ], i ∈ [[1, r]] tel que
r
[
fi
fi
fj
D(g) = D(gi ) et ϕ =
sur D(gi ). Sur D(gi , gj ) on a
= .
gi
gi
gj
i=1
r
[
Comme D(g) = D(gi ), on a V (g) = V (g1 , . . . , gr ).
i=1
D’après le théorème des zéros de Hilbert on a I(V (g)) = I(V (g1 , . . . , gr )) c’est à dire
p
p
hg1 , · · · , gr i = hgi.
Nous avons
g ∈ hgi =⇒ g ∈
p
hg1 , . . . , gr i
=⇒ ∃n ∈ N∗ | g n ∈ hg1 , . . . , gr i
n
=⇒ ∃q1 , . . . , qr ∈ k[V ] tel que g =
r
X
qi gi
i=1
Posons ψ =
r
X
qi fi ∈ k[V ] on a
i=1
ψ gj =
r
r
X
X
qi fi gj =
qi f j gi
i=1
= fj
r
X
i=1
i=1
qi fi = g n fj =⇒
ψ
fj
=
= D(hj )
n
g
gj
ψ
b ψ = ϕ. On en déduit que θb est surjective.
donc
=
ϕ
sur
D(g),
donc
θ
gn
gn
Ainsi OV (D(g)) et k[V ]g sont isomorphes.
Chapitre 10
Variétés projectives
10.1. Ensembles algébriques projectifs
On suppose le corps k infini.
10.1.1. Espace projectif de dimension n. Soit V un k-espace vectoriel de dimension
n + 1. On considère la relation d’équivalence sur V \ {0} définie par
uRv ⇐⇒ ∃λ ∈ k ∗ | u = λv
Définition 132. L’espace projectif associé à V noté P(V ) est l’ensemble quotient de
V \ {0} par la relation d’équivanlence R. Les points de P(V ) sont les droites vectorielles de
V.
Soit V un k-espace vectoriel de dimension n + 1 muni d’une base (e0 , e1 , · · · , en ) et
π : V \ {0} −→ P(V )
la surjection canonique.
Soit x ∈ P(V ), il existe un vecteur u =
n
P
xi ei ∈ V tel que x = π(u). Le vecteur u
i=0
engendre la droite vectorielle représentée par x.
Définition 133. Les coordonnées (x0 , x1 , · · · , xn ) s’appellent coordonnées homogènes du
points x.
Lemme 11. Deux coordonnées homogènes (x0 , x1 , · · · , xn ) et (y0 , y1 , · · · , yn ) définissent
le même point x ∈ P(V ) si et seulement si il existe λ ∈ k ∗ tel que
(y0 , y1 , · · · , yn ) = λ(x0 , x1 , · · · , xn ).
Dans ce cas on note x = (x0 : · · · : xn )
Remarque 16. Soit V et W deux k-espaces vectoriels et f : V −→ W un isomorphisme
d’espaces vectoriels. Comme un isomorphisme transforme toute droite en une droite, f induit
une bijection ϕ : P(V ) −→ P(W ).
Définition 134. Soit V et W deux k-espaces vectoriels et f : V −→ W un isomorphisme
d’espaces vectoriels. La bijection ϕ : P(V ) −→ P(W ) induite par f est appelé homographie
de P(V ) dans P(W ).
Remarque 17.
(1) Soient f et g deux isomorphismes de V sur W .
Les homographies ϕ et ψ de P(V ) dans P(W ) induites par f et g sont égales si et
seulement si il existe λ ∈ k non nul tel que f = λg.
117
118
10. VARIÉTÉS PROJECTIVES
(2) La composée de deux homographies est une homographie.
(3) L’ensemble des homographies de l’espace projectif P(V ) sur lui même muni de la
composition des applications est un groupe appelé groupe projectif de P(V ).
Définition 135. Soit P(V ) l’espace projectif de dimension n. On dit que n + 2 points
P0 , · · · , Pn+1 forment un repère projectif s’il existe une base (e0 , e1 , · · · , en ) de V qui vérifie
les deux propriétés suivantes :
(1) Les droites P0 , · · · , Pn sont engendrées respectivement par e0 , e1 , · · · , en .
(2) La droite Pn+1 est engendrée par e0 + e1 + · · · + en .
Théorème 68. Soit P0 , · · · , Pn+1 et Q0 , · · · , Qn+1 des repères projectifs de P(V ) et P(W )
respectivement. Alors il existe une unique homographie ϕ de P(V ) dans P(W ) tel que
ϕ(Pi ) = Qi .
10.1.2. Sous ensembles projectifs.
Définition 136. Une partie A de P(V ) est un sous espace projectif s’il existe un sous
espace vectoriel F de V tel que A = P(F ). La dimension de A est dim(A) = dim(F ) − 1.
Une droite projective de P(V ) est un sous espace projectif de dimension 1.
Définition 137. On dit que des points P0 , · · · , Pm de P(V ) sont alignés s’il existe une
droite qui les contient tous.
Théorème 69. Une intersection de sous espaces projectifs est un sous espace projectif.
Si A et B sont deux sous espaces projectifs de P(V ), alors on a
dim(A ∩ B) ≥ dim(A) + dim(B) − dim(P(V )).
Comme tous les k espaces vectoriels de dimension n + 1 sont isomorphes à k n+1 on peut
poser V = k n+1 et on définit Pn = Pnk = P(k n+1 ). L’ensemble Pnk est appelé espace projectif
de dimension n sur k.
10.1.3. Ensembles algébriques projectifs.
Définition 138. Soit F ∈ k[X0 , . . . , Xn ] et x = (x0 : . . . : xn ) ∈ Pn . On dit que x est
zéro de F si F (x0 , . . . , xn ) = 0 pour tout choix de coordonnées homogènes de x.
Proposition 34. Soit F = F0 + F1 + · · · + Fr ∈ k[Xo , . . . , Xn ] avec Fi homogène de degré
i. Alors F (x) = 0 si et seulement si Fi (x) = 0, ∀i ∈ [[0, r]].
Démonstration. Pour tout λ ∈ k, nous avons
F (λx) = F0 (x) + λF1 (x) + λ2 F2 + · · · + λr Fr (x) = 0.
Comme k est infini, on a Fi (x) = 0, ∀i.
Définition 139. Soit S une partie de k[X0 , . . . , Xn ] formée de polynômes homogènes.
On note
Vp (S) = {x ∈ Pnk | F (x) = 0, ∀F ∈ S}
le sous-ensemble formé des zéros communs à tous les éléments de S. On dit que Vp (S) est un
sous-ensemble algébrique projectif ou sous-variété algébrique projective définie par S.
10.1. ENSEMBLES ALGÉBRIQUES PROJECTIFS
119
Soit I l’idéal de k[X0 , . . . , Xn ] engendré par S, on a Vp (S) = Vp (I).
Comme k[X0 , · · · , Xn ] est noethérien, l’idéal I est de type fini donc engendré par un
nombre fini de polynômes homogènes.
Exemple 22.
(1) Vp (0) = Pnk
(2) Soit m = A+ = (X0 , . . . , Xn ) l’idéal des polynômes sans termes constants engendré
par les variables Xi , on a Vp (m) = ∅. En effet, les coordonnées homogènes d’un point
de Pnk ne sont pas tous nuls.
Définition 140. L’idéal m est appelé idéal irrelevant ou inconvenant de k[X0 , . . . , Xn ]
(3) H0 = {(x0 : . . . : xn ) ∈ Pnk | x0 = 0}
(4) On considère l’application
ϕ : P1k −→ P3k
(t0 : t1 ) −→ (t3o : t2 t1 : to t21 , t31 )
et C = ϕ(P1k ). On a
x0 x1 x2
3
C = (x0 : x1 : x2 : x3 ) ∈ Pk | γg
≤ 1 = Q1 ∩ Q2 ∩ Q3
x1 x2 x3
avec Q1 = {(x0 : x1 : x2 : x3 ) ∈ P3k | x0 x2 − x21 = 0}, Q2 = {(x0 : x1 : x2 : x3 ) | x0 x3 − x1 x2 = 0}
et Q3 = {(x0 : x1 : x2 : x3 ) | x1 x3 − x22 = 0}
(5) Les points sont des ensembles algébriques projectifs. Enéffet si P = (x0 : x1 : . . . : xn )
xn
x1
alors {P } = Vp X0 − x0 , X1 − X0 , . . . , Xn − X0 .
x0
x0
On suppose x0 6= 0, {P } = Vp (X1 − x1 Xo , . . . , Xn − xn Xo ).
Définition 141. Soit V une sous-variété algébrique projective. On appelle cône de V ,
l’ensemble C(V ) = π −1 (V ) ∪ {0}.
Remarque 18. Soit I un idéal homogène de k[X0 , . . . , Xn ] = A distinct de A et V = Vp (I)
on a C(V ) = V (I) ⊂ k n+1 .
Si I = A+ , C(V ) = V (A+ ) = V (m) = {0}.
Proposition 35.
(1) L’ensemble vide ∅ et Pnk sont des sous-variétés algébriques projectives
(2) Toute réunion finie de sous-variétés projectives est une sous-variété projective
(3) Toute intersection de sous-variétés projectives est une sous-variété projective
(4) L’application I −→ Vp (I) est décroissante.
Démonstration. La démonstration est identique au cas affine.
Définition 142 (Topologie de Zariski sur l’espace projectif). On définit sur Pnk une
topologie, dont les fermes sont les sous-variétés algébriques projective. Cette topologie est
appeleé topologie de Zariski sur Pnk .
120
10. VARIÉTÉS PROJECTIVES
10.1.4. Idéal d’une sous-variété projective.
Définition 143. Soit V une partie de Pnk . On définit l’idéal Ip (V ) de V comme étant
l’idéal engendré par les polynômes homogènes F ∈ k[X0 , . . . , Xn ] tels que F (x) = 0, ∀x ∈ V .
Proposition 36. Soient S et S 0 deux parties de Pnk , V un ensemble algébrique projectif
de Pnk et I un idéal homogène de k[X0 , . . . Xn ].
(1) Si S ⊂ S 0 alors Ip (S 0 ) ⊂ Ip (S)
(2) Vp (Ip (V )) = V
(3) I ⊂ Ip (Vp (I))
(4) S = Vp (Ip (S)) où S l’adhérence de S on l’appèle aussi fermeture algébrique de S.
Démonstration. La démonstration est identique au cas affine.
Théorème 70 (Des zéros de Hilbert projectifs). Soit k un corps algébriquement clos et
I un idéal homogène de k[X0 , . . . Xn ]. Alors
(1)
Vp (I) = ∅ ⇐⇒ ∃n0 ∈ N∗ | (X0 , . . . , Xn )n0 ⊂ I
√
⇐⇒ m = (X0 , . . . , Xn ) ⊂ I
√
(2) Si Vp (I) 6= ∅ alors Ip (Vp (I)) = I.
Démonstration.
(1) Si I = A = k[X0 , . . . Xn ], on a Vp (I) = ∅. Supposons I 6= A.
Vp (I) = V = ∅ ⇐⇒ C(V ) = {0}
⇐⇒ I(C(V )) = I({0})
⇐⇒ I(V (I)) = I({0})
√
⇐⇒ I = I({0})
⇐⇒ m = (X0 , . . . Xn ) =
√
I
(d’après le théorème des zéros dans le cas affine).
√
(2) Vp (I) = V 6= ∅ =⇒ Ip (V ) = I(C(V )) = I (zéro de Hilbert affine) donc
√
Ip (Vp (I)) = I.
Corollaire 12. L’application V −→ Ip (V ) réalise une bijection décroissante de réciproque I −→ Vp (I) entre les sous variétés projective et les idéaux radicaux homogènes de A
distincts de l’idéal inconvenant m = (X0 , . . . Xn ).
Proposition 37. Un ensemble algébrique projectif est irréductible si l’idéal homogène
associé est premier. Et tout ensemble algébrique projectif est réunion finie de sous ensembles
algébriques projectifs irréductibles appelés composantes irréductibles de V .
10.1. ENSEMBLES ALGÉBRIQUES PROJECTIFS
121
10.1.5. Un anneau gradué associé à une sous variété projective. Soit V une
variété algébrique projective, Ip (V ) son idéal. Comme Ip (V ) est un idéal homogène l’anneau
quotient Γh (V ) = k[X0 , . . . Xn ]/Ip (V ) est un anneau gradué attaché à V .
Remarque 19. A la grande différence du cas affine, l’anneau Γh (V ) n’est pas un invariant
d’une sous-variété projective.
Deux sous variétés projectives isomorphes peuvent avoir des anneaux de coordonnées
différents.
Définition 144. Soit V une sous variété algébrique projective et f ∈ Γh (V ) un élément
homogène de degré strictemnt positif.
D+ (f ) = {x ∈ V | f (x) 6= 0} est un ouvert de V appelé ouvert principal de V .
Proposition 38. Soit V une sous variété algébrique projective. Alors tout ouvert non
vide U de V est réunion finie d’ouvert principal D+ (f ).
Démonstration. Soit U un ouvert non vide de V , alors V \ U est un fermé de V , par
suite il existe un idéal homogène I de A tel que V \ U = Vp (I). Comme I est de type fini, il
existe F1 , . . . , Fr ∈ A, homogènes de degré > 0 tels que I = hF1 , . . . , Fr i. Posons fi = π(Fi ),
alors :
r
[
U=
D+ (fi )
i=1
Proposition 39. Soit V une sous variété projective et Γh (V ) l’anneau des coordonnées
de V . Alors aucun élément de Γh (V ), à l’exception des constantes, ne détermine une fonction
sur V .
Démonstration. Soit f ∈ Γh (V ), alors f = f0 +· · ·+fm avec fi = 0 ou fi est homogène
de degré i.
Soit F = F0 + · · · + Fm ∈ K[X0 , . . . , Xn ] tel que π(Fi ) = fi et donc π(F ) = f . Soit
p = (x0 : . . . : xn ) ∈ V et λ ∈ k ∗ , alors :
F (x0 , . . . , xn ) = F0 (x0 , . . . , xn ) + F1 (x0 , . . . , xn ) + · · · + Fm (x0 , . . . , xn )
= F (λx0 , . . . λxn )
= F0 (x0 , . . . , xn ) + λF1 (x0 , . . . , xn ) + · · · + λm Fm (x0 , . . . , xn )
m
m
P
P
Donc
Fi (x0 , . . . , xn ) −
λi Fi (x0 , . . . xn ) = 0 par suite,
i=1
i=1
m
X
(λi − 1)Fi (x0 , . . . , xn ) = 0 ∀λ ∈ k ∗
i=1
Ce qui revient a dire que Fi (x0 , . . . , xn ) = 0, ∀i ∈ [[1, m]], d’où F = F0 est une constante. 122
10. VARIÉTÉS PROJECTIVES
Remarque 20. (Voir Daniel Perrin, Géométrie algébrique)
Les différences fondamentales entre le cadre affine et le cadre projectif sont :
(1) Il faut utiliser les polynômes homogènes, remplacer les anneaux par des anneaux gradués et les idéaux par des idéaux homogènes
(2) l’idéal inconvenant joue un rôle tout à fait particulier
V (I) peut être vide pour un idéal propre I.
Pour I = m = (X0 , . . . , Xn ), on a V (m) = ∅ (car 0 ∈
/ P n ). Dans le cas affine cela
ne peut pas se produire.
(3) Les polynômes ou les éléments des anneaux gradués considérés ne définissent plus des
fonctions.
(4) Cependant on va retrouver le cadre affine localemnt par le biais des ouverts principaux
D+ (Xi ) ou D+ (f ).
10.1.6. Lien affine projectif. Soit i ∈ [[0, n]]. On pose :
Ui = {(x0 : . . . : xn ) ∈ Pnk | xi 6= 0}
alors Ui est un ouvert de Zariski de Pnk . Complémentaire du fermé
Hi = {(x0 : . . . : xn ) ∈ Pnk | xi = 0} = V (hXi i)
Soit (x0 : x1 : . . . : xn ) ∈ Ui , comme xi =
6 0, on a :
x0 x1
xi−1
xi+1
xn
(x0 : x1 : . . . : xn ) =
:
: ... :
:1:
: ... :
xi xi
xi
xi
xi
Chaque point de Ui possède un unique représentant de coordonnées homogènes de la forme
(x0 , . . . , xi−1 , 1, xi+1 , . . . , xn ).
On a
r
[
Pnk =
Ui
i=0
est un recouvrement de Pnk par des ouverts. On considère la famille d’application ϕi definit
par :
ϕi : Ank −→ Ui
(a1 , . . . , an ) −→ (a1 : . . . : ai : 1 : ai+1 : . . . : an )
Alors ϕi est une bijection, de bijection réciproque
n
ϕ−1
i : Ui −→ Ak
x0
xi−1 xi+1
xn
(x0 : x1 : . . . : xn ) −→
,...,
,
,...,
xi
xi
xi
xi
Si Ui ∩ Uj 6= ∅, on considère ϕi,j = ϕ−1
i ◦ ϕj , on a alors
−1
ϕi,j : ϕ−1
j (Ui ∩ Uj ) −→ ϕi (Ui ∩ Uj )
10.1. ENSEMBLES ALGÉBRIQUES PROJECTIFS
123
−1
Nous avons les égalités suivantes ϕi (Ui ∩ Uj ) = (α1 , . . . , αn ) ∈ Ank / αj 6= 0 et
−1
n
ϕj (Ui ∩ Uj ) = (β1 , . . . , βn ) ∈ Ak / βj 6= 0
Exercise 71. En identifiant k[Ank ] à k[T1 , . . . , Tn ]. Montrer que ϕ−1
i (Ui ∩ Uj ) est l’ouvert
principal D(f ) avec


si i > j;
Tj ,
f = 1,
si i = j;

T , si i < j
j−1
Définition 145. Le sous ensemble de Pnk défini par
H∞ = {(x0 : x1 : . . . : xn ) | x0 = 0}
est appelé hyperplan à l’infini de Pnk .
Si n > 1, l’application
H∞ −→ Pnk
(0 : x1 : . . . : xn ) −→ (x1 : . . . : xn )
permet d’identifier l’hyperplan à l’infini et Pn−1
. L’hyperplan à l’infini de la droite projective
k
1
Pk se réduit à un point appelé point à l’infini.
Définition 146. Le sous ensemble
(x0 : x1 : · · · : xn ) | λ0 x0 + · · · + λn xn = 0 où (λ0 , λ1 , · · · , λn ) ∈ k n+1 \ {0}
est appelé hyperplan projectif de l’espace projectif Pnk .
Définition 147. On dit que des points de Pnk sont linéairement indépendants si les droites
qu’ils représentent sont en somme directe.
Définition 148. On dit que des points de Pnk sont en position général si pour tout
m ≤ n + 1, m quelconques d’entre eux sont linéairement indépendants.
10.1.7. Homogénéisation et déshomogénéisation.
Définition 149. Soit g =
d
X
gi ∈ k[X1 , . . . , Xn ] où gi est homogène de degré i.
i=0
L’homogénéisé de g est le polynôme homogène de degré d défini par
∗
g (X0 , . . . , Xn ) =
∗
g (X0 , . . . , Xn ) =
d
X
X0d−i gi
i=0
X0d g(X1 /X0 , . . . , Xn /X0 )
124
10. VARIÉTÉS PROJECTIVES
Exemple 23.
(1) g(X1 , X2 ) = −1 + X12 + X22 , donc g ∗ (X0 , X1 , X2 ) = −X02 + X12 + X22
(2) g(X1 , X2 ) = 1 + X12 + X2 X13 , donc g ∗ (X0 , X1 , X2 ) = X04 + X02 X12 + X2 X13
(3) g(X1 , X2 , X3 ) = X33 + X1 X2 + 7, on a g ∗ (X0 , X1 , X2 , X3 ) = X33 + X0 X1 X2 + 7X03 .
Définition 150. Soit F ∈ k[X0 , . . . , Xn ] un polynôme homogène de degré d. On appelle
déshomogénéisé de F , le polynôme F∗ défini par
F∗ (X1 , . . . , Xn ) = F (1, X1 , . . . , Xn )
Exemple 24. F (X0 , X1 , X2 ) = X0 X12 − X23 , donc F∗ (X1 , X2 ) = F (1, X1 , X2 ) = X12 − X22 .
Nous avons les propriétés suivantes :
Proposition 40. Soient F, G ∈ k[X0 , . . . , Xn ], f, g ∈ k[X1 , . . . , Xn ] de degré r et s
respectivement.
(1) (F G)∗ = F∗ G∗ et (f g)∗ = f ∗ g ∗
(2) (F + G)∗ = F∗ + G∗ et (f ∗ )∗ = f
(3) Soit t = r + s − deg(f + g), si f + g 6= 0 alors
X0t (f + g)∗ = X0s f ∗ + X0r g ∗
(4) Si d est la plus grande puissance de X0 qui divise F alors X0d (F∗ )∗ = F .
Démonstration.
(1) Les égalités découlent de la définition de
∗
et ∗ .
(2) Les égalités découlent de la définition de ∗ et ∗ .
X1
Xn
r
(3) Soit δ = deg(f + g), nous avons X0 f
,··· ,
= f ∗ (X0 , . . . , Xn ) et
X0
X0
Xn
X1
s
,··· ,
= g ∗ (X0 , . . . , Xn ),
X0 g
X0
X0
donc
X1
Xn
X1
Xn
∗
δ
(f + g) = X0 f
,··· ,
+g
,··· ,
.
X0
X0
X0
X0
En posant t = r + s − δ, nous avons
X1
Xn
X1
Xn
t
∗
r+s−δ δ
X0 f
X0 (f + g) = X0
,··· ,
+g
,··· ,
X0
X0
X0
X0
X1
Xn
X1
Xn
= X0r+s f
,··· ,
+g
,··· ,
X0
X0
X0
X0
X1
Xn
X1
Xn
r+s
r+s
= X0 f
,··· ,
+ X0 g
,··· ,
X0
X0
X0
X0
s ∗
r ∗
= X f (X0 , . . . , Xn ) + X g (X0 , . . . , Xn )
Donc X0t (f + g)∗ = X0s f ∗ + X0r g ∗
10.1. ENSEMBLES ALGÉBRIQUES PROJECTIFS
125
(4) D’après (3) on peut supposer que F est un monôme F = X0α0 X1α1 . . . Xnαn , avec α0 = d
F∗ (X1 , · · · , Xn ) = F (1, X1 , · · · , Xn ) = X1α1 · · · Xnαn
X1
Xn
α1 +···+αn
F∗
F∗ (X1 , . . . , Xn ) = X0
,··· ,
X0
X0
α1
αn
X1
Xn
= X0α1 +···+αn
···
X0
X0
α1
αn
= X1 · · · Xn
donc X0d (F∗ )∗ = F .
Définition 151. Soit I un idéal de k[X1 , . . . , Xn ], l’homogénéisation de I est l’idéal
I = h{g ∗ | g ∈ I}i homogène de k[X0 , . . . , Xn ]
∗
Définition 152. Soit V un ensemble algébrique affine de Ank , I = I(V ) ⊂ k[X1 , . . . , Xn ]
et I ∗ l’idéal homogène engendré par {g ∗ | g ∈ I}. On définit V ∗ = Vp (I ∗ ).
Définition 153. Soit V ⊂ Pnk un ensemble algébrique projectif et Ip (V ) = J son idéal
homogène. On définit V∗ = V (J∗ ) ⊂ Ank .
J∗ est l’idéal de k[X1 , . . . , Xn ] engendré par {g∗ | g ∈ J}.
On considère
ϕ0 : An −→ U0 = {(x0 : . . . : xn ) | x0 6= 0}
(a1 , . . . , an ) −→ (1, a1 , . . . , an )
Le théorème suivant décrit les liens entre les sous-ensembles algébriques affines et les
sous-ensembles algébriques projectifs.
Théorème 72.
(1) Si V ⊂ Ank alors ϕ0 (V ) = V ∗ ∩ U0 et (V ∗ )∗ = V
(2) Si V ⊂ W ⊂ Ank alors V ∗ ⊂ W ∗ ⊂ Pnk
(3) Si V ⊂ W ⊂ Pnk alors V∗ ⊂ W∗ ⊂ Ank
(4) Si V ⊂ Ank est irréductible alors V ∗ est irréductible dans Pnk
(5) Si V ⊂ Ank alors V ∗ est le plus petit ensemble algébrique de Pnk qui contient ϕ0 (V ), V ∗
est l’adhérence de V dans Pnk . On l’appelle clôture projective de V dans Pnk .
m
m
[
[
(6) Si V =
Vi est la décomposition de V en composantes irréductibles alors V ∗ =
Vi∗
i=1
est la décomposition de V ∗ en composantes irréductibles de V ∗ .
i=1
(7) Si V $ Ank est non vide alors aucune composante irréductible de V ∗ n’est contenue ni
ne contient H∞
(8) Si V ⊆ Pnk et si aucune composante de V n’est contenue ni ne contient H∞ alors
V∗ $ Ank et (V∗ )∗ = V .
126
10. VARIÉTÉS PROJECTIVES
Démonstration.
(1) Soit x ∈ V nous avons les équivalences suivantes :
x ∈ V ⇐⇒ g(x) = 0 ∀g ∈ I = I(V )
⇐⇒ (g ∗ )∗ (x) = 0 ∀g ∈ I
⇐⇒ x ∈ (V ∗ )∗
d’où V = (V ∗ )∗
y = (y0 , . . . , yn ) ∈ ϕ0 (V ) ⇐⇒ ∃(x1 , . . . , xn ) ∈ V | (y0 , . . . , yn ) = ϕ0 (x1 , . . . , xn )
⇐⇒ ∃(x1 , . . . , xn ) ∈ V | (y0 , . . . , yn ) = (1, x1 , . . . , xn )
⇐⇒ g ∗ (y0 , . . . , yn ) = g ∗ (1, x1 , . . . , xn ) ∀g ∗ ∈ I ∗
⇐⇒ g ∗ (y0 , . . . , yn ) = g(x1 , . . . , xn ) = 0 ∀g ∗ ∈ I ∗
⇐⇒ (y0 , . . . , yn ) ∈ V ∗
d’où ϕ0 (V ) = V ∗ ∩ U0
(2) Supposons V ⊂ W ⊂ Ank , on a
V ⊂ W ⊂ Ank =⇒ ϕ0 (V ) ⊂ ϕ0 (W )
=⇒ V ∗ ∩ U0 ⊂ W ∗ ∩ U0
=⇒ V ∗ ⊂ W ∗ ⊂ Pnk
(3) V ⊂ W ⊂ Pnk =⇒ Ip (W ) ⊂ Ip (V )
(x1 , . . . , xn ) ∈ V∗ =⇒ g∗ (x1 , . . . , xn ) = 0 ∀g ∈ Ip (V )
Comme Ip (W ) ⊂ Ip (V ), on a g∗ (x1 , . . . , xn ) = 0 ∀g ∈ Ip (W ) ce qui implique que
(x1 , . . . , xn ) ∈ W∗ d’où V∗ ⊂ W∗
(4) Supposons que V est un ensemble algébrique irréductible de Ank et I = I(V ).
V irréductible donc I = I(V ) est un idéal premier. Un polynôme homogène F
appartient à I ∗ si et seulement si F∗ ∈ I.
Soit F et G deux polynômes homogènes tels que F G ∈ I ∗ :
F G ∈ I ∗ =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
(F G)∗ ∈ I
F∗ G∗ ∈ I
F∗ ∈ I où G∗ ∈ I
F ∈ I ∗ où G ∈ I ∗
d’où I ∗ est un idéal premier, donc radical.
√
Ip (V ∗ ) = Ip (Vp (I ∗ )) = I ∗ = I ∗ qui est premier, donc V ∗ est irréductible.
(5) Soit V un ensemble algébrique affine et W un ensemble algébrique projectif contenant
ϕ0 (V ). Si g ∈ Ip (W ) et (x1 , . . . , xn ) ∈ V , alors
ϕ0 (x1 , . . . , xn ) = (1, x1 , . . . , xn ) ∈ ϕ0 (V )
=⇒ ϕ0 (x1 , . . . , xn ) = (1, x1 , . . . , xn ) ∈ W
10.1. ENSEMBLES ALGÉBRIQUES PROJECTIFS
127
Comme (1, x1 , . . . , xn ) ∈ W et g ∈ Ip (W ), on a g∗ (x1 , . . . , xn ) = g(1, x1 , . . . , xn ) = 0.
Donc on a
g ∈ Ip (W ) =⇒ g∗ ∈ I(V ) = I
Soit r la plus grande puissance de X0 divisant g, on a g = X0r (g∗ )∗ ∈ I ∗ , donc
Ip (W ) ⊂ I ∗ ainsi V ∗ ⊂ W .
m
S
(6) Soit V =
Vi ⊂ Ank la décomposition en composante irréductible de V .
i=1
Vi ⊂ V =⇒
Vi∗
⊂V
∗
=⇒
m
[
Vi∗ ⊂ V ∗
i=1
Pour montrer l’inclusion réciproque il suffit d’après (5) de montrer que
m
S
Vi∗ . Nous avons les implications suivantes
ϕ0 (V ) ⊂
i=1
ϕ0 (Vi ) ⊂
Vi∗
=⇒
m
[
ϕ0 (Vi ) ⊂
i=1
Vi∗
i=1
=⇒ ϕ0 (V ) =
m
[
i=1
=⇒ V ∗ ⊂
m
[
m
[
ϕ0 (Vi ) ⊂
m
[
Vi∗
i=1
Vi∗
i=1
On en déduit que V ∗ =
m
[
Vi∗ .
i=1
(7) On peut supposer que V ⊂ Ank est irréductible.
D’une part, comme V ∗ ∩ U0 = ϕ0 (V ), V 6= ∅, H∞ = Pn \U0 , on a V ∗ 6⊂ H∞ .
D’autre part, si Vp (P ) = V ∗ ⊃ H∞ alors Ip (V )∗ ⊂ Ip (V ∗ ) ⊂ Ip (H∞ ) = hX0 i.
Mais si 0 6= F ∈ I(V ), alors F ∗ ∈ I(V )∗ et F ∗ ∈
/ hX0 i donc V ∗ 6⊃ H∞ .
(8) On suppose V ⊂ Pnk est irréductible ;
(x1 , . . . , xn ) ∈ V∗ =⇒ g∗ (x1 , . . . , xn ) = 0 ∀g ∈ Ip (V )
ϕ0 (x1 , . . . , xn ) = (1, x1 , . . . , xn ) donc :
g(ϕ0 (x1 , . . . , xn )) = g(1, x1 , . . . , xn ) = g∗ (x1 , . . . , xn ) = 0
=⇒ ϕ0 (x1 , . . . , xn ) ∈ V =⇒ ϕ0 (V∗ ) ⊂ V
=⇒ (V∗ )∗ ⊂ V.
Montrons que V ⊂ (V∗ )∗ . Pour cela posons J = Ip (V ), V∗ = V (J∗ ) ⊂ Ank .
√
Soit F ∈ I(V∗ ) = I(V (J∗ )) = J∗ =⇒ ∃n0 ∈ N tel que F n0 ∈ J∗ = Ip (V )∗ , donc
∃t ∈ N tel que X0t (F n0 )∗ ∈ Ip (V ).
128
10. VARIÉTÉS PROJECTIVES
Mais Ip (V ) est premier, et X0 ∈
/ Ip (V ) car V 6⊂ H∞ , on a alors F ∗ ∈ Ip (V ), donc
∗
∗
I(V∗ ) ⊂ Ip (V ). Ainsi V ⊂ (V∗ ) , d’où V = (V∗ )∗ .
Théorème 73. L’application ϕ0 : Ank −→ U0 est un homéomorphisme. Pour la topologie
de Zariski de Ank sur U0 muni de la restriction de la topologie de Zariski de Pnk .
+
Démonstration.
— Soit F ∈ k[X0 , . . . , Xn ]. Montrons que ϕ−1
0 (D (F )) = D(F∗ ).
−1
+
+
ϕ−1
0 (D (F )) = ϕ0 (D (F ) ∩ U0 ) et
+
+
(a1 , . . . , an ) ∈ ϕ−1
0 (D (F )) ⇐⇒ ϕ0 (a1 , . . . , an ) ∈ D (F )
⇐⇒ (1, a1 , . . . , an ) ∈ D+ (F )
⇐⇒ F (1, a1 , . . . , an ) 6= 0
⇐⇒ F∗ (a1 , . . . , an ) 6= 0
⇐⇒ (a1 , . . . , an ) ∈ D(F∗ )
+
Ainsi ϕ−1
o (D (F )) = D(F∗ ).
— Soit g ∈ k[X1 , . . . , Xn ], montrons que ϕ0 (D(g)) = D+ (g ∗ ) ∩ U0
x ∈ ϕ0 (D(g)) =⇒ ∃(a1 , . . . , an ) ∈ D(g) tel que x = ϕ0 (a1 , . . . , an )
=⇒ ∃(a1 , . . . , an ) ∈ D(g) | x = (1, a1 , . . . , an )
=⇒ g ∗ (x) = g ∗ (1, a1 , . . . , an ) = g(a1 , . . . , an ) 6= 0
=⇒ x ∈ D+ (g ∗ ) ∩ U0
D’où ϕ0 (D+ (g)) ⊂ D+ (g ∗ ) ∩ U0 .
Soit x = (x0 : . . . : xn ) ∈ D+ (g ∗ ) ∩ U0 alors x ∈ D+ (g ∗ ) et xo 6= 0
x ∈ D+ (g ∗ ) =⇒ g ∗ (x) = g ∗ (x0 , . . . , xn ) 6= 0
x1
xn
α
,...,
6= 0
=⇒ x0 g
x0
x0
x1
xn
=⇒ g
,...,
6= 0
x0
x0
x1
xn
=⇒
,...,
∈ D(g)
x0
x0
x1
xn
=⇒ ϕ0
,...,
∈ ϕ0 (D(g))
x0
x0
x1
xn
=⇒ 1 :
: ... :
∈ ϕ0 (D(g))
x0
x0
=⇒ x = (x0 : . . . : xn ) ∈ ϕ0 (D(g))
d’où D∗ (g ∗ ) ∩ U0 ⊂ ϕ0 (D(g)).
10.1. ENSEMBLES ALGÉBRIQUES PROJECTIFS
129
Ainsi ϕ0 (D(g)) = D+ (g ∗ ) ∩ U0 .
Comme les ouverts principaux constituent une base d’ouverts, ϕ0 est un homéomorphisme.
10.1.8. Fonctions rationnelles et Morphismes de variétés projectives. Soit V ⊂
une sous-variété projective, les éléments projectives et les polynômes homogènes ne définissent pas des fonctions sur V . On aimerait définir le corps des fonctions sur V .
Soient f, g ∈ k[X0 , . . . , Xn ] deux polynômes homogènes de même degré d, alors on a :
Pnk
f (λx0 , . . . , λxn )
λd f (x0 , . . . , xn )
f (x0 , . . . , xn )
= d
=
g(λx0 , . . . , λxn )
λ g(x0 , . . . , xn )
g(x0 , . . . , xn )
Ce quotient définit une fonction sur V . Soit V une sous-variété irréductible. On considère
l’ensemble
f
Γ=
| f, g ∈ k[X0 , . . . , Xn ] homogène avec deg f = deg g et g 6∈ Ip (V )
g
On définit sur Γ la relation d’équivalence suivante :
f f0
R 0 ⇐⇒ gf 0 − gf 0 ∈ Ip (V )
g g
On désigne par k(V ) = Γ/R l’ensemble quotient de Γ par la relatin d’équivalence.
On définit sur k(V ) les deux opérations suivantes :
0 0
0 0
f
f
f
f g + gf 0
f
ff
+ 0 =
et
=
0
0
g
g
gg
g
g
gg 0
Définition 154. k(V ) est appelé corps des fonctions de V . Les éléments de k(V ) sont
appelés fonctions rationnelles.
Soit V ⊂ Pnk une sous-variété projective,
n
n
[
[
V = V ∩ Pnk = V ∩
Ui =
V ∩ Ui = V0 ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vn
i=1
i=1
avec Vi = V ∩ Ui , V = V0 ∪ · · · ∪ Vn est un recouvrement de V.
Les Vi sont des ouverts affines. On identifie chaque Vi à un ouvert de Ank . On note par
k(V ) le corps des fonctions sur V dans l’espace affine Ank . On a la proposition suivante :
Proposition 41. Soit V = V0 ∪ · · · ∪ Vn une sous variété projective irréductible. Si
V 6⊂ V (X0 ), alors les corps k(V ) et k(V0 ) sont isomorphes : k(V ) ' k(V0 ).
Démonstration. On considère
ϕ : k(V ) −→ k(V0 )
f
f
f∗
−→ ϕ
=
g
g
g∗
f0
f g 0 + gf 0
f g 0 + gf 0
f∗ g∗0 + g∗ f∗0
f∗ f∗0
f
ϕ
+ 0 =ϕ
=
=
=
+
g
g
gg 0
gg 0
g∗ g∗0
g∗ g∗0
∗
130
10. VARIÉTÉS PROJECTIVES
f
f0
+ 0
g
g
0
f
f
=ϕ
+ϕ
g
g0
donc ϕ
0
0
ff
(f f 0 )∗
f∗ f∗0
f
f f0
f∗ f∗0
f
0 =ϕ
=
=
0 =ϕ
ϕ
ϕ
=
0
0
0
g g
gg
(gg )∗
g∗ g∗
g∗ g∗
g
g0
En plus, ϕ est bijective, de bijection réciproque
ψ : k(V0 ) −→ k(V )
f
f
f∗
−→ ψ
= ∗
g
g
g
∗ ∗ f
f
f
(f )∗
ϕ◦ψ
=ϕ
=
=
∗
∗
g
g
(g )∗
g
f
(f∗ )∗
X0t (f∗ )∗
f
ψ◦ϕ
=
=
=
t
∗
∗
g
(g∗ )
X0 (g∗ )
g
Proposition 42. On a k(V ) ' Γh (V )(0) .
Démonstration. La découle de la définition de k(V ).
Définition 155. Soit f ∈ k(V ) une fonction rationnelle sur une variété projective V et
g
x ∈ V . On dit que f est régulier en x s’il existe une représentation de f = tel que h(x) 6= 0.
h
Le domaine de définition dom(f ) de f est
dom(f ) = {x | f régulière en x}
Définition 156. Soit V une sous-variété projective et x ∈ V , l’anneau local de V en x
est défini par :
θV,x = {f ∈ k(V ) | f régulière en x}
MV,x = {f ∈ ΘV,x | f (x) = 0} est applelé idéal maximal de V en x.
Définition 157. On appelle variété quasi-projective tout ouvert de Zariski d’une sousvariété projective.
Définition 158. Soit V une sous-variété projective et U ⊂ V une variété quasi-projective.
L’anneau des fonctions régulières sur U est défini par
θ(U ) = {f ∈ k(V ) | U ⊂ dom(f )}
\
θ(U ) =
θV,x
x∈U
Proposition 43. Soit V une sous-variété projective, x ∈ V et l’idéal maximal
Mx = {f ∈ Γh (V ) | f homogène et f (x) = 0}
alors θV,x ' Γh (V )(Mx ) .
10.1. ENSEMBLES ALGÉBRIQUES PROJECTIFS
131
Définition 159. Soit V une sous-variété projective irréductible. V ⊂ Pnk une application
f : V −→ Am
k est une application rationnelle s’il existe des fonctions rationnelles f1 , . . . , fm ∈
k(V ) tel que
f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x))∀x ∈ V
Le domaine de définition de f est
m
\
dom(f ) =
dom(fi )
i=1
Définition 160. Soit V ⊂ Pnk une variété projective et W ⊂ Am
k une variété algébrique
affine. Une application rationnelle f : V −→ W est la donnée d’une application rationnelle
f : Am
k tel que f (dom(f )) ⊂ W .
Définition 161. Soit V ⊂ Pnk une variété projective irréductible. Une application rationnelle f : V −→ Pm
k est défini par
f (x) = (f0 (x), . . . , fm (x)) où f0 , . . . , fm ∈ k(V ) sont des fonctions rationnelles
Définition 162. Soit V une variété projective irréductible, f : V −→ Pnk une application
rationnelle et x ∈ V . On dit que f est régulier en x si elle admet une représentation
f = (f0 , . . . , fm ).
(1) fi est régulier en x, ∀i ∈ [[0, m]]
(2) ∃i ∈ [[0, m]] tel que fi (x) 6= 0.
Définition 163. Soient V1 et V2 deux variétés projectives irréductibles U1 et U2 des
ouverts de V1 et V2 respectivement.
Un morphisme f : U1 −→ U2 est une application rationnelle f : V1 −→ V2 telle que
U1 ⊂ dom(f ) et f (U1 ) ⊂ U2 le morphisme f est un isomorphisme s’il existe un morphisme
g : U2 −→ U1 tel que g ◦ f = idU1 et f ◦ g = idU2 .
Exemple 25.
(1)
ϕ : P1k −→ P3k
(t0 : t1 ) −→ (t30 : t20 t1 : t0 t21 : t31 )
(t30 : t20 t1 : t0 t21 : t31 ) =
=
2 2 2 3 !
t1
t1
t1
t1
t1
:
:
1:
t0
t0
t0
t0
t0
!
3 2
t1
t1
t1
:
:
t0
t0
t0
donc ϕ est une application rationnelle.
C = im ϕ
= ϕ(Pk1 )
132
10. VARIÉTÉS PROJECTIVES
On pose C = Vp (I) avec, I = hXT − Y Z, Y 2 − XZ, Z 2 − Y T i, C est appelé cubique
gauche.
De manière générale
ϕ : P1k −→ Pnk
(t0 : t1 ) −→ (tn0 : tn−1
t1 : . . . : tn1 )
0
ϕ est une application rationnelle et régulière en tout point C = ϕ(P1k ) est appelé
courbe normal rationnelle de degré n
(2)
ϕ0 : Ank −→ U0
(x1 , . . . , xn ) −→ (1 : x1 : . . . : xn )
est un isomorphisme d’inverse
ψ0 : U0 −→ Ank
(x0 : x1 : . . . : xn ) −→ (1 : x1 : . . . : xn ))
(3)
ϕ : P3k −→ P2k
(x0 : x1 : x2 : x3 ) −→ (x1 : x2 : x2 )
est une application rationnelle et un morphisme de P3k \ {B} −→ P2k , P0 = (1; 0; 0; 0).
Définition 164. Soient V et W deux variétés quasi projectives irréductibles. Une application rationnelle f : V −→ W est dite birationnelle (ou est une équivalence birationnelle)
s’il existe une application rationnelle g : W −→ V tel que f ◦ g = idW et g ◦ f = idV .
Définition 165. Deux variétés quasi-projectives irréductibles V et W sont dites birationnellement équivalentes s’il existe une application birationnelle f : V −→ W .
Théorème 74. Soient V et W deux variétés quasi-projectives irréductibles et
f : V −→ W une application rationnelle. Alors les assertions suivantes sont équivalentes
(1) f est birationnelle.
(2) f est dominant et f ∗ : k(W ) −→ k(V ) est un isomorphisme.
(3) Il existe des ouverts V0 ⊂ V et W0 ⊂ W tel que la restriction f |V0 : V0 −→ W0 est un
isomorphisme.
Démonstration.
f ∗ : k(W ) −→ k(V )
g −→ g ◦ f
L’équivalence de (1) et (2) se démontre de la même manière que dans le cas affine.
(3) =⇒ 1. On suppose qu’il existe V0 ⊂ V et W0 ⊂ W tel que f |V0 : V0 −→ W0 est un
isomorphisme d’inverse g : W0 −→ V0 avec g : W −→ V une application rationnelle.
10.1. ENSEMBLES ALGÉBRIQUES PROJECTIFS
133
g ◦ f : V −→ V et f ◦ g : W −→ W sont des applications rationnelles qui coïncident avec
l’identité sur V0 et W0 respectivement.
Comme V0 et W0 sont denses dans V et W respectivement, g ◦ f = idV et f ◦ g = idW ,
donc V et W sont birationnellement équivalentes.
(1) =⇒ (3). On suppose que f : V −→ W est birationnelle d’inverse g : W −→ V avec
g rationnelle.
Posons V 0 = dom(f ), W 0 = dom(g). Les restrictions ϕ = f |V 0 et ψ = g |W 0 sont des
morphismes.
Comme f ◦ g = idW , on a ϕ(ψ(x)) = x, ∀x ∈ ψ −1 (V 0 ).
On considère le diagramme
W
g
-
f
V
6
-
6
i
6
idW
i
ψ −1 (V 0 )
ψ
-
ϕ
V0
i
? W
*
W
idW
W
Posons V0 = ϕ−1 (ψ −1 (V 0 )) et W0 = ψ −1 (ϕ−1 (W 0 ))
x ∈ V0 =⇒ ϕ(x) ∈ ψ −1 (V 0 )
=⇒ ϕ(ψ(ϕ(x)) = ϕ(x) ∈ ψ −1 (V 0 )
=⇒ ψ(ϕ(x)) ∈ ϕ−1 (ψ −1 (V 0 )) = V0
=⇒ ϕ(x) ∈ ψ −1 (V0 ) ⊂ W 0
=⇒ ψ(ϕ(x)) ∈ ϕ−1 (W 0 )
=⇒ ϕ(x) ∈ ψ −1 (ϕ−1 (W 0 )) = W0
donc ϕ |V0 : V0 −→ W0 est un morphisme, car la restriction d’un morphisme est un morphisme.
On montre de la même manière que ψ |W0 : W0 −→ V0 de plus ϕ◦ψ = idW0 et ψ ◦ϕ = idV0 ,
ϕ est un isomorphisme de V0 −→ W0 .
Chapitre 11
Faisceaux sur un espace topologique
11.1. Définitions et exemples
Définition 166. Soit X un espace topologique. Un préfaisceau F de groupe abélien
consiste en les données suivantes :
- Pour tout ouvert U ⊂ X d’un groupe abélien F(U ) appelé groupe des sections du
préfaisceau F sur l’ouvert U
- Pour tout couple d’ouverts (U, V ) de X avec V ⊂ U d’un morphisme de groupes
rV,U : F(U ) −→ F(V ) dite morphisme de restriction noté s −→ s V .
Ces données sont sujettes aux axiomes suivants :
(1) F(φ) = {0}
(2) rU,U = idF(U ) l’application identité.
(3) Si W ⊂ V ⊂ U sont des ouverts alors rW,U = rW,V ◦ rV,U .
Un préfaisceau de groupes abéliens est aussi appelé préfaisceau abélien.
Remarque 21. Soit X un espace topologique et U la catégorie dont les objets sont les
ouverts de X et dont l’ensemble HomU flèches est défini par
(
{i} où i : V −→ U est l’injection canonique si V ⊂ U
HomU (V, U ) =
∅ si non
Un préfaisceau abélien est un foncteur contravariant de U à valeurs dans la catégorie des
groupes abéliens.
Définition 167. Soit X un espace topologique. On dit qu’un préfaisceau F sur X
est un faisceau si F vérifie les propriétés suivantes :
(1) Soit U un ouvert X, s ∈ F(U ) et (Ui )i∈I un recouvrement de U par des ouverts de
X. Si s Ui = 0 alors s = 0.
(2) Pour tout recouvrement
Y ouvert (Ui )i∈I d’un ouvert U de X et toute famille de
sections (si )i∈I ∈
F(Ui ) telle que si Ui ∩Uj = sj Ui ∩Uj pour tout (i, j) ∈ I 2 , il
i∈I
existe une section s ∈ F(U ) tel que s
Ui
135
= si .
136
11. FAISCEAUX SUR UN ESPACE TOPOLOGIQUE
Remarque 22.
(1) Un préfaisceau F sur un espace topologique X est un faisceau si
pour tout recouvrement ouvert (Ui )i∈I d’un ouvert U de X la suite suivante de groupes
abéliens est exacte :
Y
Y
β
α
F(U ) −→
F(Ui ) −→
F(Ui ∩ Uj )
(i,j)∈I 2
i∈I
où les flèches sont définies par α(s) = s
Ui
et β((si )i∈I ) = si
Ui ∩Uj
− sj
Ui ∩Uj .
(2) Soit F un faisceau sur un espace topologique X, U un ouvert de X et s, t ∈ F(U ).
Si (Ui )i∈I est un recouvrement ouvert de U tel que s Ui = t Ui alors s = t.
Si F est un faisceau sur un espace topologique X, le groupe des sections de F sur X est
noté Γ(X, F). Les éléments Γ(X, F) sont appelés sections globales.
Exemple 26.
(1) Soit X un espace topologique et G une groupe abélien. Le
foncteur qui à tout ouvert non vide de X associe G et au vide {0} est un
préfaisceau appelé préfaisceau constant (mais n’est pas un faisceau.
(2) Soit X un espace topologique et G un groupe abélien. Le foncteur qui à tout ouvert
U de X associe C(U, G) des fonctions localement constante est un faisceau abélien
(3) Soit X une variété différentielle, le foncteur U −→ ε(U ) qui associe à tout ouvert
U de X le C - algèbre des fonctions différenciables à valeurs dans C est un faisceau.
Définition 168. Soit X un espace topologique et F un préfaisceau abélien sur X.
Pour x ∈ X on désigne par V l’ensemble des voisinages ouverts de x. La limite inductive
du système inductif
A=
(F(U ))U ∈V , (rV,U )V ⊂U
est appelée la fibre ou la tige de F en x, on la note Fx = lim
F(U ).
−→
x∈U
Remarque 23. Soit
Γ = {(U, s) | U ∈ V et s ∈ F(U )}.
on définit dans Γ la relation d’équivalence suivante : (U, s) ∼ (V, t) si et seulement si il
existe un voisinage W de x dans U ∩ V tel que s W = t W . On définit la fibre Fx comme
étant l’ensemble quotient de Γ par la relation d’équivalence ∼. La fibre Fx est l’ensemble
des sections de F définies au voisinage de x. Deux sections appartenant à Fx sont égales
si elles coïncident sur un voisinage de x.
Lemme 12. La fibre Fx est muni d’une structure de groupe abélien.
Démonstration. Soit α = (U, s) ∈ Fx et β = (V, t) ∈ Fx , on définit la somme de α et
β par
α + β = (U ∩ V, s U ∩V + t U ∩V ).
11.1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
137
(1) Montrons cette est bien définie. Soit (U1 , s1 ), (U2 , s2 ) ∈ α et (V1 , t1 ), (V2 , t2 ) ∈ β et soit
W et W 0 deux voisinages ouverts de x dans X inclus respectivement dans U1 ∩ U2 et
V1 ∩ V2 tels que s1 W = s2 W et t1 W 0 = t2 W 0 .
Posons W 00 = W ∩W 0 , W 00 est un voisinage ouvert de x contenu dans U1 ∩U2 ∩V1 ∩V2
et comme W 00 ⊂ U1 ∩ V1 , on a
(s1
U1 ∩V1
+ t1
U1 ∩V1 ) W 00
= s1
W 00
+ t1
W 00 .
= s2
W 00
+ t2
W 00
De même comme W 00 ⊂ U2 ∩ V2 , on a
(s2
Les égalités s1
donc
W
= s2
U2 ∩V2
W
et t1
(s1 U1 ∩V1 + t1
On en déduit que
(U1 ∩ V1 , s1
+ t2
U1 ∩V1
U2 ∩V2 ) W 00
W0
= t2
U1 ∩V1 ) W 00
+ t1
U1 ∩V1 )
W0
entraînent s1
= (s2
U2 ∩V2
+ t2
= (U2 ∩ V2 , s2
W 00
= s2
W 00
et t1
W 00
= t2
W 00 ,
U2 ∩V2 ) W 00
U2 ∩V2
+ t2
U2 ∩V2 ).
(2) On vérifie sans peine que la loi est associative et commutative.
(3) Pour tout voisinage ouvert U de x, e = (U, 0) est l’élément neutre Fx pour cette loi.
(4) Si α = (U, s) ∈ Fx alors −α = (U, −s) est le symétrique de α.
Définition 169. Soit U un voisinage ouvert de x et soit s ∈ F(U ).
La classe de s dans Fx est appelée germe de s en x et est notée sx .
Définition 170. Soient F et G deux préfaisceaux abéliens.
Un morphisme de préfaisceaux ϕ : F −→ G est la donnée pour tout ouvert U de X, d’un
morphisme de groupes ϕU : F(U ) −→ G(U ) tel que pour tout couple d’ouverts (U, V ) tel
que V ⊂ U, le diagramme suivant soit commutatif :
F(U )
ϕU
-
rV,U
G(U )
ρV,U
?
F(V )
?
ϕV
-
G(U )
Définition 171. Soient F et G deux préfaisceaux abéliens. Un morphisme de préfaisceaux ϕ : F −→ G est un isomorphisme si ϕU : F(U ) −→ G(U ) est un isomorphisme de
groupes pour tout ouvert U de X.
138
11. FAISCEAUX SUR UN ESPACE TOPOLOGIQUE
Définition 172. Un morphisme de faisceau est un morphisme de préfaisceaux sousjacent.
Définition 173. Un morphisme de préfaisceaux ϕ : F −→ G est injectif si pour tout
ouvert U de X, ϕU : F(U ) −→ G(U ) est injectif.
Remarque 24. Soit ϕ : F −→ G un morphisme de préfaisceaux sur un espace topologique X. Pour tout x ∈ X, ϕ induit un morphisme de groupes ϕx : Fx −→ Gx définit
par ϕx (sx ) = (ϕU (s))x , pour tout ouvert U de X contenant x et tout s ∈ F(U ).
Définition 174. Un morphisme de préfaisceaux ϕ : F −→ G est surjectif si le morphisme
de groupes ϕx : Fx −→ Gx est surjectif ∀x ∈ X.
Remarque 25. Soit ϕ : F −→ G un morsphisme de préfaisceau abélien. Si ϕ est
surjectif, les morphismes ϕU : F(U ) −→ G(V ) ne sont pas nécessairement surjectifs, comme
le montre l’exemple suivant :
Soit X une variété analytique complexe et on considère les préfaisceaux F et G sur
X définies comme suit : X = C\{0}. Pour tout ouvert U de X, F(U ) est l’ensemble des
fonctions holomorphes dans U et G(U ) est l’ensemble des fonctions holomorphes non nulles
et partout inversibles dans U . On a un morphisme de préfaisceaux ϕ : F −→ G définit pour
tout ouvert U de X par
ϕU : F(U ) −→ G(U )
s −→ ϕU (s) = es
ϕ est surjectif, car localement toute fonction holomorphe ne s’annulant pas est de la forme
ef . Mais ϕX : F(X) −→ G(X) n’est pas surjectif, car idX n’est pas l’exponentiel d’une
fonction holomorphe.
Proposition 44. Soient F et G deux faisceaux abéliens sur un espace topologique X
et ϕ : F −→ G un morphisme de faisceaux. Alors ϕ est un isomorphisme si et seulement
si ∀x ∈ X, le morphisme induit ϕx : Fx −→ Gx est un isomorphisme.
Démonstration. Supposons que ϕ est un isomorphisme ϕ montrons que ϕx est un
isomorphisme ∀x ∈ X. Soit α ∈ Fx tel que ϕx (α) = 0. Il existe un ouvert U de X contenant
x et s ∈ F(U ) tel que α = (U, s) c’est à dire α = sx . On a 0 = ϕx (α) = (ϕU (s))x , donc
il existe un voisinage ouvert V ⊂ U de x tel que ϕU (s) V = ϕV (s) = 0. Comme ϕV est un
isomorphisme, on a s = 0 d’où α = sx = 0. On en déduit que ϕx est injectif. Montrons que
ϕx est surjectif, soit β ∈ Gx et (U, t) ∈ β avec t ∈ G(U ). Comme ϕU est bijectif, il existe
s ∈ F(U ) tel que t = ϕU (s). On a β = tx = (ϕU (s))x = ϕx (sx ), donc ϕx est surjectif.
Réciproquement supposons que ϕx est un isomorphisme ∀x ∈ X.
Montrons que ϕ est un isomorphisme. Il s’agit de montrer que pour tout ouvert U de X,
le morphisme de groupes ϕU : F(U ) −→ G(U ) est un isomorphisme.
11.2. FAISCEAU ASSOCIÉ À UN PRÉFAISCEAU
139
(1) Injectivité de ϕU :
Soit s ∈ F(U ) tel que ϕU (s) = 0. Nous avons
ϕU (s) = 0 =⇒ ϕx (sx ) = 0 ∀x ∈ U =⇒ sx = 0 ∀x ∈ U
La condition sx = 0 signifie que s et la section nulle 0 ont même image sur un
voisinage Wx de x, dans U, donc s Wx = 0 ∀x ∈ U . On en déduit qu’il existe
un recouvrement ouvert (Wx )x∈U de U tel que s Wx = 0, d’après la définition des
faisceaux, on a s = 0 d’où ϕU est injectif ;
(2) Surjectivité de ϕU :
Soit t ∈ G(U ), on a ∀x ∈ U, tx ∈ Gx . Comme ϕx est surjectif, ∃sx ∈ Fx tel que
ϕx (sx ) = tx .
Soit s(x) un représentant de sx dans un voisinage Vx de x. Les éléments ϕ(s(x))
et t Vx sont deux éléments de G(Vx ) qui ont même germe en x, donc ϕU (s(x)) et t Vx
coïncident sur un voisinage de x, on peut supposer que ϕU (s(x)) = t Vx sur G(Vx ).
Notons que les ouverts Vx recouvrent U.
Soient x, y ∈ U, s(x) Vx ∩Vy et s(y) Vx ∩Vy ∈ G(Vx ∩ Vy ) tel que
ϕU s(x) Vx ∩Vy = ϕU s(y) Vx ∩Vy = t Vx ∩Vy .
Comme ϕU est injectif, on a s(x) Vx ∩Vy = s(y) Vx ∩Vy . Il existe donc s ∈ F(U ) tel
que s Vx = s(x). On a ϕ(s) ∈ G(U ), t ∈ G(U ) et ϕ(s) Vx = t Vx , donc ϕU (s) = t
et ϕU est surjectif.
Remarque 26. Soit X un espace topologique et F un faisceau sur X. Une section s
du faisceau F est entièrement déterminée par la famille (sx )x∈X de ses germes.
Un morphisme d’un préfaisceau F vers un préfaisceau G est déterminé par la famille des
morphismes induits sur les fibres (Fx −→ Gx )x∈X .
11.2. Faisceau associé à un préfaisceau
Soient F un préfaisceau sur un espace topologique
[ X et U un ouvert de X, on
+
considère F (U ) l’ensemble des fonctions s : U −→
Fx vérifiant :
x∈U
(1) ∀x ∈ U, s(x) ∈ Fx
(2) ∀x ∈ U, il existe un voisinage V de x contenu dans U et t ∈ F(V ) tel que
∀y ∈ V, s(y) = ty .
L’ensemble F+ (U ) est un groupe abélien.
Lemme 13. Le foncteur U −→ F+ (U ) définit un faisceau de groupes abéliens.
140
11. FAISCEAUX SUR UN ESPACE TOPOLOGIQUE
Démonstration.
(1) Comme F(φ) = {0}, on a F+ (φ) = {0}
(2) Soit V un ouvert de X tel que V ⊂ U, on considère
rV,U : F+ (U ) −→ F+ (V )
s −→ rV,U (s) = s
V
la restriction de s à V .
Si on a l’inclusion W ⊂ V ⊂ U ,alors
rW,U (s) = s
W
= (s V )
W
= rW,V (s V ) = rW,V (rV,U (s)),
donc rW,U = rW,V ◦ rV,U .
(3) Soit U un ouvert de U, rU,U (s) = s
U
= s rU,U = idF+ (U ) .
(4) Soit U ouvert de X et (Ui )i∈I un recouvrement ouvert de U et (si )i∈I ∈
Y
F+ (Ui )
i∈I
une famille de sections telle que si Ui ∩Uj = sj
S
s : U −→
Fx
Ui ∩Uj . On considère
x∈U
x −→ s(x) = si (x) si x ∈ Ui
s est bien défini car si x ∈ Ui ∩ Uj alors si (x) = sj (x). On a s ∈ F+ (U ) et s
On en déduit que F+ définit donc un faisceau abélien.
Ui
= si .
Définition 175. Soit F un préfaisceau sur un espace topologique. Le faisceau F+ est
appelé faisceau associé au préfaisceau F.
On considère le morphisme de préfaisceaux θ : F −→ F+ définit par :
θU : F(U ) −→ F+ (U )
,
s −→ θU (s)
où
θU (s) : U −→
[
F+ (U )
x∈U
s −→ θU (s)(x) = sx
L’application θU est un morphisme de groupes et θ est un morphisme de préfaisceaux.
Si U est un ouvert de X, et si x ∈ U et s ∈ F+ (U ) il existe un voisinage V de x
dans U et une section t ∈ F(U ) telle que s V = θ(t).
Lemme 14. ∀x ∈ X, l’application induite sur les fibres θx : Fx −→ Fx+ est une bijection.
Démonstration. Soit σ ∈ Fx+ , il existe un voisinage ouvert U de x et τ ∈ F+ (U )
tel que σ = τx .
Comme τ ∈ F+ (U ), il existe un voisinage ouvert V de x contenu dans U et t ∈ F(U )
tel que τ V = θ(t).
11.2. FAISCEAU ASSOCIÉ À UN PRÉFAISCEAU
141
Quitte à restreindre U, on peut supposer que U = V. On a θx (tx ) = τx = σ, ce qui montre
que θx est surjective.
Soient s ∈ Fx , s0 ∈ Fx tel que θx (s) = θx (s0 ).
Comme s ∈ Fx et s0 ∈ Fx , ils existent des sections t ∈ F(U ) et t0 ∈ F(U ) tels que s = tx
et s0 = t0x . Nous avons les implications suivantes :
θx (s) = θx (s0 ) =⇒ θx (tx ) = θx (t0x ) =⇒ θ(t)x = θ(t0 )x .
Donc θU (t) et θU (t0 ) coïncident sur un voisinage W ⊂ U de x. Sans perte de généralité,
on peut supposer que W = U, de sorte que en se plaçant dans U nous avons les implications
suivantes
θ(t) = θ(t) =⇒ θU (t)(y) = θU (t0 )(y),
∀y ∈ U =⇒ ty = t0y
, ∀y ∈ U.
En particulier on a tx = t0x d’où s = s0 . Donc θx est injective, on en déduit que θx est
une bijection.
Remarque 27. Soit U un ouvert de ‘X, x ∈ U et s ∈ F+ (U ) le germe de s en x
est défini par sx = θx (s(x)).
Soient X un espace topologique, F un préfaisceau sur X, F+ le faisceau associé et
θ : F −→ F+ le morphisme de faisceaux défini ci-dessus. Alors le couple (F+ , θ) vérifie la
propriété universelle suivante :
Théorème 75. Soit F un préfaisceau sur un espace topologique X, F+ le faisceau
associe à F et θ : F −→ F+ le morphisme associé.
Soit G un faisceau sur X et ϕ : F −→ G un morphisme de préfaisceaux. Alors il existe
un unique morphisme ψ : F+ −→ G tel que ψ ◦ θ = ϕ.
Démonstration.
(1) Existence de ψ
Soit U un ouvert de X et s ∈ F+ (U ). Comme s ∈ F+ (U ), on a s(x) ∈ Fx , ∀x ∈
U , donc il existe un voisinage Vx de x dans U et s0 ∈ F(Vx ) tel que s(x) = s0x .
Ainsi il existe un recouvrement (Ui )i∈I de U et pour i ∈ I si ∈ F(Ui ) tel que
s(x) = si,x ∀x ∈ Ui . Posons ti = ϕ(si ) on a , ti,x = ϕx (si,x ) = ti,x , ∀x ∈ Ui .
Si x ∈ Ui ∩ Uj , on a tj,x ϕx (s(x)) = ϕx (si,x ) = ti,x , donc ti Ui ∩Uj = tj Ui ∩Uj .
Comme G est un faisceau ∃t ∈ G(U ) tel que t Ui = ti . Soit x ∈ U , il existe
i ∈ I tel que x ∈ Ui et tx = ti,x = ϕx (s(x)).
Posons ψU (s) = t, l’application ψU est un morphisme de groupes. En effet soit,
0
s, s ∈ F+ (U ) et soit t = ψU (s + s0 ), pour tout i ∈ I et tout x ∈ Ui , nous avons
ti,x = ϕx ((s + s0 )i,x ) = ϕx (si,x + s0i,x )
= ϕx (si,x ) + ϕx (s0i,x )
= ϕx (s(x)) + ϕx (s0 (x))
Donc t = ψU (s) + ψU (s0 ) et ψU est un morphisme de groupes.
142
11. FAISCEAUX SUR UN ESPACE TOPOLOGIQUE
Soit U et V deux ouverts de X tel que V ⊂ U . Nous avons le diagramme suivant
F+ (U )
ψU
-
G(U )
rV,U
ρV,U
?
F+ (V )
?
ψV
G(V )
Soit s ∈ F (U ), nous avons
+
ρU,V ◦ ψU (s) = ρV,U (ψU (s))
= ρV,U (t) = t
V
= ψV (s V )
= ψV (rV,U (s)) = ψV ◦ rV,U (s)
Donc ρV,U ◦ ψU = ψV ◦ rV,U , ainsi ψ est un morphisme de préfaisceaux. De plus
pour tout ouvert U de X, ∀x ∈ U et s ∈ F+ (U ), on a ψx (s(x)) = ϕx (s(x)) or
s(x) = θx−1 (sx ), donc ψx (sx ) = ϕx (θx−1 (sx ), ainsi ψx = ϕx ◦ θx−1 (∗).
L’égalité (∗) entraîne ϕx = ψx ◦ θx
∀x ∈ U . Comme un morphisme est entièrement déterminé par les morphismes induit sur les fibres, on a ϕ = ψ ◦ θ.
(2) L’unicité de ψ découle de la formule (∗).
Définition 176. Soit F un faisceau abélien sur un espace topologique X. Un sous faisceau de F est un faisceau F0 tel que pour tout ouvert U de X, F0 (U ) est un sous groupe de F(U ) et que les applications de restriction de F0 soient induites pour celles de
F c’est à dire ρV,U (F0 (U )) ⊂ F0 (V ). Dans ce cas ∀x ∈ U, Fx0 est un sous - groupe de Fx .
Définition 177. Soit ϕ : F −→ G un morphisme de faisceaux abéliens, le foncteur
qui à tout ouvert U associe ker ϕU définit un préfaisceau abélien appelé noyau de ϕ noté
ker ϕ. Il est défini par :
(ker ϕ)(U ) = ker ϕU où ϕU : F(U ) −→ G(U )
est le morphisme de groupes associé à ϕ. Le faisceau ker ϕ est un sous - faisceau de F.
Définition 178. Soit ϕ : F −→ G un morphisme de faisceaux. Le faisceau associe au
préfaisceau associé au préfaisceau U −→ im ϕU est appelé l’image du morphisme ϕ et se
note im ϕ. Le morphisme ϕ est surjectif si im ϕ = G.
Remarque 28. Soit ϕ : F −→ G un morphisme de faisceaux abéliens sur un espace
topologique X et U un ouvert de X.
Soit s ∈ G(U ), s ∈ (im ϕ)(U ) si et seulement si ∀x ∈ U, il existe un voisinage ouvert
V ⊂ U de x tel que s V ∈ im ϕV .
11.3. IMAGE DIRECTE ET IMAGE RÉCIPROQUE DE FAISCEAUX
143
Définition 179. Soit F0 un sous faisceau d’un faisceau abélien F, le faisceau quotient
F/F0 est le faisceau associé au préfaisceau U −→ F(U )/F0 (U ). Pour tout x ∈ U, la fibre
(F/F0 )x est le quotient Fx /Fx0 .
Définition 180. Soit ϕ : F −→ G un morphsime de faisceaux. Le conoyau de ϕ est
le faisceau associé au préfaisceau défini par U −→ coker (ϕU : F(U ) −→ G(U )) .
ϕ
ψ
Définition 181. Soit F0 −→ F −→ F00 deux morphismes de faisceaux. On dit que cette
suite est exacte si im ϕ et ker ψ coïncident. Cela revient à dire que la suite de groupes
ϕx
ψx
abéliens Fx0 −→ Fx −→ Fx00 est exacte.
11.3. Image directe et Image réciproque de faisceaux
Définition 182. Soient X et Y deux espaces topologiques, f : X −→ Y une
application continue et F un faisceau sur X.
Le préfaisceau qui à tout ouvert V de Y associe F(f −1 (V )) est un faisceau abélien sur
Y appelé image directe de F par f. Ce faisceau est noté f∗ F.
Pour tout ouvert V de Y, (f∗ F)(V ) = F(f −1 (V )).
Définition 183. Soit X et Y deux espaces topologiques, f : X −→ Y une application
continue et G un faisceau abélien sur Y. On considère le préfaisceau abélien défini de la
manière suivante. on associe à ouvert U de X, le groupe abélien
lim
−→
G(V ).
V, f (U )⊂V
Le faisceau abélien associe à ce préfaisceau s’appelle image réciproque de G par f et se
note f −1 (G)
∀x ∈ X, (f −1 G)x = Gf (x) .
Définition 184. Soit X un sous - espace topologique d’un espace topologique
Y, X ⊂ Y et G un faisceau abélien sur Y. Le faisceau image réciproque i−1 (G) par
l’injection canonique i : X −→ Y est appelé restriction de G à X et se note G X
Chapitre 12
Variétés algébriques
12.1. Espaces annelés
Définition 185. Un espace annelé est un couple (X, OX ) où X est un espace topologique et OX un faisceau d’anneaux appelé faisceau structural de X.
Définition 186. Soit (X, OX ) et (Y, OY ) deux espaces annelés. Un morphisme d’espaces annelés de (X, OX ) vers (U, OY est un couple (f, f # ) où f : X −→ Y est une
application continue et f # : OY −→ f∗ OX est un morphisme de faisceaux d’anneaux pour
tout ouvert U de Y et ∀s ∈ OY (U ) on a (s ◦ f ) f −1 (U ) ∈ OX (f −1 (U )).
Définition 187. Un espace localement annelé est un espace annelé (X, OX ) tel que
∀x ∈ X, la fibre OX,x soit un anneau local.
Définition 188. Soient A et B deux anneaux locaux d’idéaux maximaux m et n
respectivement. Un morphisme g : A −→ B d’anneaux est un morphisme d’anneaux locaux
si g −1 (n) = m.
Définition 189. Soient (X, OX ) et (Y, OY ) deux espaces localement annelés. Un
morphisme d’espaces localement annelés de (X, OX ) vers (Y, OY ) est un morphisme d’espaces
annelés (f, f # ) tel que pour tout x ∈ X, le morphisme induit sur les fibres fx# : OY,f (x) −→
OX,x soit un morphisme d’anneaux locaux.
est appelé corps résiduel de (X, OX ) ou corps résiduel en x
Définition 190. Soit (X, OX ) un espace localement annelé et x ∈ X le corps k(x) =
OX,x /mX,x où mX,x est l’idéal maximal de (X, OX ). La surjection canonique
π : (X, OX ) −→ k(x)
f −→ f (x)
est appelé morphisme d’évaluatin en x
Lemme 15. Soit (X, OX ) un espace localement annelé, x ∈ X et f ∈ OX,x on a
f (x) 6= 0 ⇐⇒ f est inversible dans OX,x
Démonstration.
f (x) 6= 0 ⇐⇒ π(f ) 6= 0 ⇐⇒ f ∈
/ mX,x ⇐⇒ f inversible.
145
146
12. VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Lemme 16. Soit (X, OX ) un espace localement annelé, U un ouvert de X, x ∈ U et
OX (U ) −→ OX,x −→ k(x)
s −→ s = f −→ f (x)
s ∈ OX (U ) est inversible dans OX (U ) ⇐⇒ f (x) 6= 0.
Démonstration. Découle du lemme précédent.
Lemme 17. Soit (X, OX ) un espace localement annelé, U ouvert de X et s ∈ OX (U ).
Alors l’ensemble
D(s) = x ∈ U | s(x) 6= 0
est un ouvert de U et s est inversible dans OX (U ) si et seulement si
D(s) = U .
Démonstration. Soit s ∈ OX (U ) et x ∈ D(s). On a s(x) 6= 0,donc f = s est inversible
dans OX,x , donc il existe g(x) ∈ k(x) tel que f (x)g(x) = 1. Ainsi il existe un voisinage V de
x dans U tel que f (y)g(y) = 1 ∀y ∈ V, donc f (y) 6= 0 ∀y ∈ V , d’où s(y 6= 0 ∀y ∈ V .
On en déduit que V ⊂ D(s) et D(s) est un ouvert de U. De plus si s ∈ OX (U ) est
inversible alors s(x) 6= 0 ∀x ∈ U ce qui implique que D(s) = U.
Réciproquement, supposons U = D(s) et soit x ∈ U , s = f ∈ OX,x . Comme f (x) 6= 0
alors f est inversible dans OX,x , il existe un voisinage Vx de x dans U tel que f (y) 6=
0 ∀y ∈ Vx . On en déduit qu’il existe un recouvrement ouvert (Ui )i∈I de U et ∀i ∈ I, il
existe un inverse s0i de s Ui dans OX (Ui ).
Soit (i, j) ∈ I 2 , s0i Ui ∩Uj et s0j U ∩U sont des inverses de s Ui ∩Uj , donc s0i Ui ∩Uj = s0j U ∩U .
i
j
i
j
Il existe s0 ∈ X
0 (U ) tel que s0 Ui = s0i .. Nous avons ss0 Ui = 1 pour tout i ∈ I, donc ss0 = 1
et s est inversible dans OX (U ).
Remarque 29. Les lemmes ci-dessus montrent que le faisceau structural d’un espace
localement annelé ressemble à un faisceau de fonctions à valeurs dans un corps.
12.2. Faisceau structural d’un ensemble algébrique affine
Soit k un corps algébriquement clos.
Soit X ⊂ Ank un ensemble algébrique
affine, pour définir
un faisceaud’anneaux sur X, il
suffit de le définir sur la base d’ouverts D(f ) | f ∈ k[X] où D(f ) = x ∈ X | f (x) 6= 0 .
−1
Soit f ∈ k[X] non
nulle. Onpose OX (D(f )) = k[X]f = S k[X] l’anneau localisé de k[X]
en f , avec S = f n | n ∈ N .
Lemme 18. Soient f, g ∈ k[X] si D(f ) ⊂ D(g) et si
restriction à D(f ) appartient à OX (D(f )).
u
∈ OX (D(g)) alors sa
gs
12.2. FAISCEAU STRUCTURAL D’UN ENSEMBLE ALGÉBRIQUE AFFINE
147
Démonstration. Soient f, g ∈ k[X] non nulles. On suppose D(f ) ⊂ D(g) et soit
u
∈ OX (D(g)). Nous avons
gs
D(f ) ⊂ D(g) =⇒ V (g) ⊂ V (f )
=⇒ I(V (f )) ⊂ I(V (g))
p
p
hf i ⊂ hgi
=⇒
p
=⇒ f ∈ hgi
=⇒ ∃p ∈ N∗ | f p ∈ hgi
=⇒ ∃h ∈ k[X] | f p = gh.
Remarquons que h ne s’annule pas sur D(f ). Comme
u
∈ OX (D(g)) = k[X]g , sa restriction
gs
à D(f ) s’écrit
u
uhs
uhs
=
=
∈ k[X]f = OX (D(f )).
gs
g s hs
f ps
Remarque 30. On montre de la même manière que ci - dessu que si D(f ) = D(g) alors
k[X]f = k[X]g donc OX (D(f )) = OX (D(g)).
Lemme 19. Soit D(f ) un ouvert principal recouvert par des ouverts principaux (D(fi )i∈I
avec fi 6= 0 et soit si ∈ OX (D(fi )). Si
si
D(fi )∩D(fj )
alors il existe s ∈ OX (D(f )) tel que s
D(fi )
= sj
D(fi )∩D(fj ) ,
= si .
Démonstration. L’ouvert principal D(f ) est recouvert par les (D(fi ))i∈I . On peut
supposer que D(f ) est recouvert par un nombre fini des D(fi )1≤i≤r dans ce cas
V (f ) =
r
\
V (fi ) = V (f1 , · · · , fr ).
i=1
ai
.
f ni
Quitte à réduire au même dénominateur, on peut supposer qu’il existe n ∈ N∗ tel que
ai
si = n pour tout i ∈ [[1, r]].
fi
aj
ai
Si i 6= j nous avons si = sj sur D(fi ) ∩ D(fj ) = D(fi fj ), ce qui entraîne n = n sur
fi
fj
∗
N
n
n
D(fi fj ). Donc il existe N ∈ N tel que (fj fj ) (ai fj −aj fi ) = 0 sur D(fi fj ) = D(fi )∩D(fj ).
Comme sur V (fi fj ) = X \D(fi fj ), on a (fi fj )N = 0, donc on a fiN fjN (aj fin −ai fjn ) = 0
sur X, d’où ai fiN fjn+N = aj fjN fin+N .
Comme si ∈ OX (D(fi )) = k[X]fi , il existe ai ∈ k[X] et ni ∈ N∗ tel que si =
148
12. VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES
De plus comme f (x) = 0 ∀x ∈ V (f1 , . . . , fr ) = V (f1n+N , . . . , frn+N ), on a
q
n+N
n+N
f ∈ I(V (f1 , · · · , fr ) = hf1n+N , . . . , frn+N i.
Donc il existe m ∈ N∗ tel que f m ∈ hf1n+N , · · · , frn+N i, on en déduit qu’il existe bj ∈ k[X]
r
r
P
P
tel que f m =
bj fjn+N , on a ai f m =
ai bj fjn+N .
j=1
j=1
Sur D(fi ), nous avons
fiN (ai f m )
=
=
r
X
j=1
r
X
ai bj fjn+N ai bj fjn+N fiN
aj bj fjN fin+N
j=1
=
X
r
aj bj fjN
fin+N .
j=1
Posons a =
r
X
aj bj fjN , on a
j=1
fiN (ai , f m ) = a fin+N = fiN (afin )
=⇒ fiN (ai f m − afin ) = 0
ai
a
=⇒ m = n = si sur D(fi )
f
fi
En posant s =
a
∈ OX (D(f )) = k[X]f , On a s
fm
D(fi )
= si .
Théorème 76. Soit X ⊂ Ank un ensemble algébrique affine et f ∈ k[X] non nulle. Le
foncteur D(f ) −→ OX (D(f )) = k[X]f définit un faisceau d’anneaux sur X.
Démonstration. Elle découle des lemmes 4 et 5. Si U est un ouvert de X, OX (U )
est l’ensemble des fonctions régulières sur U.
Définition 191. Le faisceau OX construit ci - dessus est appelé le faisceau des fonctions
régulières.
Définition 192. Une variété algébrique affine réduite sur un coprs algébriquement clos
k est un espace annelé isomorphe à un espace annelé (X, OX ) défini par un ensemble
algébrique affine X ⊂ Ank , muni du faisceau OX des fonctions régulières sur X. Par
exemple si f ∈ k[X], alors (D(f ), OX D(f ) ) est une variété algébrique affine.
12.3. VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES
149
12.3. Variétés algébriques
Définition 193. Un espace annelé (X, OX ) est localement isomorphe à une variété
algébrique affine si ∀x ∈ X, il existe un voisinage U de x tel que (U, OX U ) soit
isomorphe à une variété algébrique affine.
Définition 194. On appelle variété algébrique sur k, un espace annelé en k - algèbres
quasi - compact, localement isomorphe à une variété affine réduite sur k.
Définition 195. Soit (X, OX ) une variété algébrique. Les ouverts de X isomorphes à
une variété algébrique affine sont appelés ouverts affines de X.
Proposition 45. Soit X une variété algébrique. Les ouverts affines forment une base
d’ouverts de X.
r
[
Démonstration. Soit X une variété algébrique, X = Ui est réunion finie d’ouverts
affines. Soit U un ouvert de X, U = U ∩ X =
r
[
i=1
(U ∩ Ui ). Comme Ui est un ouvert affine,
i=1
Ui est réunion finie d’ouverts principaux, donc U est réunion finie d’ouverts affines.
Lemme 20. Soit X un espace topologique et Y un sous - espace de X. Si Y
irréductible alors l’ adhérence Y de Y est aussi irréductible.
est
Démonstration. Soient Y1 et Y2 deux fermés de Y tels que Y = Y1 ∪ Y2 .
On a Y = Y ∩ Y = (Y ∩ Y1 ) ∪ (Y ∩ Y2 ). Comme Y est irréductible, on a
Y = Y1 ∩ Y ou Y = Y2 ∩ Y, donc Y ⊂ Y1 ou Y ⊂ Y2 , ainsi Y ⊂ Y1 ou Y ⊂ Y2 , par
suite Y = Y1 ou Y = Y2 . On en déduit que Y est irréductible.
Proposition 46. Soit X une variété algébrique non vide. Alors X est réunion finie
de fermés irréductibles (les composantes irréductibles).
Démonstration. La variété X =
r
[
Ui est réunion finie d’ouverts affines. Comme Ui
i=1
[
est affine, Ui est réunion finie d’irréductibles c’est à dire Ui = Ui,j avec Ui,j1 6⊂ Ui,j2 pour
j
j1 6= j2 . D’après le lemme ci-dessus les U i,j sont des fermés irréductibles et X =
[
U i,j est
i,j
réunion finie de fermés irréductibles.
Définition 196. Soit (X, OX ) une variété algébrique et U un ouvert de X, (U, OX
est une variété algébrique appelé sous - variété ouverte de X.
U)
Proposition 47. Soit (X, OX ) une variété algébrique et Y un fermé de X. Alors Y
est muni d’une structure de variété algébrique.
Démonstration. Soit (X, OX ) une variété algébrique et Y
(Ui )1≤i≤n un recouvrement de X par des ouverts affines.
un fermé de X. Soit
150
12. VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Il suffit de montrer que chaque (Y ∩ Ui , OX Y ∩Ui ) est une variété algébrique affine. On
se ramème ainsi au cas où X est affine. L’ensemble Y étant un fermé de X, il est défini
par un idéal I(Y ) de k[X] est donc une variété affine, donc une variété algébrique.
Définition 197. Une sous - variété algébrique X est un fermé de X muni de la
structure de variété réduite.
12.4. Anneaux locaux d’une variété algébrique
Soit (X, OX ) une variété algébrique et x ∈ X, nous allons montrer que la fibre OX,x en
x est un anneau local. Rappelons que OX,x est le quotient de l’ensemble
{(U, s), U ⊂ X ouvert affine, x ∈ U, s ∈ OX (U )}
par la relation d’équivalence (U, s) R (V, s0 ) si et seulement si il existe un voisinage ouvert
W ⊂ U ∩ V de x tel que s W = s0 W . On note la classe de (U, s) par sx . On définit sur
OX,x les deux opérations suivantes si sx = (U, s) et s0x = (V, s0 ), on pose
sx + s0x = (U ∩ V, s
U ∩V
+ s0
U ∩V )
et sx s0x = (U ∩ V, ss0
U ∩V ) ).
Lemme 21. L’ensemble OX,x muni des deux lois ci-dessus est un anneau commutatif et
unitaire.
Remarque 31. Soit U un ouvert affine de X, et x ∈ U. Comme les ouverts principaux
constituent une base d’ouverts, il existe f ∈ OX (U ) tel que x ∈ D(f ) et (U, f ) R (D(f ), f D(f ) ).
Donc dans la définition de OX,x on peut se restreindre aux ouverts principaux.
OX,x = ((D(f ), g), f ∈ OX (U ), f (x) 6= 0 et g ∈ OX (U )f .
On considère le morphisme surjectif suivant
θX (U ) −→ k
,
s −→ s(x)
son noyau mx = s ∈ OX (U ) | s(x) = 0 est un idéal maximal. On dit que mx est l’idéal
maximal de OX (U ) correspondant au point x.
Théorème 77. Soit X une variété algébrique sur un corps algébriquement clos k, x ∈ X
et U un ouvert affine contenant x. Soit mx l’idéal maximal de OX (U ) correspondant au
point x. Alors l’anneau OX,x est isomorphe à l’anneau localisé OX (U )mx .
Démonstration. On considère
ϕ : OX (U )mx −→ OX,x
f
f
f
−→ ϕ
= D(g), ∈ OX (U )g
g
g
g
où D(g) est un ouvert principal contenant x
12.4. ANNEAUX LOCAUX D’UNE VARIÉTÉ ALGÉBRIQUE
151
(1) Montrons que ϕ est bien défini
f1 f2
f1
f2
Soit
,
∈ OX (U )mx tel que
= , dans ce cas il existe (h ∈
/ mx ) tel que
g1 g2
g1
g2
h(f1 g2 − f2 g1 ) = 0
f1
f2
Sur D(g1 g2 h) ⊂ D(g1 ) ∩ D(g2 ), on a
=
dans (OX (U ))hg1 g2 , donc
g1
g2
f1
f2
D(g1 ),
∈ θX (U )g1 = D(g2 ),
∈ θX (U )g2
g1
g2
d’où
(2) Soit
f2
f1
=ϕ
. On en déduit que ϕ est donc bien définie.
ϕ
g1
g2
f1 f2
,
∈ OX (U )mx , nous avons
g1 g2
(a)
f1 f2
ϕ
+
g1 g2
f1 g2 + f2 g1
= D(g1 g2 ),
∈ θX (U )g1 g2
g1 g2
f1 f2
= D(g1 ) ∩ D(g2 ),
+
∈ θX (U )g1 g2
g1 g2
f1
f2
= D(g1 ),
+ D(g2 ),
g1
g2
f1
f2
=ϕ
+ϕ
g1
g2
(b)
f1 f2
f1 f2
f1
f2
ϕ
= D(g1 ) ∩ D(g2 ) ,
= D(g1 ),
D(g2 ),
g1 g2
g1 g2
g1
g2
f1 f2
f1
f2
donc ϕ
=ϕ
ϕ
g1 g2
g1
g2
f
Ce qui montre que ϕ est un morphisme d’anneaux. De plus ∀ D(g),
∈ OX,x , on
g
f
f
a D(g),
=ϕ
donc ϕ est surjectif. Montrons que ϕ est injectif.
g
g
152
12. VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES
f
∈ ker ϕ, nous avons,
g
f
f
∈ ker ϕ =⇒ ϕ
=0
g
g
f
=⇒ D(g),
= D(g), 0
g
Soit
f
0
=
dans (OX (U ))h
g
1
=⇒ ∃n ∈ N∗ / hn (f − 0) = 0 =⇒ hn f = 0 dans OX (U )
=⇒ ∃h ∈
/ mx tel que D(h) ⊂ D(g) ,
f
= 0 dans OX (U )mx car hn ∈
/ mx . On en déduit que ϕ est un isomorphisme
g
d’anneaux et par suite OX,x est un anneau local.
donc
Définition 198. L’anneau OX,x est appelé anneau local de X en x. L’anneau OX,x
est l’anneau des germes
de fonctions régulières
au voisinage de x. L’idéal maximal mX,x de
OX,x est mX,x = f ∈ θX,x / f (x) = 0 est l’idéal des germes de fonctions régulières qui
s’annulent en x.
Remarque 32. L’idéal maximal mX,x peut s’écrire sous la forme suivante
mX,x = (U, f ) ; x ∈ U, f ∈ OX (U ) et f (x) = 0
Définition 199. Soit A un anneau. On dit qu’un idéal premier p de A est minimal
si A n’a pas d’idéal premier strictement contenu dans p
Lemme 22. Un anneau noethérien A est intègre si et seulement si il est réduit et n’a
qu’un seul idéal premier minimal.
Démonstration. Si A est intègre, l’idéal nul (0) est premier. Comme il est contenu
dans tout idéal, il est l’unique idéal premier minimal et A est réduit.
Réciproquement supposons que A est réduit et n’a qu’un seul
p
p idéal premier minimal
p, (0) est l’intersection des idéaux premiers minimaux, donc
(0) = p. Comme A est
réduit on a p = (0) et A est intègre.
Proposition 48. Soit (X, OX ) une variété algébrique sur k et x ∈ X. Alors l’anneau
OX,x est intègre si et seulement si x appartient à une unique composante irréductible de X.
Démonstration. Supposons que x ∈ X est une seule composante irréductible de X.
On peut supposer que X est irréductible. Soit U un ouvert affine contenant x, l’ouvert U
est irréductible, donc OX (U ) est intègre. Comme OX,x est isomorphe à OX (U )mx , l’anneau
OX,x est intègre.
Réciproquement si OX,x est intègre alors il n’a qu’un seul idéal premier minimal p qui
détermine une composante irréductible de X.
12.4. ANNEAUX LOCAUX D’UNE VARIÉTÉ ALGÉBRIQUE
153
Remarque 33. L’anneau OX,x est un anneau réduit dont les idéaux premiers minimaux
s’identifient aux composantes irréductibles de X qui contiennent x.
Définition 200. Soit X une variété algébrique irréductible. On appelle ensemble des
fonctions rationnelles de X, la limite inductive k(X) = −
lim
OX (U ), U parcourt les ouverts
−→
U 6=∅
non vide de X. Le corps k(X) est le quotient de l’ensemble
(U, f ), U ouvert non vide de X, f ∈ OX (U )
par la relation d’équivalence (U, f ) ∼ (V, g) si et seulement si il existe un ouvert non vide
W ⊂ U ∩ V tel que f W = g W .
Proposition 49. Soit (X, OX ) une variété algébrique irréductible, k(X) est un corps et
pour tout ouvert affine non vide U de X, les corps k(X) et Frac(OX (U )) sont isomorphes
où Frac(OX (U )) est le corps des fractions de l’anneau intègre OX (U ).
Démonstration. Comme une limite inductive d’anneaux est un anneau, k(X) est un
anneau commutative et unitaire. Montrons que k(X) est un corps. Soit (U, f ) ∈ k(X) où U
1
affine non vide et f ∈ OX (U ) est régulière sur U avec f 6= 0 on a
est régulière sur
f
1
U \V (f ) = V . L’élément (V, ) est un inverse de (U, f ), donc k(X) est un corps.
f
On considère l’application
ϕ : OX (U ) −→ k(X)
f −→ (U, f )
L’application ϕ est un morphisme d’anneaux, comme k(X) est un corps, ϕ est injectif.
Posons S = θX (U )\{0} et Frac(OX (U )) = S −1 OX (U ).
Comme ϕ est injectif on a ϕ(S) ⊂ k(X)\{0}, d’après la propriété universelle des anneaux
localisés il existe un morphisme ψ : Frac(OX (U )) −→ k(X) tels que ψ ◦ iS = ϕ où
iS : OX (U ) −→ Frac(OX (U ))
f
f −→
1
On obtient le diagramme commutatif suivant :
OX (U )
ϕ
-
k(X)
iS
ψ
?
Frac(OX (U ))
154
12. VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES
f
Le morphisme ϕ est défini par ψ
= ϕ(f ) ϕ(s)−1 . Montrons que le morphisme ψ est
s
f
injectif. Soit ∈ ker ψ, nous avons les implications suivantes
s
f
ψ
= 0 =⇒ ϕ(f ) ϕ(s)−1 = 0
s
=⇒ ϕ(f ) = 0
=⇒ f = 0
f
=⇒
=0
s
Donc ϕ est injective. Montrons que ψ est surjectif. Soit (U, f ) ∈ k(X) où U est un ouvert
affine de X et f ∈ OX (U ) est une fonction régulière. Quitte à restreindre U, on peut
supposer que U = D(g) avec g ∈ OX (X)) = k[X]. Comme OX (D(g)) = k[X]g , il existe
h
h
h ∈ k[X], n ∈ N∗ tel que f = n . On obtient n ∈ Frac(OX (U )) et
g
g
h
h
D(g), f = D(g), n = ψ n
g
g
Ainsi ψ est surjective, donc ψ est un isomorphisme. On en déduit que k(X) ' Frac(OX (U )).
12.5. Les Variétés projectives
Soit X ⊂ ϕn un ensemble algébrique projectif. L’anneau des coordonnées homogènes de
n
[
n
X est Γn (X) = k[Xo , . . . , Xn ]/Ip (X). On a P = D+ (Xi ). Posons Ui = D+ (Xi ), on a
i=0
des homéomorphismes
ϕi : Ank −→ Ui
(x1 ), . . . , xn ) −→ (x1 , . . . , xi−1 , 1, xi , . . . , xn )
ϕo : Ank −→ Uo = D+ (Xo )
.
(x1 , . . . , xn ) −→ ϕo (x1 , . . . , xn ) = (1, x1 , . . . , xn )
Soit f ∈ Γn (X) homogène de degré strictement positif. On a
g
Γn (X)(f ) =
/ g ∈ Γh (X) homogène de degré r deg f ∪ {0} .
fr
Définition 201. On définit sur X le faisceau strictement sur X par
OX (D+ (f )) = Γh (X)(f ) .
Théorème 78. (X, OX ) est une variété algébrique.
12.5. LES VARIÉTÉS PROJECTIVES
155
Démonstration. L’ensemble X est un fermé de Pn , pour montrer que (X, OX ) est
une variété algébrique, il suffit de montrer que Pn , est une variété algébrique.
n
[
n
Comme P = Ui avec Ui = D+ (Xi ), pour montrer que Pn est une variété algébrique,
i=0
il suffit de montrer que les Ui sont des variétés algébriques affines. Pour cela il suffit de
montrer que U0 est une variété algébrique affine. ϕ0 : Ank −→ U0 est un homéomorphisme,
montrons que ϕ0 induit un isomorphisme d’espaces annelés
Ank , OAnk ' D+ (X0 ), OPn / D+ (X0 ) .
Soit F ∈ k[X0 , . . . , Xn ] homogène de degré d et D+ (F ) ∩ U0 = D+ (F X0 ), on définit
G
+
+
OPn (D (F ) ∩ U0 ) = OPn (D (F X0 )) =
| G homogène de degré r(d + 1) .
(F Xo )r
Rappelons que ((F X0 ))∗ = F (1, X1 , · · · , Xn ) = F∗ . On considère
ϕ : OPn (D+ (F X0 )) −→ θAnn (D+ (F∗ )) = k[X1 , · · · , Xn ]
l’application définie
ϕ
G
(F Xo )r
=
G∗
F∗r
, Montrons que ϕ est bien définie
G1
G2
=
=⇒ ∃r ∈ N∗ | (F X0 )r (G1 (F X0 )r2 − G2 (F Xo )r1 = 0
r
(F X0 ) 1
(F X0 )r2
=⇒ F∗r (G1∗ F∗r2 − G2∗ F∗r1 ) = 0
G2∗
G1∗
=⇒ r1 = r2
F∗
F∗
Donc ϕ est bien définie, montrons qu’elle est injective. On a
ϕ
G
(F Xo )r
G∗
=0
F∗r
=⇒ G∗ = 0 =⇒ G∗∗ = 0
=⇒ G = X0α G∗∗ = 0
= 0 =⇒
α étant la plus grande puissance de X0 divisant G. Donc ϕ est injective. Montrons que
ϕ est surjectif.
H
Soit r ∈ OAnk (D(F∗ )) = k[X1 , . . . , Xn ], On cherche à déterminer un élément G homoF∗
gène de degré r(d + 1) tel que
G
H
ϕ
= r.
r
(F X0 )
F∗
∗
∗
Si G existe alors on a G∗ = H, donc G∗ = H . Soit s la plus grande puissante de X0
divisant G, on a
156
12. VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES
G = X0s (G∗∗ ) = X0s H ∗ et deg(G) = s + deg(H),
s donc
s = r(d + 1) − deg(H).
X0 H ∗
H
En posant s = r(d + 1) − deg(H), on a ϕ
= r , donc ϕ est surjective. On
r
(F Xo )
F∗
en déduit que ϕ est un isomorphisme d’anneaux et il s’en suit que
OAnk (D(F∗ )) ' OPn (D+ (F X0 )).
Ainsi (U0 , OPn
U0 )
est une variété affine, d’où le résultat.
Chapitre 13
Etude locale des variétés algébriques
13.1. Dimension des variétés algébriques
Définition 202. Soit X un espace topologique
157