2 Modèle frequentiel

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Modèle Mathématique
des systèmes régulés
dans le domaine
fréquentiel
Objectifs
Ce chapitre a pour objectif de permettre aux étudiants de
• Maitriser la transformation de Laplace
• Trouver une fonction de transfert à partir d’une équation différentielle
• Linéariser un système non linéaire afin d’obtenir la fonction de transfert
I Introduction
La première étape dans la réalisation d’un système contrôlé consiste à établir un
modèle mathématique à partir d’un schéma fonctionnel. Les deux principale
méthodes utilisées sont l’écriture de la fonction de transfert dans la domaine
fréquentiel et la représentation d’état dans le domaine temporel. Il est important
de noter que quelque soit la méthode utilisée le modèle mathématique est obtenu
en partant des lois fondamentales de la physique et de l’ingénierie. Les lois
fondamentales de la physique se présentent sous forme d’équation différentielle
liant l’entrée et la sortie.
La forme et les coefficients de l’équation différentielle sont une description du
système. Malheureusement l’utilisation d’équation différentielle n’est pas adaptée
pour l’étude des systèmes. Nous préférons la représentation mathématique ou
l’entrée , la sortie et le système sont distincts.
Système
Entrée
E(p)
Sortie
S(p)
Figure 1:Modèle adapté à l'étude des systèmes

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De plus cette représentation permet l’interconnection des sous-systèmes
composant le système global.
Système2
Entrée
E(p)
Sortie
S(p)
Système1 Système3
Figure 2:Interconnection de système
Dans cette représentation le système est remplacé par une fonction mathématique
appelée la fonction de transfert . La fonction de transfert est obtenue en appliquant
la transformée de Laplace aux équations différentielles décrivant le système.
II La transformée de Laplace
La représentation de système sous forme de schéma bloc est réalisable grâce à la
transformée de Laplace. Elle permet de séparer l’entrée, la sortie et le système en
trouvant une relation algébrique les liants entre eux. La transformée de Laplace
est défini comme suit
La borne inférieur traduit le fait que nous travaillons avec des fonctions nulles
pour .
L’inverse de la transformée de Laplace permet de retrouver la fonction temporelle
II.1 Transformée de Laplace de fonction particulière

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f(t)
description
F(p)
Impulsion de
Dirac
Echelon unité
Rampe
Fonction puissance
Exponentiel
décroissante
Fonction
trigonométrique
II.2 Propriété de la transformation de Laplace
Linéarité
Retard fréquentiel
Retard Temporel
Facteur d’échelle (dilatation
temporelle
Dérivation
Intégration

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Exemple
Trouvons la transformée de Laplace de 
Par calcul
Par les propriétés
 si  alors
 donc 
Trouvons l’inverse de fonction 
Nous allons les propriétés
Nous savons que si  alors 
 donc
 et a pour inverse  donc
II.3 Inversion de la transformée de Laplace
La transformation inverse de Laplace peut être réalisée en utilisant les techniques
suivantes :
• Utilisation de tables et propriétés de Laplace
• La division fractionnaire lorsque nous avons une fraction rationnelle dont
le polynôme du numérateur a un degré supérieur à celui du dénominateur.
• La décomposition en éléments simples lorsque nous avons une fraction
rationnelle dont le polynôme du numérateur a un degré inférieur à celui du
dénominateur.

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II.3.1 La division fractionnaire
Considérons la fonction suivante 
Le polynôme du numérateur est de degré 3 tandis que celui du dénominateur est
de degré 2, nous allons donc faire une division fractionnaire.
Nous pouvons écrire  
En utilisant les tables et les propriétés nous pouvons donner
II.3.2 Décomposition en éléments simples
Afin de faire la décomposition en éléments simples il est primordial de factoriser
le dénominateur de la fonction rationnelle.
II.3.2.1 Les racines du dénominateur sont réelles et distinctes
La forme générale des fonctions rationnelles dont les racines sont réelles et
distinctes est la suivante :