Modèle Mathématique
des systèmes régulés
dans le domaine
fréquentiel
Objectifs
Ce chapitre a pour objectif de permettre aux étudiants de
• Maitriser la transformation de Laplace
• Trouver une fonction de transfert à partir d’une équation différentielle
• Linéariser un système non linéaire afin d’obtenir la fonction de transfert
I Introduction
La première étape dans la réalisation d’un système contrôlé consiste à établir un
modèle mathématique à partir d’un schéma fonctionnel. Les deux principale
méthodes utilisées sont l’écriture de la fonction de transfert dans la domaine
fréquentiel et la représentation d’état dans le domaine temporel. Il est important
de noter que quelque soit la méthode utilisée le modèle mathématique est obtenu
en partant des lois fondamentales de la physique et de l’ingénierie. Les lois
fondamentales de la physique se présentent sous forme d’équation différentielle
liant l’entrée et la sortie.
𝑑𝑛 𝑠(𝑡)
𝑑 𝑛−1 𝑠(𝑡)
𝑑 𝑚 𝑒(𝑡)
𝑑 𝑚−1 𝑒(𝑡)
𝑎𝑛
+ 𝑎𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎0 𝑠(𝑡) = 𝑏𝑚
+ 𝑏𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏0 𝑒(𝑡)
𝑑𝑡 𝑛
𝑑𝑡 𝑛−1
𝑑𝑡 𝑚
𝑑𝑡 𝑚−1
La forme et les coefficients de l’équation différentielle sont une description du
système. Malheureusement l’utilisation d’équation différentielle n’est pas adaptée
pour l’étude des systèmes. Nous préférons la représentation mathématique ou
l’entrée , la sortie et le système sont distincts.
Entrée
Sortie
Système
E(p)
S(p)
Figure 1:Modèle adapté à l'étude des systèmes
1
De plus cette représentation permet l’interconnection des sous-systèmes
composant le système global.
Entrée
Sortie
Système1
Système2
Système3
E(p)
S(p)
Figure 2:Interconnection de système
Dans cette représentation le système est remplacé par une fonction mathématique
appelée la fonction de transfert . La fonction de transfert est obtenue en appliquant
la transformée de Laplace aux équations différentielles décrivant le système.
II La transformée de Laplace
La représentation de système sous forme de schéma bloc est réalisable grâce à la
transformée de Laplace. Elle permet de séparer l’entrée, la sortie et le système en
trouvant une relation algébrique les liants entre eux. La transformée de Laplace
est défini comme suit
+∞
ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑝) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝 = 𝜎 + 𝑗𝜔
0
La borne inférieur traduit le fait que nous travaillons avec des fonctions nulles
pour 𝑡 < 0.
L’inverse de la transformée de Laplace permet de retrouver la fonction temporelle
𝜎+𝑗∞
1
0,
ℒ −1 [𝐹(𝑝)] = 𝑓(𝑡) ∗ 𝑢(𝑡) =
∫ 𝐹(𝑝)𝑒 𝑝𝑡 𝑑𝑝 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢(𝑡) = {
1,
2𝜋𝑗
𝑡<0
𝑥≥0
𝜎−𝑗∞
II.1
Transformée de Laplace de fonction particulière
2
f(t)
Impulsion de
Dirac
Echelon unité
description
𝛿(𝑡)
𝛿(𝑡) = ∞, 0− < 𝑡 < 0+
𝑢(𝑡)
1; 𝑡 ≥ 0
𝑢(𝑡) = {
0; 𝑡 < 0
F(p)
1
1
𝑝
1
𝑝2
𝑛!
Fonction puissance
𝑡 𝑛 𝑢(𝑡)
𝑝𝑛+1
1
Exponentiel
𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡)
décroissante
𝑝+𝑎
𝜔
sin(𝜔𝑡);
𝑡
≥
0
Fonction
sin(𝜔𝑡)𝑢(𝑡) sin(𝜔𝑡)𝑢(𝑡) = {
0; 𝑡 < 0
𝑝2 + 𝜔 2
trigonométrique
𝑝
cos(𝜔𝑡)𝑢(𝑡) cos(𝜔𝑡)𝑢(𝑡) = {cos(𝜔𝑡); 𝑡 ≥ 0
0; 𝑡 < 0
𝑝2 + 𝜔 2
𝑡𝑢(𝑡)
Rampe
𝑡; 𝑡 ≥ 0
𝑡𝑢(𝑡) = {
0; 𝑡 < 0
𝑡𝑛; 𝑡 ≥ 0
𝑡 𝑛 𝑢(𝑡) = {
0; 𝑡 < 0
𝑒 −𝑎𝑡 ; 𝑡 ≥ 0
𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡) = {
0; 𝑡 < 0
II.2 Propriété de la transformation de Laplace
Linéarité
ℒ[𝑘𝑓(𝑡)] = 𝑘𝐹(𝑝) 𝑘 ∈ ℝ
ℒ[𝑎𝑓1 (𝑡) + 𝑏𝑓2 (𝑡)] = 𝑎𝐹1 (𝑝) + 𝑏𝐹2 (𝑝)
Retard fréquentiel
Retard Temporel
Facteur d’échelle (dilatation
temporelle
Dérivation
ℒ[𝑒 −𝑎𝑡 𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑝 + 𝑎)
ℒ[𝑓(𝑡 − 𝜏)] = 𝑒 −𝜏𝑝 𝐹(𝑝)
1 𝑝
ℒ[𝑓(𝑎𝑡)] = 𝐹( )
𝑎 𝑎
𝑑𝑓(𝑡)
ℒ[
] = 𝑝𝐹(𝑝) − 𝑓(0)
𝑑𝑡
𝑑 2 𝑓(𝑡)
ℒ[
] = 𝑝2 𝐹(𝑝) − 𝑝𝑓(0) − 𝑓′(0)
𝑑𝑡 2
𝑛
𝑑 𝑛 𝑓(𝑡)
ℒ[
] = 𝑝𝑛 𝐹(𝑝) − ∑ 𝑝𝑛−𝑘 𝑓 (𝑘−1) (0)
𝑑𝑡 𝑛
Intégration
𝑘=1
𝑡
𝐹(𝑝)
;
𝑝
ℒ [∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏] =
0
𝑡
𝑎𝑣𝑒𝑐 ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏|
0
=0
𝑡=0
3
Exemple
Trouvons la transformée de Laplace de 𝑓(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡)
Par calcul
+∞
+∞
+∞
𝐹(𝑝) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝐴𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡 = 𝐴 ∫ 𝑒 −(𝑝+𝑎)𝑡 𝑑𝑡
0
0
0
+∞
1
1
−(𝑝+𝑎)𝑡
= 𝐴 [−
𝑒
] =𝐴
𝑝+𝑎
𝑝+𝑎
0
Par les propriétés
ℒ[𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡)] =
1
𝑝+𝑎
si
𝑔(𝑡) = 𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡)
alors
ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑝) =
𝑒𝑡 ℒ[𝐴𝑔(𝑡)] = 𝐴𝐺(𝑝)
𝑓(𝑡) = 𝐴𝑔(𝑡) donc ℒ[𝑓(𝑡)] =
alors
𝐴
𝑝+𝑎
Trouvons l’inverse de fonction 𝐺(𝑝) =
1
(𝑝+5)3
Nous allons les propriétés
Nous
savons
𝐹(𝑝 + 𝑎) =
que si
2
(𝑝+𝑎)3
𝑓(𝑡) = 𝑡 2 𝑢(𝑡)
2
𝑝3
donc
et a pour inverse 𝑒 −𝑎𝑡 𝑓(𝑡) = 𝑒 −𝑎𝑡 𝑡 2 𝑢(𝑡) donc
1
𝑔(𝑡) = 𝑒 −5𝑡 𝑡 2 𝑢(𝑡)
2
II.3 Inversion de la transformée de Laplace
La transformation inverse de Laplace peut être réalisée en utilisant les techniques
suivantes :
• Utilisation de tables et propriétés de Laplace
• La division fractionnaire lorsque nous avons une fraction rationnelle dont
le polynôme du numérateur a un degré supérieur à celui du dénominateur.
• La décomposition en éléments simples lorsque nous avons une fraction
rationnelle dont le polynôme du numérateur a un degré inférieur à celui du
dénominateur.
4
II.3.1 La division fractionnaire
Considérons la fonction suivante 𝐹(𝑝) =
𝑝3 +6𝑝2 +12𝑝+3
𝑝2 +4𝑝+4
Le polynôme du numérateur est de degré 3 tandis que celui du dénominateur est
de degré 2, nous allons donc faire une division fractionnaire.
2
𝑝3 + 6𝑝2 + 12𝑝 + 3 𝑝 + 4𝑝 + 4
𝑝+2
−(𝑝3 + 4𝑝2 + 4𝑝)
|
0 + 2𝑝2 + 8𝑝 + 3
|
−(2𝑝2 + 8𝑝 + 8)
−5
Nous pouvons écrire 𝐹(𝑝) = 𝑝 + 2 −
5
𝑝2 +4𝑝+4
En utilisant les tables et les propriétés nous pouvons donner
𝑑𝛿(𝑡)
5
+ 2𝛿(𝑡) − ℒ −1 [ 2
]
𝑑𝑡
𝑝 + 4𝑝 + 4
5
5
ℒ −1 [ 2
] = ℒ −1 [
] = 5𝑡𝑒 −2𝑡 𝑢(𝑡)
(𝑝 + 2)2
𝑝 + 4𝑝 + 4
𝑑𝛿(𝑡)
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑓(𝑡) =
+ 2𝛿(𝑡) − 5𝑡𝑒 −2𝑡 𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
𝑓(𝑡) =
II.3.2 Décomposition en éléments simples
Afin de faire la décomposition en éléments simples il est primordial de factoriser
le dénominateur de la fonction rationnelle.
II.3.2.1
Les racines du dénominateur sont réelles et distinctes
La forme générale des fonctions rationnelles dont les racines sont réelles et
distinctes est la suivante :
5
𝐹(𝑝) =
𝑁(𝑝)
𝑁(𝑠)
=
𝐷(𝑝) (𝑝 + 𝑝1 )(𝑝 + 𝑝2 ) … (𝑝 + 𝑝𝑚 ) … (𝑝 + 𝑝𝑛 )
Ces fonctions se décomposent sous la forme suivante
𝐹(𝑝) =
𝑘1
𝑘2
𝑘𝑚
𝑘𝑛
+
+ ⋯+
+⋯+
(𝑝 + 𝑝𝑚 )
(𝑝 + 𝑝1 ) (𝑝 + 𝑝2 )
(𝑝 + 𝑝𝑛 )
Afin d’évaluer chaque coefficient 𝑘𝑖 nous multiplions 𝐹(𝑝) par le dénominateur
de la fonction partielle correspondante puis nous faisons tendre p vers la racine
du dénominateur.
Déterminons 𝑘𝑚
Calculons
(𝑝 + 𝑝𝑚 )𝑁(𝑠)
=
(𝑝 + 𝑝1 )(𝑝 + 𝑝2 ) … (𝑝 + 𝑝𝑚 ) … (𝑝 + 𝑝𝑛 )
𝑘1
𝑘2
𝑘𝑛
(𝑝 + 𝑝𝑚 )
+ (𝑝 + 𝑝𝑚 )
+ ⋯ + 𝑘𝑚 + ⋯ + (𝑝 + 𝑝𝑚 )
(𝑝 + 𝑝1 )
(𝑝 + 𝑝2 )
(𝑝 + 𝑝𝑛 )
(𝑝 + 𝑝𝑚 )𝐹(𝑝) =
Posons 𝑝 = −𝑝𝑚 alors
𝑘𝑚 =
𝑁(𝑠)
|
(𝑝 + 𝑝1 )(𝑝 + 𝑝2 ) … … (𝑝 + 𝑝𝑛 )
𝑝=−𝑝
𝑚
Exemple
𝑝2 + 3𝑝 + 5
𝐹(𝑝) = 3
𝑝 + 9𝑝2 + 23𝑝 + 15
La factorisation du dénominateur permet d’écrire
𝑝2 + 3𝑝 + 5
𝑘1
𝑘2
𝑘3
𝐹(𝑝) =
=
+
+
(𝑝 + 1)(𝑝 + 3)(𝑝 + 5) (𝑝 + 1) (𝑝 + 3) (𝑝 + 5)
𝑝2 + 3𝑝 + 5
𝑘1 =
|
(𝑝 + 3)(𝑝 + 5)
=
𝑝=−1
3
8
2
𝑘2 =
𝑝 + 3𝑝 + 5
|
(𝑝 + 1)(𝑝 + 5)
𝑝=−3
=−
10
8
6
𝑝2 + 3𝑝 + 5
𝑘3 =
|
(𝑝 + 3)(𝑝 + 1)
=
𝑝=−5
15
8
3 1
10 1
15 1
−
+
𝑑𝑜𝑛𝑐
8𝑝 +1 8 𝑝 +3 8 𝑝 +5
3
10
15
𝑓(𝑡) = [ 𝑒 −𝑡 − 𝑒 −3𝑡 + 𝑒 −5𝑡 ] 𝑢(𝑡)
8
8
8
𝐹(𝑝) =
II.3.2.2
Les racines du dénominateur sont réelles et répétées
Les fonctions rationnelles dont les racines sont réelles et répétées se présentent
sous la forme suivantes
𝐹(𝑝) =
𝑁(𝑝)
𝑁(𝑠)
=
𝐷(𝑝) (𝑝 + 𝑝1 )𝑟 (𝑝 + 𝑝2 ) … (𝑝 + 𝑝𝑚 ) … (𝑝 + 𝑝𝑛 )
Ces fonctions se décomposent sous la forme suivante
𝐹(𝑝) =
𝑘1
𝑘2
𝑘𝑟
𝑘𝑟+1
𝑘𝑛
+
+
⋯
+
+
+
⋯
+
(𝑝 + 𝑝1 ) (𝑝 + 𝑝2 )
(𝑝 + 𝑝1 )𝑟 (𝑝 + 𝑝1 )𝑟−1
(𝑝 + 𝑝𝑛 )
Les coefficients 𝑘𝑟+1 à 𝑘𝑛 sont calculés par la méthode précédente. Pour le
coefficients 𝑘1 à 𝑘𝑟 associés à la racine répétée nous définissons la fonction
𝐹1 (𝑝)
(𝑝 + 𝑝1 )𝑟 𝑁(𝑠)
𝐹1 (𝑝) = (𝑝 + 𝑝1 𝐹(𝑝) =
(𝑝 + 𝑝1 )𝑟 (𝑝 + 𝑝2 ) … (𝑝 + 𝑝𝑚 ) … (𝑝 + 𝑝𝑛 )
(𝑝 + 𝑝1 )𝑟 𝑘𝑟+1
(𝑝 + 𝑝1 )𝑟 𝑘𝑛
𝑟−1
= 𝑘1 + 𝑘2 (𝑝 + 𝑝1 ) + ⋯ + 𝑘𝑟 (𝑝 + 𝑝1 )
+
+⋯+
(𝑝 + 𝑝2 )
(𝑝 + 𝑝𝑛 )
)𝑟
Nous obtenons 𝑘1 en faisant tendre 𝑝 vers −𝑝1 . Les coefficients 𝑘2 à 𝑘𝑟 sont
obtenus en calculant la valeur des dérivées successives de 𝐹1 (𝑝) pour 𝑝 = −𝑝1 .
Les coefficients 𝑘𝑖 sont calculés avec l’équation suivante
1 𝑑 (𝑖−1) 𝐹1 (𝑝)
𝑘𝑖 =
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑖 = 1 à 𝑟
|
(𝑖 − 1)! 𝑑𝑝(𝑖−1)
𝑝→−𝑝
1
Exemple
7
𝑝2 + 3𝑝 + 5
𝐹(𝑝) = 4
𝑝 + 10𝑝3 + 32𝑝2 + 38𝑝 + 15
La factorisation de 𝐹(𝑝) donne
𝑝2 + 3𝑝 + 5
𝑘1
𝑘2
𝑘3
𝑘4
𝐹(𝑝) =
=
+
+
+
(𝑝 + 1)2 (𝑝 + 3)(𝑝 + 5)
(𝑝 + 1)2 (𝑝 + 1) (𝑝 + 3) (𝑝 + 5)
Alors
𝑝2 + 3𝑝 + 5
5
𝑘3 =
=
|
(𝑝 + 5)(𝑝 + 1)2
8
𝑝=−3
𝑝2 + 3𝑝 + 5
15
𝑘4 =
=
−
|
(𝑝 + 3)(𝑝 + 1)2
32
𝑝=−5
𝑝2 + 3𝑝 + 5
𝐹1 (𝑝) =
(𝑝 + 3)(𝑝 + 5)
1 𝑑 (0) 𝐹1 (𝑝)
3
(𝑝)|
𝑘1 =
=
𝐹
=
|
1
𝑝→−1
0! 𝑑𝑝(0) 𝑝→−1
8
1 𝑑 (1) 𝐹1 (𝑝)
10
𝑘2 =
=
−
|
1! 𝑑𝑝(1) 𝑝→−1
64
3
1
10 1
5 1
15 1
−
+
−
𝑑𝑜𝑛𝑐
8 (𝑝 + 1)2 64 𝑝 + 1 8 𝑝 + 3 32 𝑝 + 5
3
10
5
15
𝑓(𝑡) = [ 𝑡𝑒 −𝑡 − 𝑒 −𝑡 + 𝑒 −3𝑡 − 𝑒 −5𝑡 ] 𝑢(𝑡)
8
64
8
32
𝐹(𝑝) =
II.3.2.3
Les racines du dénominateur sont complexes ou imaginaires
Les fonctions rationnelles dont les dénominateurs ont des racines complexes ou
imaginaire s’écrivent sous la forme suivante
𝐹(𝑝) =
𝑁(𝑝)
𝑁(𝑠)
=
𝐷(𝑝) (𝑝 + 𝑝1 )(𝑝2 + 𝑎𝑝 + 𝑏)(𝑝 + 𝑝2 ) … (𝑝 + 𝑝𝑛 )
La décomposition en éléments simple donne
8
𝐹(𝑝) =
𝑘1
𝑘2 𝑝 + 𝑘3
𝑘4
𝑘𝑛+1
+ 2
+
+ ⋯+
(𝑝 + 𝑝1 ) (𝑝 + 𝑎𝑝 + 𝑏) (𝑝 + 𝑝2 )
(𝑝 + 𝑝𝑛 )
Afin d’obtenir les coefficients associés aux racines complexes nous commençons
par déterminer les coefficients associées aux racines réelles du dénominateur, puis
par identification nous calculons les coefficients des racines complexes. Illustrons
le calcul par l’exemple suivant.
Exemple
𝑝2 + 3𝑝 + 5
𝐹(𝑝) =
(𝑝 + 1)2 (𝑝2 + 2𝑝 + 5)(𝑝 + 5)
𝑘1
𝑘2
𝑘3 𝑝 + 𝑘4
𝑘5
+
+
+
(𝑝 + 1)2 (𝑝 + 1) (𝑝2 + 2𝑝 + 5) (𝑝 + 5)
Nous obtenons par calcul
12
1
3
4
; 𝑘2 =
; 𝑘5 =
; 𝑘3 = 𝑘4 = −
64
64
64
64
12
1
1 1
3 1
4
𝑝+1
𝐹(𝑝) =
+
+
−
64 (𝑝 + 1)2 64 𝑝 + 1 64 𝑝 + 5 64 𝑝2 + 2𝑝 + 5
𝑘1 =
Afin de trouver l’inverse de la transformée de Laplace du dernier terme nous
utilisons les transformées suivantes
𝑝+𝑎
𝑒𝑡
(𝑝 + 𝑎)2 + 𝜔 2
𝜔
ℒ[𝐵𝑒 −𝑎𝑡 sin(𝜔𝑡)] = 𝐵
𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠
(𝑝 + 𝑎)2 + 𝜔 2
𝐴(𝑝 + 𝑎) + 𝐵𝜔
ℒ[𝐴𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡) + 𝐵𝑒 −𝑎𝑡 sin(𝜔𝑡)] =
(𝑝 + 𝑎)2 + 𝜔 2
ℒ[𝐴𝑒 −𝑎𝑡 cos(𝜔𝑡)] = 𝐴
Donc
(𝑝 + 1)
𝑝+1
𝐴 = 1; 𝐵 = 0
=
==> {
2
2
2
𝑎 = 1; 𝜔 = 2
𝑝 + 2𝑝 + 5 (𝑝 + 1) + (2)
L’inverse est 𝑒 −𝑡 cos(2𝑡)𝑢(𝑡)
12
1
3
4
𝑓(𝑡) = [ 𝑡𝑒 −𝑡 + 𝑒 −𝑡 + 𝑒 −5𝑡 − 𝑒 −𝑡 cos(2𝑡)] 𝑢(𝑡)
64
64
64
64
9
Une autre méthode consiste à faire la décomposition en élément simple comme
dans le cas des racines réelles. Dans ces conditions nous obtiendrons des
coefficients complexes conjuguées. On réalise alors l’inversion en utilisant les 2
propriétés suivantes
𝑒 𝑗𝜃 + 𝑒 −𝑗𝜃
𝑒 𝑗𝜃 − 𝑒 −𝑗𝜃
cos 𝜃 =
𝑒𝑡 sin 𝜃 =
2
2𝑗
Exemple
Soit
3
3
=
=
𝑝(𝑝2 + 2𝑝 + 5) 𝑝(𝑝 + 1 + 2𝑗)(𝑝 + 1 − 2𝑗)
𝑘1
𝑘2
𝑘3
+
+
𝑝 𝑝 + 1 + 2𝑗 𝑝 + 1 − 2𝑗
𝐹(𝑝) =
𝑘1 =
3
5
3
3
= − (2 + 𝑗)
|
𝑝(𝑝 + 1 − 2𝑗) 𝑝→−1−2𝑗
20
3
3
𝑘3 =
= − (2 − 𝑗)
|
𝑝(𝑝 + 1 + 2𝑗) 𝑝→−1+2𝑗
20
𝑘2 =
31 3
2+𝑗
2−𝑗
− [
+
] 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠
5 𝑝 20 𝑝 + 1 + 2𝑗 𝑝 + 1 − 2𝑗
3 3
𝑓(𝑡) = [ − [(2 + 𝑗)𝑒 −(1+2𝑗)𝑡 + (2 − 𝑗)𝑒 −(1−2𝑗)𝑡 ]] 𝑢(𝑡) =
5 20
𝐹(𝑝) =
3 3 −𝑡 𝑒 2𝑗𝑡 + 𝑒 −2𝑗𝑡
𝑒 2𝑗𝑡 − 𝑒 −2𝑗𝑡
= [ − 𝑒 [4
+2
]] 𝑢(𝑡) =
5 20
2
2𝑗
3 3
1
= [ − 𝑒 −𝑡 [cos(2𝑡) + sin(2𝑡)]] 𝑢(𝑡)
5 5
2
III Fonction de transfert
Nous avons introduit la transformation de Laplace , nous pouvons maintenant
établir une fonction algébrique reliant la sortie à l’entrée. Cette fonction permet
de séparer l’entrée, la sortie et le système. En plus il est possible de représenter
les systèmes complexes comme une combinaison de sous-système.
10
Considérons une équation différentielle linéaire invariant dans le temps d’ordre n
𝑑𝑛 𝑠(𝑡)
𝑑𝑛−1 𝑠(𝑡)
𝑑 𝑚 𝑒(𝑡)
𝑑 𝑚−1 𝑠(𝑡)
𝑎𝑛
+ 𝑎𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎0 𝑠(𝑡) = 𝑏𝑚
+ 𝑏𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏0 𝑒(𝑡)
𝑑𝑡 𝑛
𝑑𝑡 𝑛−1
𝑑𝑡 𝑚
𝑑𝑡 𝑚−1
𝑠(𝑡), 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑒𝑡 𝑒(𝑡), 𝑙 ′ 𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒
Passons dans le domaine le Laplace
𝑎𝑛 𝑝𝑛 𝑆(𝑝) + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 𝑆(𝑝) + ⋯ + 𝑎0 𝑆(𝑝) + 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑠(𝑡) =
𝑏𝑚 𝑝𝑚 𝐸(𝑝) + 𝑏𝑚−1 𝑝𝑚−1 𝐸(𝑝) + ⋯ + 𝑏0 𝐸(𝑝) + 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑒(𝑡)
Nous obtenons alors une expression purement algébrique. Dans les condition
d’Heaviside (condition initiale nulle) l’expression devient
[𝑎𝑛 𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 ]𝑆(𝑝) = [𝑏𝑚 𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0 ]𝐸(𝑝)
La fonction de transfert se définit comme étant le rapport de la sortie par rapport
à l’entrée.
𝑆(𝑝)
𝑏𝑚 𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0
= 𝐻(𝑝) =
𝐸(𝑝)
𝑎𝑛 𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0
Le système peut alors être représenté par le schéma bloc suivant
E(p)
S(p)
𝑏𝑚 𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0
Entrée
𝑎𝑛 𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0
Sortie
Figure 3:Représentation d'un système par fonction de transfert
Nous pouvons évaluer la sortie pour n’importe quelle entrée 𝑆(𝑝) = 𝐻(𝑝)𝐸(𝑝)
Exemple
11
Trouvez la fonction de transfert associée à l’équation différentielle suivante
𝑑 3 𝑠(𝑡)
𝑑 2 𝑠(𝑡)
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑 2 𝑒(𝑡)
𝑑𝑒(𝑡)
+
3
+
7
+
5𝑠(𝑡)
=
+
4
+ 3𝑒(𝑡)
𝑑𝑡 3
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
Puis calculez la sortie s(t) pour une entrée rampe
Solution
Dans le domaine de Laplace et sous les conditions de Heaviside l’équation
différentielle devient
[𝑝3 + 3𝑝2 + 7𝑝 + 5]𝑆(𝑝) = [𝑝2 + 4𝑝 + 3]𝐸(𝑝)
La fonction de transfert 𝐻(𝑝) vaut
𝑠(𝑝)
𝑝2 + 4𝑝 + 3
𝐻(𝑝) =
=
𝐸(𝑝) 𝑝3 + 3𝑝2 + 7𝑝 + 5
Nous pouvons calculer la sortie s(t) sachant que 𝑆(𝑝) = 𝐻(𝑝)𝐸(𝑝)
Nous avons
𝑒(𝑡) = 𝑡𝑢(𝑡) ==> 𝐸(𝑝) =
1
𝑝2
Donc
𝑆(𝑝) =
𝑝2 + 4𝑝 + 3
𝑝2 + 4𝑝 + 3
=
𝑝2 (𝑝3 + 3𝑝2 + 7𝑝 + 5) 𝑝2 (𝑝 + 1)(𝑝2 + 2𝑝 + 5)
Par inversion de Laplace nous obtenons
3
𝑒 −𝑡
1
[cos(2𝑡) − 7 sin(2𝑡)] − ] 𝑢(𝑡)
𝑠(𝑡) = [ 𝑡 +
5
25
25
III.1 Définitions et propriétés
• Entrée et sortie
12
L’entrée est une grandeur qui fait agir le système. Elle peut être contrôlée
(consigne) ou non (perturbation). La sortie est la grandeur qui a un intérêt pour
l’utilisateur. Elle dépend de l’entrée et du système.
Les système possédant plusieurs entrées et sorties sont des systèmes
multivariables. Les systèmes ayant une unique entrée et sortie sont des systèmes
monovariables.
• La linéarité
Un système est dit linéaire s’il répond au principe de superposition. Si une entrée
est une combinaison linéaire de plusieurs signaux alors la sortie correspond à la
même combinaison linéaire des sorties correspondant à chaque signal.
• L’invariance temporelle
La propriété d’invariance temporelle correspond au fait que le comportement d’un
système ne varie pas au cours du temps.
• La causalité
Le principe de causalité traduit le fait que l’effet ne peut pas précéder sa cause.
Cela veut dire que la sortie dépend des valeurs passées et présente de l’entrée. La
causalité impose que le numérateur de la fonction de transfert ait un degré
inférieur à celui du dénominateur (m<n).
• Polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique correspond au dénominateur de la fonction de
transfert.
13
• Ordre du système
L’ordre du système correspond au plus haut degré du polynôme caractéristique.
• Zéros et pôles
Les racines du numérateur de la fonction de transfert sont les zéros et la racines
du polynôme caractéristique sont les pôles. Si un zéro ou un pôle n’apparaît
qu’une fois alors il est dit simple sinon il est multiple. La fonction de transfert
peut s’écrire
𝐻(𝑝) = 𝑘
∏𝑚
1 (𝑝 + 𝑧𝑖 )
𝑧𝑖 , 𝑧é𝑟𝑜
;
{
𝑝𝑗 , 𝑝ô𝑙𝑒
∏𝑛1(𝑝 + 𝑝𝑗 )
Nous pouvons également définir les pôles comme étant toutes valeurs de 𝑝 qui
fait tendre la fonction de transfert vers l’infini et les zéros toutes valeurs de 𝑝 qui
fait tendre la fonction de transfert vers zéro.
• Forme canonique
La forme canonique correspond à l’écriture de la fonction de transfert sous la
forme suivante
𝐻(𝑝) =
𝑘 𝑛(𝑝)
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑛(0) = 𝑑(0) = 1
𝑝𝛼 𝑑(𝑝)
La forme canonique permet de définir le gain et la classe du système
𝑘 = 𝑔𝑎𝑖𝑛 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒
𝛼 = 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒
IV Non linéarité et linéarisation
La représentation d’un système par une fonction de transfert est adaptée au
système linéaire. Malheureusement un grand nombre de systèmes sont constitués
d’élément non linéaire. Par exemple les amplificateurs électrique sont linéaire sur
une plage de fonctionnement et présentent des saturation pour de forte valeur
d’entrée. Les moteurs ne répondent pas pour de faible valeur de tension à cause
des frottements ce qui crée des zones morte (dead zone) et les engrenages
possèdent un jeu selon le sens de rotation (backlash).
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Backlash
Dead zone
Saturation
Figure 4: Exemple de non-linéarité
Lorsque nous sommes confrontés à ce type de non-linéarité il est impératif de
travailler si possible dans la plage d’entrée pour laquelle la sortie est linéaire. Si
cela n’est pas possible il faut identifier la non-linéarité et écrire l’équation
différentielle non-linéaire, ensuite nous linéarisons l’équation différentielle autour
d’un point d’équilibre ou d’un point de fonctionnement pour de petite variation
de l’entrée.
Considérons une fonction non-linéaire 𝑓(𝑡) et plaçons-nous au point A(𝑡0 , 𝑓(𝑡0 )
d’après le développement en série de Taylor au point A
𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡0 ) +
𝑑𝑓
1 𝑑2𝑓
1 𝑑3 𝑓
2
(𝑡
)
(𝑡
)
(𝑡 − 𝑡0 )3 + ⋯
|
− 𝑡0 +
|
− 𝑡0 +
|
2
3
𝑑𝑡 𝑡=𝑡0
2! 𝑑𝑡 𝑡=𝑡
3! 𝑑𝑡 𝑡=𝑡
0
0
Comme l’excursion autour de A est faible les terme (𝑡 − 𝑡0 )𝑛 ≈ 0, 𝑛 ≥ 2 donc
𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡0 ) +
𝑑𝑓
(𝑡 − 𝑡0 )
|
𝑑𝑡 𝑡=𝑡0
La fonction peut donc être approximée par la tangente à la courbe de f au point A
pour de petite variation.
f(t)
f(t0)
A
t0
t
Figure 5:linéarisation d'une fonction
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Exemple
Linéarisons l’équation
𝑑2𝑥
𝑑𝑡 2
+2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ cos 𝑥 = 0 autour du point 𝑥 =
𝜋
4
Solution
Nous voulons linéariser autour de
𝜋
4
𝜋
nous posons 𝑥 = + 𝛿𝑥 et 𝛿𝑥 de petite
4
variation
L’équation devient
𝜋
𝜋
𝑑 2 ( + 𝛿𝑥)
𝑑( + 𝛿𝑥)
𝜋
4
4
+
2
+
cos(
+ 𝛿𝑥) = 0
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
4
Le développement en série de Taylor de cos 𝑥 autour de donne
𝜋
4
donne
𝜋 𝑑 cos 𝑥
𝜋
cos 𝑥 = cos +
| 𝜋 (𝑥 − ) 𝑑𝑜𝑛𝑐
4
𝑑𝑥 𝑥=
4
4
𝜋
𝜋 𝑑 cos 𝑥
cos ( + 𝛿𝑥) = cos +
𝛿𝑥
|
4
4
𝑑𝑥 𝑥=𝜋
4
𝜋
𝜋
= cos − sin 𝛿𝑥
4
4
√2 √2
=
−
𝛿𝑥
2
2
Donc l’équation vaut autour de
𝜋
4
𝑑 2 𝛿𝑥
𝑑𝛿𝑥 √2
√2
+
2
−
𝛿𝑥
=
−
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
2
2
Exemple
Trouvons la fonction de transfert
𝑉𝐿 (𝑝)
𝑉(𝑝)
du système électrique comportant une
résistance non linéaire. La relation entre la tension 𝑣 et le courant 𝑖 traversant la
résistance est la suivante 𝑖 = 2𝑒 0,1𝑣
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v(t) générateur
petit signaux
L=1H
v(t)
R (non linéaire)
20V
Solution
Ce système peut être décrit par l’équation différentielle non linéaire suivant
𝐿
𝑑𝑖
𝑖
+ 10 ln − 20 = 𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
2
La fonction ln 𝑥 est non-linéaire nous devons la linéariser afin de trouver la
fonction de transfert. Commençons par trouver un point d’équilibre du système.
Le point d’équilibre correspond à un point ou toutes les variations dans le système
sont nulles. On a à l’équilibre
𝑑𝑖
𝑖
= 0 𝑒𝑡 𝑣(𝑡) = 0 ==> 10 ln = 20
𝑑𝑡
2
Donc à l’équilibre dans le circuit circule un courant 𝑖0 = 2𝑒 2 𝐴 = 14.78𝐴
Maintenant linéarisons le système autour du point d’équilibre 𝑖0 on pose
𝑖 = 𝑖0 + 𝛿𝑖 l’équation devient
(𝑖0 + 𝛿𝑖 )
𝑑(𝑖0 + 𝛿𝑖 )
+ 10 ln
− 20 = 𝑣(𝑡) 𝑒𝑡
𝑑𝑡
2
𝑖
(𝑖0 + 𝛿𝑖 )
𝑖0 𝑑 ln 2
ln
= ln +
𝛿𝑖
|
2
2
𝑑𝑖
𝐿
𝑖0 1
= ln + 𝛿𝑖
2 𝑖0
𝑖=𝑖0
L’équation linéarisée donne
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𝑑𝛿𝑖
𝑖0 1
+ 10 [ln + 𝛿𝑖] − 20 = 𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
2 𝑖0
𝑑𝛿𝑖
+ 0.677𝛿
𝑑𝑡
𝐿
Passons dans le domaine de Laplace avec les conditions initiales nulles
𝑉(𝑝)
𝑑(𝑖0 + 𝛿𝑖)
𝑑𝛿𝑖
𝑒𝑡 𝑣𝐿 (𝑡) = 𝐿
=𝐿
𝑝 + 0,677
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑉(𝑝)
𝑉𝐿 (𝑝) = 𝐿𝑝Δ𝑖(𝑝) ==> 𝑉𝐿 (𝑝) = 𝑝
𝑑𝑜𝑛𝑐
𝑝 + 0,677
𝑉𝐿 (𝑝)
𝑝
=
𝑉(𝑝) 𝑝 + 0,677
Δi(𝑝) =
Cette fonction est valable pour de petite variation autour de l’équilibre soit
𝑣(𝑡) = 0 ou 𝑖 = 14,78𝐴
V Exercices
V.1 Exercice 1
Trouvez la transformée de Laplace des fonctions suivantes
𝑒𝑡, 𝑡 ≤ 2
a) 𝑓(𝑡) = {
3, 𝑡 > 2
b) 𝑓(𝑡) = 3 + 2𝑡 2
c) 𝑓(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 sin 5𝑡
Trouvez la transformée inverse de Laplace des fonction suivantes
a) 𝐹(𝑝) =
b) 𝐹(𝑝) =
(𝑝2 +3𝑝+10)(𝑝+5)
(𝑝+3)(𝑝+4)(𝑝2 +2𝑝+100)
𝑝3 +4𝑝2 +2𝑝+6
(𝑝+8)(𝑝2 +8𝑝+3)(𝑝2 +5𝑝+7)
V.2 Exercice 2
a) Donnez la fonction de transfert du système décrit par l’équation
différentielle
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𝑑 3 𝑠(𝑡)
𝑑 2 𝑠(𝑡)
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑 3 𝑒(𝑡)
𝑑 2 𝑒(𝑡)
𝑑𝑒(𝑡)
+
3
+
5
+
𝑠(𝑡)
=
+
4
+
6
+ 8𝑒(𝑡)
𝑑𝑡 3
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡 3
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
b) Trouvez l’équation différentielle correspondant aux fonctions de transfert
𝐻(𝑝) =
7
𝑝+3
𝑒𝑡
𝐺(𝑝)
=
𝑝2 + 5𝑝 + 10
𝑝3 + 11𝑝2 + 12𝑝 + 18
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