Comportement Élastique d'un Matériau Composite Unidirectionnel 9.1 MODULES EFFECTIFS 9.1.1 Concept d'homogénéisation À une échelle suffisamment fine, tous les matériaux sont hétérogènes, même les matériaux dits homogènes. Pour s'en convaincre, il suffit de partir de l'échelle des atomes et des molécules. Si les matériaux usuels de l'ingénieur devaient être caractérisés à cette échelle d'observation, la tâche serait insurmontable. Pour contourner cette difficulté, l'ingénieur introduit l'hypothèse de continuité de la matière. Cette hypothèse implique un concept de moyenne statistique, dans lequel la constitution réelle du matériau est idéalisée en considérant le matériau comme étant continu. Une fois le modèle de continuité admis, le concept d'homogénéité s'en déduit. Un milieu homogène est alors caractérisé par des propriétés identiques en chaque point. Au niveau de l'ingénieur, le caractère d'hétérogénéité intervient chaque fois que les propriétés physiques ou mécaniques du matériau sont des fonctions du point. Les variations des propriétés peuvent être de deux types : soit continues, soit discontinues comme dans le cas des matériaux composites. Dans ce cas, les propriétés ponctuelles du matériau varient d'une manière discontinue aux interfaces de passage entre les diverses phases. Chaque phase est supposée être homogène et isotrope. Dans le cas d'une phase 1 dispersée dans une phase 2 (figure 9.1), il existe généralement une dimension caractéristique de l'hétérogénéité. Par exemple, dans le cas d'un matériau composite à fibres, cette dimension sera la distance moyenne entre les fibres. Cette dimension est en fait une description idéalisée d'une répartition statistique au sein du matériau hétérogène réel. D'autre part, il existe généralement une échelle de dimension δ à laquelle les propriétés du matériau peuvent être moyennées avec une bonne approximation. Ceci signifie que, dans ce cas, les propriétés mesurées sur un échantillon de dimension δ sont indépendantes de l'endroit ( “du point ” ) du matériau où a été prélevé l'échantillon. Dans le cadre d'un tel concept, le matériau peut alors être considéré comme étant effectivement phase 1 phase 2 dimension caractéristique dimension δ de moyennage FIGURE 9.1. Homogénéisation d'un matériau hétérogène. homogène, et les problèmes de calculs des structures peuvent être résolus en considérant les propriétés moyennes mesurées à l'échelle δ. Dans le cas où il existe une telle échelle (intermédiaire entre l'échelle microscopique, celle des constituants, et l'échelle de la structure), on dit que l'on peut homogénéiser le matériau. On parle alors d'homogénéité macroscopique (par opposition à l'échelle des constituants dite microscopique), ou d'homogénéité statistique. Le concept de rendre “homogène” un matériau “hétérogène” est appelé le concept d'homogénéisation. Notons que l'alternative à ce concept serait de tenir compte de chaque région d'homogénéité, en analysant la continuité des contraintes et déplacements au passage de chaque interface. Si une telle approche est concevable dans son principe, elle est encore inaccessible aujourd'hui dans la pratique, compte tenu du nombre élevé d'interfaces à considérer (plusieurs milliers à plusieurs millions). Toutefois, la diminution des temps de calculs et l'augmentation des capacités mémoires des ordinateurs en permettent une approche à une échelle de plus en plus fine. 9.2 LOI DE HOOKE POUR UN COMPOSITE UNIDIRECTIONNEL 9.2.1 Constitution d'un matériau composite unidirectionnel Un composite unidirectionnel est constitué de fibres parallèles disposées dans une matrice (figure 9.2a). Ce type de matériau constitue la configuration de base des matériaux composites à fibres, d'où l'importance de son étude. La cellule élémentaire d'un tel matériau peut être considérée, en première approximation, comme constituée (figure 9.2b) d'une fibre entourée d'un cylindre de matrice, à 1, L 1, L 2, T 3, T ′ (b) (a) FIGURE 9.2. Composite unidirectionnel. base circulaire ou mieux hexagonale. Nous reviendrons sur cet aspect au paragraphe 9.3.1. Cette cellule possède un axe de révolution, que nous noterons l'axe 1. Cette direction parallèle aux fibres est appelée direction longitudinale, et pour cette raison l'axe 1 est également noté l'axe L. Toute direction normale aux fibres est appelée direction transversale, et le composite est considéré comme étant isotrope transverse : il est isotrope dans le plan normal à la direction 1. Le plan transverse sera repéré par les directions 2 et 3, notées également T et T ′ , ces directions étant équivalentes. 9.2.2 Matrices de rigidité et de souplesse Le comportement élastique d'un matériau composite unidirectionnel peut être décrit en introduisant soit les constantes de rigidité Cij, soit les constantes de souplesse Sij. Compte tenu des résultats établis au chapitre précédent, lles, la forme directe : ⎡ σ 1 ⎤ ⎡ C11 C12 C12 ⎢σ ⎥ ⎢C C22 C23 ⎢ 2 ⎥ ⎢ 12 ⎢σ 3 ⎥ ⎢C12 C23 C22 ⎢ ⎥=⎢ 0 0 0 ⎢σ 4 ⎥ ⎢ ⎢σ 5 ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣σ 6 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 0 0 ou la forme inverse : 0 0 0 0 1 C −C 23 ) 2 ( 22 0 0 0 0 0 C66 0 0 ⎤ ⎡ ε1 ⎤ 0 ⎥⎥ ⎢ε 2 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ε 3 ⎥ , ⎥ 0 ⎥ ⎢⎢ε 4 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎢ε 5 ⎥ ⎥⎢ ⎥ C66 ⎦⎥ ⎢⎣ε 6 ⎥⎦ (9.5) ⎡ ε1 ⎤ ⎡ S11 ⎢ε ⎥ ⎢ S ⎢ 2 ⎥ ⎢ 12 ⎢ε 3 ⎥ ⎢ S12 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ε 4 ⎥ ⎢ 0 ⎢ε 5 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ε 6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 S12 S 22 S23 0 0 0 S12 S 23 S 22 0 0 0 0 0 0 2 ( S 22 − S23 ) 0 0 0 0 0 0 S66 0 0 ⎤ ⎡σ1 ⎤ 0 ⎥⎥ ⎢⎢σ 2 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎢σ 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥. 0 ⎥ ⎢σ 4 ⎥ 0 ⎥ ⎢σ 5 ⎥ ⎥⎢ ⎥ S66 ⎥⎦ ⎢⎣σ 6 ⎥⎦ (9.6) Les matrices de rigidité et de souplesse sont inverses l'une de l'autre, et le comportement élastique d'un matériau composite unidirectionnel est donc caractérisé par 5 coefficients indépendants : ou C11, C12, C22, C23, C66, S11, S12, S22, S23, S66. 9.3 MODULES DE L'INGÉNIEUR Les modules de l'ingénieur sont les modules d'Young, les coefficients de Poisson et les modules de cisaillement. Ces modules sont mesurés dans des essais simples tels que des essais de traction uniaxiale ou de cisaillement. Ces modules correspondent donc à une utilisation usuelle plus pratique que les constantes de rigidité ou de souplesse. Généralement, ces essais sont réalisés en imposant un champ connu de contraintes, puis en mesurant le champ des déformations. Il en résulte que les constantes de souplesse sont liées aux modules de l'ingénieur par des relations plus simples que celles exprimant les constantes de rigidité. Nous établissons ci-après ces diverses relations en considérant divers essais fondamentaux. 9.3.1 Traction longitudinale Dans un essai de traction longitudinale, toutes les contraintes sont nulles, excepté la contrainte σ1 : σ 1 ≠ 0, σ i = 0, i = 2, 3, . . . , 6. En fonction des constantes de rigidité, les équations d'élasticité (9.5) s'écrivent : σ 1 = C11ε1 + C12ε 2 + C12ε 3 , 0 = C12ε1 + C22ε 2 + C23ε 3 , 0 = C12ε1 + C23ε 2 + C22ε 3 , ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0. De ces relations, nous tirons : ε 2 = ε3 = − C12 ε1, C22 + C23 et (9.7) ⎛ σ 1 = ⎜⎜ C11 − 2 ⎝ 2 ⎞ C12 ⎟ ε1. C22 + C23 ⎟⎠ Nous en déduisons le module d'Young longitudinal EL et le coefficient de Poisson νLT dans une traction longitudinale : EL = C11 − 2 2C12 , C22 + C23 ν LT = C12 . C22 + C23 (9.8) En fonction des constantes de souplesse, les équations d'élasticité (9.6) s'écrivent dans un essai de traction longitudinale : ε1 = S11σ 1, ε 2 = ε 3 = S12σ 1 , ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0. D'où : EL = 1 , S11 ν LT = − S12 . S11 (9.9) 9.3.2 Traction transverse Dans un essai de traction transverse, par exemple selon la direction 2, le champ des contraintes imposé est : σ 2 ≠ 0, σ i = 0, i ≠ 2. Les équations d'élasticité, en fonction des constantes de rigidité, s'écrivent dans ce cas : 0 = C11ε1 + C12ε 2 + C12ε 3 , σ 2 = C12ε1 + C22ε 2 + C23ε 3 , 0 = C12ε1 + C23ε 2 + C22ε 3 , ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0. D'où l'on tire : ε1 = − ε3 = − C12 ( C23 − C22 ) 2 − C11C22 C12 2 − C11C23 C12 2 − C11C22 C12 ε2, ε2 , (9.10) 2 2 ⎤ ⎡ C12 C22 − 2C23 ) + C11C23 ( σ 2 = ⎢C22 + ⎥ ε2. 2 − C11C22 C12 ⎢⎣ ⎥⎦ Nous en déduisons les expressions du module d'Young transverse ET et des coefficients de Poisson ν21 et ν23, notés respectivement νTL et ν TT ′ : ET= C22 + C12 ( C22 − 2C23 ) + C11C23 , 2 C12 − C11C22 2 ν TL = ν TT ′ = 2 C12 ( C23 − C22 ) 2 C12 − C11C22 2 C12 − C11C23 2 C12 − C11C22 , (9.11) . En introduisant les coefficients de souplesse, les équations d'élasticité en traction transverse s'écrivent : ε1 = S12σ 2 , ε 2 = S22σ 2 , ε 3 = S23σ 2 , ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0. Soit : ε1 = et S12 ε2 , S22 ε3 = 1 , S 22 ν TL = − ET = S23 ε2 , S22 S12 , S22 σ2 = 1 ε2 , S22 (9.12) S23 . S22 (9.13) ν TT ′ = − Ces relations, comparées aux expressions (9.9), montrent que les coefficients EL, ET, νTL et νLT sont liés par la relation : EL ν LT = ET ν TL . (9.14) 9.3.3 Cisaillement longitudinal Un essai de cisaillement longitudinal correspond à l'un des états de contraintes : ⎧σ 5 ≠ 0, ⎧σ 6 ≠ 0, ou ⎨ ⎨ ⎩ σ i = 0 si i ≠ 5, ⎩ σ i = 0 si i ≠ 6. Dans le deuxième cas, les équations d'élasticité s'écrivent : ε1 = ε 2 = ε 3 = ε 4 = ε 5 = 0, σ 6 = C66ε 6 . (9.15) Nous en déduisons le module de cisaillement longitudinal GLT : GLT = C66 ou GLT = 1 . S66 (9.16) Les directions T et T ′ étant équivalentes, nous avons : GLT ′ = GLT = C66 . (9.17) 9.3.4 Cisaillement transverse Dans un essai de cisaillement transverse, le champ des contraintes s'exprime par : σ 4 ≠ 0, σ i = 0 si i ≠ 4. D'où les relations : εi = 0 σ4 = si i ≠ 4, 1 ( C22 − C23 ) ε 4 . 2 Le module de cisaillement transverse GTT ′ s'écrit donc : GTT ′ = 1 ( C22 − C23 ) 2 ou GTT ′ = 1 . 2 ( S22 − S 23 ) (9.18) Le module de cisaillement transverse GTT ′ est lié au module d'Young transverse ET et au coefficient de Poisson ν TT ′ , par l'expression : GTT ′ = ET . 2 (1 + ν TT ′ ) (9.19) 9.3.5 Compression hydrostatique latérale L'essai de compression hydrostatique latérale sans déformation longitudinale permet également une caractérisation simple des matériaux. Dans un tel essai, les champs imposés des contraintes et déformations sont tels que : σ 2 = σ 3 = − p, σ 4 = σ 5 = σ 6 = 0, ε1 = 0, σ1 ≠ 0, où p est la pression hydrostatique imposée. Les équations d'élasticité s'écrivent alors : σ 1 = C12ε 2 + C12ε 3 , − p = C22ε 2 + C23ε 3 , − p = C23ε 2 + C22ε 3 , ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0. De ces équations, nous tirons : ε 2 = ε3, − p = ( C22 + C23 ) ε 2 , σ1 = 2C12ε 2 . La dilatation surfacique es s'écrit : es = ε 2 + ε 3 = − 2 p. C22 + C23 D'où : p=− 1 ( C22 + C23 ) es . 2 (9.20) Nous en déduisons le module de compression latérale KL sans déformation longitudinale : KL = 1 ( C22 + C23 ) . 2 (9.21) De même en fonction des constantes de souplesse, nous obtenons : KL = 1 ⎛ S2 ⎞ 2 ⎜ S22 + S23 − 2 12 ⎟ ⎜ S11 ⎟⎠ ⎝ . (9.22) Le module KL est relié au module d'Young longitudinal EL et au coefficient de Poisson νLT par l'expression : KL = C11 − EL 2 4ν LT . (9.23) 9.3.6 Modules en fonction des constantes de rigidité et de souplesse Nous reprenons ici la synthèse des résultats obtenus dans les paragraphes précédents. Dans ces paragraphes, nous avons introduit les modules de l'ingénieur, mesurés dans des états simples de contraintes et déformations : — EL et νLT, le module d'Young et le coefficient de Poisson, mesurés dans un essai de traction longitudinale ; — ET, νTL, νTT', le module d'Young et le coefficient de Poisson, mesurés dans un essai de traction transverse ; — GLT et GTT', les modules de cisaillement mesurés respectivement dans des essais de cisaillement longitudinal et transverse ; — KL, le module de compression hydrostatique mesuré dans une compression hydrostatique latérale sans déformation longitudinale. Nous avons vu (paragraphe 9.2.2) que le comportement mécanique d'un matériau unidirectionnel est caractérisé par 5 grandeurs indépendantes. Parmi les modules de l'ingénieur, seuls 5 modules sont donc indépendants. Par exemple, nous avons les relations : ET = GTT ′ = 2 ν2 1 1 + + 2 LT 2 K L 2GTT ′ EL , 1 ⎛ 2 1 ν2 2⎜ − − 2 LT ⎜ ET 2 K L EL ⎝ ν TT ′ = ⎞ ⎟⎟ ⎠ (9.24) , ET − 1, 2GTT ′ ν TL = ν LT ET . EL (9.25) (9.26) (9.27) Les modules généralement utilisés dans la pratique sont : EL, ET, νLT, GLT et GTT'. Par contre, nous verrons que le module KL peut être estimé par des relations analytiques en fonction des caractéristiques des constituants du composite, d'où l'intérêt de KL. Les expressions des modules en fonction des constantes de rigidité sont : EL = C11 − ET = C22 + ν TL = 2 2C12 , C22 + C23 2 2 C12 ( C22 − 2C23 ) + C11C23 2 − C11C22 C12 C12 ( C23 − C22 ) 2 C12 − C11C22 GLT = C66 , ν LT = ν TT ′ = , C12 , C22 + C23 , 2 C12 2 C12 1 ( C22 − C23 ) , 2 GTT ′ = (9.28) − C11C23 − C11C22 KL = , 1 ( C22 + C23 ) . 2 Les expressions des modules en fonction des constantes de souplesse sont : EL = 1 , S11 ν LT = − S12 , S11 ET = 1 , S 22 ν TL = − S12 , S 22 GLT = 1 , S66 GTT ′ = KL = 9.3.7 ν TT ′ = − 1 , 2 ( S 22 − S 23 ) 1 ⎛ S2 ⎞ 2 ⎜ S 22 + S 23 − 2 12 ⎟ ⎜ S11 ⎟⎠ ⎝ S23 , S22 (9.29) . Constantes de rigidité et de souplesse en fonction des modules Les relations inverses, permettant de déterminer les constantes de rigidité et de souplesse en fonction des modules, s'obtiennent sans difficulté. Elles s'écrivent pour les constantes de rigidités : 2 C11 = EL + 4ν LT KL , C12 = 2 K Lν LT , C22 = GTT ′ + K L , (9.30) C23 = −GTT ′ + K L , C66 = GLT . Pour les constantes de souplesse, les relations s'écrivent : 1 , EL 1 = , ET 1 = . GLT S11 = S12 = − S 22 S 23 = − S66 ν LT ET ν TT ′ ET , , (9.31) 9.4 APPROCHES THÉORIQUES DE LA DÉTERMINATION DES MODULES D'ÉLASTICITÉ 9.4.1 Problème – Diverses approches Le problème de la détermination des modules d'élasticité d'un composite unidirectionnel consiste à rechercher les expressions de ces modules (5 modules indépendants) en fonction des caractéristiques mécaniques et géométriques des constituants : modules d'élasticité de la matrice et des fibres, fraction volumique de fibres, longueur des fibres, etc. Dans la pratique, il n'existe pas qu'une seule possibilité d'arrangement des fibres, mais une infinité de possibilités. Par exemple, si les fibres sont réparties régulièrement, elles pourront être réparties suivant une maille hexagonale (figure 9.3), une maille carrée (figure 9.4), une maille carrée décalée (figure 9.5), etc. Les cellules élémentaires correspondantes sont reportées sur ces mêmes figures. La répartition des fibres suivant une maille carrée et celle suivant une maille carrée décalée ont la même cellule élémentaire. Ces deux répartitions diffèrent simplement par une rotation de 45 ° des directions principales des contraintes appliquées. Dans la pratique, lors de la fabrication d'un matériau composite unidirectionnel, les fibres sont le plus souvent réparties d'une manière aléatoire, plutôt que suivant un arrangement régulier. La répartition observée peut alors être schématisée par la représentation de la figure 9.6 : certaines fibres sont entièrement entourées de matrice, alors que d'autres peuvent se toucher. L'analyse théorique devra alors en tenir compte. D'un point de vue analytique, la solution réelle sera intermédiaire entre la solution trouvée dans le cas où toutes les fibres sont isolées les unes des autres, et la solution qui serait obtenue dans le cas où toutes les fibres seraient en contact. FIGURE 9.3. Arrangement hexagonal et cellule élémentaire. FIGURE 9.4. Arrangement carré et cellule élémentaire. FIGURE 9.5. Arrangement carré décalé et cellule élémentaire. FIGURE 9.6. Représentation schématique de l'arrangement réel des fibres. 9.4.4 Approches simplifiées Des expressions simplifiées et pratiques des modules peuvent être obtenues en faisant une approche très simplifiée du comportement mécanique de la cellule élémentaire du matériau composite unidirectionnel. Nous développons ces expressions dans le présent paragraphe. 9.4.4.1 Module d'Young longitudinal Le module d'Young longitudinal est déterminé dans un essai de traction longitudinale (figure 9.12). L'hypothèse simplificatrice est de supposer une 2, T ∆lt 2 matrix σ1 σ1 fibre lt 1, L matrix ∆l l FIGURE 9.12. Schéma simplifié d'une traction longitudinale. déformation uniforme et identique dans la fibre et dans la matrice. Si ∆l est l'allongement de la cellule (identique à celui de la fibre et de la matrice), la déformation longitudinale imposée à la cellule est : ∆l ε1 = , l où l est la longueur de cellule considérée. L'identité des déformations dans la fibre et dans la matrice impose : ε f = ε m = ε1 . (9.78) Si la fibre et la matrice ont un comportement élastique, les contraintes dans la fibre et la matrice sont exprimées par : La charge totale appliquée est : σ f = Ef ε1, σ m = Emε1. (9.79) F1 = σ f Sf + σ m S m , où Sf et Sm sont respectivement les aires des sections droites de la fibre et de la matrice. Si S est l'aire de la section droite de la cellule moyenne, la contrainte moyenne σ1 = F1/S s'écrit : σ 1 = σ f Vf + σ m (1 − Vf ) . (9.80) Cette contrainte moyenne est liée à la déformation de la cellule par le module d'Young longitudinal : σ 1 = ELε1 . (9.81) La combinaison des relations (9.79) à (9.81) conduit à l'expression du module d'Young longitudinal : EL = Ef Vf + Em (1 − Vf ) . (9.82) Cette expression est connue sous le nom de loi des mélanges pour le module Module longitudinal EL Ef Em Fraction volumique de fibres Vf FIGURE 9.13. Loi des mélanges pour le module d'Young longitudinal. d'Young dans la direction des fibres. Cette loi des mélanges est schématisée sur la figure 9.13. La variation du module est linéaire entre les valeurs Em module de la matrice et Ef module des fibres, lorsque la fraction volumique Vf de fibres varie de 0 à 1. 9.4.4.2 Module d'Young transverse Le module d'Young transverse est déterminé dans un essai de traction transverse où le composite est chargé suivant la direction normale aux fibres. Une expression simplifiée de ce module peut être obtenue dans un schéma simpliste à deux dimensions. Dans un tel schéma, une tranche de matériau composite, d'épaisseur donnée, est considérée comme étant constituée (figure 9.14) de couches successives, possédant alternativement les propriétés des fibres et de la matrice. La hauteur des couches doit simplement vérifier : Vf = hf hf + hm et 1 − Vf = hm . hf + hm (9.83) La charge F2 imposée suivant la direction transverse est transmise intégralement dans la fibre et dans la matrice, imposant des contraintes égales : σm = σf = σ2 . (9.84) Il en résulte que les déformations respectives de la fibre et de la matrice dans la direction transverse s'écrivent : εf = σ2 Ef , εm = σ2 Em . (9.85) 2, T 2, T σ2 σ2 hm 2 matrice matrice hf fibre hm 2 fibre matrice e FIGURE 9.14. Schématisation par couches d'un composite unidirectionnel. L'allongement transverse d'une cellule élémentaire résulte des allongements cumulés dans la fibre et la matrice. Soit : ∆l2 = ε f hf + ε m hm , et la déformation transverse s'écrit : ε2 = Soit : ∆l2 hf hm = εf + εm . hf + hm hf + hm hf + hm ε 2 = ε f Vf + ε m (1 − Vf ) . (9.86) Cette déformation est liée à la contrainte imposée sur la cellule, par le module transverse : σ 2 = ET ε 2 . (9.87) La combinaison des expressions (9.85) à (9.87) conduit à l'expression du module transverse : 1 V 1 − Vf = f + . (9.88) ET Ef Em Cette expression est connue sous le nom de loi inverse des mélanges et peut être réécrite, en rapportant le module transverse au module d’Young de la matrice, suivant une relation sans dimension sous la forme : ET = Em 1 ⎛E ⎞ 1 + ⎜ m − 1⎟ Vf ⎝ Ef ⎠ . (9.89) Le tableau 9.1 donne les valeurs de ET /Em pour trois valeurs du rapport Ef /Em. Il est à noter que, par exemple dans le cas d'un rapport Ef /Em = 100, un volume de fibres de 50 % est nécessaire pour atteindre un module d'Young transverse double TABLEAU 9.1. Valeurs de ET /Em pour diverses valeurs du rapport Ef /Em et de la fraction Vf de fibres. Vf Ef /Em 0 0,2 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 1 5 10 100 1 1 1 1,19 1,22 1,25 1,47 1,56 1,66 1,67 1,82 1,98 1,92 2,17 2,46 2,27 2,70 3,25 2,78 3,57 4,80 3,57 5,26 9,17 4,17 6,90 16,81 5 10 100 du module de la matrice. Ce résultat montre que les fibres participent peu au module transverse. La variation du module ET en fonction de la fraction volumique de fibres est reportée sur la figure 9.15 pour plusieurs valeurs (5, 10, 100) du rapport Ef /Em. 9.4.4.3 Coefficient de Poisson longitudinal Pour déterminer le coefficient de Poisson longitudinal νLT, nous reprenons le schéma précédent dans lequel le composite unidirectionnel est schématisé par couches successives. Le coefficient νLT est déterminé dans un essai de traction longitudinale, schématisé sur la figure 9.16. Ce schéma diffère de celui du paragraphe 9.4.4.1 par la modélisation de la cellule élémentaire : modélisation de la fibre et de la matrice sous forme cylindrique sur la figure 9.12 et modélisation par couches sur la figure 9.16. Module d’Young transverse ET/ Em 20 Ef = 100 Em 16 12 Ef = 10 Em 8 Ef =5 Em 4 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fraction volumique de fibres Vf FIGURE 9.15. Variation du module ET en fonction de la fraction volumique Vf de fibres. 2, T ∆lt 2 hm 2 matrice σ1 σ1 fibre hf 1, L matrice hm 2 l ∆l FIGURE 9.16. Schéma par couches d'une traction longitudinale. Comme dans le paragraphe 9.4.4.1, fibre et matrice subissent des déformations identiques (9.78). Il en résulte que les déformations transverses dans la matrice et dans les fibres s'écrivent : ε 2m = −ν mε1 , ε 2f = −ν f ε1. L'allongement transverse de la cellule élémentaire est : ∆lt = −ν mε1hm − ν f ε1hf , et la déformation transverse s'écrit : ε2 = ∆lt = − ⎡⎣ν m (1 − Vf ) + ν f Vf ⎤⎦ ε1 . hf + hm D'où l'expression du coefficient de Poisson : ν LT = ν f Vf + ν m (1 − Vf ) . (9.90) Cette expression est la loi des mélanges pour le coefficient de Poisson longitudinal. La variation de νLT en fonction de la fraction volumique de fibres est linéaire entre νm et νf. Dans la pratique, les valeurs de νm et νf sont assez proches (voisines de 0,3). Le coefficient de Poisson νLT restera donc également proche de cette valeur. 9.4.4.4 Module de cisaillement longitudinal Le module de cisaillement longitudinal GLT est déterminé dans un essai de cisaillement longitudinal schématisé sur la figure 9.17, en utilisant à nouveau la modélisation par couches du composite unidirectionnel. Les contraintes en cisaillement dans la fibre et dans la matrice sont égales, du fait des contraintes τ imposées sur la cellule. Les déformations en cisaillement de la fibre et de la 2, T τ hm 2 hf matrice τ fibre τ 1, L matrice hm 2 τ FIGURE 9.17. Schéma par couches d'un essai de cisaillement longitudinal. matrice s'expriment donc suivant : γf = τ et Gf γm = τ Gm . (9.91) Les déformations induites dans la fibre et dans la matrice (figure 9.18) sont : δ f = hf γ f et δ m = hmγ m . La déformation totale de la cellule (figure 9.18) est : δ = δ f + δ m = hf γ f + hmγ m . Et l'angle de cisaillement de la cellule est déterminé par l'expression : γ= δ hf + hm = γ f Vf + γ m (1 − Vf ) . (9.92) Cet angle est lié à la contrainte de cisaillement par le module de cisaillement matrix γm fibre matrix δ δf δm 2 FIGURE 9.18. Déformations en cisaillement de la matrice et de la fibre. longitudinal GLT suivant la relation : γ= τ GLT . (9.93) En combinant les expressions (9.91) à (9.93), nous obtenons : 1 V 1 − Vf = f + . GLT Gf Gm (9.94) Cette expression a une forme identique à celle obtenue (9.88) pour le module d'Young transverse. Les mêmes considérations peuvent être transposées ici. 9.5 VALEURS NUMÉRIQUES DES MODULES 9.5.1 Valeurs expérimentales des modules Le tableau 9.2 donne les caractéristiques mécaniques mesurées sur des composites unidirectionnels à matrice époxyde, avec diverses fibres : fibres de verre E et R, fibres de carbone HM et HR, fibres de Kevlar. La fraction volumique de fibres est la même pour les trois composites : 0,60. Nous comparons, dans le paragraphe suivant, ces valeurs expérimentales aux valeurs théoriques obtenues à partir des diverses relations établies. Pour calculer ces valeurs numériques, il est nécessaire au préalable de déterminer les valeurs des divers modules des fibres et de la matrice, par les expressions : — pour les fibres : Ef • module de cisaillement Gf = , 2 (1 + ν f ) Ef , 3 (1− 2ν f ) • module de compressibilité kf = • module de compression latérale K f = kf + — pour la matrice : Em Gm = , 2 (1+ ν m ) km = Em , 3 (1− 2ν m ) (9.97) Gf , 3 K m = km + Gm . 3 (9.98) TABLEAU 9.2. Caractéristiques mécaniques mesurées sur divers composites matrice époxyde-fibres unidirectionnelles. Propriétés mesurées sur des monofilaments Carbone HM HR Kevlar 49 2600 2550 1950 1750 1450 380 260 135 ─ ─ Masse volumique ρf (kg/m3) Module d'Young Ef Coefficient de Poisson vf 0,22 0,22 Contrainte à la rupture σfu (MPa) 3400 4400 (GPa) Allongement à la rupture εfu (%) Caractéristiques mesurées sur un composite unidirectionnel à matrice époxyde Verre E R 73 4,5 86 5,2 ─ 2200 2500 0,6 3500 1,0 2,5 Fraction volumique Vf 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 Masse volumique ρc (kg/m3) 2040 2010 1650 1550 1370 Module d'Young longitudinal EL (GPa) 46 52 230 159 84 Module d'Young transversal ET (GPa) 10 13,6 14,4 14,3 5,6 Module de cisaillement longitudinal GLT (GPa) Coefficient de Poisson vLT Contrainte de rupture en traction σcu (MPa) Contrainte de rupture en flexion (MPa) Contrainte de rupture en compression (MPa) Contrainte de rupture en cisaillement (MPa) Caractéristiques spécifiques EL/ρc (MN m/kg) σcu /ρc (kN m/kg) 4,6 4,7 4,8 2,1 0,31 0,31 0,32 0,32 0,34 1400 1900 800 1380 1400 1500 1500 1250 1850 910 970 900 1430 70 70 4,9 70 ─ 280 80 70 22,5 25,9 139 103 61 686 945 485 890 1022 Matrice époxyde: Em = 3,45 GPa, νm = 0,30, σmu = 70 MPa, ρm = 1200 kg/m3. Les valeurs obtenues sont reportées dans le tableau 9.3. Pour déterminer les modules des fibres, il est nécessaire de connaître le coefficient de Poisson νf. Sa valeur ne peut être déterminée directement sur les fibres. Lorsque cette valeur est reportée (cas des fibres de verres E et R), elle correspond à une valeur déterminée sur le matériau massif. Pour accéder à la valeur du coefficient de Poisson (lorsque la détermination expérimentale sur le matériau massif ne peut être effectuée), on utilise assez souvent la valeur mesurée pour νLT sur le matériau composite unidirectionnel (tableau 9.2). La valeur de νf en est déduite en utilisant la loi des mélanges (9.90). C'est cette approche que nous avons utilisée pour déterminer (tableau 9.3) les valeurs de νf pour les fibres de carbone et de Kevlar. TABLEAU 9.3. Modules d'élasticité des fibres et de la matrice. Modules Fibres Ef expérimental E (GPa) νf expérimental νf calculé Matrice Verre R 73 86 0,22 0,22 Carbone HM HR 380 Kevlar 49 260 ─ 135 ─ ─ ─ ─ 0,33 0,33 0,37 Gf (GPa) 29,9 35,2 142,9 97,7 49,3 kf (GPa) Kf (GPa) 43,5 53,4 51,2 62,9 372,5 420,2 254,9 287,5 173,1 189,5 Em expérimental (GPa) νm expérimental 3,45 0,30 Gm (GPa) 1,33 km (GPa) 2,875 Km (GPa) 3,32 9.5.2 Comparaison entre valeurs expérimentales et calculées des modules À partir des valeurs reportées dans le tableau 9.3, nous avons calculé les valeurs des modules des composites unidirectionnels, déterminées à partir des diverses expressions théoriques (tableau 9.4) : — le module d'Young longitudinal EL, obtenu à partir de la loi des mélanges (9.82) ; — le module de cisaillement longitudinal GLT, calculé à partir de la relation (9.75) ; — le module de compression latérale KL, relation (9.76) ; — le module de cisaillement transverse GTT ′ , relation (9.77) ; — le module d'Young transverse ET, calculé à partir des valeurs précédentes de KL, GTT ′ , νLT et EL, par la relation (9.24) ; — le module d'Young transverse ET et le module de cisaillement longitudinal GLT, à partir des approches simplifiées, relations (9.88) et (9.94) ; — les bornes inférieures (notées : –) et supérieures (notées : +) de KL, GTT ′ , GLT, données par les relations (9.40), (9.41) et (9.42). Rappelons que les bornes inférieures (9.40), (9.41) et (9.42) coïncident avec les valeurs calculées par (9.76), (9.77) et (9.75). TABLEAU 9.4. Valeurs des modules des composites unidirectionnels, déterminées à partir des expressions théoriques. Solutions exactes de problèmes particuliers Approches simplifiées Bornes (9.40) à (9.44) EL (mélanges) (GPa) Verre E R Carbone HM HR Kevlar 49 45,2 53,0 229,4 157,4 82,4 νLT (mélanges) 0,25 0,25 νLT expérimental 0,31 0,31 0,32 0,32 0,34 ─ ─ ─ GLT (9.75) (GPa) 4,57 4,67 5,14 5,06 4,83 KL (9.76) (GPa) 8,98 9,15 10,10 10,02 9,88 GTT ′ (9.77) (GPa) 3,96 4,02 4,32 4,27 4,13 ET (9.24) (GPa) 10,8 11,0 12,0 11,9 11,5 ET (9.88) (GPa) 8,05 8,13 8,50 8,45 8,30 GLT (9.75) (GPa) 3,11 3,14 3,28 3,26 3,19 KL– (= KL) KL+ (GPa) (GPa) 8,98 9,15 22,1 25,4 10,10 10,02 120 84 9,88 50 GTT ′− ( = GTT ′ ) (GPa) 3,96 4,02 4,32 4,27 4,13 GTT ′+ (GPa) 11,2 12,9 52,6 36,4 19,7 GLT– (= GLT) GLT+ (GPa) (GPa) 4,57 4,67 13,9 16,2 5,14 5,06 62,3 43 4,83 22,2 ET– (= ET) ET+ (GPa) (GPa) 10,8 11,0 28,5 32,9 12,0 11,9 137 95 11,5 52 Les valeurs numériques obtenues (tableau 9.4), comparées aux valeurs expérimentales (tableau 9.2) montrent que : — le module d'Young longitudinal EL est bien décrit par la loi des mélanges, pour l'ensemble des fibres; — le module de cisaillement longitudinal GLT est bien décrit par la relation (9.75) (ou la borne inférieure (9.42)); — le module d'Young transverse ET est assez bien approché par la relation (9.24) associée aux expressions (9.76), (9.77) et (9.90), pour les fibres de verres et de carbones, bien que les valeurs calculées sous-estiment les valeurs expérimentales lorsque le module d'Young des fibres augmente (verre R, carbones HM et HR). Par contre, les valeurs expérimentales, obtenues pour le module de cisaillement longitudinal et le module d'Young transverse des composites à fibres de Kevlar, sont très nettement inférieures aux valeurs théoriques. Ces faibles valeurs peuvent être attribuées à : — une mauvaise adhérence des fibres aramides avec les résines, — de mauvaises propriétés en compression et cisaillement des fibres aramides, — une superposition des deux processus. Les valeurs théoriques trouvées par les approches simplifiées pour le module d'Young transversal et le module de cisaillement longitudinal donnent des valeurs trop faibles. Ce fait est la conséquence du rôle trop important accordé à la matrice dans ces approches simplifiées. Enfin les valeurs obtenues sur les bornes supérieures montrent que le schéma théorique correspondant est trop éloigné de la réalité. Il conviendrait en fait à une description d'un matériau composite constitué de fibres d'époxy dans une matrice de verre, de carbone ou de Kevlar. 9.5.3 Conclusions En fonction des résultats précédents, nous retiendrons les expressions théoriques suivantes des modules d'un composite unidirectionnel : — module d'Young longitudinal EL : loi des mélanges (9.82) ; — coefficient de Poisson longitudinal νLT : loi des mélanges (9.90) ; — module de cisaillement longitudinal GLT : relation (9.75) ; — module de compression latérale KL : relation (9.76) ; — module de cisaillement transverse GTT' : relation (9.77) ; — module d'Young transverse ET, exprimé à partir des modules précédents à l'aide de l'expression (9.24). Ces expressions permettent de déterminer la variation des modules en fonction de la proportion de fibres. Les courbes correspondantes sont reportées sur la figure 9.19 pour les composites à fibres de verre E et sur la figure 9.20 pour les composites à fibres de carbone HR. EXERCICES 9.1 Calculer les constantes de rigidité et de souplesse : — d'un composite unidirectionnel à fibres de verre : EL = 45 GPa, ET = 10 GPa, ν LT = 0,31, GLT = 4,5 GPa, GTT ′ = 4 GPa, KL =28 GPa — d'un composite unidirectionnel à fibres de carbone : EL = 230 GPa, ET = 15 GPa, ν LT = 0,36, GLT = 5 GPa, GTT ′ = 4 GPa. KL =42 GPa 9.2 Tracer les modules EL, ET, GLT et GTT' en fonction de la fraction volumique de fibres de composites unidirectionnels constitués d'une matrice de caractéristiques Em = 3 GPa et νm = 0,30 et de fibres de verre-R (Ef = 86 GPa, νf = 0,22). 80 Lateral compression modulusK KL (GPa) ( GPa ) Module de compression L 60 Modules E (GPa) Young's d’Young Moduli EE L LET T ( GPa) 70 60 50 EL 40 30 ET 20 10 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 50 40 30 20 10 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Fraction volumique de fibres Fibre volume fraction V f Vf Fraction volumique de fibres Fibre volume fraction V f Vf Modules cisaillement Sheardemoduli GLT GG ( GPa ) LT G LT’ (GPa) TT' 35 30 25 20 15 GLT 10 GTT' 5 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Fraction de fibres Fibre volumique volume fraction V f Vf FIGURE 9.19. Variation des différents modules d'élasticité d'un composite unidirec- tionnel à fibres de verre E, en fonction de la fraction volumique de fibres. 300 Lateral compression modulus KL ( GPa ) Module de compression KL (GPa) Young's Moduli GPa) Modules d’YoungELELETET( (GPa) 300 250 200 EL 150 100 ET 50 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Fraction de fibres Fibre volumique volume fraction V f Vf 250 200 150 100 50 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Fraction de fibres Fibre volumique volume fraction V f Vf Sheardemoduli GLT GG ( GPa ) Modules cisaillement LT G LT’ (GPa) TT' 100 80 60 40 20 GLT GTT' 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Fraction volumique de fibres Fibre volume fraction V f Vf FIGURE 9.20. Variation des différents modules d'élasticité d'un composite unidirectionnel à fibres de carbone HR, en fonction de la fraction volumique de fibres
