201

#201
Applications anes
Khôlles - Classes prépa
Exercice 1. f
Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.
= id => f a un point xe
Soit f : E → E ane telle qu'il existe p ∈ N∗ tel que f p = idE . Montrer que f admet au moins un
point xe.
p
Exercice 2. 1 non valeur propre ⇒ un pt xe unique
Soit E un espace ane de dimension nie et f : E → E ane. Montrer que f admet un unique point
→
−
xe si et seulement si 1 n'est pas valeur propre de f .
Exercice 3.
Déterminer analytiquement la symétrie de base P : 5x − 2y − 11z + 3 = 0 de direction D : R(2, −1, 1).
Exercice 4. On pose A = fonctions anes de R dans R , telles que f (x, y) = (ax, bx + cy + d) avec a 6= 0 et c 6= 0
1) Montrer que A est l'ensemble des applications anes bijectives laissant invariante l'axe des ordonnées.
2) Montrer que (A, ◦) est un groupe.
Exercice 5.
2
2
Soit E un espace ane de dimension 3 muni d'un repère. Montrer que l'application ane dont l'expression analytique est :

 x0 = 3x + 4y + 2z − 4
y 0 = −2x − 3y − 2z + 4
 0
z = 4x + 8y + 5z − 8
est une anité dont on précisera les caractéristiques.
Exercicef 6.:
Soit
m
R2
−→
M (x, y) 7−→
R2
telle que
M (x0 , y 0 )
0
x
= (m + 1)x + 4my − m
y 0 = (m − 2)x + (m − 3)y + 2(m − 1)
0
1) Trouver l'ensemble des points xes de f .
2) Pour quelles valeurs de m a-t-on f qui est un automorphisme ?
3) Montrer que f ◦ f = Cste.
4) Quelle est la nature de f ?
Exercice 7.
m
m
1
1
0
Le plan étant rapporté à un repère, déterminer l'expression analytique de l'anité d'axe D d'équation
x + 2y = 1, de direction D0 d'équation 3y − x = 0 et de rapport 32 .
Exercice 8.
 0
= λ + 13 x − 32 y + 23 z
x
0
Soit f dénie par y = 2(1 − λ) − 23 x + 31 y + 23 z .
 0
z
= −λ + 23 x + 23 y + 31 z
Déterminer f .
30 octobre 2016
1
Thierry Sageaux
Applications anes
Exercice 9.
Montrer que les applications anes qui commutent avec toutes les translations sont les translations.
Exercice 10.
Soit X une partie de E un R-ev. On suppose que X admet deux centres de symétries. Montrer qu'alors
X en admet une innité.
Exercice 11. Expressions analytiques
→
− →
− →
−
On xe un repère R = (O, e 1 , e 2 , e 3 ) d'un espace ane de dimension 3. Déterminer les expressions
analytiques des applications suivantes :
−
−
−
Symétrie de base le plan d'équation x +(2y + z = 1 et de direction vect(→
e1+→
e2+→
e 3 ).
x+y+1=0
Symétrie de base la droite d'équations
2y + z + 2 = 0,
de direction le plan vectoriel d'équation 3x + 3y − 2z = 0.
1)
2)
Exercice 12. Expression analytique
→
− →
−
−
On xe un repère R = (O, e 1 , e 2 , →
e 3 ) d'un espace ane de dimension 3. Reconaître l' application
ayant
l'expression
analytique
suivante
:

0

x = 3x + 4y + 2z − 4
0
y = −2x − 3y − 2z + 4

 0
z = 4x + 8y + 5z − 8.
−−−→
(chercher les points xes de f et étudier M M 0 )
Exercice 13. Permutation circulaire de 4 points
Dans un espace ane E , on considère quatre points A, B, C, D. Étudier l'existence d'une application
ane f telle que f (A) = B , f (B) = C , f (C) = D, f (D) = A.
Exercice 14. f = id
Soit P un plan, et f : P → P une application ane telle que f = id, avec f 6= id.
1) Montrer que si A 6= f (A), alors A, f (A), f (A) sont non alignés.
2) En déduire que f est le produit de deux symétries.
Exercice 15. Produit d'anités
→
→
− −
3
3
2
Soit P un plan, D une droite de P , et f, g deux anités de base D, de directions ∆ , ∆0 et de rapports
λ, µ.
Étudier la nature de f ◦ g .
Exercice 16. Barycentre de projections
→
−
Soient π, π 0 deux projections dans un espace ane E ayant même direction F .
0
Pour λ ∈ R, on note πλ l'application : M 7−→ Bar(π(M ) : λ, π (M ) : 1 − λ).
→
−
Montrer que πλ est encore une projection de direction F .
Exercice 17. Symétrie-translation
Soit f : E → E ane. On dit que f est une symétrie-translation s'il existe une symétrie s et une
translation t telles que f = s ◦ t = t ◦ s.
→
−
−
Soient s une symétrie de base B de direction F , et t une translation de vecteur →
u.
→
−
→
−
Montrer que s ◦ t = t ◦ s ⇐⇒ u ∈ B .
Soit f une symétrie-translation. Montrer que le couple (s, t) tel que f = s ◦ t = t ◦ s est unique.
Soit f ane quelconque. Montrer que f est une symétrie-translation si et seulement si f ◦ f est
une translation.
1)
2)
3)
2
Thierry Sageaux
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4)
5)
En déduire que le produit d'une symétrie par une translation quelconques est une symétrietranslation.
→
− →
− →
−
 AN : décomposer l'application f d'expression analytique dans un repère R = (O, e 1 , e 2 , e 3 ) :
0

x = (x − 2y − 2z + 1)/3
y 0 = (−2x + y − 2z + 2)/3

 0
z = (−2x − 2y + z − 1)/3.
Exercice 18. Transitivité des homothéties-translations
Dans un espace ane E on donne quatre points P, Q, P 0 , Q0 avec P 6= Q. Existe-t-il une homothétietranslation f telle que f (P ) = P 0 et f (Q) = Q0 ?
Exercice 19. Usage d'applications anes
On considère dans l'espace deux plans parallèles distincts P , P 0 , A, B, C ∈ P , O ∈
/ P , et on construit
les points suivants :
A0 , B 0 , C 0 : les intersections avec P 0 des droites (OA), (OB), (OC).
α, β, γ : les milieux des segments [B, C], [C, A], [A, B].
Montrer que les droites (A0 α), (B 0 β), (C 0 γ) sont parallèles ou concourantes.
Exercice 20. Usage d'applications anes
Soient A1 , . . . , An n points de E .
Étudier l'existence de points B1 , . . . , Bn tels que Ai = mil(Bi , Bi+1 ) (An = mil(Bn , B1 )).
Exercice 21. Projection stéréographique
Dans l'espace, on considère un point O et un plan P ne passant pas par O. On dénit l'application
f : M 7−→ M 0 où M 0 est le point intersection de P et (OM ). (Projection stéréographique sur P de pôle
O)
Est-ce que f est ane ?
Etudier l'image par f d'une droite, d'un plan, d'une partie convexe.
1)
2)
Exercice 22. Caractérisation des produits de symétries
Soit E un espace ane de dimension nie et f : E → E ane.
→
−
Montrer que f est un produit de symétries si et seulement si det( f ) = ±1.
3
Thierry Sageaux
Applications anes
Solutions des exercices
Exercice 3.
−−−−−→
−
On sait que s(M ) = 2P (M ) − M et que M p(M ) = α→
u où p(M ) = (x1 , y1 , z1 ) est le projeté de M
sur P . On trouve donc x1 = x + 2α, y1 = y − α et z1 = z + α avec α = −5x + 2y + 11z − 3. Donc
( x = −9x + 4y + 22z − 6
1
y1 = 5x − y − 11z + 3
z1 = −5x + 2y + 12z − 3
−−−−−−−→ −−−−−→
De plus, p(M )s(M ) = M p(M ), ce qui donne

 x0 = −19x + 8y + 44z − 12
y 0 = 10x − 3y − 22z + 6
 0
z = −10x + 4y + 23z − 6
Exercice 4.
1) La matrice associée à f est a0
b
. Comme cette matrice est inversible, on a bien f bijective et
c
f (0, y) = (0, cy + d) implique que l'axe des ordonnées est stable par f . Réciproquement, si on prend un
point de l'axe (0, e), on trouve un antécédent qui est (0, e−d
c ). On a donc bien une première inclusion.
Pour l'autre inclusion, soit g : (x, y) 7−→ (ax + a0 y + a00 , bx + b0 y + b00 une application ane bijective
laissant invariant l'axe des ordonnées. Alors g(0, y) = (0, b0 y + b00 ), donc a0 y + a00 = 0 ⇔ a0 = a00 =
0.
00
De plus, g doit être bijective, donc un antécédent de (0, e) est (0, −bb0+e ), il faut donc b0 6= 0.
Il reste à montrer que a 6= 0. Par l'absurde, si a 6= 0, alors on a g(1, y) qui est sur l'axe. Contradiction
avec le fait que tout antécédent est sur l'axe.
Elémentaire.
2)
Exercice 5.
On cherche la base, la direction et le rapport.
Pour la base, il sut de chercher les invariants qui forment ici le plan d'équation x + 2y + z − 2 = 0.
−−−→
−−−→
→
−
→
−
→
−
Pour la direction, on trouve M M 0 = (2x + 4y + 2z − 4)( i − j + 2 k ). Le vecteur M M 0 est donc
colinéaire au vecteur (1, −1, 2) qui est donc la direction.
−
−
Pour le rapport, on cherche λ tel que f (→
v ) = λ→
v . On doit donc résoudre


 x0 = λx = 3x + 4y + 2z − 4
 (3 − λ)x + 4y + 2z − 4 = 0
0
⇔
−2x − (3 + λ)y − 2z + 4 = 0 .
y = λy = −2x − 3y − 2z + 4
 0

4x + 8y + (5 − λ)z − 8 = 0
z = λz = 4x + 8y + 5z − 8
3−λ
4
2
−2
−3 − λ
−2 = 0 ⇔ (3 − λ)(λ − 1)2 = 0.
4
8
5−λ
Pour k = 3, on aboutit à une absurdité, il ne reste que k = 1 .
On veut donc
Exercice 6.
1) Soit M tel que f (M ) = M . On trouve comme condition : mx + 4my − m = 0 (D ) et (m − 2)x +
1
(m − 4)y + 2m − 1 = 0 (D2 ). Si m = 0, on trouve la droite d'équation 2x + 4y + 1 = 0 comme ensemble
des points xes. D'autre part, si m 6= 0, les deux droites sont parallèles si et seulement si m = 43
auquel cas, les deux droites sont confondues.
Si m 6= 43 ,on trouve un seul point xe : A(−3, 1).
m+1
4m
La matrice associée à fm est Am =
dont le déterminant vaut −3(m − 1)2 . Pour
m−2 m−3
m 6= 1, alors fm est un automorphisme.
2)
4
Thierry Sageaux
Applications anes
3) On calcule la matrice associée A
→
− →
− −−→
f1 ◦ f1 (A) + f1 ◦ f1 (AM ) = A
{z
}
|
1
=
2
−1
→
− →
−
4
et A21 = 0. Donc f1 ◦ f1 = 0E et f1 ◦ f1 (M ) =
−2
=OE
−
→
−
4) On a −M−−f−−(M−→) = (−2x − 4y − 1)→
j avec le vecteur de la base j = (0, 1). On pose ∆ la droite
→
−
0
d'équation −2x − 4y − 1 = 0. Soit p la projection de direction j sur ∆. On a alors p(M ) ∈ ∆ et
2x + 4y + 1
→
−
→
−
p(M ) ∈ M + j . On pose p(M ) = M + λ j . Alors −2x − 4λ − 4y − 1 = 0 ⇔ λ =
.
4
−−−−−−−−→
−−−−−→
→
−
On montre facilement que p(M )f0 (M ) = 5p(M )M , donc f0 est l'anité de base ∆, de direction j et
de rapport 5.
Exercice 7.
On trouve
x0 = 15 (4x − 2y + 1)
1
y 0 = 15
(−x + 13y + 1)
Exercice 8.
1
3
−2

3
2
3

La matrice de l'application linéaire associée est A =
−2
3
1
3
2
3
2
3
2
3 .
1
3

→
−
→
−
→
−
On trouve que (ϕ( i ), ϕ( j ), ϕ( k ))
est une base orthonormale.
Comme det(A) = −1, on trouve que ϕ est une réexion. On cherche les invariants : On trouve le plan
vectoriel d'équation x + y − z = 0. Et pour f , on résout :

= 13 x − 23 y + 23 z + λ
x
x + y − z − 23 λ
=0
1
2
−2
y = 3 x + 3 y + 3 z + 2(1 − λ)
⇔
x + y − z + 3(1 − λ) = 0

2
2
1
z
= 3x + 3y + 3z − λ
Exercice 9.
−
Soient t la translation de vecteur →
u et f une application ane telles que t ◦ f = f ◦ t. Soit A un point
−−−−−−−→
−−→
−−→
→
−
xé et M le point tel que M A = u , alors f (M )f (A) = M A. Donc f est une application ane dont
l'application linéaire associée est l'identité. Il s'agit donc d'une translation.
Exercice 10.
On suppose que sA et sB sont des symétries de X avec (A, B) ∈ X 2 . Comme X est stable par sA et
−
→ . De même, X est stable par (sB ◦ sA )n = t −
−
→ . En posant
sB , alors X est stable par sB ◦ sA = t2−
2nAB
−−→ AB −−→
−−→
−−→
−
→ ◦ sA (M ) = A − AM + 2nAB = A + nAB − (M − (A + nAB)). Il existe Cn tel que
f (M ) = t2n−
AB
−−→
f (M ) = C − CM = sCn (M ). Comme A 6= B , on a Ck 6= Cn pour n 6= k .
Exercice
 11.

2x = x − 2y − z + 1
1) 2y = −x − z + 1
0
0
2)
2z 0 = −x − 2y + z + 1

0

2x = −5x − 3y + 2z − 3
0
2y = 3x + y − 2z − 1

 0
z = −3x − 3y + z − 3
Exercice 12.
−
−
−
anité de base P : x + 2y + z = 2, de direction vect(→
e1−→
e 2 + 2→
e 3 ), de rapport 3.
5
Thierry Sageaux
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Exercice 13.
si trois points sont non alignés, ABCD doit être un parallélogramme.
si deux points sont distincts et A, B, C, D sont alignés, on doit avoir A = C , B = D.
Exercice 15.
anité de rapport λµ si λµ 6= 1, transvection ou id sinon.
Exercice 17.
−
−
5) B = {3(x + y + z) = 1}, →
F = vect(→
e
Exercice −18.
−−→
−−→
1
−
−
−
−
−
−
+→
e2+→
e 3 ), 9→
u =→
e 1 + 4→
e 2 − 5→
e 3.
oui ssi P 0 Q0 est colinéaire à P Q. Dans ce cas, f est unique.
Exercice 19.
Il existe une homothétie de centre O transformant A en A0 , B en B 0 , et C en C 0 , et l'homothétie de
1
centre G, − transforme A en α, B en β , C en γ .
2
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Thierry Sageaux