Cocktail-bac-blanc-2017

Lycée Pilote de L’Ariana Cocktail BAC BLANC 2016/2017 4ème Maths
MR :LATRACH : if you make a mistake and do not correct it, this is called a mistake.
La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques. Page 1
Exercice 1 :(5 points)
I/ Répondre par Vrai ou Faux en justifiant vos réponses.
1) Le choix d'un réel dans l'intervalle [-1,3] se fait suivant la loi uniforme
On choisit au hasard un réel q dans [-1,3] et on considère la suite u telle que un = qn ; n > 0
La probabilité pour que la suite u soit divergente est 
 .
2) a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux si et seulement si a2 et b3 sont premiers entre
eux. ( On rappelle que si p est premier et divise ab alors p divise a ou p divise b )
3) L’ensemble des points M(z) tel que z² - z + 1 est imaginaire est une hyperbole d’excentricité 
4) On considère l’arbre de probabilités ci contre:
La probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé
est égale à 0.32.
5) X est une loi uniforme sur [0, 1]
La probabilité pour qu’un réel choisi au hasard soit solution de
l’inéquation : 6x² - 5x +1 >0 est : 
6) Y est une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité exponentielle P
de paramètre .
Dans la figure ci contre on a représenté sa fonction de répartition F.
a /  = 2ln2 b / p(Y ≥ 2) = 
7)L’ensemble des solutions de l’inéquation  est [ln(4) , +
II/ Choisir la bonne réponse. Justifier votre choix: Une ou plusieurs réponses sont possibles.
1) La droite de régression Y en X d’une série
statistique double (X,Y) est donnée par :
y 5x 20,75  
.
Le coefficient de corrélation linéaire
r(X,Y)
est égal à : a) - 0,93 ; b) 1.01 ; c) 0.998
2) Dans une région, le matin il pleut 1 jour sur 6.
Un jour donné, s’il pleut le matin, alors il pleut le soir avec une probabilité de 
si, au contraire, il ne pleut pas le matin, alors il pleut le soir
avec une probabilité de 
On choisit un jour de l’année au hasard.
La probabilité pour que, dans la région concernée, il ait plu
le soir ce jour-là est : 
 ;   ; 
3) On donne ci-contre la représentation
graphique de la fonction de répartition
d’une variable aléatoire X, alors p (X = 2) est égal à :
□
5
4
□
2
1
□ 
4) La durée de vie T (en années) d’un appareil ménager suit
une loi exponentielle de paramètre > 0.
La probabilité que cet appareil tombe en panne
avant la première année
est égale à 0.18. Alors la valeur de est :
□ ln(
) □ -ln( ) □ e
18.0
4) X est une variable aléatoire qui prend des valeurs positives.
On suppose que p(1 < X < 3) = 
a) Si X suit une loi uniforme sur [0, N], alors : a)N=8 b) N = 
 c) N = 5.3
b) Si X est une loi exponentielle de paramètre > 0 alors

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 b) il n’existe pas de tel c) prend deux valeurs dont la valeur ln2
5) X est une variable aléatoire d’espérance 10 et de variance 8
Si X suit une loi binomiale de paramètre n et p alors :
a) N = 20 et p = 0.5 b) n= 25 et p 0.4 c) n = 50 et p 0.2
Exercice :3
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé direct
(O, i, j,k)
.
Soit les points A(1,2,1), B(2,2,0), C(0,4,1) et D(3,2,2).
1) a- Déterminer
AB AC
puis déduire l’aire du triangle ABC.
b- Soit P le plan contenant les points A, B et C. Montrer que P à pour équation :
2x y 2z 6 0   
.
c- Calculer la distance du point D au plan P. En déduire une équation cartésienne de la sphère S
de centre D et tangente au plan P.
Exercice 5:
Soit f l’application de IR vers IR définie par 
²
²
a) Etudier la continuité de f en zéro.
b) Etudier la dérivabilité de f en zéro. Interpréter géométriquement les résultats obtenus.
2/ a) Calculer les limites de f en - et en + .
b) Calculer f’(x) on précisera le domaine de dérivabilité de f.
c) Etudier le signe de f’(x) et établir le tableau de variation de f.
3/ Etudier les branches infinies de la courbe de f.
4/ Tracer la courbe représentative de f dans le plan de repère orthonormal (O, u, v) .
(unité graphique 4cm)
5/  étant un réel tel que o <  ≤ 1
calculer en cm² l’aire A() de l’ensemble des points M(x,y) tels que :
 à l’aide d’une
intégrale par parties
6/ Déterminer lim ( A()) quand  tend vers O et interpréter le résultat obtenu.
Exercice 6:(5 points
On considère la suite définie pour tout n 
1) a/ Calculer 
b/ Montrer que pour tout réel x > -1, on a : x 
2) Démontrer que pour tout n 
En déduire la monotonie de la suite u.
3) On pose, pour tout n 
a/ Démontrer que pour tout n 
b/ Déduire la monotonie de la suite v.
4) a/ Démontrer que les suites u et v sont convergentes vers la même limite l.
b/ Donner un encadrement de l.
c/ Déduire la limite de la suite S définie par  
Exercice 6 :
Une entreprise envisage de lancer sur le marché un nouveau produit sous
plusieurs formes. Dans le tableau ci-dessous sont consignés les résultats
d’une enquête faite pour déterminer le nombre d’acheteurs (noté yi )
en fonction de prix de vente, en dinars, de chaque forme du produit (noté xi).

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I) 1°) Représenter le nuage de points de cette série.
2°) La forme du nuage obtenu indique-t-elle l’intérêt d’un ajustement affine ? Justifier.
3°) En calculant la covariance : cov(x ;y), un élève a trouvé - 3281
et un deuxième a trouvé 3281.
Laquelle de 2 réponses vous semble – t - elle plus raisonnable ?
Justifier sans faire aucun calcul.
II) On définit une nouvelle variable Z par : zi = ln( yi)
1°) Recopier puis compléter le tableau ci-dessous.
2°) Déterminer les coordonnées du point moyen G de la série double (X ; Z)
3°) a) Donner par la méthode des moindres carrés une équation de la droite
de régression de z en x.
b) Justifier pourquoi le coefficient de corrélation indique-t-il la légitimé d’un ajustement affine.
4°) En déduire une estimation du nombre d’acheteurs éventuels y en fonction de x.
5°) D’après cette estimation quel serait le nombre d’acheteurs pour une forme du produit vendu à 75
dinars
Exercice 7
A) On considère la fonction numérique f définie sur l’intervalle [0; + [ par : f(x) = x e1-x
On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O; i; j )
1)Déterminer la limite de f en +.Interpréter graphiquement le résultat.
2) a)Etudier la dérivabilité de f en 0+
b)Dresser le tableau de variation de f.
3) Tracer la courbe C (unité :2 cm).
4) On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel par un=
1n
n
f(t)dt
; n > 0
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, f(n+1) ≤un ≤ f(n)
b) En déduire que la suite (un) est décroissante.
c) Prouver la convergence de la suite (un) et déterminer sa limite.
B) Soit F(x)=
x
1
f(t)dt
; x [1; + [
1)Etudier le sens de variation de F sur [1; + [
2) a) Dque, pour tout réel t positif, 2+t ≥ 2 2t
b) En déduire que, F(x) ≤
 ;x ≥1
c) à l’aide d’une intégration par parties, m que, x [1; + [
x
1
t1 dt2)e(t
=4 - (x+3)e1-x
d) En déduire que, x [1; + [, 0 ≤ F(x) ≤ 2
3) On note, pour tout entier naturel n non nul, Sn la somme des n−1
premiers termes de la suite (un).
a) Exprimer Sn à l’aide d’une intégrale.
b) Montrer que la suite (Sn) converge et donner un encadrement de sa limite.
Exercice 9 :
xi
30
50
70
80
90
100
yi
632
475
305
275
266
234

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Le plan P est rapporté à un repère orthonormé
( O, , ). La courbe C si contre représente la fonction f définie sur ]0 ; +[ par :f() = 
1) Par lecture graphique et sans justification dresser le tableau de variation de f.
2) On note A l'aire, exprimée en unités d'aire,
de la partie du plan comprise entre les droites d'équation  =
 ,  = 1, la courbe C et l'axe des
abscisses.
a) Soit la fonction F définie sur ]0 ; 1] par : F() = 2
Vérifier que F est une primitive de la fonction : 
 sur ]0 ; 1].
b) En déduire la valeur exacte de A.
3) On définit une suite (un) par son premier terme u0 élément de [1 ; 2]
et pour tout entier naturel n, un+1 =
a) Démontrer, pour tout réel  élément de [1 ; 2], 0 ≤
 ≤ 1
b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n; un appartient à [1 ; 2].
4) Montrer que la suite u est décroissante.
5) a) Montrer que la suite (un) est convergente. On note L sa limite.
b) Déterminer la valeur de L.
Exercice 12 :(5 points)
Une substance médicamenteuse est injectée par voie intraveineuse.
Dans les heures qui suivent l’injection, la substance est éliminée par les reins.
La quantité qi de substance présente dans le sang (qi en milligrammes) à l’instant ti
(ti en heures) a été mesurée par des prises de sang toutes les deux heures.
ti (en
heures)
0
2
4
6
8
qi (en mg)
9,9
7,5
5,5
3,9
3
Partie A
I/ a/ Déterminer une équation de la droite (D) d’ajustement affine de q en t par la méthode de Mayer.
On donnera la valeur des coefficients arrondie au centième.
b/ En supposant que ce modèle reste valable pendant 12 heures, donner une estimation de la
quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures.
II/ : On pose
ln
ln(10)
i
i
q
y
.
1) Compléter le tableau ci-dessous. On arrondira les valeurs au centième.
2)
a/ Déterminer une équation de la forme y = a + bt de la droite d’ajustement affine de
y en t par la méthode des moindres carrés. On arrondira b à 10 − 3 et a à l’unité.
b/ Montrer que l’expression de q en fonction de t obtenue à partir de cet ajustement
est de la forme : q(t)= A 
(on donnera l’arrondi au centième de B et la valeur de A arrondie à l’unité).
3) Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 12] par :
0,15
( ) 10e t ft 
.
a/ Étudier le sens de variation de la fonction f.
b/On suppose que la quantité q de substance présente dans le sang à l’instant t
ti (en heures)
0
2
4
6
8
yi au centième
près

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(t exprimé en heures) est donnée par
( ) ( )q t f t
pour t variant de 0 à 12 heures.
Calculer à 10 − 1 près la quantité de substance présente dans le sang au bout de 12 heures.
c/ En comparant les réponses trouvées à la question précédente et à la question
I)b/ de la partie A, dire lequel de ces deux modèles vous paraît le mieux adapté à la situation.
PARTIE B
1) Soit F la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 12] par
0,15
200
( ) e
3
t
Ft 
.
Montrer que F est une primitive de f sur [0 ; 12].
2/ Soit
10
0( )dI f t t
.
Calculer la valeur exacte de I, puis en donner une valeur approchée au centième près.
3/ En déduire, à un dixième de milligramme près, la quantité moyenne de substance médicamenteuse
présente dans le sang pendant les 10 heures qui suivent l’injection.
Exercice :14( 6 points )
Les parties I/, II/ sont indépendantes.
I/ Un livreur a promis de passer chez un client entre 10h et 11h.
On suppose que la probabilité de son passage est uniformément répartie.
a) Quelle est la probabilité qu’il arrive avant 10h10min ?
b) Quelle est la probabilité qu’il arrive entre 10h20min et 10h40min ?
c) Sachant que le client a attendu le livreur 15 minutes, quelle est la probabilité qu’il arrive dans les
dix prochaines minutes ?
II/ La durée de vie d’une machine à laver avant sa première panne, exprimée en mois, suit la loi
exponentielle de paramètre = 0,04.
a) Quelle est la probabilité qu’une machine ne subisse aucune panne pendant les 24 premiers mois ?
b) Sachant qu’une machine n’a subi aucune panne pendant les 24 premiers mois, quelle est la
probabilité qu’elle ne tombe pas en panne au cours des 4 premières années d’utilisation ?
Exercice 15 ( 5 points)
La durée de vie X en heures d’une ampoule électrique peut être modélisée par une
loi exponentielle de paramètre . Les probabilités seront arrondies à 10-3 près.
1) On suppose que la représentation graphique de la fonction de répartition F de X est donnée par la
figure dessous.
a / Déterminer alors p(X < 800)
b / Résoudre graphiquement p( X < x) > 0.5.
c / Donner une valeur approchée de  à 10-3.
Dans la suite on suppose que  = 0.002.
2) a/ Quelle est la probabilité qu’une
ampoule éclaire pendant plus de 1 000 heures?
b / Trouver le réel t, arrondi à l’heure
près, tel que p ( X < t ) > 1
2.
c / Quelle est la probabilité qu’une
ampoule qui éclaire toujours au bout de 500 h
soit grillée avant 1 000 h de fonctionnement ?
3) a/ Justifier que p(X <1 000)  0,865.
b / Un lustre contient six ampoules
identiques et la durée de vie d’une
ampoule est indépendante de celle des autres.
Quelle est la probabilité que les six ampoules soient grillées en moins de
1 000 heures ?
c / Quelle est la probabilité que trois ampoules exactement éclairent toujours après1 000 heures ?
Exercice 16 : (5 points)