République Du Sénégal
Un Peuple – Un But – Une Foi
Ministère
de l’Education nationale
INSPECTION D’ACADEMIE DE RUFISQUE
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EXAMENS BLANCS 2020/2021
EPREUVE DE MATHEMATIQUES TS2
Durée : 4 heures
Exercice 1 (5points)
Pour chacun des énoncés, des réponses sont proposées dont une seule est exacte.
Pour répondre tu écriras sur ta copie, le numéro de l’énoncé suivi de la lettre de la réponse choisie.
Aucun point ne sera enlevé pour une réponse fausse ou une absence de réponse.
PARTIE A
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct(O , u
⃗ ,v
⃗ ).
1) Le point M est situé sur le cercle de centre A(−2; 5) et de rayon √3. Son affixe z vérifie :
𝑎) |z + 2 − 5i| = √3 ,
b) |z − 2 + 5i| = √3 ,
c) |z + 2 − 5i| = 3,
2) Soit z un nombre complexe non nul d’argument . Un argument de
π
a) − + θ ,
b)
3
2π
3
+θ
c)
2π
3
−θ
d)
π
3
d) |z| − |zA | = √3
−1+i√3
z̅
0,5pt
est :
−θ
0,5pt
3) Soient A(a), B(ia) avec a ∈ IR∗ deux points du plan. L’ensemble des points M(z) du plan tels que
soit un réel est :
a) la droite (AB) privée des points A et B,
b) le segment[AB] privé des points A et B,
c) le cercle de diamètre [AB] privé du point A,
d) la droite (AB) privée du point A.
ln(1 − x)
4) lim
est égale à ∶
x→0
x
a) 1
b) −1
c) − ∞
iz+a
z−a
01pt
0,5pt
1
5) lim+ (xex − x) est égale à ∶
x→0
a) 0
c) + ∞
b) 1
0,5pt
1
6) Soit g la fonction définie sur ]1 ; +∞[ par g(x) = xln(x). Une primitive de g sur ]1 ; +∞[ est la fonction :
1
−𝟏
b) x ⟼ 2 ln2 (x)
a) x ⟼ ln(lnx)
c) x ⟼ 𝐥𝐧𝐱.
01pt
7) Soit n ∈ IN et a ≠ 1. La somme S = a2 + a3 + ⋯ + an+2 est égale à :
a)
1− an+2
1−a
b)
a2 ( an+1 − 1)
a−1
c)
a2 ( 1− an )
1− a
.
01pt
Exercice 2 ( 4points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O , u
⃗ ,v
⃗ ).
1
1) On considère dans ℂ l’équation suivante (E) d’inconnue z ; (E) ∶ 2 z 2 + 4z√3 + 32 = 0
a) Résoudre dans ℂ l’équation (E).
01pt
b) On considère les points A et B d’affixes respectives a = −4√3 − 4i et b = −4√3 + 4i.
1/2
Calculer |a| et |b| ; en déduire la nature du triangle OAB.
01pt
2) On désigne par C le point d′ affixe c = √3 + i et D le point d’affixe 2i.
On appelle G le barycentre des points pondérés (O; 1), (D; −1) et (B; −1)
a) Montrer que le point G a pour affixe g = −4√3 + 6i.
b) Placer les points A, B, C et G sur une figure ; (unité graphique 1 cm) .
c) Calculer le module et un argument de
g−c
0,5pt
0,5pt
. En déduire la nature du triangle GAC.
01pt
g−a
Problème ( 11 points)
1
xex
si x < 0
Soit f une fonction numérique définie sur IR par f : f(x) = {
et ( C) sa courbe
xln(x + 1) si x ≥ 0
représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O , i , j) et la droite d’équation y = x.
PARTIE A ( 8 points)
1) a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b) Montrer que f est continue.
c) Montrer que f est dérivable en 0.
d) Etudier la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.
2) Pour tout réel x strictement négatif, montrer que
1
a) f ′ (x) = ex (
1pt
0,5pt
0,5pt
0,5pt
x−1
x
) .
0,5pt
b) f ′ (x) > 0
3) Pour tout réel x strictement positif,
a) montrer que f ′ (x) = ln(x + 1) +
0,5pt
x
x+1
.
0,5pt
b) montrer que f ′ (x) > 0.
4) Dresser le tableau de variation de f sur IR.
f(x)
5) Calculer lim (
) puis interpréter le résultat.
x→ +∞
x
6) On admettra que pour tout réel x < 0,
Calculer alors lim
x→ − ∞
1
(xex
1
x−1
0,5pt
0,5pt
𝟎, 𝟓 𝐩𝐭
1
≤ xex − x − 1 ≤ 0.
− x − 1) puis interpréter le résultat
𝟏 𝐩𝐭
7) Tracer la courbe (C) de f dans le repère orthonormal (O , i , j).
01,5pt
PARTIE B ( 1,5 point )
Soit g la restriction de f à l’intervalle ]− ∞ ; 0]
1) Démontrer que la fonction g réalise une bijection ]− ∞ ; 0] vers un intervalle J à préciser.
0,5pt
−1
2) La fonction réciproque g de g est-elle dérivable sur J ? Justifier la réponse.
0,5pt
′
−1
3) Tracer la courbe (C ) de g dans le même repère.
0,5pt
PARTIE C ( 1,5 point)
1) Montrer que la fonction f admet une primitive sur [0 , + ∞[ que l’on notera F.
0,5pt
2
2) Soit H la fonction définie sur [0 , + ∞[ par H(x) = x ln(x + 1).
Montrer que H est dérivable sur [0 , + ∞[ puis calculer H ′ (x).
0,5pt
x2
3) Déterminer les réels a, b et c vérifiant : pour tout x de [0 , + ∞[ on a : x+1 = ax + b +
4) Déterminer alors la primitive de f sur [0 , + ∞[ qui s’annule en 0.
2/2
c
x+1
0,5pt
0,5pt
