ECT2-Cours Chapitre 8

Cours de mathématiques
ECT 2ème année
Chapitre 8
Variables aléatoires à densité
Adrien Fontaine
Année scolaire 2018–2019
Cours de mathématiques
ECT2
1. R APPELS SUR L A FONCTION DE RÉPARTITION
Définition 1 :
Soit X une variable aléatoire. On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X la fonction FX définie par :
∀x ∈ R ,
FX (x) = P(X É x)
Proposition 1 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P). On note X(Ω) = {x 1 ; x 2 ; · · · } avec x 1 <
x 2 < · · · . Alors :

0
si
x < x1

P(X = x 1 ) + · · · + P(X = x k ) si x k É x < x k+1 .
FX (x) =

1
si x Ê maxi ∈N x i
En particulier, FX est constante sur [x k ; x k+1[.
Exemple : Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. Pour jouer une partie, on doit miser
1 e. On tire au hasard un jeton. Si on a le numéro 1, on gagne 4 e, si on a un numéro pair
on reçoit 2 e et rien sinon. On note X le gain (algébrique). X est une variable aléatoire et
X(Ω) = {−1; 1; 3}.
La loi de la variable aléatoire X est donnée par :
2
2
,
P(X = 1) = ,
5
5
Ce que l’on peut résumer par le tableau suivant :
P(X = 3) =
P(X = −1) =
x
P(X = x)
−1
2
5
1
3
2
5
1
5
1
.
5
Total
1
Dès lors,
• Si x < −1, alors FX (x) = 0.
2
• Si −1 É x < 1, alors FX (x) = P(X = −1) = .
5
2 2 4
• Si 1 É x < 3, alors FX (x) = P(X = −1) + P(X = 1) = + = .
5 5 5
• Si x Ê 3, alors FX (x) = 1.
Ce que l’on peut résumer par


0 si
x < −1


 2
si −1 É x < 1
5
.
FX (x) =
4

si 1 É x < 3

5

 1 si
x Ê3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 1
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
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ECT2
2. G ÉNÉRALITÉS
2.1. Notion de variable aléatoire à densité
Définition 2 :
Soit X une variable aléatoire et FX sa fonction de répartition. On dit que X est une variable aléatoire
à densité si, et seulement si, il existe une fonction f vérifiant les quatre conditions suivantes :
• Pour tout x de R, f (x) Ê 0 ;
• f est continue
en un nombre fini de réels ;
Z sur R sauf éventuellement Z
+∞
+∞
f (t ) dt converge et on a :
−∞
Zx
f (t ) dt .
• Pour tout x de R, FX (x) =
• L’intégrale
−∞
f (t ) dt = 1 ;
−∞
Lorsque les conditions précédentes sont vérifiées, f est appelée densité de X.
Définition 3 :
Une fonction f est une densité de probabilité (ou plus simplement densité) si, et seulement si :
• Pour tout x de R, f (x) Ê 0 ;
• f est continue
Z fini de points de discontinuité ;
Z par morceaux avec un nombre
• L’intégrale
+∞
+∞
f (t ) dt converge et on a :
−∞
−∞
f (t ) dt = 1.
Exemple : On considère la fonction f suivante :
f
: R →
x
7→
R
ex
(1 + e x )2
La fonction f est une densité de probabilité.
• Pour tout x de R, e x > 0 et (1 + e x )2 > 0. Et donc, f (x) > 0.
• La fonction f est continue sur R comme quotient de fonctions continues sur R.
• Soit M Ê 0. Calculons :
ZM
ex
dx
x 2
0 (1 + e )
La fonction x 7→
−u ′
ex
est
de
la
forme
avec u(x) = 1 + e x . Par ailleurs,
(1 + e x )2
u2
−e x
−u ′ (x)
=
u(x)2
(1 + e x )2
Donc, une primitive est donnée par :
−
Dès lors,
ZM
0
Enfin,
−1
1
=
u(x) 1 + e x
h −1 iM 1
1
ex
= − M
dx
=
x
2
x
(1 + e )
e 0
2 e
1
1
− M =1
M→+∞ 2
e
lim
3
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ECT2
Donc, l’intégrale
Z+∞
0
ex
dx converge et :
(1 + e x )2
Z+∞
ex
1
dx =
x
2
(1 + e )
2
0
De même, pour m É 0 :
Z0
m
Et
h −1 i0
1
1
ex
=
dx
=
−
(1 + e x )2
ex m 1 + em 2
1
1
1
− = 1−
m
m→−∞ 1 + e
2
2
lim
Donc, l’intégrale
ex
dx converge et :
x 2
−∞ (1 + e )
Z0
1
ex
dx
=
x 2
2
−∞ (1 + e )
Z0
ex
dx converge et :
x 2
−∞ (1 + e )
Z+∞
Z0
Z+∞
1 1
ex
ex
ex
dx
=
dx
+
dx
=
+ =1
x 2
x 2
(1 + e x )2
2 2
−∞ (1 + e )
−∞ (1 + e )
0
Bref, l’intégrale
Z+∞
La fonction f vérifie donc bien les trois points de la définition ci-dessus. Donc, f est bien
une densité de probabilité.
Théorème 1 :
Si X est une variable aléatoire à densité, de fonction de répartition FX et de densité f , alors, en
chaque réel x où f est continue, on a : f (x) = F′X (x).
Théorème 2 :
Si X est une variable à densité de densité, de fonction de répartition FX , alors toute fonction f à
valeurs positives qui vérifie f (x) = F′X (x) (sauf éventuellement en un nombre fini de points) est une
densité de X.
½
0
si
1 − x1 si
On admet que X est une variable aléatoire à densité. Déterminer une densité de X.
La fonction FX est dérivable sur R \ {1} et pour tout x ∈ R :

 0
si x < 1
′
1
FX (x) =

si x > 1
x2
Exemple : Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition FX(x) =
x <1
.
x Ê1
Donc, une densité de f est donnée par :

 0
1
f (x) =

x2
si
x <1
si
x Ê1
Remarque : Il n’y a pas unicité d’une densité pour une variable à densité donnée. En effet, si
f est une densité de X, alors toute fonction g positive, égale à f , sauf en un nombre fini de
points, est également une densité de X.
4
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2.2. Calculs de probabilités avec des variables aléatoires à densité
Proposition 2 :
Soit X une variable aléatoire à densité, FX sa fonction de répartition et fZ
X une densité de X.
a
f (t ) dt . Alors :
Soient a et b deux réels avec a < b. On rappelle que P(X É a) = FX (a) =
−∞
•
Za
P(X < a) = P(X É a) = FX (a) =
•
−∞
f X (t ) dt
P(X = a) = 0
•
Z+∞
P(X Ê a) = P(X > a) = 1 − FX (a) =
a
f X (t ) dt
•
P(a < X < b) = P(a É X < b) = P(a < X É b) = P(a É X É b) = FX (b) − FX (a) =
Zb
a
f X (t ) dt
Exemple :
½
0
si x < 2
.
1 − x83 si x Ê 2
On admet que X est une variable aléatoire à densité. Calculer P(X Ê 0), P(−1 É X < 3)
et P(X < 4).
D’après la proposition ci-dessus, on a :
1. Soit X une variable aléatoire, de fonction de répartition FX (x) =
P(X Ê 0) = 1 − FX (0) = 1 − 0 = 1
8
19
8
−0 = 1−
=
3
3
27 27
8
8
1 7
P(X < 4) = FX (4) = 1 − 3 = 1 −
= 1− =
4
64
8 8
P(−1 É X < 3) = FX (3) − FX (−1) = 1 −
2. Soit X une variable aléatoire à densité, de densité f X (t ) =
½
0
e −t
P(X É 2), P(2 < X É 3) et P(X Ê 1).
D’après la proposition ci-dessus, on a :
P(X É 2) =
Z2
f X (t ) dt =
Z2
P(2 < X É 3) =
Z3
−∞
P(X Ê 1) =
car f X (t ) = 0 si t É 0
f X (t ) dt =
Z3
f X (t ) dt =
1
2
Z+∞
e −t dt
e −t dt
1
Une primitive de e −t est donnée par −e −t , donc :
P(X É 2) =
Z2
P(2 < X É 3) =
e
−t
0
Z3
2
h
dt = − e
−t
i2
0
= 1 − e −2
h
i3
e −t dt = − e −t = e −2 − e −3
2
5
t É0
. Calculer
t >0
e −t dt
0
2
Z+∞
si
si
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Enfin, soit M Ê 1. On a :
ZM
1
h
iM
e −t dt = − e −t
= e −1 − e −M
1
Or,
lim e −1 − e −M = e −1
M→+∞
Donc,
P(X Ê 1) =
Z+∞
1
e −t dt = e −1
2.3. Espérance d’une variable à densité
Définition 4 :
Sous réserve de convergence de l’intégrale écrite, l’espérance de X est le réel, noté E(X), défini par :
E(X) =
Z+∞
t f (t ) dt
−∞
Exemple : Soit X une variable aléatoire de densité f (t ) =
½
0
e −t
une espérance ? Si oui, la calculer.
Il nous faut étudier la convergence de l’intégrale généralisée
Z+∞
f (t ) dt
si
t É0
X admet-elle
si t > 0
−∞
Comme f est nulle sur ] − ∞; 0], l’intégrale sur ] − ∞; 0] converge et vaut 0. Par ailleurs, soit
M Ê 0. Calculons :
Z
M
t e −t dt
0
Pour cela, on effectue une intégration par parties en posant :
½
½ ′
u(t ) = t
u (t ) =
1
′
−t
v (t ) = e
v (t ) = −e −t
On a alors :
ZM
0
te
−t
h
−t
iM
ZM
+
e −t dt
0
h
iM
= −Me −M + − e −t
dt = − t e
0
0
= −Me
−M
+1−e
−M
Or,
lim −Me −M + 1 − e −M = 1
M→+∞
Donc, l’intégrale
Z+∞
t e −t dt converge et
0
Z+∞
0
t e −t dt = 1
6
Cours de mathématiques
Bref, l’intégrale
Z+∞
ECT2
t e −t dt converge et vaut 1. Ainsi, X admet une espérance et
−∞
E(X) = 1
Proposition 3 :
Soit X une variable aléatoire à densité admettant une espérance et soient a et b deux réels. Si a 6= 0,
la variable aléatoire Y = aX + b admet une espérance et :
E(aX + b) = a E(X) + b
2.4. Variance d’une variable aléatoire à densité
Définition 5 :
Une variable aléatoire X de densité f admet un moment d’ordre 2 lorsque X 2 admet une espérance.
Dans ce cas, on appelle moment d’ordre 2 de X, le réel :
2
E(X ) =
Z+∞
t 2 f (t ) dt
−∞
Définition 6 :
Si une variable aléatoire X de densité f admet un moment d’ordre 2, alors on appelle variance de
X, et on note V(X), le réel défini par :
V(X) =
Z+∞
−∞
(t − E(X))2 f (t ) dt
Définition 7 :
Si X est une variable aléatoire à densité admettant une variance, on appelle écart-type de X, le réel
positif, noté σX , défini par :
p
σX = V(X)
Théorème 3 : Formule de König-Huygens
Si X est une variable aléatoire à densité possédant une variance, alors on a :
V(X) = E(X 2 ) − E(X)2
Méthode 1 : Montrer qu’une variable à densité possède une variance et la calculer
• Si X n’admet pas d’espérance, alors elle n’admet pas de variance.
• Si X admet une espérance, il faut regarder si E(X 2 ) existe.
⋄ Si non, alors X n’admet pas de variance.
⋄ Si oui, alors on utilise la formule de König-Huygens
V(X) = E(X 2 ) − E(X)2 ,
pour la calculer.
7
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Exemple : Soit X une variable aléatoire de densité f (t ) =
½
0
e −t
si
t É0
X admet-elle
si t > 0
une variance ? Si oui, la calculer.
On a déjà Z
vu que X admet une espérance et que E(X) = 1. Regardons si E(X 2 ) existe, i.e si
l’intégrale
+∞
t 2 f (t )dt converge.
−∞
Comme f est nulle sur ] − ∞; 0], l’intégrale
M Ê 0. Calculons :
ZM
0
Z0
f (t ) dt converge et vaut 0. Soit maintenant
−∞
2
t f (t ) dt =
ZM
t 2 e −t dt
0
Pour cela, on effectue une première intégration par parties, en posant :
½ ′
½
u (t ) =
2t
u(t ) = t 2
′
−t
v (t ) = −e −t
v (t ) = e
On a alors :
ZM
2 −t
t e
0
h
2 −t
ZM
iM
+2
t e −t dt
0
ZM
2 −M
= −M e + 2
t e −t dt
dt = − t e
0
0
Or, on a déjà vu que :
ZM
0
Donc,
ZM
0
t e −t dt = −Me −M + 1 − e −M
t 2 e −t dt = −M2 e −M − 2Me −M + 2 − 2e −M
Or,
lim −M2 e −M − 2Me −M + 2 − 2e −M = 2
M→+∞
Donc, l’intégrale
Z+∞
f (t ) dt converge et vaut 2. Donc, l’intégrale
0
Z+∞
f (t ) dt converge et
−∞
vaut 2. Autrement dit, E(X 2 ) existe et vaut 2.
Donc, X admet une variance que l’on peut obtenir par la formule de König-Huygens :
V(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = 2 − 12 = 1
Proposition 4 :
Si X est une variable aléatoire possédant une variance, alors quels que soient les réels a et b, aX +b
admet une variance, et on a :
V(aX + b) = a 2 V(X)
Exemple : On reprend la variable aléatoire X de l’exemple précédent, et on note Y = 3 − 2X. Y
admet-elle une variance ? Si oui, la calculer.
D’après la propriété ci-dessus, Y admet une variance et :
V(Y) = V(3 − 2X) = (−2)2 V(X) = 4 × 1 = 4
8
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3. L OIS USUELLES À DENSITÉ
3.1. Loi uniforme sur un intervalle
Dans ce paragraphe, a et b sont des nombres réels avec a < b.
La loi uniforme sur [a; b] est la loi du tirage au hasard d’un nombre dans cet intervalle : la
variable X a autant de chance de tomber n’importe où dans l’intervalle [a; b].
Définition 8 :
On dit que X suit la loi uniforme sur [a; b] lorsque X est la variable aléatoire de densité f définie
par :
½ 1
si t ∈ [a; b]
f (t ) = b−a
0
si t ∉ [a; b]
On note : X ∼ U ([a; b]).
Remarque :
1
b−a
0
a
b
1
est bien une densité de probabilité sur [a; b] :
b−a
• f est continue sur R \ {a; b} et positive.
¸b
·
Z+∞
Zb
b
a
t
1
=
•
dt =
−
= 1.
f (t ) dt =
b−a a b−a b−a
−∞
a b−a
La fonction f définie sur [a; b] par f (t ) =
Proposition 5 :
Si X ∼ U ([a; b]), alors la fonction de répartition FX

0




x −a
FX (x) =

b−a



1
de X est donnée par :
si
x<a
si
x ∈ [a; b]
si
x >b
Donnons la représentation graphique de FX :
1
a
0
b
Proposition 6 :
Si X ∼ U ([a; b]), alors X admet une espérance et une variance, et :
E(X) =
a +b
2
et
V(X) =
9
(b − a)2
12
Cours de mathématiques
ECT2
Exemple : Le temps d’attente T, en minutes, auprès du standard téléphonique du service
après vente d’une entreprise suit la loi uniforme sur l’intervalle [0, 5; 9, 5].
1. Quelle est la probabilité que le temps d’attente soit inférieur à 2 minutes ?
2. Quelle est la probabilité que le temps d’attente soit supérieur à 3 minutes ?
3. Quel est le temps d’attente moyen auprès du standard téléphonique ?
1. La probabilité que le temps d’attente soit inférieur à 2 minutes est :
P (X É 2) = FX (2) =
2 − 0, 5 1
=
9
6
2. La probabilité que le temps d’attente soit supérieur à 3 minutes est :
P (X Ê 3) = 1 − FX (3) =
9, 5 − 3 13
=
9
18
3. L’espérance mathématique de T est
0, 5 + 9, 5
=5
2
Le temps d’attente moyen auprès du standard téléphonique est de 5 minutes.
E(T) =
3.2. Loi exponentielle
Dans ce paragraphe, λ désigne un nombre réel strictement positif.
Définition 9 :
On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λ lorsque X est la variable aléatoire de densité
f définie par :
½
λe −λt si t Ê 0
f (t ) =
0
si t < 0
On note X ∼ E (λ).
λ
f
Proposition 7 :
Si X ∼ E (λ), alors alors la fonction de répartition FX de X est donnée par :
FX (x) =
½
1 − e −λx
0
si
si
x Ê0
x <0
FX
1
10
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Proposition 8 :
Si X ∼ E (λ), alors X admet une espérance et une variance, et :
E(X) =
1
λ
et
V(X) =
1
λ2
Remarque : Les lois exponentielles sont utilisées pour modéliser des « durées de vie ».
3.3. Loi normale
Dans ce paragraphe, m désigne un nombre réel et σ un réel strictement positif.
Définition 10 :
On dit que X suit la loi normale de paramètre m et σ2 lorsque X est la variable aléatoire de densité
f définie par :
2
1
− (t−m)
∀t ∈ R ,
f (t ) = p e 2σ2
σ 2π
On note X ∼ N (m, σ2 ).
Proposition 9 :
Si X ∼ N (m, σ2 ), alors X admet une espérance et une variance et :
E(X) = m
et
V(X) = σ2
3.4. Loi normale centrée réduite
Définition 11 :
On dit que X suit la loi normale centrée réduite lordque X est la variable aléatoire de densité f
définie par :
1 2
1
∀t ∈ R ,
f (t ) = p e − 2 t
2π
On note X ∼ N (0, 1).
La courbe de la fonction de densité de la
loi normale centrée réduite N (0; 1) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées,
donc les probabilités P (X É 0) et P (X Ê 0) sont
égales.
Comme P (X É 0) + P (X > 0) = 1, on en déduit
que
1
P (X É 0) = P (X Ê 0) =
2
0,4
0,3
P (X É 0)
P (X Ê 0)
0,2
0,1
-3
-2
-1
0
1
2
3
Définition 12 :
La fonction de répartition d’une variable aléatoire qui suit la loi N (0, 1) est la fonction, notée Φ,
définie par :
Zx
−t 2
1
e 2 dt
∀x ∈ R ,
Φ(x) = p
2π −∞
11
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ECT2
Théorème 4 :
On a déjà vu que Φ(0) = 21 . Plus généralement, pour tout réel x, on a :
Φ(−x) = 1 − Φ(x)
Remarque : On ne sait pas expliciter Φ à l’aide des fonctions usuelles.
Proposition 10 :
Si X est une variable aléatoire suivant la loi N (0, 1), alors X admet une espérance et une variance
et :
E(X) = 0
et
V(X) = 1
Théorème 5 :
Soit X une variable aléatoire. Alors :
X suit la loi N (m, σ2 ) ⇐⇒
12
X−m
suit la loi N (0, 1)
σ
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Fonction de répartition Φ d’une variable aléatoire X
suivant la Loi Normale Centrée Réduite N (0; 1).
Φ(x) = P(X É x) =
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
Zx
t2
1
e − 2 dt et Φ(−x) = 1 − Φ(x)
p
−∞ 2π
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
13
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
Cours de mathématiques
ECT2
4. E XERCICES
8.1 Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) =
½
2x
0
si x ∈ [0; 1]
sinon
1. Montrer que f est une densité de probabilité.
2. Déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoire X admettant f pour
densité.
9
3. Calculer P(X É 12 ), P( 14 É X É 43 ) et P(X > 10
).
8.2 Déterminer l’unique nombre a ∈ R tel que la fonction définie par :
f (x) =
½
ax(1 − x)
0
si x ∈ [0; 1]
sinon
soit une densité de probabilité.
8.3 Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) =
½
6x(1 − x)
0
si x ∈ [0; 1]
sinon
1. Montrer que f est une densité de probabilité.
2. Déterminer la fonction de répartition FX d’une variable aléatoire X admettant f pour
densité.
3. Déterminer l’espérance de X.
4. On pose Y = 3X + 2. Alors Y est à densité. Déterminer sa fonction de répartition FY .
5. Déterminer une densité f Y de Y.
6. Déterminer l’espérance de Y.
8.4 On considère la fonction f définie par :
f (x) =
½
0
1
x2
si
si
x É1
x >1
1. Justifier que f est une densité.
2. Soit X une variable aléatoire de densité f . Déterminer :
a. P(X É 0)
d. P(X É 2)
c. P(X > 1)
f. P(X ∈]2; 3[)
b. P(X É 1)
e. P(X É 3)
8.5 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [1; 2]. On note Y la variable
aléatoire définie par Y = 3X. Le but de cet exercice est de déterminer la loi de Y. On note FX
la fonction de répartition de X et FY la fonction de répartition de Y.
1. Déterminer, pour tout réel x, l’expression de FX (x).
14
Cours de mathématiques
ECT2
2. Justifier que, pour tout réel y, on a :
FY (y) = FX
³y´
3
3. En déduire, pour tout réel y, l’expression de FY(y). (on fera une distinction des cas selon
les valeurs de y).
4. En déduire la loi de Y.
8.6 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 1. On note Y la
variable aléatoire définie par Y = 21 X. Le but de cet exercice est de déterminer la loi de Y. On
note FX la fonction de répartition de X et FY la fonction de répartition de FY .
1. Déterminer, pour tout réel x, l’expression de FX (x).
2. Justifier que, pour tout réel y, on a :
FY (y) = FX (2y)
3. En déduire, pour tout réel y, l’expression de FY (y) en distinguant les cas y < 0 et y Ê 0.
4. En déduire la loi de Y.
5. Déterminer P(Y É 3) et P[YÉ3] (Y > 1).
8.7 La nuit, dans la savane, un lion se rend à la rivière pour boire et y reste un quart d’heure.
Après de nombreuses observations, on estime que l’instant d’arrivée T du lion à la rivière se
situe entre 0h (minuit) et 2h du matin. La variable aléatoire T, exprimée en heures, est une
variable aléatoire dont une densité de probabilité est la fonction f définie par :
f (t ) =

 0

3
t (2 − t )
4
0
si
si
si
t <0
0Ét É2
t >2
1. Vérifier que f est une densité de probabilité.
2. Un observateur se présente à la rivière à 0h30 min et y reste un quart d’heure. Quelle
est la probabilité pour qu’il aperçoive le lion ?
8.8 Le fonctionnement d’une machine est perturbé par des pannes. On considère les variables aléatoires X 1 , X 2 et X 3 définies par :
• X 1 est le temps, exprimé en heures écoulé entre la mise en route de la machine et la
première panne ;
• X 2 est le temps, exprimé en heures, écoulé entre la remise en route de la machine
après la première panne, et la panne suivante ;
• X 3 est le temps, exprimé en heures, écoulé entre la remise en route de la machine
après la seconde panne et la panne suivante.
Après la troisième panne, l’utilisation de la machine est suspendue. On suppose que les variables aléatoires X 1 , X 2 et X 3 sont mutuellement indépendantes et suivent toutes les trois la
loi exponentielle de paramètre 12 .
1. Quelle est la durée moyenne de fonctionnement de la machine entre la mise en route
de la machine et la première panne ? Entre la mise en route de la machine après la
première panne et la seconde panne ? Entre la mise en route de la machine après la
seconde panne et la troisième panne ?
15
Cours de mathématiques
ECT2
2. Déterminer la probabilité de l’évènement E : « chacune des trois périodes de fonctionnement de la machine dure plus de 2 heures ».
8.9 d’après ESCP 2014
Soit a un réel strictement positif et f la fonction définie sur R par :
f (t ) =
2e −2(t−a)
0
½
si
t Êa
sinon
1. a. Soit B un réel supérieur ou égal à a. Calculer l’intégrale
Z+∞
b. En déduire la valeur de l’intégrale
2e −2(t−a) dt .
ZB
2e −2(t−a) dt .
a
a
2. Montrer que f est une densité de probabilité.
3. Montrer que la fonction de répartition FX de X est donnée par :
FX (x) =
½
1 − e −2(x−a)
0
si
xÊa
sinon
4. On considère la variable aléatoire Y définie par Y = X − a.
a. Déterminer la fonction de répartition FY de Y.
b. En déduire que Y suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
c. Donner la valeur de l’espérance de Y.
d. En déduire que X admet une espérance et donner sa valeur.
8.10 d’après ESC 2010
Soit f la fonction définie sur R par :
f (t ) =
½
1
2t
0
si
t ∈]0; 2]
sinon
1. a. Montrer que f est une densité de probabilité.
b. On note désormais X une variable aléatoire de densité f , et on note F sa fonction
de répartition. Rappeler l’intégrale permettant de calculer F(x) en fonction de la
densité f . Calculer F(x) en séparant les cas x É 0, x ∈]0; 2] et x > 2.
c. Calculer la probabilité P(X É 1) et la probabilité P( 21 < X É 1).
2. Déterminer l’espérance de X.
Soient U la variable aléatoire définie par U = X 2 et G sa fonction de répartition.
3. Déterminer U(Ω) puis justifier que G(x) = 0 si x É 0, et que G(x) = 1 si x > 4.
p
p
4. a. Justifier l’égalité des évènements [U É 2] et [− 2 É X É 2], puis en déduire G(2).
b. Plus généralement, montrer que si 0 < x É 4, alors G(x) = 41 x.
c. Dresser un bilan pour la fonction G puis reconnaître la loi de U.
d. En déduire l’espérance E(U) puis la valeur de la variance de X.
8.11
16
Cours de mathématiques
1. Soit X ∼ N (0, 1).
a. Calculer P(X < 0).
b. Calculer P(X > 3).
c. Calculer
P(−1, 96 < X <
1, 96).
2. Soit X ∼ N (−3, 1).
ECT2
a. Calculer
−1).
b. Calculer
−5).
P(X
<
P(X
>
c. Calculer P(−5 <
X < −1).
3. Soit X ∼ N (8, 4).
a. Calculer
7, 5).
P(X
<
b. Calculer
8, 5).
P(X
>
c. Calculer P(6, 5 <
X < 10).
8.12 La variable aléatoire qui correspond aux commandes quotidiennes en antalgiques
(aspirine, ibuprofène, etc) suit une loi normale d’espérance 250 et d’écart-type 20. Le stock
disponible en début de matinée est de 300 antalgiques. Quelle est la probabilité qu’il y ait
rupture de stock ?
8.13 Suite à une étude statistiques sur le remplissage de ses vols, une compagnie aérienne
a calculé qu’en moyenne, le nombre de ses passagers présents par rapport au nombre de
billets vendus était de 80% avec un écart-type de 5%. Elle décide de modéliser le nombre de
passagers présents sur le prochain vol par une loi normale.
1. Pour un vol de 272 places, si elle vend vend exactement 272 billets, quelles sont les caractéristiques de la loi normale qui décrit le nombre de passagers présents (espérance,
écart-type) ?
2. Dans ce cas, quelle est la probabilité qu’il reste 20 places libres ?
3. La compagnie décide maintenant de vendre 300 billets. Quelle est la probabilité qu’un
voyageur ne puisse pas rentrer dans l’avion.
4. Quel est nombre maximum de billets que la compagnie aérienne doit vendre si elle
accepte que certains voyageurs ne puissent pas monter dans un vol sur 10 ?
8.14 Après une enquête, on estime que le temps de passage en caisse, exprimé en unité de
temps, est une variable aléatoire T dont une densité de probabilité est donnée par la fonction
f définie par :
½
0
si x < 0
f (x) =
−x
xe
si x Ê 0
1. Exprimer chacune des probabilités P(T É 2), P(T Ê 1) et P(1 É T É 4) sous forme d’une
intégrale.
2. Rappeler la définition d’une densité de probabilité d’une variable aléatoire X suivant
la loi exponentielle de paramètre 1. Donner la valeur de l’espérance et de la variance
de X.
3. Utiliser la question précédente pour justifier que f est une densité de probabilité puis
montrer que T admet une espérance que l’on déterminera. Quel est le temps moyen
de passage en caisse ?
4. Démontrer que la fonction de répartition FT de T est définie par :
½
0
si x < 0
f (x) =
1 − (x + 1)e −x si x Ê 0
5. Montrer que la probabilité que le temps de passage en caisse soit inférieur à deux
unités de temps sachant qu’il est supérieur à une unité de temps est égale à :
2e − 3
2e
17
5. TABLE DES MATIÈRES
1 Rappels sur la fonction de répartition
2
2 Généralités
2.1 Notion de variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Calculs de probabilités avec des variables aléatoires à densité
2.3 Espérance d’une variable à densité . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Variance d’une variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . .
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3
3
5
6
7
3 Lois usuelles à densité
3.1 Loi uniforme sur un intervalle
3.2 Loi exponentielle . . . . . . . .
3.3 Loi normale . . . . . . . . . . .
3.4 Loi normale centrée réduite . .
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9
9
10
11
11
4 Exercices
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14