Variáveis Aleatórias com Densidade: Notas de Aula

Cours de mathématiques
ECT 2ème année
Chapitre 8
Variables aléatoires à densité
Adrien Fontaine
Année scolaire 2018–2019

Cours de mathématiques ECT2
1. RAPPELS SUR LA FONCTION DE RÉPARTITION
Définition 1 :
Soit X une variable aléatoire. On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X la fonc-
tion FXdéfinie par :
∀x∈R, FX(x)=P(X Éx)
Proposition 1 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω,T,P). On note X(Ω)={x1;x2;···}avec x1<
x2<···. Alors :
FX(x)=
0 si x<x1
P(X =x1)+···+P(X =xk) si xkÉx<xk+1
1 si xÊmaxi∈Nxi
.
En particulier, FXest constante sur [xk;xk+1[.
Exemple : Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. Pour jouer une partie, on doit miser
1e. On tire au hasard un jeton. Si on a le numéro 1, on gagne 4 e, si on a un numéro pair
on reçoit 2 eet rien sinon. On note X le gain (algébrique). X est une variable aléatoire et
X(Ω)={−1;1; 3}.
La loi de la variable aléatoire X est donnée par :
P(X =−1) =2
5,P(X =1) =2 5,P(X =3) =1 5.
Ce que l’on peut résumer par le tableau suivant :
x−1 1 3 Total
P(X =x)2
5
2
5
1
51
Dès lors,
•Si x<−1, alors FX(x)=0.
•Si −1Éx<1, alors FX(x)=P(X =−1) =2
5.
•Si 1 Éx<3, alors FX(x)=P(X =−1) +P(X =1) =2
5+2 5=4 5.
•Si xÊ3, alors FX(x)=1.
Ce que l’on peut résumer par
FX(x)=
0 si x<−1
2
5si −1Éx<1
4
5si 1 Éx<3
1 si xÊ3
.
−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
2

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2. GÉNÉRALITÉS
2.1. Notion de variable aléatoire à densité
Définition 2 :
Soit X une variable aléatoire et FXsa fonction de répartition. On dit que X est une variable aléatoire
à densité si, et seulement si, il existe une fonction fvérifiant les quatre conditions suivantes :
•Pour tout xde R,f(x)Ê0;
•fest continue sur Rsauf éventuellement en un nombre fini de réels;
•L’intégrale Z+∞
−∞
f(t)dtconverge et on a : Z+∞
−∞
f(t)dt=1;
•Pour tout xde R, FX(x)=Zx
−∞
f(t)dt.
Lorsque les conditions précédentes sont vérifiées, fest appelée densité de X.
Définition 3 :
Une fonction fest une densité de probabilité (ou plus simplement densité) si, et seulement si :
•Pour tout xde R,f(x)Ê0;
•fest continue par morceaux avec un nombre fini de points de discontinuité;
•L’intégrale Z+∞
−∞
f(t)dtconverge et on a : Z+∞
−∞
f(t)dt=1.
Exemple : On considère la fonction fsuivante :
f:R→R
x7→ ex
(1 +ex)2
La fonction fest une densité de probabilité.
•Pour tout xde R,ex>0 et (1 +ex)2>0. Et donc, f(x)>0.
•La fonction fest continue sur Rcomme quotient de fonctions continues sur R.
•Soit M Ê0. Calculons :
ZM
0
ex
(1 +ex)2dx
La fonction x7→ ex
(1 +ex)2est de la forme −u′ u2avec u(x)=1+ex. Par ailleurs,
−u′(x)
u(x)2=−ex (1 +ex)2
Donc, une primitive est donnée par :
−1
u(x)=−1 1+ex
Dès lors,
ZM
0
ex
(1 +ex)2dx=h−1 exiM
0=1
2−1
eM
Enfin,
lim
M→+∞
1
2−1
eM=1
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Donc, l’intégrale Z+∞
0
ex
(1 +ex)2dxconverge et :
Z+∞
0
ex
(1 +ex)2dx=1 2
De même, pour mÉ0 :
Z0
m
ex
(1 +ex)2dx=h−1 exi0
m=1
1+em−1 2
Et
lim
m→−∞
1
1+em−1 2=1−1 2
Donc, l’intégrale Z0
−∞
ex
(1 +ex)2dxconverge et :
Z0
−∞
ex
(1 +ex)2dx=1 2
Bref, l’intégrale Z+∞
−∞
ex
(1 +ex)2dxconverge et :
Z+∞
−∞
ex
(1 +ex)2dx=Z0
−∞
ex
(1 +ex)2dx+Z+∞
0
ex
(1 +ex)2dx=1 2+1 2=1
La fonction fvérifie donc bien les trois points de la définition ci-dessus. Donc, fest bien
une densité de probabilité.
Théorème 1 :
Si X est une variable aléatoire à densité, de fonction de répartition FXet de densité f, alors, en
chaque réel xoù fest continue, on a : f(x)=F′
X(x).
Théorème 2 :
Si X est une variable à densité de densité, de fonction de répartition FX, alors toute fonction fà
valeurs positives qui vérifie f(x)=F′
X(x) (sauf éventuellement en un nombre fini de points) est une
densité de X.
Exemple : Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition FX(x)=½0 si x<1
1−1
xsi xÊ1.
On admet que X est une variable aléatoire à densité. Déterminer une densité de X.
La fonction FXest dérivable sur R\ {1} et pour tout x∈R:
F′
X(x)=
0 si x<1
1
x2si x>1
Donc, une densité de fest donnée par :
f(x)=
0 si x<1
1
x2si xÊ1
Remarque : Il n’y a pas unicité d’une densité pour une variable à densité donnée. En effet, si
fest une densité de X, alors toute fonction gpositive, égale à f, sauf en un nombre fini de
points, est également une densité de X.
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2.2. Calculs de probabilités avec des variables aléatoires à densité
Proposition 2 :
Soit X une variable aléatoire à densité, FXsa fonction de répartition et fXune densité de X.
Soient aet bdeux réels avec a<b. On rappelle que P(X Éa)=FX(a)=Za
−∞
f(t)dt. Alors :
•P(X <a)=P(X Éa)=FX(a)=Za
−∞
fX(t)dt
•P(X =a)=0
•P(X Êa)=P(X >a)=1−FX(a)=Z+∞
a
fX(t)dt
•
P(a<X<b)=P(aÉX<b)=P(a<XÉb)=P(aÉXÉb)=FX(b)−FX(a)=Zb
a
fX(t)dt
Exemple :
1. Soit X une variable aléatoire, de fonction de répartition FX(x)=½0 si x<2
1−8
x3si xÊ2.
On admet que X est une variable aléatoire à densité. Calculer P(X Ê0), P(−1ÉX<3)
et P(X <4).
D’après la proposition ci-dessus, on a :
P(X Ê0) =1−FX(0) =1−0=1
P(−1ÉX<3) =FX(3) −FX(−1) =1−8
33−0=1−8 27 =19 27
P(X <4) =FX(4) =1−8
43=1−8 64 =1−1 8=7 8
2. Soit X une variable aléatoire à densité, de densité fX(t)=½0 si tÉ0
e−tsi t>0. Calculer
P(X É2), P(2 <XÉ3) et P(X Ê1).
D’après la proposition ci-dessus, on a :
P(X É2) =Z2
−∞
fX(t)dt=Z2
0
e−tdtcar fX(t)=0 si tÉ0
P(2 <XÉ3) =Z3
2
fX(t)dt=Z3
2
e−tdt
P(X Ê1) =Z+∞
1
fX(t)dt=Z+∞
1
e−tdt
Une primitive de e−test donnée par −e−t, donc :
P(X É2) =Z2
0
e−tdt=h−e−ti2
0=1−e−2
P(2 <XÉ3) =Z3
2
e−tdt=h−e−ti3
2=e−2−e−3
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