REPUBLIQUE TUNISIENNE Ministère de l'Enselgnement Supérieur et de la Recherche Scientifique Concours Nationsuz d'Entrte aux C7° > de Formation d'ingénieurs Session 2018 Concours Mathématiques et Physique Epreuve de Physique Date : Lundi 04 Juin 2018 Durée : 4 H Heure : 8 H Nombre de pages : 8 Barème : Problème 1: 7 pt , Problème 2: 13 pts L'usage d'ioie calculatrice nonprogrammable #sï autorise. L'épreuve comporte deux problèmes indépendants, le candidat peut les résoudre dans l'ordre qui lui convient, en respectant néanmoins la numérotation des questions. Un candidat peut toujours se servir d'un résultat fourni par l'énoncé pour continuer sa composition. Données e’—e"’ 2 e = 1, 6 x10*I’C sin a — sin b = 2 sin ( 1 x10“ f'm*' leV= 1,6 x l0°"uf •2 a- b) 2 cos a+b 2 , 1 MeV= 10 eV =—1 Problème 1 : Optique ondulatoire Le rôle d'un dispositif interférentiel est de dédoubler une source primaire pour en donner dans la plupart des cas deux sources secondaires Si et $2 pouvant aboutir à des interférences constructives ou destructives. I- Etude des trous d'Young 1- Expliquer la raison pour laquelle il faut partir d'une seule source primaire S et non de deux sources indépendantes S et S2. 2- On s'intéressera dans ce qui suit au dispositif d'Young. S'agit-il d'un dispositif a division de front d'ondes ou à division d'amplitudes ? Justifier. 3- Comme le montre la figure l qui se trouve dans le plan zOr, on dispose d'une source primaire S, supposée monochromatique et ponctuelle de longueur d'onde X et de deux trous $i et S2 symétriques par rapport à 0’ tel que S,S2 = a , l'axe étant perpendiculaire au plan de la figure 1. Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Figure 1 Epreuve de Physique Page 1/8 On observe le phénomène d’interférences en un point M repéré par son abscisse x sur un écran situé dans le plan xOy ù une distance D----OO'. Dans tout le problème, on se place dans le cas où a<< D et x m D . Les deux vibrations scolaires issues de S et St s'écrivent en notation complexe : S,---- Si e’"'° ' et 2 - Si e'("°^' a-Calculer la vibration résultante S au point M en fonction de S0 , ri›, p 2 et p, où g= g 2 -p l est le déphasage entre les deux ondes. b-En déduire l'intensité I -- lS .ÿ‘ en fonction de g et / 0 --S o . c- Exprimer la différence de marche 6 au point M entre les deux ondes en fonction de a, x et D . En déduire l'expression de g . d-Quelle est la nature des franges d’interférences observées sur l'écran et indiquer leur direction ? Justifier votre réponse. e- Déterminer les positions des franges brillantes et des franges obscures. f- Exprimer 1’interfrange i. Calculer i pour o =0,5mm, D---lm et 2=0,5 pm . g-Déterminer la position de la frange centrale et préciser si elle est brillante où obscure. 4-On déplace la source S parallèlement à @ d'une faible distance par rapport à D. Que devient la figure d'interférences ? Commenter. 5- On remplace la source S par une fente fine parallèle à , décrire la nouvelle figure d'interférences. 6-On déplace maintenant la source S parallèlement à Œ jusqu'au point S’ repéré par son abscisse x' tel que x' << d avec d -- SO’ (flgure 1). a-Calculer la nouvelle différence de marche 6’ entre les deux ondes au point M en fonction de x, x’, a, D et d. Déterminer la nouvelle position z0 de la frange centrale. b-Exprimer la nouvelle interfrange i’. Expliquer ce qui se passe au niveau de la figure d’interférences. H- Influence de la largeur de la fente source : Cohérence spatiale On remplace maintenant la source S par une fente source fine F parallèle à de largeur Z , et on remplace également les trous d'Young S et St par deux fentes fines F, et Fz parallèles entre elles et parallèles à . La fente F est située dans le plan médiateur de Fi et Ft. La largeur Z peut varier moyennant une vis micrométrique. 7- L'intensité élémentaire df en un point M de l'écran émise par une fente élémentaire de largeur dr’ repérée par son abscisse x’ (figure 2) s'écrit : df' 2 o( + cos g) a- Justifier l'expression de dl. Exprimer p en fonction de x et x’. Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Figure 2 Epreuve de Physique Page 2/8 b- En déduire l’intensité totale au point M. Montrcr qu’elle peut se mettre sous la forme I 2J o l IV(t) .cos ‹;pJ Exprimer V(I). Quel nom donne-t-on à cette fonction ? c- Quelle est la valeur de V(t) quand t —+0 ? Conclure. d- Donner les valeurs de t qui annulent V(ï) et tracer son allure. e- En déduire la longueur de cohérence spatiale £, en fonction de L, d et a. Calculer sa valeur pour d = 500 nm, d —— 50 cm et a —— 0,5 mm . f- Décrire qualitativement la figure d’interférences pour t —Z, . III- Influence de la largeur spectrale de la source : Cohérence temporelle. On agit de nouveau sur le dispositif de fentes d’Young pour retrouver la fente fine de la partie (I) ; F étant toujours dans le plan médiateur de 2s et Ft 8- On éclaire F à l'aide d'une source polychromatique de profil spectral rectangulaire /,(v) et de largeur A v comme l'indique la figure 3, où v est la fréquence de l'onde dans l’intervalle r, , v2 J. On pose Ar = v2 — r, et v, . Soit dv une largeur spectrale élémentaire dans cet intervalle. L’intensité élémentaire au point M créée par dr dv s’écrit sous la forme : dI —— 2/ o (l + cos p) a- En déduire que l’intensité totale au point M peut s'écrire sous la forme : I -- 2/, $1+V(Q ) .cos g dv Exprimer V(Q) , oñ Q' est à écrire en fonction de b- Que devient l'expression de I quand A r—+0 ? Commenter. c- Déterminer les valeurs de Q' qui annulent V(Q') et tracer son allure. d- En déduire la longueur de cohérence temporelle Figure 3 L, en fonction de r et Av . e- Calculer +t pour la lumière blanche d’intervalle spectral 0, 4 — 0, 75ym , et pour un laser de largeur spectrale 100 . Commenter. r- On dispose maintenant d'une fente de largeur Z et d'une raie de largeur Ar . Quelles sont les conditions sur ces grandeurs pour observer des franges d’interférences ? Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Epreuve de Physique Page 3/8 Problème 2 : Evolution d'une particule quantique dans un potentiel I- Partie Préliminaire On s’ intéresse dans ce problème à une partitule quantique de masse m astreinte à se déplacer suivant l'axe Phr de vecteur unitaire u, . A cette particule on associe une fonction d'onde 'P(x,/) qui décrit son état à 1’instant t. Lorsque la particule possède une énergie potentielle K(x), la fonction d'onde est solution de l'équation de Schrödinger : l- On pose p( • ) -l*(•.' )J2 . —— ih 2 2m bt Que représente cette grandeur ? Pourquoi doit-on avoir 2 'g' 'P px,/ )J dr — 1? En déduire la dimension de 'P(x, f)J . 2- Dans tout le problème on cherchera des fonctions d'ondes relatives à des états stationnaires d'énergie E définies par : v(x,/)= p(x) e”’"' a- Pourquoi un tel état est appelé ”état stationnaire” ? Déterminer l'équation de Schrödinger indépendante du temps vérifiée par p(x). b- En considérant le cas où K(x) = P, , avec K0 est une constante réelle , trouver les solutions possibles p(x) en comparant A à Ko . II- Particule Libre Considérons une particule libre de masse m, d’impulsion p évoluant suivant é2r . p2 3- Montrer que son énergie s'écrit : ñ — 4- 2m Montrer que la fonction d'onde '1'(x, r) de la particule libre s'écrit sous la forme : 'P(x,ï) = A e°"“*' +B e”(”^' A et & sont deux constantes complexes ; c› et k deux constantes positives à exprimer en fonction de ñ, ù et m . 5- Interpréter la forme générale de 't'(x,t). Ecrire la relation de dispersion exprimant c› en fonction de k . En déduire la relation entre la longueur d'onde 2 associée à cette particule et son impulsion p . Commenter. 6- Sachant qu'on peut écrire les constantes complexes A et B sous la forme suivante : A -,e'* et & = je avec p, , p 2 , f, et 82 sont des constantes réelles. Montrer que : p(x) —— si Hz 2 , 2 cos(2/tx + B, -8 2 ). 7- Tracer l'allure de p(x) et interpréter. 8- Pourquoi la solution '1'(x, r) trouvée dans la question (4) ne décrit pas la réalité ? Que peut-on proposer ? Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Epreuve de Physique Page 4/8 9- En réalité 1’état quantique de la particule libre est décrit par un paquet d'ondes défini par : 'P(x,t) -- g pk)e”"""°’‘"dk avec pour k, < k < k, g(k) = 0 a- On pose mk- ' 2' Et ailleurs - ' —' . déte rminer 'P(x,0) . 2 b- En déduire la densité de probabilité p px) = 'P(x,0) . Déterminer les valeurs qui annulent p(x) et tracer ensuite la courbe ' où p, —p( — 0) . Po c- Montrer que 'P(x,0) représente bien l'état d'une particule libre à l'instant r — o. 2 sin u du —— u 2 d- On pose Ax =x, —ep où x, et x_, sont les premières valeurs de x qui annulent p(x) de part et d'autre de l'origine des abscisses. Calculer le produit Ax Œ . En déduire l'expression de Ar Qp . Quel nom donne-t-on à cette relation ? Commenter. 10- En utilisant la relation de dispersion, déterminer la vitesse de groupe v, et la vitesse de phase vq . Quelle est la relation entre v et 1’impulsion p ? Conclure. On donne : J HI- Effet tunnel La particule d’énergie E venant de la région I (x < 0) évolue dans un potentiel V px) défini par (figure 4) : U0 si 0 < x < a 0 ailleurs On suppose que 0 < A < K, et on cherche les états stationnaires de cette particule dans les trois régions (région I : x < 0, région II : 0 < x < a et région III : x > a). Figure 4 11- On pose à = 2mñ et q —— 2m(F0 E) . Trouver les solutions p(x) dans chaque région. On introduira les constantes d’intégration A, , B, , All , Bât et A„ correspondantes respectivement aux régions I, II et III. 12- En appliquant les conditions aux limites aux interfaces x = 0 et x= a, écrire un système de qiiatre équations dont les inconnus sont Ah , Bd , All , Bât et Allô . Quelle condition supplémentaire permet d'établir une cinquième équation ? Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Epreuve de Physique Page 5/8 13- On définit les coefficients fi = et T —— où y, , y, et y, sont les vecteurs densité de courant de probabilité liés respectivement à l'onde incidente, réfléchie dans la région (1) et transmise dans la région III. On rappelle que le vecteur densité de courant de probabilité d'une onde plane de vecteur d'onde k s'écrit : Exprimer R et T en fonction des constantes d'intégration. Que représentent ces coefficients? Pourquoi doit-on avoir R+T —— 1 ? 14- La résolution du système d'équations précédent donne : T —— 2( qa) Calculer T dans le cas d'une barrière de potentiel atomique de hauteur Kg — 2,00eK et de largeur a = 0,1 nm pour les particules suivantes : - Un électron d'énergie E —— 1, 00 eV et de masse m, =9,1l 10" l Kg . - Un proton d'énergie E —— 1, 00 eV de masse m p - 2000 ,. Commenter. 15- Une barrière est dite épaisse si a >> # — 9 a- Montrer que dans ce cas on a : T = N oe*2’° avec r — o 16 2 b- Tracer l'allure de f,(ñ) et discuter les cas limites £ = 0 et € = " - Calculer la valeur moyenne de T$ définie par : c- En supposant que pour E Y 0 et ñ z Ko , In Tt = In(rt) , montrer que lu T —2qa . IY- Radioactivité ce L'exemple le plus célèbre de l'effet tunnel est celui de l'émission des particules ce He) de masse mg = 6, 64x l0*2’kg par des noyaux lourds radioactifs dont 1’interprétation a été proposée par le physicien russe Georg es Gamow. Ces particules sont émises avec une énergie 4 ñ € 9MeV . A l’ intérieur du noyau de rayon ro la particule a est soumise à l’interaction nucléaire forte de courte portée modélisée par un puits de potentiel de profondeur K, > 0 (figure 5). Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Epreuve de Pbysique Page 6/8 Une fois que la particule a quitté le noyau pr > r0 ) , son énergie potentielle se réduit uniquement à son énergie potentielle coulombienne : K(r) — OÎI K -- 2(Z -2) e2 . Z est le numéro atomique de l'atome radioactif. Dans la suite on se place dans le cas unidimensionnel suivant u . La particule a est représentée par la fonction d'onde 'P(r, ï) qui potentiel toulomblen vérifie l'équation de Schrödinger : E 0 h’ ô"P(r,i) ö'P(r,t) 2m ôr2 16-1" cas : La particule est piégée dans le puits de E 0 potentiel et possède une énergie E < 0 . On se propose de déterminer les niveaux d’énergie et p@Jnae} @y c pe les états liés de cette particule. F i g$l pe On suppose que ce puits est tel que : -V SÎ 0 < r < r V(r) -ailleurs a- Sachant que la fonction d'onde de la particule hors du puits est nulle, montrer que la solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour 0 < r < r est : ‹¡p(r) —— Dsin(b-) , où Dest une constante à exprimer. Exprimer k en fonction de E et No . b- Montrer que k, = où ri est un entier positif. En déduire l'expression de l'énergie ñ, correspondante. Commenter. 17- 2“’ cas : La particule ce possède maintenant une énergie E > 0, a- Justifier qu'elle a la possibilité de franchir la barrière de potentiel située entre A et B (Figure 5). b- Pour l’uranium z29 U de rayon rt = 3,50x10*5' m, l'énergie ñ des particules émises est de 4, 00MeV. Calculer en MeV la hauteur c- Déterminer le rayon r, correspondant au point B. de la barrière. 18- Etant donné que la barrière de potentiel n'a pas la forme simple que celle étudiée dans la section III, on peut, pour rt <r <r„ approcher la fonction K(r) par une succession de barrières rectangulaires de hauteur V pr) et de largeur dr suffisamment épaisses pour que l'approximation de la question 15-c soit valable (figure 6). Figure 6 Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Epreuve de Physique Page 78 a- Montrer que : lu pT(r + dr)) —- ln(F(r))—2qdr. 2' b- En déduire la relation suivante : ln T —— c- On admet que : r r 2m, — E di’ , en déduire que : ln F —— a — b (Loi de Gamow). Exprimer ri et b en fonction des données du problème. 19- Typiquement, pour le noyau d'uranium 9 2s , on trouve T —- 2 x 10*”. Par ailleurs, la particule ce effectue des allers-retours (oscillations) dans le puits de potentiel nucléaire de largeur rp à une vitesse moyenne v . a- En négligeant l'énergie potentielle de la particule devant son énergie cinétique, montrer que : v = — . Calculer sa valeur. m b- Montrer que la durée moyenne entre deux rebonds successifs de la particule sur la 2 qm barrière s'écrit : Iq = rt c20- . En déduire le nombre ri de rebonds par unité de E temps. Calculer sa valeur numérique. Montrer que la probabilité par unité de temps d'émission d'une particule ce est : /Î = o T avec ,f est la constante radioactive de l'élément radioactif. Soit N(t) le nombre de noyaux radioactifs à 1’instant I, et Nb ce nombre à t —- 0. —QN(t) . deb- Calculer la valeur de Q pour l'uranium a- Justifier que : U . Comparer cette valeur à celle mesurée Qp, = 5x 10°"s . Commenter. c- Le temps de demi-vig fl 2 (Ou période radioactive) de 1’élément radioactif est défini par : N(t ) . Exprimer f, 2 en fonction de /Î . 2 d- En déduire en utilisant la loi de Gamow que : In Jq = ln(ln 2) — a+ b E Commenter ce résultat. Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Epreuve de Physique Page 8/8
