M.E.N.A. D.R.E.N.A. : ABIDJAN 2 Ecole Libanaise en Côte D’Ivoire Année scolaire 2021-2022 Niveau : Tle D Durée : 4 h Epreuve de mathématique EXERCICE 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Ecris sur ta feuille de copie le numéro de l’énoncé suivi de la lettre de la bonne réponse. N° Enoncé Réponse A B C 1 Le module du nombre complexe 𝑍 = − √8 + i √2 est 2 2 5√2 √5 5 √ 2 2 2 2 3 4 Un argument du nombre complexe 𝑍 = −1 + 𝑖√3 est On donne le tableau de la loi de probabilité d’une variable aléatoire 𝑋 𝑥𝑖 -2 -1 0 5 P(x= 0,2 𝑎 0,1 𝑏 𝑥𝑖 ) E(X)=0,7 La loi de probabilité de X est une loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝 alors l’Esperance mathématique est : −2𝜋 3 7𝜋 3 𝜋 6 𝑎 = 0,2 𝑏 = 0,7 𝑎 = 0,3 𝑏 = 0,4 𝑎 = 0,4 𝑏 = 0,3 𝑛(1 − 𝑝) 𝑛𝑝 𝑛𝑝(1 − 𝑝) EXERCICE 2 Réponds par vrai ou par faux à chacune des affirmations suivantes. Exemple : 1-faux ou 1-vrai 1- ln(√3 − 1) + ln(√3 + 1) = −𝑙𝑛 1 2 2- L’ensemble de définition de la fonction 𝑓: 𝑥 ↦ ln(−𝑥)est ]−∞; 0[ 1 3- La solution de l’équation ln(2𝑥 + 4) = ln(5 − 𝑥) est 𝑆 = {− 2} 4- Une primitive sur ]0; +∞[ de 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 𝑥 1 est 𝐹(𝑥) = 2 (𝑙𝑛𝑥)2 EXERCICE 3 Dans une ville, ceux qui ont un âge supérieur ou égal à 40 ans constituent 40% de la population. 50% de ces personnes ont le BAC et seulement 0,5% des individus de moins 40 ans ont le BAC. On prend un individu au hasard et on donne les évènements suivants : S : << l’individu a un âge supérieur ou égal à 40 ans >>. B : << l’individu a le BAC >>. 1- Calcule la probabilité que l’individu a moins de 40 ans et a le BAC. 2- Dresse un arbre de probabilité qui présente la situation. 3- Justifie que : 𝑃(𝐵) = 0,203 4- Tu prends au hasard 𝑛 personnes dans la ville et on note 𝑃𝑛 la probabilité d’avoir au moins une personne qui a le BAC ( 𝑛 ∈ ℕ∗ ∖ {1} ). a) Justifie que 𝑃𝑛 = 1 − (0,79)𝑛 . b) Détermine le nombre minimum de personnes à prendre pour que la probabilité d’avoir au moins une personne qui a le BAC dépasse 99,99%. EXERCICE 4 On donne deux nombres complexes : 𝑢 = 1 − 𝑖 𝑒𝑡 On pose 𝑍 = 𝑢3 . 𝑣 1a) Ecris 𝑢 sous forme trigonométrique. b) Ecris 𝑣 sous forme trigonométrique. 2a) Ecris 𝑍 sous forme algébrique. 𝜋 b) Justifie que 𝐴𝑟𝑔(𝑍) = 12. 𝜋 𝑣 = −√3 + 𝑖 𝜋 3- Déduis la valeur exacte de cos 12 et sin 12 EXERCICE 5 Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂; 𝐼; 𝐽) d’unité graphique 1 cm. On considère la fonction numérique 𝑓 définie par : 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑙𝑛|𝑥 − 3|. La fonction 𝑓 est est dérivable à tout point de ℝ\{3}. On note (𝐶𝑓) la courbe représentative de 𝑓 dans le plan de repère (𝑂; 𝐼; 𝐽). 1- 𝑓(𝑥) 𝑥→+∞ 𝑥 a) justifie que : lim 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑒𝑡 lim 𝑥→+∞ = +∞. c) Interprète graphiquement les résultats obtenus. 2a) Calcule la limite de 𝑓 en −∞ . b) Justifie que (𝐶𝑓) admet une asymptote verticale au point d’abscisse 3. 3- Soit 𝑔 la fonction numérique définie sur ℝ\{3} par : 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛|𝑥 − 3| + 𝑥−1 𝑥−3 On admet qu’il existe un nombre réel 𝛼 élément de [1,54; 1,55] tel que 𝑔(𝛼) = 0 et que ∀𝑥 ∈ ]−∞; 𝛼[ ∪ ]3; +∞[, 𝑔(𝑥) > 0 { ∀𝑥 ∈ ]𝛼; 3[, 𝑔(𝑥) < 0 a) Vérifie que : 𝑓(𝛼) = − (𝛼−1)2 . 𝛼−3 b) Justifie que : ∀𝑥 ∈ ℝ\{3} , 𝑓′(𝑥) = 𝑔(𝑥). c) Etudie le sens de variation de 𝑓. d) Dresse le tableau de variation de 𝑓 . 4- Construis (𝐶𝑓) , prends : 𝛼 = 1,55 𝑒𝑡 𝑓(𝛼) = 0,21. (on admettra que (𝐶𝑓) admet une branche parabolique de direction (0J) en −∞). EXERCICE 6 Une entreprise produit sur commande un article. La production journalière, bien évidement totalement vendue, peut variée de 10 à 100 articles. Le bénéfice réalisé par cette entreprise (en centaine de milliers de franc) est modélisé sur l’intervalle [1; 10] par la 𝑥 fonction 𝐵 définie par 𝐵(𝑥) = 2 ln(𝑥) − . Où 𝑥 est la quantité d’articles produits(en dizaine). 2 Le patron de cette entreprise te demande le nombre d’articles à produire pour avoir un bénéfice maximal et aussi le nombre article à produire par jour pour ne pas travailler à perte. Dans une démarche pertinente, donne une réponse cohérente aux préoccupations du patron.