Ploycopié de Mécanique Quantique II

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1- Introduction :
Le moment cinétique joue un rôle important en mécanique classique, c’est une
constante du mouvement pour les problèmes invariants par rotation. Bien
évidement Le moment cinétique joue également un rôle fondamental en
mécanique quantique et possède des applications nombreuses dans tous les
domaines de la physique : physique atomique et moléculaire, physique nucléaire
et sub-nucleaire, physique de l’état condensé, etc. En outre c’est le moment
cinétique (orbital ou de spin) qui permet de comprendre la nature du magnétisme
des corps solides, ce que la physique classique est à nouveau est dans
l’incapacité de décrire.
2- Le moment cinétique angulaire :
Le moment cinétique  (ou moment de la quantité de mouvement) d’une
particule de masse  et d’impulsion  située à une distance  de l’origine
 d’un référentiel d’inertie est donné par :
Figure 1 : Illustration géométrique du vecteur moment cinétique
Les trois composantes ,  et  du vecteur  sont données par :
Les trois opérateurs ,  et  s’obtiennent en associant aux variables de
positions  et aux variables d’impulsion  ,  et  par les opérateurs
correspondants.

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Sachant que l’opérateur impulsion 
 ces trois
relations peuvent être écrite sous la forme vectorielle réduite :
Le fait que, et  sont hemitiques et commutent entre eux de même que pour 
et  est donc hermitique, de même manière on arrive à démontrer que  et
sont hermiriques.
On introduit également le carré de l’opérateur moment cinétique  par :
+ +.
 est hermitique car ,  et  le sont.
3- Les relations de commutation :
Dans ce paragraphe nous allons savoir si les opérateurs ,  et  commutent
entre veux deux à deux (c.à.d. si on peut les mesurer simultanément) évaluons
par exemple le commutateur . Pour cela on utilise les règles de
commutations suivantes :
 Où 
Avec 
 et 

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+
Les deux derniers termes sont nuls, on obtient après développement des deux
derniers termes.
+
=
Par permutation cyclique on obtient les relations de commutation des autres
paires d’opérateurs.
 et 
Donc : …………………………. (3)
Ces trois relations de commutations peuvent être écrites sous une forme
vectorielle plus réduite :
………………………………….. (4)
Cela veut dire qu’on ne peut pas connaitre (mesurer) deux composantes du
vecteur opérateur moment cinétique simultanément. D’où la nécessité
d’introduire une nouvelle propriété du moment cinétique, cette nouvelle
propriété est le carré du moment cinétique .
Pour savoir si on peut mesurer simultanément une composante du moment
cinétique  par exemple et  simultanément on calcule le commutateur

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De la même façon on obtient les autres relations de commutations.
………….(5)
Donc une composante cartésienne de peut être mesuré simultanément avec .
4- Moment cinétique généralisé :
Les règles de commutation des opérateurs , ,  et  ont des
conséquences en mécanique quantique, elles conduisent à la quantification des
valeurs qui peut prendre le moment cinétique orbital, cette quantification
n’existe pas en mcanique classique. Pour ne pas se limiter au moment cinétique
orbital nous allons traiter le cas général de moment cinétique  de composantes
,  et  qui obéissent par analogie aux même règles de commutation que .
 () et  avec 
+ +.
Il existe donc des vecteurs propres commun à  et l’une des trois composantes
,  ou  l’habitude et de choisir le couple .
5- Valeurs propres et vecteurs propres de l’ECOC.
Les états propres communs à ces deux operateurs sont notés . Par
définition, les nombres quantiques réels sans dimension  et m repèrent les
valeurs propres des opérateurs et , qui s’´ecrivent respectivement  et
m. Autrement dit, on pose :
……………………(6)
Et ………………….…(7)
Du fait que  sont normalisés, on peut écrire.
et 
Sachant que ++, on peut écrire :
Et puisque  et  sont hermitiques,  et  sont réels positifs.
Donc

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D’où 
Pour résoudre le problème des valeurs propres de et  introduisons les
opérateurs d’échelle  et - par les relations :
On remarque que  et ne sont pas hermitique, en effet :
Donc  et  sont hermitiques conjugués l’un de l’autre.
Mais leur produit et hermitique en effet :
Les  et  satisfont les relations suivantes :
……………….………..(8)
Et 
0
……………………….………(9)