filtrage-analogique

1
Filtrage analogique
Filtrage Analogique
A. Oumnad
2
Filtrage analogique
Sommaire
I Le Filtrage ..............................................................................................................................................................3
I.1 Les deux représentations du signal.........................................................................................................3
I.2 Cas des signaux sinusoïdaux......................................................................................................................3
I.3 Cas des signaux périodique........................................................................................................................4
I.4 LES FILTRES ...............................................................................................................................................6
I.5 filtre passe bas ............................................................................................................................................6
I.6 Autres filtres...............................................................................................................................................7
I.7 Les Filtres passe-bas du premier ordre.................................................................................................8
I.7.1 Les courbes de Bode ..............................................................................................................................8
I.7.2 Réalisation par un filtre passif ..........................................................................................................10
I.7.3 Réalisation par un filtre actif ............................................................................................................ 11
I.8 Les Filtre passe-haut du premier ordre...............................................................................................13
I.8.1 Réalisation par un filtre passif ..........................................................................................................14
I.8.2 Réalisation par filtre actif .................................................................................................................14
I.9 Les Filtres passe-bas du second ordre.................................................................................................16
I.9.1 Réalisation à l'aide d'un filtre passif...............................................................................................18
I.9.2 Réalisation avec un filtre actif..........................................................................................................19
I.10 Les Filtres passe-haut du second ordre.............................................................................................. 20
I.10.1 Réalisation par filtre actif............................................................................................................ 22
I.11 Les filtres passes-bande du second ordre ......................................................................................... 23
I.11.1 Réalisation par filtre actif............................................................................................................ 24
I.11.2 Passe bande à large bande passante ........................................................................................... 26
I.12 Transformation de fréquence ............................................................................................................... 27
II Les filtres de Chebyshev............................................................................................................................. 29
III Les filtres de Butterworth ......................................................................................................................... 36
3
Filtrage analogique
I
LE FILTRAGE
Un filtre est un dispositif électronique (amplificateur ou atténuateur) dont le gain dépend de la
fréquence. De ce fait il va laisser passer certaines composantes spectrales et en arrêter d'autres.
I.1
Les deux représentations du signal
Jusqu'ici, nous n'avons considéré que la
m(t)
représentation temporelle des signaux, qui
consiste à représenter la variation de
l'amplitude d'un signal en fonction du temps.
t
La figure (Fig. I.1) illustre un exemple de
représentation temporelle.
Fig. I.1 : Représentation temporelle du signal triangulaire
Il existe une autre représentation non
moins importante, c'est la représentation
fréquentielle ou représentation harmonique ou
tout simplement spectre du signal. Elle consiste à
représenter la variation de l'amplitude du signal en
fonction de la fréquence. La figure (Fig. I.2)
montre un exemple de représentation harmonique.
Pour les signaux sonores comme la voix humaine
frequency (Hz)
ou la musique, le sons graves où les "basses" ont
une représentation harmonique où les basses
Fig. I.2 : Spectre d'un signal vocal
fréquences sont prépondérantes (Fig. I.3). Alors
que les sons aigus ont une représentation fréquentielle où les hautes fréquences sont prépondérantes
(Fig. I.3).
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1500
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
1800
1600
1400
1000
1200
1000
800
500
600
400
200
0
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000 Hz
0
Fig. I.3 : spectre d'un son grave
I.2
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Fig. I.4 : spectre d'un son aigu
Cas des signaux sinusoïdaux
Un signal sinusoïdal m(t) = A sin(2πfot) est un signal particulier car son spectre se réduit à une seule
raie spectrale (Fig. I.5).
1
1
0.8
0.5
0.6
0
0.4
-0.5
0.2
-1
0
2
4
6
8
Fig. I.5 : signal sinusoïdal, f = 500 Hz
10 ms
00
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
4000 Hz
Fig. I.6 : spectre du signal sinusoïdal
Les figures Fig. I.7 et Fig. I.7 montrent les représentations temporelles et fréquentielle d'un signal
4
Filtrage analogique
constitué de la somme de deux signaux sinusoïdaux de fréquences f1 = 500 Hz et f2 =750 Hz
2
1
1
0.8
0.6
0
0.4
-1
0.2
-2
0
2
4
Fig. I.7 :
I.3
6
8
10
0
12 ms
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
m ( t ) = sin( 2 π f 1 t ) + sin( 2 π f 2 t )
Fig. I.8 : Spectre de m(t),
Cas des signaux périodique
On peut vérifier que n'importe quel signal périodique mp(t) de fréquence f o =
1
est constitué d'une
T
superposition de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples de fo et dont les amplitudes respectives
sont définies par les relations ci-dessous.
mP ( t ) =
Ao ∞
+ ∑ ( An cos( 2πnf ot ) + Bn sin( 2πnf ot ))
2 n =1
(6.1)
T
2 2
An = ∫ m p ( t ) cos( 2πnf ot ) dt
T −T
(6.2)
2
Bn =
T
2
2
m p ( t ) sin( 2 πnf ot ) dt
T −∫T
(6.3)
2
Les différents signaux sinusoïdaux sont appelé les harmoniques de mp(t) car leurs fréquences
respectives sont des multiple de la fréquence fo qu'on appelle la fréquence fondamentale. Le premier
harmonique a une fréquence égale à fo, le 2ème a une fréquence de 2fo, le 3ème a une fréquence de 3fo ...
Pour les signaux paires, c.a.d les signaux symétriques par rapport à l'axe des y, vérifiant m(t) = m(-t),
tous les termes Bn sont nuls, le signal est une somme de cosinus.
Pour les signaux impaires, c.a.d les signaux symétriques par rapport au point (0,0) constitué par
l'intersection des axe x et y, vérifiant m(t) = -m(-t), tous les termes An sont nuls, le signal est une
somme de sinus.
D'autres propriété de symétrie font que certains signaux n'ont que les harmonique d'ordre paire n =
2, 4, 6, .... ou encore que des harmonique d'ordre impair n = 1, 3, 5, ...
Le terme
Ao
représente la composante continue du signal. Ce n'est rien d'autre que la valeur
2
moyenne mo du signal, en effet, si on remplace n par 0 dans l'expression (6.2), le cosinus disparaît car
cos(0) = 1 , on obtient :
T
Ao 1 2
=
m p ( t ) dt
2 T −∫T
2
Cette expression n'est rien d'autre que la définition de la valeur moyenne d'un signal périodique. La
composante continue apparaît sur le spectre comme une raie spectrale à la position f = 0.
5
Filtrage analogique
La représentation d'un signal périodique par une somme de signaux sinusoïdaux est connue sous le nom
de décomposition en série de Fourier. Voici des exemples de développement en série de Fourier de
quelques signaux périodiques.
m(t)
A
t
m( t ) =
4A ⎡
1
1
1
⎤
sin(2πfot ) + sin(2π3 fot ) + sin(2π5 fot ) + ...+ sin(2πnfot ) + ...⎥ , n impair
⎢
3
5
n
π ⎣
⎦
t
m( t ) =
⎤
( −1)n
4A ⎡
1
1
cos(
2
f
t
)
cos(
2
3
f
t
)
cos(
2
5
f
t
)
...
π
−
π
+
π
+
+
cos(2π( 2n + 1 ) f o t ) + ...⎥
⎢
o
o
o
3
5
π ⎣
2n + 1
⎦
t
m( t ) =
8A ⎡
1
1
1
⎤
cos(2πf ot ) + cos(2π3 f ot ) + cos(2π5 f ot ) + ...+ 2 cos(2πnfot ) + ...⎥, n impair
2 ⎢
9
25
n
π ⎣
⎦
t
m( t ) =
⎤
2A ⎡
1
1
( −1 )n+1
π
−
π
+
π
+
+
sin(
2
f
t
)
sin(
2
2
f
t
)
sin(
2
3
f
t
)
...
sin(2πnfot ) + ...⎥
o
o
o
⎢
π ⎣
3
n
2
⎦
m(t)
A
m(t)
m(t)
m(t)
+1
⎤
2A ⎡
2
2
( −1 )2 × 2
m( t ) = ⎢1 + cos(2πfot ) + cos(2π2 fot ) − cos(2π4 fot ) + ...+
cos(2πnfot ) + ...⎥
2
3
15
π ⎣⎢
n −1
⎦⎥
n
t
n pair
Fig. I.9
Le tableau ci-dessous contient les amplitudes et les fréquences des harmoniques du premier signal
m1(t) de la liste ci-dessus avec fo = 125 Hz. Son spectre est représenté sur la figure (Fig. I.10)
Harmonique
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
fréquence
125
375
625
875
1125
1375
1625
1875
2125
2375
2625
2875
3125
3375
amplitude
1.2732
0.4244
0.2546
0.1819
0.1415
0.1157
0.0979
0.0849
0.0749
0.0670
0.0606
0.0554
0.0509
0.0472
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000 Hz
Fig. I.10 : Spectre du signal m1(t)
Les figures ci-dessous montrent la reconstitution du signal carré à l'aide de 2, 3, 15 et 30 harmoniques.
6
Filtrage analogique
1.5
1.5
1er
1er
1
1
0.5
0.5
0
0
5ème
3ème
3ème
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8ms
0
1
Fig. I.11 : reconstitution avec 2 harmoniques
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8ms
Fig. I.12 : reconstitution avec 3 harmoniques
1.5
-1.5
0
2
8 ms
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8 ms
Fig. I.13 : reconstitution avec 15 harmoniques Fig. I.14 : reconstitution avec 30 harmoniques
I.4
LES FILTRES
Un filtre est un dispositif qui laisse passer certaines composantes sinusoïdales et en arrêtent
d'autres. La première fois que nous avons parlé de filtrage était dans le paragraphe II.5.3 : "Filtrage
par condensateur en tête", l'idée était alors d'éliminer toutes les composantes sinusoïdale pour ne
laisser que la composante continue.
I.5
filtre passe bas
Un filtre passe bas laisse passer les basses fréquences et
arrête les fréquences élevées. La figure (Fig. I.15) montre la
réponse d'un filtre passe bas idéal, c'est la courbe qui
représente le gain en tension H
Filtre
passe-bas
Ve
=
Vs
en fonction de la
Ve
Vs
H
1
fréquence. fc s'appèlle la fréquence de coupure. La bande
f
fc
passante est l'intervalle de fréquence [0,fc]. La bande coupée
est constituée de toutes les fréquences supérieures à fc.
Fig. I.15 : Filtre passe-bas idéal
Toute onde sinusoïdale à l'entrée du filtre et dont la
fréquence se situe dans la bande passante apparaîtra à la sortie du filtre. Mais toute onde sinusoïdale
dont la fréquence est supérieure à fc est complètement atténuée par le filtre.
Ve (f)
Vs (f)
Filtre
passe-bas
fc
f
fc
Fig. I.16 : Spectres des signaux d'entrée et de sorties d'un filtre passe-bas
f
7
Filtrage analogique
Dans la pratique, on sait pas réaliser un filtre dont la réponse
en fréquence est celle de la figure (Fig. I.15). Les filtres réels
ont une réponse semblable à celle représentée sur la figure (Fig.
I.17). Par définition la fréquence de coupure est la fréquence
pour la quelle le gain est égal à
H
1
1
.
2
f
fc
Le plus souvent, on préfère représenter la réponse du filtre
par le gain en dB H dB = 20 Log 10 H avec une échelle
Fig. I.17 : Filtre passe-bas réel
logarithmique pour l'axe des fréquences. La fréquence de coupure correspond alors à une chute du gain
de 3 dB (Fig. I.18).
0
-3
-5
-10
-15
-20
101
102
104
103
fc
Fig. I.18 : réponse en décibels d'un filtre passe bas
I.6
Autres filtres
H
H
H
1
1
1
fc
(a)
f
fc2
fc1
f
(b)
fc2
fc1
f
(c)
Fig. I.19 : réponses de filtres idéaux
La figure (Fig. I.19a) représente la réponse idéale d'un filtre passe-haut, sa bande passante est
constituée des fréquences supérieures à fc.
Sur la figure (Fig. I.19b), on trouve la représente la réponse idéale d'un filtre passe-bande, sa
bande passante est constituée des fréquences comprises entre fc1 et fc2 .
Enfin, la réponse idéale de la figure (Fig. I.19c) est celle d'un filtre coupe-bande, ou réjecteur de
bande, qui a la propriété d'arrêter toutes les fréquences comprises entre fc1 et fc2 .
8
Filtrage analogique
I.7
Les Filtres passe-bas du premier ordre
Ce sont les filtre dont la fonction de transfert est de la forme :
h ( p )=
ho
1 + ωpo
soit h ( ω ) =
ho
1 + j ωωo
Avec ho une constante et ωο la pulsation de coupure. La fonction de transfert dépend de la fréquence
( ω = 2πf ), les différents harmoniques à l'entrée ne seront pas traités de la même façon d'ou la
fonction de filtrage. On remarque aussi que le gain est complexe, il a donc un module et une phase,
Le module de la fonction de transfert est :
H
H (ω ) =
o
1 + (ωω o )
2
Pour la phase, il faut faire attention avec l'utilisation de la fonction arctg. En
tg
effet, la fonction arctg implantée sur les calculatrices est une fonction deux
quadrants ( -π/2 < arctg(x) < π/2). Si on n'y prend pas garde, l'utilisation de cette
fonction peut mener à des erreurs importantes. Prenons l'exemple du nombre
complexe z = -1 + j, nous savons que l'argument de ce nombre est 135°. Si on essaie
de le calculer à l'aide de la fonction arctg on obtient arctg(1/-1) = arctg(-1)=-45°.
Pour lever cette indétermination, il faut utiliser la fonction arctg sur les quatre quadrants du cercle
trigonométrique en procédant comme suit, pour calculer l'argument d'une expression z = a + jb :
• a > 0 ⇒ φ = atan(b/a)
• a < 0 ⇒ φ = atan(b/a) + 180°
Suite à cette remarque, la phase de la fonction de transfert est :
φ ( ω ) = s π − Arctg
(
ω
)
ωo
⎧ ho > 0 ⇒ s = 0
⎨
⎩ ho < 0 ⇒ s = 1
Le module nous informe comment chaque harmonique sera atténué et la phase nous informe de
combien cet harmonique sera déphasé. Ainsi si on applique à l'entrée du filtre un signal sinusoïdal
d'amplitude A et de fréquence fm :
Ve ( t ) = A cos( 2πf mt ) = A cos( ω mt )
Alors le signal de sortie sera :
I.7.1
Vs ( t ) = (H ( ω m ) A) cos(2πf mt + φ ( ω m ))
Les courbes de Bode
Les courbes de bode d’un filtre sont tout simplement les courbes illustrant la variation en fonction
de la fréquence du module et de la phase de la fonction de transfert.
Pour le gain H, on préfère tracer le gain en décibel HdB = 20 log(H) avec une échelle logarithmique
sur l'axe des fréquences. Le tracé de cette courbe est rendu très simple par le comportement
asymptotique de HdB quant f → 0 et quant f → ∞ et aussi par la connaissance de HdB au point f = fc
Si on prend Ho = 1 pour faciliter l’écriture :
HdB =20log(
)=−20log 1+ω 2 =−10log(1+u2 )
2
1
1+ω 2
2
ωc
ωc
avec u= ω =
f
ωo fo
9
Filtrage analogique
• f→0
⇒
u→0 ⇒
HdB → 0
• f→∞
⇒
u→∞ ⇒
1+u2 → u2
HdB → -10log(u2)
⇒
Ce qui correspond (sur échelle logarithmique) à une droite (asymptote) de pente -6dB / octave,
c'est à dire le gain HdB chute de 6 dB chaque fois que la fréquence double. En effet :
H dB ( 2u ) − H dB ( u ) = −10 log( 2u )2 + 10 log u 2 = 10 log
Cette asymptote coupe l'axe des x au point f = fc , en effet :
− 10 log u 2 = 0 ⇒
HdB
u =1
fc
u2
= −6 dB
4u 2
f = fc
2f c
4f c
0
f
-3
-6
-12
Fig. I.20 : courbe de réponse HdB d'un filtre passe bas de premier ordre.
Si Ho est différent de 1, on obtient
HdB =20log(Ho )−10log(1+u2 )
HdB → 20log(Ho) = HdBo
f→0 ⇒
u→0 ⇒
Il suffit de décaler la courbe précédente verticalement.
(Fig. I.21)
1
H dbo0.1
0
6dB/octave
Pour la phase, on obtient :
Fig. I.21
•
ho > 0 => φ ( ω ) = − Arctg ( ωω )
o
- ω Æ 0 φ = -arctg(0) = 0
- ω = ωo φ = - arctg(1) = -45°
- ω Æ ∞ φ = - arctg(∞) = -90°
•
10
ho > 0 => φ ( ω ) = π - Arctg ( ωω o )
Il faut ajouter 180° aux valeurs précédentes, on obtient la courbe ci-dessus
10
Filtrage analogique
ho>0
0
180
-15
165
-30
150
-45
135
-60
120
-75
105
u
90
-90
0.01
0.1
1
10
ho<0
100
Fig. I.22 : Courbe de phase φ(f) d’un filtre passe bas du premier ordre
I.7.2
Réalisation par un filtre passif
Les filtres passifs doivent leur nom au fait qu'ils n'utilisent
que des composants passifs comme des résistances des
capacités et des selfs.
Pour déterminer la fonction de transfert du filtre, il suffit
de se rappeler que l'impédance d'une capacité est 1 jCω et
d'appliquer la règle du diviseur de potentiel :
R
Ve
C
Vs
Fig. I.23 : Filtre passif passe bas
1 jCω
Ve
1 jCω + R
V
1
h( ω ) = s =
Ve 1 + jRCω
Vs =
d'où
Le module est : H ( ω ) =
1
1 + R 2 C 2 ω2
La phase est : φ( ω ) = − Arctg( RCω )
La pulsation de coupure est
ωo = 1
RC
, et la fréquence de coupure est fo=
1
2πRC
A.N. :
Filtre : R = 16 kΩ, C = 10 nF
Signal d’entrée : signal sinusoïdal d’amplitude A = 5V et de fréquence fm = 2 kHz,
• La fréquence de coupure est fo = fo=
•
•
•
•
1 =944.7 Hz ≈ 1 kHz
2πRC
Pour les courbes, il suffit d’adapter l’axe des x de courbes précédentes en plaçant fo = 1kHz.
Le module du gain à la fréquence fm est H( fm ) = 0.4252
L'argument du gain à la fréquence fm est φ( fm ) = -1,1317 rad = -64,84 °
Le signal de sortie aura donc une amplitude de 0.4252 × 5 = 2.126 , il est retardé par rapport au
signal d’entrée de 1.132 rad = 64.84 ° . Pour avoir le retard en temps, il suffit de se rappeler que
pour un signal sinusoïdal, on a φ = ωt. D’où retard = 1.132 / (2π 2000 Hz) s = 0.09 ms
Les deux signaux Ve et Vs sot représenté sur la figure (Fig. I.24)
11
Filtrage analogique
0.09 ms
64.84 °
1.132 rad
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
Ve
Vs
0
0
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
90
0.125
180
0.25
270
0.375
360
0.5
450
0.625
ω t (rad)
540 ω t (°)
0.75 t (ms)
3π
2.7 rad
0.215 ms
154.8 °
Fig. I.24 : Filtrage d'un signal sinusoïdal$
I.7.3
Réalisation par un filtre actif
Pour réaliser ce filtre, nous avons le choix entre deux structures
simples :
Première structure :
R
Ve
+
Vs
C
Fig. I.25 : passe bas
Ce filtre à exactement les mêmes caractéristiques que le filtre passif
du premier ordre. Elle a seulement l'avantage d'être suivi par un
amplificateur suiveur à très haute impédance d'entrée et très faible impédance de sortie. De cette
façon, ses caractéristiques ne sont pas altérées par les composants qui seront reliés à sa sortie.
Rappelons que les caractéristiques de ce filtre sont :
ωc =
1
RC
, fc =
•
Fréquence de coupure :
•
Fonction de transfert
•
Module de la fonction de transfert ( gain ) :
h( ω ) =
H( ω) =
•
1
2 πRC
Vs
1
1
1
=
=
=
Ve 1 + jRCω 1 + j ω 1 + j f
ωc
fc
1
1 +R C ω
2
2
2
=
1
2
ω
1+ 2
ωc
=
1
f2
1+ 2
fc
Argument de la fonction de transfert (phase) :
φ( ω ) = −Arctg ( RCω ) = −Arctg (
ω
f
) = −Arctg ( )
fc
ωc
12
Filtrage analogique
Deuxième structure :
C
Pour déterminer la fonction de transfert, on va noter Z2 = R2 // C
R2
Z2 =
1
jCω
R2 +
1
jCω
=
R2
1 + jR2 Cω
R1
Ve
R2
VS
Z2
R1
La fonction de transfert est :
= h( ω ) = −
=Ve
R1
1 + jR2 Cω
1
1
, fc =
• La fréquence de coupure est : ωc =
R2 C
2 πR2 C
•
Module de la fonction de transfert ( gain ) :
R2
H( ω) =
R2
R1
=
1 + R22 C 2 ω 2
R1
1+
=
ω2
ωc2
R2
R2
+
Vs
Fig. I.26 : passe bas
R1
1+
f2
fc 2
On remarque qu'à la différence de la structure précédente, pour f =0, nous avons un gain différent
de 1, Ho = R2/R1 . C'est ce qu'on appelle le gain statique, c'est approximativement le gain dans la bande
passante. Les signaux dont la fréquence est à l'intérieur de la bande passante peuvent non seulement
passer dans le filtre, mais ils peuvent en plus être amplifié, c'est la caractéristique des filtres actifs.
10
6
0
-10
-20
-30
0.01
u= f/fc
0.1
1
10
100
Fig. I.27 : gain en décibel avec gain statique Ho = 2 ≈ 6 DB
•
Argument de la fonction de transfert ( phase) :
φ( ω ) = π − Arctg ( R2 Cω ) = π − Arctg (
ω
f
) = π − Arctg ( )
ωc
fc
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
0.01
0.1
1
10
Fig. I.28 : Phase du passe bas de la structure 2
100
u= f/fc
13
Filtrage analogique
I.8
Les Filtre passe-haut du premier ordre
Ce sont les filtre dont la fonction de transfert est de la forme :
ho ωpo
h (p ) =
1 + ωpo
ho j ωωo
h(ω ) =
1+ j ωωo
soit
Le module de la fonction de transfert est :
H (ω ) =
H o (ωωo )
1 + (ωωo )
2
La phase de la fonction de transfert est :
φ( ω ) = s
⎧ ho > 0 ⇒ s = 1
⎨
⎩ho < 0 ⇒ s = − 1
π
ω
− Arctg (
)
2
ωo
Courbes de réponse :
2 ⎞
⎛
H dB = 20 log( H o )+ 20 log ω − 10 log ⎜ 1+ ω 2 ⎟ = 20 log( H o )+ 20 log u − 10 log( 1+ u 2 )
ωc
⎝ ωc ⎠
• f → 0 , HdB → 20log(Ho)+20 log(u), ce qui correspond à une asymptote +6 dB / octave coupant la
ligne horizontale 20log(Ho) x au point u=1 c.a.d f = fc
• f → ∞ , HdB → 20 log u -10 log u2 = 0
H dbo
1
0.1
10
0
1
0.1
10
-3
-5
0
-10
Ho ≠ 1
Ho=1
-15
6dB/octave
6dB/octave
Fig. I.29 : Courbe de gain d’un filtre passe haut du premier ordre
Pour la phase, la plage de variation dépend du signe de ho :
90
-90
75
-105
60
-120
45
-135
30
-150
15
-165
ho>0
ho<0
-180
0
0.01
0.1
1
10
100
Fig. I.30 : Courbe de phase d’un filtre passe haut du premier ordre
14
Filtrage analogique
I.8.1
Réalisation par un filtre passif
C
La fonction de transfert est :
h ( ω )=
La pulsation de coupure est
Le module est
La phase est
H ( ω )=
jRC ω
1+ jRC ω
ωo = 1
RC
R
Ve
, fo=
Vs
Fig. I.31 : Filtre passe-haut
1
2πRC
ω
f
ωo
fo
RC ω
=
=
2 2 2
2
2
ω
1+ R C ω
1+ (ω o )
1+ ( ffo )
φ (ω )=π − Arctg ( ω )
2
ωo
Si on applique un signal m(t) = A cos(2πfmt) avec A = 5 et fm = 2 kHz , alors le signal de sortie aura
une amplitude A×H(fm) = 5×0.905 = 4.525 et sera déphasé (en avance) de φ(fm ) = 0.439 rad.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
Ve
Vs
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
Fig. I.32 : Filtrage d'un signal sinusoïdal (A=5, fm = 2kHz) par un filtre passe haut (fc = 1 kHz)
I.8.2
Réalisation par filtre actif
Ici aussi on peut utiliser, soit un filtre passif suivi d'un amplificateur suiveur, soit la structure
représentée sur la figure (Fig. I.33).
C2
Pour déterminer la fonction de transfert, on va noter Z2 = R // C2
Z2 =
R jC12ω
R
=
R+ jC12ω 1+ jRC2ω
La fonction de transfert est : h(ω) =
C1
Ve
VS
Z
=− 2
Ve
Z1
h(ω) = -
•
•
La fréquence de coupure est :
ωc = 1
RC2
R
+
Vs
Fig. I.33 : passe haut actif
jRC1ω
1+ jRC2ω
,
fc =
1
2πRC2
Le module de la fonction de transfert ( gain ) est :
15
Filtrage analogique
RC 1ω
C1
H ( ω )=
=
1 + R 2 C 22ω 2 C 2
Pour les fréquences élevées, le gain tend vers
f
ω
ωc
fc
C1
=
2
C2
ω
f2
1+ 2
1
+
ωc
f c2
Ho =
C1
C2
. Pour les basses fréquences, (bande
coupée), le gain a une pente de +6 dB / octave
10
6
0
-10
-20
u= f/fc
-30
0.01
0.1
1
10
100
Fig. I.34 : gain en décibel du passe avec Ho = 2 ≈ 6 DB
•
Argument de la fonction de transfert ( phase) :
φ( ω ) = −
π
π
ω
π
f
− Arctg ( RC 2 ω ) = − − Arctg (
) = − − Arctg ( )
ωc
2
2
2
fc
-90
-100
-110
-120
-130
-140
-150
-160
-170
-180
0.01
0.1
1
10
Fig. I.35 : Phase du passe haut
100
u= f/fc
16
Filtrage analogique
I.9
Les Filtres passe-bas du second ordre
Les filtres passe-bas de second ordre ont une fonction de transfert de la forme :
•
•
•
ho
h(p) =
2
1 +2ζ ωpo +(ωpo )
ho
h(ω) =
1 + j2ζ ωωo −(ωωo )2
ω0 : Pulsation caractéristique dite aussi pulsation naturelle ou de brisure. Nous l'appellerons aussi
pulsation de coupure bien que cela ne soit pas très exact.
ζ : Coefficient d'amortissement = 1/2Q avec
Q : Coefficient de surtension
ωr : Pulsation de résonance = ω 0 1 − 2ζ
2
Module :
H =
•
•
H dB = 20 log
10
H0
(1− ( ) ) + 4 ζ ( )
2
ω 2
ω0
H 0 − 10 log
10
2
2 ω
ω0
[(1 − (
ω
ω0
) ) +4 ζ ( )
2 2
2
ω
ω0
2
]
ω → 0 , HdB → 0
ω → ∞ , HdB varie comme -40 log(ω/ω0) ⇒ Chute de 12 dB / Octave
H dB
fo
2f
o
20log(Ho)
f
12dB
Fig. I.36 : Asymptotes d'un filtre passe-bas du 2ème ordre
Phase :
φ = φ(N) - φ(D)
⎧⎪0
Φ(N) =⎨
⎪⎩π
si
ho >0
si
ho <0
⎧
2ζ ωω0
Arctg
⎪
1 −(ωω0 )2
⎪
Φ(D) =⎨
2ζ ωω0
⎪
+π
Arctg
⎪
1 −(ωω0 )2
⎩
si
ω < ω0
si
ω > ωo
Les figures ci-dessous donnent l'allure de H, HdB et de φ en fonction de f pour différentes valeur de
l'amortissement ζ
1.2
1.1
0.6
1
0.5
0.7
0.9
1
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
1
10
ème
Fig. I.37 : courbes du gain d'un filtre passe bas du 2
ordre (avec Ho = 1)
17
Filtrage analogique
20
0.05
MODULE
0.1
10
0.25
0
0.5
0.7
1
-10
2
1er Ordre
5
-20
-30
-40
fc
-50
Fig. I.38 : courbes du gain d'un filtre passe bas du 2ème ordre (avec Ho = 1)
0
180
PHASE
-15
165
-30
150
-45
135
-60
120
-75
105
-90
90
-105
75
-120
60
1
-135
45
0.6 0.7
-150
30
0.25 0.5
-165
-180
0.1
15
0.1
1
Fig. I.39 : courbes de phase d'un filtre passe bas du 2ème ordre
10
0
18
Filtrage analogique
I.9.1
Réalisation à l'aide d'un filtre passif
Les filtres passifs du second ordre peuvent être réalisés de plusieurs façons.
R,L
Ve
R,L
Vs Ve
C
C
(a)
R,L
Vs Ve
C
R,L
Vs
C
(b)
(c)
Fig. I.40 : Filtre passe bas du second ordre. (a) : structure en L, (b) : structure en π, (c) : structure en T
Pour la structure en L, la fonction de transfert est :
1
h( ω ) =
1
jCω
1
jCω
=
2
+ R + jLω 1 + jRCω − LCω
Si on identifie avec l'expression générale :
h ( p )=
ωo =
ho = 1,
1+ j2 ζ
1
,
LC
ho
ω
ω0
ζ =
− (ωω0 )
2
R C
2 L
Exercice :
• Si on prend L = 50 mH, calculer R et C pour avoir fo = 1000 Hz et ζ = 0.5
• Si on applique à l'entrée de ce filtre un signal Ve(t) = Ae sin(2π. fe t) , avec Ae = 5V et fe = 2000Hz
• Dessiner en fonction du temps sur le même graphique le signal d'entrée Ve(t) et le signal de sortie
Vs(t) = As sin 2π. fe t + φ(fe ) .
(
)
On trouve :
C = 506.6 nF, R = 314 Ω ,
H(fe ) = 1/√13 = 0.2774, ⇒ As = Ae * H(fe ) = 0.2774 × 5 = 1.38V
φ(fe ) = -2.55 rad = -146,3° = -0.2 ms
Le déphasage est négatif, le signal de sortie est en retard par rapport au signal d’entrée.
5
4
3
2
1
retard
0
−1
−2
−3
−4
−5
0
0
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
0.125
90
0.25
180
0.375
270
0.5
360
0.625
450
0.75
540
Fig. I.41 : Signaux d'entrée et de sortie du filtre
rad
ms
°
19
Filtrage analogique
I.9.2
Réalisation avec un filtre actif
Ces filtres peuvent être réalisés à l'aide de plusieurs
structures à ampli-op, nous avons retenu la structure
passe-bas de Salen-Key (Fig. I.42) dont la fonction de
transfert est :
F( p) =
k
1 + ( 3 − k ) RCp + R 2 C 2 p 2
C
R
R
Ve
K
Vs
C
k est le gain (positif) d'un amplificateur qu'on
réalisera à l'aide d'un amplificateur non inverseur, on
Fig. I.42 : Structure passe bas de Salen-Key
obtient le filtre représenté sur la figure (Fig. I.43).
Si on identifie la fonction de transfert h(p) du filtre avec la fonction de transfert F(p) de la
structure de Salen-Key on obtient :
ωo =
1
RC
,
3 − k = 2ζ
k = 3 − 2ζ = 1 +
⇒
En général, quand on veut réaliser un filtre, on
connaît la fréquence de coupure
C
ωo et le
coefficient d'amortissement ζ. ωo permet de
calculer la valeur de R après avoir fixé une valeur
pour la capacité C. La valeur de ζ permet de
calculer le gain k de l'amplificateur non inverseur,
donc de R2 et R1.
R2
R1
R2
R1
Ve
R
R
Vs
C
Fig. I.43 : filtre passe bas du second ordre
Exemple :
Etudier un filtre passe bas du second ordre qui a une fréquence de coupure de fc = 2000 Hz et un
facteur d'amortissement ζ = 0.5.
-------On fixe C = 50 nF
ωo = 2 π fc = 2 × π × 2000 = 1 / RC Î R = 1.59 k
k = 3 – 2ζ = 2 = 1 + R2 / R1 , on prend R2 = R1 = 10 k.
Fig. I.44 : filtre passe bas du second ordre simulé sur le logiciel Electronics WorkBench
20
Filtrage analogique
Fig. I.45 : courbes obtenues par simulation sur EWB
I.10
Les Filtres passe-haut du second ordre
Les filtres passe-haut de second ordre ont une fonction de transfert de la forme :
h (p ) =
ho
1+ 2 ζ
( )
p
ω0
−ho (ωω0 )2
h (ω ) =
1 +2 ζ ωω0 − (ωω0 )2
2
p
ω0
+
( )
2
p
ω0
Module :
H =
(1 − ( ) )
H dB = 20 log 10 (H 0 ) + 20 log 10
Phase :
φ = φ(N) - φ(D)
⎧⎪π
Φ(N) =⎨
⎪⎩0
H0 (ωω0 )2
si
ho >0
si
ho <0
2
ω 2
ω0
+ 4ζ 2
( )
ω 2
ω0
(( ) ) - 10 log [(1− ( ) ) + 4 ζ ( ) ]
ω 2
ω0
10
2
ω 2
ω0
⎧
2ζ ωω0
Arctg
⎪
1 −(ωω0 )2
⎪
Φ(D) =⎨
2ζ ωω0
⎪
Arctg
+π
⎪
1 −(ωω0 )2
⎩
Les figures ci-dessous donnent l'allure de H, HdB et de
de l'amortissement ζ
2 ω
2
ω0
si
ω < ω0
si
ω > ωo
φ en fonction de f pour différentes valeur
21
Filtrage analogique
1.2
0.5
1.1
0.6
1
0.9
0.7
0.8
0.7
1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
10
1
Fig. I.46 : Gain des filtres passe haut du second ordre
20
0.1
10
0.25
0.5
0
0.7
1
-10
1.4
2
-20
-30
-40
1
0.1
10
Fig. I.47 : Gain en dB des filtres passe haut du second ordre
0
180
0.1
0.25
-15
0.7
-30
PHASE
165
0.5
150
-45
1
1.4
135
-60
2
120
-75
105
ho<0
-90
90
-105
75
-120
60
-135
45
-150
30
-165
15
-180
0.1
1
Fig. I.48 : Phase des filtres passe haut du 2ème ordre
10
0
ho>0
22
Filtrage analogique
I.10.1
Réalisation par filtre actif
Le lecteur peut vérifier qu'en permutant la self et la
capa dans le montage de la figure (Fig. I.40a), on
n'obtient pas un vrai filtre passe haut du 2ème ordre. De
ce fait, nous ne verrons que des réalisations par filtre
actif. Ces filtres peuvent être réalisés à l'aide de
plusieurs structures à ampli-op différentes, nous avons
retenu la structure passe-haut de Salen-Key (Fig. I.49)
dont la fonction de transfert est :
F( p) =
R
C
C
Ve
K
Vs
R
Fig. I.49 : Structure passe haut de Salen-Key
kR 2 C 2 p 2
1 + ( 3 − k ) RCp + R 2 C 2 p 2
On obtient le filtre représenté sur la
figure (Fig. I.50). Les valeurs des composants
sont déterminées en identifiant h(p) avec F(p)
exactement de la même façon que pour le
filtre passe bas. On obtient :
ωo =
1
RC
3 − k = 2ζ
,
k =1 +
R
R2
R1
Ve
R2
R1
C
C
R
Fig. I.50 : Filtre passe haut du second ordre
Exemple :
Etudier un filtre passe haut du second ordre qui a
une fréquence de coupure de fc = 2000 Hz et un facteur
d'amortissement ζ = 0.5.
-------Les mêmes calculs que le passe basse-bas donnent : C
= 50 nF, R = 1.59 k, R2 = R1 = 10 k.
Fig. I.51 : filtre simulé sur le logiciel EWB
Fig. I.52 : résultats de la simulation sur EWB
Vs
23
Filtrage analogique
I.11
Les filtres passes-bande du second ordre
Ce sont les filtres ayant une fonction de transfert de la forme :
h (p ) =
•
•
•
1+
ho
( )
+( )
Δω p
ω0 ω0
p
ω0
p
ω0
Δf = f2 – f1 = Bande passante à 3 dB
Δω = 2 ζ
ωo
ω
Q= o
Δω
H (ω o ) =
h (ω ) =
2
1+j
jh o (ωω0
Δω ω
ω0 ω0
)
−( )
ω
ω0
2
( Δω = ω2 - ω1 = 2 π Δf)
Ho
2ζ
•
Gain maximum =
•
f1 , f2 et fo sont liées par les relations :
Module :
H =
fo
f2 − f1
H0 (ωω0 )
(1 − ( ) ) + ( ) ( )
2
ω 2
ω0
H dB = 20 log 10 (H 0 ) + 20 log 10
Δω 2 ω 2
ω0
ω0
( ) - 10 log [(1− ( ) ) + ( ) ( ) ]
ω
ω0
10
Phase :
⎧π
⎪2
Φ = Φ(N) - Φ(D) , Φ(N) =⎨
⎪−π
⎩ 2
Q=
fo = f1f2
si
ho >0
si
ho <0
2
ω 2
ω0
Δω 2 ω 2
ω0
ω0
⎧
2ζ ωω0
⎪ Arctg 1 −( ω )2
ω0
⎪
Φ(D) =⎨
2ζ ωω0
⎪
+π
Arctg
⎪
ω )2
(
−
1
ω
0
⎩
si
ω < ω0
si
ω > ωo
Les caractéristiques de transfert (paramétrées par ζ ) sont représentées ci-dessous.
1
0.5
0.9
0.6
0.8
0.7
0.7
0.6
0.5
1
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
1
Fig. I.53 : Gain des filtres passe-bande du second ordre
10
24
Filtrage analogique
20
0.1
10
0.25
0.5
0.7
1
0
-10
2
6dB/Octave
5
-20
-30
-6dB/Octave
3
1
0.1
10
Fig. I.54 : Gain en dB des filtres passe-bande du second ordre
Ho > 0
90
-90
45
-135
0
-180
Ho < 0
2
1
-45
-225
0.5
0.1
-90
0.1
1
10
-270
Fig. I.55 : Phase des filtres passe-bande du second ordre
I.11.1
Réalisation par filtre actif
Ces filtres peuvent être réalisés à l'aide de plusieurs structures à
ampli-op différentes, nous avons retenu la structure de Delyiannis
(Fig. I.56) dont la fonction de transfert est :
F(p)=
⎛
1 + ⎜2
⎝
kRC
−
p
k-1
1 ⎞
2 2 2
−
⎟RCp + R C p
k −1 ⎠
1
RC
R
R
avec
k =1+
R
R1
Les valeurs des composants sont déterminés en identifiant h(p)
avec F(p). On trouve :
ωo =
C
C
R1
R2
Fig. I.56 : structure de Delyiannis
25
Filtrage analogique
⎛
⎝
RC ⎜ 2 −
1
⎞ Δω
⎟=
k − 1 ⎠ ωo2
sachant que
k =1 +
R2
R1
Ho = −
Exemple :
Î
2−
k −1
on obtient
k
k −1
1
=
Δω Δf
=
fo
ωo
R2
1
=
R1 2 −
et
Δf
fo
Î
k =1 +
ou encore
H ( ωo ) =
1
2−
Δf
fo
Î
R1
Δf
=2 −
fo
R2
k
2k −3
Etudier un filtre passe bande du second ordre qui a une fréquence centrale de fo = 10000 Hz et
une largeur de bande à 3 dB Δf = 2000 Hz.
-------------------On fixe C = 1 nF Î R = 1 / 2π fc C = 15.9 K.
R1 / R2 = 2 – 2kHz/10kHz = 2 –0.2 = 1.8, on prend R1 = 18 k et R2 = 10 k.
On obtient le filtre de la figure ci-dessous. On peut vérifier sur l'agrandissement de la courbe du
gain (obtenue par simulation) autour de fc que
• le gain maximum correspond à la valeur théorique :
K = 1 + R2 / R1 = 1.555 Î H(fc) = 1.555 /( 2 × 1.555 –3 ) = 14 ⇒ HdB(fc) = 20 log(14) = 23 dB
• Que la largeur de bande à 3 dB est bien égale à 2 kHz
Fig. I.57 : filtre passe-bande du second ordre simulé sur le logiciel Electronics WorkBench
26
Filtrage analogique
Fig. I.58 : résultats de la simulation sur EWB
I.11.2
Passe bande à large bande passante
Pour réaliser un filtre passe-bande à large bande passante, il est recommandé d'utiliser un filtre
passe haut et un filtre passe-bas en cascade.
Exemple :
Réaliser un filtre passe bande tel que la fréquence de coupure basse est fob = 1 kHz et la fréquence
de coupure haute est foh = 10 kHz. On prendra un amortissement ζ = 0.6.
avec les structures de Salken-Key, si on prend C=50nF et R1=10 kΩ on trouve :
Passe haut, fo = 1kHz : R=3.18 kΩ , R2 = 8 kΩ
Passe bas, fo = 10kHz : R=318 Ω , R2 = 8 kΩ
27
Filtrage analogique
I.12 Transformation de fréquence
Les fonctions de transfert des filtres passe-haut, passe bande et réjécteur de bande peuvent être
déduites de la fonction de transfert du filtre passe bas à l'aide des transformations suivantes :
•
Passe bas passe haut :
Pour transformer une fonction passe bas en une fonction passe haut on remplace p/ωo par ωo/p
•
Passe bas - passe bande
Pour transformer une fonction passe bas en une fonction passe bande, on remplace p/ωo
par (p/ωo + ωo/p) ωo/Δω = (p/ωo + ωo/p) /2ζ
ωo devient la fréquence centrale
Δω
= ω2 - ω1 = bande passante à 3 db,
ωo/Δω
= 1/2ζ = Q
L'ordre du filtre est doublé
•
Passe bas - réjécteur de bande
Pour transformer une fonction passe bas en une fonction réjecteur de bande on remplace p/ωo
par (ωo/Δω) / (p/ωo + ωo/p) =
ωo
Δω
2ζ / (p/ωo + ωo/p)
devient la fréquence centrale
= ω2 - ω1 = bande
passante à 3 db, ωo/Δω
L'ordre du filtre est doublé
= 1/2ζ = Q
28
Filtrage analogique
PASSE BAS
h( ω ) =
ho
1 + ωpo
(
-15
6dB/octave
0.1
1
10
h( ω ) =
( ωω )2
0
180
-15
165
0
-10
1 +
⎧ ho > 0 ⇒ s = 0
⎨
⎩ ho < 0 ⇒ s = 1
ω
)
ωo
-5
-20
Ho
H(ω) =
φ ( ω ) = s π − Arctg
1er
Ordre
PASSE HAUT
-30
ho>0
-45
150
-60
120
-75
105
-90
90
135
0.01
0.1
1
10
100
φ( ω ) = s
ho
1 +
p
ωo
p
ωo
H (ω) =
π
− Arctg
2
0
ω
ωo
90
-90
-5
75
-105
60
ho>0
45
-120
-10
-15
30
-150
-20
-135
-165
15
6dB/octave
0.1
1
0
10
0.01
0.1
1
R1
+
C
1
1 + jRCω
1
1 +(
f
ho
1 + 2ζ
p
ω0
+
)
2
R2
R1
R1
1 +(
1 + jR2Cω
f
H0
( )
(1 − ( ) )
p 2
ω0
2
ω 2
ω0
2ζ
Φ = s π − Arctg
2er
Ordre
fo
-
R2
1 −
ω
ω0
( )
ω 2
ω0
fo
C1
R
)
f
fo
-
(f)
1 +
ho (ωp0 )
f
2
o
( )
1 + 2ζ
ω 2
ω0
⎧ho > 0 : s = 0
⎨
⎩ ho < 0 : s = 1
p
ω0
+
( )
(1 − ( ) )
p 2
ω0
Φ = s π − Arctg
2
ω 2
ω0
2ζ
1 −
( )
ω 2
ω0
0
180
10
180
-45
h>0
-90
135
h<0
90
0
140
-135
-30
-40
0.1
12dB/octave
0.1
R
C
1
LC
ζ =
C
0
R
2
2
C
L
o
=
1
RC
1+ (
+ 4ζ 2
)
2
fo
ho (ωp0
1
2
1 +2ζ
( )
ω 2
ω0
0
0.1
0.5
-45
H<0
Φ = s
-135
45
12dB/octave
0
C
0.1
1
kR 2 C 2 p 2
1 + ( 3 − k ) RCp + R 2 C
k
R
ω
=
1
RC
+
H 0 (ωω0
( )
(1 − ( ) )
p 2
ω0
ω
ω0
2 ζ
π
− Arctg
2
1 −
0.5
0.7
1
0
-10
6dB/Oct
ω
ω0
2
2
3 − k = 2 ζ
ω
ω0
Ho<0
-180
2
1
-45
10
C
R2
-225
0.5
0.1
1
0.1
-270
10
R2
1
ωo =
R1
RC
R1
Δf
=2 −
R2
fo
k =1 +
R
2
-90
0
C
p2
( )
Ho>0
1
R
2
-135
-90
-180
10
+ 4ζ
45
2
0.1
)
⎧ ho > 0 : s = 1
⎨
⎩ ho < 0 : s = − 1
( )
ω
ω0
2 2
90
0.25
R1
o
)
-90
-20
-40
p
ω0
10
-20
C
3 − k = 2 ζ
fo
f
90
k
k
1 + ( 3 − k ) RCp + R 2 C 2 p 2
ω
-10
R
C
1
1 + jRC ω − LC ω
ωo =
10
1
R
R,L
H>0
-30
-180
10
1
45
f
C2
⎧ ho > 0 : s = 1
⎨
⎩ho < 0 : s = 0
ω
ω0
0
-20
C1
H0 (ωω0 )2
10
-10
jRC 1ω
1+ jRC 2ω
2
+ 4ζ 2
R
+
jRC ω
1 + jRC ω
2
100
C2
C
R2
-180
10
C
R
2
ω
ωo
⎧ ho > 0 ⇒ s = 1
⎨
⎩ ho < 0 ⇒ s = − 1
ω
)
ωo
(
1
PASSE BANDE
( )
+ ( )
Ho
kRC
−
p
k-1
1
⎛
⎞
2
1 + ⎜2 −
⎟ RCp + R C
k −1 ⎠
⎝
2
p
2
29
Filtrage analogique
II
LES FILTRES DE CHEBYSHEV
Les Filtres de Chebyshev sont les filtres construit à l’aide des polynômes de Chebyshev. Ils ont une
fonction de transfert h(jω) dont le module est de la forme :
H (ω ) =
H0
1 + ε 2 T n2 (ωω0 )
Tn(u) sont les polynômes de Chebyshev, ils sont définis par :
⎧⎪Tn(u) = cos(n arcos(u))
⎨
⎪⎩Tn(u) = ch(n argch(u))
pour
0 < u < 1 soit 0 < ω < ωo
pour
u > 1 soit ω > ωo
Le paramètre ε définit l’amplitude de l'ondulation de H dans la bande passante. En effet si on
exprime Tn(u) dans l’intervalle (ω < ωo) et ceci pour différentes valeurs de n on obtient :
T0(u) = 1
T1(u) = u
T2(u) = 2u-1
T (u) = 4u3 - 2u
3
T4(u) = 8u4 - 8u2 +1
Si on trace ses fonctions on s’aperçoit qu'elles oscillent n/2 fois entre +1 et -1 pour u<1. Il en
résulte que H oscille n fois entre 1 et γ =
1 , On voit bien que l'amplitude de l'ondulation dépend
1+ε 2
de ε. HdB oscille n fois entre 0 et –R où R est l'ondulation en dB du filtre :
⎛
⎞
−R = 20log10⎜⎜ 1 2 ⎟⎟
⎝ 1+ε ⎠
Le coefficient d'ondulation ε et l'ondulation R sont donc liée par les relations :
R = 10 log10 (1 +ε 2 )
ε 2 =10
R
10
−1
La figure ci dessus montre les courbes de T4(u), H4 et H4dB pour u < 1 et une ondulation R = 0.5 dB
1
T4(u)
0
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1
0.8
1
1
H
0.95
0.9
0
0.2
0.4
0.6
0
H
-0.5
0
0.2
0.4
dB
0.6
Fig. II.1 : ondulation d’un filtre de Chebyshev
30
Filtrage analogique
La recherche des fonctions de transfert de Chebyshev est un travail fastidieux car il faut
résoudre des équations trigonométriques non linéaires.
Des tables fournissant ses fonctions pour différentes valeurs de n et de R existent. Elles sont
données en fonction de la variable de la place normalisée
sont fournis car ses fonctions sont de la forme
⎧
⎪ho = 1
⎨
R
⎪h = γ = 10 −20
⎩o
h(s) =
s = ju = j ω . Seuls les dénominateurs D(s)
ho
D(s)
ωo
avec :
pour
n impair
pour
n pair
Les dénominateurs sont fournis sous forme quadratique, c.a.d en forme de produit de polynômes de
degré 2 et éventuellement de degré 1 pour n impair. Cela dans le but de faciliter le passage à la
réalisation pratique par l'utilisation de filtres de second ordre en cascade. La liste ci-dessous fournit
quelques-uns de ces polynômes :
Polynômes de Chebyshev ε=0.508847 γ=0.891251 R=1dB
1
2
3
4
5
6
7
8
(1+0.508847s)
(1+0.995668s+0.907021s²)
(1+0.497051s+1.00583s²)(1+2.02359s)
(1+0.28289s+1.01368s²)(1+2.4114s+3.57912s²)
(1+0.181032s+1.01182s²)(1+1.09111s+2.32938s²)(1+3.45431s)
(1+0.125525s+1.00935s²)(1+0.609201s+1.79302s²)(1+3.72173s+8.0188s²)
(1+0.0920921s+1.00737s²)(1+0.391989s+1.53033s²) (1+1.60618s+4.33933s²) (1+4.86821s)
(1+0.0704291s+1.00589s²)(1+0.275575s+1.38209s²) (1+0.875459s+2.93376s²)
(1+5.00983s+14.2326s²)
9 (1+0.0556s+1.00479s²)(1+0.205485s+1.28968s²)(1+0.556611s+2.28018s²)
(1+2.10336s+7.02425s²)(1+6.27626s)
10 (1+0.0450063s+1.00396s²)(1+0.159743s+1.22786s²) (1+0.389282s+1.92112s²)
(1+1.12661s+4.41233s²)(1+6.28949s+22.2213s²)
Polynômes de chebyshev ε=0.349311 γ=0.944061 R=0.5dB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(1+0.349311s)
(1+0.94026s+0.659542s²)
(1+0.548346s+0.875314s²)(1+1.59628s)
(1+0.32976s+0.940275s²)(1+2.37556s+2.80574s²)
(1+0.21619s+0.965452s²)(1+1.22963s+2.09746s²)(1+2.75999s)
(1+0.151805s+0.977495s²)(1+0.71912s+1.69489s²)(1+3.6917s+6.36953s²)
(1+0.112199s+0.984148s²)(1+0.471926s+1.47736s²)(1+1.8182s+3.9389s²) (1+3.90366s)
(1+0.0862115s+0.988209s²)(1+0.335124s+1.34892s²)(1+1.03671s+2.78823s²) (1+4.98097s+11.3569s²)
(1+0.0682765s+0.990873s²)(1+0.251348s+1.26684s²)
(1+0.671707s+2.20975s²)(1+2.38502s+6.39622s²)(1+5.04019s)
10 (1+0.0553925s+0.992718s²)(1+0.196118s+1.21109s²)
(1+0.474268s+1.88038s²)(1+1.33583s+4.20319s²)(1+6.25989s+17.7686s²)
31
Filtrage analogique
Polynômes de Chebyshev ε=0.15262 γ=0.988553 R=0.1dB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(1+0.15262s)
(1+0.715851s+0.301747s²)
(1+0.573699s+0.591804s²)(1+1.03156s)
(1+0.397218s+0.751862s²)(1+2.04753s+1.60533s²)
(1+0.278732s+0.836864s²)(1+1.37121s+1.57252s²)(1+1.85558s)
(1+0.203107s+0.885436s²)(1+0.899942s+1.43601s²)(1+3.2506s+3.79706s²)
(1+0.153492s+0.915377s²)(1+0.623766s+1.32763s²)(1+2.05601s+3.02831s²) (1+2.65408s)
(1+0.119646s+0.935024s²)(1+0.456131s+1.25173s²) (1+1.31031s+2.40263s²)(1+4.41789s+6.86755s²)
(1+0.0956885s+0.948574s²)(1+0.348121s+1.19851s²)
(1+0.894419s+2.00987s²)(1+2.7112s+4.96659s²)(1+3.4428s)
10 (1+0.0781757s+0.958301s²)(1+0.274687s+1.16026s²)
(1+0.64921s+1.76061s²)(1+1.6952s+3.6484s²)(1+5.5708s+10.8158s²)
Les figures ci-dessous fournissent quelques courbes normalisées qui peuvent servir à définir
l'ordre d'un filtre en fonction de l'ondulation dans la bande passante et de l'atténuation dans la bande
coupée.
0
1
-10
2
-20
3
dB
-30
4
Chebyshev -- Module (R=1dB)
-40
5
-50 0
0.5
1
1.5
2
Fig. II.2 : Courbes du gain des filtres passe-bas de Chebyshev
0
1
2
-2
3
dB
-4
Chebyshev -- Module (R=1dB)
4
-6
5
-8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Fig. II.3 : agrandissement de la courbe de gain
1
1.2
32
Filtrage analogique
0
-50
-100
-150
-200
Phase en °
-250
-300
-350
Chebyshev -- Phase (R=1dB)
-400
-450
0
0.5
1
1.5
2
Fig. II.4 : Courbes de phase des filtres passe-bas de Chebyshev
0
1
2
-100
3
-200
4
-300
Phase en °
5
-400
6
Chebyshev -- Phase (R=1dB)
-500
7
-600
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Fig. II.5 : Illustration de la phase dans la bande passante
On remarque sur la courbe ci-dessus que les filtres de Chebyshev on une phase quasi linéaire dans la
bande passante ce qui fait que ces filtres auront une faible distorsion de phase. Rappelons que pour
avoir une distorsion de phase nulle, il faut que tous les harmoniques subissent le même retard θ.
Sachant que le retard est obtenu par
de phase est nulle.
θ=
dφ
dω
, si φ(ω) est linéaire alors θ est constante et la distorsion
33
Filtrage analogique
Exemple :
Réalisons un filtre de Chebyshev qui a une fréquence de coupure fo de 1 kHz, une ondulation de 1
dB dans la bande passante et une atténuation supérieure 45 dB pour les fréquences supérieures à 2fo
(u>2).
Si on observe les courbes correspondant à R = 1dB, on constate qu'il faut un filtre d'ordre 5 pour
obtenir l’atténuation de 45 dB désirée.
Dans la liste des polynômes de Chebyshev, on choisit celle correspondant à n = 5 soit :
(1 + 0.181032s + 1.01182s²) (1 + 1.09111s + 2.32938s²) (1 + 3.45431s)
La fonction de transfert du filtre est donc :
h(s) =
1
(1 + 0.181032s + 1.01182s²) (1 + 1.09111s + 2.32938s²) (1 + 3.45431s)
h(s) =
1
1
1
(1 + 0.181032s + 1.01182s²) (1+1.09111s + 2.32938s²) (1 + 3.45431s)
Donc le filtre pourra être réalisé en cascadant 2 filtres du second ordre et un filtre du premier
ordre.
1
1
=
0.181032
1 + 0.181032s + 1.01182s²
1+
p + 1.01182
p2
ω0
ω02
1
1
=
h2 ( s ) =
1.09111
(1 + 1.09111s + 2.32938s²)
1 +
p + 2.32938
p2
ω0
ω 02
h1( s ) =
h3(s) =
1
1
=
1+3.45431s 1 + 3.45431 p
ω0
On va utiliser des filtres actifs à base d'amplificateurs opérationnels pour réaliser les 3 filtres h1,
h2 et h3. Plusieurs structures électroniques de base existent, Nous allons utiliser une structure du
premier ordre simple pour h3 et une la structure de Salen-Key passe bas pour h2 et h1.
Les schémas de la structure de Salen-Key ainsi que sa fonction de transfert sont fournis ci-dessous.
On va faire la correspondance avec les fonctions de transfert h1 et h2 et en déduire la valeur des
composants.
C
R
R
Ve
F ( p )=
k
C
Vs
k
1 + ( 3 − k ) RCp + R 2 C 2 p 2
Fig. II.6
Pour l'amplificateur k on prendra un amplificateur non-inverseur
classique. k = 1 + R2 / R1.
R1
R2
34
Filtrage analogique
Commençons par h1 :
R²C² =
1+ 0.181032 p+ 1.01182
p2
ω0
ω02
=
1 +(3 −k)RCp +R 2C 2 p 2
1.01182 ω = 2πf = 2π × 1000 = 6283.2 rad/s
o
o
ω02
RC = √1.001182 / 6283.2 = 1.59 10-4
Si on prend C = 50 nF on obtient R = 3.2 k Ω .
0.181032
ω0
=
(3 −k)RC = (3 -k) 1.001182
ωo
k = 3 - 0.181032 / √1.001182 = 2.82 = 1 + 1.82
Ce qui donne pour l’amplificateur : R2 = 18.2k et R1 = 10 k
On obtient la structure suivante pour h1
50 nF
18.2k
10k
3.2k
Ve
3.2k
Vs
50nF
Fig. II.7
Les mêmes calculs pour h2 aboutissent à :
C = 50 nF, R = 4.86 k et k = 1 + 1.29
Pour h3, on utilisera la structure du premier ordre ci dessous, elle nous permettra d'ajuster le gain
global de l'amplificateur afin d'avoir un gain statique global = 1. Mais elle introduit un décalage de la
phase de +π à cause du signe – dans la fonction de transfert.
C
R1
Ve
R2
+
H(p)=
Vs
R2/R1
1+ R2Cp
1+R2Cp = 3.45431/ωo , on prend C=50 nF, on obtient R2 = 11 kΩ
Le gain statique global du filtre ainsi obtenu est k1 . k2 . R2/R1 = 1
On en déduit R1 = 2.82 x 2.29 x 11kΩ = 70 kΩ
1
0
0.8
-10
0.6
-20
dB
0.4
0.2
0
-30
-40
0
500
1000
1500
2000
-50
0
500
1000
Fig. II.8 : tracé théorique sur échelle linéaire des gains H et HdB du filtre désiré
1500
2000
35
Filtrage analogique
0
180
-10
90
-20
0
Phase
-30
-90
-40
-180
-50
10
1
10
2
10
3
-270
500
Fig. II.9 : tracé théorique de HdB sur échelle semi-log
1000
1500
2000
2500
Fig. II.10 : tracé théorique de la phase
Fig. II.11 : Schéma du filtre
Fig. II.12 : courbe du gain HdB obtenue par simulation sur EWB
Fig. II.13 : : courbe de la phase obtenue par simulation sur EWB
3000
36
Filtrage analogique
III
LES FILTRES DE BUTTERWORTH
Les Filtres de Butterworth sont les filtres construit à l’aide des polynômes de Butterworth. Ils ont
une fonction de transfert h(jω) dont le module est de la forme :
H0
H n(ω ) =
1 + (ωω0
)
2n
Les filtres de Butterworth ont une réponse relativement plate dans la bande passante mais ils ont
une sélectivité mois forte que les filtres de Chebyshev.
La liste ci-dessous fournit les dénominateurs D(s) des fonctions de transfert passe bas de
Butterworth jusqu’à l'ordre 10. Ils sont fournis en fonction de la variable de Laplace normalisée s = ju.
La fonction de transfert est de la forme
h(s) = 1
D(s)
1 (1+s)
2 (1+1.41421s+s²)
3 (1+1s+s²)(1+s)
4 (1+0.765367s+s²) (1+1.84776s+s²)
5 (1+0.618034s+s²) (1+1.61803s+s²) (1+s)
6 (1+0.517638s+s²) (1+1.41421s+s²) (1+1.93185s+s²)
7 (1+0.445042s+s²)(1+1.24698s+s²) (1+1.80194s+s²) (1+s)
8 (1+0.390181s+s²) (1+1.11114s+s²) (1+1.66294s+s²) (1+1.96157s+s²)
9 (1+0.347296s+s²) (1+1s+s²) (1+1.53209s+s²) (1+1.87939s+s²) (1+s)
10 (1+0.312869s+s²) (1+0.907981s+s²) (1+1.41421s+s²) (1+1.78201s+s²) (1+1.97538s+s²)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
Fig. III.1 : Gain en linéaire des filtres de Butterworth
2.5
3
37
Filtrage analogique
0
-20
dB
-40
-60
-80
-1
10
0
1
10
10
Fig. III.2 : Gain en dB sur échelle semi-logarithmique des filtres de Butterworth
0
-100
-200
-300
-400
Phase
-500
-600
0
0.5
1
1.5
2
Fig. III.3 : phase des filtres de Butterworth
2.5
3
38
Filtrage analogique
0
1
-100
2
-200
3
-300
4
-400
5
-500
6
7
-600
10
-1
10
0
Fig. III.4 : phase des filtres de Butterworth sur échelle semi- logarithmique
Exemple : Filtre passe bas de Butterworth, Ordre=5, fc=2kHz, C=50 nF
Premier terme : (1+0.618s+s2) ⇒ R=1.59 kΩ , k=1+1.38
2ème terme : (1+1.618s+s2) ⇒ R=1.59 kΩ , k=1+0.38
3ème terme : (1+s) ==> R2 = 1.59 kΩ, R1 = 5.24 kΩ
Fig. III.5 : résultat de simulation sur EWB
10
1