filtrage-analogique

Filtrage analogique 1
Filtrage Analogique
A. Oumnad

Filtrage analogique 2
Sommaire
I Le Filtrage ..............................................................................................................................................................3
I.1 Les deux représentations du signal.........................................................................................................3
I.2 Cas des signaux sinusoïdaux......................................................................................................................3
I.3 Cas des signaux périodique........................................................................................................................4
I.4 LES FILTRES ...............................................................................................................................................6
I.5 filtre passe bas............................................................................................................................................6
I.6 Autres filtres...............................................................................................................................................7
I.7 Les Filtres passe-bas du premier ordre.................................................................................................8
I.7.1 Les courbes de Bode ..............................................................................................................................8
I.7.2 Réalisation par un filtre passif..........................................................................................................10
I.7.3 Réalisation par un filtre actif............................................................................................................ 11
I.8 Les Filtre passe-haut du premier ordre...............................................................................................13
I.8.1 Réalisation par un filtre passif..........................................................................................................14
I.8.2 Réalisation par filtre actif .................................................................................................................14
I.9 Les Filtres passe-bas du second ordre.................................................................................................16
I.9.1 Réalisation à l'aide d'un filtre passif...............................................................................................18
I.9.2 Réalisation avec un filtre actif..........................................................................................................19
I.10 Les Filtres passe-haut du second ordre.............................................................................................. 20
I.10.1 Réalisation par filtre actif............................................................................................................ 22
I.11 Les filtres passes-bande du second ordre ......................................................................................... 23
I.11.1 Réalisation par filtre actif............................................................................................................ 24
I.11.2 Passe bande à large bande passante........................................................................................... 26
I.12 Transformation de fréquence ............................................................................................................... 27
II Les filtres de Chebyshev............................................................................................................................. 29
III Les filtres de Butterworth......................................................................................................................... 36

Filtrage analogique 3
I LE FILTRAGE
Un filtre est un dispositif électronique (amplificateur ou atténuateur) dont le gain dépend de la
fréquence. De ce fait il va laisser passer certaines composantes spectrales et en arrêter d'autres.
I.1 Les deux représentations du signal
Jusqu'ici, nous n'avons considéré que la
représentation temporelle des signaux, qui
consiste à représenter la variation de
l'amplitude d'un signal en fonction du temps.
La figure (Fig. I.1) illustre un exemple de
représentation temporelle.
Il existe une autre représentation non
moins importante, c'est la représentation
fréquentielle ou représentation harmonique ou
tout simplement spectre du signal. Elle consiste à
représenter la variation de l'amplitude du signal en
fonction de la fréquence. La figure (Fig. I.2
)
montre un exemple de représentation harmonique.
Pour les signaux sonores comme la voix humaine
ou la musique, le sons graves où les "basses" ont
une représentation harmonique où les basses
fréquences sont prépondérantes (Fig. I.3). Alors
que les sons aigus ont une représentation fréquentielle où les hautes fréquences sont prépondérantes
(Fig. I.3).
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Hz
0
500
1000
1500
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Fig. I.3 : spectre d'un son grave Fig. I.4 : spectre d'un son aigu
I.2 Cas des signaux sinusoïdaux
Un signal sinusoïdal
m(t) = A sin(2πf
o
t) est un signal particulier car son spectre se réduit à une seule
raie spectrale (Fig. I.5).
0 2 4 6 8 10 ms
-1
-0.5
0
0.5
1
0500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Hz
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fig. I.5 : signal sinusoïdal, f = 500 Hz Fig. I.6 : spectre du signal sinusoïdal
Les figures Fig. I.7 et Fig. I.7 montrent les représentations temporelles et fréquentielle d'un signal
t
m(t)
Fig. I.1 : Représentation temporelle du signal triangulaire
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0
2
4
6
8
10
12
14
frequency (Hz)
Fig. I.2 : Spectre d'un signal vocal

Filtrage analogique 4
constitué de la somme de deux signaux sinusoïdaux de fréquences f
1
= 500 Hz et f
2
=750 Hz
0 2 4 6 8 10 12 ms
-2
-1
0
1
2
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fig. I.7 :
)tf2sin()tf2sin()t(m 21
π
π
+
=
Fig. I.8 : Spectre de m(t),
I.3 Cas des signaux périodique
On peut vérifier que n'importe quel signal périodique
m
p
(t) de fréquence T
1
fo= est constitué d'une
superposition de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples de
f
o
et dont les amplitudes respectives
sont définies par les relations ci-dessous.
()
∑
∞
=
π+π+=
1n onon
o
P)tnf2sin(B)tnf2cos(A
2
A
)t(m (6.1)
dt )tnf2cos()t(m
T
2
A2
T
2
Topn ∫
−
π= (6.2)
dt )tnf2sin()t(m
T
2
B2
T
2
Topn ∫
−
π= (6.3)
Les différents signaux sinusoïdaux sont appelé les harmoniques de
m
p
(t) car leurs fréquences
respectives sont des multiple de la fréquence
f
o
qu'on appelle la fréquence fondamentale. Le premier
harmonique a une fréquence égale à
f
o
, le 2ème a une fréquence de 2f
o
, le 3ème a une fréquence de 3f
o
...
Pour les signaux paires, c.a.d les signaux symétriques par rapport à l'axe des y, vérifiant
m(t) = m(-t) ,
tous les termes
B
n
sont nuls, le signal est une somme de cosinus.
Pour les signaux impaires, c.a.d les signaux symétriques par rapport au point
(0,0) constitué par
l'intersection des axe x et y, vérifiant
m(t) = -m(-t) , tous les termes A
n
sont nuls, le signal est une
somme de sinus.
D'autres propriété de symétrie font que certains signaux n'ont que les harmonique d'ordre paire n =
2, 4, 6, .... ou encore que des harmonique d'ordre impair n = 1, 3, 5, ...
Le terme 2
Ao représente la composante continue du signal. Ce n'est rien d'autre que la valeur
moyenne
m
o
du signal, en effet, si on remplace n par 0 dans l'expression (6.2) , le cosinus disparaît car
cos (0) = 1 , on obtient :
dt )t(m
T
1
2
A2
T
2
Tp
o∫
−
=
Cette expression n'est rien d'autre que la définition de la valeur moyenne d'un signal périodique. La
composante continue apparaît sur le spectre comme une raie spectrale à la position
f = 0 .

Filtrage analogique 5
La représentation d'un signal périodique par une somme de signaux sinusoïdaux est connue sous le nom
de décomposition en série de Fourier. Voici des exemples de développement en série de Fourier de
quelques signaux périodiques.
()
impai
r
n ,...tnf2sin
n
1
...)tf52sin(
5
1
)tf32sin(
3
1
)tf2sin(
A4
)t(m oooo ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+π++π+π+π
π
=
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡++π
+
−
++π+π−π
π
=...tf)1n2(2cos
1n2 )1(
...)tf52cos(
5
1
)tf32cos(
3
1
)tf2cos(
A4
)t(m o
n
ooo
()
impai
r
n ,...tnf2cos
n
1
...)tf52cos(
25
1
)tf32cos(
9
1
)tf2cos(
A8
)t(m o
2
ooo
2⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+π++π+π+π
π
=
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+π
−
++π+π−π
π
=
+...tnf2sin
n
)1(
...)tf32sin(
3
1
)tf22sin(
2
1
)tf2sin(
A2
)t(m o
1n
ooo
()
p
ai
r
n
...tnf2cos
1n 2)1(
...)tf42cos(
15
2
)tf22cos(
3
2
)tf2cos(1
A2
)t(m o
2
1
ooo
2
n
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡+π
−
×−
++π−π+π+
π
=
+
Le tableau ci-dessous contient les amplitudes et les fréquences des harmoniques du premier signal
m
1
(t) de la liste ci-dessus avec f
o
= 125 Hz . Son spectre est représenté sur la figure (Fig. I.10)
Harmonique fréquence
amplitude
1
125 1 . 2732
3
375 0 . 4244
5
625 0 . 2546
7
875 0 . 1819
9
1125 0 . 1415
11
1375 0 . 1157
13
1625 0 . 0979
15
1875 0 . 0849
17
2125 0 . 0749
19
2375 0 . 0670
21
2625 0 . 0606
23
2875 0 . 0554
25
3125 0 . 0509
27
3375 0 . 0472
Les figures ci-dessous montrent la reconstitution du signal carré à l'aide de 2, 3, 15 et 30 harmoniques.
m(t)
t
A
m(t)
t
A
m(t)
t
m(t)
t
m(t)
t
Fig. I.9
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Hz
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Fig. I.10 : Spectre du signal m
1
(t)