Lycée Omar Ibn Abdelaziz CPGE – OUJDA DS de Physique Durée : 2h Les deux parties sont indépendantes. PARTIE I : On considère un circuit RC série alimenté par un GBF qui délivre différents signaux de fréquences et d’amplitudes réglables (voir fig.1) R 𝑣𝑒 GBF C 𝑣𝑠 fig.1 1- Etablir l’équation différentielle qui relie 𝑣𝑠 et 𝑣𝑒 . 2- En déduire que le circuit étudié est linéaire. 3- En analysant le comportement du condensateur à basse et à haute fréquence conclure quant à la nature du filtre RC considéré 4- On donne 𝑣𝑒 = a sin 𝜔𝑡 Résoudre, en notation complexe, l’équation de la question 1 en écrivant 𝑣𝑠 sous la forme 𝑣𝑠 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) Exprimer alors A et 𝜑 en fonction de a , 𝜔 , R et C. 5- En régime sinusoïdal forcé on définit, en notation complexe, la fonction de transfert 𝑣𝑠 𝐻= 𝑣𝑒 Ecrire 𝐻 sous la forme 𝐻 = 𝐻𝑜 1+𝑗 𝑓 𝑓0 𝑓 étant la fréquence du signal d’entrée. Exprimer 𝐻𝑜 et 𝑓𝑜 6- Définir et exprimer : a- La fréquence de coupure 𝑓𝑐 du filtre étudié. b- Le déphasage Ѱ de 𝑣𝑠 par rapport à 𝑣𝑒 . 7- Représenter le module de 𝐻 en fonction de 𝑓 en faisant apparaitre 𝑓𝑐 sur le graphe. 8- On choisi 𝑣𝑒 = 1 + 2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 (en volt) avec 𝜔=105 𝑟𝑎𝑑 𝑠 −1 a- Représenter le spéctre de 𝑣𝑒 b- Exprimer 𝑣𝑠 (𝑡) c- Simplifier cette expression sachant que 𝑅 = 10 𝑘𝛺 et 𝐶 = 0,1 µ𝐹 d- En déduire, dans ce cas, la fonction mathématique réalisée par le circuit. OUAAQIL Mostafa 1 PARTIE II : On considère le circuit RLC série de la figure 2. C 𝑣𝑒 L 𝑣𝑠 R GBF fig.2 𝑣 1- Etablir l’expression de la fonction de transfert 𝐻 = 𝑣𝑠 et la mettre sous la forme : 𝑒 𝐻= 𝐻0 𝜔 𝜔 1 + 𝑗𝑄 (𝜔 − 𝜔0 ) 0 Exprimer 𝐻0 , 𝑄 et 𝜔0 en fonction de 𝑅, 𝐿 et 𝐶. 2- Représenter l’allure de la courbe |𝐻| = 𝑓(𝜔). En déduire la nature du filtre étudié. Dans la suite on supposera que 𝐻0 = 1, 𝑄 = 10 et 𝑓0 = 𝜔0 2𝜋 = 2 𝑘𝐻𝑧. 3- Montrer que le facteur de qualité 𝑄 est lié à la bande passante ∆𝑓 par la relation 𝑄 = 𝑓0 /∆𝑓 4- La tension d’entrée est triangulaire de valeur minimale 0, de valeur maximale 𝐸0 = 10𝑉 et de fréquence 𝑓 = 𝑓0 . On donne la décomposition en séries de Fourier de 𝑣𝑒 : ∞ 1 4 1 𝑣𝑒 = 𝐸0 ( − 2 ∑ cos(2𝜋(2𝑛 + 1)𝑓0 𝑡)) (2𝑛 + 1)2 2 𝜋 𝑛=0 a- Quelle est la valeur moyenne de 𝑣𝑒 ? b- Représenter le spectre de 𝑣𝑒 . c- Tenant compte des valeurs numériques proposées, donner une expression approchée de 𝑣𝑠 et représenter son spectre. d- On prend pour cette question 𝑓 = 20 𝑘𝐻𝑧 ≫ 𝑓0 . iii- En analysant la fonction de transfert prévoir le comportement du circuit à cette fréquence. Représenter l’allure de 𝑣𝑠 (𝑡) en précisant sa tension crête à crête. OUAAQIL Mostafa 2 5- Bonus. a- En analysant la fonction de transfert prévoir le comportement du circuit si 𝑓 ≪ 𝑓0 . b- Le signal d’entrée est toujours triangulaire (voir question 5-) mais de fréquence 𝑓 = 100 𝐻𝑧. Analyser la courbe de 𝑣𝑠 (𝑡) obtenue ci-dessous. OUAAQIL Mostafa 3
