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5ème4 2009-2010
Chapitre n°9 : « Nombres relatifs : addition et
Chapitre n°9 : « Nombres relatifs : addition et
soustraction»
soustraction»
I. Addition de nombres relatifs
1/ Rappels
•Un nombre relatif est un nombre qui est soit positif, soit négatif.
•Compare
–7,1
et
–7,01
:
–7,01–7,1
.
•On rappelle qu'un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif, et que
l'ordre est « inversé » lorsqu'on a deux nombres négatifs :
57
et
–5–7
.
2/ Activité
Activité 1 page 98
•Partie
A
1/ Les gains sont exprimés par des nombres positifs, les pertes par des nombres négatifs.
Roulette Machines à sous
1
80
12
2
–45
–75
3
23
–23
4
–39
64
5
13
–81
2/ a/ Il a gagné 92 euros (le premier jour) :
8012=92
b/ Il a perdu 120 euros :
–45 –75=–120
c/ Il n'a ni gagné, ni perdu ; il lui reste
0
euro :
23 –23=0
d/ Le 4ème jour, il gagne plus qu'il ne perd, on obtient donc un résultat positif :
–3964=25
Le 5ème jour, il perd plus qu'il ne gagne, on obtient donc un résultat négatif :
13–81=–68
3/ Pas faite..
•Partie
B
58=13
–3,59,5=6
–75–25=–100
100 –250=–150

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3/ Méthodes de calculs
Lorsque les deux nombres sont de même signe
–17–11=–28
On a ajouté
17
avec
11
, cela donne
28
; le résultat est du même signe que
–17
et
–11
.
4,57,5=12
On a ajouté
4,5
avec
7,5
, cela donne
12
; le résultat est du même signe que
4,5
et
7,5
.
Lorsque les deux nombres sont de signes contraires
–3,59,5=6
Le résultat est positif car
9,5
est le plus fort des deux nombres ; puis on effectue une
différence pour calculer le résultat.
–95=–4
Le résultat est négatif car
–9
est le plus fort ; on effectue ensuite une différence.
Avec des décimaux (exemples)
18,54 –36,76=–18,22
2,8 –2,8=0
34,2 –15,7=18,5
–5,734,2=28,5
4/ Lorsqu'il y a plus de deux termes
A= –27 –51–11
Il y a deux méthodes :
•1 ère méthode : « on calcule de gauche à droite progressivement »
A= –27 –51–11
A=5 –51 –11
A=01–11
A=1 –11
A=–10
•2 ème méthode : « on calcule les positifs entre eux et les négatifs entre eux »
A= –27 –51–11
A=8 –18
A=–10

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Autres exemples
Calcule :
B= –511 –7 –1531100
B=142–27
B=115
C=1,2 –5,53,6–7,7
C=4,8–13,2
C=–8,4
5/ Distance à zéro ; nombres opposés
Définition (explication)
•La distance à zéro de
4
correspond à la longueur
BO
où
B4
et
O
est
l'origine de l'axe : c'est
4
.
•
4
et
–4
sont deux nombres opposés : ils correspondent aux abscisses des points
A
et
B
qui sont symétriques par rapport à l'origine.
II. Soustraction de nombres relatifs
1/ Activité
•Abscisses des points :
A6
;
B–1
;
C–4
;
D3
;
E–2,5
;
F–6
;
G1,5
.
•Calculer des longueurs :
AB=6––1=7
AD=6–3=3
DG=3–1,5=1,5
GC=
1,5––4=5,5

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Une autre activité
L'ascenseur....
•Je pars du 4ème sous-sol, je monte jusqu'au 6ème étage ; je suis donc monté de 10
étages. Cela se traduit par l'égalité suivante :
6––4=10
•De même pour les soustractions suivantes :
3––5=8
–2–4=–6
–5––3=–2
•On remarque que cela revient à faire des additions de nombres relatifs. En effet :
3––5=35=8
–2–4=–2–4=–6
2/ Méthodes de calcul
Lorsqu'on soustrait deux nombres relatifs, on remarque que cela revient à faire une addition.
Par exemple : faire
5–7
revient à additionner
5
et
–7
; on prend l'opposé du
deuxième terme.
Donc :
5–7=5–7=–2
. On peut toujours vérifier ce résultat grâce à la
méthode de « l'ascenseur » : je pars du 7ème étage, je descends au 5ème étage ; je suis descendu
de deux étages, cela correspond à
–2
.
Propriété
Pour soustraire deux nombres relatifs, il suffit d'ajouter le premier à l'opposé du deuxième. On
dit aussi que « soustraire par un nombre revient à ajouter son opposé ».
Exemples
–8––13=–813=5
–11–8= –11–8=–19
III. Sommes algébriques
Un exemple
A=3––52–8
A=352 –8
A=10–8
A=2

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Méthode sur un exemple
X= –524––3–7
« On repère les soustractions »
X= –5243 –7
« Je transforme les soustractions en additions mais je
prends l'opposé du terme qui suit »
X= –129
« Je calcule les termes de même signe »
X=−3
« Je calcule le résultat final ».
IV. Simplifications d'écritures
Exemples
A= –37–8 –5
A=–37–8–5
On a supprimé les parenthèses et les signes d'addition. De même :
B=6–8–211,5–88
B=6–8–211,5 –88
Inversement, il faut comprendre que l'expression
C=–584–7–9
est une succession
d'additions ; les nombres additionnés sont
–5
,
8
,
4
,
–7
et
–9
.
Calculons :
C=–584–7–9
C=–5–7–984
(on regroupe les nombres négatifs)
C=–21 12
C=–9
Règles de simplifications
•Dans une somme de nombres relatifs, on peut supprimer les parenthèses et les signes
d'addition :
8–5=8–5=3
•Un signe en début de ligne peut être supprimé :
8–5=8–5=3
D'autres exemples
D=–74–8–32,5
On doit comprendre
D=–74–8–32,5
D=6,5 –18
D=–11,5
E=3,5 –87,52–4,5 –1
E=13 –13,5
E=–0,5