Cours UE 433

UE433 Communications numériques
Chapitre 1 - Introduction
Jean-Pierre Barbot
Université Paris Sud 11 / ENS Cachan
M1-IST
Vendredi 13 mars 2015
1
Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Introduction
Historique
Principe d'une chaîne de transmission numérique
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 1)
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Introduction
Excepté la radio, toutes les communications actuelles sont numériques
(TNT, DVB-S, GSM, UMTS, ADSL, ...)
Canaux de transmission : paire torsadée (téléphone), ligne laire,
propagation sans l, bre optique, ...
Type de source : analogique (voix) ou numérique (données)
Objectifs
Transmettre le maximum de donnée (débit
(probabilité d'erreur
avec :
&)
%)
avec une abilité maximale
1
des limites théoriques (Shannon),
2
des contraintes physiques (propagation),
3
des contraintes économiques (énergie, complexité)
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Historique
Historique
XVe siècle
1464 : Création de la Poste Royale par Louis XI
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Historique
XVIIIe siècle
1792 : Début du télégraphe optique de Claude Chappe
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Historique
XIXe siècle
1832 : Invention du télégraphe électrique par Samuel Morse
1854 : Projet de téléphone de F. Bourseul
1860 : Lois de l'électromagnétisme par Maxwell
1865 : Création de l'Union internationale du télégraphe (UIT)
1866 : Premier câble télégraphique transatlantique
1876 : Téléphone de Graham Bell & Elisha Gray
1876 : Premiers enregistrements de Thomas Edison
1887 : Ondes radioélectriques de H. Hertz
1892 : Téléphone automatique de d'A. Strowger
1892 : Radiodiusion par W. Crookes
1896 : Première liaison de "TSF" par G. Marconi
1897 : Émission radio au Panthéon de Paris par Eugène Ducretet
1898 : Camille Tissot établit la première liaison radio opérationnelle
Française en mer.
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Historique
Télégraphe de Morse (1837)
Téléphone...
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Historique
XXe siècle
1901 : Première liaison radio transatlantique
1902 : Découverte de l'ionosphère par O. Heaviside
1915 : Téléphone automatique Rotary
1921 : Premiers "courants porteurs" d'E. Colpits et O. Blackwell
1922 : Premières émissions régulières de radiodiusion de la tour Eiel
1926 : Premier câble à grande distance électronisé
1932 : Création de l'Union internationale des télécommunications, UIT
1935 : Émissions régulières de télévision depuis la tour Eiel
1936 : Premier télex Creed
1938 : Principes de la numérisation par A. Reeves
1940 : Création du CCTI, Comité de coordination des
télécommunications
1941 : Mise au point du radar
1943 : Premier calculateur électronique ENIAC de J. Mauchly et J.-P.
Eckert
1947 : Invention du transistor par J. Bardeen, W. Shockley, W.
Brattain
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Historique
1948 : Shannon fonde la théorie de l'information
1951 : Premiers faisceaux hertziens
1954 : Premiers postes radio à transistor
1956 : Câble sous-marin transistorisé
1960 : Codes correcteur d'erreur Reed-Solomon (article "Polynomial
Codes over Certain Finite Fields." Reed & Solomon, 1960)
1960 : Invention des codes correcteur d'erreur BCH (1959 par
Hocquenghem et 1960 par Bose and Ray-Chaudhuri)
1962 : Première liaison Télévision par satellite Amérique-France depuis
Pleumeur-Bodou
1966 : Première liaison numérique MIC
1969 E. Berlekamp and J. Massey découvre un algorithme ecace de
décodage des codes Reed-Solomon.
1970 : Fibres optiques de Corning Glass
1971 : Premiers microprocesseurs
1971 : En France, mise en service du premier autocommutateur
électronique
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Historique
(1G) : Téléphone Radiocom-2000
(2G) Premier téléphone GSM Français (Alcaltel, 1992)
(2G) Téléphone portable GSM Français (Alcaltel, 1993) ;
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151 x 68 x 40 mm
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Historique
1973 : Premier appel depuis un téléphone cellulaire (attribué à Martin
Cooper, direct. R&D motorola)
1977 : Lodes RS implémentés dans le programme Voyager
1982 : Norme compact disc audio déposée par Philips, utilisant les
codes RS
1982 : Groupe de travail chargé par la CEPT pour la dénition de la
norme Européenne GSM
1983 : Ocialisation de TCP-IP comme protocole de l'Internet
1987 : Amplication optique par dopage à l'Erbium
1988 : Mise en service de TAT8, 1er câble transatlantique à bres
optiques
1991 : Première communication expérimentale faite par le groupe GSM
1992 : Choix bandes hertziennes 3G IMT-2000 (UMTS)
1993 : Découverte des Turbo-Codes par C. Berrou et A. Glavieux
1995 : Mise en service des câbles transatlantiques TAT12, TAT13 et
TPC5 à amplication optique (répéteurs par bres dopées à l'erbium,
EDFA).
1999 : ADSL chez les particuliers (France)
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Historique
XXIe siècle
2000 : Crise boursière aectant les valeurs Télécom : éclatement de la
Bulle Internet
2001 : Accord de l'Union Européenne pour lancer le projet Galileo
2004 : Première ore commerciale 3G en France
2008 : L'UIT-R établi les spécications IMT-Advanced (en) (International Mobile Telecommunications Advanced) pour les normes
4G.
2011 : Généralisation de la TNT sur le territoire français (DVB-T).
2013 : Début des émissions de la Radio Numérique Terrestre (DAB+).
2013 : Début de la 4G LTE.
....
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Bruit
Codage
Source
Codage
source
Codage
canal
(S)
(Cs)
(Cc)
emetteur
x Codage B de B
Modulation
(M)
Canal
(H)
Canal de transmission
Demod
(D)
Egaliseur
Regenrateur
(E)
y
Decodeur
(Decod)
recepteur
Principe d'une chaîne de transmission numérique
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Bruit
Codage
Source
Codage
source
Codage
canal
(S)
(Cs)
(Cc)
x Codage B de B
Modulation
(M)
emetteur
Source d'information
Canal
Demod
(H)
(D)
Egaliseur
Regenrateur
(E)
Canal de transmission
⇔
communications num.
Informations obtenues :
y
Decodeur
(Decod)
recepteur
signal aléatoire
⇒informations
discrètes.
1
échantillonnage + CAN,
2
symboles d'une source discrète (les 26 lettres de l'alphabet
alphanumérique).
Etape suivante : le codage source
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Bruit
Codage
Source
Codage
source
Codage
canal
(S)
(Cs)
(Cc)
x Codage B de B
Modulation
(M)
emetteur
Codage source
suite de
k
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Canal
Demod
(H)
(D)
Egaliseur
Regenrateur
(E)
Canal de transmission
⇔
y
Decodeur
(Decod)
recepteur
associe à l'information (discrète) de façon bijective une
éléments binaires
Cette suite :
doit être décodable !
prend ses valeurs dans l'alphabet binaire
symbole du code
{ck },
{0b , 1b }
pour former un
éventuellement de longueur variable,
en moyenne la plus courte possible (pas de redondance)
Mesure de la redondance :
la fonction d'entropie (Shannon 1948),
Réalisations : Code Morse, Alg. d'Human,
Etape suivante : le codage canal
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Bruit
Codage
Source
Codage
source
Codage
canal
(S)
(Cs)
(Cc)
x Codage B de B
Modulation
(M)
emetteur
Codage canal
Canal
Demod
(H)
(D)
Canal de transmission
⇔
Egaliseur
Regenrateur
(E)
y
Decodeur
(Decod)
recepteur
lutte contre les eets du canal,
Pour cela, le codage canal :
introduit de bonnes redondances,
ajoute des bits de redondance à
n>k
{ck }
donc le rendement du code ,
pour former
k <1
n
{dn },
permet éventuellement la correction d'erreur (Codes Reed-Solomon,
BCH, ...),
=⇒
résulte d'un compromis {rendement (débit)/pourvoir de correction}
Réalisations : Bit de parité, Code de Reed-Solomon (CD, ADSL), BCH,
Turbo-codes (1993),...
Etape suivante : Codage bande de base + modulation
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Bruit
Codage
Source
Codage
source
Codage
canal
(S)
(Cs)
(Cc)
x Codage B de B
Modulation
(M)
emetteur
Canal
Demod
(H)
(D)
Canal de transmission
Egaliseur
Regenrateur
(E)
y
Decodeur
(Decod)
recepteur
Codage Bande de Base : n'est pas un code au sens mot binaire,
Le codage en bande de base :
donne une réalité physique au message (tension, énergie),
utilise des formes d'impulsion (rectangulaire, impulsion de Nyquist, ...),
donne au spectre du signal des propriétés utiles (bande occupée,
présence de raie à la fréquence d'horloge)
Réalisations : RZ, NRZ, Manchester, code de Miller, code HDB3 , ...
Etape suivante : modulation
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Formes d'impulsion
Principe d'une chaîne de transmission numérique
g (t ) :
1
Impulsion rectangulaire (exemple : sortie de portes logiques, ...),
2
Impulsion de Nyquist (exemple : téléphones numériques 3G (UMTS))
1.2
Impulsion de Nyquist
(alpha = 0.22)
1
0.8
0.6
0.4
g(t)
0.2
V
0
−0.2
Tb
−0.4
−6
0
Tb
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−4
−2
0
2
4
6
t
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Bruit
Codage
Source
Codage
source
Codage
canal
(S)
(Cs)
(Cc)
x Codage B de B
Modulation
(M)
emetteur
Canal
Demod
(H)
(D)
Canal de transmission
Egaliseur
Regenrateur
(E)
y
Decodeur
(Decod)
recepteur
transmission en Bande de Base : le signal bande de base est transmis
sans décalage fréquentiel (ADSL, signal téléphonique RTC)
Modulation numérique :
modulation analogique ayant pour modulant un code bande de base,
réalise une transposition fréquentielle du signal B de B,
Réalisations : ASK, OOK, BPSK, QPSK, QAM, FSK, ...
Etape suivante : Canal de propagation.
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Modulation numérique :
comme pour une modulation analogique
e (t ) = A(t ) × cos (Φi (t ))
avec : A(t ) l'amplitude instantanée, Φi (t ) la phase instantanée.
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Exemple : cas d'une modulation QPSK (QAM-4)
Possible avec :
A(t ) = A = constante
Φi (t ) = 2π fp t + φ(t ) et φ(t ) ∈ 0, + π , − π , π
où fp est la fréquence de la porteuse, φ(t ) peut prendre 4 états de phases.
2
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2
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
ak = ±1
O.L
A × cos(2πfp t )
P
A × sin(2πfp t )
dephas. π2
e(t)
bk = ± 1
Principe d'un modulateur QPSK
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Exemple 2 : QAM-16
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Bruit
Codage
Source
Codage
source
Codage
canal
(S)
(Cs)
(Cc)
x Codage B de B
Modulation
(M)
emetteur
Canal
Demod
(H)
(D)
Canal de transmission
Egaliseur
Regenrateur
(E)
y
Decodeur
(Decod)
recepteur
Canal de transmission : canal hertzien, lignes laires, câble coax., bre
optique, CD,...
Caractérisé : par sa réponse impulsionnelle complexe, par sa bande
passante B,
Limitations : Capacité (Shannon)
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C
= B . log2
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S
1+
N
[Bits/seconde]
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Bruit
Codage
Source
Codage
source
Codage
canal
(S)
(Cs)
(Cc)
x Codage B de B
Modulation
(M)
emetteur
Canal
Demod
(H)
Egaliseur
Regenrateur
(E)
(D)
Canal de transmission
y
Decodeur
(Decod)
recepteur
Bruit : présent pendant la transmission (propagation, bruit équipements,
brouilleurs)
Caractérisé : par sa densité de probabilité, généralement supposé Bruit
Additif Blanc Gaussien (BABG)
p (b ) = q
1
exp
2πσ
avec
µb
la moyenne du bruit et
2
b
µb = 0
(b − µb )2
−
2
2σ
b
et
σb2
la variance du bruit.
Limitations dues au bruit : Capacité (Shannon)
[Bits/seconde]
Etape suivante : Démodulation.
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!
C
= B . log2
S
1+
N
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Bruit
Codage
Source
Codage
source
Codage
canal
(S)
(Cs)
(Cc)
x Codage B de B
Modulation
(M)
emetteur
Canal
Demod
(H)
(D)
Canal de transmission
Egaliseur
Regenrateur
(E)
y
Decodeur
(Decod)
recepteur
Démodulation : opération inverse à celle de la modulation
Démodulation numérique : c'est une démodulation analogique
passage ou non en FI (récepteur super-hétérodyne),
démodulation complexe (passage en voie I et Q),
Etape suivante : Egaliseur-régénérateur
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
A × cos(2πfp t )
Principe d'une chaîne de transmission numérique
ltre adapté à g (t )
âk
t
0
r(t)
+ kT
ltre adapté à g (t )
t
0
+ kT
b̂k
A × sin(2πfp t )
Principe d'un démodulateur QPSK
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Bruit
Codage
Source
Codage
source
Codage
canal
(S)
(Cs)
(Cc)
x Codage B de B
Modulation
(M)
emetteur
Canal
Demod
(H)
Egaliseur
Regenrateur
(E)
(D)
Canal de transmission
y
Decodeur
(Decod)
recepteur
Egaliseur régénérateur : présent pendant la transmission (propagation,
bruit équipements, brouilleurs)
Utilité : lutte contre les eets du canal de transmission pour augmenter le
débit
Capacité (Shannon)
⇒
C
= B . log2
ltrage inverse,
S
1+
N [Bits/seconde], C % si B %
transmission analogique, il s'agit d'un ltrage inverse (cas des
égaliseurs analogiques)
D (f ) = Ĥ − (f ),
1
Attention : transmissions numériques
⇒ltrage
inverse + contraintes
liées à la forme d'impulsion du signal numérique (pour éviter l'IES).
Etape suivante : Décodage.
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Bruit
Codage
Source
Codage
source
Codage
canal
(S)
(Cs)
(Cc)
x Codage B de B
Modulation
(M)
emetteur
Canal
Demod
(H)
(D)
Canal de transmission
Egaliseur
Regenrateur
(E)
y
Decodeur
(Decod)
recepteur
Décodeur : Passage analogique-numérique + décodage canal (correction
d'erreur) + décodage source
Réalisations :
échantillonnage (càd prise de décision) : ltrage adapté
(Matched-lter) + sortie dure (hard decision) ou sortie souple (Soft
decision),
décodage canal (correction d'erreur), exemple : turbo-décodeurs,
déécodeur de Reed-Solomon, ...
décodage source
Fin de la chaîne de réception
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Harry Nyquist (1889-1976)
Claude Shannon (1916-2001)
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Chapitre 1 : Introduction et dénitions de base
Principe d'une chaîne de transmission numérique
Irvin Stoy Reed (1923-2012)
Gustave Solomon (1930-1996)
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Chapitre 2 - La source de l’information
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M1-IST
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage de données discrètes
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Modulation différentielles DPCM
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage de données discrètes
Messages représentés par des symboles en nombres bornés (m symboles
distincts).
Exemple :
les alphabets (26 lettres ou 26 symboles),
les systèmes de numérotation (décimal, octal, . . . ).
On dit qu’on a une représentation m-aires ou à m moments.
Ces symboles peuvent être codés par des symboles m-aires inférieur, par
exemple codés en binaire :
Sources
alpha. simplifié
alphabet
Nombres
Nombres
Nombres
Nombres
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Symb.
lettres
Lettres
Chiffres
Chiffres
Chiffres
Digits
Dimensions
27-aires
128-aires
Déc. : 0-9 10-aires
Hex. : 0-F 16-aires
Ternaire : a,b,c
Binaire : 0-1
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Codage bin.
5 éb
7 éb
4 éb (DCB)
4 éb (. . .)H
2 éb
1 éb
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage de données discrètes
Symboles binaires ⇐⇒ digits ou éléments binaires (notés éb) : bits.
Coder un alphabet à m = 2n symboles avec des mots binaires à n
digits
⇒ il y a m! possibilités.
Exemple : mots de 2 éb (m = 4, n = 2) ⇒ 4! = 24 possibilités.
1
2
“étiquetage” des symboles en code binaire naturel ou en code Gray .
signe ⇒ utiliser des codes binaires décalés ou symétriques ou encore
complément à 2 .
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Chapitre 2 : La source de l’information
Symb.
0
1
2
3
A
B
C
D
+1
+0
-0
-1
nat.
Compl
Gray
00
01
10
11
11
10
01
00
00
01
11
10
Codage de données discrètes
Compl.à
2
01
00
10
11
sym.
autre
etc
11
10
00
01
01
10
01
11
xx
xx
xx
xx
Remarque 1 :
5 premiers codes
signe,
existe des codages plus complexes, exemple mieux adaptés aux
ordinateurs (EBDIC, ASCII, différents DCB,...),
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage de données discrètes
Remarque 2 :
si le nombre de mots binaires possibles est plus grand que le nombre
de symboles codés (alphabet simplifiés, DCB. . .)⇒ on dit que le
codage est redondant par rapport aux codages optimaux (Hexa,
alphabet 128 signes).
Cas redondants ⇒ envisager des codages non-uniformes (mots de
longueur différente pour les différents symboles),
diminue la redondance,
et augmente le débit binaire (codages sources ou compressions),
exemple de mise en oeuvre : algorithme d’Huffman.
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Codage d’une information analogique
Opérations effectuées
Opérations effectuées :
1
2
3
échantillonnage temporel du signal analogique (tension),
quantification sur N niveaux, (pas de quantification uniforme ou non
uniforme),
codage de chacun des niveaux.
En somme, c’est une conversion Analogique/Numérique classique
{échatillonnage+blocage ; CAN}
nomée curieusement Modulation par Impulsion et Codage (MIC) ou Pulse
Coded Modulation en anglais (PCM).
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Première étape : échantillonnage temporelle
x(t)
t
xe(t)
t
Te
L’outil mathématique privilégié pour exploiter l’échantillonnage est la
distribution (impulsion) de Dirac qu’on notera δ(t).
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Chapitre 2 : La source de l’information
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Distribution de Dirac
Quelques rappels sur δ(t) :
x (t).δ(t) = x (0)
x (t) ∗ δ(t) = x (t)
δTe (t) =
+∞
X
δ(t − k.Te ) 7−→
k=−∞
F
cos(2πf0 t)) 7−→
1
2
F
1
Te δ1/Te (f )
(δ(f − f0 ) + δ(f + f0 ))
où :
“∗” est le produit de convolution,
δTe (t) est appelé “peigne de Dirac”,
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Chapitre 2 : La source de l’information
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L’échantillonnage idéal d’un signal x (t) à la période période Te :
xei (t) = x (t).δTe (t)
(1)
la transformée de Fourier Xei (f ) = F(xei (t)) s’écrit :
Xei (f ) =
X (f ) ∗
1
Te
=
1
Te δ1/Te (f )
k
)
X (f −
Te
k=−∞
+∞
X
(2)
conséquences de l’échantillonnage
Le spectre du signal échantillonné est :
la somme de versions décallées de X (f ),
atténuées d’un facteur 1/Te .
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x(t)
x(t)
t
δ (t)
Te
−Te
Te 2Te
t
δ (f)
1/Te
−Fe
0
Fe
2Fe
f
Φ (f)
x
0 Fmax
f
2
Φ ei(f) .Te
−Fe
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Fe/2
Fe
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f
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La densité spectrale de X (f ) 7→ Φxei (f ) :
Φxei (f ) =
1
Te
2 +∞
X
k
).
Φx (f −
Te
k=−∞
D’où le théorème d’échantillonnage de Shannon-Nyquist :
Théorème de Shannon-Nyquist
Soi un signal à spectre de type passe-bas strictement borné par Fmax ,
échantillonné à la fréquence Fe .
La condition de réversibilité impose :
Fe ≥ 2.Fmax .
(3)
Remarque : le signal réel x (t) a forcément un contenu spectral dépassant
Fmax (Bruits de mesure), ⇒ l’échantilonneur bloqueur doit être précédé
par un filtre anti-repliement (ou anti-aliasing en anglais).
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Mise en oeuvre de l’échantillonnage
durée de conversion des CAN ⇒ échantillonneur bloqueur.
Modèle de l’échantillonneur bloqueur : rectτ (t) (brève impulsion
rectangulaire de largeur τ )
x (t)
ei
x(t)
t
τ
Xei (f ) s’obtient par :
xei (t) = [x (t).δhTe (t)] ∗ rectτ (t − iτ2 )
Xei (f ) =
=
sin(πτ f )
1
δ
(f
)
∗
X
(f
)
.τ
exp (−jπf τ )
1/Te
T
πτ
f
e


+∞
X
sin(πτ f )
1
k 

X
(f
−
)
.τ
Te
Te
πτ f exp (−jπf τ )
k=−∞
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Chapitre 2 : La source de l’information
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Remarque : Le spectre d’origine , en plus de la périodisation en fréquence,
affecté d’une atténuation complexe en sin(x )/x
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Conversion analogique numérique
1
phase d’échantillonnage temporel
2
coder numériquement l’échantillon analogique.
plage de conversion d’amplitude crête-crête V (écrêtage de l’amplitude
du signal)
le codage numérique par appartenance à une “plage de tension”.
plages de tensions
⇔
plage de conversion V en N plages de
niveaux d’amplitudes ∆i = Vi+1 − Vi
Attention : non nécessairement de taille égale.
A chaque plage correspond une tension de seuil de V0 à VN−1
généralement au milieu de la plage de conversion.
La conversion s’opérera par détection de franchissement de ces seuils.
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Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Les niveaux quantifiés sont alors :
1
numérotés,
2
puis codés en binaire (binaire naturel, code de gray, ou autres).
Remarque :
conversion simple si N = 2n ,
composants : Converstisseurs Analogiques-Numérique (CAN ou ADC
en anglais pour Analog to Digital Convertors).
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Bruit de quantification
Bruit additif de quantification ⇔ erreur de quantification :
eq (t) = x (t) − xq
(4)
N
0110
xq(t)
0101
x(t)
0100
0011
0010
0001
0000
∆
2∆ 3∆ 4∆ 5∆ 6∆
v(t)
eq(t)
∆/2
v(t)
−∆/2
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Chapitre 2 : La source de l’information
1
2
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
x (t) est équiréparti dans la plage V ⇒ le signal d’erreur eq (t) est à
moyenne nulle.
les ∆i ne sont pas nécessairement équidistants.
Si (heq i = 0), alors la puissance moyenne de buit est égale à sa variance :
h
σq2 = E eq2
i
(5)
Si le signal a la densité de probabilité p(x ) de prendre la valeur x , il
aura la probabilité p(xi ) d’être quantifié en xi .
Rappel :
+∞
Z
p(x )dx
−∞
N−1
X
i=1
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= 1
(6)
p(xi )∆i
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= 1
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
On peut donc, d’après 5 et 6, exprimer σq2 sous la forme :
σq2 =
N−1
X Z
(x − xi ) p(x )dx
N−1
X
Z
i=0
∆i
2
(7)
(8)
S’il est possible d’assimiler p(x ) et p(xi ), (N grand) :
σq2 =
i=0
p(xi )
∆i
2
(x − xi ) dx
Si xi est la médianne de l’intervalle, (7) s’écrit :
σq2
=
N−1
X
i=0
=
N−1
X
i=0


p(xi ) 
xi +∆
Z i /2
xi −∆i /2
∆3i
p(xi ). 12


2
(x − xi ) dx 
(9)
⇒ connaître p(xi ) permet de minimiser la puissance du bruit de
quantification σq2 .
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Chapitre 2 : La source de l’information
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Quantification uniforme
y
+1
D=
2
N
α
2
−1
+1
∆i = ∆ = D
−1
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x
Quantification uniforme
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Si p(xi ) = cste (Loi uniforme) alors ∆i = ∆ et (9) devient :
2
∆
σq2 =
12
Pour une conversion sur n bits et une plage de conversion V
∆ = 2nV−1 approximé par ∆ = 2Vn ( 2n grand)
pas de quantification ∆ “quantum”.
(10)
Second critère de choix d’un CAN : le RSB
Dans la pratique, on le choix d’un CAN s’effectue généralement à partir de
considérations sur le RSB (Rapport Signal à Bruit). Le RSB est définit
par :
Px
RSB = 2
σq
(11)
Px : puissance du signal analogique à quantifier
σq2 puissance du bruit de quantification.
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
En décibel (dB), l’équation (11) donne :
RSBdB = 10.log10
Px
σq2
= 6.n + 10.77 − 10.log10
F : facteur de crête
Px
V2
− [FdB ]
(12)
Empiriquement F est de l’ordre de 12 à 15 dB pour la quantification
des signaux sonores.
Remarque 1 : Ce rapport signal sur bruit dépend beaucoup de l’amplitude
du signal par rapport à la plage V , ce qui défavorise les petits signaux.
Remarque 2 : Ce rapport augmente de 6dB quand on double le nombre de
niveaux c’est à dire quand on ajoute un digit de codage.
Remarque 3 : si x (t) signal sinusoïdal d’amplitude crête-crête V
(Amplitude Max. = V /2), (12) devient :
RSBdB = 6 × n + 1.8 − [FdB ]
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(13)
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Quantification non-uniforme
y
+1
D=2/N
∆i
∆ i+1
α
2
−1
+1
xi
N niveaux
−1
x
Codage non−uniforme
Signal codé y normalisé et signal converti (entre −1 et +1),
N niveaux, y divisé en N intervalles équidistants : D = 2/N.
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Chapitre 2 : La source de l’information
1
2
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Loi uniforme ⇒ intervalles sur x équidistants : ∆i = ∆ = D et
tan (α) = 1.
Loi non uniforme, toujours D = 2/N=constante, mais ∆i différents.
On a :
tan (α) =
dy
dx
D
2
∆i =
=
tan (α)
N
x =xi
dx
dy
x =xi
Remarque : ∆i est divisé par 2 pour un digit de codage suplémentaire (car
N = 2n ).
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Loi A et loi µ
Loi A et loi µ : conversion non-uniforme
objectif
Rendre le rapport signal sur bruit de quantification indépendant du niveau
du signal,
c’est-à-dire imposer σP2x = cste.
Q
Puissance du signal :
Px =
Z 1
−1
x 2 p(x )dx
Puissance de bruit donné par (9) avec ∆i dépendant de x , à la limite
et en remplaçant ∆i par son expression :
σq2 =
Z+1
p(x ).
−1
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∆2i
12
dx =
Z+1
−1
UE433 (Ch 2)
p(x ).
h
2 dx
N dy
12
i2
dx
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Le RSB s’écrit alors :
Px
=
σq
possible avec
D’où
Px
σq
=
dx
dy
3N 2
k2
en dB :
Px
σq
= kx
dB
Z+1
x 2 p(x )dx
−1
Z+1
1
3N 2
−1
h
dx
dy
i2
= cste
p(x ).dx
= 6n + 4.7 − 20.log10 (k)
(car N = 2n avec n le nombre de bit)
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Chapitre 2 : La source de l’information
Si
dx
dy
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
= kx alors :
1
y = Ln |x | + 1
k
Irréalisable au voisinage de “0”, les approximations pratiques sont les
suivantes :
Loi µ : (Etats Unis)
|)
y = ln(1+µ|x
ln(1+µ)
µ = 255
Loi A : (Europe)
(
Ax
y = 1+ln(A)
y =
A = 87, 6
1+ln(A|x |)
1+ln(A)
si |x | <
si |x | ≥
1
A
1
A
[1] ITU -R Recommendation G.711, Pulse Code Modulation of voice
frequencies
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Loi A et loi mu
Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Loi A
0.7
Loi mu
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Valeurs de x
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
Mise en oeuvre pratique
n segment
7
◦
y
Pente
1/4
1/2
1
1
1
4
2
1
3
4
8
16
1
6
5
2
1
x
1 A B C D 0 1 A B C D # # ! ! 0 0 1 A B C D $$#$# $$#$# ""!"!% ""!"!% ' '
0 0 0 1 A B C D $
# $# &"!&%&% &"!&%&% (('(') (('(')
0 0 0 1 1 A B C D &
% &% *('*)*) *('*)*)
0 0 0 0 1 0 A B C D *
) *)
CAN : 12 bits
1
1
1
1
Compression 13 segments
codé sur 8 bits
1
1
1
1 A B C D
1
1
1
0 A B C D
1
1
0
1 A B C D
1
1
0
0 A B C D
1
0
1
1 A B C D
1
0
1
0 A B C D
0
0
0
0
0
0
1 A B C D
1
0
0
1 A B C D
0
0
0
0
0
0
0 A B C D
1
0
0
0 A B C D
bit de signe
n◦ du segment
Son 8 bits Loi A
1
Europe : compression et codage à 13 segments,
2
Etats Unis : compression similaire à 15 segments
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Chapitre 2 : La source de l’information
Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)
MIC 30 voies
[2] Norme CEPT Commission Européenne des Postes et
Télécommunications.
Te = 125 µs => Fe = 8 kHz
MVT 1
IT : 0
1
2
2
16
1
D=2Mbits/s : 30 voies,
2
D=8Mbits/s : 120 voies,
3
D=34Mbits/s : 480 voies,
4
D=140Mbits/s : 1920 voies.
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16
17
30
17
18
31
UE433 (Ch 2)
MVT
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Chapitre 2 : La source de l’information
s(n)
s(t)
+
s(n)-e(n)
P
-
A
Modulation différentielles DPCM
m bits
N
N
A
s*(n)-e*(n)
+
P
s*(n)
+
e*(n)
e(n)
extrapolateur
extrapolateur
MIC Différentielle (DPCM) : on ne transmet que la différence.
s(t)
s(n) P
+
s(n)-e*(n) A
- e*(n)
s*(n)
extrapolateur
N
s*(n)-e*(n)
P
+
+
N
m bits
N
s*(n)-e*(n)
+
A
A
P
s*(n)
+
e*(n)
Filtre passe−bas
de lissage
extrapolateur
Modulateur différentiel
Remarque 1 : choix de l’interpolateur fonction de la statistique du signal
s(t).
Remarque 2 : l’interpolation la plus courante consiste à prendre
simplement l’échantillon précédent e*(n)=s*(n-1).
Remarque 3 : on peut parfois améliorer l’interpolation en intégrant le
signal avant codage (exemple : modulation delta-sigma (Σ∆)).
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Chapitre 2 : La source de l’information
Modulation différentielles DPCM
Modulation ∆
Cas particulier : modulation ∆ :
∆
1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 2)
t
t
Phénomène de traînage
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UE433 Communications numériques
Chapitre 3 - Choix d’un code en bande de base (BdeB)
Jean-Pierre Barbot
Université Paris Sud 11 / ENS Cachan
M1-IST
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1
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Mise en équation
Classification
Codes BdeB usuels
Embrouillage et étalement de spectre
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 3)
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2 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Signal en Bande de Base (BdeB) ⇔ signal n’ayant pas subit de
transposition en fréquence
un code en bande de base 6= codage source ou canal, n’est pas un
cryptage,
consiste à :
choisir une forme d’impulsion de tension,
des niveaux de tension
ceci afin de transmettre un débit D dans un canal de bande passante
B.
Le codage en BdeB assure une DSP compatible avec la fonction de
transfert du canal, + transmission fréquence horloge.
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UE433 (Ch 3)
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3 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Bruit
Source
Codage
(S)
(C)
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Modulation
(M)
Canal
(H)
UE433 (Ch 3)
Demodulation
(D)
Egaliseur
Regenrateur
(E)
Decodeur
(Decod)
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4 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 3)
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5 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 3)
Vendredi 13 mars 2015
6 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Mise en équation
3.1 Mise en équation
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 3)
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7 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Mise en équation
Objectif : transmettre dn , mot de code constitué d’une suite d’éléments
binaires {βn },
⇒on émet e(t) (Pulse Amplitude Modulation : PAM)
e(t) =
X
k
ak .g(t − kT )
(1)
ak pris dans un alphabet de tension {A0 , A1 , · · · , AM−1 } à M niveaux
de tension possibles (cas d’un codage de tension M-aire),
g(t) une forme d’impulsion (ex : rectangulaire de durée T ,
triangulaire de durée T , impulsion de Nyquist de durée T ).
T est la durée du symbole transmis avec T = n.Tb , (transmission
d’un n-uplet d’éléments binaires choisi parmi M = 2n éléments
possibles).
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UE433 (Ch 3)
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Mise en équation
Exemples de forme d’impulsion
g(t)
V
0
Tb
t
Impulsion rectangulaire
1.2
Impulsion de Nyquist
(alpha = 0.22)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
Tb
−0.4
−6
−4
−2
0
2
4
6
Impulsion de Nyquist
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UE433 (Ch 3)
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Mise en équation
Exemple : Cas binaire
M = 21 ,
1 seul élément élément binaire transmis pendant T = 1.Tb ,
ak peut prendre les amplitudes A0 = 0 et A1 = +1.
Exemple : Cas quaternaire
n = 2,
2 éléments binaires transmis simultanément,
M = 22 = 4,
T = 2.Tb ,
ak peut prendre par exemple les amplitudes A0 = 0, A1 = +1 ,
A2 = +2, A1 = +3 (cas d’un format unipolaire).
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
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Mise en équation
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Mise en équation
La rapidité de modulation en sortie du codeur ligne est donc :
R =
=
=
1
T
1
nTb
D
log2 (M)
(2)
Le débit binaire D = 1/Tb (en bits/s),
la rapidité de modulation R = D/log2 (M) (en Bauds).
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Mise en équation
e(t) sous forme d’un produit de convolution :
a(t) =
X
k
e(t) = g(t) ∗ a(t)
(3)
ak .δ (t − kT ).
La DSP du signal émis s’écrit (formule des interférences) :
φee (f ) = |G(f )|2 × φaa (f )
(4)
φee (f ) est le V 2 /Hz,
G(f ) = T .F .(g(t)),
φaa (f ) D.S.P. de a(t).
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Mise en équation
Or a(t) est aléatoire ⇒ impossible de calculer A(f ).
La DSP φaa (f ) s’obtient par :
φaa (f ) = T .F . (Raa (τ ))
avec Raa (τ ) définie par :
Raa (τ ) =
=
E [a∗ (t).a(t + τ )]
lim T1
T 7→+∞
Z +T /2
−T /2
a∗ (t).a(t
+ τ ).dt
(5)
(unité de Raa (τ ) est le V 2 ).
On obtient φaa (f ) à partir des propriétés statistiques de ce signal (codes
avec ou sans mémoire, moyenne statistique nulle, stationnarité, ...).
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Mise en équation
Remarque 1 La densité spectrale de puissance φee (f ) d’un signal
numérique e(t) est constituée d’éventuelles raies et du
module au carré de la transformée de Fourier G(f ) au carré
de l’impulsion g(t). Parmi les propriétés recherchées dans
certains codes en bande de base, celle de la présence de
raies à la fréquence d’horloge du code (fhorl−code = 1/T )
est très importante. Cette propriété permet la
synchronisation du récepteur à l’aide par exemple d’une PLL,
boucle de Costas, ....
Remarque 2 La fonction d’autocorrelation de e(t), Ree (τ ) est périodique.
Cette propriété s’appele la cyclostationarité. Elle est utilisée
dans certaines applications pour la récupération du rythme T
et la synchronisation.
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Classification
3.2 Classification
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Classification
Les codes en BdeB peuvent être classés suivant les arguments :
1
Codes (ou formats) NRZ et RZ,
2
Codes (ou formats) M-aires unipolaires ou antipolaires,
3
Codes avec ou sans mémoires
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Classification
Codes RZ et NRZ
RZ = Return to Zero
l’impulsion utilisée repasse par zéro pendant T
g(t) =


 6= 0


0
∀t ∈ [0, λT [
∀t ∈ ]λT , T ]



NRZ = Non Return to Zero
l’impulsion utilisée ne repasse pas par zéro pendant T
g(t) 6= 0 ∀t ∈ [0, T [
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Classification
Codes (ou formats) M-aires unipolaires ou antipolaires
M-Aires : information codée sur plusieurs niveaux de tension
(Bin-aires = 2 niveaux de tension)
Les codes unipolaires ⇔ un seul signe,
càd ttes les différentes amplitudes possibles de ak
(ak ∈ {0, 1, 2, · · · , m − 1}) pour un codes m-aire sont toutes positives
(ou toutes négatives. ⇒ leurs moyennes ne sont pas nulles.
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Classification
Codes (ou formats) M-aires unipolaires ou antipolaires
(suite)
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Classification
Codes (ou formats) M-aires unipolaires ou antipolaires
(suite)
Les codes antipolaires sont symétriques par rapport à 0, on distingue :
les cas pairs : ak ∈ ±12 , ± 32 , ± 52 , · · · , ± m2
les cas impairs : ak ∈ 0, ± 12 , ± 23 , ± 52 , · · · , ± m2
Les codes antipolaires peuvent être à moyenne statistique nulle.
Exemple :
pour une transmission binaire ak = ± 12 peut convenir,
Le casn impairo ne peut convenir au binaire (exemple du cas ternaire
ak ∈ 0, ± 21 à trois niveaux), mais peut être utilisé pour un système
binaire pseudo-ternaire.
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Classification
Codes avec ou sans mémoire
Codes BdeB sans mémoire : transcodage systématique.
exemple : dans le cas binaire, on aura toujours :
ak = +1 si βk = 1
ak = 0 si βk = 0
Codes avec mémoire utilise les valeurs des bits précédemment
transmis (βk−1 , βk−2 , ... etc) pour déterminer la valeur de ak .
exemple : codes AMI (Alterned Marked Impulsion) où le bit βk = 1
est codé altenativement par ak = +1 et ak = −1.
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
3.3 Codes BdeB usuels
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Rappel :
φee (f ) = |G(f )|2 × φaa (f )
(6)
Dans le cas d’un code BdeB :
1
2
à symboles indépendants (sans mémoire),
à symboles identiquement distribués (même Prob. d’apparition pour
chaque symbole)
alors :
φaa (f ) =
σa2
T
+
+∞
2
X
ma
δ f
2
T k=−∞
k
−
T
(7)
ma la moyenne statisque de ak (ma = E [ak ] ∀k),
h
et σa2 la variance du signal (σa2 = E |ak − ma |
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2
i
∀k).
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Codes NRZ binaires
NRZ binaire antipolaire
g(t)
1l
0l
1l
0l
0l
1l
+V
t
−V
Tb
2Tb
3T b
4T b
5T b
6T b
on a :
ak = +1 si βk = 1
ak = −1 si βk = 0
alors ma = 0, σa2 = V 2 .
Pour la forme d’impulsion rectangulaire (généralement le cas) :
sin πfTb
φee (f ) = V Tb .
πfTb
2
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2
(8)
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Code NRZ binaire unipolaire on a :
ak = +1 si βk = 1
ak = 0 si βk = 0
⇒ ma = +V /2 et σa2 = V 2 /4, d’où :
φee (f ) =
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V 2T
4
b
sin πfTb
.
πfTb
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2
V2
δ(f )
+
4
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(9)
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Code NRZ M-Aire
Généralisation du code NRZ binaire.
Soit ak ∈ {±1, ±2, · · · , ±(M − 1)},

m


 a



σa2
= 0
=
2
M
(M/2)−1
X
p=0
(2p + 1)2
Si impulsion rectangulaire de durée T = nT b
2
sin πfT
(M − 1)
2
φee (f ) =
.V T .
3
πfT
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2
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(10)
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Codes RZ binaires
Pour un RZλ et une impulsion rectangulaire, on a :
g(t) =
φee (f ) =


 +V


V 2 λ2 T
4
b
0
.
V 2 λ 2 Tb
+ 4
∀t ∈ [0, λTb ]
∀t ∈ ]λTb , Tb ]
sin πf λTb
πf λTb
+∞
X k=−∞
2
sin (kπλ)
kπλ



2 k
δ f −
Tb
(11)
Le plus classique : code RZ1/2 .
Pour RZ1/2 :
Avantage : Raie à 1/Tb ,
Incovéniant : longue suite de 0l ⇒ D.S.P. s’annule.
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Code Manchester :
ak = +1 si βk = 1
ak = −1 si βk = 0
Pour une impulsion rectangulaire :
g(t) =



 +V
∀t ∈ 0, T2b
2
−V



φee (f ) = V Tb .
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i 
i 
∀t ∈ T2b , Tb 

i
0
alors :
h
∀t ∈
/ [0, Tb ]
sin πf
πf
Tb
2
Tb
2
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!2 Tb
. sin πf
2
2
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(12)
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
remarque 1 : Codage Manchester est un transcodage 1B2B
(le 1l est codé par 10 alors qu’un 0l est codé par 01. Les
deux mots 11 et 00 ne sont jamais utilisés.
remarque 2 : La DSP d’un code Manchester a une raie à la fréquence
f = 1/Tb (synchronisation possible).
Sa densité spectrale de puissance est nulle à f = 0.
Une longue suite de 0l ⇒ D.S.P. 7→ 0.
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Codes en Bande de Base à symboles dépendants
Code Bipolaire RZ1/2 : (également appelé code AMI-RZ1/2 )
ak = ±1 si βk = 1
ak = 0 si βk = 0
donc ma =0 et σa2 = 1/2.
Impulsion de type RZ1/2 , ici de forme rectangulaire :
g(t) =



 +V



0
h
∀t ∈ 0, 12 Tb
∀t ∈
i
i 
1
2 Tb , Tb


i 
V 2 Tb 2
2 πfTb
φee (f ) =
sin (πfTb ) .sinc
4
2
(13)
Remarque : le code bipolaire RZ1/2 est un code à symboles dépendants
(ou code avec mémoire)
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Cas d’un code avec mémoire
Pour un code avec “mémoire” :
φaa (f ) =
σa2
T
+
∞
2σa2 X
T
k=1
Raa (k) cos (2πkfT ) +
+∞
2
X
ma
δ f
2
T k=−∞
k
−
T
(14)
2 la variance du
avec : ma la moyenne
statisque
de
a
(m
=
E
[a
]
∀k),σ
a
k
k
a
h
i
signal (σa2 = E |ak − ma |2 ∀k), Raa (k) fonction d’aucorrélation
normalisée des symboles ak
E [(an − ma ) (an−k − ma )]
Raa (k) =
σa2
Remarque : e(t) prend 3 niveaux de tension : {+V , −V , 0}, (1l codé
alternativement par {+V , −V }, 0l par 0 Volts : code pseudo-ternaire.
Si{βk } est une longue succession de 0l ⇒ D.S.P. → 0.
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Code Bipolaire NRZ (AMI NRZ)
Comme pour le code bipolaire :
ak = ±1 si βk = 1
ak = 0 si βk = 0
Avec g(t) NRZ de forme rectangulaire
g(t) =


 +V


Longue suite de 0l , D.S.P 7→ 0.
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0
∀t ∈ [0, Tb ]
∀t ∈
/ [0, Tb ]
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


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33 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Codes HDBn
But : éviter DSP 7→ 0 pour une longue suite de 0l ,
⇒ code HDBn interdisent la transmission de plus de n “0l ” successifs.
Le plus utilisé, le code HDB3 :
Exemple :
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34 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
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Codes BdeB usuels
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35 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Code de Miller :
Ce code contient une transistion au moins toutes les deux durées Tb ,
⇒ récupération possible de l’horloge.
[1 − cos (πfTb )]
φee (f ) = V Tb [1 − cos (2πfTb )]
(πfTb )2
2
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(15)
36 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
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Codes BdeB usuels
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
Codes BdeB usuels
UE433 (Ch 3)
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38 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Autres codes en BdeB :
Buts :
s’affranchir d’une suite de digits identiques,
éventuellement de détecter des erreurs, ...
Moyen : transcodage de x éléments binaires en mots de y symboles
M-aires.
Nom : transcodage xByM (bien sur M y > 2x ).
Exemple :
le transcodage 5B6B (32 mots binaires de 5 digits en 64 mots binaires de
6 digits) un mot sur deux n’est pas utilisé ce qui permet de détecter des
anomalies de transmission.
Le transcodage 4B3T qui transforme 16 mots binaires en 27 mots
ternaires, très utilisé car bien adapté aux câbles coaxiaux.
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UE433 (Ch 3)
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Codes BdeB usuels
Cas particulier :
code CMI (Coded Mark Inversion)
Il s’agit d’un code établi à partir d’un transcodage 1B2B. Le bit βk = 0 est
codé par la suite binaire 10 et le bit βk = 1 est codé alternativment par 11
et 00. Ce transcodage est bien adapté à la transmission sur fibre optique.
code Manchester
Il s’agit à nouveau d’un code établi à partir d’un transcodage 1B2B.
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UE433 (Ch 3)
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Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Embrouillage et étalement de spectre
3.4 Embrouillage et étalement de spectre
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UE433 (Ch 3)
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41 / 42
Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base
Embrouillage et étalement de spectre
Afin d’assurer dans une suite d’éléments binaires une succession de
transistion suffisante, on utilise parfois un embrouilleur-désembrouilleur :
Autres applications :
pour le cryptage d’informations numériques,
pour l’étalement de spectre (exemple : communications par satellites
en large bande),
pour permettre l’accès multiple
en CDMA (exemple
de système : la42 / 42
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UE433 (Ch 3)
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UE433 Communications numériques
Chapitre 4 - Transmission dans un canal en bande de
base (non bruité)
Jean-Pierre Barbot
Université Paris Sud 11 / ENS Cachan
M1-IST
Vendredi 13 mars 2015
1
Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Définitions (et rappels)
Carractéristiques du canal
Premier critère de Nyquist
Impulsions de Nyquist
Capacité du canal
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 4)
Vendredi 13 mars 2015
2 / 28
Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Définitions (et rappels)
4.1 Définitions (et rappels)
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 4)
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3 / 28
Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Définitions (et rappels)
Objectif : transmettre dn , mot de code constitué d’une suite d’éléments
binaires {βn },
⇒on émet e(t) (Pulse Amplitude Modulation : PAM)
e(t) =
X
k
ak .g(t − kT ) = a(t) ⊗ g(t)
(1)
ak pris dans un alphabet de tension {A0 , A1 , · · · , AM−1 } à M niveaux
de tension possibles (cas d’un codage de tension M-aire),
⊗ est le produit de convolution, a(t) =
X
k
ak .δ(t − kT ),
g(t) une forme d’impulsion (ex : rectangulaire de durée T ,
triangulaire de durée T , impulsion de Nyquist de durée T ).
T est la durée du symbole transmis avec T = n.Tb , (transmission
d’un n-uplet d’éléments binaires).
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UE433 (Ch 4)
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4 / 28
Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Définitions (et rappels)
Définitions à connaître :
1
2
La rapidité de modulation : R = 1/T (ou rapidité de modulation), R
s’exprime en Bauds.
Le débit binaire D = 1/Tb (en bit/s),avec Tb la durée d’un bit (ou
digit) .
Comme T = log2 (M).Tb , on a :
D
R=
log2 (M)
(2)
D’où, pour M (ou moments) fixé :
M
2
3
4
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
D
D=R
D = 1.538R
D = 2R
UE433 (Ch 4)
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5 / 28
Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Carractéristiques du canal
4.2 Caractéristiques du canal
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UE433 (Ch 4)
Vendredi 13 mars 2015
6 / 28
Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Bruit
n(t)
e(t)
Source
+codage
(S+C)
Filtre
d’emission
G(f)
Carractéristiques du canal
Fitre de
reception
Canal
(H)
Gr(f)
r(t)
d(t)
t=t0+nT
Detecteur
a seuil
Canal supposé :
1
linéaire et invariant ⇒ entièrement caractérisé par sa réponse
fréquentielle H(f ),
2
bruité par un bruit n(t) additif.
3
de type passe-bas et de bande B (transmission en bande de base).
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UE433 (Ch 4)
Vendredi 13 mars 2015
7 / 28
Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Bruit
n(t)
e(t)
Source
+codage
(S+C)
Filtre
d’emission
G(f)
Carractéristiques du canal
Fitre de
reception
Canal
(H)
Gr(f)
r(t)
d(t)
t=t0+nT
Detecteur
a seuil
Le signal reçu et filtré r (t), s’écrit :
r (t) = gr (t) ⊗ h(t) ⊗ X
e(t) + gr (t) ⊗ n(t)
= gr (t) ⊗ h(t) ⊗
ak .g(t − kT ) + b(t)
=
X
k
k
ak .y (t − kT ) + b(t)
(3)
g(t) la forme d’impulsion (filtre d’émission G(f )),
gr (t) la réponse impulsionnelle du filtre de réception (de fonction de
transfert Gr (f )),
b(t) la contribution du Bruit
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UE433 (Ch 4)
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8 / 28
Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Carractéristiques du canal
Précisons :
b(t) est supposé Additif Blanc Gaussien (BABG), à moyenne nulle et
de variance σ 2 :
!
2
1
b
(4)
p(b) = √
exp − 2
2
2σ
2πσ
Le filtre de réception peut être optimisé afin de maximiser le rapport
signal sur bruit après réception.
Dans ce cas :
Gropt (f ) = (G(f ).H(f ))∗
(5)
Nous supposerons maintenant que Gr (f ) = Gropt (f ).
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UE433 (Ch 4)
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Carractéristiques du canal
Ainsi, après échantillonnage à l’instant de prise de décision, nous aurons
donc :
r (t0 + nT ) =
X
k
ak .y (t0 + nT − kT ) + b(t0 + nT ) = d(t0 + nT )
r (t0 + nT ) = an y (t0 ) +
X
k6=n
ak .y (t0 + (n − k) T ) + b(t0 + nT )
(6)
Dans cette espression :
an y (t0 ) représente l’information voulue,
X
k6=n
ak .y (t0 + (n − k) T ) terme due à l’Interférences Entre Symboles
transmis (IES),
et b(t0 + nT ) contribution du bruit BABG.
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Carractéristiques du canal
Pour un récepteur est parfaitement synchronisé, on souhaite qu’à l’instant
de prise de décision :
r (t0 + nT ) = an y (t0 ) + b(t0 + nT )
(7)
donc il faut :
X
k6=n
ak .y (t0 + (n − k) T ) = 0
(8)
Le terme d’interférence entre symboles s’écrivant :
IES =
=
X
k6=n
X
k
ak .y (t0 + (n − k) T )
ak .gr (t0 + nT ) ⊗ h(t0 + nT ) ⊗ g(t0 + (n − k) T )
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Carractéristiques du canal
L’IES dépend ainsi de h(.) et du choix de g(.) et de gr (.).
Dans le cas d’un filtre de réception optimal Gropt (f ) = (G(f ).H(f ))∗
et pour une synchronisation parfaite, l’annulation de l’IES consiste à
choisir une forme d’impulsion compatible avec le canal et telle que
l’IES soit nulle (équation (8)).
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Carractéristiques du canal
En résumé :
Le canal de transmission engendre plusieurs effets :
1
2
3
De possibles interférences entre symboles (IES) ⇒ forme de
l’impulsion et filtre de réception en fonction de critères liés à la
réponse impulsionnelle du canal.
Le canal sera supposé, pour une transmission en bande de base, de
type passe-bande de bande passante B,
⇒ choix de choix : le “premier critère de Nyquist”.
La bande passante limitée B et la présence de bruit conduisent à
limiter le débit maximal de la transmission D : Dmax < C , C la
“capacité de Shannon”.
A cause de ce buit additif, il y a des risques d’erreurs de décision en
sortie du détecteur à seuil
⇒ calcul de la“probabilité d’erreur”.
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Premier critère de Nyquist
4.3 Premier critère de Nyquist
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Premier critère de Nyquist
En l’absence de bruit, on a :
r (t0 + nT ) = an y (t0 ) +
Si on souhaite que :
X
k6=n
ak .y (t0 + (n − k) T )
(9)
r (t0 + nT ) = an y (t0 )
il faut que :
y (t0 + nT ) =
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))


 y (t0 ) pour n = 0


(10)
0 ∀n 6= 0
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Premier critère de Nyquist
Exprimons cette condition en sortie de l’échantillonneur de prise de
décision d(t) :
X
d(t) = y (t)
n
δ (t − t0 − nT )
(11)
dont la transformée de Fourier s’écrit :
1X
D(f ) =
Y
T n
Or, comme (11) s’écrit également :
d(t) =
X
n
n
f −
T
e
t
−j2πn T0
(12)
y (t0 + nT )δ (t − t0 − nT )
(13)
expression dont la transformée de Fourier est :
D(f ) =
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X
n
y (t0 + nT ).e −j2πf (t0 +nT )
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(14)
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Premier critère de Nyquist
Sachant que (12) et (14) sont égales (unicité de la transformée de
Fourier), il vient :
X
n
En posant :
Y
n
f −
T
Y
(t0 )
e
−j2π (f − Tn )t0
= T .y (t0 )
Y (f ) j2πft0
.e
(f ) =
y (t0 )
(15)
(16)
le premier critère de Nyquist s’énonce donc ainsi :
X
n
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
Y
(t0 )
n
f −
T
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=T
(17)
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Premier critère de Nyquist
A SAVOIR
1
2
3
On ne peut pas transmettre sans Interférence Entre Symboles (IES)
un signal de rapidité de modulation R = 1/T dans une bande
inférieure à 1/2T .
un canal respectant le premier critère de Nyquist est tel que
B ≥ 1/2T .
On appelle bande de Nyquist :
BNyquist = 1/2T
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(18)
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Impulsions de Nyquist
4.4 Impulsion de Nyquist
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Impulsions de Nyquist
Toutes les fonctions qui satisfont l’équation (17) :
X
n
Y
(t0 )
vérifient le critère de Nyquist.
n
f −
T
=T
L’impulsion du filtre rectangulaire :


 G1 (f ) = T


G1 (f ) = 0
h
1
1
∀f ∈ − 2T
, 2T
ailleurs
i
vérifie l’équation (17),
d’où à g1 (t) = sinc
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πt
T
.
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Impulsions de Nyquist
Problème : lobes secondaires élevés (dramatique en cas d’une mauvaise
synchronisation)
Il faut chercher un filtre ayant des lobes secondaires moins élevés....
Donc 2 critères :
1
Vérifier le 1er critère de Nyquist,
2
avoir une impulsion ayant de faibles lobes secondaires.
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Impulsions de Nyquist
Impulsion de Nyquist
Le filtre en cosinus surélevé vérifie ces 2 critères :
G2 (f ) =







et donc g2 (t) =
T
2
h
T
i
1
1 + sin πT
α
2T − |f |
G1 (f ) = 0
h
1−α
,
∀f ∈ − 1−α
2T
2T
1−α
1−α
≤
|f
|
≤
2T
2T
i
ailleurs
παt
sin( πt
cos
)
(
T
T )
πt
.
T
2
1−4α2 t 2
T
.
avec α,le Roll Off, tel que 0 ≤ α ≤ 1.
Pour α = 0, on reconnait l’impulsion g1 (t), pour α = 1 on reconnait
l’impulson du filtre de Hanning.
Exemple : pour le système de téléphonie radio-mobile 3G UMTS,
l’impulsion a un Roll Off α = 0.22.
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
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Impulsions de Nyquist
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
Impulsions de Nyquist
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Capacité du canal
4.5 Capacité du canal
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Capacité du canal
Hartley, Tuller et Shannon (HTS) ont établi une formule universellement
reconnue comme critère bien qu’en grande partie empirique :
m ≤ mmax =
s
S
1+
N
(19)
où S/N est le rapport signal sur bruit, S étant la puissance du signal, N la
puissance du bruit.
rappel Comme S et N sont des puissances, le rapport signal sur bruit
exprimé en dB s’obtient par (S/N)dB = 10.log10 (S/N).
C’est une limite supérieure qu’on ne peut “a priori” jamais atteindre, mais
qui permet de caractériser les performances maximales d’un canal de
transmission.
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Capacité du canal
C , la capacité du canal, est le nombre maximal de bits qu’il est susceptible
de transmettre par seconde :
D’après les relations (2 et 18) il vient :
C = Dmax = R.log2 (mmax ) = B.log2
S
1+
N
(20)
L’unité de C est bien sur le bit/s. C est la capacité de Shannon.
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Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)
Capacité du canal
A savoir :
Pour un canal de transmission de type passe-bas (en bande de base), de
bande passante B et bruité par un BABG (Bruit Additif Blanc Gaussien),
le débit doit toujours être inférieur à :
C = Dmax = B.log2
S
1+
N
(21)
C s’appelle capacité de Shannon, exprimée en bits/s, S est la puissance du
signal transmis et N est la puissance du bruit.
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UE433 Communications numériques
Chapitre 5 - Egalisation
Jean-Pierre Barbot
Université Paris Sud 11 / ENS Cachan
M1-IST
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1
Chapitre 5 : Egalisation
Egaliseur numérique
Règlage de l’égaliseur
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Chapitre 5 : Egalisation
Egaliseur numérique
Egaliseur numérique
Bruit
n(t)
e(t)
Source
+codage
(S+C)
Filtre
d’emission
G(f)
Canal
(H)
Fitre de
reception
Egaliseur
Gr(f)
(E)
r(t)
d(t)
t=t0+nT
Detecteur
a seuil
Figure: Chaîne de transmission numérique avec égaliseur
Un canal de transmission idéal :
h(t) = K .δ(t − τ )
(1)
(càd H(f ) = TF (h(t)) = K .e −2iπf τ )
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Chapitre 5 : Egalisation
Egaliseur numérique
Si le canal était idéal :
signal en sortie du canal sans déformation,
si de plus l’impulsion émise vérifiait le critère de Nyquist, il suffirait
alors dans ce cas de se placer au rythme d’échantillonnage T et
d’isoler, en comparant l’amplitude du signal reçu à des seuils, les
différents niveaux correspondants au code m-aire (voir figure 1).
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Chapitre 5 : Egalisation
Egaliseur numérique
Pour un canal H(f ) quelconque, les effets :
du bruit (N élevée),
des atténuations (S faible),
de la bande limitée B (IES), · · ·
⇒les échantillons prélevés conduisent à des erreurs d’interprétation.
Afin de limiter les effets du canal on place toujours un égaliseur (E) dans
la chaîne de réception du signal.
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Chapitre 5 : Egalisation
Egaliseur numérique
Remarque :
(Attention) Le rôle de l’égaliseur n’est pas le même en transmission
analogique et en transmission numérique.
En transmission analogique, l’idéal consiste à réaliser
H(f ).E (f ) = exp (−2πf τ ), ce qui correspond à un simple retard τ , et
revient donc à éliminer les effets du canal pour se ramener, vu du
récepteur, à un canal idéal.
Théoriquement il faudrait donc réaliser |E (f )| = |H(f )|−1 , c’est à
dire, dans le cas d’un canal analogique, l’égaliseur idéal est un filtre
inverse.
Pour une transmission numérique : il faut que l’impulsion reçue et vue
après l’égaliseur respecte le premier critère de Nyquist.
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Chapitre 5 : Egalisation
Egaliseur numérique
Ainsi, il faut que :
X
n
n
G f −
T
.Gr
n
f −
T
n
f −
T
n
.H f −
T
Une réalisation possible est alors :
n
G f −
T
n
.H f −
T
.Gr
n
.E f −
T
n
.E f −
T
=T
(2)
= T .rect1/T (f ) (3)
pour une impulsion issue d’un filtre rectangulaire.
Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, on choisit plutôt un
impulsion de Nyquist.
L’égaliseur est implémenté numériquement et s’apparente à un filtre
numérique.
Différentes stratégies d’optimisations sont possibles (Moindres carrés,
adaptatifs, etc...).
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Chapitre 5 : Egalisation
Egaliseur numérique
Figure: Egaliseur DFE (Decision Feedback Equalizer)
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Chapitre 5 : Egalisation
Règlage de l’égaliseur
Réglage de l’égaliseur
Figure: Diagramme de l’oeil
Dans cet exemple , on voit superposées plusieurs réalisations du signal
reçu, c’est à dire plusieurs impulsions successives.
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Chapitre 5 : Egalisation
Règlage de l’égaliseur
Les indications fournies par le diagramme de l’oeil sont :
1
2
3
L’épaisseur de la paupiére (a) qui est un indicateur de la présence et
de l’écart type du bruit additif,
L’ouverture de l’oeil permet de savoir si la détection sera aisée ou non
(immunité au bruit),
la commisure de l’oeil, (c), permet de savoir si le signal présente de la
“gigue”, c’est à dire si l’on est ou non parfaitement synchronisé.
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Chapitre 5 : Egalisation
Règlage de l’égaliseur
Ce diagramme permet également de détecter la présence d’interférences
entre symboles (IES), et donc savoir si l’égaliseur remplie son rôle et s’il a
compensé les effets des éléments de la chaîne de transmission.
Figure: Diagramme de l’oeil en présence d’IES
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UE433 Communications numériques
Chapitre 6 - Erreurs de décision (influence du bruit)
Jean-Pierre Barbot
Université Paris Sud 11 / ENS Cachan
M1-IST
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1
Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Hypothèses
Taux d’erreur binaire (BER)
Introduction du rapport signal sur bruit (S/N)
Filtre adapté (optimisation du RSB)
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Hypothèses
Hypothèses
1
Synchronisation parfaite,
2
égalisation parfaite de la chaîne de transmission
⇒les erreurs de décision sont uniquement dues au bruit.
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Taux d’erreur binaire (BER)
Taux d’erreurs
Le signal reçu r (t) peut se mettre sous la forme :
r (t) = u(t) + b(t)
(1)
u(t) la partie utile du signal, que l’on échantillonne à l’instant de prise
de décision,
b(t) le bruit, que l’on suppose BABG, c’est à dire tel que :
p(b) = √
1
2πσ 2
exp −
b2
2σ 2
!
(2)
Définition
Le Taux d’Erreur Binaire (TEB) ou Bit Error Rate (BER) est défini par :
nbre bits faux
BER =
nbre total de bits transmis
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UE433 (Ch 6)
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Taux d’erreur binaire (BER)
Taux d’erreur
On appelle taux d’erreur, ε, la probabilité de prendre une mauvaise
décision sur l’information transmise
→ sachant les conditions de bruit (càd pour une variance de bruit σ 2
donnée)
→ en connaissant l’emplacement des seuils de décision,
→ en connaissant la probabilité d’apparition des symboles.
Utilité : permet de connaitre a priori la qualité de la transmission.
Remarque : dans le cas binaire, ε = εb s’appelle Taux d’Erreur Binaire
(BER en anglais pour Bit Error Rate)
Exemple : dans le cahier des charges de l’ADSL, le BER maximal est fixé à
εb ≤ 1.10−7
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UE433 (Ch 6)
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Taux d’erreur binaire (BER)
Exemple
Soit une transmission binaire, où :
u(t0 ) = +1V si le bit transmis est un 1l ,
u(t0 ) = −1V si le bit transmis est un 0l ,
p(1l ) = p(0l ) = 0.5
la variance du bruit est σ 2
En conséquence
Le seuil est placé à : 0 Volt,
on a un écart de ∆ = 2V entre les niveaux de tension.
Erreur de décision ⇔ décider qu’un 1l avait été transmis alors que c’était
un 0l (et inversement).
Ecrivons ce qu’est ε dans ce cas concret :
ε = prob (de transmettre un 0l ) .prob (choisir un 1l )
+prob (de transmettre un 1l ) .prob (choisir un 0l )
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Taux d’erreur binaire (BER)
Ce qui peut se ré-écrire sous la forme :
ε = p (0l ) .prob (r (t0 ) > 0) + p (1l ) .prob (r (t0 ) < 0)
où r (t0 ) est la tension mesurée à l’instant de prise de décision.
Représentons à quoi cela correspond :
Figure: Probabilité d’erreur d’estimation
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Taux d’erreur binaire (BER)
On peut donc maintenant calculer la probabilité d’erreur :
ε = p (0l ) .prob (r (t0 ) > 0) + p (1l ) .prob (r (t0 ) < 0)
Si p (0l ) = p (1l ) = 1/2, et p(x ) donné par (2) :
Z +∞
2
1
!
(x + ∆/2)
√
ε =
dx
×
exp −
2
2σ
0
2πσ 2
!
Z 0
2
1
(x − ∆/2)
1
√
+2 ×
dx
exp −
2
2
2σ
−∞
2πσ
1
2
changement de variable x 0 = x − ∆/2 :
1
ε= ×
2
Z +∞
∆/2σ
2
(x )
1
√ exp −
2
2π
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
!
1
dx + ×
2
UE433 (Ch 6)
Z −∆/2σ
−∞
!
x2
1
√ exp −
dx
2
2π
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Taux d’erreur binaire (BER)
Comme la loi de distribution Gaussienne est paire, on obtient :
Z
1 +∞
x2
1
√ exp −
ε =
2 ∆/2σ 2π
2
!
Z +∞
1
x2
√ exp −
=
2
2π
∆/2σ
!
dx +
Z
1 +∞
2
∆/2σ
x2
1
√ exp −
2
2π
!
dx
⇒ fct de répartition complémentée de la loi Gaussienne normalisée
(σ = 1) :
Gc
∆
2σ
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Z +∞
x2
!
1
√ exp −
=
dx
2
2π
∆/2σ
!
Z ∆/2σ
2
1
(x )
√
= 1−
exp −
dx
2
2π
−∞
∆
= 1 − F ( 2σ
)
UE433 (Ch 6)
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
Taux d’erreur binaire (BER)
UE433 (Ch 6)
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Taux d’erreur binaire (BER)
L’usage, dans le domaine des télécommunications numériques, est
d’utiliser la fonction erfc(.) (pour complementary error function) :
2
erfc(x ) = √
π
+∞
Z
x
exp −r 2 dr = 1 − erf (x )
la relation entre la fonction Gc (.) et erfc(.) est donc :
x
1
Gc (x ) = .erfc √
2
2
Remarque : MatLab possède les fonctions erfc(.) et erf (.).
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UE433 (Ch 6)
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Taux d’erreur binaire (BER)
Code m-aire unipolaire
Soit un code m-aire unipolaire tel que :
écart entre niveaux uniforme vallant ∆,
seuils de décision situés à ∆/2,
le taux d’erreur moyen ε est donné par l’expression :
ε = p (0) .prob u >
m−2
X
∆
2
+ p (m − 1) .prob u < − ∆
2
∆
+
p(k).prob |u| ≥
2
k=1
avec : p(k) la probabilité pour que l’on transmette un niveau k
Si les niveaux sont équiprobables, p(k) = m1 on a :
2 (m − 1)
ε=
.Gc
m
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
∆
2σ
(m − 1)
∆
=
.erfc √
m
2 2σ
UE433 (Ch 6)
Vendredi 13 mars 2015
12 / 24
Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Introduction du rapport signal sur bruit (S/N)
Expression du taux d’erreur en fonction du rapport signal à
bruit
Signal en bande de base est un signal aléatoire, la puissance du signal
s’exprime sous la forme :
m−1
X
S=
k=0
p(k).ak2
Si tous les niveaux sont équiprobables et pour un écart constants entre
niveaux ∆, on obtient :
pour les codes m−aires unipolaire S =
pour les cas antipolaires S =
La puissance du bruit est σ 2 .
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
m2 −1 2
12 ∆
UE433 (Ch 6)
(m−1)(2m−1) 2
∆
6
Vendredi 13 mars 2015
13 / 24
Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Introduction du rapport signal sur bruit (S/N)
On obtient avec les formules précédantes :
pour les cas unipolaire ε =
2(m−1)
.Gc
m
pour les cas antipolaires ε =
q
2(m−1)
.Gc
m
3
S
.
2(m−1)(2m−1) N
q
3
m2 −1
. NS
et pour les cas binaires, on a respectivement εb = Gc
εb = Gc
q S
N
.
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 6)
q
S
2N
;
Vendredi 13 mars 2015
14 / 24
Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Introduction du rapport signal sur bruit (S/N)
Cas d’un mot à “n” digits
Soit un sytème de transmission dont le taux moyen d’erreur par élément
binaire εb , avec lequel on transmet une information à l’aide de mots de
longueur n (n digits), on peut dire :
que la probabilité pour qu’un élément binaire soit juste est (1 − εb ),
que la probabilité que tous les éb du mot, qui sont indépendants,
soient justes, donc que le mot n’ait pas d’erreur, est
M(0) = (1 − εb )n ,
que la probabilité pour qu’il n’y ait qu’une erreur (un seul élément
binaire faux dans le mot) est M(1) = n.εb . (1 − εb )n−1 ,
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Introduction du rapport signal sur bruit (S/N)
que la probabilité pour qu’il y ait k erreurs dans le mot (k<n) est
n!
,
M(k) = Cnk εkb (1 − εb )n−k avec Cnk = (n−k)!k!
que la probabilité pour qu’il y ait au moins une erreur dans le mot est
M(> 0) = 1 − (1 − εb )n qui est souvent approximée par (∼
= nεb ),
que la probabilité pour qu’il y ait plus d’une erreur dans le mot est
M(> 1) = 1 − (1 − εb )n − n.εb . (1 − εb )n−1 càd tous les cas possible
sauf ceux où il n’y a pas d’erreur et ceux où il n’y a qu’une erreur.
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Filtre adapté (optimisation du RSB)
Le filtre adapté
Bruit
a(t)
Filtre
e(t)
d’émission
g(t)
Canal
Egaliseur
(E)
(H)
s(t)
Filtre de
réception
gr (t)
Filtre adapté
Chaîne de transmission
r (t)
d(t)
t = t0 + nT
Détecteur
à seuil
Le BER est directement lié au RSB :
s
par exemple εb = Gc 

S
dans le cas binaire antipolaire
N
⇒ le filtre de réception doit maximiser le RSB à l’instant de prise de
décision,
le filtre de réception s’appelle dans ce cas Filtre Adapté
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Vendredi 13 mars 2015
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Filtre adapté (optimisation du RSB)
A l’instant de prise de décision t = t0 + nT , le RSB doit être maximal :
r 2 (t0 + nT )
S/N =
E [b 2 (t0 + nT )]
avec :
r (t) = gr (t) ∗ s(t) =
b(t) = gr (t) ∗ n(t)
Z +∞
−∞
gr (t − τ ) s (τ ) dτ
n(t) un BABG de moyenne nulle et de variance σn2
p(n) = q
1
2πσn2
exp −
n2
2σn2
!
De plus, on a φbb (f ) = |Gr (f )|2 φnn (f ) (formule des interférences)
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Filtre adapté (optimisation du RSB)
Puissance de bruit :
N
=
=
+∞
Z
φbb (f )df
−∞
+∞
Z
−∞
=
|Gr (f )|2 φnn (f ) df
+∞
Z
σn2
2
−∞
|gr (τ )|2 df
Hypothèses
- l’égaliseur a parfaitement compensé l’effet du canal
- le système est parfaitement synchronisé
⇒ s(t0 + nT ) ≈ ge (t0 + nT )
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Vendredi 13 mars 2015
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Filtre adapté (optimisation du RSB)
Puissance du signal :
r (t0 + nT ) =
+∞
Z
−∞
ge (t0 + nT − τ ) gr (τ ) dτ
(3)
S (t0 + nT ) = |r (t0 + nT )|2
=
≤
2
+∞
Z
−∞
+∞
Z
−∞
ge (t0 + nT − τ ) gr (τ ) dτ
|ge (t0 + nT − τ )|2 dτ ×
(inégalité de Schwarz)
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 6)
+∞
Z
−∞
|gr (τ )|2 dτ
Vendredi 13 mars 2015
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Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Filtre adapté (optimisation du RSB)
S (t0 + nT ) sera donc maximale si :
gr (t) = C × ge∗ (t0 + nT − t) avec C une constante
(condition pour laquelle l’inégalité de Schwarz devient une égalité)
Le filtre adapté a donc pour réponse impulsionnelle :
gr (t) = C × ge∗ (TD − t)
Dans ce cas, le RSB s’exprime sous la forme :
S/N =
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
+∞
Z
−∞
|ge (t0 + nT − τ )|2 dτ
σn2
2
UE433 (Ch 6)
Vendredi 13 mars 2015
21 / 24
Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Filtre adapté (optimisation du RSB)
Réalisation du filtre adapté
Bruit
a(t)
Filtre
e(t)
d’émission
g(t)
Canal
(H)
Egaliseur
(E)
s(t)
Filtre de
réception
gr (t)
Filtre adapté
Chaîne de transmission
r (t)
d(t)
t = t0 + nT
Détecteur
à seuil
Réalisation du filtre adapté
Peut être réalisé :
- soit directement par une réalisation électronique,
- ou numériquement en exploitant les propriétés de la “corrélation”.
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UE433 (Ch 6)
Vendredi 13 mars 2015
22 / 24
Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Filtre adapté (optimisation du RSB)
Rappel : corrélation
La corrélation de 2 fonctions, ge (.) et s (.), peut s’écrire :
Rge s (t) =
Z∞
ge∗ (τ )s(t + τ )dτ
(4)
−∞
Par changement de variable, on obtient la “classique” relation entre
produit de convolution et corrélation :
Rge s (t) =
=
=
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
Z∞
−∞
Z∞
ge∗ (τ )s(t + τ )dτ
ge∗ (−τ 0 )s(t
−∞
ge∗ (−t)
0
− τ )dτ
0
(5)
∗ s(t)
UE433 (Ch 6)
Vendredi 13 mars 2015
23 / 24
Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)
Filtre adapté (optimisation du RSB)
On remarquera que :
Rge s (t) = ge∗ (−t) ∗ s(t)
| {z }
gr (t)
la corrélation de s(.) par ge (.) est donc bien une mise en oeuvre possible
du filtre adapté.
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Vendredi 13 mars 2015
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UE433 Communications numériques
Chapitre 7 - Modulations numériques.
Jean-Pierre Barbot
Université Paris Sud 11 / ENS Cachan
M1-IST
Vendredi 10 avril 2015
Chapitre 7 : Modulations Numériques
1
Rappels
Modulation d’Amplitude
Modulations Angulaires
2
Modulations numériques
Modulation d’amplitude
Modulations angulaires
FSK cohérente
FSK incohérente
Démodulation
3
Modulations dérivées
MAQ
Exemples d’application
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
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Vendredi 10 avril 2015
2 / 30
Modulation analogique : le modulant contient l’information, la
porteuse est un signal (sinusoïde) modulé en amplitude (AM) ou
angulairement (FM, PM),
Modulation numérique : le modulant contient l’information (souvent
code en B de B), la porteuse est un signal (sinusoïde) modulé en
amplitude (ASK) ou angulairement (FSK, PSK, DPSK, MSK ) ou en
amplitude et en phase (QAM).
⇒ Il n’y a pas de différence entre une modulation analogique et une
modulation numérique.
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
3 / 30
Rappels
Rappels
s(t) signal modulé :
s(t) = u(t). cos (2πf0 t + φ(t)) = Re [u(t). exp (j (2πf0 t + φ(t)))]
f0 7→ fréquence porteuse,
u(t) 7→amplitude instantannée, (AM)
φ(t) 7→ phase de la porteuse. (FM, PM)
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
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4 / 30
Rappels
Modulation d’Amplitude
AM : u(t) modulée par m(t) et φ(t) = φ0
modulation d’amplitude avec porteuse :
u(t) = A (1 + e.m(t))
où e taux de modulation (en %), avec e ≤ 1.
s(t) = A (1 + e.m(t)) cos (2πf0 t + φ0 )
= A cos (2πf0 t + φ0 ) + A.m.e(t) cos (2πf0 t + φ0 )
modulation d’amplitude à porteuse supprimée :
s(t) = A.m(t) cos (2πf0 t + φ0 )
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
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5 / 30
Rappels
Modulation d’Amplitude
S(f ) = U(f ) ⊗ 12 (δ(f − f0 ) + δ(f + f0 ))
=
1
2 U(f
− f0 ) + 12 U(f + f0 )
Si U(f ) occupe la bande B, le signal modulé S(f ) occupe la bande :
BAM = 2 × B.
(1)
bande latérale supérieure U(f + f0 ) =⇒ BBLU−Sup = B
bande latérale inférieure U(f − f0 ) =⇒ BBLU−Inf = B
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6 / 30
Rappels
Modulations Angulaires
Modulations angulaires : φ(t) modulée par m(t) et u(t) = A
φi (t) la phase instantanée du signal s(t), définie ainsi :
φi (t) = 2πf0 t + φ(t)
fi (t) la fréquence instantanée de s(t) :
1 dφi (t)
1 dφ(t)
fi (t) =
= f0 +
2π dt
2π dt
En exprimant la fréquence instantanée fi (t) sous la forme :
fi (t) = f0 + ∆.mf (t)
∆ : excursion en fréquence maximale (|mf (t)| ≤ 1).
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Vendredi 10 avril 2015
7 / 30
Rappels
Modulations Angulaires
fi (t) ∈ [f0 − ∆ ; f 0 + ∆].
Bande de Carson Bc :
Bc = 2 × (B + ∆) = 2B × (1 + β)
(2)
β est l’indice de modulation,
B est la bande occupée, en bande de base par mf (t).
Modulation FM
mf (t) = α.m(t)
avec α permettant de réaliser la contrainte |mf (t)| ≤ 1
Modulation PM
φ(t) = αm(t)
1 d (α.m(t))
α d (m(t))
mf (t) =
=
2π
dt
2π
dt
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
8 / 30
Modulations numériques
Modulations numériques
Modulations numériques
Modulation numérique ≡ modulation analogique dont le modulant est un
signal “type” code en bande de base
Indicateurs suplémentaires :
l’efficacité spectrale
D
η=
(en bit/s/Hz)
B
(3)
D le débit (en bit/s), avec D = R × log2 (M),
B bande occupée.
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Vendredi 10 avril 2015
9 / 30
Modulations numériques
l’énergie bit sur la puissance de bruit :
Eb
Energie bit (Joule/bit)
=
N0
Densité spectrale de bruit unilaterale (W /Hz )
(4)
le Rapport Signal à Bruit (RSB) :
Ps
D × Eb
Eb
=
=η×
Pb
B × N0
N0
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
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(5)
Vendredi 10 avril 2015
10 / 30
Modulations numériques
Modulation d’amplitude
Modulations ASK (Amplitude Shift Keying)
u(t) prend M valeurs discrètes pour une transmission M-aire.
Exemple de réalisation :
u(t)
s(t)
p(t) = cos(2πf0 t)
1
u(t) de type NRZ unipolaire à M niveaux et impulsion rectangulaire :
R = T1 (1er lobe),
2
BASK −Rect = 2R =
T
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
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11 / 30
Modulations numériques
2
Modulation d’amplitude
u(t) de type NRZ unipolaire, à M niveaux et dont l’impulsion
respecte le 1er critère de Nyquist :
BASK −Nyquist
1
=R =2×
2T
Avantages :
variations de f0 et de la phase de φ(t) sans influence,
Inconvéniants :
très sensible au bruit additif (fading), agissant donc sur l’amplitude
du signal.
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
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12 / 30
Modulations numériques
Modulation d’amplitude
⇒ Cas particulier : OOK (On Off Keying)
Efficacité spectrale :
OOK avec impulsion rectangulaire :
ηOOK −rect ,
D
B
=
1/T
2×1/T
= 0, 5(bit/s)/Hz
OOK respectant le 1er critère de Nyquist
ηOOK −Nyquist ,
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
D
B
=
1/T
2×1/2T
= 1 (bit/s)/Hz
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
13 / 30
Modulations numériques
Modulation d’amplitude
Représentation polaire de u(t):
s(t) = Re [u(t). exp (j (2πf0 t + φ(t)))]
= Re [u(t). exp (jφ(t)) exp (j2πf0 t)]
= Re [u(t) exp (j2πf0 t)]
Q
0
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
Im(u(t))
0l
A
UE433 (Ch 7)
1l
I
Re(u(t))
Vendredi 10 avril 2015
14 / 30
Modulations numériques
Modulations angulaires
Modulation numérique de phase (PSK)
Modulations numériques PSK
Dans le cas des modulations PSK :
l’amplitude est constante,
seule φ(t) code l’info. numérique (u est constante)
s(t) = Re [u. exp (j (2πf0 t + φ(t)))]
= Re [u. exp (jφ(t)) exp (j2πf0 t)]
= Re [u(t) exp (j2πf0 t)]
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
15 / 30
Modulations numériques
Modulations angulaires
PSK-2 (BPSK)
Pour une modulation BPSK u(t) = A, φ(t) = {0, π}
s(t) = A cos (ω0 t + φ(t) + ϕ)
φ(t) = 0 ou π,
à la fréquence R =
1
Tb
(on suppose
une BPSK est une modulation d’amplitude
s(t) = ±A. cos (ω0 t + ϕ)
⇒ modulation d’amplitude d’un signal sinusoïdal par un signal modulant
numérique au format NRZ antipolaire(±1).
⇒ BBPSK −rect = 2R
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
16 / 30
Modulations numériques
Efficacité spectrale :
ηBPSK −rect = D
B =
ηBPSK −Nyquist =
D
B
R
2R
= 0.5 (bit/s)/Hz
=
2× 2T1
1
Tb
= 1 (bit/s)/Hz
b
Q
0l
−A
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
Modulations angulaires
0
Im(u(t))
A
UE433 (Ch 7)
1l
I
Re(u(t))
Vendredi 10 avril 2015
17 / 30
Modulations numériques
Modulations angulaires
Démodulation
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
18 / 30
Modulations numériques
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
Modulations angulaires
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
19 / 30
Modulations numériques
Modulations angulaires
PSK-4 (QPSK)
Pour une modulation QPSK u(t) = A, φ(t) = 0, π2 , π, − π2
s(t) = A cos (ω0 t + φ(t) + ϕ)
φ(t) ∈ 0, π2 , π, − π2
à la fréquence rythme R =
1
T
=
1
2Tb
s(t) = A cos (ω0 t + φ(t) + ϕ) =
A cos (φ(t)) × cos (ω0 t + ϕ) − A sin (φ(t)) × sin (ω0 t + ϕ)
Efficacité spectrale :
ηQPSK −rect =
D
B
ηQPSK −Nyquist =
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
=
D
B
2R
2R
= 1 (bit/s)/Hz
= 2 (bit/s)/Hz
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
20 / 30
Modulations numériques
Q
01
Modulations angulaires
Im(u(t))
i ×A
10
−A
00
0
11
A
I
Re(u(t))
−i × A
ak = ±1
O.L
A × cos(2πfp t)
dephas. π2
P
A × sin(2πfp t)
e(t)
bk = ±1
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
21 / 30
Modulations numériques
Modulations angulaires
Comme il y a 4 points dans une constellation QPSK, la durée T = 2 × Tb .
Pour un même débit binaire D = 1/Tb que pour une BPSK,
1
= R : (0,7-0,8 R en
l’encombrement en fréquences sera de 4f = 2. 2T
pratique). L’encombrement est ainsi divisé par deux, ce qui est un grand
avantage. Une autre possibilité consiste à doubler le rythme de
transmission, en conservant l’encombrement d’une modulation 2 états.
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
22 / 30
Modulations numériques
FSK cohérente
Modulation FSK (Frequency Shift Keying)
La fréquence de la porteuse ∈ {f0 , f1 , f2 , · · · , fM−1 }.
Modulation par sauts de fréquence : FSK (Frequency Shift Keying).
FSK cohérente
A et 0 au rythme (cas unipolaire) R = T1 ,
ou +A et −A, toujours au rythme R = T1 , (cas antipolaire).
A la sortie du VCO on a la fréquence instantanée :
fi (t) = f0 + αA = f0 ± ∆
x(t)
FSK
VCO
Bc (FSK ) = 2.R (β + 1) = 2 (∆ + R)
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
23 / 30
Modulations numériques
FSK cohérente
β=
1
4
très utilisé (GSM)
1
π
β=
intéressant (spectre carré)
β=
1
2
début d’élargissement
f
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
24 / 30
Modulations numériques
FSK incohérente
Deux oscillateurs de fréquences f1 et f2 différentes, commutés au rythme
R = T1 suivant un format NRZ.
On a donc :
|f2 − f1 |
∆=
2
f1 + f 2
f0 =
2
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
25 / 30
Modulations numériques
Démodulation
systèmes classiques de démodulation de fréquence,
(PLLs,discriminateurs de phase)
un démodulateurs par comptage,
quand β est grand et que les deux fréquences sont éloignées : 2 filtres
sélectifs .
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
26 / 30
Modulations dérivées
Modulations derivees
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
27 / 30
Modulations dérivées
MAQ
MAQ
Modulations MAQ
C’est à la fois une modulation de phase et d’amplitude :
s(t) = Re [u(t). exp (jφ(t)) × exp (j2πf0 t)]
u(t) varie, u(t) = {+A, +2A, +3A, · · · },
φ(t) varie, φ(t) = {φ1 , φ2 , φ3 , · · · }
Représentation polaire de u(t):
s(t)
= Re [u(t). exp (j (2πf0 t + φ(t)))]
= Re [u(t). exp (jφ(t)) exp (j2πf0 t)]
= Re [u(t) exp (j2πf0 t)]
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
28 / 30
Modulations dérivées
MAQ
La modulation BPSK (PSK-2) est aussi une MAQ-2 (QAM-2 en
anglais)
La modulation QPSK (PSK-4) est aussi une MAQ-4 (QAM-4 in
english)
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
29 / 30
Modulations dérivées
MAQ
MAQ-16 (ou QAM-16)
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
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Modulations dérivées
Exemples d’application
Exemples d’application
Modulation
MSK, GMSK
BPSK
QPSK DQPSK
OQPSK
8PSK
16 QAM
32 QAM
64 QAM
256 QAM
4096 QAM
J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST))
Systèmes
GSM, CDPD
telemetrie spatiale, cable.
CDMA, DVB-S, cable, cable modems
CDMA, satellite, DECT
Satellite, avionique
DVB-C, DVB-T (TNT)
DVB-T
DVB-C
DVB-C (Europe), Video numérique(US)
ADSL, VDSL2
UE433 (Ch 7)
Vendredi 10 avril 2015
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