Mémoire présenté devant le Centre d’Études Actuarielles pour la validation du cursus à la Formation d’Actuaire du Centre d’Études Actuarielles et l’admission à l’Institut des Actuaires le XXXXX 2016 Par : Éric GETTLER Titre : Sinistres attritionnels en non-vie : quelles méthodes de provisionnement ? Confidentialité : NON OUI (Durée : 1an 2 ans) Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus Membres présents du jury de l’Institut des Actuaires : Entreprise : AXA Corporate Solutions ________________________ Nom : ______________________________ ________________________ Signature : ________________________ Membres présents du jury du Centre d’Etudes Actuarielles : Directeur de mémoire en entreprise : Nom : Jérémie DEVUN Signature : ________________________ Invité : ________________________ Nom : ______________________________ ________________________ Signature : _______________________ _______________________ ________________________ ________________________ Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de diffusion de documents actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité) Signature du responsable entreprise ________________________ Secrétariat : Signature(s) du candidat(s) Bibliothèque : Association Loi de 1901 – Déclaration d’activité enregistrée sous le n° 11 75 09789 75 auprès du Préfet de région IDF 4, rue Chauveau-Lagarde - 75008 PARIS - Tél : 01 44 51 72 79 - Fax : 01 44 51 72 73 - Email : [email protected] Internet : http://www.institutdesactuaires.com - SIRET : 393 447 024 00042 – Code NAF : 8559 A – TVA intracommunautaire : FR 76 393447024 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 2 Remerciements Je tiens en premier lieu à remercier tout particulièrement Jérémie Devun qui a su pendant toute la durée de rédaction de ce mémoire, apporter de précieux conseils ainsi que des critiques constructives. Il m’a permis de me remettre en question et a été décisif dans l’accomplissement de mon travail, en y apportant toute la pédagogie nécessaire. Je voudrais aussi exprimer ma profonde reconnaissance à Stéphane Lafon pour sa confiance et son soutien. Je voudrais ensuite témoigner ma gratitude à Richard Verrall pour sa disponibilité et son aide précieuse. Je tiens également à remercier toute l’équipe de provisionnement, en particulier Ramy Ibrahim, pour les différents échanges que l’on a pu avoir tout au long de mon étude sur la méthode de Schnieper. Je souhaiterais aussi remercier Jessica Luiz-Manzanares, Delphine Prodhomme, Cynthia Augereau, Alexandre Dias-Lopes et Sophie Rousset qui ont été une des clés de ma réussite lors de ma formation. Enfin, je remercie Olivier Lopez pour son suivi de la préparation de ce mémoire. À Mariko et Julia. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 3 Table des matières Remerciements ................................................................................................................................ 3 Table des matières ........................................................................................................................... 4 Index des figures, tableaux et des graphiques ................................................................................ 7 Introduction ..................................................................................................................................... 10 I Problématique du provisionnement des branches IARD chez AXA Corporate Solutions ....... 12 1) Présentation d’AXA Corporate Solutions ........................................................................ 12 2) Généralités sur la gestion des sinistres .......................................................................... 12 1.1) Cycle de vie d’un sinistre ......................................................................................... 12 1.2) Charge ultime .......................................................................................................... 13 1.3) Triangles de charge ................................................................................................. 14 3) Organisation des périmètres chez AXA Corporate Solutions......................................... 16 4) Périmètres considérés .................................................................................................... 17 5) Les provisions techniques sous Solvabilité II ................................................................. 18 6) Problématique ................................................................................................................. 19 II Méthodes de provisionnement ................................................................................................ 20 1) 2) Méthodes agrégées ........................................................................................................ 20 1.1) Méthode Chain Ladder ............................................................................................ 20 a) Principe .................................................................................................................... 20 b) Hypothèses et règles de calcul ............................................................................... 20 c) Exemple ................................................................................................................... 22 d) Avantages et inconvénients .................................................................................... 24 e) Customisation .......................................................................................................... 24 1.2) Méthode de Bornhuetter - Ferguson ....................................................................... 35 a) Principe .................................................................................................................... 35 b) Hypothèses et règles de calcul ............................................................................... 35 c) Exemple ................................................................................................................... 36 d) Avantages et inconvénients .................................................................................... 38 Méthodes « pseudo ligne à ligne » et ligne à ligne......................................................... 39 2.1) Méthode de Schnieper ............................................................................................ 39 a) Origine ..................................................................................................................... 39 b) Principe .................................................................................................................... 39 c) Intérêt de la méthode............................................................................................... 40 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 4 d) Analyse de la méthode – Règles de calcul ............................................................. 40 e) Exemple ................................................................................................................... 42 f) Ajustements de la méthode ..................................................................................... 46 g) Remarque sur le lien entre la méthode Chain Ladder et la méthode de Schnieper46 2.2) Une méthode développée pour les sinistres graves appliquée aux sinistres attritionnels .......................................................................................................................... 47 3) a) Contexte .................................................................................................................. 47 b) Principe de la méthode ............................................................................................ 47 c) Exemple ................................................................................................................... 52 d) Avantages et inconvénients de la méthode ............................................................ 54 Synthèse des résultats .................................................................................................... 55 III Critères de sélection des méthodes de provisionnement ...................................................... 57 1) Vérification des hypothèses des méthodes .................................................................... 57 2) Back-testing. Technique de Denuit – Charpentier .......................................................... 58 3) Comparaison des volatilités des méthodes Chain Ladder et de Schnieper ................... 61 4) 3.1) Définitions ................................................................................................................ 61 3.2) Modèle de Mack ...................................................................................................... 63 a) Origine ..................................................................................................................... 63 b) Hypothèses du modèle ............................................................................................ 63 c) Vérification des hypothèses du modèle .................................................................. 64 d) Variabilité des provisions ......................................................................................... 67 e) Exemples ................................................................................................................. 68 f) Intervalles de confiance ........................................................................................... 74 3.3) Modèle de Schnieper............................................................................................... 76 a) Erreurs de prédiction ............................................................................................... 76 b) Exemple ................................................................................................................... 77 Problématique d’additivité des triangles ......................................................................... 79 4.1) Estimation du SCR de réserves .............................................................................. 79 a) Risque de réserve ................................................................................................... 79 b) Méthode de Merz et Wüthrich ................................................................................. 79 c) Additivité des triangles............................................................................................. 83 4.2) Critères d’additivité des triangles ............................................................................ 84 4.3) Tests d’additivité sur les différentes méthodes présentées .................................... 85 5) Granularité des calculs.................................................................................................... 86 6) Robustesse des méthodes face à des changements de sinistralité importants ............ 89 Conclusion ...................................................................................................................................... 92 Bibliographie ................................................................................................................................... 94 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 5 Lexique ........................................................................................................................................... 96 Annexes .......................................................................................................................................... 97 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 6 Index des figures, tableaux et des graphiques Fig. 1 : Répartition du chiffre d’affaires d’AXA Corporate Solutions .............................................. 12 Fig. 2 : Cycle de vie d’un sinistre ................................................................................................... 13 Fig. 3 : Décomposition de la charge ultime d’un sinistre ............................................................... 14 Fig. 4 : Triangle de liquidation ........................................................................................................ 15 Fig. 5 : Triangle de charge Dommage, France, k€ ........................................................................ 22 Fig. 6 : Calcul du premier coefficient de développement ............................................................... 22 Fig. 7 : Détail du calcul de 𝑓1 ......................................................................................................... 22 Fig. 8 : Coefficients de développement 𝑓𝑘 ..................................................................................... 23 Fig. 9 : Triangle de charge complété.............................................................................................. 23 Fig. 10 : Réserves et ultimes .......................................................................................................... 24 Fig. 11 : Coefficients de passage ................................................................................................... 26 Fig. 12 : Coefficients de développement pour différentes méthodes dérivées de Chain Ladder.. 27 Fig. 13 : Développement de la charge à l’ultime en fonction des différentes méthodes ............... 28 Fig. 14 : Charge ultime par année de survenance pour chaque méthode .................................... 28 Fig. 15 : IBNR par année de survenance pour chaque méthode .................................................. 28 Fig. 16 : IBNR totaux pour chaque méthode.................................................................................. 29 Fig. 17 : Écarts-types et coefficients de variation des méthodes par année de survenance ........ 29 Fig. 18 : Tests de stabilité à l’ultime ............................................................................................... 30 Fig. 19 : Tests d’erreur sur la dernière diagonale .......................................................................... 30 Fig. 20 : Loi exponentielle .............................................................................................................. 31 Fig. 21 : Loi puissance ................................................................................................................... 32 Fig. 22 : Facteurs de queue pour chaque méthode ....................................................................... 33 Fig. 23 : Coefficients R² pour chaque méthode ............................................................................. 33 Fig. 24 : Triangle de charge pour la branche Dommages, affaires directes, France .................... 36 Fig. 25 : Primes, loss ratios et ultimes utilisés pour la méthode de Bornhuetter - Ferguson ........ 37 Fig. 26 : Coefficients 𝑧𝑘 et 𝑓𝑘 ......................................................................................................... 37 Fig. 27 : Triangle de charge branche Dommage, complété avec la méthode BornhuetterFerguson......................................................................................................................................... 37 Fig. 28 : Réserves obtenues pour la branche Dommage, affaires directes, méthode de Bornhuetter - Ferguson .................................................................................................................. 38 Fig. 29 : Décomposition des triangles en euro pour la méthode de Schnieper ............................. 39 Fig. 30 : Informations nécessaires à la création des triangles D et N ........................................... 41 Fig. 31 : Création du triangle N ...................................................................................................... 41 Fig. 32 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge C, k€ ......................................................... 43 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 7 Fig. 33 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge N, k€ ......................................................... 43 Fig. 34 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge D, k€ ......................................................... 43 Fig. 35 : Vecteur d’exposition, k€ ................................................................................................... 44 Fig. 36 : Paramètres 𝜆𝑗 et 𝛿𝑗 .......................................................................................................... 44 Fig. 37 : Ultimes et réserves calculés par la méthode de Schnieper, k€ ....................................... 44 Fig. 38 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge C complété, k€ ......................................... 45 Fig. 39 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge N complété, k€ ......................................... 45 Fig. 40 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge D complété, k€ ......................................... 45 Fig. 41 : Variantes de la méthode de Schnieper : IBNR totaux ..................................................... 46 Fig. 42 : Comparaison des IBNeR calculés par les méthodes DHV et de Schnieper pour 2 branches ......................................................................................................................................... 52 Fig. 43 : Coefficients de passage en fonction des montants des sinistres (branche Dommages) 53 Fig. 44 : Coefficients de passage en fonction des montants des sinistres (branche Construction) ........................................................................................................................................................ 53 Fig. 45 : Compositions différentes de la charge des sinistres ....................................................... 54 Fig. 46 : Synthèse des résultats des Best Estimate des réserves IBNR par branche et par méthode .......................................................................................................................................... 55 Fig. 47 : Histogrammes comparatifs des résultats normés des Best Estimate des réserves IBNR par branche et par méthode ........................................................................................................... 55 Fig. 48 : Back-testing : utilisation de sous-triangles....................................................................... 58 Fig. 49 : Triangle tronqué : sous-triangle sans 5 diagonales ......................................................... 58 Fig. 50 : Triangles complété avec la méthode Chain Ladder ........................................................ 59 Fig. 51 : Résultats normés du back-testing sur cinq ans pour sept périmètres............................. 59 Fig. 52 : Résultats normés du back-testing sur cinq ans pour sept périmètres............................. 60 Fig. 53 : Pourcentage des cas où la charge estimée est supérieure à la charge réelle................ 60 Fig. 54 : Modèle de Mack - Validation de l’hypothèse 1 (Dommage, affaires directes) ................ 69 Fig. 55 : Triangle de charge – Branche dommages, affaires directes ........................................... 70 Fig. 56 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝐹𝑘................................................... 70 Fig. 57 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑟𝑘 ................................................... 70 Fig. 58 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑠𝑘 ................................................... 71 Fig. 59 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑇𝑘 et de T ...................................... 71 Fig. 60 : Test de saisonnalité : 𝐹𝑘 et 𝑚𝑘 ........................................................................................ 72 Fig. 61 : Test de saisonnalité : 𝑀𝑘 et 𝑁𝑘 ....................................................................................... 72 Fig. 62 : Test de saisonnalité : résultats ........................................................................................ 72 Fig. 63 : Test de saisonnalité : appartenance à l’intervalle ............................................................ 73 Fig. 64 : Modèle de Mack - Validation de l’hypothèse 3 (Dommages, affaires directes) .............. 73 Fig. 65 : Loi log-normale, densité de probabilité et fonction de répartition, avec μ =0 .................. 74 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 8 Fig. 66 : Comparaison des volatilités des méthodes Chain Ladder et de Schnieper .................... 78 Fig. 67 : Rapport des montants de réserves globaux et individuels par branche d’activité .......... 83 Fig. 68 : Synthèse des résultats des tests d’additivité des triangles par branche d’activité et par méthode .......................................................................................................................................... 85 Fig. 69 : Synthèse des résultats des tests de granularité pour la branche Dommages ................ 86 Fig. 70 : Synthèse des résultats des tests de granularité pour la branche Construction Tous Risques Chantier ............................................................................................................................ 87 Fig. 71 : Synthèse des écarts relatifs des tests de granularité ...................................................... 87 Fig. 72 : Coefficients de développement des triangles individuels et totaux ................................. 87 Fig. 73 : Chronique des coefficients de développent ..................................................................... 88 Fig. 74 : Chocs sur les coefficients de passage............................................................................. 89 Fig. 75 : Validation de l’hypothèse 1 de Chain Ladder : choc sur la diagonale ............................. 90 Fig. 76 : Validation de l’hypothèse 1 de Chain Ladder : choc sur deux années de survenance... 90 Fig. 77 : Résultats normés des tests de Denuit-Charpentier sur les chocs de sinistralité simulés : SSE................................................................................................................................................. 91 Fig. 78 : Résultats des tests de Denuit-Charpentier sur les chocs de sinistralité simulés. ........... 91 Fig. 79 : Critères de sélection des méthodes de provisionnement de sinistres attritionnels ......... 93 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 9 Introduction L’inversion du cycle de production oblige les assureurs, pour respecter leurs engagements envers leurs assurés, à constituer des provisions techniques pour pouvoir payer les sinistres qui arriveront ultérieurement et pour lesquels les assurés ont payé leurs primes dans un premier temps. L’importance de ces provisions, puisqu’elles permettent aux compagnies d’assurance de garantir leur solvabilité, est donc de premier plan et leur estimation représente un enjeu fondamental. Solvabilité II impose que leur évaluation soit la plus juste possible. Pour effectuer ces évaluations, de nombreuses méthodes existent. Parmi elle, la méthode Chain Ladder, se basant sur le calcul de coefficients de développement, est souvent utilisée comme référence, grâce à sa simplicité d’exécution et les bons résultats qu’elle peut donner. Cependant, elle repose sur des hypothèses qui ne sont pas toujours vérifiées dans la pratique. De plus, certaines situations montrent les limites de cette méthode. On est alors amené à mettre en place d’autres méthodes, plus complexes, utilisant plus de données et de paramètres. Le cadre de ce mémoire se situe en assurance non-vie et utilise des données de branches d’activité diverses afin d’essayer de couvrir un large panel de cas de figure (branches courtes, mi-longues et très longues). Les sinistres concernés sont les sinistres dits de fréquence, ou attritionnels, dont les montants des charges à l’ultime se situent sous un seuil. Les sinistres atypiques ayant une fréquence bien plus faible et dont les montants sont bien plus importants sont hors du scope de cette étude. Les outils utilisés pour effectuer les calculs et les estimations contenus dans ce document sont principalement des fichiers Excel ainsi que des programmes écrits en R. Les principales données utilisées sont regroupées en annexe en fin de mémoire. Enfin, la bibliographie renvoie aux articles et ouvrages de référence donnant en détail les démonstrations nécessaires aux résultats et formules utilisés notamment lors de la description des méthodes présentées ; ces démonstrations ne sont pas reprises dans le corps du mémoire. Dans une première partie, nous présenterons brièvement le contexte de l’étude, l’entreprise où elle a eu lieu, ainsi que les concepts et notations qui seront utilisés par la suite afin d’introduire la problématique générale du mémoire. Dans un second temps, nous présenterons en détail quatre méthodes de provisionnement de sinistres et les différentes options qui peuvent être utilisées avec une approche à la fois déterministe et stochastique. Pour chaque méthode, on prendra soin de rappeler, outre les formules principales utiles pour le calcul des réserves recherchées, les hypothèses indispensables à l’application de ces méthodes ainsi que des exemples illustrant en détail leur mise en place. Enfin, on mentionnera les avantages et les inconvénients de chacune des méthodes en gardant à l’esprit la nécessité du côté pratique recherché dans le milieu professionnel notamment vis-à-vis des données nécessaires aux calculs. Enfin, dans une troisième partie, nous essayerons de présenter des critères permettant d’apporter une aide à la sélection d’une méthode aux dépens d’une autre. Ce mémoire ne se veut pas un catalogue de méthodes de provisionnement. Il en existe des dizaines, plus ou moins complexes, plus ou moins efficaces… Nous chercherons plutôt à étudier en profondeur deux de ces méthodes, une très classique, Chain Ladder, et une moins Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 10 utilisée, proposée par Schnieper, tout en les comparant avec deux autres méthodes, notamment une méthode également très utilisée dans le monde de l’assurance, celle de BornhuetterFerguson. La méthode Chain Ladder, bien que simple et classique, sera mise en avant car son principe sert de base à de nombreuses autres. La question est de savoir si l’optimisation de ces méthodes donne des résultats satisfaisants et comment on peut parvenir à obtenir des critères de sélection adéquats pour ces méthodes. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 11 I Problématique du provisionnement des branches IARD chez AXA Corporate Solutions 1) Présentation d’AXA Corporate Solutions AXA Corporate Solutions est une filiale du groupe AXA (chiffre d’affaires 2014 : 2,12 milliards d’euros, résultat opérationnel 2014 : 150 millions d’euros), elle emploie 1 500 collaborateurs et possède un réseau international de 150 pays. Spécialisée dans les grands risques non-vie, dits IARD (P&C) et les marchés spécialisés comme la Marine ou l’Aviation. Ses clients sont principalement des entreprises du monde entier dont le chiffre d’affaires est supérieur à 500 millions d’euros ou dont le nombre d’employés est supérieur à 5 000. Présente dans une dizaine de pays, son activité se répartit en une dizaine de branches diverses telles que le Dommage, la Responsabilité Civile, la Marine, l’Aviation ou encore la Construction pour les plus importantes. Fig. 1 : Répartition du chiffre d’affaires d’AXA Corporate Solutions 2) Généralités sur la gestion des sinistres 1.1) Cycle de vie d’un sinistre Le cycle de vie d’un sinistre est très important pour l’estimation de ses provisions. En effet, des événements comme la date de survenance ou la date de déclaration vont totalement conditionner les paramètres pour la modélisation des lois utilisées pour le calcul des réserves. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 12 On peut résumer le cycle de vie d’un sinistre de la manière suivante : Fig. 2 : Cycle de vie d’un sinistre Il est indispensable de prendre en compte le délai entre la date de survenance du sinistre et celle de sa date de déclaration. Il peut s’écouler plusieurs années entre les deux, par exemple dans le cas de sinistres dus à l’amiante. Par ailleurs, une fois qu’un sinistre est déclaré, il peut se passer également plusieurs années avant que la totalité du montant que l’assureur doit à l’assuré ; comme dans les situations de blessure corporelle et de responsabilité civile, lorsqu’un ou plusieurs procès sont nécessaires pour statuer précisément sur la responsabilité des acteurs impliqués, sans oublier le fait qu’un sinistre fermé peut aussi être rouvert par la suite, dans le cas, par exemple, où de nouveaux éléments apparaîtraient, de nouvelles pièces seraient ajoutées au dossier lors de la procédure judiciaire pour déterminer les responsabilités d’un sinistres (pour les garanties liées aux responsabilités civiles par exemple). Cet aspect spécifique, les réouvertures, ainsi que les provisions pour recours que l’assureur peut également constituer dans certains cas, ne sont pas traités dans ce mémoire. L’assureur doit donc faire face à plusieurs inconnues vis-à-vis des sinistres qu’il doit gérer, notamment leur délai de règlement et leurs montants finaux. Il va alors devoir utiliser ou concevoir des méthodes pour provisionner suffisamment en prévision de ces sinistres en adaptant ces méthodes spécifiquement à ses lignes d’activité. 1.2) Charge ultime L’assureur doit, du fait du cycle inversé de production de son activité, constituer des provisions techniques afin de pouvoir payer, entre autres, plusieurs mois ou années après, les sinistres dont il n’a pas complètement, ou pas du tout connaissance, au moment de l’arrêté comptable qu’il effectue régulièrement, en général, au moins trimestriellement. Au moment d’un arrêté, la charge ultime d’un sinistre correspond à la somme du montant payé pour ce sinistre et des provisions techniques constituées. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 13 Ces provisions se répartissent de la manière suivante : - - Provisions dossier/dossier (D/D, ou F/F en anglais pour File/File ou encore RBNS : Reported But Not Settled). Ces provisions sont estimées au cas par cas par l’équipe de gestionnaires des sinistres qui est spécialisée par branche d’activité et qui est experte en ce qui concerne les différents cas de figure qui peuvent survenir au cours du cycle de vie du sinistre. Provisions IBNR (Incurred But Not Reported) : elles-mêmes subdivisées en : Provisions IBNeR (Incurred But Not enough Reported) : provisions visant à compléter (positivement ou négativement) les provisions dossier/dossier, Provisions IBNyR (Incurred But Not yet Reported) : provisions servant à couvrir les sinistres survenus mais non encore déclarés à l’assureur. On appelle généralement PSAP, pour Provisions pour Sinistres À Payer, la somme des toutes ces provisions techniques. Fig. 3 : Décomposition de la charge ultime d’un sinistre 1.3) Triangles de charge Un grand nombre de méthodes actuarielles d’estimation des provisions de sinistres se basent sur des triangles agrégés de montants cumulés de sinistres. Ils sont bien souvent le point de départ, la première étape indispensable, pour pouvoir appliquer ces méthodes. On comprend ainsi aisément qu’il est primordial de pouvoir constituer ces triangles de données sensibles en s’assurant d’une certaine qualité, d’un certain contrôle, en maîtrisant entre autres, leur origine et la manière dont ils sont constitués. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 14 Il existe plusieurs manières ou sens de présenter ces triangles, mais dans toute la suite nous utiliserons la représentation et les notations ci-dessous : - en ligne sont indiquées années de développement i, en colonne, on trouve les années de survenance j. De plus, on considèrera dans la suite, sauf indication contraire, des triangles de charges cumulés de sinistres, c’est-à-dire, l’accumulation pour chaque année de survenance des montants des sinistres payés et des réserves dossier/dossier pour l’agrégation de tous les sinistres d’un périmètre donné. Le choix des périmètres est très important mais leur définition n’est pas toujours évidente. Jusqu’à quel point doit-on agréger les sinistres ? Quel niveau de granularité choisir ? En agrégeant trop, on risque de regrouper des données hétérogènes (avec des risques non similaires par exemple, ou encore de source très distinctes, géographiquement entre autres, ce qui ferait que le regroupement n’aurait pas de sens). Au contraire, si on descend trop dans le détail, on risque de ne plus pouvoir appliquer la loi des grands nombres, avoir des données trop volatiles ou tout simplement des données pour lesquelles les hypothèses de base des méthodes de calcul ne seraient pas vérifiées. Si le choix du périmètre est en partie à la main de l’actuaire, ce dernier est également fortement dépendant des données qu’il a à disposition et devra parfois s’accommoder de données hétérogènes qu’il ne pourra retraiter comme il le souhaiterait. Par exemple, impossibilité de connaître, du fait de systèmes de gestion non adéquats, le lieu géographique du sinistre pour les sinistres liés aux conditions météorologiques, aux catastrophes naturelles… Comme on le verra par la suite, selon le périmètre et la granularité choisis, les méthodes de provisionnement peuvent donner des résultats significativement différents. La figure ci-dessous présente une illustration de ce qui est communément appelé un triangle de liquidation. La partie supérieure correspond à la charge cumulée agrégée des montants de sinistres connue et la partie inférieure est la partie qu’on cherche à estimer pour obtenir en particulier l’ultime pour chaque année de survenance. On désigne simplement par année de survenance, l’année où a eu lieu le sinistre (qui peut être différente de l’année de sa déclaration comme le montre la figure 2). Les années de développement correspondent aux années qui suivent cette année de survenance, d’où cette représentation en triangle. Années de survenance des sinistres Années de développement 0 1 0 1 2 3 4 … j … J 2 3 4 … i … I Ci,j ( i +j ≤ I ) Ci,j ( i +j > I ) Fig. 4 : Triangle de liquidation Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 15 On s’attend naturellement à ce que la charge agrégée cumulée des montants de sinistres soit croissante. Si c’est le cas en général, il arrive également qu’elle décroisse à cause de provisions dossier/dossier revues fortement à la baisse. 3) Organisation des périmètres chez AXA Corporate Solutions En plus du découpage naturel par ligne d’activité (Construction, Aviation, Responsabilité Civile…) et par entité gérant le contrat (France, Allemagne…), les informations sur les sinistres sont réparties également par : - Catégorie de sinistres : attritionnel ou grave. Le seuil des sinistres graves étant fixé à 3 millions d’euros, sachant que le montant d’un sinistre peut évoluer au cours du temps, il est tout à fait possible qu’entre sa date d’ouverture et sa date de fermeture, un sinistre change de catégorie. Ce découpage est nécessaire car la fréquence des sinistres graves est complètement éloignée de celle des sinistres attritionnels avec des montants en rien comparables. Les mélanger aurait pour conséquence de «polluer » les triangles de données avec des valeurs extrêmes qui ne permettraient pas de vérifier les hypothèses qu’il est nécessaire de respecter pour appliquer les méthodes traditionnelles de calcul de provisionnement de sinistres. Dans ce mémoire, nous nous sommes intéressés uniquement aux méthodes de provisionnement pour calculer les réserves des sinistres attritionnels. Les sinistres graves sont traités d’une manière totalement différente. - Type de réassurance : données brutes, cédées et nettes (avec ou sans recours). En général, deux méthodes de calcul sont utilisées pour calculer les charges ultimes selon leur type de réassurance. Soit on calcule les ultimes au brut et au net et on en déduit par différence la charge cédées, soit on estime les ultimes brutes et on applique un taux de cession pour en déduire le net. Le choix des deux méthodologies dépend fortement de la qualité des données dont on dispose et la possibilité ou non, d’y appliquer des méthodes actuarielles dont les hypothèses seront vérifiées. - Sous-branches : une ligne d’activité peut être subdivisée en plusieurs sous-branches avec des modes de gestion et donc des délais de déclaration, de paiement etc. très différents d’où la nécessité de les traiter séparément pour conserver le côté homogène des données. En général, chaque branche est au moins divisée en deux sous-branches pour considérer séparément les affaires directes où AXA CS est l’assureur, et les affaires acceptées où AXA CS joue le rôle d’un réassureur et où les délais d’obtention des informations sont bien plus longs que pour les affaires directes, puisque les données doivent transiter par plus d’intermédiaires et plus de systèmes de gestion. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 16 Par ailleurs, bien que les arrêtés comptables effectués chez AXA CS soient trimestriels, les montants cumulés agrégés des sinistres dans les triangles sont construits avec des données annuelles. Tout comme pour le découpage en sous-branche, ce choix a un effet important sur les résultats et considérer des données trimestrielles, semestrielles ou annuelles par exemple, a une conséquence directe sur les résultats des méthodes ne serait-ce que parce que cela un impact direct sur la volatilité des données. 4) Périmètres considérés Parmi toutes les branches d’activité d’AXA Corporate Solutions, nous ne nous pencherons que sur certaines dans le cadre de ce mémoire pour tester les différentes méthodes de provisionnement abordées. Elles ont chacune leurs spécificités propres, aussi bien au niveau de la durée de leur déroulement, de leur système de gestion, que de leur législation. Aussi nous présentons ici brièvement seulement celles qui seront mentionnées par la suite afin de donner une idée un peu plus concrète sur ce qui se cache derrière les chiffres. Branche Construction (TRC - TRME : Tous Risques Chantier – Tous Risques Montage Essais, CAR – EAR : Construction All Risks – Erection All Risks en anglais) : correspond aux garanties diverses pour couvrir tous les dommages qui peuvent intervenir lors d’un chantier mais également lors du montage de machines servant à ces chantiers (échafaudages, grues, turbines…). Branche Dommages (Property en anglais) : garanties pour tout ce qui concerne les dommages aux biens (usines, entrepôts, hôtels, centres de vacances, magasins, entreprises…) et également la perte pécuniaire engendrée par une cessation d’activité temporaire, totale ou partielle, due à un dommage. Cette perte d’exploitation peut intervenir par exemple si une chaîne de production doit être stoppée à cause d’un dégât matériel. C’est une branche plutôt courte. Branche Automobile (Motor en anglais) : correspond aux garanties des parcs automobiles des compagnies et des responsabilités corporelles et matérielles. Branche mi-longue. Branche Responsabilité Civile Construction (Building Liability en anglais) : concerne la responsabilité civile rattachée au domaine des chantiers de construction. Branche longue. Branche Décennale (Decennial en anglais) : concerne les garanties s’appliquant à un ouvrage pendant dix ans à partir de la fin d’un chantier de construction (solidité, impropriété, effondrements…). Branche longue. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 17 Ensemble des périmètres utilisés par la suite : - Dommages France affaires directes, Dommages France affaires acceptées, TRC – TRME France affaires directes, TRC – TRME France affaires acceptées, Automobile France affaires directes, Responsabilité Civile France affaires directes, Décennale France, affaire directes. 5) Les provisions techniques sous Solvabilité II La réforme européenne Solvabilité II du monde de l’assurance a plusieurs buts, notamment donner un cadre juridique sur l’établissement des fonds propres dont les entreprises d’assurance ont besoin, harmoniser les différentes normes et pallier les manques et insuffisances de Solvabilité I. Elle s’articule autour de 3 piliers : - Premier pilier : Ce pilier définit deux seuils réglementaires quantitatifs relatifs aux fonds propres nécessaires des entreprises : le MCR, Capital Minimum Requis (Minimum Capital Requirement), seuil audessous duquel, l’ACPR, l’Autorité de Contrôle Prudentiel et de Résolution, pourra intervenir pour retirer l’agrément ; et le SCR, le Capital de Solvabilité Requis (Solvency Capital Requirement) qui est prévu pour pouvoir résister à un choc induit par un événement extraordinaire important et les pertes potentielles consécutives à ce choc. - Deuxième pilier : Ce pilier a trait à tout ce qui est exigences qualitatives et règles de contrôle qui incombent aux entreprises du secteur de l’assurance. Le but est de s’assurer de la bonne gestion et du calcul des risques de la compagnie et que son capital est conforme à la réglementation. - Troisième pilier : Ce dernier pilier concerne la publication des informations basées sur les deux premiers piliers afin que le public, autorités de contrôle, actionnaires, analystes puissent juger de la qualité des actions effectuées, en termes de transparence et de suivi du risque. Les indicateurs attendus devront présenter les performances financières, les profils de risques, les hypothèses utilisées ainsi que les mesures d’incertitude et de volatilité des résultats fournis. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 18 Avec Solvabilité II, les provisions techniques sont la somme deux termes : les provisions techniques communément appelées Best Estimate et une marge de risque. Seul le premier terme sera traité dans ce mémoire. La directive Solvabilité II décrit les provisions Best Estimate comme suit : « La meilleure estimation correspond à la moyenne pondérée par leur probabilité des flux de trésorerie futurs, compte tenu de la valeur temporelle de l’argent (valeur actuelle probable des flux de trésorerie), estimée sur la base de la courbe des taux sans risque pertinente ». 6) Problématique Le provisionnement des sinistres attritionnels chez AXA CS nécessite plusieurs équipes dédiées qui font partie d’un processus complexe, trimestriel, impliquant une quantité importante de données. Même si elles sont parfois ajustée aux branches d’activité et à certaines spécificités, les méthodes utilisées restent classiques et finalement peu nombreuses. La présente étude vise à évaluer la pertinence de ces méthodes ainsi que leur efficacité. Sans pour autant tester une liste exhaustive de méthodes développées par la communauté actuarielle, le but est également de s’intéresser à des méthodes qui pourraient être particulièrement adaptées au cadre d’AXA CS En effet, certaines situations montrent aujourd’hui les limites des méthodes utilisées où les données disponibles ne semblent pas propices et où certains résultats apparaissent peu fiables et donc inutilisables. C’est le cas du provisionnement sur l’année courante, notamment. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 19 II Méthodes de provisionnement 1) Méthodes agrégées 1.1) Méthode Chain Ladder a) Principe La méthode Chain Ladder est une méthode déterministe de calcul de provisionnement des réserves de sinistres largement utilisée dans le monde professionnel notamment à cause de sa simplicité d’implémentation et d’exécution, et de son côté intuitif. Elle permet la plupart du temps, de donner un premier aperçu rapide du montant des réserves. Apparue dans les ouvrages de droit des assurances vers 1938, elle est souvent considérée comme une méthode de référence. Elle a pour but de donner une estimation de la charge ultime afin d’en déduire les provisions qu’on cherche à calculer en se basant uniquement sur les triangles historiques des règlements cumulés des sinistres (triangles de charges ou de paiements par exemple). L’idée de base est d’analyser et de comparer la tendance des encours cumulés d’une année de survenance à une autre identique pour toutes les années de survenance. Une enquête réalisée sur 42 pays représentant 87% du marché mondial (en primes émises en 2014) publiée en juin 2016 dans la revue L’actuariel #21, montre que la méthode Chain Ladder est utilisée comme méthode principale dans plus de 90% des cas. Cette méthode nécessite d’avoir un portefeuille : homogène : les sinistres considérés doivent présenter des similitudes dans leur nature et leur traitement par les services de gestion des sinistres. Par exemple, pour reprendre ce qui a été évoqué dans la première partie, on séparera systématiquement les affaires directes des affaires acceptées car les délais de gestion ne sont pas comparables. présentant un historique suffisant pour avoir un jeu de données significatif. dont les événements extrêmes peuvent être identifiés, isolés et extraits. b) Hypothèses et règles de calcul Hypothèses : Afin de pouvoir utiliser la méthode Chain Ladder, deux hypothèses sur les données contenues dans les triangles doivent être vérifiées. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 20 (H1) : Les paiements cumulés 𝐶𝑖,𝑗 des années de survenance sont indépendants. (H2) : Il existe des facteurs de développement 𝑓0 . . . 𝑓𝐽−1 > 0, tels que : ∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝐼 et 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝐽, on a : 𝐸[𝐶𝑖,𝑗 |𝐶𝑖,0 , … , 𝐶𝑖,𝑗−1 ] = 𝐸[𝐶𝑖,𝑗 |𝐶𝑖,𝑗−1 ] = 𝑓𝑗−1 𝐶𝑖,𝑗−1 Règles de calcul : Les facteurs de développement sont donnés par la formule : 𝑓̂𝑘 = ∑𝑛−𝑘−1 𝐶𝑖 ,𝑘+1 𝑖=0 ∑𝑛−𝑘−1 𝐶𝑖 ,𝑘 𝑖=0 La charge ultime de sinistres pour chaque année d’occurrence s’écrit alors : ̂𝑖 = 𝐶𝑖 ,𝑘+1 × (𝑓̂𝑛+1−𝑖 × … × 𝑓̂𝑛 ) 𝑈 La réserve recherchée pour une année de survenance i est donnée par : ̂𝑖 − 𝐶𝑖 ,𝑛+1−𝑖 𝑅̂𝑖 = 𝑈 De plus, pour toute année de survenance i > n + 1 – i, le montant cumulé pour une année de survenance i est donné par : ̂ ̂ ̂ 𝐶̂ 𝑖,𝑘 = 𝐶𝑖 ,𝑛+1−𝑖 × (𝑓𝑛+1−𝑖 × … × 𝑓𝑘−2 × 𝑓𝑘−1 ) Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 21 c) Exemple L’exemple suivant résume les différentes étapes de calcul ainsi que les résultats appliqués au périmètre de données correspondant au secteur d’activité : Dommages, pour les affaires directes sur la filiale France, données brutes de réassurance, en kiloeuro, à fin 2014, sur 17 ans d’historique. Années de développement Années de survenance n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 n+6 n+7 n+8 n+9 n+10 n+11 n+12 n+13 n+14 n+15 n+16 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 9 394 12 901 14 318 60 061 57 444 54 510 53 256 54 961 54 315 54 407 53 870 53 899 53 722 53 554 53 503 53 503 53 502 12 609 26 515 74 525 70 783 69 462 67 899 67 696 67 099 66 714 65 561 65 872 65 629 64 797 64 770 64 772 63 947 17 799 71 129 62 057 54 855 54 219 53 996 52 663 51 928 50 388 50 163 49 562 48 918 48 443 48 375 48 375 64 964 69 089 65 495 61 265 62 514 61 969 61 128 60 249 59 564 57 724 57 467 55 119 54 258 54 308 44 270 49 074 45 423 43 080 42 663 42 093 41 087 40 901 40 238 38 769 38 655 39 071 38 034 34 726 33 617 29 235 28 815 27 872 27 947 27 524 28 332 27 613 27 273 27 005 26 985 24 886 29 672 27 626 24 958 25 137 25 147 25 141 24 279 24 112 24 471 24 470 26 313 33 195 34 912 31 061 31 170 30 638 30 744 30 676 30 382 30 144 28 184 35 991 38 696 37 907 37 677 37 210 36 800 35 901 35 889 29 015 33 930 32 924 32 378 30 892 30 425 30 395 29 801 30 335 47 629 46 210 44 229 44 144 43 502 43 097 26 736 38 770 35 347 33 851 32 546 30 550 22 586 31 629 25 894 26 470 26 308 23 876 37 721 31 695 30 994 41 422 35 322 33 768 21 554 24 961 39 859 Fig. 5 : Triangle de charge Dommage, France, k€ n n+1 n+2 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 9 394 12 901 14 318 12 609 26 515 74 525 17 799 71 129 62 057 64 964 69 089 65 495 44 270 49 074 45 423 34 726 33 617 29 235 24 886 29 672 27 626 26 313 33 195 34 912 28 184 35 991 38 696 29 015 33 930 32 924 30 335 47 629 46 210 26 736 38 770 35 347 22 586 31 629 25 894 23 876 37 721 31 695 41 422 35 322 33 768 21 554 24 961 39 859 Fig. 6 : Calcul du premier coefficient de développement Fig. 7 : Détail du calcul de 𝑓̂1 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 22 Le calcul des coefficients de développement donne : 2014 1,33 2013 1,02 2012 1,03 2011 0,99 2010 0,98 2009 0,99 2008 0,99 2007 0,99 2006 0,99 2005 1,00 2004 0,99 2003 0,99 2002 1,00 2001 1,00 2000 0,99 1999 1,00 1998 1,00 Fig. 8 : Coefficients de développement 𝑓̂𝑘 Comme on l’a vu avec les formules précédemment, ces coefficients s’interprètent de la manière suivante : pour obtenir la charge ultime de l’année 2000, par exemple, il faut multiplier le montant de la diagonale de l’année de survenance de l’année correspondante par 0.99 x 1.00 x 1.00. On remarque qu’au niveau des données, les montants cumulés ne croissent pas toujours avec les années de développement. Cela est dû au fait que les provisions dossier/dossier sont revues à la baisse. L’application des formules amènent aux résultats suivants : Triangle complété : Années de développement Années de survenance n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 n+6 n+7 n+8 n+9 n+10 n+11 n+12 n+13 n+14 n+15 n+16 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 876 41 422 21 554 39 859 12 901 26 515 71 129 69 089 49 074 33 617 29 672 33 195 35 991 33 930 47 629 38 770 31 629 37 721 35 322 24 961 53 110 14 318 74 525 62 057 65 495 45 423 29 235 27 626 34 912 38 696 32 924 46 210 35 347 25 894 31 695 33 768 25 470 54 192 60 061 70 783 54 855 61 265 43 080 28 815 24 958 31 061 37 907 32 378 44 229 33 851 26 470 30 994 34 746 26 207 55 761 57 444 69 462 54 219 62 514 42 663 27 872 25 137 31 170 37 677 30 892 44 144 32 546 26 308 30 562 34 262 25 842 54 984 54 510 67 899 53 996 61 969 42 093 27 947 25 147 30 638 37 210 30 425 43 502 30 550 25 805 29 978 33 607 25 348 53 933 53 256 67 696 52 663 61 128 41 087 27 524 25 141 30 744 36 800 30 395 43 097 30 176 25 490 29 612 33 196 25 039 53 275 54 961 67 099 51 928 60 249 40 901 28 332 24 279 30 676 35 901 29 801 42 864 30 013 25 352 29 452 33 017 24 903 52 987 54 315 66 714 50 388 59 564 40 238 27 613 24 112 30 382 35 889 29 415 42 308 29 624 25 024 29 070 32 589 24 580 52 300 54 407 65 561 50 163 57 724 38 769 27 273 24 471 30 144 35 400 29 014 41 732 29 220 24 683 28 674 32 145 24 245 51 587 53 870 65 872 49 562 57 467 38 655 27 005 24 470 30 005 35 237 28 880 41 539 29 086 24 569 28 541 31 997 24 134 51 349 53 899 65 629 48 918 55 119 39 071 26 985 24 235 29 716 34 898 28 603 41 140 28 806 24 333 28 267 31 689 23 902 50 856 53 722 64 797 48 443 54 258 38 034 26 637 23 923 29 334 34 449 28 234 40 610 28 435 24 020 27 903 31 281 23 594 50 201 53 554 64 770 48 375 54 308 37 997 26 612 23 900 29 305 34 415 28 207 40 571 28 408 23 997 27 876 31 251 23 571 50 153 53 503 64 772 48 375 54 292 37 986 26 604 23 892 29 297 34 405 28 199 40 559 28 400 23 989 27 868 31 242 23 564 50 138 53 503 63 947 48 037 53 913 37 721 26 418 23 726 29 092 34 165 28 002 40 276 28 201 23 822 27 674 31 024 23 400 49 788 53 502 63 946 48 037 53 912 37 720 26 418 23 726 29 092 34 165 28 002 40 276 28 201 23 822 27 673 31 024 23 400 49 787 Fig. 9 : Triangle de charge complété Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 23 Calcul des réserves : 1998 Ultimes Réserves 53 502 - 1999 - 63 946 1 2000 - 48 037 338 2001 - 53 912 395 2002 - 37 720 313 2003 - 26 418 567 - 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 23 726 744 29 092 - 1 052 34 165 - 1 724 28 002 - 1 799 40 276 - 2 821 28 201 - 2 348 23 822 - 2 486 27 673 - 3 320 31 024 - 2 744 23 400 - 1 561 49 787 9 928 Total - 12 286 550 Fig. 10 : Réserves et ultimes La valeur négative totale des réserves IBNR s’explique par la baisse de la charge cumulée dossier/dossier, mise à part sur l’année 2014. Cela se traduit pas une libération des réserves (également appelée boni sur les réserves). d) Avantages et inconvénients La simplicité et la popularité de la méthode ainsi que l’absence de données complexes nécessaires à sa mise en œuvre sont des avantages certains de la méthode Chain Ladder. Cependant, l’utilisation de facteurs de développement sera pertinente et significative à condition d’avoir un historique de données suffisant. De plus, la réserve finale calculée par la méthode est directement liée au dernier montant de charge de sinistre. Si ce dernier montant est nul ou très peu significatif, alors la réserve calculée sera très peu fiable. Si la méthode est simple à utiliser, elle est aussi basée sur des hypothèses non nécessairement réalistes. En effet, elle repose sur le principe qui ne prend pas en compte une évolution potentielle du déroulement des règlements de sinistres dans le temps. Ou une modification de la jurisprudence. En clair, la méthode Chain Ladder se base sur une hypothèse très forte de très grande stabilité des facteurs de développements de sinistralité. Par ailleurs, cette méthode ne fait pas intervenir de paramètres liés aux primes acquises calculées en année de survenance et ne sera donc pas sensible à une modification potentielle de la tarification. En outre, la méthode présente une dépendance très forte de la charge finale à la dernière année (ou période) de survenance du triangle. Ceci entraine une importante sensibilité à la valeur initiale. e) Customisation Il peut arriver que les données brutes que l’on souhaite utiliser ne vérifient pas de manière satisfaisante les hypothèses nécessaires à l’application de la méthode. La présence de points aberrants est courante. Un changement dans les systèmes informatiques, dans la gestion des sinistres, dans la réglementation… peut impacter grandement les cadences de paiement des sinistres, leurs réserves dossier/dossier et donc l’allure des triangles de charge. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 24 Afin de pallier ces problèmes, il est possible de modifier les calculs des coefficients de développement en essayant de ne pas prendre en compte certains coefficients de passage, (CDP). On définit ces coefficients de passage, pour chaque année de survenance i, simplement par : ∀ 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝐽 CDP = 𝐶𝑖 ,𝑗−1 𝐶𝑖 ,𝑗 La difficulté provient du fait que bien souvent, ces points aberrants ne sont pas isolés. Un changement de gestion sur une année a souvent des implications sur plusieurs ratios consécutifs. De plus, choisir de ne pas prendre en compte un ratio, c’est se priver d’une partie de l’information qui est, elle, correcte, du fait de l’agrégation des données. Cet exercice est assez délicat et doit reposer dans la mesure du possible sur une recherche des causes amenant à des facteurs de développement anormaux pour pouvoir justifier de ajustements manuels impactants. Suivant la profondeur de l’historique, les volumes en jeu et la connaissance de la branche, le choix effectué au niveau de la customisation peut varier significativement d’un cas de figure à l’autre. Cependant, ces différentes options permettent de ne pas rester cantonné à une méthode rigide donnant parfois des résultats éloignés de la réalité quand les hypothèses de base ne sont pas vérifiées. Les ajustements suivants peuvent être simplement mis en place pour le calcul des coefficients de développement : Remplacer les points aberrants au niveau des coefficients de passage par une moyenne des autres coefficients de passage pour une année de développement donnée. Supprimer une partie des données du triangle, cela revient à « nettoyer » certaines années pour lesquelles on sait qu’elles sont non significatives. Considérer les historiques sur une période plus courte pour calculer les coefficients de développement, sur les 3 dernières années par exemple, si on sait que le business a considérablement évolué. Choisir de pondérer ou non les coefficients en fonction du volume des charges de sinistres constatés afin de donner plus de poids aux années où l’activité est plus révélatrice de la situation réelle du marché. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 25 Si l’on reprend l’exemple précédent sur la branche Dommage, les coefficients de passage ont pour valeurs : N+1 / N N+2 / N+1 N+3 / N+2 N+4 / N+3 N+5 / N+4 N+6 / N+5 N+7 / N+6 N+8 / N+7 N+9 / N+8 N+10 / N+9 N+11 / N+10 N+12 / N+11 N+13 / N+12 N+14 / N+13 N+15 / N+14 N+16 / N+15 1998 1,37 1,11 4,19 0,96 0,95 0,98 1,03 0,99 1,00 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1999 2,10 2,81 0,95 0,98 0,98 1,00 0,99 0,99 0,98 1,00 1,00 0,99 1,00 1,00 0,99 2000 4,00 0,87 0,88 0,99 1,00 0,98 0,99 0,97 1,00 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 2001 1,06 0,95 0,94 1,02 0,99 0,99 0,99 0,99 0,97 1,00 0,96 0,98 1,00 2002 1,11 0,93 0,95 0,99 0,99 0,98 1,00 0,98 0,96 1,00 1,01 0,97 2003 0,97 0,87 0,99 0,97 1,00 0,98 1,03 0,97 0,99 0,99 1,00 2004 1,19 0,93 0,90 1,01 1,00 1,00 0,97 0,99 1,01 1,00 2005 1,26 1,05 0,89 1,00 0,98 1,00 1,00 0,99 0,99 2006 1,28 1,08 0,98 0,99 0,99 0,99 0,98 1,00 2007 1,17 0,97 0,98 0,95 0,98 1,00 0,98 2008 1,57 0,97 0,96 1,00 0,99 0,99 2009 1,45 0,91 0,96 0,96 0,94 2010 1,40 0,82 1,02 0,99 2011 2012 2013 Moyenne Écart-type 1,58 0,85 1,16 1,47 0,73 0,84 0,96 1,07 0,49 0,98 1,18 0,87 0,99 0,02 0,98 0,02 0,99 0,01 0,99 0,02 0,99 0,01 0,99 0,02 1,00 0,01 0,99 0,02 0,99 0,01 1,00 0,00 1,00 0,00 0,99 0,01 1,00 0,00 Fig. 11 : Coefficients de passage Ce tableau précise par ailleurs : La moyenne (AV) pour chaque année de développement, des coefficients de passage, L’écart-type (STD) pour chaque année de développement des coefficients de passage, Les coefficients de passage non compris entre [AV – STD ; AV + STD] par le biais des coefficients affichés en rouge. Ce tableau permet de détecter rapidement les montants qui peuvent présenter des particularités et ainsi, offre la possibilité de ne pas prendre en compte des montants ou des années qui manifestement ont des différences notables avec les autres. Bien sûr, ce genre d’analyse doit s’accompagner d’une recherche des causes plus approfondie auprès des différents services de gestion des sinistres. Dans l’exemple précédent, on peut voir entre autres que certaines diagonales ne sont constituées pratiquement que de chiffres en rouge. C’est le cas de la diagonale 2001/2000, ce qui laisse à penser qu’un événement significatif a eu lieu à cette époque. Il serait alors légitime de ne pas prendre en compte les montants des années. À partir de ces montants, on peut définir plusieurs méthodes dérivées de la méthode Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 26 classique de Chain Ladder. Le tableau suivant résume quelques-unes de ces méthodes en présentant les coefficients de développement de chaque méthode. Sans lissage N+1 / N N+2 / N+1 N+3 / N+2 N+4 / N+3 N+5 / N+4 N+6 / N+5 N+7 / N+6 N+8 / N+7 N+9 / N+8 N+10 / N+9 N+11 / N+10 N+12 / N+11 N+13 / N+12 N+14 / N+13 N+15 / N+14 N+16 / N+15 Moyenne pondérée AY 3Y 1,33 1,13 1,02 0,87 1,03 0,98 0,99 0,99 0,98 0,97 0,99 0,99 0,99 0,98 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 0,99 0,98 0,99 0,98 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 0,99 1,00 1,00 AY 1,47 1,07 1,18 0,99 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 0,99 0,99 1,00 1,00 0,99 1,00 Avec lissage Moyenne 3Y 1,20 0,87 0,99 0,98 0,97 0,99 0,98 0,99 1,00 1,00 0,99 0,98 1,00 1,00 0,99 1,00 3 oo 5 1,34 0,90 0,97 0,98 0,98 1,00 0,98 0,99 0,98 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 Moyenne pondérée AY 3Y 1,23 1,13 0,94 0,87 0,95 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 0,99 1,00 1,00 AY 1,30 0,95 0,95 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 0,99 1,00 1,00 0,99 1,00 Moyenne 3Y 1,20 0,87 0,99 0,99 0,99 0,99 0,98 0,99 0,99 1,00 1,00 0,99 1,00 1,00 0,99 1,00 3 oo 5 1,34 0,90 0,97 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 Fig. 12 : Coefficients de développement pour différentes méthodes dérivées de Chain Ladder Les particularités des différentes méthodes sont les suivantes : Sans lissage / Avec lissage : dans le cas des méthodes avec lissage, les coefficients de passage en dehors de la plage [AV – STD ; AV + STD] sont remplacés par la moyenne des autres coefficients de passage des autres années de survenance pour la même année de développement. Moyenne pondérée / Moyenne : pour pondérer ou non les coefficients de développement par les montants des charges dossier/dossier. On préfèrera en général pondérer les coefficients avec le poids de la charge sinistre. Cependant, dans le cas d’une charge sinistre qui aurait fortement diminué avec le temps par exemple, et des coefficients des années le plus anciennes significativement différents des années récentes, on pourrait ne pas vouloir donner trop de poids à ceux-là. AY/3Y/ 3 oo 5 : coefficients de développement pris sur la totalité de l’historique, 3 ans ou sur 5 ans en retranchant le minimum et le maximum. Le graphe suivant montre pour toutes les méthodes comment se développe la charge totale jusqu’à l’ultime (NS/S : sans/avec lissage, WA/A : moyenne pondérée ou non) : Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 27 Développement de la charge 140 120 NS WA AY NS WA 3Y 100 % de l'ultime NS A AY NS A 3Y 80 NS A 3oo5 NS A 3oo5 60 S WA AY S WA 3Y 40 S A AY S A 3Y S A 3oo5 20 0 N N+1 N+2 N+3 N+4 N+5 N+6 N+7 N+8 N+9 N+10 N+11 N+12 N+13 N+14 N+15 N+16 Années de développement Fig. 13 : Développement de la charge à l’ultime en fonction des différentes méthodes Les résultats des calculs des charges ultimes avec les différentes méthodes sont présentés dans le tableau ci-dessous : 1998 Sans lissage Avec lissage Moyenne pondérée Moyenne Moyenne pondérée Moyenne 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 AY 3Y AY 3Y 3 oo 5 53 502 63 946 48 037 53 912 37 720 26 418 23 726 29 092 34 165 28 002 40 276 28 201 23 822 27 673 31 024 23 400 49 787 53 502 63 946 48 037 53 912 37 747 26 337 23 504 28 831 34 235 28 279 40 244 28 311 23 676 27 479 29 416 18 978 34 197 53 502 63 946 48 066 53 945 37 741 26 414 23 765 29 131 34 281 28 096 40 385 28 311 23 939 27 805 35 852 28 377 66 623 53 502 63 946 48 066 53 945 37 768 26 333 23 633 28 989 34 454 28 449 40 508 28 511 23 808 27 612 29 660 19 110 36 526 53 502 - 63 947 - 48 375 - 54 308 - 37 999 - 26 619 - 23 998 - 29 392 - 34 399 - 28 252 - 40 229 - 28 416 - 24 090 - 27 900 - 29 576 - 19 734 - 42 107 - AY 3Y AY 3Y 3 oo 5 53 502 63 946 48 037 53 929 37 736 26 432 23 864 29 230 34 519 28 371 40 520 28 436 24 184 28 186 29 071 20 115 39 441 53 502 63 946 48 037 53 929 37 736 26 431 23 885 29 298 34 554 28 431 40 461 28 389 24 107 28 238 30 228 19 502 35 141 53 502 63 946 48 066 53 962 37 757 26 449 23 883 29 261 34 558 28 401 40 557 28 450 24 208 28 223 29 269 20 477 42 570 53 502 63 946 48 066 53 962 37 757 26 449 23 911 29 329 34 591 28 467 40 535 28 439 24 151 28 277 30 375 19 571 37 406 53 502 - 63 947 - 48 375 - 54 309 - 38 000 - 26 619 - 24 040 - 29 488 - 34 826 - 28 628 - 40 785 - 28 610 - 24 293 - 28 403 - 30 110 - 20 090 - 42 867 - Fig. 14 : Charge ultime par année de survenance pour chaque méthode Les montants des IBNR correspondants sont regroupés dans le tableau suivant : 1998 Sans lissage Avec lissage Moyenne pondérée Moyenne Moyenne pondérée Moyenne 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 AY 3Y AY 3Y 3 oo 5 - - 1 - 338 - 395 - 313 - 567 - 744 - 1 052 - 1 724 - 1 799 - 2 821 - 2 348 - 2 486 - 3 320 - 2 744 - 1 561 9 928 - - 1 - 338 - 395 - 287 - 648 - 966 - 1 312 - 1 654 - 1 522 - 2 852 - 2 239 - 2 632 - 3 514 - 4 352 - 5 983 - 5 662 - - 1 - 309 - 363 - 292 - 571 - 705 - 1 012 - 1 607 - 1 705 - 2 712 - 2 238 - 2 369 - 3 189 2 084 3 416 26 764 - - 1 - 309 - 363 - 266 - 652 - 836 - 1 155 - 1 435 - 1 352 - 2 589 - 2 039 - 2 501 - 3 382 - 4 108 - 5 851 - 3 334 - - 0 - 34 - 366 - 472 - 751 - 1 490 - 1 549 - 2 868 - 2 133 - 2 218 - 3 094 - 4 192 - 5 227 AY 3Y AY 3Y 3 oo 5 - - 1 - 338 - 379 - 298 - 553 - 606 - 914 - 1 370 - 1 430 - 2 577 - 2 114 - 2 124 - 2 808 - 4 697 - 4 846 - - - 1 - 338 - 379 - 298 - 554 - 585 - 845 - 1 334 - 1 370 - 2 636 - 2 161 - 2 201 - 2 756 - 3 540 - 5 459 - 4 718 - - 1 - 309 - 346 - 276 - 535 - 587 - 883 - 1 331 - 1 400 - 2 539 - 2 099 - 2 100 - 2 771 - 4 499 - 4 484 2 710 - - 1 - 309 - 346 - 276 - 535 - 559 - 814 - 1 298 - 1 334 - 2 562 - 2 111 - 2 157 - 2 716 - 3 393 - 5 390 - 2 454 1 - 34 - 366 - 429 - 655 - 1 063 - 1 173 - 2 312 - 1 940 - 2 016 - 2 590 - 3 658 - 4 871 3 007 - - - - - 2 248 419 Fig. 15 : IBNR par année de survenance pour chaque méthode Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 28 Total Moyenne pondérée Sans lissage Moyenne Moyenne pondérée Avec lissage Moyenne AY 3Y AY 3Y 3 oo 5 - 12 287 AY 3Y AY 3Y 3 oo 5 - 25 471 - 34 356 15 192 - 30 170 - 22 147 - - 29 173 - 21 450 - 26 255 - 18 098 Fig. 16 : IBNR totaux pour chaque méthode On remarque que les différentes méthodes peuvent présenter dans certains cas des résultats significativement différents, en prenant en compte le fait que dans cet exemple, aucun coefficient de passage et donc aucun montant de charge n’a été écarté des calculs. Il incombe à l’actuaire de justifier son choix de manière pertinente en fonction de la situation car la combinatoire des résultats peut être rapidement importante. En comparant la dizaine de différentes méthodes que l’on obtient, il est possible de calculer des données statistiques par année de survenance afin de déterminer les valeurs maximales, minimales, moyenne et surtout un écart-type, ainsi qu’un coefficient de variation, (« CV », l’écart-type divisé par la moyenne), comme l’atteste le tableau suivant, toujours sur le même exemple sur les données Dommages, affaires directes : 1998 Écart-type CV 1999 2000 0 137 0 0% 0% 0% 2001 2002 2003 108 98 157 0% 0% 0% 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 165 197 196 185 172 114 204 325 1 984 2 898 9 598 1% 1% 1% 1% 0% 0% 1% 1% 7% 14% 22% Fig. 17 : Écarts-types et coefficients de variation des méthodes par année de survenance Cela permet de jauger plus précisément la volatilité des méthodes. On remarque sur l’exemple précédent, logiquement, que ces coefficients de variation augmentent avec les années les plus récentes. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 29 Tests de stabilité et d’erreurs : En plus de l’évolution des coefficients de variation, des tests de stabilité et des tests d’erreur sont également utiles pour avoir une idée de l’invariabilité de la méthode : Tests de stabilité : les tests de stabilité consistent à recalculer l’ultime en enlevant une, puis deux diagonales du triangle de données initial et de prendre une moyenne des écarts relatifs calculés En reprenant notre exemple précédent, on obtient les résultats suivants pour chaque méthode : 1998 Sans lissage Avec lissage 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Moyenne pondérée AY 3Y AY Moyenne 3Y 3 oo 5 0% 0% 0% 0% 0% 1% 1% 1% 1% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 1% 1% 1% 1% 0% 2% 2% 2% 2% 2% 0% 1% 0% 0% 0% 2% 2% 2% 2% 2% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 2% 1% 2% 1% 1% 0% 1% 1% 1% 1% 4% 3% 4% 3% 4% 0% 3% 8% 4% 3% 12% 5% 22% 4% 6% 24% 30% 30% 29% 25% Moyenne pondérée 0% 0% 0% 0% 0% 1% 1% 1% 1% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 2% 2% 2% 2% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 2% 2% 2% 2% 2% 1% 1% 1% 1% 0% 1% 0% 1% 1% 1% 2% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 0% 4% 4% 4% 4% 4% 5% 4% 4% 4% 3% 6% 3% 7% 3% 6% 17% 28% 19% 28% 24% AY 3Y AY Moyenne 3Y 3 oo 5 1999 2000 2001 2002 Fig. 18 : Tests de stabilité à l’ultime On remarque que dans ce cas, en général, les différentes méthodes sont plutôt stables sur les années antérieures. Tests d’erreur : on procède de même que pour les tests de stabilité, on enlève une puis deux diagonales et on recalcule l’ultime avec les nouveaux coefficients de développement obtenus. Puis, on prend de nouveau une moyenne des écarts relatifs. On obtient les résultats ci-dessous : +15/+14 +14/+13 +13/+12 +12/+11 +11/+10 +10/+9 +9/+8 +8/+7 +7/+6 +6/+5 +5/+4 +4/+3 +3/+2 +2/+1 +1/N Sans lissage Avec lissage Moyenne pondérée AY 3Y AY Moyenne 3Y 3 oo 5 1% 1% 1% 1% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 1% 1% 1% 1% 1% 2% 2% 2% 2% 1% 1% 0% 1% 0% 0% 2% 3% 2% 2% 2% 1% 1% 1% 1% 1% 2% 1% 2% 1% 1% 1% 0% 1% 0% 1% 2% 2% 2% 2% 3% 2% 2% 2% 2% 2% 3% 3% 17% 3% 3% 13% 9% 17% 9% 8% 26% 23% 33% 26% 32% Moyenne pondérée 1% 1% 1% 1% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 2% 2% 2% 2% 2% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 3% 2% 3% 2% 2% 2% 2% 2% 2% 2% 6% 3% 6% 3% 3% 7% 9% 7% 9% 8% 19% 23% 24% 26% 32% AY 3Y AY Moyenne 3Y 3 oo 5 Fig. 19 : Tests d’erreur sur la dernière diagonale Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 30 Facteur de queue : Principe La méthode Chain Ladder ne permet pas d’estimer un facteur de queue de distribution. Lorsque les années les plus anciennes sont encore en développement, il est nécessaire d’approximer une queue de développement. Avantages et inconvénients L’avantage est évidemment de prendre en compte un développement futur, sur base de données passées. Un inconvénient est l’absence de courbes mathématiques simples permettant de simuler le phénomène de « cloche ». Théorie Utilisation de courbes mathématiques : il s’agit d’ajuster une courbe pour les coefficients de passage choisis et d’utiliser la courbe pour lisser le développement connu et projeter le développement futur. Cet ajustement se fait par une courbe mathématique. Les familles de courbes utilisées les plus classiques sont les deux suivantes sachant que la liste des possibilités est longue. Famille exponentielle : 𝑟𝑡 = 1 + 𝑎 𝑒 𝑏𝑡 Fig. 20 : Loi exponentielle Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 31 Famille puissance : 𝑟𝑡 = 𝑎𝑏𝑡 Fig. 21 : Loi puissance Où 𝑟𝑡 représente le ratio des développements cumulés du temps t au temps t+1 et les paramètres a et b sont constants. Tests et analyses Analyse du coefficient de détermination : Le coefficient de détermination mesure l’adéquation de la loi de distribution choisie à la courbe des coefficients de passage sélectionnée. Plus il est proche de 100%, meilleure est l’adéquation de la loi. On utilise également souvent en statistique le coefficient de détermination ajusté qui tient compte du nombre de variables utilisées. Formule du R² : 𝑅² = ∑(𝑥 − 𝑥̅ ) (𝑦 − 𝑦̅)² ∑(𝑥 − 𝑥̅ ) ²(𝑦 − 𝑦̅)² Formule du R² ajusté : 2 𝑅𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡é = 𝑅2 − 𝑘 (1 − 𝑅 2 ) 𝑛−𝑘−1 où k est le nombre de variables explicatives. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 32 Exemple : Le tableau suivant donne les facteurs de queue pour les différentes méthodes présentées précédemment sur la branche Automobile : Facteur de queue Moyenne pondérée Sans lissage Moyenne Moyenne pondérée Avec lissage Moyenne Exponentielle Puissance AY 3Y AY 3Y 3oo5 1,894% 1,587% 1,876% 1,570% 0,000% 1,987% 1,698% 1,970% 1,681% 0,000% AY 3Y AY 3Y 3oo5 1,889% 2,521% 1,889% 2,539% 2,601% 1,982% 2,660% 1,982% 2,678% 2,736% Fig. 22 : Facteurs de queue pour chaque méthode Le tableau ci-dessous donne les coefficients de développement R² correspondant : Coefficient de détermination R² Moyenne pondérée Sans lissage Moyenne Moyenne pondérée Avec lissage Moyenne Exponentielle Puissance AY 3Y AY 3Y 3oo5 0,235% 52,960% 0,005% 51,169% 83,179% 0,178% 52,703% 0,021% 50,857% 6,521% AY 3Y AY 3Y 3oo5 0,038% 7,887% 0,085% 6,522% 82,689% 0,060% 7,732% 0,120% 6,378% 6,395% Fig. 23 : Coefficients R² pour chaque méthode Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 33 On remarque que pour cet exemple, les coefficients de développement obtenus présentent une volatilité importante d’une part, et des valeurs dans l’ensemble assez basses d’autre part. Cela nous amène à penser que dans ce cas, les lois utilisées pour évaluer les facteurs de queue ne sont pas optimales. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 34 1.2) Méthode de Bornhuetter - Ferguson a) Principe Imaginée par Bornhuetter et Ferguson en 1972 et publiée dans The Actuary and the IBNR, afin de s’exonérer du lien entre la charge ultime et le dernier règlement cumulé 𝐶𝑖,𝑛+1−𝑖 , cette méthode propose une alternative à l'absence de robustesse de la méthode de Chain Ladder notamment vis-à-vis des calculs pour les années de survenance très récentes. Elle se base sur une donnée exogène et permet donc d'introduire de l'information extérieure qui peut être, par exemple, un avis d'expert d’une branche de business spécifique. Elle offre également la possibilité de lier directement le calcul des provisions à la stratégie de souscription de l’entreprise en se basant sur les loss ratios définis dans son business plan. b) Hypothèses et règles de calcul Hypothèses : Comme pour la méthode Chain Ladder, deux hypothèses doivent être vérifiées. (H1) : Les sinistres cumulés 𝐶𝑖,𝑗 , sont indépendants suivant les années d’incidence i. (H2) : Il existe des paramètres 𝜇0 , … , 𝜇𝑖 > 0, et des cadences 𝛽0 , … , 𝛽𝑖 > 0 avec 𝛽𝐽 = 1 tels que : ∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝐼 et 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝐽-1 et 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝐽-j, on a : 𝐸[ 𝐶𝑖,0 ] = 𝛽0 𝜇𝑖 𝐸[ 𝐶𝑖,𝑗+𝑘 | 𝐶𝑖,0 , … , 𝐶𝑖,𝑗 ] = 𝐶𝑖,𝑗 + (𝛽𝑗+𝑘 − 𝛽𝑗 )𝜇𝑖 Règles de calcul : ̂𝑖 un estimateur du loss ratio ultime pour l’année i. Soit 𝑃𝑖 la prime acquise pour l’année i, 𝐿𝑅 𝐿𝑅𝑖 = 𝑈𝑖 𝑃𝑖 où 𝑈𝑖 est la charge ultime de l’année i. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 35 Soit 𝑧̂𝑘 un estimateur de la proportion de sinistres payés à la date k. 𝑧̂𝑛+1−𝑖 représente alors la proportion de sinistres payés à la date n + 1 – i et 1 − 𝑧̂𝑛+1−𝑖 la proportion qu’il reste à payer. On a alors pour l’année de survenance i, selon la méthode de Bornhuetter – Ferguson, la réserve suivante : ̂𝑖 × (1 − 𝑧̂𝑛+1−𝑖 ) 𝑅̂𝑖 = 𝑈 ̂𝑖 × (1 − 𝑧̂𝑛+1−𝑖 ) 𝑅̂𝑖 = 𝑃𝑖 × 𝐿𝑅 Le loss ratio est une estimation à partir d’informations liées au secteur et à la souscription. Elles mènent alors à des estimations peu différentes d’une année d’occurrence à l’autre. Les coefficients 𝑧̂𝑘 proviennent des coefficients de développement de la méthode Chain Ladder, 𝑓1 , … , 𝑓𝑛 : 𝑧̂𝑛 = 1 ̂ 𝑓𝑛 ; 𝑧̂ 𝑛−1 = 1 ̂ 𝑓𝑛 × 𝑓̂ 𝑛−1 ; … ; 𝑧̂1 = 1 ̂ 𝑓𝑛 ×… ×𝑓̂ 1 c) Exemple Reprenons les mêmes données que pour notre premier exemple pour la méthode Chain Ladder : branche Dommage, pour les affaires directes sur la filiale France, données brutes de réassurance, en euro, à fin 2014, sur 17 ans d’historique. Années de développement Années de survenance n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 n+6 n+7 n+8 n+9 n+10 n+11 n+12 n+13 n+14 n+15 n+16 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 9 394 12 901 14 318 60 061 57 444 54 510 53 256 54 961 54 315 54 407 53 870 53 899 53 722 53 554 53 503 53 503 53 502 12 609 26 515 74 525 70 783 69 462 67 899 67 696 67 099 66 714 65 561 65 872 65 629 64 797 64 770 64 772 63 947 17 799 71 129 62 057 54 855 54 219 53 996 52 663 51 928 50 388 50 163 49 562 48 918 48 443 48 375 48 375 64 964 69 089 65 495 61 265 62 514 61 969 61 128 60 249 59 564 57 724 57 467 55 119 54 258 54 308 44 270 49 074 45 423 43 080 42 663 42 093 41 087 40 901 40 238 38 769 38 655 39 071 38 034 34 726 33 617 29 235 28 815 27 872 27 947 27 524 28 332 27 613 27 273 27 005 26 985 24 886 29 672 27 626 24 958 25 137 25 147 25 141 24 279 24 112 24 471 24 470 26 313 33 195 34 912 31 061 31 170 30 638 30 744 30 676 30 382 30 144 28 184 35 991 38 696 37 907 37 677 37 210 36 800 35 901 35 889 29 015 33 930 32 924 32 378 30 892 30 425 30 395 29 801 30 335 47 629 46 210 44 229 44 144 43 502 43 097 26 736 38 770 35 347 33 851 32 546 30 550 22 586 31 629 25 894 26 470 26 308 23 876 37 721 31 695 30 994 41 422 35 322 33 768 21 554 24 961 39 859 Fig. 24 : Triangle de charge pour la branche Dommages, affaires directes, France Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 36 Avec les paramètres de primes et de loss ratios suivants (les loss ratios utilisés sont ceux de la charge de sinistres pour les anciennes années et des moyennes mobiles pour les années récentes – ils pourraient être remplacés sur certaines années par des données externes estimées par un avis d’expert) : Primes Loss Ratios Ultimes 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 133 486 40% 53 502 148 823 43% 63 947 116 147 42% 48 375 113 580 48% 54 308 141 972 27% 38 034 130 400 21% 26 985 142 346 17% 24 470 110 365 27% 30 144 152 881 23% 35 889 118 212 25% 29 801 102 015 42% 43 097 105 325 29% 30 550 106 915 25% 26 308 103 600 30% 30 994 103 780 33% 33 768 104 162 24% 24 961 108 963 37% 39 859 Fig. 25 : Primes, loss ratios et ultimes utilisés pour la méthode de Bornhuetter - Ferguson Les coefficients de développement ainsi que les estimateurs de la proportion de sinistres payés sont : fk zk 1,332 80,06% 1,020 106,67% 1,029 108,85% 0,986 112,00% 0,981 110,44% 0,988 108,33% 0,995 107,00% 0,987 106,43% 0,986 105,05% 0,995 103,61% 0,990 103,14% 0,987 102,15% 0,999 100,83% 1,000 100,73% 0,993 100,70% 1,000 100,00% 1,000 100,00% Fig. 26 : Coefficients 𝑧𝑘 et 𝑓𝑘 On complète le triangle de charge : Années de développement 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 Années 7 de survenance 8 2006 2007 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 9 394 12 901 14 318 60 061 57 444 54 510 53 256 54 961 54 315 54 407 53 870 53 899 53 722 53 554 53 503 53 503 53 502 12 609 26 515 74 525 70 783 69 462 67 899 67 696 67 099 66 714 65 561 65 872 65 629 64 797 64 770 64 772 63 947 17 799 71 129 62 057 54 855 54 219 53 996 52 663 51 928 50 388 50 163 49 562 48 918 48 443 48 375 48 375 64 964 69 089 65 495 61 265 62 514 61 969 61 128 60 249 59 564 57 724 57 467 55 119 54 258 54 308 44 270 49 074 45 423 43 080 42 663 42 093 41 087 40 901 40 238 38 769 38 655 39 071 38 034 34 726 33 617 29 235 28 815 27 872 27 947 27 524 28 332 27 613 27 273 27 005 26 985 24 886 29 672 27 626 24 958 25 137 25 147 25 141 24 279 24 112 24 471 24 470 26 313 33 195 34 912 31 061 31 170 30 638 30 744 30 676 30 382 30 144 28 184 35 991 38 696 37 907 37 677 37 210 36 800 35 901 35 889 29 015 33 930 32 924 32 378 30 892 30 425 30 395 29 801 54 690 48 375 63 947 48 375 9 10 11 12 13 14 15 16 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 30 335 47 629 46 210 44 229 44 144 43 502 43 097 26 736 38 770 35 347 33 851 32 546 30 550 22 586 31 629 25 894 26 470 26 308 23 876 37 721 31 695 30 994 41 422 35 322 33 768 21 554 24 961 42 519 27 169 43 385 37 820 27 956 44 642 34 229 37 292 27 566 44 019 28 499 33 575 36 580 27 040 43 178 32 689 28 151 33 165 36 133 26 709 42 651 45 866 32 512 27 999 32 985 35 938 26 565 42 420 31 305 45 271 32 091 27 636 32 558 35 472 26 221 41 870 37 186 30 878 44 654 31 654 27 259 32 114 34 988 25 863 41 300 31 089 37 015 30 736 44 449 31 508 27 133 31 966 34 827 25 744 41 110 24 995 30 790 36 659 30 440 44 022 31 205 26 873 31 659 34 493 25 497 40 715 27 209 24 673 30 394 36 187 30 048 43 455 30 803 26 527 31 251 34 048 25 168 40 190 38 313 27 183 24 649 30 365 36 152 30 020 43 413 30 774 26 501 31 221 34 016 25 144 40 152 38 301 27 175 24 642 30 356 36 141 30 011 43 400 30 764 26 493 31 212 34 005 25 137 40 140 54 308 38 034 26 985 24 470 30 144 35 889 29 801 43 097 30 550 26 308 30 994 33 768 24 961 39 860 54 308 38 034 26 985 24 470 30 144 35 889 29 801 43 097 30 550 26 308 30 994 33 768 24 961 39 859 39 859 Fig. 27 : Triangle de charge branche Dommage, complété avec la méthode Bornhuetter-Ferguson Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 37 Le calcul des réserves totales et par année donne : Reserves Total - - - 1 - 340 - 398 - 316 - 579 - 768 - 1 090 - 1 811 - 1 915 - 3 019 - 2 544 - 2 746 - 3 719 - 2 987 - 1 666 15 948 Fig. 28 : Réserves obtenues pour la branche Dommage, affaires directes, méthode de Bornhuetter - Ferguson d) Avantages et inconvénients La méthode de Bornhuetter – Ferguson est spécifiquement souhaitable pour les triangles présentant des paiements instables. Un des avantages de cette méthode en introduisant des données extérieures est de ne pas se cantonner simplement aux données brutes d’évolution de la charge cumulée des montants de sinistres. Cependant, un inconvénient majeur est la dépendance très forte vis-à-vis de la justesse des données extérieures. De plus, le besoin d’avis d’expert entraîne une certaine complexité pour automatiser la méthode. Enfin, comme pour la méthode Chain Ladder, un historique long est nécessaire. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 38 7 948 2) Méthodes « pseudo ligne à ligne » et ligne à ligne 2.1) Méthode de Schnieper a) Origine Mise au point en 1991, cette méthode déterministe présente des similarités avec la méthode Chain Ladder. b) Principe Elle est basée sur la séparation des IBNeR et des IBNyR (comme on l’a défini dans la partie I). En partant du même triangle C des montants cumulés des charges des sinistres utilisé pour la méthode Chain Ladder, il s'agit de diviser ce triangle, en 2 autres triangles, D, et N, représentant les IBNeR et les IBNyR. L’exemple simple suivant montre la décomposition des 2 triangles. 1 2008 1 2008 1 2 3 4 5 6 7 30 335 301 47 628 823 46 210 389 44 228 890 44 143 899 43 502 366 43 096 708 2 2009 26 736 038 38 769 987 35 347 199 33 850 637 32 545 983 30 549 547 3 2010 4 2011 5 2012 6 2013 7 2014 22 586 126 31 628 942 25 894 460 26 470 319 26 308 108 23 875 565 37 721 419 31 695 496 30 993 783 41 422 385 35 322 351 33 767 940 21 554 126 24 961 059 39 859 233 Triangle C 1 2 3 4 5 6 7 2 2009 30 335 301 12 634 811 232 530 85 310 52 2 125 130 26 736 038 4 342 697 715 831 549 921 137 999 1 241 3 2010 4 2011 5 2012 6 2013 7 2014 22 586 126 6 214 026 525 600 229 296 14 963 23 869 772 5 493 122 1 392 983 158 379 41 413 579 2 218 905 353 161 21 751 475 6 796 764 39 859 233 Triangle N 1 2008 2 3 4 5 6 7 4 658 712 1 650 964 2 066 809 85 043 643 657 405 788 2 2009 - 7 691 252 4 138 619 2 046 483 1 442 653 1 997 678 3 2010 - 2 828 789 6 260 082 346 562 177 174 4 2011 - 8 352 732 7 418 906 860 092 5 2012 6 2013 8 318 938 1 907 573 3 389 830 Triangle D Fig. 29 : Décomposition des triangles en euro pour la méthode de Schnieper Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 39 Pour chaque cellule du triangle, on a la relation ci-dessous : 𝐶𝑖,𝑗 = 𝐶𝑖,𝑗−1 − 𝐷𝑖,𝑗 + 𝑁𝑖,𝑗 Cette décomposition se comprend aisément de la manière suivante : pour chaque année de survenance, chaque cellule du triangle de charge cumulée de sinistres, 𝐶𝑖,𝑗 , peut se voir comme la somme de la charge de l’année de développement précédente, 𝐶𝑖,𝑗−1 , plus l’évolution de cette charge, −𝐷𝑖,𝑗 , (les IBNeR), plus la charge des nouveaux sinistres inconnus au moment de l’année de développement précédentes, 𝑁𝑖,𝑗 ,(les IBNyR). c) Intérêt de la méthode Le calcul du provisionnement des sinistres est étroitement lié à la qualité des données remontées par les équipes de gestion des sinistres. Des délais différents et conséquents peuvent être observés selon le périmètre des données considéré (par exemple entre les affaires directes ou acceptées chez AXA CS) entre le moment de la survenance d'un sinistre, sa déclaration, son enregistrement et son paiement effectif. C'est en cela que la méthode de Schnieper présente un intérêt certain pour AXA CS afin de distinguer les traitements des IBNeR et des IBNyR et en permettant d’identifier les méthodes de provisionnement D/D. L'étude de cette méthode a été liée au besoin de mieux comprendre et analyser les triangles d'IBNeR et d'IBNyR qui peuvent grandement se différencier chez AXA CS d'une branche ou d'un périmètre à l'autre. De plus, elle reste relativement facile à mettre en place et un simple fichier Excel permet de rapidement la tester. d) Analyse de la méthode – Règles de calcul Pour obtenir les triangles d'IBNeR et d'IBNyR, une base de données détaillées pour tous les sinistres et leurs évolutions est nécessaire : il faut pouvoir disposer de l'évolution de chaque sinistre de manière individuelle, contrairement à la méthode de Chain Ladder où un triangle agrégé suffit. En plus des données par sinistres, il est nécessaire d’avoir pour chaque transaction (montant des sinistres payés, montant des réserves dossier/dossier), la date de survenance du sinistre mais aussi sa date de création et les différentes évolutions des montants au cours de la vie du sinistre de pouvoir créer les triangles D et N. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 40 L’exemple suivant donne pour un sinistre, les informations nécessaires : Référence sinistre Vision 1824532220 1824532220 1824532220 1824532220 1824532220 2 2 3 4 4 Date de création Date de survenance 2008 2008 2008 2008 2008 2006 2006 2006 2006 2006 Charge - - 12 032 1 068 12 032 508 Fig. 30 : Informations nécessaires à la création des triangles D et N Les 2 premières lignes, en jaune, correspondent à une partie du montant de la cellule année de survenance 2006, année de développement 2, pour le triangle N. Les lignes de vision 3 et 4 sont quant à elles incluses dans le triangle D qui est créé par différence avec le triangle C classique, de charge totale, utilisé dans les autres méthodes. Années de survenance Années de développement 1998 0 1 28 190 2 3 912 076 3 1 282 118 4 880 683 5 340 824 6 38 929 7 25 958 8 23 146 9 9 853 10 3 933 11 1 410 12 13 14 15 16 - 1999 2000 2001 154 937 3 292 652 7 514 739 2 820 273 1 903 036 2 570 680 8 562 127 13 098 808 2 582 383 531 008 1 162 181 8 626 358 3 476 662 1 413 864 621 783 673 626 886 178 1 448 124 2 195 282 1 477 329 759 630 165 771 11 771 91 820 201 548 1 554 571 883 491 352 715 190 094 13 400 1 372 777 10 452 278 525 230 074 40 750 98 836 30 751 3 913 - 11 395 131 195 198 268 734 003 9 925 - 4 22 934 19 990 124 111 - 2 906 176 32 720 12 327 - - 2002 2003 2004 2005 6 547 163 - - - - 9 345 - - - - 4 619 - - - - - - - - - - - - - 2012 2013 21 101 454 14 353 952 5 915 876 10 006 273 13 260 633 900 817 1 981 774 978 242 1 880 109 2 378 268 2 826 522 1 092 885 56 397 12 675 124 829 156 864 120 476 1 953 438 120 423 83 581 23 252 271 586 56 596 30 139 458 315 146 618 - 78 419 9 000 - - 2011 20 815 969 7 120 287 - - 2010 16 585 426 5 371 017 2 698 - 2009 15 069 305 13 912 011 - 49 919 2008 14 511 376 5 587 160 - 1 265 2007 14 365 257 4 252 145 - 26 218 573 947 2006 9 237 180 254 - Fig. 31 : Création du triangle N Comme pour chaque méthode de provisionnement, il est important de rappeler l'existence d'hypothèses sur lesquelles on se base pour utiliser les résultats. 𝐸[𝑁𝑖,𝑗 |𝑋𝑖,𝑗−1 ] = 𝐸𝑖 𝜆𝑗 (H1) : 𝐸[𝐷𝑖,𝑗 |𝑋𝑖,𝑗−1 ] = 𝑋𝑖,𝑗−1 𝛿𝑗 Cette première hypothèse traduit 2 choses importantes. Tout d’abord, que l’espérance des IBNyR, conditionnellement aux observations passées, est proportionnelle à l’exposition et que le facteur de proportionnalité est indépendant de l’année de survenance mais spécifique à chaque année de développement. Ensuite, toujours conditionnellement aux observations passées, le montant de sinistres dégonflé en année de développement j est proportionnel au montant cumulé en année j-1. Ce deuxième facteur de proportionnalité ne dépendant que de l’année de développement. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 41 2014 23 670 595 𝑉𝑎𝑟[𝑁𝑖,𝑗 |𝑋𝑖,𝑗−1 ] = 𝐸𝑖 𝜎𝑖 ² (H2) : 𝑉𝑎𝑟[𝐷𝑖,𝑗 |𝑋𝑖,𝑗−1 ] = 𝑋𝑖,𝑗−1 𝜏𝑗 ² Il est à noter que l’hypothèse 2 porte sur les variances uniquement et non sur la distribution entière. (H3) : Indépendance d’occurrence. des charges {𝑁𝑖,𝑗 , 𝐷𝑖,𝑗 |𝑖 = 1,11, 𝑛; 𝑗 = 1, … , 𝑛} entre les années 𝐸𝑖 désignant le vecteur d'exposition, on introduit de plus, pour chaque année de survenance i, les paramètres suivants : 𝜆̂𝑗 = 𝛿̂𝑗 = ∑𝑛+1−𝑗 𝑁𝑖,𝑗 𝑖=1 ∑𝑛+1−𝑗 𝐸𝑖 𝑖=1 , 𝑝𝑜𝑢𝑟 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 ∑𝑛+1−𝑗 𝐷𝑖,𝑗 𝑖=1 ∑𝑛+1−𝑗 𝑋𝑖,𝑗−1 𝑖=1 , 𝑝𝑜𝑢𝑟 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 Schnieper a montré, compte tenu de la définition des paramètres ci-dessus, que les charges ultimes pouvaient s’écrire de la manière suivante, pour j > n – i + 1 : 𝑋̂ 𝑖,𝑛 = 𝑋𝑖,𝑛−𝑖+1 (1 − 𝛿𝑛−𝑖+2 ) … (1 − 𝛿𝑛 ) + 𝐸𝑖 [𝜆𝑛−𝑖+2 (1 − 𝛿𝑛−𝑖+3 ) … (1 − 𝛿𝑛 ) + 𝜆𝑛−𝑖+3 (1 − 𝛿𝑛−𝑖+4 ) … (1 − 𝛿𝑛 ) + ⋯ + 𝜆𝑛 ] e) Exemple Reprenons comme exemple, le même périmètre que celui utilisé pour la méthode Chain Ladder : branche Dommage, pour les affaires directes sur la filiale France, données brutes de réassurance, en euro, à fin 2014, sur 17 ans d’historique. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 42 Les 3 triangles C, N et D sont les suivants : C ij Années de développement 1 1998 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 1999 9 394 12 901 14 318 60 061 57 444 54 510 53 256 54 961 54 315 54 407 53 870 53 899 53 722 53 554 53 503 53 503 53 502 3 2000 12 609 26 515 74 525 70 783 69 462 67 899 67 696 67 099 66 714 65 561 65 872 65 629 64 797 64 770 64 772 63 947 17 799 71 129 62 057 54 855 54 219 53 996 52 663 51 928 50 388 50 163 49 562 48 918 48 443 48 375 48 375 Années de survenance 9 10 2006 2007 4 2001 5 2002 6 2003 7 2004 8 2005 64 964 69 089 65 495 61 265 62 514 61 969 61 128 60 249 59 564 57 724 57 467 55 119 54 258 54 308 44 270 49 074 45 423 43 080 42 663 42 093 41 087 40 901 40 238 38 769 38 655 39 071 38 034 34 726 33 617 29 235 28 815 27 872 27 947 27 524 28 332 27 613 27 273 27 005 26 985 24 886 29 672 27 626 24 958 25 137 25 147 25 141 24 279 24 112 24 471 24 470 26 313 33 195 34 912 31 061 31 170 30 638 30 744 30 676 30 382 30 144 28 184 35 991 38 696 37 907 37 677 37 210 36 800 35 901 35 889 11 2008 12 2009 13 2010 14 2011 15 2012 30 335 47 629 46 210 44 229 44 144 43 502 43 097 26 736 38 770 35 347 33 851 32 546 30 550 22 586 31 629 25 894 26 470 26 308 23 876 37 721 31 695 30 994 41 422 35 322 33 768 29 015 33 930 32 924 32 378 30 892 30 425 30 395 29 801 16 2013 17 2014 21 554 24 961 39 859 Fig. 32 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge C, k€ N ij Années de développement 1 1998 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 1999 9 394 774 90 37 118 8 5 444 1 - 3 2000 12 609 3 761 869 265 112 110 35 3 2 60 11 0 - 17 799 10 669 1 219 117 37 74 8 9 - Années de survenance 9 10 2006 2007 4 2001 5 2002 6 2003 7 2004 8 2005 64 964 9 231 2 342 313 466 321 17 34 1 - 44 270 8 066 33 572 4 68 0 - 34 726 1 775 461 1 575 - 24 886 5 048 2 9 - 26 313 3 755 34 6 - 28 184 1 808 4 469 33 0 3 1 - 29 015 5 364 85 376 101 1 - 11 2008 12 2009 13 2010 14 2011 15 2012 30 335 12 635 233 85 0 2 0 26 736 4 343 716 550 138 1 22 586 6 214 526 229 15 23 870 5 493 1 393 158 41 414 2 219 353 16 2013 17 2014 21 751 6 797 39 859 Fig. 33 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge N, k€ On constate en années de développement 1 et 2, des nouveaux sinistres avec une volatilité importante puis très peu de nouveaux sinistres pour les années ultérieures sauf pour quelques exceptions comme l’année 2006. D ij Années de développement 1 1998 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 - - - 2 733 1 327 45 706 2 735 2 942 1 259 1 261 646 92 537 30 177 168 52 0 0 2 1999 - - - 10 145 47 140 4 007 1 433 1 674 238 600 387 1 213 300 244 832 27 2 825 3 2000 - 42 661 10 291 7 319 673 297 1 340 745 1 540 225 601 645 475 68 0 4 2001 - - 5 106 5 936 4 543 783 866 858 912 686 1 840 258 2 347 861 50 5 2002 - 3 262 3 683 2 916 421 639 1 006 185 663 1 470 114 416 1 037 6 2003 - 2 884 4 843 422 942 75 423 233 720 340 268 20 7 2004 - - 262 2 047 2 677 179 10 6 862 167 360 2 8 2005 - Années de survenance 9 10 2006 2007 3 126 1 683 3 858 110 532 105 67 294 238 - 6 000 1 764 821 231 469 411 899 13 449 1 091 921 1 587 468 30 594 11 2008 - 4 659 1 651 2 067 85 644 406 12 2009 - 7 691 4 139 2 046 1 443 1 998 13 2010 - 2 829 6 260 347 177 14 2011 - 8 353 7 419 860 15 2012 8 319 1 908 16 2013 3 390 Fig. 34 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge D, k€ On constate plutôt un dégonflement de la charge, surtout à partir de l’année de développement 3 tandis que l’année de développement 2 est contrastée. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 43 17 2014 Le vecteur d’exposition (primes) se présente sous la forme : Exposition 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 133 486 148 223 116 147 113 580 141 972 130 400 142 346 110 365 152 881 118 212 102 015 105 325 106 915 103 600 103 780 104 162 108 963 Fig. 35 : Vecteur d’exposition, k€ On obtient alors les résultats suivants pour les paramètres λ et μ : λi : 1 2 0,2442 3 0,0455 4 0,0070 5 0,0016 6 0,0006 7 0,0004 8 0,0000 9 0,0008 0,0000 10 11 12 0,0001 0,0000 0,0000 13 14 - 15 - 16 - 17 - - δi: 2 - 3 0,1407 4 0,0015 - 5 0,0241 6 0,0157 7 0,0202 8 0,0124 9 0,0079 0,0130 10 11 12 13 0,0138 0,0046 0,0096 0,0129 14 0,0010 15 14 15 16 17 0,0003 0,0070 16 17 0,0000 Fig. 36 : Paramètres 𝜆̂𝑗 et 𝛿̂𝑗 Les ultimes et les réserves en découlent : CiJ: Ultimes 1 2 53 502 3 63 946 Réserves 1 2 - - 4 48 037 3 1 - 5 53 912 4 338 - 6 37 720 5 395 - 7 26 418 6 313 - 8 23 726 7 567 - 9 29 092 34 168 8 744 - 1 051 9 - 1 721 10 11 12 13 28 004 40 251 28 213 23 858 10 - 1 797 11 - 2 846 12 - 2 337 27 697 13 - 2 450 31 028 14 - 3 297 23 654 15 - 2 739 16 - 1 307 46 811 17 6 951 Fig. 37 : Ultimes et réserves calculés par la méthode de Schnieper, k€ Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 44 Somme - 14 952 C ij Années de développement On peut également en déduire les 3 triangles complétés : 8Années de 9survenance 10 2005 2006 2007 1 1998 2 1999 3 2000 4 2001 5 2002 6 2003 7 2004 11 2008 12 2009 13 2010 14 2011 15 2012 16 2013 17 2014 9 394 12 901 14 318 60 061 57 444 54 510 53 256 54 961 54 315 54 407 53 870 53 899 53 722 53 554 53 503 53 503 53 502 12 609 26 515 74 525 70 783 69 462 67 899 67 696 67 099 66 714 65 561 65 872 65 629 64 797 64 770 64 772 63 947 17 799 71 129 62 057 54 855 54 219 53 996 52 663 51 928 50 388 50 163 49 562 48 918 48 443 48 375 48 375 64 964 69 089 65 495 61 265 62 514 61 969 61 128 60 249 59 564 57 724 57 467 55 119 54 258 54 308 44 270 49 074 45 423 43 080 42 663 42 093 41 087 40 901 40 238 38 769 38 655 39 071 38 034 34 726 33 617 29 235 28 815 27 872 27 947 27 524 28 332 27 613 27 273 27 005 26 985 24 886 29 672 27 626 24 958 25 137 25 147 25 141 24 279 24 112 24 471 24 470 26 313 33 195 34 912 31 061 31 170 30 638 30 744 30 676 30 382 30 144 28 184 35 991 38 696 37 907 37 677 37 210 36 800 35 901 35 889 29 015 33 930 32 924 32 378 30 892 30 425 30 395 29 801 30 335 47 629 46 210 44 229 44 144 43 502 43 097 26 736 38 770 35 347 33 851 32 546 30 550 22 586 31 629 25 894 26 470 26 308 23 876 37 721 31 695 30 994 41 422 35 322 33 768 21 554 24 961 39 859 50 423 25 654 51 111 34 747 26 438 52 516 30 569 34 263 26 085 51 756 25 817 29 990 33 610 25 598 50 750 30 177 25 503 29 625 33 199 25 286 50 129 42 839 30 024 25 389 29 475 33 022 25 171 49 821 29 415 42 284 29 635 25 059 29 093 32 593 24 845 49 175 35 402 29 016 41 706 29 232 24 720 28 698 32 150 24 508 48 503 30 005 35 240 28 882 41 514 29 098 24 606 28 566 32 002 24 396 48 279 24 235 29 717 34 901 28 605 41 115 28 818 24 370 28 291 31 694 24 161 47 815 26 637 23 923 29 334 34 452 28 237 40 585 28 447 24 056 27 927 31 286 23 850 47 199 37 997 26 612 23 900 29 306 34 419 28 209 40 546 28 420 24 033 27 900 31 256 23 827 47 154 54 292 37 986 26 604 23 892 29 297 34 408 28 201 40 534 28 411 24 026 27 892 31 247 23 820 47 140 48 037 53 913 37 721 26 418 23 726 29 093 34 168 28 004 40 252 28 213 23 858 27 697 31 029 23 654 46 811 63 946 48 037 53 912 37 720 26 418 23 726 29 092 34 168 28 004 40 251 28 213 23 858 27 697 31 028 23 654 46 811 Fig. 38 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge C complété, k€ Années de survenance ij Années de développement N 9 394 774 90 37 118 8 5 444 1 - 12 609 3 761 869 265 112 110 35 3 2 60 11 0 - 17 799 10 669 1 219 117 37 74 8 9 - 64 964 9 231 2 342 313 466 321 17 34 1 - 44 270 8 066 33 572 4 68 0 - 34 726 1 775 461 1 575 - 24 886 5 048 2 9 - 26 313 3 755 34 6 - 28 184 1 808 4 469 33 0 3 1 - 29 015 5 364 85 376 101 1 - 30 335 12 635 233 85 0 2 0 26 736 4 343 716 550 138 1 22 586 6 214 526 229 15 23 870 5 493 1 393 158 41 414 2 219 353 21 751 6 797 39 859 730 764 165 166 174 63 63 64 67 42 40 40 40 42 5 5 5 5 5 5 83 86 87 84 84 85 89 0 0 0 0 0 0 0 0 9 7 6 6 6 6 6 6 6 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 957 0 Fig. 39 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge N complété, k€ Années de survenance D ij Années de développement - - - 2 733 1 327 45 706 2 735 2 942 1 259 1 261 646 92 537 30 177 168 52 0 0 -10 145 -47 140 4 007 1 433 1 674 238 600 387 1 213 - 300 244 832 27 2 825 - 42 661 10 291 7 319 673 297 1 340 745 1 540 225 601 645 475 68 0 5 106 5 936 4 543 783 866 858 912 686 1 840 258 2 347 861 50 3 262 3 683 2 916 421 639 1 006 185 663 1 470 114 416 1 037 2 884 4 843 422 942 75 423 - 233 720 340 268 20 7 691 4 139 2 046 1 443 1 998 - 2 829 6 260 347 177 488 547 416 827 533 619 694 528 1 048 377 319 370 415 316 627 341 238 202 234 262 200 396 387 556 390 329 382 428 327 646 495 406 583 409 346 401 450 343 678 140 164 135 194 136 115 133 149 114 348 225 235 288 339 278 399 280 236 274 307 234 464 312 383 450 368 530 371 314 364 408 311 37 616 26 23 28 33 27 39 27 23 27 30 23 16 45 11 8 7 9 10 8 12 9 7 8 9 7 337 14 379 265 186 167 204 240 197 283 198 168 195 218 166 329 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - 262 2 047 2 677 179 10 6 862 167 360 2 - 3 126 1 683 3 858 110 532 105 67 294 238 - 6 000 1 764 821 231 469 411 899 13 449 1 091 921 1 587 468 30 594 - 4 659 1 651 2 067 85 644 406 - - 8 353 7 419 860 8 319 1 908 - 813 3 390 - 38 76 618 - 1 231 Fig. 40 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge D complété, k€ Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat - 5 607 45 f) Ajustements de la méthode Comme pour la méthode Chain Ladder, il est possible de procéder à des ajustements de la méthode de Schnieper afin de «corriger» certains coefficients intermédiaires calculés par une application directe des formules afin de prendre en compte des points particuliers, des changements dans les méthodes de gestion, des points aberrants résultant d'anomalies potentielles etc. Le tableau suivant reprend les différentes variantes décrites dans la partie sur la méthode Chain Ladder pour le même périmètre, sur un historique de 13 ans, en appliquant diverses variations sur le paramètre δ : Total Sans lissage Avec lissage Moyenne pondérée Moyenne Moyenne pondérée Moyenne AY 3Y AY 3Y 3 oo 5 - 26 089 - 28 609 - 24 699 - 27 548 - 16 468 - AY 3Y AY 3Y 3 oo 5 - 20 678 - 20 596 - 20 365 - 20 571 - 12 455 Fig. 41 : Variantes de la méthode de Schnieper : IBNR totaux g) Remarque sur le lien entre la méthode Chain Ladder et la méthode de Schnieper Si le triangle N des IBNyR est vide (pour les lignes i>1), alors tous les λ𝑖 pour i>1 sont nuls et on retrouve les résultats donnés par la méthode Chain Ladder. On en déduit aussi que moins le triangle N comportera de données non nulles, plus les résultats donnés par la méthode de Schnieper tendront vers ceux de la méthode Chain Ladder. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 46 2.2) Une méthode de projection sinistre par sinistre développée pour les sinistres graves appliquée aux sinistres attritionnels a) Contexte Dans le but d’améliorer les méthodes de provisionnement des sinistres graves (ayant une fréquence faible mais un coût très élevé) chez AXA CS, une méthode spécifique a été développée (méthode « DHV »). Chez AXA CS, le seuil défini pour l’appellation des sinistres graves est une charge de 3 millions d’euros en brut de réassurance. Bien que cette charge peut varier dans le temps et repasser au-dessous du seuil, une fois qu’un sinistre est déclaré comme grave, il le reste jusqu’à sa clôture. La méthode mise en place pour les sinistres graves, vise à traiter les IBNeR et les IBNyR de manière séparée, comme c’est le cas dans la méthode de Schnieper. Nous avons donc voulu tester son application sur les sinistres attritionnels et la comparer aux autres méthodes classiques précédemment évoquées. b) Principe de la méthode La méthode se décompose en 2 parties : Projection des IBNeR : utilisation de la méthode Chain Ladder sinistre par sinistre avec pondération des facteurs de développement des sinistres en fonction de leur proximité. Projection des IBNyR : méthode de Bornhuetter-Ferguson avec cadence Chain Ladder et a priori ALR pour les nombres d’IBNyR. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 47 Projection d’IBNeR : On considère Kn(j) le sous-ensemble des sinistres dont la charge de sinistres à l’année de développement j est connue pour l’année courante n. Pour un sinistre k dont la dernière charge connue correspond à l’année de développement j (c’est-à-dire survenue à l’année n – j + 1), sa charge ultime est estimée par : ̂ ̃ ̃ 𝐶̂ 𝑘,𝑛 = 𝐶𝑘,𝑗 𝐹𝑘,𝑗 𝐹𝑘,𝑗+1 … 𝐹𝑘,𝑛−1 Avec : 𝐹̂ 𝑘,𝑗 = 𝐹̃ 𝑘,𝑠 = 1 ∑ 𝑗 ∑𝑘 ′∈𝐾𝑛 (𝑗+1) 𝑤𝑘,𝑘′ 𝑘 ′ ∈𝐾𝑛 (𝑗+1) 𝑗 𝑤𝑘,𝑘′ 𝐹𝑘 ′,𝑗 1 ′ 𝑠 ̂ ∑𝑘 ′ ∈𝐾𝑛 (𝑠+1) 𝑤 𝑠 𝑘,𝑘′ 𝐹𝑘′𝑠 , avec s = j+1,…, n-1 ̂ ∑𝑘′ ∈𝐾 (𝑠+1) 𝑤 𝑘,𝑘′ 𝑛 Et : 𝐶𝑘′,𝑗+1 𝐹𝑘 ′,𝑗 = 𝑤𝑘,𝑘′ = (𝑀𝑎𝑥 (𝜀, | 𝐶𝑘′,𝑗 les coefficients de passage, 𝑗 𝐶𝑘,𝑗 −𝐶𝑘′𝑗 𝐶𝑘,𝑗 |))𝛽 mesurant la proximité entre k et k’ à l’année de développement j (dans le cas où 𝐶𝑘,𝑗 est connue), 𝐶𝑘,𝑗 −𝐶𝑘′𝑗 𝑗 ̂ 𝑤 = (𝑀𝑎𝑥 | |))𝛽 mesurant la proximité entre k et k’ à l’année de (𝜀, 𝑘,𝑘′ 𝐶 𝑘,𝑗 développement j (dans le cas où 𝐶𝑘,𝑗 n’est pas connue et doit être estimée). Comme la mesure de proximité w dépend de la charge du sinistre à développer, elle n’est connue que pour l’année courante. Pour les années suivantes, la charge doit être estimée pour calculer sa proximité avec les sinistres de référence, ε > 0, un paramètre, appelé « tolérance », introduit dans le but de ne pas surpondérer les sinistres trop « proches » du sinistre à développer, 𝛽 ≥ 0 le paramètre mesurant l’impact de la proximité au niveau de la charge entre deux sinistres sur leur développement. Les coefficients de passage sont calculés comme dans la méthode Chain Ladder classique. 𝑗 Les poids 𝑤𝑘,𝑘′ font partie de la particularité de la méthode. Plus la charge d’un sinistre de référence 𝐶𝑘′,𝑗 est proche de celle du sinistre à développer 𝐶𝑘,𝑗 , plus on donne un poids important à 𝐹𝑘 ′ ,𝑗 . Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 48 La présence de la tolérance ε dit que les poids sont capés à ε−β. Le poids est équiréparti entre les sinistres dont la charge se trouve dans l’intervalle[Ck,j (1 − ε); Ck,j (1 + ε)]. D’une telle manière, un sinistre avec un développement atypique et une charge trop proche du sinistre à développer n’influerait pas gravement le coefficient de passage estimé. L’intervalle défini ci-dessus est appelé voisinage de 𝐶𝑘,𝑗 . Il est d’autant plus grand que la charge 𝐶𝑘,𝑗 est élevée. Le paramètre β est calibré par une technique d’apprentissage statistique appelée « leaveone-out cross validation ». L’idée est de faire parcourir à ce paramètre β un intervalle suffisamment grand. Pour chaque valeur de β, successivement, un sinistre de la base de données est écarté, et les coefficients de passage pour ce sinistre sont estimés en utilisant les autres sinistres comme sinistres de référence. Enfin, le véritable développement de ce sinistre est comparé au développement prédit par l’algorithme. Ainsi, le β optimal est celui qui minimise l’erreur moyenne de prédiction. Ce β optimal indique si la proximité entre sinistres à un impact important, faible, voire nul sur leur développement. Projection d’IBNyR : La projection d’IBNyR est réalisée avec une approche fréquence-coût ; pour cela, le calcul de la projection des IBNeR est au préalable nécessaire pour estimer la sévérité des sinistres sur les montants de charge ultime de la totalité des sinistres. La sévérité est calibrée simplement par une moyenne pondérée. La méthode alors utilisée est une méthode Bornhuetter – Ferguson avec cadence Chain Ladder et a priori ALR. Méthode ALR (Additive Loss Reserving) : Cette méthode utilise un triangle des montants incrémentaux ainsi qu’un vecteur d’exposition. Soit 𝑋𝑖,𝑗 le montant incrémental du sinistre i pour l’année de développement j. Hypothèses de la méthode : (H1) : Indépendance entre années de survenance (H2) : indépendance des montants incrémentaux entre années de développement. Il existe un vecteur d’exposition (𝐸𝑖 )i=1,…, n et 𝛼1 , … , 𝛼𝑛 tels que : 𝐸[𝑋𝑖,𝑗 |𝑋𝑖,1 , … , 𝑋𝑖,𝑗−1 ] = 𝛼𝑗 𝐸𝑖 Dans cette méthode, l’exposition 𝐸𝑖 n’est pas une estimation a priori de l’ultime mais un volume proportionnel à ce dernier. L’hypothèse ALR suggère que pour chaque année de développement j, le montant incrémental représente une part 𝛼𝑗 et l’exposition. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 49 𝛼 = ∑𝑛𝑗=1 𝛼𝑗 prend le rôle du facteur proportionnel (rapport entre l’ultime et l’exposition). Si le vecteur de primes est choisi comme estimateur du vecteur d’exposition, 𝛼 sera le ratio Sinistres/Primes espéré : 𝜇𝑖 = 𝛼 𝐸𝑖 Ainsi, 𝛼𝑗 𝛼 représente la part de l’ultime réglée pendant l’année de développement j. On peut le relier au paramètre 𝛽𝑖 de la méthode Bornhuetter-Fergusson de la manière suivante : 𝛼1 = 𝛽1 𝛼 𝛼𝑗 𝛼 = 𝛽𝑗 − 𝛽𝑗−1 pour j=2, …, n Ce qui revient à : 𝑗 ∑𝑚=1 𝛼𝑚 𝛼 = 𝛽𝑗 , pour j=1, …, n Si 𝐷𝑛 désigne l’information connue jusqu’à l’année n, c’est-à-dire l’ensemble {𝐶𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, 𝑖 + 𝑗 ≤ 𝑛 + 1} alors le Best Estimate de 𝑋𝑖,𝑗 , de la charge ultime et du montant de réserve sont respectivement : 𝐸[𝑋𝑖,𝑗 |𝐷𝑛 ] = 𝛼𝑗 𝐸𝑖 𝑛 𝐸[𝐶𝑖,𝐽 |𝐷𝑛 ] = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 + ∑ 𝛼𝑗 𝐸𝑖 𝑗=𝑛−𝑖+2 𝑛 𝐸[𝑅𝑖 |𝐷𝑛 ] = ∑ 𝛼𝑗 𝐸𝑖 𝑗=𝑛−𝑖+2 Avec 𝛼𝑗 estimé par : 𝛼̂𝑗 = Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat ∑𝑛−𝑗+1 𝑋𝑖,𝑗 𝑗=1 ∑𝑛−𝑗+1 𝐸̂𝑖 𝑗=1 50 En remarquant que : 𝑛−𝑖+1 𝑛−𝑖+1 ∑𝑛𝑗=𝑛−𝑖+2 𝛼𝑗 = ∑𝑛𝑗=1 𝛼𝑗 − ∑𝑛−𝑖+1 𝑗=1 𝛼𝑗 = 𝛼 − ∑𝑗=1 𝛼𝑗 = (1 − ∑𝑗=1 𝛼𝑗 /𝛼)𝛼 = (1 − 𝛽𝑛−𝑖+1 )𝛼, le Best Estimate de l’ultime et celui de la réserve peuvent se réécrire : 𝐸[𝐶𝑖,𝐽 |𝐷𝑛 ] = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 +(1 − 𝛽𝑛−𝑖+1 )𝛼 𝐸𝑖 = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 + (1 − 𝛽𝑛−𝑖+1 )𝜇𝑖 𝐸[𝑅𝑖 |𝐷𝑛 ] = (1 − 𝛽𝑛−𝑖+1 )𝛼 𝐸𝑖 = (1 − 𝛽𝑛−𝑖+1 )𝜇𝑖 On retrouve les formules de la méthode de Bornhuetter – Ferguson, ce qui peut s’interpréter comme le fait que la méthode Additive Loss Reserving peut se voir comme une méthode appartenant à la famille des méthodes Bornhuetter – Ferguson. Son point spécifique est que la cadence 𝛽𝑖 dépend de l’exposition 𝐸𝑖 et que 𝜇𝑖 dépend du triangle supérieur au travers du terme α. La méthode de projection des IBNyR nécessite donc un triangle de nombres incrémentaux de sinistres (𝑋𝑖,𝑗 ). et un vecteur d’exposition (𝐸𝑖 ). L’hypothèse sous-jacente est que le nombre de sinistres attritionnels est a priori proportionnel à l’exposition. Pour chacune des années de développement j = 1, …, n, le ratio (𝛼̂𝑗 ). « nombre de sinistres attritionnels survenus par unité d’exposition est calculée » est : (𝛼̂𝑗 ) = ∑𝑛−𝑗+1 𝑋𝑖,𝑗 𝑖=1 ∑𝑛−𝑗+1 𝐸𝑖 𝑖=1 Le ratio ultime 𝛼̂ = ∑𝑛𝑗=1 𝛼̂𝑗 en est déduit. En le multipliant par le vecteur d’exposition, on obtient un vecteur a priori du nombre ultime de sinistres attritionnels par année de survenance : μ̂i = 𝐸𝑖 𝛼̂. La méthode de Bornhuetter – Ferguson est alors utilisée pour estimer le nombre ultime de sinistres attritionnels pour chacun des années de survenance et le nombre d’IBNyR : 𝐵𝐹 ̂ 𝐶̂ 𝑖,n = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 + (1 − 𝛽𝑛−𝑖+1 )μi où la cadence est estimée grâce à la méthode de Chain Ladder : 𝛽̂ 𝑛−𝑖+1 = Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 1 𝐶𝐿 ̂ ∏𝑛−1 𝑗=𝑛−𝑖+1 𝑓𝑗 51 c) Exemple Le tableau suivant compare les résultats des estimations des IBNeR totaux avec cette méthode développée pour les sinistres atypiques et la méthode de Schnieper. Dommages Affaires Directes Construction Affaires Directes Schnieper -33 496 4 996 DHV 27 958 38 603 Fig. 42 : Comparaison des IBNeR calculés par les méthodes DHV et de Schnieper pour 2 branches La méthode spécifiquement développée pour les sinistres graves semble donner des résultats plutôt très éloignés de ceux de la méthode de Schnieper, bien que dans les 2 exemples présentés, l’ordre de grandeur des écarts diffère significativement. Les graphiques suivants montrent la répartition des coefficients de passages des sinistres de chaque branche en fonction des montants de la charge des sinistres, une fois les points aberrants écartés. On ne constate pas, mis à part pour les ordonnées 0 et 1, de réels regroupements de points particuliers. En revanche, il est à noter que le nombre de sinistres sur la branche Dommages est environ trois fois supérieur à ceux de la branche Construction. Il convient de préciser que pour pouvoir appliquer cette méthode, les données ont été largement filtrées en amont car du fait des nombreuses boucles du programme et de la relative grande quantité de lignes à traiter, les temps d’exécution n’auraient pas été acceptables. Cette étape de filtrage qui a consisté à ne conserver qu’une minorité de lignes mais pour les sinistres représentant la majorité de la charge, a pu quelque part, fausser la nature des données et on a pu perdre de l’information utile concernant le développement des sinistres au global. Si bien que l’hypothèse très forte sur laquelle repose la méthode, comme quoi les sinistres de taille similaire se comportent de manière analogue, n’est pas vérifiée ou fortement biaisée. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 52 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 -500 000 - 500 000 1000 000 1500 000 2000 000 2500 000 3000 000 Fig. 43 : Coefficients de passage en fonction des montants des sinistres (branche Dommages) 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 - 200 000 400 000 600 000 800 000 1000 000 1200 000 1400 000 1600 000 1800 000 2000 000 Fig. 44 : Coefficients de passage en fonction des montants des sinistres (branche Construction) Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 53 d) Avantages et inconvénients de la méthode Cette méthode ligne à ligne peut présenter un inconvénient certain concernant la préparation des données nécessaires à son utilisation. En effet, elle suppose d’avoir à sa disposition des systèmes de gestion de données suffisamment fiables et précis. C’est le cas bien sûr pour toutes les méthodes d’estimation mais à plus forte raison ici car les points aberrants peuvent ressortir de manière plus prononcée que pour les méthodes agrégées. Il devient alors indispensable de supprimer ces points aberrants, mais l’exercice peut s’avérer délicat et se priver d’une partie des données pertinentes est un risque qui peut rapidement survenir. Enfin, il en résulte que toute cette préparation des données prend un temps bien plus conséquent que pour les méthodes agrégées. Par ailleurs, les résultats données par la méthode DHV, assez différents de ceux des autres méthodes étudiées, laissent à penser qu’elle n’est pas nécessairement adéquate pour traiter les différents périmètres attritionnels qui nous intéressent. En revanche, cette méthode pourrait s’avérer très intéressante dans le cadre de données de sinistres très hétérogènes. En effet, prenons l’exemple très simplifié suivant : pour la même charge de départ en année 1 de 20 m€, un premier cas avec une quarantaine de sinistres de 500 k€ et un second cas avec dix sinistres attritionnels importants de 2 m€. Le développement en année 2 peut varier fortement selon la « composition » et les types de sinistres observés. On remarque effectivement, que les gros sinistres ont tendance (en général) à moins se développer que les sinistres plus petits. La méthode classique Chain Ladder, dans les deux cas de figure décrits ci-dessous, ne distingue pas de différences et appliquerait le même coefficient de passage. Dans le cas où un grand nombre des sinistres sont présents, une certaine homogénéité peut s’observer et ces situations particulières sont estompées. Mais dans le cas où ce nombre est réduit et présente une certaine hétérogénéité (un portefeuille jeune, par exemple), la méthode DHV pourrait se révéler intéressante. Cas 1 Année 1 20 -> 40 x 0,5 Cas 2 Année 2 Année 1 40 20 Année 2 -> 24 10 x 2 Fig. 45 : Compositions différentes de la charge des sinistres Ainsi, on pourrait imaginer une étude, qui sort du cadre de ce mémoire, afin de voir ce que donnerait cette méthode pour traiter, en même temps, à la fois les sinistres attritionnels et atypiques. Aujourd’hui, chez AXA CS, quelles que soient la filiale et la branche, ces deux estimations sont toujours séparées. S’il était possible, un tel regroupement serait plus que profitable en termes opérationnels et permettrait un gain de temps substantiel. Enfin, avec le développement des technologies big data et machine learning, on pourrait Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 54 envisager de déterminer et d’utiliser d’autres critères pour « rapprocher » le comportement des sinistres que celui utilisé ici (la taille des sinistres), surtout dans le cas du traitement de bases de données sinistres bien plus importante que celle d’AXA CS. Cette multiplicité potentielle des critères et des paramètres peut se voir comme un réel intérêt par rapport aux autres méthodes présentées. 3) Synthèse des résultats Le tableau ci-dessous regroupe les résultats des estimations des Best Estimate des provisions IBNR, pour chaque branche, par méthode. Il indique également l’écart absolu et relatif avec la méthode de référence de Chain Ladder. k€ Branches Chain Ladder Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Construction Affaires acceptées Automobile Affaires directes RC Construction Affaires directes Décennale Affaires directes - - 23 939 17 881 11 617 9 711 7 969 367 5 152 Bornhuetter - Ferguson - 26 681 22 327 6 279 5 103 9 406 747 5 865 - ∆ (Chain Ladder) - 2 742 4 446 5 338 4 608 1 437 380 713 11% 25% -46% -47% 18% 104% 14% Schnieper - - 26 088 26 260 7 877 1 117 9 235 601 5 190 ∆ (Chain Ladder) - 2 149 8 379 3 740 8 594 1 266 234 38 9% 47% -32% -88% 16% 64% 1% Fig. 46 : Synthèse des résultats des Best Estimate des réserves IBNR par branche et par méthode Comparaison des Best Estimate des réserves IBNR par méthode et par périmètre 250 200 150 100 50 Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Chain Ladder Construction Affaires acceptées Bornhuetter - Ferguson Automobile Affaires directes RC Construction Affaires directes Décennale Affaires directes Schnieper Fig. 47 : Histogrammes comparatifs des résultats normés des Best Estimate des réserves IBNR par branche et par méthode Les différents périmètres ont été sélectionnés pour essayer de balayer différents cas de figure, que ce soit en termes de volume, de volatilité des montants ou de durée des branches. On constate que les méthodes étudiées donnent des résultats des Best Estimate du même ordre de grandeur globalement, même si pour certains cas, les écarts sont très prononcés comme pour es Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 55 Affaire acceptées. D’autre part, on remarque également qu’aucune des méthodes ne donne systématiquement de résultat supérieur ou inférieur aux autres. La question la plus légitime et la plus immédiate qui se pose alors concerne le choix de la méthode à utiliser et les critères permettant d’aboutir à cette sélection. La troisième partie de cette étude se propose d’essayer de répondre à cette question. Le tableau suivant propose une synthèse non exhaustive, en se référant aux cas traités dans cette étude, des avantages et des inconvénients vus plus précédemment pour chaque méthode. Chain Ladder Bornhuetter - Ferguson Schnieper DHV Facile à utiliser et implémenter Avantages Inconvénients Donne de bons résultats Ouverture possible pour Méthode largement traiter les sinistres sur certains périmètres utilisée dans le monde et Permet d'introduire des atypiques et attrionnels proposant de nombreuses données extérieures Permet de détecter des en même temps variantes et ajustements changements dans la gestion des D/D Hypothèses de stabilité fortes Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat Complexe à implémenter et utiliser Forte dépendance vis-àHypothèses peu ou pas Résultats peu vis de la justesse des vérifiées satisfaisants pour les données extérieures sinistres attritionnels dans certains cas 56 III Critères de sélection des méthodes de provisionnement Dans la partie précédente, nous avons décrit quatre méthodes de réserves de sinistres, en partant de la méthode agrégée probablement la répandue, la méthode Chain Ladder, pour ensuite s’attarder sur sophistiquées, moins agrégées, introduisant d’autres paramètres que les triangles de charges cumulées des montants de sinistres. provisionnement des plus simple et la plus des méthodes plus simples données des Mais comment choisir parmi ces différentes méthodes ? Quels critères utiliser pour pouvoir déterminer la ou les méthodes à utiliser selon les cas de figures qui se présentent ? Nous allons essayer d’exhiber quelques éléments de réponse dans cette troisième partie. 1) Vérification des hypothèses des méthodes Les méthodes de provisionnement présentées reposent toutes sur des hypothèses qu’il convient de vérifier pour pouvoir les appliquer aux données considérées. Une méthode qui donnerait de « bons résultats théoriques » mais qui supposerait des conditions très rarement vérifiées dans la pratique serait peu souhaitable. Pour chacun des méthodes étudiées, nous avons énoncé les hypothèses nécessaires correspondantes. Pour la méthode Chain Ladder, nous indiquons dans le paragraphe dédié au modèle de Mack, ainsi qu’en annexe, comment procéder afin de contrôler que les données passent les tests d’hypothèses. Dans l’ensemble, sur les sept périmètres principaux, on peut considérer que c’est le cas. Pour la méthode de Bornhuetter – Ferguson, la condition principale d’indépendance des années d’occurrence est également satisfaite. Pour la méthode de Schnieper, en revanche, si l’hypothèse d’indépendance pour les triangles D et N est à peu près vérifiée, ce n’est clairement pas le cas pour la première hypothèse de proportionnalité comme on peut le constater en annexe 5 sur une partie des périmètres. Ceci pose un problème de légitimité de l’application de la méthode et donc des différents résultats obtenus même s’ils ne sont pas tant éloignés de ceux de la méthode Chain Ladder. Malgré ce problème, nous avons tout de même souhaité mener à termes les calculs sur tous les périmètres. Enfin, concernant la méthode de DHV, la vérification des hypothèses est d’autant plus délicate. En effet, pour la méthode Chain Ladder ligne à ligne utilisée pour le calcul des IBNeR et qui sert de base à toute la méthode, un certain nombre de point aberrants sont exclus pour le calcul des coefficients de développement qui sont ensuite appliqués à tous les sinistres. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 57 2) Back-testing. Technique de Denuit – Charpentier Michel Denuit et Arthur Charpentier, en 2005, dans leur ouvrage Mathématiques de l’assurance non-vie, ont présenté une méthode systématique bien adaptée aux triangles de développement. L’idée assez intuitive qui s’apparente à du back-testing, consiste à appliquer les méthodes de projections utilisées sur des sous-triangles inclus dans le triangle de départ et comparer les résultats obtenus avec les chiffres réels. Cela revient tout simplement à appliquer une méthode sur des données passées et voir avec les données futures connues, si on est proche ou non de la réalité. Étant donné la taille des triangles de développement de départ, le nombre de possibilités de choix de sous-triangles est rapidement important. Nous nous sommes limités aux sous-triangles avec I = J et en remontant sur 5 années en arrière. Fig. 48 : Back-testing : utilisation de sous-triangles On définit la somme des carrés des erreurs, SSE, de la manière suivante : 5 𝑚 𝑚 𝑆𝑆𝐸 = ∑ ∑ ∑ (𝐶̂ 𝑖,𝑘 − 𝐶𝑖,𝑘 )² 𝑚=1 𝑖=1 𝑘=𝑚−𝑖+1 La méthode la plus adaptée est celle qui donnera la SSE la plus faible. La figure suivante présente un triangle de charge auquel on a enlevé les 5 dernières diagonales : 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 44 270 201 34 726 351 24 885 983 26 313 493 28 183 817 29 015 100 30 335 301 49 073 713 33 617 028 29 671 961 33 194 668 35 991 109 33 929 830 47 628 823 45 423 412 29 234 967 27 626 169 34 912 252 38 695 730 32 923 703 43 079 589 28 814 641 24 957 535 31 060 705 37 907 107 42 662 718 27 872 290 25 136 747 31 170 305 42 092 570 27 947 418 25 147 057 41 086 817 27 524 138 2009 2010 2011 2012 2013 2014 26 736 038 40 901 358 Fig. 49 : Triangle tronqué : sous-triangle sans 5 diagonales Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 58 On applique par exemple la méthode Chain Ladder, et on complète le triangle. On obtient le rectangle suivant : 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 44 270 201 34 726 351 24 885 983 26 313 493 28 183 817 29 015 100 30 335 301 26 736 038 49 073 713 33 617 028 29 671 961 33 194 668 35 991 109 33 929 830 47 628 823 32 308 062 45 423 412 29 234 967 27 626 169 34 912 252 38 695 730 32 923 703 46 156 254 31 309 174 43 079 589 28 814 641 24 957 535 31 060 705 37 907 107 31 038 239 43 512 994 29 516 171 42 662 718 27 872 290 25 136 747 31 170 305 37 589 889 30 778 502 43 148 864 29 269 171 42 092 570 27 947 418 25 147 057 31 012 385 37 399 445 30 622 566 42 930 255 29 120 882 41 086 817 27 524 138 24 633 979 30 379 636 36 636 380 29 997 771 42 054 345 28 526 726 40 901 358 27 399 899 24 522 785 30 242 507 36 471 009 29 862 366 41 864 518 28 397 960 2010 2011 2012 2013 2014 Fig. 50 : Triangles complété avec la méthode Chain Ladder Les montants en jaune, vont être comparés aux montants réels qui avaient été tronqués au départ, en prenant le carré des différences. Le back-testing a été réalisés sur plusieurs périmètres. Le tableau suivant présente les résultats normés. SSE Branches Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Construction Affaires acceptées Automobile Affaires directes RC Construction Affaires directes Décennale Affaires directes Chain Ladder 100 100 100 100 100 100 100 Bornhuetter - Ferguson 130 150 117 67 100 115 78 Schnieper 74 134 95 87 91 98 99 Fig. 51 : Résultats normés du back-testing sur cinq ans pour sept périmètres Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 59 160 140 120 100 80 60 40 20 - Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Construction Affaires acceptées Chain Ladder Bornhuetter - Ferguson Automobile Affaires directes RC Construction Affaires directes Décennales Affaires directes Schnieper Fig. 52 : Résultats normés du back-testing sur cinq ans pour sept périmètres On remarque que dans 6 cas sur 7, la méthode de Schnieper donne des résultats meilleurs que celle de Chain Ladder et dans 5 cas sur 7 des résultats meilleurs que ceux de la méthode de Bornhuetter-Ferguson. Comme précisé au paragraphe II) 2) 1) g), pour les branches avec très peu d’IBNyR, comme c’est le cas pour la branche Décennale, Affaire directes (en survenance), on retrouve des résultats très similaires en termes de SSE pour les méthodes Chain Ladder et de Schnieper. Il intéressant de noter que même lorsque les hypothèses de la méthode de Chain Ladder sont vérifiées, comme c’est le cas pour le périmètre Dommage Affaires Directes, la méthode de Schnieper peut donner de meilleurs résultats du point de vue de cette méthode de back-testing. De plus, des tests sur 3 diagonales au lieu de 5 ont également été menés, aboutissant quasiment aux mêmes constats. Nous avons également étudié si les écarts donnés par la back-testing étaient toujours « dans le même sens » ou non. Pour cela, nous avons pris individuellement chaque écart 𝐶̂ 𝑖,𝑘 − 𝐶𝑖,𝑘 . Le tableau suivant résume pour chaque méthode et chaque périmètre le pourcentage des cas où cet écart est positif, c’est-à-dire quand la charge estimée est supérieure à la charge réelle. Branches Chain Ladder Bornhuetter - Ferguson Schnieper Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Construction Affaires acceptées Automobile Affaires directes RC Construction Affaires directes Décennale Affaires directes 51% 47% 46% 53% 27% 32% 18% 84% 66% 28% 20% 61% 27% 30% 47% 44% 46% 54% 27% 34% 18% Fig. 53 : Pourcentage des cas où la charge estimée est supérieure à la charge réelle Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 60 On remarque que la tendance est plutôt d’avoir des montants estimés inférieurs, ce qui se traduirait par une évaluation pas assez prudente des charges ultimes. 3) Comparaison des volatilités des méthodes Chain Ladder et de Schnieper Afin de pouvoir évaluer l’incertitude des projections des charges ultimes de sinistres, des méthodes stochastiques ont été développées vers les années 1990. En considérant les éléments 𝐶𝑖,𝑗 des triangles des montants cumulés des sinistres comme des variables aléatoires, des techniques ont été élaborées pour permettre de fournir des estimations et des intervalles de confiance sur les montants de réserves calculés. 3.1) Définitions On définit en statistique la MSEP (pour « Mean Squared Error of Prediction ») qui est l’incertitude d’un estimateur, de la manière suivante : 𝑀𝐸𝑆𝑃(𝜃̂) = 𝐸([𝜃̂ − 𝜃]²) où 𝜃̂ est l’estimateur d’une constante 𝜃. La MSEP représente l’erreur quadratique moyenne de l’estimateur. Dans le cas présent, où le montant total des réserves est une variable aléatoire, la MSEP donne l’évaluation de l’incertitude due à son évaluation. On montre que l’on peut approximer la MSEP de la manière suivante : 𝑀𝐸𝑆𝑃(𝑅̂ ) ≈ 𝑉𝑎𝑟 (𝑅) + 𝑉𝑎𝑟(𝑅̂ ) (*) où : 𝑉𝑎𝑟 (𝑅) est appelée erreur d’estimation (« estimation variance »), 𝑉𝑎𝑟(𝑅̂ ) est appelée erreur de processus (« process variance »). Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 61 Par ailleurs, on définit l’erreur standard, Se (« Standard Error »), égale à la racine carrée de la MSEP, qui donne de manière précise la volatilité de la réserve totale : 𝑆𝑒(𝑅̂) = √𝑀𝑆𝐸𝑃(𝑅̂ ) Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 62 3.2) Modèle de Mack a) Origine En 1993, Thomas Mack publie dans son article intitulé Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladder reserves estimates, le détail de son modèle ainsi qu’un exemple simple d’application directe. b) Hypothèses du modèle Il est primordial pour pouvoir appliquer le modèle de Mack de vérifier dans un premier temps 3 hypothèses. (H1) : Les coefficients de passage 𝑓0 , … , 𝑓𝑛−1 sont indépendants de l’année i de survenance et : 𝐸(𝐶𝑖,𝑘+1 |𝐶𝑖,0 , … , 𝐶𝑖,𝑘 ) = 𝐶𝑖,𝑘 𝑓𝑘 , ∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 et 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛-1 (H2) : {𝐶𝑖,0 , 𝐶𝑖,1 , … , 𝐶𝑖,𝑛 } et {𝐶𝑗,0 , 𝐶𝑗,1 , … , 𝐶𝑗,𝑛 } indépendants pour i ≠ j. (H3) : Les coefficients 𝑓̂𝑘 peuvent se mettre sous la forme : 𝑓̂𝑘 = ∑𝑛−𝑘 𝑗=0 𝑤𝑗,𝑘 × 𝐶𝑗,𝑘+1 𝐶𝑗,𝑘 avec ∑𝑛−𝑘 𝑗=0 𝑤𝑗,𝑘 = 1, et choisis de telle manière que la variance de l’estimateur soit minimale. Ce qui implique que ∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 et 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛-1 : 𝑉𝑎𝑟(𝐶𝑖,𝑘+1|𝐶𝑖,0 , … , 𝐶𝑖,𝑘 ) = 𝐶𝑖,𝑘 σ2k avec σ²k : paramètres inconnus à estimer. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 63 c) Vérification des hypothèses du modèle (H1) : Les coefficients de passage 𝑓0 , … , 𝑓𝑛−1 sont indépendants de l’année i de survenance et : 𝐸(𝐶𝑖,𝑘+1|𝐶𝑖,0 , … , 𝐶𝑖,𝑘 ) = 𝐶𝑖,𝑘 𝑓𝑘 , ∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 et 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛-1 L’hypothèse (H1) signifie que, quel que soit k, les points (𝐶𝑖,𝑘+1, 𝐶𝑖,𝑘 ) sont alignés sur une droite passant par l’origine et de pente fk. De plus, on doit avoir 𝐶𝑖,𝑘+1 𝐶𝑖,𝑘 𝐶𝑖,𝑘 et 𝐶 𝑖,𝑘−1 non corrélés. Pour le premier point, il suffit tracer les points (𝐶𝑖,𝑘+1, 𝐶𝑖,𝑘 ) pour chaque k et de vérifier leur alignement. Pour la deuxième partie de l’hypothèse, comme Thomas Mack l’a énoncé dans son article de 1994, Measuring the variability of Chain Ladder Reserve Estimates, on peut réaliser un test de Spearman comme décrit ci-dessous. On calcule pour chaque ligne du triangle des montants des sinistres, le coefficient de passage : 𝐹𝑘 = 𝐶𝑖,𝑘+1 𝐶𝑖,𝑘 , 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 − 𝑘 Pour chaque ligne, on trie de manière croissante les 𝐹𝑘 , 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 Soit 𝑟𝑖,𝑘 le rang des 𝐹𝑘 , 0 ≤ 𝑟𝑖,𝑘 ≤ 𝑛 − 1 − 𝑘 On supprime du triangle de départ le coefficient On trie une nouvelle fois de manière croissante les 𝐹𝑘 Soit 𝑠𝑖,𝑘 le nouveau rang des 𝐹𝑘 , avec 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 − 𝑘 et 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 2 On calcule les coefficients de Spearman : 𝑇𝑘 = 1 − 6 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 𝐶𝑛−1−𝑘,𝑘+1 𝐶𝑛−1−𝑘,𝑘 ∑𝑛−1−𝑘 (𝑟𝑘,𝑖 −𝑠𝑘,𝑖 )² 𝑖=0 (𝑛−𝑘)3 −𝑛+𝑘 pour 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 pour 1 ≤ 𝑘 < 𝑛 − 2 64 On calcule le coefficient de corrélation total : 𝑇= ∑𝑛−2 𝑘=1 𝑛−𝑘−1 𝑇 (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 𝑘 2 La non-corrélation sera vérifiée si : 𝑇∈ −0.67 0.67 , √(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) √(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) [ ] 2 2 (H2) : {𝐶𝑖,0 , 𝐶𝑖,1 , … , 𝐶𝑖,𝑛 } et {𝐶𝑗,0 , 𝐶𝑗,1 , … , 𝐶𝑗,𝑛 } indépendants pour i ≠ j. L’hypothèse (H2) pourrait ne pas être vérifiée en cas de saisonnalité. Un effet de saisonnalité est localisé sur une diagonale du triangle de charge des sinistres. Afin de réaliser un test de saisonnalité sur le triangle, on procède de la manière suivante : 𝐶𝑖,𝑘+1 On trie en ordre croissant les coefficients 𝐹𝑘 = On calcule la médiane pour chaque ligne 𝑚𝑘 , 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 Pour chaque colonne, les coefficients supérieurs à la médiane se voient attribués la valeur 2, et la valeur 1 quand ils sont inférieurs. Si le nombre d’éléments d’une ligne est pair, un de ces éléments vaut la médiane. On lui attribue alors 0 et n’est plus considéré. 𝐶 𝐶0,𝑖+1 Pour chaque diagonale 𝐷𝑖 = { 𝐶𝑖,1 , … , 𝐶0,𝑖 𝑖,0 𝐶𝑖,𝑘 , 0 ≤ 𝑖 ≤𝑛−1−𝑘 } pour 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1, on compte le nombre Mj (resp. Nj) de facteurs supérieurs (inférieurs) à la médiane de la colonne. Soit Lj = min (Mj, Nj), p = Mj + Nj et s = 𝑝 E(Lj) = 2 − (𝑝−1 ) 𝑠 𝑝(𝑝−1) 𝑝 𝑝−1 2 2𝑝 − (𝑝−1 ) 𝑠 𝑝(𝑝−1) Var (Lj) = On suppose que L suit une loi normale 4 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 2𝑝 , L = L2 + … + Ln-1 2 + 𝐸(𝐿𝑗 ) − (𝐸(𝐿𝑗 )) 65 L’hypothèse d’absence de saisonnalité sera vérifié avec une probabilité d’erreur de 5% si : 𝐿 ∈ [𝐸(𝐿) − 2 √𝑉𝑎𝑟 (𝐿), 𝐸(𝐿) + 2 √𝑉𝑎𝑟 (𝐿)] (H3) : Les coefficients 𝑓̂𝑘 peuvent se mettre sous la forme : 𝑓̂𝑘 = ∑𝑛−𝑘 𝑗=0 𝑤𝑗,𝑘 × 𝐶𝑗,𝑘+1 𝐶𝑗,𝑘 avec ∑𝑛−𝑘 𝑗=0 𝑤𝑗,𝑘 = 1, et choisis de telle manière que la variance de l’estimateur soit minimale. Ce qui implique que ∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 et 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛-1 : 𝑉𝑎𝑟(𝐶𝑖,𝑘+1|𝐶𝑖,0 , … , 𝐶𝑖,𝑘 ) = 𝐶𝑖,𝑘 σ2k avec σ²k : paramètres inconnus à estimer. On peut vérifier l’hypothèse (H3) à l’aide d’un graphique : il s’agit de représenter les résidus 𝐶𝑖,𝑘+1 −𝐶𝑖,𝑘 𝑓̂𝑘 √𝐶𝑖,𝑘 en fonction des Ci,k. L’hypothèse sera vérifiée si les résidus sont aléatoires. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 66 d) Variabilité des provisions Comme on l’a vu dans le paragraphe II, 2.1), la méthode Chain Ladder permet de calculer la charge ultime pour une année de survenance i par : ̂ ̂ ̂ 𝐶̂ 𝑖,𝑘 = 𝐶𝑖 ,𝑛+1−𝑖 × (𝑓𝑛+1−𝑖 × … × 𝑓𝑘−2 × 𝑓𝑘−1 ) Il a été également montré que : 𝐸(𝐶̂ 𝑖,𝑛 ) = 𝐸(𝐶𝑖 ,𝑛 ) = 𝐶𝑖 ,𝑛 La Mean Square Error of Prediction de la charge ultime s’écrit alors : ̂ 𝑀𝑆𝐸𝑃(𝐶̂ 𝑖,𝑛 ) = E { (𝐶𝑖 ,𝑛 - 𝐶𝑖,𝑛 )² | { 𝐶𝑖 ,𝑘 / 0 ≤ 𝑖 + 𝑘 ≤ 𝑛} } En se basant sur l’équation (*), Thomas Mack a montré que : ̂ 1 𝑛−1 𝜎𝑘 ² ̂ 𝑀𝑆𝐸𝑃(𝑅̂𝑖 ) = 𝑀𝑆𝐸𝑃(𝐶̂ ×(̂ + 𝑖,𝑛 ) = 𝐶𝑖,𝑛 ² ∑𝑛−𝑖 ̂ 𝑓𝑘 ² 𝐶𝑖,𝑘 1 ) ∑𝑛−𝑘−1 𝐶𝑗 ,𝑘 𝑗=0 Avec 𝜎̂ 𝑘 ² estimateur sans biais de σk² et : 𝜎̂ 𝑘² = 1 𝑛−𝑘−1 ∑𝑛−𝑘−1 𝐶𝑖 ,𝑘 × ( 𝑖=0 𝐶𝑖 ,𝑘+1 𝐶𝑖 ,𝑘 − 𝑓𝑘 )² pour 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 2 4 ̂ 𝜎𝑛−2 2 2 2 ̂ ̂ 𝜎̂ , 𝑚𝑖𝑛(𝜎 𝑛−1 = 𝑚𝑖𝑛( ̂ 𝑛−3 , 𝜎𝑛−2 )) 2 𝜎𝑛−3 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 67 Enfin, on montre que pour la provision totale des sinistres, la MSEP est donnée par : 𝜎̂² 𝑓𝑘 ² 2 ̂𝑘 ̂ (∑𝑛 ̂ 𝑛−1 ̂) + 𝐶 ̂ = ∑𝑛𝑖=1[𝑀𝑆𝐸𝑃 (𝑅 𝑀𝑆𝐸𝑃(𝑅) 𝑖 𝑖,𝑛 𝑗=𝑖+1 𝐶𝑗,𝑛 ) ∑𝑘=𝑛−𝑖 ∑𝑛−𝑘−1 𝐶 𝑚=0 𝑚,𝑘 ] e) Exemples Les données sur lesquelles la méthode de Mack a été testée sont les suivantes : Dommages France affaires directes, Dommages France affaires acceptées, TRC – TRME France affaires directes, TRC – TRME France affaires acceptées, Automobile France affaires directes, Responsabilité Civile France affaires directes, Décennale France, affaire directes. Pour chaque jeu de donnée, on procède dans un premier temps à la vérification des trois hypothèses d’application de la méthode. Dans les pages suivantes, les résultats de la vérification des trois hypothèses à vérifier pour la méthode de Mack sont présentés pour le premier jeu de données. La vérification des hypothèses pour les autres périmètres testés sont consultables en annexe. En pratique, les trois hypothèses ne sont pas toujours vérifiées. De plus, certaines méthodes de vérifications sont graphiques et sont donc sujettes à interprétation. Cependant ces méthodes ont le mérite d’exister et sont autant d’aides à la décision pour l’application ou non d’une méthode d’estimation des provisions. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 68 Vérification des hypothèses : Hypothèse 1 : sur un premier exemple : Dommages France affaires directes. Première partie : alignements des points Chain Ladder - Validation de l'hypothèse 1 Existence d'un unique facteur de développement (Ci1 - Ci2) (Ci2 - Ci3) 90 000 000 80 000 000 80 000 000 y = 1,2194x R² = 0,0409 70 000 000 70 000 000 y = 0,9796x R² = 0,3233 60 000 000 60 000 000 50 000 000 50 000 000 40 000 000 40 000 000 30 000 000 30 000 000 20 000 000 20 000 000 10 000 000 10 000 000 0 0 0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 0 10 000 000 20 000 000 (Ci3 - Ci4) 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000 (Ci4 - Ci5) 80 000 000 80 000 000 70 000 000 y = 0,9669x R² = 0,2247 70 000 000 60 000 000 60 000 000 50 000 000 50 000 000 40 000 000 40 000 000 30 000 000 30 000 000 20 000 000 20 000 000 10 000 000 10 000 000 0 y = 0,9663x R² = 0,9871 0 0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000 0 10 000 000 20 000 000 (Ci5 - Ci6) 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000 (Ci6 - Ci7) 80 000 000 80 000 000 70 000 000 70 000 000 y = 0,9872x R² = 0,9991 60 000 000 50 000 000 50 000 000 40 000 000 40 000 000 30 000 000 30 000 000 20 000 000 20 000 000 10 000 000 10 000 000 0 y = 0,9949x R² = 0,9967 60 000 000 0 0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000 0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 Fig. 54 : Modèle de Mack - Validation de l’hypothèse 1 (Dommage, affaires directes) On peut considérer globalement que la première partie de l’hypothèse 1 est vérifiée. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 69 80 000 000 Deuxième partie : test de Spearman On reprend les données déjà présentées : Années de survenance Années de développement n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 n+6 n+7 n+8 n+9 n+10 n+11 n+12 n+13 n+14 n+15 n+16 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 9 394 12 901 14 318 60 061 57 444 54 510 53 256 54 961 54 315 54 407 53 870 53 899 53 722 53 554 53 503 53 503 53 502 12 609 26 515 74 525 70 783 69 462 67 899 67 696 67 099 66 714 65 561 65 872 65 629 64 797 64 770 64 772 63 947 17 799 71 129 62 057 54 855 54 219 53 996 52 663 51 928 50 388 50 163 49 562 48 918 48 443 48 375 48 375 64 964 69 089 65 495 61 265 62 514 61 969 61 128 60 249 59 564 57 724 57 467 55 119 54 258 54 308 44 270 49 074 45 423 43 080 42 663 42 093 41 087 40 901 40 238 38 769 38 655 39 071 38 034 34 726 33 617 29 235 28 815 27 872 27 947 27 524 28 332 27 613 27 273 27 005 26 985 24 886 29 672 27 626 24 958 25 137 25 147 25 141 24 279 24 112 24 471 24 470 26 313 33 195 34 912 31 061 31 170 30 638 30 744 30 676 30 382 30 144 28 184 35 991 38 696 37 907 37 677 37 210 36 800 35 901 35 889 29 015 33 930 32 924 32 378 30 892 30 425 30 395 29 801 30 335 47 629 46 210 44 229 44 144 43 502 43 097 26 736 38 770 35 347 33 851 32 546 30 550 22 586 31 629 25 894 26 470 26 308 23 876 37 721 31 695 30 994 41 422 35 322 33 768 21 554 24 961 39 859 Fig. 55 : Triangle de charge – Branche dommages, affaires directes Calcul des Fk : 0 Fk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1,373 1,110 4,195 0,956 0,949 0,977 1,032 0,988 1,002 0,990 1,001 0,997 0,997 0,999 1,000 1,000 1 2,103 2,811 0,950 0,981 0,977 0,997 0,991 0,994 0,983 1,005 0,996 0,987 1,000 1,000 0,987 2 3 3,996 0,872 0,884 0,988 0,996 0,975 0,986 0,970 0,996 0,988 0,987 0,990 0,999 1,000 1,064 0,948 0,935 1,020 0,991 0,986 0,986 0,989 0,969 0,996 0,959 0,984 1,001 4 1,109 0,926 0,948 0,990 0,987 0,976 0,995 0,984 0,963 0,997 1,011 0,973 5 0,968 0,870 0,986 0,967 1,003 0,985 1,029 0,975 0,988 0,990 0,999 6 7 1,192 0,931 0,903 1,007 1,000 1,000 0,966 0,993 1,015 1,000 1,262 1,052 0,890 1,004 0,983 1,003 0,998 0,990 0,992 8 1,277 1,075 0,980 0,994 0,988 0,989 0,976 1,000 9 10 11 12 13 14 15 1,169 0,970 0,983 0,954 0,985 0,999 0,980 1,570 0,970 0,957 0,998 0,985 0,991 1,450 0,912 0,958 0,961 0,939 1,400 0,819 1,022 0,994 1,580 0,840 0,978 0,853 0,956 1,158 12 13 14 Fig. 56 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝐹𝑘 Calcul des rk : ri,k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 10 14 14 2 2 3 10 4 7 2 5 5 1 1 2 1 15 15 6 5 3 8 6 8 3 7 3 3 3 3 1 16 4 1 6 10 1 5 1 6 1 2 4 2 2 3 8 4 13 9 5 4 5 2 4 1 2 4 4 4 6 5 7 7 2 7 3 1 5 6 1 5 6 7 8 9 2 3 12 4 12 4 9 2 4 3 4 7 7 3 12 11 10 1 7 8 6 8 12 2 11 4 11 8 6 5 9 13 10 9 8 6 2 9 6 11 11 1 5 9 3 10 13 10 7 10 6 7 11 12 5 8 3 1 11 1 13 8 14 2 9 15 1 9 5 Fig. 57 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑟𝑘 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 70 Calcul des sk : si,k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 9 13 13 2 1 3 9 4 6 2 4 4 1 1 1 14 14 6 5 2 7 5 8 3 6 3 2 3 2 15 4 1 6 9 1 4 1 5 1 2 3 2 3 8 4 12 8 5 3 5 2 4 1 1 4 4 6 5 7 6 2 6 3 1 5 5 5 6 7 8 9 2 3 11 4 11 4 8 2 4 3 6 7 3 11 10 9 1 7 7 7 11 2 10 3 10 7 6 8 12 9 8 7 6 2 5 10 10 1 4 8 10 12 9 7 9 5 11 11 5 8 3 12 10 1 12 13 14 13 2 1 Fig. 58 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑠𝑘 On en déduit les Tk ainsi que T : k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Tk - - T= 0,027 0,053 0,245 0,448 0,218 0,073 0,275 0,179 0,036 0,400 0,050 0,100 1,000 - 0,004 Fig. 59 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑇𝑘 et de T −0.67 , 0.67 √(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) √(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) [ ] 2 2 = [−0.065; 0.065] On constate donc que T appartenant à l’intervalle. On en déduit qu’il y a non-corrélation et que la deuxième partie de l’hypothèse 1 est vérifiée. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 71 - Hypothèse 2 : Fk et médianes mk 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1,373 1,110 4,195 0,956 0,949 0,977 1,032 0,988 1,002 0,990 1,001 0,997 0,997 0,999 1,000 1,000 2 2,103 2,811 0,950 0,981 0,977 0,997 0,991 0,994 0,983 1,005 0,996 0,987 1,000 1,000 0,987 3 3,996 0,872 0,884 0,988 0,996 0,975 0,986 0,970 0,996 0,988 0,987 0,990 0,999 1,000 4 1,064 0,948 0,935 1,020 0,991 0,986 0,986 0,989 0,969 0,996 0,959 0,984 1,001 5 1,109 0,926 0,948 0,990 0,987 0,976 0,995 0,984 0,963 0,997 1,011 0,973 6 0,968 0,870 0,986 0,967 1,003 0,985 1,029 0,975 0,988 0,990 0,999 7 1,192 0,931 0,903 1,007 1,000 1,000 0,966 0,993 1,015 1,000 8 1,262 1,052 0,890 1,004 0,983 1,003 0,998 0,990 0,992 9 1,277 1,075 0,980 0,994 0,988 0,989 0,976 1,000 1,169 0,970 0,983 0,954 0,985 0,999 0,980 10 11 12 13 14 15 Mk 1,570 0,970 0,957 0,998 0,985 0,991 1,450 0,912 0,958 0,961 0,939 1,400 0,819 1,022 0,994 1,580 0,840 0,978 0,853 0,956 1,158 1,269 0,948 0,957 0,990 0,986 0,989 0,989 0,989 0,990 0,996 0,998 0,987 0,999 1,000 0,994 1,000 10 11 12 Fig. 60 : Test de saisonnalité : 𝐹𝑘 et 𝑚𝑘 Calcul des coefficients : Mk et Nk Mk et Nk 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 1 5 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 6 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 7 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 8 1 2 1 2 1 2 2 2 2 9 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 13 2 1 2 2 14 2 1 2 15 1 2 1 - - Fig. 61 : Test de saisonnalité : 𝑀𝑘 et 𝑁𝑘 Résultats : Diagonale Mj Nj Lj p s E(Lj) Var(Lj) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 0 4 4 6 3 4 4 7 1 5 8 5 8 5 2 3 0 0 0 4 3 5 3 9 7 3 8 7 9 0 0 0 0 0 3 3 4 3 1 5 3 5 7 5 2 3 4 4 6 7 7 9 10 10 12 11 13 15 14 1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 6 5 6 7 7 0,5000 0,7500 1,2500 1,2500 2,0625 2,4063 2,4063 3,2695 3,7695 3,7695 4,6465 4,1465 5,0337 5,9290 5,5337 0,2500 0,1875 0,4375 0,4375 0,6211 0,5537 0,5537 0,7359 0,9859 0,9859 1,1680 0,9180 1,0999 1,2818 1,3499 L 39 E(L) 46,7229 Var(L) 11,5665 Fig. 62 : Test de saisonnalité : résultats Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 72 Intervalle [ E(L) - 2Var(L) ; E(L) + 2 Var(L)] [ 23,59 69,86 ] Fig. 63 : Test de saisonnalité : appartenance à l’intervalle On a bien L appartenant à l’intervalle désiré. On en déduit que dans ce cas, l’hypothèse 2 est vérifiée. - Hypothèse 3 : (Ci1 - Di1) (Ci2 - Di2) 3 000,00 1 000,00 2 000,00 0,00 0 1 000,00 2 4 6 8 10 12 -1 000,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 -2 000,00 -1 000,00 -3 000,00 -2 000,00 -4 000,00 -3 000,00 -5 000,00 -4 000,00 -5 000,00 -6 000,00 -6 000,00 -7 000,00 (Ci3 - Di3) (Ci4 - Di4) 0,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 000,00 0,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -500,00 -2 000,00 -1 000,00 -3 000,00 -1 500,00 -4 000,00 -2 000,00 -5 000,00 -2 500,00 -6 000,00 -3 000,00 -7 000,00 (Ci5 - Di5) (Ci6 - Di6) 0,00 0,00 0 1 2 3 4 5 -500,00 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 -500,00 -1 000,00 -1 000,00 -1 500,00 -1 500,00 -2 000,00 -2 000,00 -2 500,00 -3 000,00 -2 500,00 Fig. 64 : Modèle de Mack - Validation de l’hypothèse 3 (Dommages, affaires directes) Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 73 Résultats de la méthode de Mack : Pour obtenir ces résultats, un simple fichier Excel a été utilisé en décomposant étape par étape la formule : 𝜎̂ ² 2 ̂𝑘 𝑓𝑘 ² ̂ (∑𝑛 ̂ 𝑛−1 ̂) + 𝐶 ̂ = ∑𝑛𝑖=1[𝑀𝑆𝐸𝑃 (𝑅 𝑀𝑆𝐸𝑃(𝑅) 𝑖 𝑖,𝑛 𝑗=𝑖+1 𝐶𝑗,𝑛 ) ∑𝑘=𝑛−𝑖 ∑𝑛−𝑘−1 𝐶 𝑚=0 𝑚,𝑘 ] établie par Thomas Mack. Les calculs, bien que comprenant de nombreux résultats intermédiaires, donnent, même sur un historique important de 17 années, des résultats immédiats, ce qui témoignent encore une fois de la simplicité de la mise en œuvre et de l’exécution du modèle. Classiquement, on utilise le COV, pour « Coefficient de Variation », défini comme le rapport entre l’erreur standard et le Best Estimate des provisions. Dans le cas de notre premier exemple sur la branche Dommage, Affaires directes, on obtient un COV de 23%. f) Intervalles de confiance Le modèle de Mack permet également de déterminer des intervalles de confiance pour les provisions de sinistres estimées. En effet, le théorème central limite, en s’appuyant sur un historique de données conséquent nous donne le résultat suivant. Si l’on considère comme c’est le cas classiquement que la distribution des réserves obéit à une loi log-normale de paramètres (μ – l’espérance, σ² - la variance) alors on a : 𝜎 μ = ln [ E(𝑅̂) ] - 2 2 𝑆𝑒(𝑅̂) )² 𝐸(𝑅̂) et 𝜎 2 = ln(1 + ( ) avec 𝐸(𝑅̂), le Best Estimate de la réserve donnée par la méthode Chain Ladder et la volatilité de la réserve 𝑆𝑒(𝑅̂ ) donnée par le modèle de Mack. Fig. 65 : Loi log-normale, densité de probabilité et fonction de répartition, avec μ =0 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 74 L’intervalle de confiance à IC95% par exemple, est alors donné par : IC95% = [ exp(μ – 2 σ), exp(μ + 2 σ)] = [E(𝑅̂) exp (- Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 𝜎2 2 - 2 σ ), E(𝑅̂) exp (- 𝜎2 2 +2σ )] 75 3.3) Modèle de Schnieper a) Erreurs de prédiction En 2009, dans leur article, Predictive Distributions for Reserves which Separate True IBNR and IBNER Claims, Huijuan Liu et Richard Verrall ont repris et développé le travail de Schnieper publié en 1991 pour expliciter une formule permettant de calculer les erreurs de prédiction sur les estimations des réserves totales de sinistres établies avec la méthode de Schnieper. On introduit les nouveaux paramètres suivants : 𝑛+1−𝑗 1 1 2 𝜎̂ ∑ (𝑁𝑖,𝑗 − 𝜆̂𝑗 𝐸𝑖 ) , 𝑝𝑜𝑢𝑟 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 𝑗² = 𝑛−𝑗 𝐸𝑖 𝑖=1 𝑛+1−𝑗 1 1 2 𝜏̂ ∑ (𝐷𝑖,𝑗 − 𝛿̂𝑗 𝑋𝑖,𝑗−1 ) , 𝑝𝑜𝑢𝑟 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 𝑗² = 𝑛−𝑗 𝑋𝑖 𝑖=1 On a alors : 𝑉𝑎𝑟 (𝜆̂𝑗 ) = 𝑉𝑎𝑟 (𝛿̂𝑗 ) = 𝜎²𝑗 𝑛+1−𝑗 ∑𝑖=1 𝐸𝑖 , 𝑝𝑜𝑢𝑟 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 𝜏²𝑗 𝑛+1−𝑗 ∑𝑖=1 𝑋𝑖,𝑗−1 , 𝑝𝑜𝑢𝑟 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 En combinant les sous-résultats suivants : 𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑘+𝑡 |𝑋𝑖,𝑘 ] = (1 − 𝛿𝑛 )²𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑘+𝑡−1 |𝑋𝑖,𝑘 ] + 𝜏2𝑛+𝑡 𝐸 [𝑋𝑖,𝑘+𝑡−1 |𝑋𝑖,𝑘 ] + 𝐸𝑖 𝜎2𝑘+𝑡 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 𝐶𝑜𝑣 [𝑋̂ 𝑡𝑗 , 𝑋𝑠𝑗 ] = 𝑉𝑎𝑟 [𝛿𝑗 ](𝐶𝑜𝑣[𝑋𝑡,𝑗−1 , 𝑋𝑠,𝑗−1 ]) + 𝑋𝑡,𝑗−1 𝑋𝑠,𝑗−1 + 𝑉𝑎𝑟 [𝑋̂ 𝑖,𝑘+𝑡 ] = 2 2̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 𝑋𝑖,𝑘+𝑡−1 𝑉𝑎𝑟 [𝛿 𝑘+𝑡 ] + (1 − 𝛿 𝑘+𝑡 )𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑘+𝑡−1 ] + 𝑉𝑎𝑟 [𝛿𝑘+𝑡 ]𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑘+𝑡−1 ] + 𝐸𝑖2 𝑉𝑎𝑟 [𝜆̂ 𝑘+𝑡 ] 2 ̂ ̂ (𝐸[(1 − 𝛿̂𝑗 )]) 𝐶𝑜𝑣[𝑋̂ 𝑡,𝑗−1 , 𝑋𝑠,𝑗−1 ] + 𝐸𝑡 𝐸𝑠 𝑉𝑎𝑟 [𝜆𝑗 ] Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 76 et la formule : 𝑀𝐸𝑆𝑃(𝑅̂) ≈ 𝑉𝑎𝑟 (𝑅|𝐻𝑛 ) + 𝑉𝑎𝑟(𝑅̂|𝐻𝑛 ) = 𝑉𝑎𝑟 (∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖,𝑛 |𝑋𝑖,𝑘 ) + 𝑉𝑎𝑟(∑𝑛𝑖=1 𝑋̂ 𝑖,𝑛 ) 𝑛−1 𝑛 ̂ ̂ = ∑𝑛𝑖=1 𝑉𝑎𝑟 (𝑋𝑖,𝑘 |𝑋𝑖,𝑘 ) + ∑𝑛𝑖=1 𝑉𝑎𝑟 (𝑋̂ 𝑖,𝑛 ) + 2 ∑𝑡=1 ∑𝑠=𝑡 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡,𝑛 , 𝑋𝑠,𝑛 ) on aboutit à la formule : 𝑛 ̂ ) = ∑{ (1 − 𝛿 )²𝑉𝑎𝑟 [𝑋 2 2 𝑀𝐸𝑆𝑃 (𝑅 𝑛 𝑖,𝑛−1 |𝑋𝑖,𝑘 ] + 𝜏 𝑛 𝐸 [𝑋𝑖,𝑛−1 |𝑋𝑖,𝑘 ] + 𝐸𝑖 𝜎 𝑛 } 𝑖=1 𝑛 2 2 2 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ + ∑{ 𝑋̂ 𝑖,𝑛−1 𝑉𝑎𝑟 [𝛿𝑛 ] + (1 − 𝛿 𝑛 )𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑛−1 ] + 𝑉𝑎𝑟 [𝛿𝑛 ]𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑛−1 ] + 𝐸𝑖 𝑉𝑎𝑟 [𝜆𝑛 ]} 𝑖=1 𝑛−1 𝑛 ̂ ̂ ̂ +2 ∑ ∑ {𝑉𝑎𝑟 [𝛿̂𝑛 ][𝐶𝑜𝑣[𝑋̂ 𝑡,𝑛−1 , 𝑋𝑠,𝑛−1 |𝑋𝑡,𝑛−𝑡+1 , 𝑋𝑠,𝑛−𝑠+1 ] + (𝑋𝑡,𝑛−1 𝑋𝑠,𝑛−1 )] 𝑡=1 𝑠=𝑡+1 2 ̂ ̂ + (𝐸[(1 − 𝛿̂𝑛 )]) 𝐶𝑜𝑣[𝑋̂ 𝑡,𝑛−1 , 𝑋𝑠,𝑛−1 ] + 𝐸𝑡 𝐸𝑠 𝑉𝑎𝑟 [𝜆𝑛 ]]} L’expression globale est assez longue et complexe et s’étend sur plusieurs lignes. Cependant, en utilisant un fichier Excel et en procédant étape par étape, il est possible de calculer l’erreur souhaitée relativement rapidement. b) Exemple Dans le cas de notre premier exemple sur la branche Dommages, Affaires directes, on obtient un de 32%. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 77 Le tableau suivant présente la comparaison des écarts-types obtenus pour sept branches d’activité avec les méthodes Chain Ladder et de Schnieper. Périmètres 1 2 3 4 5 6 7 Branches Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Construction Affaires acceptées Automobile Affaires directes RC Construction Affaire directes Décennale Affaires directes Chain Ladder 9 767 718 7 755 750 8 510 080 8 549 569 8 716 624 4 194 140 4 921 106 Schnieper 9 029 052 11 999 060 9 597 587 47 929 741 7 782 700 5 555 848 4 970 814 Fig. 66 : Comparaison des volatilités des méthodes Chain Ladder et de Schnieper Le constat immédiat fait à partir de ce tableau est que pour certaines branches (les affaires acceptées), la volatilité de la méthode de Schnieper est bien supérieure à celle de Chain Ladder ; pour le reste, elles sont comparables. On retrouve, comme remarqué précédemment, des volatilités proches quand le triangle des IBNyR est presque vide dans le cas du périmètre de la Décennale. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 78 4) Problématique d’additivité des triangles 4.1) Estimation du SCR de réserves a) Risque de réserve Le pilier I de la réforme réglementaire européenne Solvabilité II a pour objectif de définir des normes quantitatives de calcul des provisions techniques et des fonds propres. Au sein de ces niveaux réglementaires, le SCR, Solvency Capital Requirement, représente le capital cible nécessaire pour absorber le choc provoqué par un risque majeur. Ce SCR est calculé par agrégation de plusieurs « briques » correspondant à l’activité de chaque compagnie d’assurance (SCR de marché, SCR opérationnel…). Parmi celles-ci, est calculé annuellement chez AXA Corporates Solutions, le SCR de réserve. Dans le cadre du calcul de capital économique AXA CS modélise la volatilité des réserves autour de provisions justes ou Best Estimate. Ces provisions doivent être suffisantes pour faire face aux engagements contractés par AXA CS, en moyenne. Le Best Estimate est enregistré au bilan économique Solvabilité II. Le risque de réserve représente la déviation des réserves Best Estimate, clôturées au bilan Solvabilité II entre l’année n et l’année n+1. L’horizon est donc un an. Le modèle définit une distribution de probabilité de cette déviation, ainsi que le quantile à 99.5% de cette distribution, qui représente le scénario de déviation impactant les réserves avec une probabilité de survenance de 1 sur 200. En l’absence d’autres risques, ce montant de déviation correspond au capital à immobiliser dans le cadre de Solvabilité II. Pour le calcul du SCR de réserves chez AXA CS, afin d’estimer la volatilité des réserves à un an, la méthode principalement utilisée pour une majorité de branches d’activité est celle de Merz et Wüthrich. Cette méthode utilise entre autres comme base des triangles de développement de charges sinistres avec la méthode Chain Ladder. b) Méthode de Merz et Wüthrich Merz et Wüthrich ont explicité leur modèle en 2008, en se basant notamment sur les travaux de Thomas Mack. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 79 Modèle : Le montant cumulé ultime de sinistres est donné par 𝐶𝑖,𝑛 , 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}. On définit l’ensemble des données disponibles pour une année de survenance n par : 𝐷𝑛 = {Ci,j ; i + j ≤ n + 1, i ≤ n} Ainsi que l’ensemble des données disponibles pour l’année de survenance suivante, n+1 par : 𝐷𝑛+1 = {Ci,j ; i + j ≤ n + 2, i ≤ n} =𝐷𝑛 ∪ {Ci,n−i+2 ; i + j ≤ n + 2, i ≤ n} Pour l’année n, les facteurs de développement 𝑓𝑗 sont estimés par : 𝑛−𝑗 ∑𝑖=1 𝐶𝑖,𝑗+1 𝑛 𝑓̂ 𝑗 = 𝑆𝑗𝑛 𝑛−𝑗 avec 𝑆𝑗𝑛 = ∑𝑖=1 𝐶𝑖,𝑗 À l’année n+1, les facteurs de développement 𝑓𝑗 sont estimés par : 𝑛+1 𝑓̂ = 𝑗 𝑛−𝑗+1 ∑𝑖=1 𝐶𝑖,𝑗+1 𝑆𝑗𝑛+1 𝑛−𝑗+1 avec 𝑆𝑗𝑛+1 = ∑𝑖=1 𝐶𝑖,𝑗 Les estimateurs des montants cumulés de sinistres sont alors : 𝑛−1 𝑛 𝐶̂ 𝑖,j = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 ∏ 𝑛 𝑓̂ 𝑘 𝑘=𝑛−𝑖+1 𝑛−1 𝑛+1 𝐶̂ = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+2 𝑖,j { ∏ 𝑛+1 𝑓̂ 𝑘 𝑘=𝑛−𝑖+2 Mesure de la volatilité de l’estimation : On définit le CDR (Claims Development Result) par la différence entre : l’estimation de la charge ultime à l’année n la ré-estimation de la charge ultime faite l’année suivante (n+1) Le but du calcul du risque de réserve est d’estimer la volatilité de ce CDR. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 80 En réalité, il y a deux types de CDR : le « réel » et l’ « observable ». Le vrai CDR n’est pas observable à la fin de l’année n car les véritables facteurs de Chain Ladder sont inconnus. Le CDR qui est basé sur une estimation des sinistres ultimes attendus par la méthode de Chain Ladder est appelé « CDR observable ». Il représente la position observée à l’année n+1. Les deux CDR sont définis de la manière suivante : 1) CDR réel Pour 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}, 𝐶𝐷𝑅𝑖 (n + 1) = E[Ci,n |𝐷𝑛 ] − 𝐸[𝐶𝑖,𝑛 |𝐷𝑛+1 ] = E[Rni |𝐷𝑛 ] − [𝑋𝑖,𝑛−𝑖+1 + 𝐸[𝑅 𝑛+1 𝑖 |𝐷𝑛+1 ]] Avec : 𝑋𝑖,𝑛−𝑖+1 = Ci,n−i+1 − Ci,n−i 𝑅𝑖𝑛 = Ci,n − Ci,n−i et 𝑅𝑖𝑛+1 = Ci,n − Ci,n−i+1 2) CDR observable Pour 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}, n+1 n ̂ ̂𝑖 (n + 1) = Ĉ 𝐶𝐷𝑅 i,n − Ci,n ̂ 𝐷 D ̂ = R i n − (𝑋𝑖,𝑛−𝑖+1 + 𝑅𝑖 𝑛+1 ) Avec : 𝐷𝑛 n ̂ 𝑅̂ 𝑖 = Ci,n − Ci,n−i 𝐷 ̂ n+1 𝑅𝑖 𝑛+1 = Ĉ i,n − Ci,n−i+1 Le CDR réel est donc approximé par le CDR observable. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 81 Volatilité à un an : Mean Square Error of Prediction (MESP) Deux quantités sont estimées pour chaque année de survenance : 2 𝑚𝑠𝑒𝑝𝐶𝐷𝑅 ̂𝑖 (𝑛+1)|𝐷𝑛 (0) = 𝐸 [ (𝐶𝐷𝑅𝑖 (𝑛 + 1) − 0) |𝐷𝑛 ] 2 𝑚𝑠𝑒𝑝𝐶𝐷𝑅 ̂𝑖 (𝑛+1)|𝐷𝑛 (𝐶𝐷𝑅𝑖 (𝑛 + 1)) = 𝐸 [ (𝐶𝐷𝑅𝑖 (𝑛 + 1) − 𝐶𝐷𝑅𝑖 (𝑛 + 1)) |𝐷𝑛 ] La première MSEP conditionnelle donne un point de vue prospectif de solvabilité. Elle quantifie l’incertitude de prédiction pour le CDR à la fin de l’année comptable. La seconde MSEP conditionnelle offre un point de vue rétrospectif. Elle analyse la distance entre le CDR réel et le CDR observable. Merz et Wüthrich ont donné des estimateurs pour ces deux quantités. On définit d’abord : 𝑛 ∆̂ 𝑖,𝑛 = ̂ 𝜎2 𝑛−𝑖 ̂𝑛 (𝑓𝑛−𝑖 )² 𝑛 𝑆𝑛−𝑖 + ∑𝑛−1 𝑗=𝑛−𝑖+1 ( 2 𝐶𝑛−𝑗,𝑗 𝐶𝑛−𝑗,𝑗 𝑛−1 𝑛 𝛷̂ 𝑖,𝑛 = ∑𝑗=𝑛−𝑖+1 ( 𝑛+1 ) ∗ 𝑆𝑗 𝑛 ̂ 𝛹 𝑖 = 𝑆𝑗𝑛+1 2 ) ∗ 𝜎̂2 𝑗 ̂ (𝑓𝑗 𝑛 )² 𝑆 𝑛𝑗 𝜎̂2 𝑗 ̂ (𝑓𝑗 𝑛 )² 𝐶𝑛−𝑗,𝑗 ̂ 𝜎2 𝑛−𝑖 ̂ (𝑓𝑛−𝑖 𝑛 )² 𝐶𝑖,𝑛−𝑖 𝑛 ̂𝑛 ̂𝑛 𝛤̂ 𝑖,𝑛 = 𝛷𝑖,𝑛 + 𝛹𝑖 Alors les estimateurs définis par Merz et Wüthrich sont : 𝑛 𝑛 ̂ ̂ n ̂ 𝑚𝑠𝑒𝑝𝐶𝐷𝑅 ̂𝑖 (𝑛+1)|𝐷𝑛 (0) = (Ci,n ) ² (𝛤𝑖,𝑛 + ∆𝑖,𝑛 ) 𝑛 𝑛 ̂ ̂ n ̂ 𝑚𝑠𝑒𝑝𝐶𝐷𝑅 ̂𝑖 (𝑛+1)|𝐷𝑛 (𝐶𝐷𝑅𝑖 (𝑛 + 1)) = (Ci,n ) ² (𝛷𝑖,𝑛 + ∆𝑖,𝑛 ) Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 82 On en déduit ensuite la formule suivante pour calculer la MSEP du risque à un an : 2 𝜎̂ 𝑛−𝑖+1 n 𝑚𝑠𝑒𝑝𝐶𝐷𝑅 ̂𝑖 (𝑛+1)|𝐷𝑛 (0) = (Ĉ i,n ) ² ( ̂ 𝑛 )2 (𝑓𝑛−𝑖+1 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 𝜎̂2𝑗 2 𝜎̂ 𝑛−𝑖+1 + ̂ 𝑛 )2 (𝑓𝑛−𝑖+1 𝑆𝑛𝑛−𝑖+1 𝑛−1 + ∑ 𝑗=𝑛−𝑖+2 ( 𝐶𝑛−𝑗+1,𝑗 𝑆𝑛+1 𝑗 2 ) ∗ 𝑛 2 (𝑓̂ 𝑗 ) 𝑆𝑛𝑗 ) c) Additivité des triangles Dans le but de justifier la cohérence du modèle utilisé pour le SCR de réserves, on calcule le rapport entre les réserves (réserves dossier/dossier + réserves IBNR) calculées au niveau monde par branche, et l’ensemble des réserves calculés par chaque entité, à la maille la plus fine. Les résultats pour 2014 et 2015 sont les suivants : % Best Estimate Branche d'activité 2014 2015 Construction Dommage Responsabilité Civile Construction Automobile 108% 58% 59% 64% 93% 63% 65% 64% Fig. 67 : Rapport des montants de réserves globaux et individuels par branche d’activité On constate que les résultats sont assez loin de 100%, pour certaines branches. Cela pose donc un problème vis-à-vis de la justification de la pertinence du modèle recherchée puisqu’on a un écart très net entre les réserves calculées lors des arrêtés comptables dont on veut estimer la volatilité et celles dont le montant est utilisé pour le calcul du risque de réserve. Afin d’expliquer d’où venaient ces écarts, plusieurs hypothèses explicatives ont été considérées : des différences de profondeur d’historique, des paramètres tels que les taux de change utilisés pour les triangles mais surtout la différence au niveau de la granularité des triangles pris en compte pour les estimations. Cette dernière hypothèse a été étudiée en détail et explique une importante partie des écarts. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 83 Compte tenu de la complexité du processus pour l’estimation du SCR de réserve, des branches et des différentes entités de la compagnie, les calculs sont faits au niveau global monde (toutes entités), pour chacune de la dizaine des branches. Cependant, le calcul des provisions de sinistres, lors des arrêtés comptables trimestriels sont faits à une maille beaucoup plus fine. En effet, chaque entité réalise ses propres estimations en subdivisant par ailleurs les lignes d’activité en sous-branches. De plus, lors des arrêtés trimestriels, les estimations des réserves sont faites en séparant les sinistres graves des sinistres attritionnels. 4.2) Critères d’additivité des triangles Dans son article de 1994, Additivity of Chain Ladder projections, Björn Ajne a précisé quelles étaient les règles d’additivité pour un portefeuille regroupant plusieurs sous-portefeuilles. Elles sont les suivantes : les conditions nécessaires et suffisantes d’additivité des projections obtenues par la méthode Chain Ladder pour un portefeuille A, composé des sousportefeuilles B et C, tels que pour toute année de survenance i, on ait : 𝐴𝑖 = 𝐵𝑖 + 𝐶𝑖 sont que pour tout i, une des conditions au moins suivantes soit vérifiée : 1 𝐵 (𝜆𝐵 𝑛−𝑗+1 ∗…∗𝜆𝑛 ) = 1 𝐶 (𝜆𝐶 𝑛−𝑗+1 ∗…∗𝜆𝑛 ) , pour tout j, 𝜆𝐾𝑖 étant le coefficient de développement de Chain Ladder de l’année j, du triangle K. 𝐵𝑖,𝑛 𝐵1,𝑛 +⋯+𝐵𝑖−1,𝑛 = 𝐶𝑖,𝑛 𝐶1 ,𝑛+⋯+𝐶𝑖−1,𝑛 , pour tout i. Ces conditions peuvent également s’énoncer plus simplement : - Le première est équivalente à : 𝜆𝐵𝑖 = 𝜆𝐶𝑖 , pour tout i. - Le seconde est équivalente à : 𝐵𝑖,𝑛 𝐶𝑖,𝑛 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat = 𝐵1,𝑛 +⋯+ 𝐵𝑖−1,𝑛 𝐶1,𝑛 +⋯+ 𝐶𝑖−1,𝑛 , pour tout i. 84 On constate que ces conditions sont des conditions très fortes et limitatives et qui entraînent par conséquent le fait que des sous-portefeuilles comportant des sinistres ayant des comportements très différents (au niveau de leurs montants moyens, mais aussi de leur cadence) ne peuvent vérifier les conditions d’additivité énoncées ci-dessus. C’est notamment le cas dans les portefeuilles d’AXA Corporate Solutions puisqu’ils sont pour la plupart des regroupements de sous-portefeuilles dont les cadences de paiement et leurs règles de gestion diffèrent (différence entre les activités directes ou acceptées par exemple). 4.3) Tests d’additivité sur les différentes méthodes présentées Sans chercher à déterminer des critères d’additivité des triangles comme a pu le faire Björn Ajne pour la méthode Chain Ladder, nous avons tout de même procédé à des tests sur les différentes méthodes présentées afin de voir si elles donnaient de meilleurs résultats dans le cas des branches présentes chez AXA Corporate Solutions. L’étude a porté sur cinq branches en utilisant les données des filiales France, Royaume-Uni et Allemagne (qui représentent près de 90% du chiffre d’affaires d’AXA CS). La comparaison se faisant uniquement sur les sinistres attritionnels alors que les chiffres du tableau précédent incluaient également les sinistres graves. Chain Ladder Bornhuetter - Ferguson Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Construction Affaires acceptées RC Construction Affaires directes 5% -4% -10% 26% 1% 5% 4% -8% 66% 1% Schnieper 2% 3% -15% 30% -8% Fig. 68 : Synthèse des résultats des tests d’additivité des triangles par branche d’activité et par méthode On constate, au vu de ces résultats, qu’aucune des trois méthodes testées ne semble donner de résultats significativement meilleurs ou moins bons que les deux autres. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 85 5) Granularité des calculs La question de la maille à laquelle sont effectués les calculs présente plusieurs enjeux. En effet : - - - - Il s’agit dans un premier temps de regrouper des données cohérentes qui vérifieront tout ou partie des hypothèses nécessaires à l’application des méthodes d’estimations choisies, Une granularité très fine peut permettre de garantir cette cohérence des données, en segmentant les périmètres qui semblent incompatibles. Cependant, ce découpage peut rapidement aboutir à des triangles agrégés avec une faible matérialité et une volatilité importante ; sachant par ailleurs que les systèmes de gestion ne permettent pas toujours de fournir une segmentation fine. De plus, une granularité fine entraîne mécaniquement un nombre de calculs important, qui dans une cadre opérationnel où le temps est limité (lors des arrêtés trimestriels comptables, par exemple) pose rapidement un problème. Sans compter que cette multiplicité des calculs engendre aussi un nombre de ressources et de contrôles plus conséquent. Et de manière générale, pour chaque choix de granularité se pose la question de la pertinence de l’exactitude du Best Estimate des résultats vis-à-vis de la charge de travail supplémentaire induite par une granularité plus fine. Pour étudier cette question, dans le cadre qui nous intéresse, nous avons comparé pour les branches Dommages et Construction Tous Risques Chantier, deux sous-branches principales qui sont traitées séparément pour 3 filiales, les affaires directes et les affaires acceptées, en appliquant les diverses méthodes pour les sous-branches, chacune séparément et en les regroupant. Les tableaux suivants regroupent les résultats : Réserves IBNR Chain Ladder Individuel Dommages Directes Dommages Acceptées Dommages Directes Allemagne Dommages Acceptées Dommages Directes Royaume-Uni Dommages Acceptées France - 23 939 17 881 3 147 12 536 4 050 1 023 Bornhuetter - Ferguson Somme - 39 728 8 106 - 3 986 Individuel - 26 681 22 327 3 398 9 490 4 543 1 278 Schnieper Somme - 45 732 6 954 - 4 766 Individuel - 26 088 26 260 5 172 12 702 3 384 609 Somme - 44 580 3 562 - 3 041 Fig. 69 : Synthèse des résultats des tests de granularité pour la branche Dommages Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 86 Réserves IBNR Chain Ladder Individuel Construction Directes Construction Acceptées Construction Directes Allemagne Construction Acceptées Construction Directes Royaume-Uni Construction Acceptées France 11 617 9 711 573 19 271 1 023 824 Bornhuetter - Ferguson Somme Individuel 22 788 - 9 817 - - 1 203 Schnieper Somme 6 279 5 103 3 745 11 468 1 278 17 258 Individuel 7 877 1 117 4 100 9 687 609 847 11 997 - 4 271 - 1 662 - Somme 13 531 2 693 - 1 303 France Dommages Fig. 70 : Synthèse des résultats des tests de granularité pour la branche Construction Tous Risques Chantier Ci-dessous sont résumés les écarts relatifs constatés pour chacune des branches pour chaque méthode, entre les colonnes « somme » et « individuel ». Dommages Construction Tous Risques Chantier Chain Ladder Bornhuetter - Ferguson Schnieper Chain Ladder Bornhuetter - Ferguson Schnieper France 5% 7% 15% -7% -5% -50% Allemagne 14% -14% 53% 47% 45% 52% Royaume-Uni 21% 18% -10% 35% 91% -447% Fig. 71 : Synthèse des écarts relatifs des tests de granularité On constate, en ce qui concerne les différences entre méthodes, que la méthode de Schnieper, plus que les deux autres, a tendance à donner des résultats les plus différents quand les calculs sont effectués en regroupant les périmètres par rapport aux calculs individuels. Le tableau ci-dessous présente les coefficients de développement pour chacun des triangles considérés plus haut. Coefficients de développement Dommages France Allemagne Directes Acceptées Total 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1,22 0,94 0,96 0,99 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 1,01 0,97 1,47 0,92 0,96 0,97 0,96 0,99 0,97 0,99 1,00 0,99 1,00 0,99 Construction Tous Risques Chantier 1,30 0,93 0,96 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 0,98 Royaume-Uni Directes Acceptées Total 1,09 0,98 0,96 0,98 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,51 1,05 1,01 0,97 0,99 1,04 1,04 1,09 1,01 1,00 1,00 1,00 1,23 1,01 0,98 0,98 0,99 1,01 1,01 1,03 1,00 1,00 1,00 1,00 France Directes Acceptées Total 1,40 1,04 1,03 0,96 0,98 0,97 0,96 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,23 0,82 0,91 1,04 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 - 1,39 1,03 1,02 0,96 0,98 0,97 0,96 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 Allemagne Directes Acceptées Total 1,62 1,08 1,08 1,08 0,97 0,98 1,03 0,98 1,00 0,99 0,99 1,00 2,58 1,28 1,00 0,93 0,88 1,00 1,05 1,10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,81 1,13 1,06 1,06 0,96 0,98 1,03 0,98 1,00 0,99 0,99 1,00 Royaume-Uni Directes Acceptées Total 1,70 1,02 1,00 0,99 0,97 0,98 0,98 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 2,23 1,23 1,16 1,05 1,09 1,10 1,10 1,05 1,00 0,98 0,98 0,94 1,79 1,06 1,03 1,00 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 Directes Acceptées Total 1,53 1,10 0,92 0,93 0,95 0,97 1,11 0,99 1,04 0,97 0,92 1,00 1,63 1,01 0,64 0,06 1,00 - Fig. 72 : Coefficients de développement des triangles individuels et totaux Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 87 1,53 1,10 0,91 0,93 0,95 0,97 1,11 0,99 1,04 0,97 0,92 1,00 On remarque que lorsque la chronique des coefficients de développement diffère nettement entre les triangles des affaires directes et acceptées (comme c’est le cas au RoyaumeUni en Construction), les écarts des Best Estimate des différentes mailles de calcul sont les importants. Cependant, comme constaté précédemment, les résultats peuvent varier de manière significative, d’une méthode à l’autre et donc les coefficients de développement ne suffisent pas seuls, à expliquer les écarts entre les résultats obtenus en segmentant les périmètres et en les regroupant. France Dommages Allemagne Construction Tous Risques Chantier 1,50 2,10 1,40 1,90 1,30 1,70 1,20 1,50 1,10 1,30 1,00 1,10 0,90 0,90 1 2 3 4 5 6 Directes 7 8 Acceptées 9 10 11 12 1 2 3 4 5 Total 6 Directes 7 Acceptées 8 9 10 11 12 Total Royaume-Uni Construction Tous Risques Chantier 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 1 2 3 4 5 Directes 6 7 Acceptées 8 9 10 11 12 Total Fig. 73 : Chronique des coefficients de développent Cependant, lorsque des sous-périmètres ne présentent pas une matérialité suffisante et que la plupart des hypothèses des méthodes d’estimation ne sont pas vérifiées, et bien que présentant des chroniques de coefficients de passage très volatiles et différentes, il est possible de regrouper ces périmètres pour avoir une estimation globale car peu d’alternatives se présentent alors. La question délicate portera plutôt sur la règle de subdivision des réserves IBNR une fois les calculs effectués au global, et donc sur la clé de répartition la plus pertinente à utiliser en fonction de la qualité des données dont on dispose. Classiquement, on pourra prendre la charge de sinistres ou bien les primes acquises. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 88 6) Robustesse des méthodes face à des changements de sinistralité importants Un autre critère qui nous est apparu important pour la sélection d’une méthode de provisionnement est sa capacité à absorber en quelque sorte des changements majeurs de sinistralité. En effet, les méthodes que nous avons présentées supposent entre autres, une certaine stabilité des coefficients de développement. Mais il arrive qu’un événement vienne perturber l’allure générale d’un triangle de charge. Nous avons sélectionné deux cas de figure s’appuyant sur des cas réels assez fréquents. Le premier cas de figure est lié à un changement dans la gestion des sinistres : des sinistres en retard qui s’accumulaient qui seraient traités subitement pendant une campagne de « nettoyage », ou des modifications dans la politique d’acceptation des sinistres, peuvent conduire à une forte augmentation (ou une forte baisse) des coefficients de passage sur une diagonale du triangle de charge. Un second cas de figure est un changement significatif sur une ou deux années de survenance de la sinistralité, se traduisant par un écart important sur les coefficients de passage des colonnes correspondantes dans le triangle de charge. Ces situations peuvent se produire dans le cas d’un changement de la législation ayant un impact sur les sinistres à prendre en compte ou plus simplement sur un changement exceptionnel de la sinistralité sans explication particulièrement visible. Pour simuler ces deux cas, nous sommes partis du triangle des coefficients de passage réels du premier périmètre étudié et nous avons modifié dans un premier temps une diagonale de ce triangle en augmentant sensiblement les coefficients par rapport aux autres. Dans un second temps, nous avons fait de même, mais sur deux années de survenance, pendant trois années de développement. La figure ci-dessous illustre ces cas simulés en indiquant en rouge les coefficients de passage choqués. Années de développement Années de survenance Années de développement Années de survenance Fig. 74 : Chocs sur les coefficients de passage Nous avons également exhibé les tests de validation de la première hypothèse de Chain Ladder et nous constatons que les chocs simulés font, que de manière très nette, cette hypothèse n’est vérifiée dans aucun des deux cas étudiés comme l’attestent les figures suivantes. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 89 Chain Ladder - Validation de l'hypothèse 1 Existence d'un unique facteur de développement (Ci1 - Ci2) (Ci2 - Ci3) 60 000 80 000 y = 1,183x R² = -0,446 50 000 70 000 60 000 40 000 50 000 30 000 y = 1,0265x R² = 0,6447 40 000 30 000 20 000 20 000 10 000 10 000 0 0 0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000 0 10 000 20 000 30 000 (Ci3 - Ci4) 40 000 50 000 60 000 (Ci4 - Ci5) 70 000 45 000 y = 0,9904x R² = 0,8006 60 000 y = 0,981x R² = 0,9965 40 000 35 000 50 000 30 000 40 000 25 000 30 000 20 000 15 000 20 000 10 000 10 000 5 000 0 0 0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000 Fig. 75 : Validation de l’hypothèse 1 de Chain Ladder : choc sur la diagonale Chain Ladder - Validation de l'hypothèse 1 Existence d'un unique facteur de développement (Ci1 - Ci2) (Ci2 - Ci3) 60 000 100 000 y = 1,2101x R² = -0,57 50 000 90 000 80 000 70 000 40 000 60 000 30 000 y = 1,2034x R² = 0,5345 50 000 40 000 20 000 30 000 20 000 10 000 10 000 0 0 0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000 0 10 000 20 000 (Ci3 - Ci4) 30 000 40 000 50 000 60 000 (Ci4 - Ci5) 160 000 45 000 140 000 40 000 y = 0,981x R² = 0,9965 35 000 120 000 y = 1,272x R² = 0,8341 100 000 30 000 25 000 80 000 20 000 60 000 15 000 40 000 10 000 20 000 5 000 0 0 0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000 Fig. 76 : Validation de l’hypothèse 1 de Chain Ladder : choc sur deux années de survenance Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 90 Pour la méthode de Schnieper, afin que le test ait un réel intérêt par rapport à la méthode de Chain Ladder, le triangle N a été créé en prenant comme base le triangle d’IBNyR le plus « matériel » des sept périmètres principaux étudiés (rapport pour chaque année de développement des lignes du triangle N sur les lignes du triangle C). Si bien que les premières lignes du triangle N utilisé représentent 100% (respectivement 30%, 7% et 1%) de la première (respectivement deuxième, troisième et quatrième ligne) du triangle de charge C. Le triangle D est déduit par différence. Un back-testing en utilisant la méthode de Denuit-Charpentier a alors été effectué sur les triangles comme au paragraphe III 2). Les résultats par méthode sont présentés par les tableaux et courbes normés suivants. SSE Chain Ladder Bornhuetter-Ferguson Choc sur la diagonale Choc sur 2 années de survenance 100 100 Schnieper 147 154 99 102 Fig. 77 : Résultats normés des tests de Denuit-Charpentier sur les chocs de sinistralité simulés : SSE 160 180 140 160 140 120 120 100 100 80 80 60 60 40 40 20 20 0 0 Chain Ladder BF Schnieper Chain Ladder BF Schnieper Fig. 78 : Résultats des tests de Denuit-Charpentier sur les chocs de sinistralité simulés. On constate que les méthodes de Chain Ladder et de Schnieper « résistent » quasiment aussi bien aux chocs alors que la méthode de Bornhuetter – Ferguson semble donner de moins bons résultats. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 91 Conclusion Le calcul des provisions de sinistres est un exercice délicat et complexe. Comme on l’a vu dans la première partie, son importance est primordiale pour tout assureur, pour pouvoir respecter ses engagements vis-à-vis des assurés, des actionnaires et des autorités de contrôle. Dans la seconde partie, nous avons présenté quatre méthodes de provisionnement, en partant de la plus classique et sûrement une des plus simples, puis en tentant d’en exposer des variantes possibles en cherchant à les complexifier, à introduire plus de paramètres, en agrégeant moins les données et en donnant plus de latitudes dans le cadre de son application. Cependant, il convient de veiller également à ne pas multiplier les méthodes ou les choix possibles en s’éparpillant et en perdant de vue l’objectif initial de déterminer le Best Estimate des réserves recherché. Il faut pouvoir apprécier l’utilisation d’une méthode plutôt qu’une autre et être en mesure de justifier chaque choix effectué. Nous avons étudié la méthode de Schnieper qui est une méthode peu utilisée dans le monde professionnel, en la comparant avec les deux méthodes très classiques largement adoptées : Chain Ladder et Bornhuetter-Ferguson. Il est apparu que la méthode de Schnieper pouvait donner de bons résultats dans certains cas de figures intéressants de la sinistralité attritionnelle tout en remarquant que les résultats donnés pouvaient « tendre » vers ceux fournis par la méthode Chain Ladder quand le triangle des IBNyR était peu fourni. Le découpage IBNeR/IBNyR nous est apparu comme une idée pertinente pour essayer de mieux entrevoir comment se comportaient les triangles de charges cumulées. La méthode de Denuit-Charpentier a permis de montrer que pour certains périmètres, le Best Estimate fourni par la méthode de Schnieper passait mieux, en moyenne, le back-testing que les deux autres méthodes. Cependant, si cette méthode assez simple semble intéressante pour affiner les estimations des IBNR attritionnels pour certaines périmètres, on ne peut affirmer qu’elle pourrait remplacer la méthode Chain Ladder dans tous les cas et par ailleurs, on a vu que la volatilité à l’ultime des réserves estimées avec la méthode de Schnieper était significativement supérieure dans tous les cas étudiés à celle donnée par la méthode de Mack, ce qui pourrait être avoir un impact sur le SCR. Ainsi, l’utilisation de critères pertinents adaptés aux lignes d’activités pour pouvoir sélectionner une méthode plutôt qu’une autre nous est apparue indispensable. Nous en avons explicité plusieurs qui permettent d’apporter des éléments de réponse quant au choix à prendre. On pourrait les résumer avec le graphique suivant. Le degré d’importance à accorder à chacune des parts du diagramme dépendra bien sûr du contexte (La question de l’additivité des périmètres se pose-t-elle ? Les chocs de sinistralité sont-ils fréquents ?) mais il nous a semblé que la méthode de Denuit-Charpentier était appropriée dans l’ensemble des cas. Par ailleurs, la problématique de la vérification des hypothèses nécessaires à l’application d’une méthode est primordiale. Elle a tendance à être oubliée ou mise de côté dans des environnements opérationnels complexes où le temps fait parfois défaut. Ces hypothèses doivent toutefois être contrôlées afin de légitimer l’utilisation des méthodes choisies. De plus, ces hypothèses peuvent s’avérer discriminantes pour une méthode qui serait écartée si on constatait que peu de cas de Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 92 figure permettaient de les vérifier. Fig. 79 : Critères de sélection des méthodes de provisionnement de sinistres attritionnels Dans le but de complexifier peu à peu les méthodes étudiées, nous nous sommes intéressés à l’utilisation, pour les sinistres attritionnels, d’une méthode développée spécifiquement pour les sinistres atypiques. Reprenant la séparation des IBNeR et des IBNyR comme la méthode de Schnieper, elle semble toutefois ne pas donner de résultats aussi satisfaisants. En revanche, elle offre des perspectives intéressantes dans l’optique de traiter, pour certains types de portefeuilles, dans le même temps, les sinistres de fréquence et les sinistres graves. Une telle étude pourrait faire l’objet d’un mémoire à part entière et constituer un axe d’amélioration certain. Enfin, s’il est à noter que les périmètres de données utilisés dans le cadre de ce mémoire ont été choisis pour tenter de balayer un grand nombre de cas de figure, il serait toutefois opportun d’effectuer, notamment dans la perspective d’utilisation de manière plus systématique et opérationnelle de la méthode de Schnieper, plus de tests et de simulations, sur des historiques de données différents et sur éventuellement d’autres types de branche d’activité. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 93 Bibliographie - Mémoire : Modèle de provisionnement des sinistres graves et son allocation économique aux différentes succursales d’AXA Corporate Solutions, Duc Hien Vu, 2015. Publications : - Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladder reserves estimates, Thomas Mack, 1993. - Measuring the variability of Chain Ladder Reserve Estimates, Thomas Mack, 1994. - Predicting IBNYR events and delays, William S. Jewell, 1990. - Separating True IBNR and IBNER claims, R. Schnieper, 1991. - Predictive Distributions for Reserves which Separate True IBNR and IBNER Claims, Huijuan Liu, Richard J. Verrall, 2009. - The Actuary and the IBNR, Ronald L. Bornhuetter, Ronald E. Ferguson, 1972. - Additivity of Chain Ladder projections, Björn Ajne, 1994. - A Robustification of the Chain Ladder Method, Tim Verdonck, Martine Van Wouwe, Jan Dhaene, 2009. - Les réserves techniques des sociétés d'assurances contre les accidents automobiles, E. Astesan, 1938. - Nearest-Neighbour Methods for Reserving with respect to Individual Losses, Jens M. Dittmer 2006. - Incremental Claim Development, Bas Lodder, 2015. - Uncertainty of the Claims Development Result in the Chain Ladder Method, Mario V. Wüthrich, Michael Merz, Natalya Lysenko, 2007. - Mesurer le risqué lors du calcul des provisions de sinistres à payer, Arthur Charpentier, Laurent Devineau, Jean-Marie Nessi, 2010. - Stochastic claims reserving in general insurance, Richard J. Verrall, Peter D. England 2002 - A Stochastic Model Underlying the Chain Ladder Technique, Richard J. Verrall, A.E. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 94 Renshaw, 1998. - Modelling Small and Large Claims in a Chain Ladder Framework, Daniel H. Alai, Mario V. Wüthrich, 2009. Ouvrages : - Stochastic Claims Reserving Methods in Insurance, Mario V. Wüthrich, Michael Merz, 2008. - Mathématiques de l’assurance non-vie, Michel Denuit et Arthur Charpentier, 2005. Revue : - L’actuariel #21, juin 2016. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 95 Lexique - TRC : Tous Risques Chantier - TRME : Tous Risques Montage Essai - CAR : Construction All Risks - EAR : Erection All Risks - IARD : Incendie, Accidents et Risques Divers - P&C : Property and Casualty - IBNR : Incurred But Not Reported - IBNeR : Incurred But Not Enough Reported - IBNyR : Incurred But Not Yet Reported - RBNS : Reported But Not Settled - D/D : Dossier / Dossier - F/F : File / File - PSAP : Provisions Pour Sinistres À Payer - ACPR : Autorité de Contrôle Prudentiel et de Résolution - MCR : Minimum Capital Requirement - SCR : Solvency Capital Requirement - CDR : Claims Development Result - MSEP : Mean Square Error of Prediction - COV : Coefficient Of Variation Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 96 Annexes Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 97 Annexe 1 Principaux triangles de données utilisés : toutes les données sont brutes de réassurance, en k€, données France. 1) Branche Dommages, Affaires directes : 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 876 41 422 21 554 39 859 12 901 26 515 71 129 69 089 49 074 33 617 29 672 33 195 35 991 33 930 47 629 38 770 31 629 37 721 35 322 24 961 14 318 74 525 62 057 65 495 45 423 29 235 27 626 34 912 38 696 32 924 46 210 35 347 25 894 31 695 33 768 60 061 70 783 54 855 61 265 43 080 28 815 24 958 31 061 37 907 32 378 44 229 33 851 26 470 30 994 57 444 69 462 54 219 62 514 42 663 27 872 25 137 31 170 37 677 30 892 44 144 32 546 26 308 54 510 67 899 53 996 61 969 42 093 27 947 25 147 30 638 37 210 30 425 43 502 30 550 53 256 67 696 52 663 61 128 41 087 27 524 25 141 30 744 36 800 30 395 43 097 54 961 67 099 51 928 60 249 40 901 28 332 24 279 30 676 35 901 29 801 54 315 66 714 50 388 59 564 40 238 27 613 24 112 30 382 35 889 54 407 65 561 50 163 57 724 38 769 27 273 24 471 30 144 53 870 65 872 49 562 57 467 38 655 27 005 24 470 53 899 65 629 48 918 55 119 39 071 26 985 53 722 64 797 48 443 54 258 38 034 53 554 64 770 48 375 54 308 53 503 64 772 48 375 53 503 63 947 53 502 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 870 41 414 21 751 39 859 774 3 761 10 669 9 231 8 066 1 775 5 048 3 755 1 808 5 364 12 635 4 343 6 214 5 493 2 219 6 797 90 869 1 219 2 342 33 461 2 34 4 469 85 233 716 526 1 393 353 572 6 158 37 265 117 313 33 376 85 550 229 118 112 37 466 4 - - - 0 101 0 138 15 8 110 74 321 68 - - - 3 1 2 1 8 17 - - - 9 34 - 575 - - - 1 - - - - - - 35 3 1 2 - - 60 - - - - - - 11 - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 0 Triangle N 5 - 0 9 444 - 1998 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 1 1999 2000 2 733 - 10 145 1 327 - - 2001 42 661 2002 2 884 5 936 3 683 4 843 4 543 2 916 422 783 421 942 - 75 - 47 140 10 291 4 007 7 319 2 735 1 433 673 2 942 1 674 297 866 639 1 259 238 1 340 858 1 006 1 261 600 745 912 185 646 - 1 764 1 091 1 651 4 139 3 858 821 921 2 067 2 046 110 231 1 587 85 1 443 532 469 1 998 644 30 406 594 167 294 13 360 238 663 720 1 470 340 114 268 30 244 645 2 347 416 20 177 832 475 861 27 68 2 0 - - 2009 1 683 468 258 10 4 659 899 686 - - - 411 1 840 - 179 2008 449 67 601 0 - 2 677 2007 6 000 105 225 52 2 047 2006 - 6 1 540 168 3 126 862 300 - - 233 387 - 2005 262 423 1 213 92 537 2004 3 262 45 706 - 2003 5 106 - 7 691 2010 - 2 829 2011 - 2012 8 353 8 319 6 260 7 419 1 908 347 860 2013 177 2 1 037 50 825 0 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 2014 3 390 Triangle D 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Triangle C 1998 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 98 2) Branche Dommages, Affaires acceptées : 1999 - - 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 155 5 453 16 042 4 686 3 195 6 580 9 237 14 365 14 511 15 069 16 585 20 893 21 232 14 487 23 671 28 19 912 22 576 15 357 4 066 4 841 9 772 15 557 20 478 29 020 22 733 20 869 28 759 28 200 31 279 1 565 38 386 21 997 21 988 16 184 4 842 5 823 10 324 - 4 597 21 142 27 264 22 966 23 024 29 757 27 387 20 598 39 746 22 589 23 206 15 837 4 444 6 216 11 021 - 6 060 21 259 25 998 22 402 19 406 29 380 20 607 38 036 23 415 23 747 15 725 4 391 7 295 10 765 - 7 118 20 265 24 232 22 543 18 294 20 301 37 904 22 523 23 807 15 757 4 252 7 237 10 649 - 7 413 18 252 24 075 21 587 20 975 87 211 22 785 22 937 16 299 4 270 7 232 10 532 - 7 414 18 163 23 332 20 677 87 110 22 286 23 121 15 837 4 226 7 230 10 538 - 7 416 17 380 20 777 87 006 22 216 23 187 15 737 4 208 7 229 10 088 - 7 275 21 053 86 178 22 138 24 190 15 729 4 209 7 238 10 004 20 768 86 158 22 159 24 177 15 729 4 190 7 101 20 748 86 152 22 148 24 177 15 731 4 184 20 674 85 837 22 148 24 173 15 554 20 672 85 837 22 044 24 130 20 672 85 837 21 645 20 672 85 810 - 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 155 3 293 7 515 2 820 1 903 6 547 9 237 14 365 14 511 15 069 16 585 20 816 21 101 14 354 23 671 28 2 571 2000 8 562 13 099 2 582 531 1 162 3 552 4 252 5 587 13 912 5 371 7 120 5 916 10 006 13 261 3 912 8 626 3 477 1 414 622 674 886 1 448 901 1 982 978 1 880 2 378 2 827 1 093 1 282 2 195 1 477 760 166 12 92 202 56 13 125 157 120 1 953 881 1 555 883 353 190 13 1 373 10 120 84 23 272 57 341 279 230 41 99 31 4 - 11 30 458 147 39 131 198 734 0 - 26 23 20 124 23 0 33 - 10 26 4 1 1 5 - 2001 50 - 2003 10 3 12 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2004 - - 574 - - 2002 2005 2006 - - - - 3 - - 9 9 78 Triangle N 1999 - 0 - - - 1998 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2001 20 583 1998 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2000 Triangle C 1998 1999 28 2 347 2000 2 542 - - 2001 11 195 - 2002 4 024 2003 3 267 29 732 1 392 102 - 95 836 885 - 459 512 410 - 301 3 264 58 - 188 303 66 293 1 122 - 169 63 18 5 47 2 411 - 49 176 - 20 64 124 519 - 112 76 104 103 - 66 854 78 - 429 22 29 11 75 315 - - 104 - 399 2 - 532 462 289 22 - 59 266 - - 18 8 13 11 - 67 1 604 324 205 2005 484 871 635 - - 17 751 647 2 002 2004 1 151 - - 1 - 2 4 2006 360 - - - 2007 2 068 - 2008 526 896 21 055 495 1 519 266 1 179 116 306 117 2 5 4 784 1 450 1 0 83 19 137 - - - 2009 597 - 2010 2 293 2011 2 837 - 2012 1 951 3 038 1 906 1 318 2 735 1 647 223 1 829 105 1 390 721 3 739 2 330 1 078 1 790 131 1 168 2 043 616 1 102 89 821 2013 - 2014 3 532 Triangle D 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 132 6 177 43 26 88 3) Branche Construction, Affaires directes : 2013 2014 608 486 223 6 758 4 326 4 098 5 073 1 799 2 193 5 053 5 255 4 324 3 148 6 398 6 008 10 015 10 795 4 919 1999 1 767 10 290 7 368 7 078 5 354 6 704 2 291 3 161 11 735 8 219 5 100 9 229 8 637 14 095 12 081 4 406 15 979 10 483 7 467 7 719 5 474 6 998 2 850 3 281 11 156 9 209 8 140 11 912 8 155 13 497 15 868 15 060 8 052 7 210 8 239 5 298 6 645 3 044 3 788 10 716 8 825 10 813 13 727 9 466 16 422 14 070 10 737 7 162 9 036 4 691 6 363 5 766 4 064 10 664 9 254 12 259 14 795 17 720 13 938 11 218 6 852 9 047 4 483 5 732 5 736 4 309 10 639 9 296 11 243 18 013 13 811 11 124 6 897 8 589 4 240 5 927 5 713 4 061 9 952 9 640 17 466 13 628 10 956 6 249 9 164 5 011 5 906 5 560 3 985 9 906 17 672 12 848 9 657 6 332 9 147 4 994 5 916 5 566 3 344 17 704 13 097 9 679 6 366 9 230 4 981 5 920 5 560 17 312 13 083 9 763 6 330 9 084 4 981 5 868 17 827 13 162 9 716 6 280 8 953 4 981 17 717 13 121 9 660 6 280 8 950 17 744 13 121 9 339 6 192 17 651 13 121 9 339 17 410 13 121 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2000 2001 2013 2014 4 326 4 098 5 073 1 799 2 193 5 053 5 255 4 324 3 148 6 398 6 008 10 015 10 795 - - - - - - - 1 480 3 163 2 201 3 231 2 528 - - - - - - - 274 184 393 758 27 - - - - - - - 210 - 421 294 143 - - - - - - 402 111 0 2 305 308 - - - - - - 240 15 43 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 486 223 618 - - - - - - - - - - - - - 2002 6 746 2 2003 2004 0 2005 2006 2007 2008 - 2009 2010 2011 2012 0 Triangle N 1999 608 4 - - 1999 2000 3 693 - 1 281 - 513 - 14 212 - 2001 10 067 - 194 - 2002 2003 2004 2005 608 - 2 752 - 1 256 - 1 631 - - 120 - 2006 2007 492 - 968 - 2 964 - 716 385 99 - 641 294 - 559 - 120 579 919 2 432 257 - 521 176 353 - 194 - 507 649 554 989 - 2 685 49 - 796 607 282 - 2 721 125 162 1 298 132 - 481 309 - 293 127 93 547 183 169 205 33 780 - 393 516 110 - 44 648 1 299 - 83 249 - 22 - 34 15 - 84 80 41 47 56 27 - 321 93 - 0 241 - 11 208 458 - 575 243 - 17 16 - 83 13 - 146 0 36 50 131 0 - 631 - 770 4 41 195 23 248 687 20 153 76 50 6 640 10 5 29 - 6 - 2009 - 11 462 - 2008 6 683 2010 704 - 2 917 - 2 856 - 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- Triangle N 1998 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Triangle C 1998 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 199 593 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 100 6) Branche Construction Responsabilité civile, Affaires directes : 1998 1999 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 9 774 8 204 2 865 2 438 1 175 4 819 6 208 2 280 2 778 1 168 1 020 1 144 2 218 14 745 10 718 3 825 2 754 1 505 5 832 8 394 5 017 8 108 2 499 1 326 4 440 3 957 1 884 16 822 16 070 15 973 12 705 4 915 3 013 1 700 5 883 8 453 5 595 9 833 3 537 1 910 5 040 17 875 18 963 18 729 15 731 12 665 5 359 3 485 1 753 4 083 8 462 5 632 10 014 3 121 2 030 18 301 18 724 16 031 15 055 13 032 5 045 4 981 2 083 4 142 7 793 6 094 9 953 3 000 16 507 22 093 15 157 14 897 11 702 6 249 5 360 2 042 4 325 9 056 7 533 9 698 17 916 22 185 15 322 13 878 12 529 6 601 5 039 2 112 4 495 9 059 7 602 17 850 21 600 17 103 13 342 12 741 7 464 4 892 2 053 4 425 8 951 19 272 21 835 17 671 15 252 12 357 6 625 4 899 2 354 4 473 18 311 20 660 17 325 15 491 11 358 6 273 4 941 2 421 17 861 20 365 17 696 13 912 10 925 7 300 4 892 17 644 19 254 16 418 13 779 10 538 7 323 17 762 18 612 16 758 13 125 10 455 16 606 17 846 16 485 11 140 16 379 16 919 16 420 16 094 16 986 1 512 Triangle C 1 281 14 872 16 498 2000 2001 1 281 2002 2003 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 244 115 - - - - - - 195 - - - - - - 2 1 - - - - - 25 21 - - - 30 - - 17 - - 0 2006 - - 8 204 2 2005 - 111 9 773 2004 520 - - 2007 2008 2009 2 865 2 438 1 175 4 819 6 208 2 280 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 30 2014 2 218 2 315 624 66 202 96 882 3 38 110 0 180 - 2013 1 144 212 116 100 2012 1 020 364 13 - 2011 1 168 934 59 3 2010 2 778 - - 1 512 1 - Triangle N 1999 962 1 - - 1998 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 - 2001 520 1 583 1998 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2000 962 1 981 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 1 019 - 1 063 - 13 591 - 4 969 - 2 513 - 960 - 96 - 15 239 - 1 199 - 1 228 - 1 987 - 1 090 - 15 991 - 2 141 - 2 658 242 40 - 444 - 2 697 676 - 368 315 - 379 425 239 1 794 - 1 409 - 66 1 422 - 3 369 - 194 - 472 - 53 1 800 50 - 330 - 60 682 41 - 180 - 40 - 70 - 874 157 1 331 - 1 205 165 1 019 - 828 - 352 322 1 781 536 - 212 - 863 147 235 - 568 - 346 - 1 910 628 295 218 1 111 119 642 341 1 267 765 303 1 985 927 82 285 259 1 496 - 1 175 227 - - - - 370 - 7 - 302 352 - 42 - 67 999 433 - 1 027 155 387 - 23 654 83 - 51 - 59 953 45 1 580 1 304 - - 1 014 2008 331 91 450 2007 - 585 961 2006 316 70 - 2009 2010 2011 2012 2 186 - 2 736 - 4 396 - 966 - 94 59 - 576 - 1 658 - 837 - 488 79 - 181 416 - 120 - 424 172 122 1 263 - 1 439 434 3 - 69 - 2013 981 - 2014 1 115 282 Triangle D 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 109 48 48 67 404 7) Branche Décennale, Affaires directes: 1998 1999 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 5 802 6 954 6 556 5 649 4 207 5 125 4 358 4 119 3 781 4 571 3 894 2 736 2 511 7 513 8 645 8 654 9 712 6 792 4 679 5 849 4 937 3 651 4 970 4 584 4 337 3 238 3 328 7 527 8 961 7 002 7 887 8 976 8 848 5 879 5 124 5 536 3 817 4 881 5 341 5 689 4 451 3 518 7 447 8 152 5 292 7 088 8 185 8 509 4 964 4 630 5 022 5 530 4 981 5 945 5 640 4 271 7 421 7 609 4 857 7 663 7 652 8 028 5 319 4 554 5 705 5 679 5 605 8 658 5 944 6 692 7 310 4 671 6 208 7 138 7 910 4 871 4 937 5 441 5 850 5 828 11 152 6 280 7 433 4 741 6 326 6 816 7 437 5 411 4 615 5 705 5 790 6 197 5 990 7 571 4 369 5 511 7 219 6 694 5 835 4 490 5 622 5 616 5 365 7 536 4 207 4 950 7 274 6 222 5 827 4 374 5 530 4 665 7 530 4 049 5 293 7 427 6 181 6 318 4 454 4 665 7 135 4 020 5 290 7 280 6 126 5 521 4 623 6 677 4 376 5 388 7 575 5 995 4 557 6 540 4 156 5 443 6 928 4 463 6 604 4 164 5 367 4 607 6 375 4 240 5 003 6 359 3 047 Triangle C 3 504 8 622 5 028 677 2000 - 292 2001 2002 1 - 54 28 - 98 196 211 - 335 76 445 227 - 0 88 - 80 - 152 642 - 329 13 44 12 66 48 8 - 65 - 67 42 102 - - 15 57 204 - 25 - 11 0 95 59 2 1 - 9 3 1 - 5 14 12 8 4 35 2 2 25 3 3 2 9 3 4 1 0 3 6 1 5 16 6 5 3 1 2 1 114 144 19 - 11 5 24 1 6 110 336 18 - 9 4 2012 1 25 181 - - - 2011 3 - 22 - - 2010 17 15 41 62 2009 15 - 44 - - - 3 18 3 - - 55 - 39 10 - - - - - 1 2008 5 147 347 - 2007 3 119 - 2006 5 46 - 2 2005 6 67 78 0 2004 19 346 43 286 2003 1 389 59 1 1 2013 - 2014 1 13 133 686 5 - 1 Triangle N 1999 9 44 1 31 1998 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 - 2001 4 364 7 083 1998 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2000 9 140 1999 2 101 - 1 121 - 2000 3 870 - 2001 3 663 535 722 211 1 156 2 038 18 530 480 233 234 651 127 - 56 31 290 - 179 315 624 35 162 700 6 158 0 398 53 43 497 82 103 - 155 - - - 2002 2 776 - 1 654 423 - - - 76 47 - 445 695 2007 - 495 471 140 281 473 - 526 334 257 403 778 - 421 127 109 176 125 95 - 487 52 815 - 561 - 51 475 324 - 153 42 148 60 290 134 9 - - 1 556 432 346 80 629 - 9 - 401 - 273 76 - 2008 677 135 54 229 687 2006 - 1 309 93 397 525 551 - 144 - 736 - 8 2005 997 246 20 - 2004 - 563 221 63 3 037 647 1 463 - 2003 - 2009 450 - 2010 2011 2012 1 214 - 19 - 432 - 515 396 - 1 116 - 114 - 275 - 304 1 039 - 1 116 - 369 - 1 618 - 159 - 603 624 - 147 - 623 - 2 713 274 - 168 - 222 - 2 494 64 - 364 49 2013 - 2014 130 180 Triangle D 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 812 650 76 25 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 101 Annexe 2 Résultats test hypothèse de Mack n°1 : 1) Branche Dommage, Affaires directes : - Partie 1 : Chain Ladder - Validation de l'hypothèse 1 Existence d'un unique facteur de développement (Ci1 - Ci2) (Ci2 - Ci3) 90 000 000 80 000 000 80 000 000 y = 1,2194x R² = 0,0409 70 000 000 70 000 000 y = 0,9796x R² = 0,3233 60 000 000 60 000 000 50 000 000 50 000 000 40 000 000 40 000 000 30 000 000 30 000 000 20 000 000 20 000 000 10 000 000 10 000 000 0 0 0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 0 10 000 000 20 000 000 (Ci3 - Ci4) 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000 (Ci4 - Ci5) 80 000 000 80 000 000 70 000 000 y = 0,9669x R² = 0,2247 70 000 000 60 000 000 60 000 000 50 000 000 50 000 000 40 000 000 40 000 000 30 000 000 30 000 000 20 000 000 20 000 000 10 000 000 10 000 000 0 y = 0,9663x R² = 0,9871 0 0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000 0 10 000 000 20 000 000 (Ci5 - Ci6) 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000 (Ci6 - Ci7) 80 000 000 80 000 000 70 000 000 70 000 000 y = 0,9872x R² = 0,9991 60 000 000 y = 0,9949x R² = 0,9967 60 000 000 50 000 000 50 000 000 40 000 000 40 000 000 30 000 000 30 000 000 20 000 000 20 000 000 10 000 000 10 000 000 0 0 0 - 30 000 000 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000 0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000 Partie 2 : T= 0,004 Intervalle : [-0.065, 0.065] : hypothèse vérifiée. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 102 2) Branche Dommages, Affaires acceptées : - Partie 1 : Chain Ladder - Validation de l'hypothèse 1 Existence d'ununique facteur de développement (Ci1 - Ci2) (Ci2 - Ci3) 35 000 000 45 000 000 y = 1,4901x R² = 0,4805 30 000 000 40 000 000 35 000 000 25 000 000 30 000 000 20 000 000 25 000 000 15 000 000 20 000 000 y = 0,9553x R² = 0,049 15 000 000 10 000 000 10 000 000 5 000 000 5 000 000 0 0 0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 0 5 000 000 (Ci3 - Ci4) 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 (Ci4 - Ci5) 45 000 000 45 000 000 40 000 000 40 000 000 y = 0,9985x R² = 0,7749 35 000 000 y = 0,963x R² = 0,9911 35 000 000 30 000 000 30 000 000 25 000 000 25 000 000 20 000 000 20 000 000 15 000 000 15 000 000 10 000 000 10 000 000 5 000 000 5 000 000 0 0 0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000 0 5 000 000 (Ci5 - Ci6) 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000 (Ci6 - Ci7) 100 000 000 100 000 000 90 000 000 90 000 000 80 000 000 80 000 000 70 000 000 70 000 000 60 000 000 y = 0,9956x R² = 0,9998 60 000 000 y = 1,4293x R² = 0,7183 50 000 000 50 000 000 40 000 000 40 000 000 30 000 000 30 000 000 20 000 000 20 000 000 10 000 000 10 000 000 0 0 0 - 10 000 000 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000 90 000 000100 000 000 Partie 2 : T= 0,021 Intervalle : [-0.065, 0.065] : hypothèse vérifiée. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 103 3) Branche Construction, Affaires directes : - Partie 1 : Chain Ladder - Validation de l'hypothèse 1 Existence d'ununique facteur de développement (Ci1 - Ci2) (Ci2 - Ci3) 16 000 000 18 000 000 y = 1,5162x R² = -0,049 14 000 000 16 000 000 y = 1,0689x R² = -0,124 14 000 000 12 000 000 12 000 000 10 000 000 10 000 000 8 000 000 8 000 000 6 000 000 6 000 000 4 000 000 4 000 000 2 000 000 2 000 000 0 0 0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 (Ci3 - Ci4) 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 (Ci4 - Ci5) 18 000 000 20 000 000 y = 1,0525x R² = 0,255 16 000 000 18 000 000 y = 1,0466x R² = 0,8752 16 000 000 14 000 000 14 000 000 12 000 000 12 000 000 10 000 000 10 000 000 8 000 000 8 000 000 6 000 000 6 000 000 4 000 000 4 000 000 2 000 000 2 000 000 0 0 0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000 0 (Ci5 - Ci6) 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000 (Ci6 - Ci7) 20 000 000 20 000 000 18 000 000 18 000 000 y = 0,9937x R² = 0,9943 16 000 000 y = 0,9872x R² = 0,9906 16 000 000 14 000 000 14 000 000 12 000 000 12 000 000 10 000 000 10 000 000 8 000 000 8 000 000 6 000 000 6 000 000 4 000 000 4 000 000 2 000 000 2 000 000 0 0 0 - 2 000 000 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000 20 000 000 0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000 20 000 000 Partie 2 : T= 0,048 Intervalle : [-0.065, 0.065] : hypothèse vérifiée. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 104 4) Branche Construction, Affaires acceptées : - Partie 1 : Chain Ladder - Validation de l'hypothèse 1 Existence d'ununique facteur de développement (Ci1 - Ci2) (Ci2 - Ci3) 16 000 000 16 000 000 14 000 000 y = 2,7171x R² = 0,8966 y = 1,1141x R² = 0,9493 14 000 000 12 000 000 12 000 000 10 000 000 10 000 000 8 000 000 8 000 000 6 000 000 6 000 000 4 000 000 4 000 000 2 000 000 2 000 000 0 0 0 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 0 2 000 000 4 000 000 (Ci3 - Ci4) 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 (Ci4 - Ci5) 4 500 000 4 000 000 4 000 000 3 500 000 y = 1,0058x R² = 0,8662 3 500 000 3 000 000 y = 0,9436x R² = 0,8666 3 000 000 2 500 000 2 500 000 2 000 000 2 000 000 1 500 000 1 500 000 1 000 000 1 000 000 500 000 500 000 0 0 0 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2 500 000 3 000 000 3 500 000 4 000 000 4 500 000 0 500 000 1 000 000 (Ci5 - Ci6) 2 000 000 2 500 000 3 000 000 3 500 000 (Ci6 - Ci7) 4 000 000 4 000 000 3 500 000 3 500 000 y = 0,9946x R² = 0,9975 3 000 000 y = 0,9982x R² = 0,9913 3 000 000 2 500 000 2 500 000 2 000 000 2 000 000 1 500 000 1 500 000 1 000 000 1 000 000 500 000 500 000 0 0 0 - 1 500 000 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2 500 000 3 000 000 3 500 000 4 000 000 0 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2 500 000 3 000 000 3 500 000 4 000 000 Partie 2 : T= 0,061 Intervalle : [-0.065, 0.065] : hypothèse vérifiée. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 105 5) Branche Automobile, Affaires directes : - Partie 1 : Chain Ladder - Validation de l'hypothèse 1 Existence d'ununique facteur de développement (Ci1 - Ci2) (Ci2 - Ci3) 45 000 000 45 000 000 40 000 000 y = 0,9851x R² = -0,665 40 000 000 y = 1,3931x R² = -0,077 35 000 000 35 000 000 30 000 000 30 000 000 25 000 000 25 000 000 20 000 000 20 000 000 15 000 000 15 000 000 10 000 000 10 000 000 5 000 000 5 000 000 0 0 0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 0 (Ci3 - Ci4) 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000 (Ci4 - Ci5) 50 000 000 50 000 000 45 000 000 45 000 000 40 000 000 y = 0,9777x R² = 0,967 40 000 000 y = 1,0209x R² = 0,1355 35 000 000 35 000 000 30 000 000 30 000 000 25 000 000 25 000 000 20 000 000 20 000 000 15 000 000 15 000 000 10 000 000 10 000 000 5 000 000 5 000 000 0 0 0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 0 (Ci5 - Ci6) 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000 50 000 000 (Ci6 - Ci7) 50 000 000 50 000 000 45 000 000 45 000 000 y = 0,9677x R² = 0,9862 40 000 000 y = 0,9809x R² = 0,9945 40 000 000 35 000 000 35 000 000 30 000 000 30 000 000 25 000 000 25 000 000 20 000 000 20 000 000 15 000 000 15 000 000 10 000 000 10 000 000 5 000 000 5 000 000 0 0 0 - 5 000 000 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000 50 000 000 0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000 50 000 000 Partie 2 : T= 0,101 Intervalle : [-0.065, 0.065] : hypothèse non vérifiée. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 106 6) Branche Construction Responsabilité civile, Affaires directes : - Partie 1 : Chain Ladder - Validation de l'hypothèse 1 Existence d'ununique facteur de développement (Ci1 - Ci2) (Ci2 - Ci3) 16 000 000 18 000 000 y = 1,5332x R² = 0,3273 14 000 000 y = 1,1363x R² = 0,4469 16 000 000 14 000 000 12 000 000 12 000 000 10 000 000 10 000 000 8 000 000 8 000 000 6 000 000 6 000 000 4 000 000 4 000 000 2 000 000 2 000 000 0 0 0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 0 2 000 000 4 000 000 (Ci3 - Ci4) 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 (Ci4 - Ci5) 20 000 000 25 000 000 18 000 000 y = 1,0789x R² = 0,5185 16 000 000 20 000 000 y = 0,9812x R² = 0,9103 14 000 000 12 000 000 15 000 000 10 000 000 8 000 000 10 000 000 6 000 000 4 000 000 5 000 000 2 000 000 0 0 0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000 0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000 20 000 000 (Ci5 - Ci6) (Ci6 - Ci7) 25 000 000 25 000 000 y = 1,0153x R² = 0,9907 20 000 000 15 000 000 15 000 000 10 000 000 10 000 000 5 000 000 5 000 000 0 0 0 - y = 1,0075x R² = 0,9881 20 000 000 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 Partie 2 : T= 0,044 Intervalle : [-0.065, 0.065] : hypothèse vérifiée. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 107 7) Branche Décennale, Affaires directes: - Partie 1 : Chain Ladder - Validation de l'hypothèse 1 Existence d'ununique facteur de développement (Ci1 - Ci2) (Ci2 - Ci3) 12 000 000 12 000 000 y = 1,2051x R² = 0,3063 10 000 000 10 000 000 y = 0,9865x R² = 0,8493 8 000 000 8 000 000 6 000 000 6 000 000 4 000 000 4 000 000 2 000 000 2 000 000 0 0 0 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000 9 000 000 10 000 000 0 2 000 000 4 000 000 (Ci3 - Ci4) 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 (Ci4 - Ci5) 9 000 000 12 000 000 y = 0,9388x R² = 0,7339 8 000 000 10 000 000 7 000 000 6 000 000 y = 1,0086x R² = 0,0905 8 000 000 5 000 000 6 000 000 4 000 000 3 000 000 4 000 000 2 000 000 2 000 000 1 000 000 0 0 0 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000 9 000 000 10 000 000 0 1 000 000 2 000 000 (Ci5 - Ci6) 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000 9 000 000 (Ci6 - Ci7) 9 000 000 8 000 000 8 000 000 y = 0,9939x R² = 0,8746 7 000 000 y = 0,9727x R² = 0,8399 7 000 000 6 000 000 6 000 000 5 000 000 5 000 000 4 000 000 4 000 000 3 000 000 3 000 000 2 000 000 2 000 000 1 000 000 1 000 000 0 0 0 - 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000 9 000 000 0 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000 Partie 2 : T= 0,047 Intervalle : [-0.065, 0.065] : hypothèse vérifiée. Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 108 Annexe 3 Résultats test hypothèse de Mack n°2 : L 36 37 47 35 42 49 36 Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Construction Affaires acceptées Automobile Affaires directes RC Construction Affaires directes Décennales Affaires directes E(L) 46,7229 46,0251 46,4124 34,8477 46,6401 46,6641 46,5171 Var(L) 11,5665 11,0002 10,9322 8,9493 11,5683 11,5680 11,2503 Intervalle [ E(L) - 2Var(L) ; E(L) + 2 Var(L)] [ 23,59 69,86 ] [ 24,02 68,03 ] [ 24,55 68,28 ] [ 16,95 52,75 ] [ 23,50 69,78 ] [ 23,53 69,80 ] [ 24,02 69,02 ] OK OK OK OK OK OK OK Résultats test hypothèse de Schnieper n°3 : Triangles N : N Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Construction Affaires acceptées Automobile Affaires directes RC Construction Affaires directes Décennales Affaires directes L 7 13 0 0 11 0 12 E(L) 17,0000 22,4375 6,1250 6,1250 18,7500 4,0000 18,2813 Var(L) 5,1719 6,1445 1,8672 1,8672 5,8594 1,2500 5,2803 Intervalle [ E(L) - 2Var(L) ; E(L) + 2 Var(L)] [ 6,66 27,34 ] [ 10,15 34,73 ] [ 2,39 9,86 ] [ 2,39 9,86 ] [ 7,03 30,47 ] [ 1,50 6,50 ] [ 7,72 28,84 ] OK OK KO KO OK KO OK L 19 16 22 14 18 27 23 E(L) 22,8730 22,5098 22,6230 12,0000 24,6230 24,5293 22,6230 Var(L) 6,1770 5,8698 5,8645 3,4219 6,4895 6,1682 5,8645 Intervalle [ E(L) - 2Var(L) ; E(L) + 2 Var(L)] [ 10,52 35,23 ] [ 10,77 34,25 ] [ 10,89 34,35 ] [ 5,16 18,84 ] [ 11,64 37,60 ] [ 12,19 36,87 ] [ 10,89 34,35 ] OK OK OK OK OK OK OK Triangles D : D Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Construction Affaires acceptées Automobile Affaires directes RC Construction Affaires directes Décennales Affaires directes Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 109 Annexe 4 Résultats test hypothèse de Mack n°3 : 1) Branche Dommages, Affaires directes : (Ci1 - Di1) (Ci2 - Di2) 3 000,00 1 000,00 2 000,00 0,00 0 1 000,00 2 4 6 8 10 12 -1 000,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 -2 000,00 -1 000,00 -3 000,00 -2 000,00 -4 000,00 -3 000,00 -5 000,00 -4 000,00 -5 000,00 -6 000,00 -6 000,00 -7 000,00 (Ci3 - Di3) (Ci4 - Di4) 0,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 000,00 0,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -500,00 -2 000,00 -1 000,00 -3 000,00 -1 500,00 -4 000,00 -2 000,00 -5 000,00 -2 500,00 -6 000,00 -3 000,00 -7 000,00 (Ci5 - Di5) (Ci6 - Di6) 0,00 0,00 0 1 2 3 4 5 -500,00 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 -500,00 -1 000,00 -1 000,00 -1 500,00 -1 500,00 -2 000,00 -2 500,00 -3 000,00 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat -2 000,00 -2 500,00 110 2) Branche Dommages, Affaires acceptées : (Ci1 - Di1) (Ci2 - Di2) 4 000,00 4 000,00 2 000,00 2 000,00 0,00 0,00 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -2 000,00 -2 000,00 -4 000,00 -4 000,00 -6 000,00 -6 000,00 -8 000,00 -8 000,00 -10 000,00 (Ci3 - Di3) (Ci4 - Di4) 2 000,00 2 000,00 1 000,00 1 000,00 0,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 -1 000,00 -1 000,00 -2 000,00 -2 000,00 -3 000,00 -3 000,00 2 4 6 8 10 12 14 -4 000,00 -4 000,00 -5 000,00 -5 000,00 -6 000,00 -6 000,00 (Ci5 - Di5) (Ci6 - Di6) 2 000,00 2 000,00 1 000,00 1 000,00 0,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 0 -1 000,00 -1 000,00 -2 000,00 -2 000,00 -3 000,00 -3 000,00 -4 000,00 -4 000,00 -5 000,00 -5 000,00 -6 000,00 -6 000,00 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 2 4 6 8 10 12 111 3) Branche Construction, Affaires directes : (Ci1 - Di1) (Ci2 - Di2) 3 000,00 1 500,00 1 000,00 2 000,00 500,00 0,00 1 000,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -500,00 0,00 -1 000,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -1 500,00 -1 000,00 -2 000,00 -2 500,00 -2 000,00 -3 000,00 -3 000,00 -3 500,00 (Ci3 - Di3) (Ci4 - Di4) 1 000,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 500,00 -200,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -400,00 -500,00 -600,00 -1 000,00 -1 500,00 -800,00 -2 000,00 -1 000,00 -2 500,00 -1 200,00 -3 000,00 -1 400,00 -3 500,00 (Ci5 - Di5) (Ci6 - Di6) 0,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 0 -100,00 -100,00 -200,00 -200,00 -300,00 -300,00 -400,00 -400,00 -500,00 -500,00 -600,00 -600,00 -700,00 -700,00 -800,00 -800,00 -900,00 -900,00 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 2 4 6 8 10 12 112 4) Branche Construction, Affaires acceptées : (Ci1 - Di1) (Ci2 - Di2) 1 000,00 1 000,00 800,00 500,00 600,00 400,00 0,00 200,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -500,00 -200,00 -400,00 -1 000,00 -600,00 -800,00 -1 500,00 -1 000,00 -1 200,00 -2 000,00 (Ci3 - Di3) (Ci4 - Di4) 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -100,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 -100,00 -200,00 -200,00 -300,00 -300,00 -400,00 -500,00 -400,00 -600,00 -500,00 -700,00 -600,00 -800,00 -700,00 -900,00 -800,00 -1 000,00 (Ci5 - Di5) (Ci6 - Di6) 0,00 0,00 0 2 4 6 8 -200,00 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 -100,00 -200,00 -400,00 -300,00 -600,00 -400,00 -800,00 -500,00 -1 000,00 -1 200,00 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat -600,00 -700,00 113 5) Branche Automobile, Affaires directes : (Ci1 - Di1) (Ci2 - Di2) 2 000,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -500,00 1 000,00 -1 000,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -1 500,00 -1 000,00 -2 000,00 -2 000,00 -2 500,00 -3 000,00 -3 000,00 -3 500,00 -4 000,00 -4 000,00 -5 000,00 -4 500,00 (Ci3 - Di3) (Ci4 - Di4) 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0,00 0 -500,00 -200,00 -1 000,00 -400,00 -1 500,00 -600,00 -2 000,00 -800,00 -2 500,00 -1 000,00 -3 000,00 -1 200,00 2 4 6 8 10 12 14 -1 400,00 -3 500,00 -1 600,00 -4 000,00 -1 800,00 -4 500,00 (Ci5 - Di5) (Ci6 - Di6) 0,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 0 -200,00 -200,00 -400,00 -400,00 -600,00 -600,00 -800,00 -800,00 -1 000,00 -1 000,00 -1 200,00 -1 200,00 -1 400,00 -1 400,00 -1 600,00 -1 600,00 -1 800,00 -1 800,00 -2 000,00 -2 000,00 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 2 4 6 8 10 12 114 6) Branche Construction Responsabilité civile, Affaires directes : (Ci1 - Di1) (Ci2 - Di2) 2 000,00 2 000,00 1 500,00 1 000,00 1 000,00 500,00 0,00 0 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -500,00 -1 000,00 -1 000,00 -2 000,00 -1 500,00 -2 000,00 -3 000,00 -2 500,00 -3 000,00 -4 000,00 (Ci3 - Di3) (Ci4 - Di4) 500,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -200,00 -500,00 -1 000,00 -400,00 -1 500,00 -600,00 -2 000,00 -800,00 -2 500,00 -3 000,00 -1 000,00 -3 500,00 -1 200,00 -4 000,00 (Ci5 - Di5) (Ci6 - Di6) 0,00 0,00 0 2 4 6 8 -200,00 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 -200,00 -400,00 -400,00 -600,00 -600,00 -800,00 -800,00 -1 000,00 -1 000,00 -1 200,00 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat -1 200,00 -1 400,00 115 7) Branche Décennale, Affaires directes: (Ci1 - Di1) (Ci2 - Di2) 500,00 0,00 0 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2 4 6 8 10 12 14 16 -500,00 -500,00 -1 000,00 -1 000,00 -1 500,00 -1 500,00 -2 000,00 -2 000,00 -2 500,00 -2 500,00 (Ci3 - Di3) (Ci4 - Di4) 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 -200,00 -500,00 -400,00 -600,00 -800,00 -1 000,00 -1 000,00 -1 200,00 -1 500,00 -1 400,00 -1 600,00 -2 000,00 -1 800,00 -2 000,00 -2 500,00 (Ci5 - Di5) (Ci6 - Di6) 0,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 0 -200,00 -200,00 -400,00 -400,00 -600,00 -600,00 -800,00 -800,00 -1 000,00 -1 000,00 -1 200,00 -1 200,00 -1 400,00 -1 400,00 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 2 4 6 8 10 12 116 Annexe 5 Résultats test hypothèse de Schnieper n°1 : Branche Dommages, Affaires directes : Triangle N, j= 1 et 2 14 000 000 12 000 000 10 000 000 8 000 000 6 000 000 4 000 000 2 000 000 0 0 50 000 000 100 000 000 150 000 000 200 000 000 Triangle D, j= 1 et 2 8 000 000 10 000 000 8 000 000 6 000 000 6 000 000 4 000 000 4 000 000 2 000 000 2 000 000 0 -2 000 000 0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 -4 000 000 -6 000 000 40 000 000 50 000 000 0 0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 -2 000 000 -8 000 000 -10 000 000 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat -4 000 000 117 Résultats test hypothèse de Schnieper n°1 : Branche Dommages, Affaires acceptées : Triangle N, j= 1 et 2 25 000 000 16 000 000 14 000 000 20 000 000 12 000 000 10 000 000 15 000 000 8 000 000 10 000 000 6 000 000 4 000 000 5 000 000 2 000 000 0 0 0 20 000 000 40 000 000 60 000 000 80 000 000 100 000 000120 000 000 0 20 000 000 40 000 000 60 000 000 80 000 000 100 000 000 Triangle D, j= 1 et 2 25 000 000 20 000 000 15 000 000 10 000 000 5 000 000 0 -5 000 000 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 0 20 000 000 40 000 000 118 Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 119
![III - 1 - Structure de [2-NH2-5-Cl-C5H3NH]H2PO4](http://s1.studylibfr.com/store/data/001350928_1-6336ead36171de9b56ffcacd7d3acd1d-300x300.png)
