Algébre tensorielle , algébre envoloppente d'une algébre de lie

Algèbre tensorielle ,Algèbre envoloppante d’une algèbre
de Lie
Yassine Ait Mohamed
25 octobre 2021
Faculté des Sciences Dhar El Mehraz
Université Sidi Mohamed Ben Abdellah - FES
1
1. Introduction
2. Algèbre tensorielle
3. Propriété universelle du produit tensoriel
4. Algèbre tensorielle d’un A-module
5. Prolongement des applications linéaires en des morphismes d’algèbres
6. Algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie
7. Existence par construction
8. Quelques références
2
Introduction
Introduction
Les algèbres de Lie doivent leur nom au mathématicien norvégien Sophus Lie qui les a
étudiées au 19ème siècle. Elles jouent un rôle important en mathématiques. Tout
d’abord, elles sont fortement liées aux groupes de Lie qui sont des variétés différentielles
munies d’une opération de multiplication et d’une opération d’inversion toutes deux de
classe C1. En effet, à tout groupe de Lie on peut associer une algèbre de Lie, son
espace tangent en l’élément neutre, et à toute algèbre de Lie de dimension finie on fait
correspondre un groupe de Lie.
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Les groupes et les algèbres de Lie ont une large palette d’intervention en
mathématiques. Ils sont utilisés -entre autres- dans l’étude des équations différentielles.
Ils sont également essentiels à tout ce qui se rapporte aux symétries. Les algèbres de Lie
ont aussi de nombreuses applications en physique, notamment la physique théorique. En
effet, elles sont indispensables à la manipulation de certains groupes utilisés en physique
des particules à savoir : les groupes de symétries. Elles ont en outre plusieurs
connexions avec d’autres disciplines dont nous citons : la relativité restreinte, la
relativité générale et la théorie de l’unification.
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Une algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie est une algèbre qui vérifie une propriété
universelle que l’on définira. D’une part, cette algèbre permet de réduire l’étude des
représentations d’une algèbre de Lie à celle des représentations de son algèbre
enveloppante, et d’autre part elle fournit, en un sens une représentation fidèle de
l’algèbre.
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Algèbre tensorielle
Produit tensoriel d’algèbres
Soit A un anneau commutatif unitaire. Tous les modules, algèbres et applications
multilinéaires considérés seront pris sur A.
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Produit tensoriel d’algèbres
Soient B et C des algèbres (pas forcément commutatives). On dispose donc de
morphismes d’algèbres :
(
A −→ B
α1 :
.
a
7−→ a · 1B
et
(
α2 :
A −→
C
a 7−→ a · 1C
7
Produit tensoriel d’algèbres
Proposition
Il existe une unique structure d’algèbre sur B ⊗ C prolongeant les lois du module
B ⊗ C et telle que :

 
 

b
b0
b × b0

 
 

 ⊗ × ⊗ = ⊗ 
c
c0
c × c0
munie de ces lois, B ⊗ C est appelée algèbre produit tensoriel de B par C . On a deux
morphismes d’algèbres
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Produit tensoriel d’algèbres
Proposition
(
B −→ B ⊗ C
et
b −→ b ⊗ 1C
(
C
c
−→ B ⊗ C
7−→ 1B ⊗ c
faisant commuter B et C dans B ⊗ C , au sens où
(b ⊗ 1)(1 ⊗ c) = b ⊗ c = (1 ⊗ c)(b ⊗ 1)
9
Produit tensoriel d’algèbres
Remarque
• Il y a une unique structure d’algèbres sur B ⊗ C telle que la projection canonique
(b, c) 7→ b ⊗ c soit multipticative.
10
Produit tensoriel d’algèbres
Remarque
• Il y a une unique structure d’algèbres sur B ⊗ C telle que la projection canonique
(b, c) 7→ b ⊗ c soit multipticative.
• La donnée d’une application bilinéaire multiplicative sur l’algèbre produit B × C
est la même chose que la donnée de deux morphismes d’algèbres, l’un sur B l’autre
sur C , qui commutent à l’arrivée.
10
Produit tensoriel d’algèbres
En effet l’application suivante est bijective :


 Bilmulti (B × C , D) −→ Hom(B, D) × Hom(C , D)
f
7−→
(f (., 1), f (1, .))


(b, c) 7−→ β(b)α(c) ←−
(β, α)
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Propriété universelle du produit
tensoriel
Propriété universelle du produit tensoriel
(
ϕB : B −→ D
deux morphismes d’algèbres qui commutent à l’arrivée, i. e.
ϕC : C −→ D
vérifiant pour tout b ∈ B et c ∈ C
Soient
ϕB (b) × ϕC (c) = ϕC (c) × ϕB (b)
Alors il existe un unique morphisme d’algèbres ϕ : B ⊗ C −→ D prolongeant ϕB et ϕC
au sens où
(
ϕ(b ⊗ 1) = ϕB (b)
ϕ(1 ⊗ c) = ϕC (c)
et ce morphisme agit sur les tenseurs purs par multiplication des composantes
tensorielles après action de ϕB et ϕC :
ϕ(b ⊗ c) = ϕB (b)ϕC (c)
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Propriété universelle du produit tensoriel
Remarque
Toute application bilinéaire multiplicative f : B × C −→ D se factorise d’une unique
manière sous la forme f = f¯ ◦ π où f¯ : B ⊗ C −→ D est un morphisme d’algèbres. On
retrouve la formulation plus classique de la propriété universelle. On aurait reformulé
le fait que ϕ prolonge ϕB et ϕC en disant que ϕ fait commuter le diagramme :
B
idB ⊗1C
ϕB
/ B ⊗ C o 1B ⊗idC
ϕ
C
ϕc
! }
D
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Propriété universelle du produit tensoriel
Exemple
• Pour toute A-algèbre B, on a un isomorphisme canonique d’algèbres


B[X ]
 B ⊗A A[X ] '
i
b⊗X
7−→ bX i


1 ⊗ Xi
←− X i
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Propriété universelle du produit tensoriel
Exemple
• Pour toute A-algèbre B, on a un isomorphisme canonique d’algèbres


B[X ]
 B ⊗A A[X ] '
i
b⊗X
7−→ bX i


1 ⊗ Xi
←− X i
• On a un ismorphisme canonique d’algèbres :
A[X ] ⊗ A[Y ] ' A[X , Y ]
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Propriété universelle du produit tensoriel
Exemple
• Pour toute A-algèbre B, on a un isomorphisme canonique d’algèbres


B[X ]
 B ⊗A A[X ] '
i
b⊗X
7−→ bX i


1 ⊗ Xi
←− X i
• On a un ismorphisme canonique d’algèbres :
A[X ] ⊗ A[Y ] ' A[X , Y ]
• D’une facon général on a :A[X1 ] ⊗ · · · ⊗ A[Xn] ' A[X1 , , , , , Xn ]
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Algèbre tensorielle d’un A-module
Algèbre tensorielle d’un A-module
Nous allons transformer un module en une algèbre en prenant pour multiplication
interne le produit tensoriel.
Notation
Soit M un module. On pose T n (M) := M ⊗A n = M ⊗A M ⊗A · · · ⊗A M
|
{z
}
n
fois
(on retiendra que T 0 (M) = A et T 1 (M) = M puis
M
T (M) :=
T n (M)
n≥0
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Proposition-Définition
Il existe une unique structure d’algèbre unitaire sur T (M) telle que
(x1 ⊗ · · · ⊗ xp ) × (y1 ⊗ · · · ⊗ yq ) = x1 ⊗ · · · ⊗ xp ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yq
a × (y1 ⊗ · · · ⊗ yq ) = a (y1 ⊗ · · · ⊗ yq )
(x1 ⊗ · · · ⊗ xp ) × a = a (x1 ⊗ · · · ⊗ xp )
munie de cette structure, T (M) est appelée l’algèbre tensorielle du module M. T (M)
est graduée de composantes homogènes les T n (M) et engendrée en tant qu’algèbre
par la partie M = T 1 (M)
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Prolongement des applications
linéaires en des morphismes
d’algèbres
Propriété universelle de l’algèbre tensorielle.
Theorème
Toute application f linéaire sur un module M d valeurs dans une algebre B se prolonge
d’une unique façon sur T (M) en un morphisme d’algèbres f¯. Ce prolongement vérifie
(
T (M)
−→
B
f¯ :
m1 ⊗ · · · ⊗ mi 7−→ f (m1 ) · · · f (mi )
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Propriété universelle de l’algèbre tensorielle.
Corollaire
Pour toute algèbre B, on dispose d’un isomorphisme canonique d’algèbres
(
HomAlg (T (M), B) −→
Hommod (M, B)
φ:
¯
f
7−→
f¯|M
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Propriété universelle de l’algèbre tensorielle
On généralise la propriété universelle ci-dessus en transformant le module but en son
algèbre tensorielle
Proposition(fonctorialité)
Soient M, N des modules et f : M −→ N linéaire. Alors il existe un unique morphisme
d’algèbres
(
T (M)
−→
T (N)
T (f ) :
m1 ⊗ · · · ⊗ mn 7−→ f (m1 ) ⊗ · · · ⊗ f (mn )
et le diagramme suivant commute
M
↓
f
−→
N
↓
T (f )
T (M) −→ T (N)
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Proposition(fonctorialité)
f
g
De plus, si M −→ N −→ P, alors
T (g ◦ f ) = T (g ) ◦ T (f )
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Propriété universelle de l’algèbre tensorielle
Corollaire
On a un isomorphisme canonique de modules
(
Hommod (M, N) −→
HomAlg (T (M), T (N))
f
7−→
T (f )
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Algèbre enveloppante d’une
algèbre de Lie
Rappels sur les algèbres de Lie
Définition
Soit k un corps commutatif. Une algèbre de Lie L sur k est une algèbre, dont le
produit, noté [., .], vérifie les axiomes suivants :
• ∀x ∈ L, [x, x] = 0 ;
22
Rappels sur les algèbres de Lie
Définition
Soit k un corps commutatif. Une algèbre de Lie L sur k est une algèbre, dont le
produit, noté [., .], vérifie les axiomes suivants :
• ∀x ∈ L, [x, x] = 0 ;
• ∀x, y , z ∈ L, [x, [y , z]] + [y , [z, x]] + [z, [x, y ]] = 0 (identité de Jacobi).
22
Remarque
• La condition (1) implique que [·,·] est antisymétrique
23
Remarque
• La condition (1) implique que [·,·] est antisymétrique
• La condition (2) peut se réécrire sous la forme
[X , [Y , Z ]] = [[X , Y ], Z ] + [Y , [X , Z ]], ce qui signifie que ad X = [X,·] est une
dérivation .
23
Exemple
• Tout espace vectoriel V peut être muni d’une structure d’algèbre de Lie, en posant
∀x, y ∈ V [x, y ] = 0. Une telle algèbre de Lie, où le crochet Lie est identiquement
nul, est appelée abélienne.
24
Exemple
• Tout espace vectoriel V peut être muni d’une structure d’algèbre de Lie, en posant
∀x, y ∈ V [x, y ] = 0. Une telle algèbre de Lie, où le crochet Lie est identiquement
nul, est appelée abélienne.
• Soit A une algèbre associative. On peut munir A d’une structure d’algèbre de Lie
en posant [x, y ] = xy − yx.
24
Rappels sur les algèbres de Lie
Idéaux de l’algèbre de Lie, Sous-algèbre de Lie, Morphismes d’Algèbres de Lie
0
Soient L et L deux algèbres de Lie sur k
• Un sous espace vectoriel S de L est un idéal si [S, L] ⊂ S
25
Rappels sur les algèbres de Lie
Idéaux de l’algèbre de Lie, Sous-algèbre de Lie, Morphismes d’Algèbres de Lie
0
Soient L et L deux algèbres de Lie sur k
• Un sous espace vectoriel S de L est un idéal si [S, L] ⊂ S
• Une sous-algèbre de Lie de L est un sous espace vectoriel S de L stable par le
crochet de Lie i.e : [S, S] ⊂ S.
25
Rappels sur les algèbres de Lie
Idéaux de l’algèbre de Lie, Sous-algèbre de Lie, Morphismes d’Algèbres de Lie
0
Soient L et L deux algèbres de Lie sur k
• Un sous espace vectoriel S de L est un idéal si [S, L] ⊂ S
• Une sous-algèbre de Lie de L est un sous espace vectoriel S de L stable par le
crochet de Lie i.e : [S, S] ⊂ S.
0
• Un morphisme d’algèbre de Lie est une application linéaire T : L → L qui préserve
le crochet de Lie, i.e T ([X , Y ]) = [T (X ), T (Y )] pour tout X , Y dans L
0
Il est clair que le noyau (resp.l’image) d’un morphisme L → L d’algèbre de Lie est
0
un idéal de L (resp. L ).
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L’algèbre enveloppante : Définition, unicité et propriétés
Définition
Soit L une algèbre de Lie, on dit que (A, ı) où A est une algèbre associative et ı est
un morphisme d’algèbres de Lie de L dans AL est une algèbre enveloppante de L si le
couple satisfait la propriété universelle suivante : pour toute algèbre associative U,
pour tout morphisme d’algèbres de Lie ϕ : L → UL , il existe un unique morphisme
d’algèbres de Lie ψ de A dans U tel que ϕ = ψ ◦ ı. Soit, en termes de diagramme
commutatif :
LO
ı
ϕ
/ UL
>
ψ
AL
Comme tout objet défini par une propriété universelle, il y a unicité à isomorphisme
près.
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L’algèbre enveloppante : Définition, unicité et propriétés
Proposition
Si (A, ı) et (B, ) sont deux algèbres enveloppantes d’une algèbre de Lie L, alors il
existe un unique isomorphisme d’algèbres β de A vers B qui vérifie j = β ◦ ı.
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L’algèbre enveloppante : Définition, unicité et propriétés
Proposition
Soit L une algèbre de Lie et (A, ı) son algèbre enveloppante.
• En tant qu’algèbre, A est engendrée par ı(L), l’image de L par ı.
28
L’algèbre enveloppante : Définition, unicité et propriétés
Proposition
Soit L une algèbre de Lie et (A, ı) son algèbre enveloppante.
• En tant qu’algèbre, A est engendrée par ı(L), l’image de L par ı.
• Si (A1 , ı1 ) (resp. (A2 , ı2 )) est l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie L1 (resp.
L2 ) et que ϕ est un morphisme d’algèbres de Lie de L1 vers L2 , alors il existe un
unique morphisme d’algèbres ϕ0 de A1 vers A2 qui fait commuter le diagramme
suivant, c’est à-dire tel que ı2 ◦ ϕ = ϕ0 ◦ ı1
L1
ı1
ϕ
/ L2
A1
ϕ
0
ı2
/ A2
28
L’algèbre enveloppante : Définition, unicité et propriétés
Proposition
• Soit I un idéal de L, R l’idéal bilatère de A engendré par ı(I ) et B := A/R
l’algèbre quotient.
L’application j : s + I 7→ ı(s) + < où s ∈ L est un morphisme d’algèbres de Lie de
L/I dans BL , et (B, j) est l’algèbre enveloppante de L/I .
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L’algèbre enveloppante : Définition, unicité et propriétés
Proposition
• Soit I un idéal de L, R l’idéal bilatère de A engendré par ı(I ) et B := A/R
l’algèbre quotient.
L’application j : s + I 7→ ı(s) + < où s ∈ L est un morphisme d’algèbres de Lie de
L/I dans BL , et (B, j) est l’algèbre enveloppante de L/I .
• A admet un unique anti-automorphisme d’algèbres π (c’est à dire un
endomorphisme linéaire bijectif tel que π(ab) = π(b)π(a)) tel que π ◦ ı = −ı. De
plus, π 2 = Id.
29
L’algèbre enveloppante : Définition, unicité et propriétés
Proposition
• Soit I un idéal de L, R l’idéal bilatère de A engendré par ı(I ) et B := A/R
l’algèbre quotient.
L’application j : s + I 7→ ı(s) + < où s ∈ L est un morphisme d’algèbres de Lie de
L/I dans BL , et (B, j) est l’algèbre enveloppante de L/I .
• A admet un unique anti-automorphisme d’algèbres π (c’est à dire un
endomorphisme linéaire bijectif tel que π(ab) = π(b)π(a)) tel que π ◦ ı = −ı. De
plus, π 2 = Id.
• Il existe un unique morphisme d’algèbres δ de A dans A ⊗ A, appelé application
diagonale, tel que, pour l dans L, δ ◦ ı(l) = ı(l) ⊗ 1 + 1 ⊗ ı(l).
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L’algèbre enveloppante
Existence par construction
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Existence par construction
Notation
Soit L une algèbre de Lie. On pose :
• ∀n ∈ N, T n (L) = L⊗n . On note par convention T 0 (L) = K
L
• T (L) := n≥0 T n (L) l’algèbre tensorielle de L
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Existence par construction
Définition
Soit L une algèbre de Lie, et J l’idéal de T (L) engendré par les éléments de la forme
[x, y ] − x ⊗ y + y ⊗ x, x, y ∈ L. On note alors l’algèbre quotient U(L) := T (L)/J et ı
la composition de l’injection de L dans T (L) et la projection canonique
π : T (L) −→ U(L). comme montré sur le diagramme suivant :
/ T (L)
L
ı
{
π
U(L)
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Existence par construction
Proposition
Le couple (U(L), ı) est une algèbre enveloppante de L.
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Quelques références
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Quelques références
• James E. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory,
volume 9 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Berlin,
1978. Second printing, revised.
• Nathan Jacobson. Lie algebras. Dover Publications, Inc., New York, 1979.
Republication of the 1962 original
• Jacques Dixmier, Algèbres enveloppantes Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996.
(ISBN 2-87647-014-4)
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MERCI POUR VOTRE ATTENTION
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