2ème année du baccalauréat Sciences Mathématiques Durée : 2h lycée Ibn Abdoun-Khouribga Devoir surveillé n°1 – le 26/11/2020 Mr.EL ABBASSI Med Il sera tenu compte de la rédaction, de la rigueur et de la présentation de la copie lors de la correction Exercice 1 ( 7.25 pts ) Considérons la fonction f définie par f x Arc tan 0.25pt 0.5pt 1,5pts x x 1 1) Déterminer D f le domaine de définition de f . 2) a-Montrer que f est strictement croissante sur D f . b- Montrer que f réalise une bijection de D f vers un intervalle J à déterminer. x tan , avec 0, . 2 a- Vérifier que x x 1 tan 4 2 1 b- Montrer que x D f f x Arc tan x . 4 2 3 c- Résoudre dans D f l’équation f 1 x 8 1 4) Calculer f x pour tout x J . 3) Soit x D f , posons 2pts 1pt 0. 5pt 1,5pts Exercice 2 ( 6 pts ) 1pt 1pt 1pt 1,5pt 1.5pt 3 1 x3 1 1) Considérons la fonction g définie sur 0, par g x Arc tan 3 . 3 x Montrer que la fonction g admet un prolongement par continuité en 0. 2) Soit f le prolongement par continuité de g en 0. a- Calculer les limites suivantes : lim f x et lim xf x . x x b- Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur 0, . c- Montrer que la fonction f est continue sur 0, , puis déduire qu’elle réalise une bijection de 0, vers un intervalle J à déterminer. d- Calculer f 1 x pour tout x J . Exercice3 ( 6.75 ) Pour tout nN* \ 1 , considérons la fonction f n définie sur 0,1 par : fn x xn nx 1 . 1pt 0.5pt 0.75pt 1pt 1.5pt 1pt 1pt 1) a-Montrer que l’équation f n x 0 admet une solution unique un dans l’intervalle 0,1 . b- Donner la valeur de u2 . c- Montrer que 0.25 u3 0.5 . 2) Considérons la suite un n2 ainsi définie. a- Etudier le signe de fn1 x f n x pour tout x 0,1 . b- Montrer que la suite un n2 est strictement décroissante, puis déduire quelle est convergente c- Montrer que lim unn 0 . n d- Déduire que lim un 0 . n