TD Magnétostatique et OEM - Exercices et Problèmes

Semestre 2
Section Première Cycle Ingénieur
TD Magnétostatique-les O.E.M.-
la propagation des O.E.M Année 2020-2021
ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE de DAKAR
E.S.P
Ex 1 : On place un cylindre conducteur d’axe
Oz
, de section
2
0RS
=
, de longueur
L
( )
RL 
et
de conductivité
dans un champ magnétique extérieur uniforme
( )
z
etBB  cos
0
=
. On suppose que
le champ magnétique induit est négligeable devant le champ magnétique extérieur appliqué. On se place
dans le cadre de l’ARQS et on néglige les effets de bord.
1) Montrer que le champ électrique se met sous la forme
( )
erEE 
=
.
2) On considère que
( )
et
Br
E
sin
20
=
. Calculer par trois méthodes le champ magnétique induit
et montrer par une des trois méthodes que le champ magnétique induit est nul pour
Rr =
.
3) Donner une condition pour que le champ magnétique induit soit négligeable devant
0
Ex 2 : On considère une onde plane progressive monochromatique
( )
OPPM
qui se propage suivant
l’axe
Ox
. Le champ électrique est polarisé suivant
y
e
.
1) Etablir l’équation de propagation et en déduire la relation de dispersion.
2) Déterminer le vecteur de Poynting. En déduire la puissance moyenne transportée par l’onde à travers
une surface
S
perpendiculaire à la direction de propagation.

3) Déterminer le flux du champ magnétique à travers un cadre carré de côté
ma 1=
, formé de
spires et situé dans un plan perpendiculaire à
z
e
pour une fréquence
MHzf 100=
La longueur d’onde est du même ordre de grandeur que a. On ne peut pas supposer que le champ
magnétique est uniforme dans le cadre. On oriente le cadre suivant oz.
Le flux du champ magnétique en notation complexe à travers une spire :
On a alors :
Soit :
En simplifiant, on obtient :
Il reste à prendre la partie réelle pour obtenir le flux réel :
Le flux du champ magnétique à travers les N spires est :
4) Que se passe-t-il si la fréquence vaut
kHzf 160=
.

Exo 3 : 1) Utiliser les équations de Maxwell pour retrouver l’équation de propagation du champ
électrique dans un milieu matériel quelconque.
2) Réécrire cette équation dans le milieu air (ou vide), donner la signification de la constante
00.
. En déduire la célérité dans le milieu vide (ou air) des ondes électromagnétiques.
2) Le champ électrique d’expression
( ) ( )( )
x
etkyEtyE  −= cos,0,0, 0
est solution de l’équation
obtenue dans la question 2, en déduire une relation entre
k
,
c
et
.
Exo 4 : Le champ électromagnétique d’une onde électromagnétique est :
( ) ( )
y
ekxtiEtxE 
−=
exp, 0
. L’onde électromagnétique se propage dans le vide dépourvu de
charges et de courants.
1) Retrouver l’équation de propagation de l’onde dans le vide.
2) Retrouver le champ
B
.
3) Donner, en tout point de l’espace, la densité volumique
de l’énergie électromagnétique.
Comparer la partie électrique
e
et la partie magnétique
m
.
4) Donner le vecteur de Poynting
et rappeler sa signification physique.
Exo 5 : Un conducteur ohmique de conductivité statique
0
est étudié dans un régime de fréquences où
l’électroneutralité est vérifiée. Ce conducteur occupe le demi-espace
0z
. On admet que le conducteur
est parcouru par la densité volumique de courant dont l’expression en représentation complexe est :
( )
x
e
z
wti
z
jtzj 
− −=
expexp, 0
1. Ecrire les équations de Maxwell dans le conducteur.
2. Etablir les expressions en notation complexe et réelle des champs électriques
E
et magnétiques
B
3. Préciser leurs sens de propagation ainsi que leurs directions de polarisation.
Pourquoi la composante du champ électrique et celle du champ magnétique sont-elles nulles suivant
leurs directions de propagation ? Démontrer.
Exo 6 : On considère deux plans parfaitement conducteurs, parallèles au plan
Oyz
, d’abscisses
0=x
et
dx =
. Une onde électromagnétique se propage dans le vide entre ces deux plans. On appelle
c
la
célérité de la lumière dans le vide. Le champ électrique est la forme
( )
y
ekzt
dx
EE 
−
= cossin
0
1) Calculer le vecteur de Poynting. En déduire la puissance moyenne transportée par l’onde à travers
une surface
S
perpendiculaire à la direction de propagation.
On remarque que le champ électrique est nul pour x = 0 et x = d. La composante tangentielle du
champ électrique doit être nulle pour x = 0 et x = d puisqu’on a un conducteur parfait.
L’équation de Maxwell-Faraday s’écrit en notation complexe :

Calcul de Bx
On a donc :
En grandeurs réelles, on a :
Calcul de Bz
On a donc :
En grandeurs réelles, on a :
La valeur moyenne du vecteur de Poynting est :

Puisque :
La seule composante non nulle du vecteur de Poynting correspond à la direction de propagation
de l’onde.
On considère une surface orientée dans le sens de propagation de l’onde :
La puissance moyenne transportée par cette onde est :
2) Représenter graphiquement la vitesse de phase et la vitesse de groupe en fonction de la pulsation.
Interprétation physique.
La vitesse de phase est :
Il faut déterminer la relation de dispersion pour exprimer la vitesse de phase en fonction de ω.
Pour cela on reporte le champ électrique dans l’équation de propagation. Dans le vide, l’équation
de propagation est :
On a donc :
Il faut avoir :
La pulsation ω doit être supérieure ωmin définie par :
La vitesse de phase peut se mettre sous la forme :
La vitesse de groupe est :
On peut calculer plus simplement la vitesse de groupe avec la différentielle de la relation de
dispersion :