ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE de DAKAR E.S.P TD Magnétostatique-les O.E.M.la propagation des O.E.M Semestre 2 Section Première Cycle Ingénieur Année 2020-2021 Ex 1 : On place un cylindre conducteur d’axe Oz , de section S0 = R 2 , de longueur L (L R ) et de conductivité dans un champ magnétique extérieur uniforme B = B0 cos( t ) ez . On suppose que le champ magnétique induit est négligeable devant le champ magnétique extérieur appliqué. On se place dans le cadre de l’ARQS et on néglige les effets de bord. 1) Montrer que le champ électrique se met sous la forme E = E (r ) e . r B0 sin( t ) e . Calculer par trois méthodes le champ magnétique induit 2 et montrer par une des trois méthodes que le champ magnétique induit est nul pour r = R . 3) Donner une condition pour que le champ magnétique induit soit négligeable devant 0 2) On considère que E = Ex 2 : On considère une onde plane progressive monochromatique (OPPM ) qui se propage suivant l’axe Ox . Le champ électrique est polarisé suivant e y . 1) Etablir l’équation de propagation et en déduire la relation de dispersion. 2) Déterminer le vecteur de Poynting. En déduire la puissance moyenne transportée par l’onde à travers une surface S perpendiculaire à la direction de propagation. 3) Déterminer le flux du champ magnétique à travers un cadre carré de côté a = 1 m , formé de spires et situé dans un plan perpendiculaire à e z pour une fréquence f = 100MHz La longueur d’onde est du même ordre de grandeur que a. On ne peut pas supposer que le champ magnétique est uniforme dans le cadre. On oriente le cadre suivant oz. Le flux du champ magnétique en notation complexe à travers une spire : On a alors : Soit : En simplifiant, on obtient : Il reste à prendre la partie réelle pour obtenir le flux réel : Le flux du champ magnétique à travers les N spires est : 4) Que se passe-t-il si la fréquence vaut f = 160kHz . Exo 3 : 1) Utiliser les équations de Maxwell pour retrouver l’équation de propagation du champ électrique dans un milieu matériel quelconque. 2) Réécrire cette équation dans le milieu air (ou vide), donner la signification de la constante 0 . 0 . En déduire la célérité dans le milieu vide (ou air) des ondes électromagnétiques. 2) Le champ électrique d’expression E ( y, t ) = (0, 0, E0 cos(ky − t )) ex est solution de l’équation obtenue dans la question 2, en déduire une relation entre k , c et . Exo 4 : Le champ électromagnétique d’une onde électromagnétique est : E ( x, t ) = E0 expi (t − kx)e y . L’onde électromagnétique se propage dans le vide dépourvu de charges et de courants. 1) Retrouver l’équation de propagation de l’onde dans le vide. 2) Retrouver le champ B . 3) Donner, en tout point de l’espace, la densité volumique de l’énergie électromagnétique. Comparer la partie électrique e et la partie magnétique m . 4) Donner le vecteur de Poynting et rappeler sa signification physique. Exo 5 : Un conducteur ohmique de conductivité statique 0 est étudié dans un régime de fréquences où l’électroneutralité est vérifiée. Ce conducteur occupe le demi-espace z 0 . On admet que le conducteur est parcouru par la densité volumique de courant dont l’expression en représentation complexe est : z z j (z, t ) = j0 exp − expi wt − ex 1. Ecrire les équations de Maxwell dans le conducteur. 2. Etablir les expressions en notation complexe et réelle des champs électriques E et magnétiques B 3. Préciser leurs sens de propagation ainsi que leurs directions de polarisation. Pourquoi la composante du champ électrique et celle du champ magnétique sont-elles nulles suivant leurs directions de propagation ? Démontrer. Exo 6 : On considère deux plans parfaitement conducteurs, parallèles au plan Oyz , d’abscisses x = 0 et x = d . Une onde électromagnétique se propage dans le vide entre ces deux plans. On appelle c la célérité de la lumière dans le vide. Le champ électrique est la forme x E = E0 sin cos( t − kz) e y d 1) Calculer le vecteur de Poynting. En déduire la puissance moyenne transportée par l’onde à travers une surface S perpendiculaire à la direction de propagation. On remarque que le champ électrique est nul pour x = 0 et x = d. La composante tangentielle du champ électrique doit être nulle pour x = 0 et x = d puisqu’on a un conducteur parfait. L’équation de Maxwell-Faraday s’écrit en notation complexe : Calcul de Bx On a donc : En grandeurs réelles, on a : Calcul de Bz On a donc : En grandeurs réelles, on a : La valeur moyenne du vecteur de Poynting est : Puisque : La seule composante non nulle du vecteur de Poynting correspond à la direction de propagation de l’onde. On considère une surface orientée dans le sens de propagation de l’onde : La puissance moyenne transportée par cette onde est : 2) Représenter graphiquement la vitesse de phase et la vitesse de groupe en fonction de la pulsation. Interprétation physique. La vitesse de phase est : Il faut déterminer la relation de dispersion pour exprimer la vitesse de phase en fonction de ω. Pour cela on reporte le champ électrique dans l’équation de propagation. Dans le vide, l’équation de propagation est : On a donc : Il faut avoir : La pulsation ω doit être supérieure ωmin définie par : La vitesse de phase peut se mettre sous la forme : La vitesse de groupe est : On peut calculer plus simplement la vitesse de groupe avec la différentielle de la relation de dispersion : On obtient : On en déduit que : On représente sur le graphe ci-dessous la vitesse de phase et la vitesse de groupe La vitesse de phase correspond à la vitesse de propagation d’une onde qui n’a pas de réalité physique. Il ne faut donc pas être surpris de trouver une vitesse de phase plus grande que la vitesse de la lumière. La vitesse de phase dépend de la pulsation. On dit que le milieu est dispersif. Des ondes à des pulsations différentes ne vont pas se propager à la même vitesse. La vitesse de groupe est inférieure à C. C’est tout à fait normal puisqu’elle correspond à un transport d’information. C’est la vitesse de la crête du paquet d’ondes en l’absence de grande déformation du paquet d’ondes. Exo 7 : Une O.P.P.H. rectiligne arrive sur un métal parfait avec une incidence . Bi ,est parallèle au ( ) métal: Bi = B0 cos t − ki r ex . ki ez ex ey Métal ( ) ( ) On cherche l’onde réfléchie sous la forme d’une O.P.P.H Er , Br avec : Br = B1 cos t − k r r ex 1) Etablir l’expression du vecteur d’onde k i . En déduire E i . 2) Montrer l’existence de l’onde réfléchie. 3) Etablir l’expression du vecteur d’onde k r . En déduire Er . 4) Calculer B1 . 5) Exprimer la charge surfacique dans le plan z = 0 . 6) Montrer que la surface du conducteur est le siège des courants superficiels, dont on déterminera le vecteur densité surfacique de courants js . 7) Donner une explication physique de l’origine de l’onde réfléchie. Exo 8 : On considère un milieu matériel de permittivité électrique, de perméabilité magnétique, défini par des propriétés diélectriques et magnétiques isotropes, linéaires et homogènes. Les densités volumiques de charges libres et de polarisation, les vecteurs densité de courant de charges libres, de charges de polarisation et d’aimantation sont respectivement L et P , j L , j p et j A . 3.1. Faire des rappels sur les notions suivantes : aimantation, les matériaux magnétiques, l’induction magnétique et l’induction électrique. 3.2. Exprimer P , j p et j A en fonction de P ou de M 3.3. Exprimer les vecteurs induction électrique D et excitation magnétique H en fonction des vecteurs champs électriques E , champ magnétique B , polarisation P et magnétique M . 3.4. La susceptibilité complexe étant e = r − 1 avec r la permittivité diélectrique relative complexe du milieu, relier les vecteur P et E à l’aide de e . 3.5. Ecrire les équations de maxwell vérifiées par E , D , B , et H en présence des charges et des courants.
