Chapitre 3 ( PARTIE I)
Dynamique Relativiste
3: Quadrivecteurs:
3-1 Notion de quadrivecteur :
3-1 -1 quadrivecteur position :
A tout événement, repéré à l’instant t dans un référentiel d’inertie (𝑅) par ses
coordonnées 𝑥, 𝑦, 𝑧 correspond dans l’espace vectoriel pseudo-euclidien de
Minkowski, un point d’univers M de coordonnées :
𝑥0 = 𝑐𝑡,
𝑥1 = 𝑥,
𝑥2 = 𝑦,
𝑥3 = 𝑧,
Et un quadrivecteur position
̅ = (𝑐𝑡, 𝑟⃗) = (𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ),
𝐑
Les composantes 𝑥𝑖 de 𝑅⃗⃗ se transforment en 𝑥𝑖′ de ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅′ par :
̅̅̅
̅ et 𝐑
̅ = (ℒ)−1 ̅̅̅
𝐑′ = (ℒ)𝐑
𝐑′
(ℒ) est la transformation de Lorentz
𝛾
−𝛽𝛾 0
−𝛽𝛾
𝛾
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Le carré du quadrivecteur est donné par l’expression :
̅ 2 = (𝑥0 )2 + (𝑥1 )2 + (𝑥2 )2 + (𝑥3 )2
𝐑
= 𝑐2𝑡 2 − 𝑥 2 − 𝑦2 − 𝑧 2
=𝑐 2 𝑡 2 − 𝑟⃗ 2
qui est une quantité invariante par transformation de Lorentz.
3-1 -2 Propriétés des quadrivecteur :
1
̅ dont les composantes sont A0 , A1 , A2 , A3 se
On appelle quadrivecteur 𝐀
transforment selon la transformation de Lorentz de la façon suivante :
A0 ′ = 𝛾(𝑥 − 𝛽A0 )
A1 ′ = 𝛾(A0 − 𝛽A1 )
,
A2 ′ = A 2
′
A3 = A 3
{
̅̅̅′ = (ℒ)𝐀
̅,
𝐀
c-à-d :
ou (ℒ) est la matrice de Lorentz. Le carré est
̅2 = (𝐴0 )2 − (𝐴1 )2 − (𝐴2 )2 − (𝐴3 )2 ,
𝐀
On peut définir d’une façon analogue le produit scalaire de deux 4-vecteurs ou
les composantes sont :
̅=(
𝐀
𝐴0
𝐵
̅ = ( 0 ),
), 𝐁
⃗A⃗
⃗⃗
B
̅∙𝐁
̅ = 𝐴0 𝐵0 − ⃗A⃗ B
⃗⃗
Comme : 𝐀
Le produit scalaire de deux 4- vecteurs est un invariant dans tout changement de
référentiel galiléen.
̅̅̅′ ∙ ̅̅̅
̅∙𝐁
̅
𝐀
𝐁′ = 𝐀
3-1 -3 quadrivecteur vitesse :
̅ d’une particule est défini à partir du quadrivecteur
Le quadrivecteur vitesse 𝐕
̅:
position 𝐑
̅
𝑑𝐑
𝑑𝜏
̅=
𝐕
Avec 𝜏 le temps propre de la particule (on peut introduire à toute instant un
référentiel (𝑅′ ) lié à la particule mobile par rapport à un référentiel (𝑅) fixe: 𝜏 =
𝑡
𝛾
𝑉2
=(1 − 𝑐 2 )
1⁄
2
𝑡
̅:
Les différentes composantes du quadrivecteur vitesse 𝐕
𝑑𝑥 𝛼
𝑽 =
, 𝛼 = 0,1,2,3
𝑑𝜏
𝜶
2
Ainsi les composantes 𝑽𝜶 sont :
𝑑𝑥 0
𝑐𝑑𝑡
𝑽 =
= 𝛾
= 𝛾𝑐
𝑑𝜏
𝑑𝑡
𝟎
𝑑𝑥 1
𝑑𝑥 1
𝑑𝑥
𝑽 =
=𝛾
=𝛾
= 𝛾𝑉𝑥
𝑑𝜏
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝟏
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
𝑽 =
=𝛾
=𝛾
= 𝛾𝑉𝑦
𝑑𝜏
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝟐
𝑑𝑥 3
𝑑𝑥 3
𝑑𝑧
𝑽 =
=𝛾
=𝛾
= 𝛾𝑉𝑧
𝑑𝜏
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝟑
Le quadrivecteur vitesse s’écrit aussi :
̅ = (𝑽𝟎 , 𝑽𝟏 , 𝑽𝟐 , 𝑽𝟑 )= 𝛾(𝑐, 𝑉
⃗⃗ )
𝐕
̅ 𝟐 est un invariant :
𝐕
⃗⃗ 2
̅𝟐 = 𝐕
̅. 𝐕
̅ = 𝛾 2𝑐2 − 𝛾 2𝑉
⃗⃗ 2 = 𝛾 2 𝑐 2 (1 − 𝑉2 )=𝑐 2
𝐕
𝑐
Remarque :
Le quadrivecteur vitesse ne s’annule jamais.
3-1 -4 quadrivecteur accélération :
Le quadrivecteur accélération 𝐚̅ d’une particule est défini à partir du
̅:
quadrivecteur position 𝐕
𝒂𝜶 =
𝑑𝑽𝛼 𝑑 2 𝑥 𝛼
=
, 𝛼 = 0,1,2,3
𝑑𝜏
𝑑𝜏 2
Si on dérive la norme du quadrivecteur vitesse , on obtient :
̅
̅. 𝑑𝐕 = 0 ⇒ 𝐕
̅. 𝐚̅ = 0
𝐕
𝑑𝜏
Autrement dit, le quadrivecteur accélération d’une particule est toujours
orthogonale à sa quadrivecteur vitesse.
3-1 -4 quadrivecteur quantité de mouvement :
̅ d’une particule est défini par cette
Le quadrivecteur quantité de mouvement 𝐩
relation :
3
̅
̅ = 𝑚𝐕
𝐩
̅=(
𝐩
𝛾𝑚𝑐
𝑝0
) = ( ⃗⃗ )
𝛾𝑚𝑉
𝑃⃗⃗
̅ est donnée par :
La norme du quadrivecteur 𝐩
̅. 𝐕
̅ = 𝑚2 𝑐 2 ⇒ ‖𝐩
̅. 𝐩
̅=𝑚2 𝐕
̅‖ = 𝑚𝑐
𝐩
̅ est une quantité invariante.
Autrement dit la norme du quadrivecteur 𝐩
3.2. Energie relativiste :
̅ d’une particule peut s’écrire aussi
Le quadrivecteur quantité de mouvement 𝐩
comme :
𝐸
𝑝0
̅ = ( ) = (𝑐 )
𝐩
𝑃⃗⃗
𝑃⃗⃗
la première composante du quadri-impulsion : 𝑝0 =
𝐸
𝑐
= 𝛾𝑚𝑐, ou 𝐸 est
l’énergie , il vient que :
𝐸 = 𝛾𝑚𝑐 2 =
𝑚𝑐 2
1⁄
2
𝑉2
(1− 2 )
𝑐
2
2
,
2
𝐸
̅2 = (𝑝0 )2 − (𝑃⃗⃗) ⇒ 2 − (𝑃⃗⃗) = 𝑚2 𝑐 2
𝐩
𝑐
𝐸 2 = 𝑝2 𝑐 2 + 𝑚2 𝑐 4
A la limite 𝑣 ≪ 𝑐, on a :
𝐸=
𝑚𝑐 2
1⁄
2
𝑉2
(1− 2 )
𝑐
2
𝑉2
= 𝑚𝑐 (1 − 2 )
𝑐
−1⁄
2
= 𝑚𝑐 2 (1 +
1 𝑉2
2
𝑐2
1
) + ⋯ = 𝑚𝑐 2 + 2 𝑚𝑉2 + ⋯
On remarque que l’énergie en mécanique relativiste l’énergie d’une particule
libre ne s’annule pas pour 𝑉 = 0 et possède une valeur finie égale à :
𝐸0 = 𝑚𝑐2 ,
C’est au repos de la particule et elle est indépendante de tout mouvement.
4
Notons que : 𝐸 =
𝑚𝑐 2
1⁄
2
𝑉2
(1− 2 )
𝑐
=𝑚𝛾𝑐 2 + 𝑚𝑐 2 − 𝑚𝑐 2 = 𝑚𝑐 2 + (𝛾 − 1)𝑚𝑐 2
On définit l’énergie cinétique relativiste par :
𝑇 = (𝛾 − 1)𝑚𝑐 2
3.2.1 Cas de photon ( particule de masse nulle) :
Le quadri- impulsion s’écrit
𝐸
𝑚𝛾𝑐
0
𝑚𝛾𝑣𝑥
𝑝
̅ = ( ) = (𝑚𝛾𝑣 ) =
𝐩
𝑦
𝑃⃗⃗
𝑚𝛾𝑣𝑧
𝑐
𝐸 𝑣𝑥
𝑐 𝑐
𝐸 𝑣𝑦
𝑐 𝑐
𝐸 𝑣𝑧
(𝑐
𝑐
,
)
Si la particule se propage selon l’axe des 𝑥,
𝐸
𝑐
𝐸
̅=
𝐩
𝑐
0
(0)
La formule 𝐸 2 = 𝑝2 𝑐 2 + 𝑚2 𝑐 4 s’écrit dans le cas du photon
𝐸 = 𝑝𝑐
D’autre part l’énergie d’une particule est donnée par Max Planck comme :
𝐸 = ℎ𝜗
Ou ℏ est la constante de Planck ℎ = 6.62 × 10−34 𝐽. 𝑠 ; On déduit des deux
dernière relation la fameuse relation de De Broglie ( la dualité onde –
corpuscule):
𝑝=
ℎ𝜗 ℎ
=
𝑐
𝜆
5
6
7
