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Chapitre 3 ( PARTIE I)
Dynamique Relativiste
3: Quadrivecteurs:
3-1 Notion de quadrivecteur :
3-1 -1 quadrivecteur position :
A tout événement, repéré à l’instant t dans un référentiel d’inertie par ses
coordonnées correspond dans l’espace vectoriel pseudo-euclidien de
Minkowski, un point d’univers M de coordonnées :
Et un quadrivecteur position
,
Les composantes de
se transforment en de
par :
et
est la transformation de Lorentz
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Le carré du quadrivecteur est donné par l’expression :
=
=
qui est une quantité invariante par transformation de Lorentz.
3-1 -2 Propriétés des quadrivecteur :
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On appelle quadrivecteur
dont les composantes sont se
transforment selon la transformation de Lorentz de la façon suivante :
,
c-à-d :
,
ou est la matrice de Lorentz. Le carré est
,
On peut définir d’une façon analogue le produit scalaire de deux 4-vecteurs ou
les composantes sont :
,
,
Comme :
Le produit scalaire de deux 4- vecteurs est un invariant dans tout changement de
référentiel galiléen.
3-1 -3 quadrivecteur vitesse :
Le quadrivecteur vitesse
d’une particule est défini à partir du quadrivecteur
position
:
Avec le temps propre de la particule (on peut introduire à toute instant un
référentiel lié à la particule mobile par rapport à un référentiel fixe:
=
Les différentes composantes du quadrivecteur vitesse
:
3
Ainsi les composantes sont :
Le quadrivecteur vitesse s’écrit aussi :
=
est un invariant :
=
Remarque :
Le quadrivecteur vitesse ne s’annule jamais.
3-1 -4 quadrivecteur accélération :
Le quadrivecteur accélération d’une particule est défini à partir du
quadrivecteur position
:
Si on dérive la norme du quadrivecteur vitesse , on obtient :
Autrement dit, le quadrivecteur accélération d’une particule est toujours
orthogonale à sa quadrivecteur vitesse.
3-1 -4 quadrivecteur quantité de mouvement :
Le quadrivecteur quantité de mouvement
d’une particule est défini par cette
relation :
4
La norme du quadrivecteur
est donnée par :
=
Autrement dit la norme du quadrivecteur
est une quantité invariante.
3.2. Energie relativiste :
Le quadrivecteur quantité de mouvement
d’une particule peut s’écrire aussi
comme :
la première composante du quadri-impulsion :
, ou est
l’énergie , il vient que :
,
A la limite , on a :
On remarque que l’énergie en mécanique relativiste l’énergie d’une particule
libre ne s’annule pas pour et possède une valeur finie égale à :
,
C’est au repos de la particule et elle est indépendante de tout mouvement.
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Notons que :
=
On définit l’énergie cinétique relativiste par :
3.2.1 Cas de photon ( particule de masse nulle) :
Le quadri- impulsion s’écrit
,
Si la particule se propage selon l’axe des
La formule s’écrit dans le cas du photon
D’autre part l’énergie d’une particule est donnée par Max Planck comme :
Ou est la constante de Planck ; On déduit des deux
dernière relation la fameuse relation de De Broglie ( la dualité onde –
corpuscule):
6
7
1
/
7
100%
