Examen de Relativité - Espace d`authentification univ

Université de Bretagne Occidentale Licence 1ère année Mai 2013
UFR Sciences & Techniques Parcours 3 durée : 1 heure 30
Examen de Relativité
Calculatrices autorisées.
Bonne chance, bon courage!
1. Soient deux vecteurs, et , dans le plan Oxy. On effectue une transformation passive, par
exemple, en tournant les axes Ox et Oy d’un angle θ autour de l’axe Oz. Quelle proposition est
correcte ?
(a) les composantes des vecteurs changent mais les vecteurs sont les mêmes, et donc leur
produit scalaire est invariant.
(b) tout reste invariant : les composantes des vecteurs, et leur produit scalaire ne changent
pas.
(c) les composantes des vecteurs reste invariantes mais leur produit scalaire change.
2. Soit un vecteur de l'espace euclidien a trois dimensions . Un nouveau vecteur
est obtenu par une rotation d’un angle θ autour de l'axe des z (transformation active). Ecrire sous
forme matricielle les composantes de en fonction de celles de .
3. L'expérience de Michelson et Morley était significative parce qu'elle a montré que :
(a) l'effet du mouvement de la terre sur la vitesse de la lumière a pu être mis en évidence.
(b) la vitesse de la terre est toujours moins grande que celle de la lumière.
(c) la vitesse de la lumière est indépendante du mouvement de l'observateur
(d) la terre a une accélération absolue.
Laquelle de ces propositions est-elle correcte ?
4. L'énergie totale relativiste d'une particule de masse au repos m et de vitesse v peut être écrite
comme où , . Utilisez un développement en série pour en
fonction de β , ne gardant que les termes jusqu'à l'ordre (négligez , ). Montrez qu'il y
reste alors un terme constant plus un deuxième terme qui dépend de la vitesse. Interprétez le
deuxième terme.

5. Utilisez 343.4 m/s pour la vitesse du son. (a) Un jour sans vent Usain Bolt court à 10 m/s vers
une cloche qui émet un son de fréquence 261.6 Hz. Mais Bolt remarque que le son apparaît aigu.
Calculer la fréquence qu'il entend.
(b) Le lendemain il y a un vent de 10 m/s. Bolt cours à 10m/s vers la même cloche avec le vent dans
le dos (l'air apparaît stationnaire autour de lui). Mais Bolt remarque que le son de la cloche apparaît
même un petit peu plus aigu que la veille. Calculer la fréquence qu'il entend.
6. On considère deux référentiels, R et R’ dont les axes sont parallèles et dont les origines
coïncident à l’instant t’ = t = 0. Le référentiel R’ se déplace à la vitesse constante v par rapport à R
et le mouvement relatif est dans la direction Oy. Ecrire la transformation de Lorentz donnant les
composantes d’un quadrivecteur du référentiel R’ en termes des composantes
mesurées dans R.
7. J'ai deux fils, Red et Kas. Chacun a un vaisseau spatial. Un jour, à disons , Red quitte à la
vitesse dans le sens positif de l'axe Ox, et Kas part à la même vitesse mais dans l'autre sens.
Moi je reste à la maison, l'origine de mon système des coordonnées.
(a) Quelle est la vitesse relative entre Kas et Red (mesuré par Red)?
(b) Faire le diagramme de Minkowski avec l'axe des t vertical, l'axe des x horizontal, et tracer
ma ligne d'univers et celles de mes deux fils. On peut poser .
(c) Red émet deux signaux lumineux vers Kas. Montrer les deux signaux sur le diagramme de
Minkowski.
(d) J'ai deux horloges stationnaires et synchronisées dans mon référentiel, l’une en ,
l'autre en m. La montre de Red lit quand il part à . Quel temps indique-t-
elle lorsque Red se trouve à la position de la deuxième horloge ?
8. Considérer un référentiel, R, avec un système des coordonnées cartésiennes et un autre
référentiel, R', dont l'origine se déplace avec un vitesse constante, . Ecrire la
transformation de Lorentz qui donne les composantes d’un quadrivecteur dans R en fonction de
celles d’un quadrivecteur dans R’. Indice : Utiliser une rotation pour retrouver la configuration
standard, puis une transformation de Lorentz, puis une rotation dans le sens inverse. Ne pas
développer tous les produits matriciels ; indiquez le produit des trois matrices correctes.